山东省2023年中考备考数学一轮复习 几何图形初步 练习题(含解析)

专题11 几何图形初步与相交线、平行线一、单选题1．（2022·广东广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】A【解析】【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,故选：A．【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．2．（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线，其中最短的路线是（）A．①B．①C．①D．①【答案】B【解析】【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．【详解】解：①两点之间线段最短，①从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线中，最短的路线是①，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．3．（2022·广西柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．【详解】解：由题意可知：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．故选：B【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．4．（2021·四川巴中）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．【详解】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．5．（2021·山东枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A．搭配①B．搭配①C．搭配①D．搭配①【答案】D【解析】【分析】将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．【详解】解：搭配①、①、①两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配①不能，故选：D．【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．6．（2020·山东东营）如图，直线AB CD 、相交于点,O 射线OM 平分,BOD ∠若42AOC ∠=︒，则AOM ∠等于（ ）A ．159B ．161C ．169D ．138【答案】A【解析】【分析】 先求出①AOD =180°-①AOC ，再求出①BOD =180°-①AOD ，最后根据角平分线平分角即可求解．【详解】解：由题意可知：①AOD =180°-①AOC =180°-42°=138°，①①BOD =180°-①AOD =42°，又①OM 是①BOD 的角平分线，①①DOM =12①BOD =21°， 本号资料皆来源#于微信：数学①①AOM =①DOM +①AOD =21°+138°=159°．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键． 7．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为AB ，高为AC ，一只蚂蚁在C 处，沿圆柱的侧面爬到B 处，现将圆柱侧面沿AC “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；【详解】解：①AB为底面直径，①将圆柱侧面沿AC“剪开”后，B点在长方形上面那条边的中间，①两点之间线段最短，故选：C．【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．∥，①1＝70°，则①2的度数是（）8．（2022·广西柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a bA．50°B．60°C．70°D．110°【答案】C【解析】【分析】∥，①1＝70°，可得2170,从而可得答案．由a b【详解】∥，①1＝70°，解：①a b①2170,故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．9．（2022·广西河池）如图，平行线a，b被直线c所截，若①1＝142°，则①2的度数是()A．142°B．132°C．58°D．38°【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．【详解】∥，解：①a b①21142∠=∠=︒，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．10．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【解析】【分析】 利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．11．（2022·甘肃兰州）如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（ ）A ．52°B ．45°C ．38°D ．26°【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的性质可得①ABC =52°，根据垂直定义可得①ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【详解】解：①a ∥b ，①①1=①ABC =52°，①AC ①b ，①①ACB =90°，①①2=90°-①ABC =38°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（2022·辽宁营口）如图，直线,DE FG Rt ABC 的顶点B ，C 分别在,DE FG 上，若25BCF ∠=︒，则ABE ∠的大小为（ ）A ．55︒B ．25︒C ．65︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】 先根据平行线的性质得到①EBC =①BCF =25°，再利用互余得到①ABE =65°．【详解】解：①DE FG ∥，25BCF ∠=︒，①①EBC =①BCF =25°①①ABC =90°，①①ABE =①ABC -①EBC =90°-25°=65°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．13．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当35ABM∠=︒时，DCN∠的度数为（）A．55︒B．70︒C．60︒D．35︒【答案】A【解析】【分析】根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，然后平行线的性质可得①BCD =70°，即可求解．【详解】解：根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，①①ABM=35°，①①OBC=35°，①①ABC=180°-①ABM-①OBC=180°-35°-35°=110°，①CD①AB，①①ABC+①BCD=180°，①①BCD=180°-①ABC=70°，①①BCO+①BCD+①DCN=180°，①BCO=①DCN，①1(180)552DCN BCD︒︒-∠=∠=．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．14．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（ ）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒【答案】C【解析】【分析】 由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，可求出①5，由l //m 可得①6=①5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，①14010'∠=︒①24010'∠=︒①518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒①l //m①659940'∠=∠=︒故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 15．（2022·山西）如图，Rt ABC △是一块直角三角板，其中90,30C BAC ∠=︒∠=︒．直尺的一边DE 经过顶点A ，若DE CB ∥，则DAB ∠的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°【答案】B【解析】【分析】先根据平行线的性质可得90DAC C ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．【详解】解：,90C DE CB ∠=︒，90DAC C ∴∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，120DAB D C AC BA ∠=∠+=∴∠︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．16．（2021·贵州黔西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则①1的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°【答案】C【解析】【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．【详解】如图：①①2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，①AB①CD，①①1＝①2＝105°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．17．（2021·四川德阳）如图，直线AB①CD，①M＝90°，①CEF＝120°，则①MPB＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．【详解】解：①AB①CD，①①EFP=①CEF=120°，①①MPF=①EFP-①M=120°-90°=30°，①①MPB=180°-①MPF=180°-30°=150°，故选：D．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．本号资料皆来源于微信：数学第*六感18．（2021·山东潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】作CD①平面镜，垂足为G，根据EF①平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD①平面镜，垂足为G，①EF①平面镜，①CD//EF，①①CDH＝①EFH＝α，根据题意可知：AG①DF，①①AGC＝①CDH＝α，①①AGC＝α，①①AGC12=∠AGB12=⨯60°＝30°，①α＝30°．故选：B．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分①AG B．19．（2020·四川广元）如图，//a b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（）A．180︒B．270︒C．360︒D．540︒【答案】C【解析】【分析】首先过点P作P A①a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【详解】解：过点P作P A①a，则a①b①P A，①①1+①MP A=180°，①3+①NP A=180°，①①1+①MPN+①3=360°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．20．（2020·黑龙江齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC①DE，如图①所示，则旋转角①BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】由平行线的性质可得①CF A＝①D＝90°，由外角的性质可求①BAD的度数．