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分类加法计数原理与分步乘法计数原理【応识梃理】1.完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法，那么完成这件事共有N= R+门种不同的方法.2.完成一件事有〃类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有加2种不同的方法，…，在第〃类方案中有观”种不同的方法，则完成这件事共有N=... + ®种不同的方法.3.完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么完成这件事共有N =心种不同的方法.4.完成一件事需要〃个步骤，做第1步有加1种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法，…，做第n步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有NSF…x®种不同的方法.【纟考麵型】同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？［解］(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类 男生数女生数 总数 高三⑴班30 20 50 高三⑵班30 30 60 高三⑶班 35 20 55某校高三共有三个班，各班人数如下表.(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不 分类加法计数原理[例1]不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法;第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法;第3类，从高三⑶班中选出1名学生，有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50+60+55 = 165种不同的选法.(2)从高三⑴班、(2)班男生中或从高三⑶班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案:第1类，从高三⑴班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三⑵班男生中选出1名学生，有30种不同的选法;第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高三⑴班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30+30+20=80种不同的选法•［类题通法］利用分类加法计数原理时要注意(1)要准确理解题意，确定分类的标准.(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性.［对点训练］若小且x+yW6,试求有序自然数对（兀，刃的个数. 解：按兀的取值进行分类:兀=1时，丿=1，2,3,4,5,共构成5个有序自然数对;兀=2 时，y = l，2,3,4,共构成4个有序自然数对;兀=5时，j = l,共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理，共有^=5+4+3+2+1 = 15个有序自然数对.题型二分步乘法计数原理［例2］从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个?(1)三位数；(2)三位偶数.［解］(1)三位数有三个数位: 百位十位个位故可分三个步骤完成: 第1步，排个位，从1,23,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法;第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法.根据分步乘法计数原理，共有4X3X2=24个满足要求的三位数.(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法.根据分步乘法计数原理，共有2X3X2=12个满足要求的三位偶数.［类题通法］利用分步乘法计数原理时要注意(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性.［对点训练］一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法?(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法?解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5 X4=20种不同的取法.(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，・・・，第九封信还有4种可能，所以共有4°种不同的投法.两个计数原理的综合应用［例3］现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30 人，组成冬令营.(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法?(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法?(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法?［解］(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1 人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法.由分类加法计数原理，可知共有50+42+30=122种选法.(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有50X42X30=63 000种选法.(3)①从高一和高二各选1人作中心发言人，有50X42=2100种选法；②从高二和高三各选1人作中心发言人，有42X30=1 260种选法；③从高一和高三各选1人作中心发言人，有50X30=1 500种选法.故共有2 100+1 260+1 500=4 860种选法・［类题通法］在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重” “不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序, 注意“步”与“步”之间的连续性.［对点训练］有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加.(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法?(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法?解：(1)有三类:3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法.由分类加法计数原理知，有3+8+5=16种选法.(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学, 有8种方法；第3步选女同学，有5种方法.由分步乘法计数原理知，共有3X8X5=120种选法.(3)可分两类，每一类又分两步.第1类，选一名老师再选一名男同学，有3X8=24种选法；第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3X5 = 15种选法. 由分类加法计数原理知，共有24+15=39种选法.【俅习反僦】1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（）B. 12A. 7C. 64D. 81解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步, 选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4X3=12种不同的配法.答案：B2.已知集合M={19 -2,3}，N={—4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一.二象限内不同的点的个数是（）B. 17A. 1C. 16D. 10解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3X3=9个在第一、二象限内的点；第2 类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4X2 =8个在第一、二象限内的点.由分类加法计数原理，共有9+8=17个点在第一、二象限内.答案：B3.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a, b组成复数a+肘，其中虚数有解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取"的数，也有6种方法.