【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，①BC①DE，①①CF A＝①D＝90°，①①CF A＝①B+①BAD＝60°+①BAD，①①BAD＝30°故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．21．（2020·湖北孝感）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．140︒【答案】B【解析】【分析】 已知OE CD ⊥，40BOE ∠=︒，根据邻补角定义即可求出AOC ∠的度数．【详解】①OE CD ⊥①90COE ∠=︒①40BOE ∠=︒①180?180904050AOC COE EOB ∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选：B【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．22．（2020·四川攀枝花）如图，平行线AB 、CD 被直线EF 所截，过点B 作BG EF ⊥于点G ，已知150∠=︒，则B ∠=（ ）．A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒【答案】C【解析】【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到①1=①2，再依据平行线的性质得到①B=①BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.【详解】解：延长BG，交CD于H，①①1=50°，①①2=50°，①AB①CD，①①B=①BHD，①BG①EF，①①FGH=90°，①①B=①BHD=180°-①2-①FGH=180°-50°-90°=40°.故选C.【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.23．（2022·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则ABC ∠与DEF ∠的关系是（ ）A ．互余B ．互补C ．同位角D ．同旁内角【答案】A【解析】【分析】利用平行线的性质可得出答案．【详解】解：如图，过点G 作GH 平行于BC ，则GH DE ∥，ABC AGH ∴∠=∠，DEF FGH ∠=∠，90AGH FGH ∠+∠=︒，90ABC DEF ∴∠+∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．24．（2022·湖北荆州）如图，直线12l l ∥，AB ＝AC ，①BAC ＝40°，则①1＋①2的度数是（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【答案】B【解析】【分析】由AB ＝AC ，①BAC ＝40°得①ABC =70°，在由12l l ∥得12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒即可求解；【详解】解：①AB ＝AC ，①BAC ＝40°，①①ABC =12（180°-①BAC ）＝12（180°-40°）=70°， ①12l l ∥①12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒①12180180704070ABC BAC ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．25．（2021·湖南娄底）如图，//AB CD ，点,E F 在AC 边上，已知70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，则B D ∠+∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】C【解析】【分析】取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．【详解】解：取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，如下图：根据题意：70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，50EFG ∴∠=︒，180507060EGF ∴∠=︒-︒-︒=︒，////MN CD AB ，,B BGN D DGN ∴∠=∠∠=∠，B D BGN DGN BGD ∴∠+∠=∠+∠=∠，,ED BF 相交于点G ，60EGF BGD ∴∠=∠=︒，60B D ∴∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．26．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【解析】【分析】 根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，①//BC EF ，①45FDB F ∠=∠=︒，①180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 27．（2020·内蒙古呼伦贝尔）如图，直线//,AB CD AE CE ⊥于点E ，若120EAB ︒∠=，则ECD ∠的度数是（ ）A ．120°B ．100°C ．150°D ．160°【答案】C【解析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出①AFC的度数，再利用外角的性质求出①ECF，从而求出①EC D．【详解】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，①AB①CD，①①A+①F=180°，①120∠=︒，EAB①①F=60°，①AE①CE，①①AEC=90°，而①AEC=①F+①ECF，①①ECF=①AEC-①F =30°，①①ECD=180°-30°=150°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线和掌握平行线的性质是解题的关键．28．（2020·四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB①DE，△ABC是等腰三角形，①ABC＝124°，①CDE＝72°，则①ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°【解析】【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A ，本号资料皆来源于*#微信公*众号：数学 【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28A ACB ，//AB DE ，28CFD A ，72CDECFD ACD ， 722844ACD ，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 29．（2020·湖北省直辖县级单位）将一副三角尺如图摆放，点E 在AC 上，点D 在BC 的延长线上，//,90,45,60EF BC B EDF A F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则CED ∠的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】A【解析】根据三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°，根据//EF BC可知①CEF=①ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．【详解】解：由三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°①//EF BC①①CEF=①ACB=45°，①①CED=①CEF-①DEF=45°-30°=15°．故答案为A．【点睛】本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．30．（2020·辽宁鞍山）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、B C．若①ABC＝54°，则①1的大小为（）A．36°．B．54°．C．72°．D．73°．【答案】C【解析】【详解】①l1①l2，①ABC=54°，①①2=①ABC=54°，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，①AC=AB，①①ACB=①ABC=54°，①①1+①ACB+①2=180°，故选C．二、填空题31．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．本号资料皆来源于微信：数@学【答案】4【解析】【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．32．（2022·广西玉林）已知①α=60°，则①α的余角等于____度．【答案】30【解析】【详解】①互余两角的和等于90°，①α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3033．（2020·黑龙江大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD∠=︒，则COB∠= _________．【答案】72.︒【解析】由①AOB =①COD =90°，①AOC =①BOD ，进而①AOC =①BOD =108°-90°=18°，由此能求出①BO C ．【详解】 解： ①AOB =①COD =90°，∴ ①AOC =①BOD ， 又①AOD =108°，∴ ①AOC =①BOD =108°-90°=18°，∴ ①BOC =90°-18°=72°．故答案为：72︒．【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．34．（2020·四川雅安）如图，//a b c ，与a b ，都相交，150∠=︒，则2∠=_________．【答案】130°【解析】【分析】根据平行线的性质可得①1=①3，再用补角的定义得出①2.【详解】解：①a ①b ，①①1=①3=50°，①①2=180°-50°=130°，故答案为130°.【点睛】本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.35．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么①BAC 的大小为______【答案】135°##135度【解析】【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．36．（2021·黑龙江大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【解析】【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -． 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯ 20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -． 37．（2021·湖南益阳）如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则AOD ∠=_______度． 本号资料皆来源于微#信：数@学@【答案】60【解析】【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得60COB ∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：设2AOC x ∠=，OE 是AOC ∠的平分线，12AOE EOC AOC x ∴∠=∠=∠=， OC 平分EOB ∠，COB EOC x ∴∠=∠=，又180AOE EOC COB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=︒，解得60x =︒，即60COB ∠=︒，由对顶角相等得：60AOD COB ∠=∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 38．（2022·山东济宁）如图，直线l 1，l 2，l 3被直线l 4所截，若l 1∥l 2，l 2∥l 3，①1＝126o 32'，则①2的度数是___________．【答案】5328'︒【解析】【分析】根据平行线的性质得23,34∠=∠∠=∠，根据等量等量代换得34∠=∠，进而根据邻补角性质即可求解．【详解】解：如图l1∥l 2，l 2∥l 3，23∴∠=∠，34∠=∠，24∴∠=∠，①1＝12632'︒，2418012632∴∠=∠=-︒'︒17960126325328'''=︒-︒=︒，故答案为：5328'︒．【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 39．（2022·湖北宜昌）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【答案】85︒##85度【解析】【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．【详解】 解：C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，50DAC ∴∠=︒，C岛在B岛的北偏西35︒方向，∴∠=︒，35CBE∥交AB于F，如图所示：过C作CF DA∴∥∥，DA CF EB∴∠=∠=︒∠=∠=︒，FCA DAC FCB CBE50,35∴∠=∠+∠=︒，85ACB FCA FCB故答案为：85︒．【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．40．（2022·四川乐山）如图6，已知直线a①b，①BAC=90°，①1=50°，则①2=______．【答案】40°##40度【解析】【分析】根据平行线的性质可以得到①3的度数，进一步计算即可求得①2的度数．【详解】解：①a①b，①①1=①3=50°，①①BAC =90°，①①2+①3=90°，①①2=90°-①3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．41．（2022·江苏扬州）将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，∴45FAN B ∠=∠=︒，①①E =60°，①①F =30°，180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．42．（2021·四川绵阳）如图，直线//a b ，若128∠=︒，则2∠=____．【答案】152︒【解析】【分析】利用平行线的性质可得3128∠=∠=︒，再利用邻补角即可求2∠的度数．【详解】解：如图，//a b ，128∠=︒，3128∴∠=∠=︒，21803152∴∠=︒-∠=︒．故答案为：152︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．43．（2021·辽宁阜新）如图，直线//AB CD ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分CEF ∠，则1∠的度数为_________°．【答案】60【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出CEG ∠的度数，即可得到CEF ∠的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，30FEG ∴∠=︒， EG 平分CEF ∠，30CEG FEG ∴∠=∠=︒，60CEF CEG FEG ∴∠=∠+∠=︒，//AB CD ，160CEF ∴∠=∠=︒．故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 44．（2021·江苏泰州）如图，木棒AB 、CD 与EF 分别在G 、H 处用可旋转的螺丝铆住，①EGB ＝100°，①EHD ＝80°，将木棒AB 绕点G 逆时针旋转到与木棒CD 平行的位置，则至少要旋转 ___°．【答案】20【解析】【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当①EHD ＝①EGN =80°，MN //CD ，再得出旋转角①BGN 的度数即可得出答案．【详解】解：过点G 作MN ，使①EHD ＝①EGN =80°，①MN //CD ，①①EGB ＝100°，①①BGN=①EGB -①EGN =100°-80°=20°，①至少要旋转20°．【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．45．（2021·湖北恩施）如图，已知//AE BC ，100BAC ∠=︒，50DAE ∠=︒，则C ∠=__________．【答案】30°【解析】【分析】由题意易得50B DAE ∠=∠=︒，然后根据三角形内角和可进行求解．【详解】解：①//AE BC ，50DAE ∠=︒，①50B DAE ∠=∠=︒，①100BAC ∠=︒，①18030C B BAC ∠=︒-∠-∠=︒；故答案为30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键． 46．（2020·广西贵港）如图，点O ，C 在直线n 上，OB 平分AOC ∠，若//m n ，156∠=︒，则2∠=_______________．【答案】62°【解析】【分析】根据//m n 和OB 平分AOC ∠，计算出BOC ∠的度数，便可求解．【详解】解：如图：∵//m n∴156AON ∠=∠=， 2BOC ∠=∠180124AOC AON ∴∠=-∠=∵OB 平分AOC ∠1622BOC AOC ∴∠=∠= 62BOC ∴∠=故答案为62°【点睛】本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．47．（2020·辽宁盘锦）如图，直线//a b ，ABC 的顶点A 和C 分别落在直线a 和b 上，若160∠=︒，40ACB ∠=︒，则2∠的度数是__________．【答案】20°【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等可得到12ACB ∠=∠+∠，从而计算出2∠的度数．【详解】解：①直线//a b ，①12ACB ∠=∠+∠，又①160∠=︒，40ACB ∠=︒，①220∠=︒，故答案为：20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．48．（2021·青海）如图，AB ①CD ，FE ①DB ，垂足为E ，①1＝50°，则①2的度数是_____．【答案】40°【解析】【分析】由EF ①BD ，①1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出①D 的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【详解】解：在①DEF 中，①1=50°，①DEF =90°，①①D =180°-①DEF -①1=40°．①AB ①CD ，①①2=①D =40°．故答案为40°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出①D =40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．49．（2020·湖北恩施）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠=______．【答案】40︒【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得到①C =①4=30︒，利用平行线的性质得到①1=①3=80︒，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】如图，延长CB 交2l 于点D ，①AB =BC ，①C =30︒，①①C =①4=30︒，①12//l l ，①1=80︒，①①1=①3=80︒，①①C +①3+①2+①4 =180︒，即3080230180︒+︒+∠+︒=︒，①240∠=︒，故答案为：40︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．50．（2020·湖南张家界）如图，AOB ∠的一边OA 为平面镜，38AOB ︒∠=，一束光线（与水平线OB 平行）从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在OB 上的点E 处，则DEB ∠的度数是_______度．【答案】76°【解析】【分析】根据平行线的性质可得①ADC 的度数，由光线的反射定理可得①ODE 的度数，在根据三角形外角性质即可求解．【详解】解：①DC ①OB ，①①ADC =①AOB =38°，由光线的反射定理易得，①ODE =①ACD =38°，①DEB =①ODE +①AOB =38°+38°=76°，故答案为：76°．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 本号资料皆来源#于@微信：数学三、解答题51．（2021·湖北武汉）如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：①//AB CD ，①DCF B ∠=∠．①B D ∠=∠，①DCF D ∠=∠．①//AD BC ．①DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．52．（2020·湖北宜昌）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面AB 与水杯下沿CD 平行，光线EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成FH ，点G 在射线EF 上，已知20,45HFB FED ∠=︒∠=︒，求GFH ∠的度数．【答案】25°【解析】【分析】使用平行线的性质得到45GFB FED ∠=∠=︒，再根据GFH GFB HFB ∠=∠-∠得到结果．【详解】解：①//AB CD①45GFB FED ∠=∠=︒①20HFB ∠=︒①GFH GFB HFB ∠=∠-∠452025=︒-︒=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．53．（2020·四川内江）如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，//AB CD ，AE DF =，A D ∠=∠．（1）求证：AB CD =；（2）若AB CF =，40B ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【解析】【分析】（1）根据角角边求证ABE DCF △≌△即可；（2）根据已知可得CD CF =，根据等边对等角可得结果．【详解】解：（1）证明：①//AB CD ，①B C ∠=∠，在ABE △和DCF 中，B C A D AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ABE DCF AAS △≌△，①AB CD =；（2）①AB CD =，AB CF =，①CD CF =，①D CFD ∠=∠，①ABE DCF △≌△，①40C B ∠=∠=︒， ①18040702D ︒-︒∠==︒． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．54．（2020·江苏镇江）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，①1＝①B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：①D ＝①2；（2）若EF ①AC ，①D ＝78°，求①BAC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证①BEF ①①CDA ，可得①D ＝①2；（2）由（1）可得①D ＝①2＝78°，由平行线的性质可得①2＝①BAC ＝78°． 本号资料皆来源于@@微信公#众号：数学【详解】证明：（1）在①BEF 和①CD A 中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEF ①①CDA （SAS ），①①D ＝①2；（2）①①D ＝①2，①D ＝78°，①①D ＝①2＝78°，①EF ①AC ，①①2＝①BAC ＝78°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明①BEF ①①CDA 是解题的关键55．