根据分步乘法计数原理，共有6X6 =36种方法.答案：364. 一学习小组有4名男生，3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有种不同选法；若选男女生各一名当组长,共有_________ 种不同选法.解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选,有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法.根据分类加法计数原理，共有4+3=7种不同选法.若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法.根据分步乘法计数原理，共有4X3=12种不同选法.答案：7 125.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法?(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解：(1)由分类加法计数原理得, 从中任取一个球共有8+7 = 15种取法.⑵由分步乘法计数原理得' 从中任取两个不同颜色的球共有8X7 = 56种取法.。
§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理三维目标1．知识与技能(1)理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(2)会利用两个计数原理分析和解决一些简单的应用题．重点难点重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，根据具体的问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．难点：正确理解“完成一件事情”的具体含义，根据具体问题特征，正确选择某个计数原理解决一些简单的实际问题．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认识水平(如列举法、树状图)和所需的知识(归纳推理、抽象概括、分类讨论思想)的特点入手．本节课内容中，两个原理是大量实践中总结出来的基本计数规律，它的表述通俗易懂，但通俗的语言，往往会掩盖其科学的，严谨的内涵．故教学处理时，仍以课本中两个简单的问题入手，问题一中引导学生归纳出分类计数原理；在问题二中，要分析清楚为什么将各步方法数相乘，再启发学生直接用类比方法得出分步计数原理．在此基础上，让学生分析两个原理的区别与联系，从而达到理解两个原理的目的．对于两个原理的简单应用，首先要让学生搞清“完成一件事情”的含义，然后确定是分类完成此事，还是分步完成此事，进而解决问题．教学中要适时激发学生的学习兴趣和探究精神，在教师的指导下，让学生自主探究与合作交流，从而加深对两个原理的理解与应用，从而突破了难点，也强化了重点．教学建议本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体问题的特征与两个计数原理的基本思想联系起来．要解决这一问题，在本节教学中，应让学生先明确两个原理的适用条件及方法，再通过例题，引导学生逐步体会两个原理在实际问题中如何应用．教学流程提出问题，引入新课．通过两个具体实例的问题分析，点出本节所学内容．⇒观察归纳，形成概念．对于上面问题，引导学生弄清完成哪件事；按事情完成特点可分为多少类；每类包含的基本方法有哪些？总数是多少？⇒得出原理、知识应用．通过上面分析，得出加法原理，再通过例1及变式训练，巩固分类加法计数原理．⇒用同样的方法，通过例2、例3及变式训练引导学生学习分步乘法计数原理及两个原理的简单应用．⇒归纳小结，整理本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的化学书，某人从中取出一本书，则本题中要“完成的一件事”是做什么？【提示】本题中要“完成的一件事”是“从书架上取一本书”．2．在问题1中，应该怎样从书架上取一本书(说一下位置即分几类办法)?【提示】这本书既可以从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取．3．在问题1中，共有多少种不同的取法？【提示】由2可知，完成这件事可分为三类办法，即从上层、中层、下层中取一本书，而每一类办法中依次有15种、16种、14种办法．所以共有15＋16＋14＝45(种)办法．(1)定义：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法．(也称加法原理)(2)特点特点完成一件事可以有n类办法把每一类办法中的方法数相加，就可以得到完成这件事的方法数每一类办法中的每一种方法都可以完成这件事1．有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，则本题中要“完成的一件事”是做什么？【提示】本题中“要完成的一件事”是“要从盒子里任取红、白、黄小球各一个”．2．在问题1中应该如何“完成这件事”(说一下过程)?【提示】“要完成这件事”应分三个步骤：第一步是从一个盒子选出一个红球，第二步是从另一个盒子里选出一个白球，第三步是从最后一个盒子里选出一个黄球，即分三步完成这件事．3．在问题1中，共有多少种不同的取法？【提示】由2知，第一步共有6种方法(但不能“完成这件事”)，第二步共有5种方法，第三步共有4种方法．共有6×5×4＝120(种)方法．(1)定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法．(也称乘法原理)(2)特点特点完成一件事需要n个步骤，缺一不可把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的方法数完成每一步有若干种方法例1设有彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？【思路探究】(1)完成这件事是做什么？(2)一幅油画能完成此事吗？一幅国画呢？一幅水彩画呢？(3)应用哪个计数原理能解决此事？解：选一幅画布置房间分三类计数：第一类：选油画，有5种不同的选法；第二类：选国画，有2种不同的选法；第三类：选水彩画，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．规律方法分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏．变式训练1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有() A．50种B．26种C．24种D．616种【解析】选一位学习委员分两类办法：第一类：选男生，有26种不同的选法；第二类：选女生，有24种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．【答案】 A2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4,5}，设P(x，y)，x∈M，y∈N，若点P在直线y＝x的上方，则这样的点P有多少个？解：∵点P(x，y)在直线y＝x的上方，∴x<y.∴以x的取值进行分类，应分三类．第一类：当x＝1时，y＝2,3,4,5，共4种选法；第二类：当x＝2时，y＝3,4,5，共3种选法；第三类：当x＝3时，y＝4,5，共2种选法．由分类加法计数原理知，共有4＋3＋2＝9种选法，即点P共有9个.例2以配制成多少种不同的品种？【思路探究】(1)完成的这件事是什么？(2)如何完成这件事？(3)它属于分步还是分类？(4)运用哪个计数原理．解：完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不同的套餐品种共有6×5×3＝90种．规律方法解决分步乘法计数问题的思考过程是(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法．(3)完成这件事共有多少种方法．变式训练将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？解：完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有4×4×4＝43＝64种投法．例3坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为()A．18B．16 C．14D．10【思路探究】(1)完成的这件事是什么？(2)如何完成这件事？(3)它属于分步还是分类？(4)如何进行求解．【解析】完成这件事是确定第一、二象限内的总的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5,6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1,3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有4×2＝8个不同的点．由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．