（2020·湖北武汉）如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且EM ①FN ．求证：AB ①CD ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】 先根据角平分线的定义可得11,22MEF BEF N CF FE E ∠=∠∠∠=，再根据平行线的性质可得MEF NFE ∠=∠，从而可得BEF CFE ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证．【详解】 EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠11,22MEF BEF NF CFE E ∠=∠∠∠=∴EM //FNMEF NFE ∠=∠∴1122BEF CFE ∴∠=∠，即BEF CFE ∠=∠ //AB CD ∴．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． 56．（2021·西藏）如图，AB ①DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，①A ＝90°，EC ①BD ，且AB ＝C D ．求证：AC ＝CE ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由平行线的性质得出①B ＝①D ，再由垂直的定义得到①DCE ＝90°＝①A ，即可根据ASA 证明①ABC ①①CDE ，最后根据全等三角形的性质即可得解．【详解】证明：①AB ①DE ，①①B ＝①D ，①EC ①BD ，①A ＝90°，①①DCE ＝90°＝①A ，在①ABC 和①CDE 中，B D AB CD A DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①①ABC ①①CDE （ASA ），①AC ＝CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明①ABC ①①CDE 是解题的关键． 57．（2021·浙江温州）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出①ADE ，再利用平行线的性质求出① ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒， 即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．58．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，B E ∠=∠，BC EF =． 求证：AD CF =．【答案】见解析【解析】【分析】根据AB DE ∥，可得A EDF ∠=∠，根据AAS 证明ABC DEF △≌△，进而可得AC DF =，根据线段的和差关系即可求解．【详解】证明：①AB DE ∥，①A EDF ∠=∠，在ABC 与DEF 中，A EDFB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()AAS ABC DEF ≌△△， ①AC DF =，①AC DC DF DC -=-，①AD CF =．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 本号资料皆来源@于微信：数学59．（2022·湖北武汉）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒． 本号@@资料皆来源于微信：数学。

2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：圆的有关性质及计算一．选择题（共29小题）1．（2022•张店区二模）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则sin∠B的值为（）A．B．C．D．2．（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E 是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 3．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4B．C．D．6 4．（2022•博山区二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点（小正方形的顶点）上，AB和CD所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．π﹣2C．2πD．π5．（2022•莱西市一模）如图，PC，PB分别切⊙O于点C，B．若AB是⊙O的直径，∠P ＝70°，则∠A的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．80°6．（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（）A．8B．C．16D．7．（2022•乳山市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝3，∠DBC＝15°，∠BDC＝30°，则点A到BD的距离是（）A．3B．C．2D．8．（2022•烟台模拟）下列说法正确的个数是（）①相等的圆心角所对的弧相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；③平分弦的直径一定垂直于弦；④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是菱形；⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等A．0个B．1个C．2个D．3个9．（2022•福山区一模）如图，以五边形ABCDE的顶点A为圆心，以AB的长为半径作圆，若⊙A过点E，且BC和DE分别为⊙A的切线，点P在五边形外但在⊙A内一点，连接PB，PE，若∠C+∠D＝236°，则∠P的度数可能是（）A．124°B．68°C．62°D．58°10．（2022•淄川区二模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°11．（2021•滨州三模）如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若⊙O的半径为，△PMN的周长为6，则扇形AOB的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π12．（2021•临沂模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（）A．80°B．100°C．120°D．140°13．（2021•岱岳区一模）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．3B．C．2D．4 14．（2021•德州模拟）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（）A．4πcm2B．5πcm2C．6πcm2D．8πcm2 15．（2021•乳山市一模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4 16．（2021•青岛二模）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB为（）A．22°B．44°C．48°D．68°17．（2021•沂南县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°18．（2021•历城区一模）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（）A．3π﹣4B．3π﹣2C．3π﹣4D．2π19．（2021•济宁二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．B．C．πD．2π20．（2021•泰山区模拟）如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B．已知⊙O的半径为，BC＝3，那么sin∠A＝（）A．B．C．D．21．（2020•历下区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．20 22．（2020•德城区模拟）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（）A．3B．6πC．3πD．6 23．（2020•新泰市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD 的大小为（）A．130°B．100°C．120°D．110°24．（2020•槐荫区模拟）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°25．（2020•平阴县二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（）A．﹣4B．+4C．﹣2D．+2 26．（2020•河东区一模）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于（）A．68°B．58°C．72°D．56°27．（2020•平邑县一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π28．（2020•济宁模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π29．（2020•武城县模拟）下列说法错误的是（）A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等二．填空题（共1小题）30．（2020•武城县模拟）在⊙O中，半径为2，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为．2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：圆的有关性质及计算参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2022•张店区二模）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则sin∠B的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，连接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD＝CD＝CE＝OE＝GQ＝QF＝R，求出y＝2R，x＝R，根据锐角三角函数值求出即可．【解答】解：如图：设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，连接OD，OG，OF，OE，∵⊙O内切于Rt△ABC，∴∠ODC＝∠OEC＝90°＝∠C，AD＝AG，∵OD＝OE，∴四边形CDOE是正方形，∴OD＝CD＝CE＝OE＝R，同理OG＝GQ＝FQ＝OF＝R，则PQ＝CP，AC＝AQ，∵PQ⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠PQB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BQP∽△BCA，∴＝＝，∴BC＝2BQ＝2y，根据BG＝BE得：y+R＝2y﹣R，解得：y＝2R，在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2＝BP2，即（2R）2+（R+x）2＝（4R﹣R﹣x）2，解得：x＝R，即PQ＝R+R＝R，BQ＝2R，tan B＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线长定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，难度偏大．2．（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E 是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】圆周角定理；轴对称﹣最短路线问题；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；②正确．证明∠CED＝30°，可得结论；③错误，M是动点，DM不一定垂直CE；④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论．【解答】解：∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵E，D关于AB对称，∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误，∵∠CED＝∠COD＝30°，∴∠DOB＝2∠CED，故②正确，∵M是动点，∴DM不一定垂直CE，故③错误，连接EM．则ME＝MD，∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4B．C．D．6【考点】切线的性质；坐标与图形性质；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理可得AC＝2AE，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，∴AC＝2AE，∵⊙M与x轴相切于点D，∴∠MDO＝90°，∵M（2，3），∴ME＝2，MD＝3，∴MA＝MD＝3，在Rt△AEM中，AE＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2022•博山区二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点（小正方形的顶点）上，AB和CD所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．π﹣2C．2πD．π【考点】扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】如图，连接，OA，OB，OD．证明S阴＝S扇形AOB﹣S扇形COD，可得结论．【解答】解：如图，连接，OA，OB，OD．S阴＝S△AOB+S△OBD﹣S△AOC﹣S扇形OCD＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝﹣＝π，故选：D．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．5．（2022•莱西市一模）如图，PC，PB分别切⊙O于点C，B．若AB是⊙O的直径，∠P ＝70°，则∠A的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．80°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠PCO＝∠PBO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是⊙O的直径，∴∠PCO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∵∠BOC＝∠A+∠ACO＝110°，∴∠A＝55°，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（）A．8B．C．16D．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；几何直观．【分析】如图，连接OB交AC与点H．解直角三角形求出AC，可得结论．【解答】解：如图，连接OB交AC与点H．由题意△ABC是等边三角形，OB＝4，OH＝BH＝2，∵OB⊥AC，∴CH＝AH＝＝，∴AC＝2CH＝，∴阴影部分的面积＝6××（）2＝8．故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，等边三角形的性质，正六边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2022•乳山市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝3，∠DBC＝15°，∠BDC＝30°，则点A到BD的距离是（）A．3B．C．2D．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB＝AC＝AD＝3，∴点B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴∠BAC＝2∠BDC＝60°，∠DAC＝2∠DBC＝30°，∴∠BAD＝90°，∴△BAD是等腰直角三角形，∵AB＝AD＝3，∴BD＝3，∴点A到BD的距离等于BD的一半，∴A到BD的距离为．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．8．（2022•烟台模拟）下列说法正确的个数是（）①相等的圆心角所对的弧相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；③平分弦的直径一定垂直于弦；④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是菱形；⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】三角形的内切圆与内心；菱形的判定与性质；中点四边形；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】①根据同心圆定义即可判断；②根据平行四边形的性质即可判断；③根据圆的性质即可判断；④根据菱形的判定即可判断；⑤根据三角形内心定义即可判断．【解答】解：①在同心圆中，同一个圆心角所对的弧不相等，故结论错误；②如图，在▱ABCD中，∠B＝∠ADC，它们的两条边互相平行，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠B+∠CDE＝180°，它们的两条边也互相平行，故结论错误；③如图，在⊙O中，∵AB、CD是直径，∴它们互相平分，但是不垂直，故结论错误；④解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，根据三角形的中位线定理，EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD，∵四边形ABCD的对角线相等，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，故④正确；⑤三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故⑤错误，综上所述：正确的有④，共1个，故选：B．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，菱形的判定和性质，中点四边形，垂径定理，三角形的中位线的应用，熟记性质和判定定理是解此题的关键，注意：有四条边都相等的四边形是菱形．作图要注意形象直观．9．（2022•福山区一模）如图，以五边形ABCDE的顶点A为圆心，以AB的长为半径作圆，若⊙A过点E，且BC和DE分别为⊙A的切线，点P在五边形外但在⊙A内一点，连接PB，PE，若∠C+∠D＝236°，则∠P的度数可能是（）A．124°B．68°C．62°D．58°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；正多边形与圆；推理能力．【分析】根据多边形内角和定理和切线的性质即可得到结论．【解答】解：∵多边形ABCDE是五边形，∴∠A+∠ABC+∠AED+∠D+∠C＝540°，∵BC和DE分别为⊙A的切线，∴∠ABC＝∠AED＝90°，∴∠A＝540°﹣90°﹣90°﹣236°＝124°，∵A＜∠P＜∠A，∴∠P的度数可能是68°，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（2022•淄川区二模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】连接AE，利用圆内接四边形对角互补求解即可．【解答】解：连接AE，∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠AED＝180°，∵所对的圆心角为50°，∴∠AEB＝×50°＝25°，∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°，故选：A．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关键．11．（2021•滨州三模）如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若⊙O的半径为，△PMN的周长为6，则扇形AOB的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】根据切线长定理得MA＝MC，NC＝NB，可得PA+PB＝6，PA＝PB＝3，根据直角三角形的性质得∠AOP＝∠BOP＝60°，∠AOB＝120°，然后根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：连接OA，OB，OP，∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB，∵△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝6，∴PA＝PB＝．在Rt△POA中，PA＝3，AO＝，∴PO＝＝，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠AOB＝120°，＝＝π．∴S扇形AOB故选：A．【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，扇形的面积，解决本题的关键是掌握切线长定理．12．（2021•临沂模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（）A．80°B．100°C．120°D．140°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】根据圆周角定理求出∠BOC，然后由邻补角的定义即可解决问题．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°，∴∠AOC＝100°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（2021•岱岳区一模）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．3B．C．2D．4【考点】切线的性质；菱形的性质；圆周角定理．【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14．（2021•德州模拟）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（）A．4πcm2B．5πcm2C．6πcm2D．8πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】正多边形与圆；推理能力．【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得＝π（6﹣x），解得x＝4，S底＝×42π+π＝5π（cm2）．所以圆锥的表面积＝S侧+故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．（2021•乳山市一模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【考点】圆周角定理；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，∴BC＝OC＝2，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理及解直角三角形的知识，掌握圆周角定理是解题的关键．16．（2021•青岛二模）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB为（）A．22°B．44°C．48°D．68°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力；模型思想．【分析】根据切线的性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和可求出答案．