【答案】 C规律方法应用两个计数原理解决应用问题的方法：(1)分清是“分类”还是“分步”；(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．变式训练从0、1、2、3、4、5这些数字中选出4个，问能形成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？解：满足条件的四位数可分为两类．第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成．第一步确定首位有5种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．∴第一类共有5×4×3＝60个．第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．第二类共有4×4×3＝48个．∴满足条件的四位数共有60＋48＝108个.易错题对完成一件事理解不透致误典例甲、乙、丙、丁4位同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？【错解】方法一分4步完成这件事．第1步，第一位同学去夺三项冠军，有可能一个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情形；同理，第2、3、4步分别由其他3位同学去夺这三项冠军，都各自有4种不同情况，由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4＝44＝256种冠军获得情况．方法二分4步完成这件事．第1步，第一位同学去夺三项冠军，有3种可能；同理，第2、3、4步分别由其他3位同学去夺这三项冠军，都各自有3种不同情况．由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3＝34＝81种冠军获得情况．【错因分析】A，B两位同学的解答都是错误的．要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每个学科只有一名冠军产生”．但A，B两同学的解答都有可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情况，另外A 同学的解答中还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．【防范措施】上述问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么．上述问题研究的对象是3门学科，而不是4名同学，不同的学科冠军是可以被同一名同学夺得的．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题在分步时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．如：3个人分别从5个城市中任选一个去旅游，有多少种不同的选法？因为这里3个人必须“用完”，所以，以3个人为分步的依据进行分步，有5×5×5＝53＝125种不同的选法．【正解】可先举例说出其中的一种情况，如数学，物理，化学竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生一名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分3步．第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第一个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．课堂小结1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性即不漏步骤也不重步骤.当堂达标1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书，现从两个书橱内任取一本书的取法有()种A．7B．5C．12 D．35【解析】根据分类加法计数原理，不同的取法为N＝7＋5＝12(种)．【答案】 C2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有()种A．10 B．25C．52D．24【解析】根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24(种)．【答案】 D3．乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展开后，共有________项．【解析】∵乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成．可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12项．【答案】124. 若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解：分两类完成：第1类：当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条；第2类：当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需分两步完成：第1步：确定A的值，有4种不同的方法，第2步：确定B的值，有3种不同的方法，由分步乘法计数原理，共可确定4×3＝12条直线．由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条.(教师用书独具)备选例题现有高一四个班学生共34人，其中一、二、三、四班分别是7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【思路探究】主要考查两个计数原理的综合应用，先考虑分类再考虑分步．解：分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法；所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431种．规律方法1．本例中，应注意以下两点：(1)按规律分类，做到不重不漏，而这一规律也是列举法的常用技巧；(2)解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类后分步”．2．用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．备选变式由数字0,1,2,3,4,5,6这七个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？解：分两类：第一类，首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)，则末位数字可取0,2,4,6中任一个，而百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位则不能取与第三个数字重复的数字，故共有3×4×5×4＝240种取法．第二类，首位取2,4,6中的某个偶数数字，则末位只能取剩余的3个偶数数字中任一个，百位又不能取与上述有重复的数字，十位不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×3×5×4＝180种取法．故共有240＋180＝420个无重复数字的四位偶数．【开心阅读】计数和计数原理计数是一个重复加(或减)的数学行为，通常用于计算所求对象的数目．此外，计数也可以被人们(主要是被儿童)用来学习数字名称和数字系统的知识．由现今的考古证据可以推测人类计数的历史至少有五万年，它的发展推动了数学符号及计数系统的发展．古代人主要使用计数来记录如负债和资本等经济数据.中国人在计数时，常常用笔画“正”字，一个“正”字有五画，代表5，两个“正”字就代表10，以此类推．这个计数方法简便易懂，很受中国人欢迎．那么，到底是谁最先使用的这个巧妙方法呢？据说这种方法最初是戏园司事们记“水牌账”时用的．清末民初，戏园(俗称茶园)是人们日常生活中重要的娱乐场所．每天戏园里要迎来很多观众，可是那时候还没有门票这种东西，戏园就安排“案目”(就是现在所说的服务员)在戏园门口招待看客，领满五位入座，司事(记账先生)便在大水牌(类似黑板)上写出一个“正”字，并标明某案目的名字．座席前设有八仙桌，看客可边品茶边看戏．稍后由案目负责计数、收费．到散场结账时准确无误.这个方法随着戏园实行门票制而被废弃，但是作为一种简明、易懂、方便的记数法，一直流传下来．到现在很多中国人在统计选票、清点财物等时候，都还保持着用“正”字计数的习惯．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法．一般地，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，这是在日常生活中也经常使用的思想方法．通过对复杂计数问题的分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，可以达到以简驭繁、化难为易的效果．。