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝22°，∴∠AOB＝180°﹣22°﹣22°＝136°，又∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∴∠BOC＝136°﹣90°＝46°，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠OCB+∠BOC＝90°，∴∠OCB＝90°﹣46°＝44°，故选：B．【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握切线的性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是正确解答的前提．17．（2021•沂南县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】连接BD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再证，然后由圆周角定理求解即可．【解答】解：连接BD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为半圆的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝45°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．18．（2021•历城区一模）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（）A．3π﹣4B．3π﹣2C．3π﹣4D．2π【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．【分析】根据题意和折叠的性质，可以得到OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，然后根据OA＝OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积．【解答】解：连接OD，∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，又∵OA＝OD，∴OA＝AD＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠OAC＝∠DAC＝30°，∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，∴OC＝2，∴阴影部分的面积是：（×2）＝3π﹣4，故选：A．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．19．（2021•济宁二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．B．C．πD．2π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形．【专题】与圆有关的计算．【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，再根据旋转的性质得∠BAB′＝∠CAC′＝45°，则点B′、C、A共线，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°，∴点B′、C、A共线，∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形CAC′﹣S△ABC＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′＝﹣＝π．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．20．（2021•泰山区模拟）如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B．已知⊙O的半径为，BC＝3，那么sin∠A＝（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力．【分析】作⊙O的直径DK，连接CK，求出△KCD∽△DBC，求出CD，再解直角三角形求出即可．【解答】解：如图，作⊙O的直径DK，连接CK，∵CB垂直于过点D的切线，垂足为B，∴∠KDB＝90°，∠KCD＝90°，∴∠CDB＝90°﹣∠KDC＝∠K，∵∠KCD＝∠B＝90°，∴△KCD∽△DBC，∴，∵⊙O的半径为，BC＝3，∴＝，即CD＝4，∴sin∠A＝sin K＝＝，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．21．（2020•历下区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．20【考点】圆周角定理；解直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．【专题】综合题；推理能力．【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20．【解答】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝FA＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．22．（2020•德城区模拟）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（）A．3B．6πC．3πD．6【考点】圆锥的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】根据扇形面积公式求出圆锥侧面积．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2π，则圆锥侧面积＝×2π×3＝3π，故选：C．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．23．（2020•新泰市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD 的大小为（）A．130°B．100°C．120°D．110°【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；应用意识．【分析】首先证明∠ADC＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2020•槐荫区模拟）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算．【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠ABO＝90°，再计算出∠AOB＝62°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵AB为切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，∴∠ACB＝∠AOB＝31°．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．25．（2020•平阴县二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（）A．﹣4B．+4C．﹣2D．+2【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【专题】与圆有关的计算．【分析】根据图形得到S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积＝+π×12﹣22＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．26．（2020•河东区一模）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于（）A．68°B．58°C．72°D．56°【考点】圆周角定理．【专题】与圆有关的计算．【分析】根据圆周角定理求出∠AOC即可解决问题．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝34°，∴∠AOC＝68°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣68°）＝56°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．（2020•平邑县一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【专题】与圆有关的计算．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，∵∠OFE+∠FEO＝∠OED+∠FEO＝90°，∴∠OFE＝∠OED∴△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S＝和旋转的性质是解题的关键．28．（2020•济宁模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形．【专题】几何图形．【分析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S＝．29．（2020•武城县模拟）下列说法错误的是（）A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【考点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系；三角形的内切圆与内心．【分析】根据垂径定理，三角形的外接圆与内切圆，直线与圆的关系等知识分析此题．【解答】解：A、如果直径平分的弦也是直径的话，此种情况是不成立的；。

山东省2023年中考备考数学一轮复习 相交线与平行线 练习题一、单选题1．（2022·山东临沂·统考二模）如图，直线AB CD 、相交于点O ，射线OM 平分BOD ∠，若160AOM ∠=︒，则AOC ∠等于 （ ）A ．20°B ．40°C ．45°D ．50°2．（2022·山东东营·校考一模）下列说法中正确的是（ ）A ．不相交的两条直线叫平行线B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C ．平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直D ．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．（2022·山东济南·统考一模）下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB ∠CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·山东·统考一模）下列关于过直线l 外一点P 作直线l 的平行线的尺规作图错误的是（） A ． B ．C ．D ．5．（2022·山东淄博·统考二模）下列图形中，由12∠=∠能得到AB CD ∥的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·山东潍坊·中考真题）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（ ）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒7．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在弯形管道ABCD 中，若AB CD ∥，拐角122ABC ∠=︒，则BCD ∠的大小为（ ）A ．58︒B ．68︒C ．78︒D ．122︒8．（2022·山东日照·统考一模）如图，在∠ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∠AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．（2022·山东淄博·统考一模）如图，直线//a b ，点,M N 分别在直线,a b 上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠等于（ ）A ．360︒B ．300︒C ．270︒D ．180︒10．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，//AB CD ，点E 在AB 上，EC 平分∠AED ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．57.5°D ．65°11．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，直线a b ∥，一个三角板的直角顶点在直线a 上，两直角边均与直线b 相交，140∠=︒，则2∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒12．（2022·山东东营·统考三模）如图，直线//a b ，将一个含30︒角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠的度数为（）124＝，则2∠︒A．120︒B．136︒C．144︒D．156︒13．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°14．（2022·山东济南·统考一模）如图所示，已知//C∠=︒，43AC ED，20∠的度数是（）CBE∠=︒，BEDA．63︒B．83︒C．73︒D．53︒15．（2022·山东烟台·统考一模）在下列命题中，为真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．平行于同一条直线的两条直线互相平行C．同旁内角互补D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行16．（2022·山东东营·统考一模）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：∠将含30︒角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30︒角的三角尺的最短边紧贴；∠将含30︒角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则a∠b，小明这样画图的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等17．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．18．（2022·山东枣庄·统考中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线变成FH，点G在射线EF上，45,20∠=︒∠=，FED HFB ∠=__°．则GFH19．（2022·山东烟台·统考一模）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．20．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为______cm2．21．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）如图，将周长为10的∠ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________．22．（2022·山东东营·校考一模）如图，直线AB∠CD，∠C=44°，∠E为直角，求∠1的度数.参考答案：1．B【分析】根据邻补角的定义求出∠BOM ，再根据角平分线的定义求出∠BOD ，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】160AOM ∠=︒，18020BOM AOM ∴∠=︒-∠=︒，OM 平分BOD ∠，240BOD BOM ∴∠=∠=︒40AOC BOD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查了本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．2．D【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可．【详解】解：A ：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A 说法不符合题意；B ：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B 说法不符合题意；C ：平面内两条直线的位置关系有相交和平行，故C 说法不符合题意；D ：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D 说法符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．3．B【分析】根据平行线的判定定理即可判断求解．【详解】：A 、∠∠1=∠2，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；B 、由∠1=∠2，不能判断AB ∠CD ，该选项符合题意；C 、∠∠1=∠2，∠3=∠2，∠∠1=∠3，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；D 、∠∠1=∠2，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．4．C【分析】根据选项图像逐个分析，判断能否平行即可．【详解】A ．本选项作了角平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；B ．本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；C ．本选项只截取了两条线段相等，无法保证两直线平行的位置关系，故本选项符合题意；D ．本选项作了一个角与已知角相等，根据内错角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了尺规作图和平行线的判定定理，熟练掌握尺规作图的操作是解题的关键．5．B【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可．【详解】A.∠1＝∠2，不能判断//AB CD ，故A 不符合题意；B.∠∠1＝∠2，∠AB CD ∥（内错角相等，两直线平行），故B 符合题意；C.12∠=∠，//AC BD ∴，故C 不符合题意；D.∠1＝∠2，不能判断//AB CD ，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行，是解题的关键．6．C【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，∠14010'∠=︒∠24010'∠=︒∠518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠l //m∠659940'∠=∠=︒故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．7．A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到180∠+∠=︒，进而计算即可．ABC BCD∥，【详解】AB CD∴∠+∠=︒，180ABC BCDABC∠=︒，122∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，BCD ABC180********故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键．8．B【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．【详解】解：∠∠A+∠C=100°∠∠ABC=80°，∠BD平分∠BAC，∠∠ABD=40°，∠DE∠AB，∠∠BDE=∠ABD=40°，故答案为B．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．9．A【分析】过点P作PE∠a．则可得出PE∠a∠b，结合“两直线平行，内错角相等”可得出∠2=∠AMP+∠BNP，再结合邻补角的即可得出结论．【详解】解：过点P作PE∠a，如图所示．∠PE∠a，a∠b，∠PE∠a∠b，∠∠AMP=∠MPE，∠BNP=∠NPE，∠∠2=∠MPE+∠NPE=∠AMP+∠BNP．∠∠1+∠AMP=180°，∠3+∠BNP=180°，∠∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是找出∠2=∠AMP+∠BNP．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．10．B【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．AB CD，【详解】解：∠//∠∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），∠EC平分∠AED，∠∠A EC=∠CED=∠1，∠∠1=65°，∠∠CED =∠1=65°，∠∠2=180°-∠CED-∠1=180°-65°-65°=50°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．11．B【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：由题意得∠ABC=90°，∠∠1=40°，∠∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，∥，∠a b∠∠2=∠3=50°，故选B．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．12．C【分析】根据平行线的性质求解，找出图中1424∠=∠=︒，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．c a，【详解】解：如图，作//三角尺是含30︒角的三角尺，3460∴∠+∠=︒，a c，//∴∠=∠=︒，14243602436∴∠=︒-︒=︒，a b，//a c，//b c∴，//∴∠=︒-︒=︒，218036144故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．13．D【分析】根据平行线的性质即可解答．【详解】如图，由已知得∠3=60°，∥，因为AB CD所以∠2＋∠1+∠3=180°，∠2＝180°-（40°+60°）=80°；故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理解题．14．A【分析】过点B 作BM ∠AC ，求出∠EBM 即可．【详解】过点B 作BM ∠AC ，∠//AC ED ，∠////AC ED BM ，∠20CBM C ∠=∠=︒，EBM E ∠=∠，∠43CBE ∠=︒，∠63EBM CBE CBM ∠=∠+∠=︒，∠63E EBM ∠=∠=︒．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练添加辅助线，利用平行线的性质求角．15．B【分析】根据对顶角、平行公理的推论、平行线的判定、同旁内角逐项判断即可得．【详解】A 、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；B 、平行于同一条直线的两条直线互相平行，此项是真命题；C 、两直线平行，同旁内角互补，此项是假命题；D 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此项是假命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．16．A【分析】先利用平移的性质得到∠1=∠2=60°，然后根据同位角线段两直线平行可判断a ∠b ．【详解】利用平移的性质得到∠1=∠2=60°，所以a ∠b ．故选：A ．【点睛】此题考查作图-平移变换，平行线的判定，解题关键在于确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．17．5328'︒【分析】根据平行线的性质得23,34∠=∠∠=∠，根据等量等量代换得34∠∠=，进而根据邻补角性质即可求解．【详解】解：如图l1∥l 2，l 2∥l 3，23∴∠=∠，34∠∠=，24∴∠=∠，∠1＝12632'︒，2418012632∴∠=∠=-︒'︒17960126325328'''=︒-︒=︒，故答案为：5328'︒．【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．18．25【分析】根据平行线的性质知45GFB FED ∠=∠=︒，结合图形求得GFH ∠的度数．【详解】解：∠//AB CD ，∠45GFB FED ∠=∠=︒．∠20HFB ∠=︒，∠452025GFH GFB HFB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：25．【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 19．7或17．【分析】分两种情况讨论，EF 在AB ，CD 之间或EF 在AB ，CD 同侧，进而得出结论．【详解】解：分两种情况：∠当EF 在AB ，CD 之间时，如图：∠AB 与CD 的距离是12cm ，EF 与CD 的距离是5cm ，∠EF 与AB 的距离为12﹣5＝7（cm ）．∠当EF 在AB ，CD 同侧时，如图：∠AB 与CD 的距离是12cm ，EF 与CD 的距离是5cm ，∠EF 与AB 的距离为12+5＝17（cm ）．综上所述，EF 与AB 的距离为7cm 或17cm ．故答案为：7或17．【点睛】此题主要考查线段之间的距离，解题的关键是根据题意分情况作图进行求解．20．20【分析】如图，向下平移2cm ，即AE=2，再向左平移1cm ，即CF=1，由重叠部分为矩形的面积为DE•DF ，即可求两个正方形重叠部分的面积【详解】解：如图，向下平移2cm，即AE=2，则DE=AD-AE=6-2=4cm向左平移1cm，即CF=1，则DF=DC-CF=6-1=5cm则S矩形DEB'F=DE•DF=4×5=20cm2故答案为20【点睛】此题主要考查正方形的性质，平移的性质，关键在理解平移后，图形的位置变化．21．14【分析】利用平移的性质求解即可．【详解】∠△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，∠AD=CF=2，∠四边形ABFD的周长=AB+BC+DF+CF+AD=△ABC的周长+AD+CF=10+2+2=14．故答案为：14．【点睛】本题考查了平移的性质，抓住平移后对应线段相等是解题的关键．22．134°.【分析】过E作EF∠AB，可得AB∠CD∠EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．【详解】过E作EF∠AB，∠AB∠CD，∠AB∠CD∠EF，（平行于同一直线的两直线平行）∠∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，（两直线平行，内错角相等）∠∠C=44°，∠AEC为直角，∠∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∠∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．。

专题16几何综合压轴一．解答题（共20小题）1．（2023•垦利区一模）如图1，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，在DA 上取点E ，使DE DC =，连接BE 、CE ．（1）直接写出CE 与AB 的位置关系；（2）如图2，将BED ∆绕点D 旋转，得到△B E D ''（点B '、E '分别与点B 、E 对应），连接CE '、AB '，在BED ∆旋转的过程中CE '与AB '的位置关系与（1）中的CE 与AB 的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当BED ∆绕点D 顺时针旋转30︒时，射线CE '与AD 、AB '分别交于点G 、F ，若CG FG =，DC =求AB '的长．2．（2023•利津县一模）（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图3，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点(D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ∆和ACF ∆均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ∆的形状并说明理由．3．（2023•宁阳县校级一模）已知，ABC ∆为等边三角形，点D 在边BC 上．【基本图形】如图1，以AD 为一边作等边三角形ADE ∆，连结CE ．可得CE CD AC +=（不需证明）．【迁移运用】如图2，点F 是AC 边上一点，以DF 为一边作等边三角DEF ∆．求证：CE CD CF +=．【类比探究】如图3，点F 是AC 边的延长线上一点，以DF 为一边作等边三角DEF ∆．试探究线段CE ，CD ，CF 三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．4．（2023•博山区一模）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD 中，B ∠为锐角，E 为BC 中点，连接DE ，将菱形ABCD 沿DE 折叠，得到四边形A B ED ''，点A 的对应点为点A '，点B 的对应点为点B '．（1）【观察发现】A D '与B E '是什么位置关系？（2）【思考表达】连接B C '，判断DEC ∠与B CE ∠'是否相等，并说明理由；（3）如图（2），延长DC 交A B ''于点G ，连接EG ，请探究DEG ∠的度数，并说明理由；（4）【综合运用】如图（3），当60B ∠=︒时，连接B C '，延长DC 交A B ''于点G ，连接EG ，请写出B C '，EG ，DG 之间的数量关系，并说明理由．5．（2023•天桥区一模）如图，ABC ∆和DBE ∆的顶点B 重合，90ABC DBE ∠=∠=︒，30BAC BDE ∠=∠=︒，3BC =，2BE =．（1）如图1，当点D ，E 分别在AB ，BC 上时，可以得出结论：AD CE =；直线AD 与直线EC 的位置关系是；（2）如图2，将图1中的DBE ∆绕点B 顺时针旋转一周的过程中，连接AD 、EC ，其所在直线相交于点F ，①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②当DF 的长度最大时，求线段EC 的长度．6．（2023•梁山县一模）在ABC ∆中，D 为BC 中点，BE 、CF 与射线AE 分别相交于点E 、F （射线AE 不经过点)D ．（1）如图①，当//BE CF 时，连接ED 并延长交CF 于点H ．求证：四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②，当BE AE ⊥于点E ，CF AE ⊥于点F 时，分别取AB 、AC 的中点M 、N ，连接ME 、MD 、NF 、ND ．求证：EMD FND ∠=∠．7．（2023•新泰市一模）已知点O 是线段AB 的中点，点P 是直线l 上的任意一点，分别过点A 和点B 作直线l 的垂线，垂足分别为点C 和点D ，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P 与点O 重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC 和OD 的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P 是线段AB 上的任意一点时，“足中距”OC 和OD 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P 是线段BA 延长线上的任意一点时，“足中距”OC 和OD 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若60COD ∠=︒，求证：3AC BD OC +=．8．（2023•郓城县一模）实践与探究操作一：如图①，将矩形纸片ABCD 对折并展开，折痕PQ 与对角线AC 交于点E ，连结BE ，则BE 与AC 的数量关系为．操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B 、C 、G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上，连结AF ，M 为AF 的中点，连结DM 、ME ．求证：DM ME =．拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，连结AF ，M 为AF 的中点，连结DM 、ME 、DE ．已知正方形纸片ABCD 的边长为5，正方形纸片ECGF 的边长为DME ∆的面积为．9．（2023•长清区一模）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一)尝试探究如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上，30EAF ∠=︒，连接EF ．（1）如图2，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转60︒后得到△(A B E A B '''''与AD 重合），请直接写出E AF ∠'=度，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为．（2）如图3，当点E 、F 分别在线段BC 、CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由．（二)拓展延伸如图4，在等边ABC ∆中，E 、F 是边BC 上的两点，30EAF ∠=︒，1BE =，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△(A B E A B '''''与AC 重合），连接EE '，AF 与EE '交于点N ，过点A 作AM BC ⊥于点M ，连接MN ，求线段MN 的长度．10．（2023•成武县校级一模）在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A ，B ，C ，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E 和Q 分别位于AD 和DC 上，且ED QC =．证明两条直路BE AQ =且BE AQ ⊥．”为背景开展数学探究．（1）独立思考：将上题条件中的ED QC =去掉，将结论中的BE AQ ⊥变为条件，其他条件不变，那么BE AQ =还成立吗？请写出答案并说明理由；（2）合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD 内有一点P ，过点P 作EF GH ⊥，点E 、F 分别在正方形的对边AD 、BC 上，点G 、H 分别在正方形的对边AB 、CD 上，那么EF 与GH 相等吗？并说明理由．（3）拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：如图3，将边长为10cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点A 落在DC 的中点E 处，折痕为MN ，点N 在BC 边上，点M 在AD 边上．请你画出折痕，则折痕MN 的长是；线段DM 的长是．11．（2023•菏泽一模）如图①，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，5AB =，12BC =，5CD =，//DE AB ．将EDC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）①当0α=︒时，AE BD =；②当180α=︒时，AE BD =．（2）试判断：当0360α︒ 时，AE BD的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．（3）当EDC ∆旋转到A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．12．（2023•泰山区校级一模）已知ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以AD 为边作ADE ∆，且AD AE =，连接CE ，BAC DAE ∠=∠．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，试说明：①ABD ACE ∆≅∆；②BC DC CE =+；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，探究线段BC 、DC 、CE 之间存在的数量关系，并说明理由．13．（2023•东明县一模）已知ABC ∆是等腰三角形，AB AC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，点A 、点C 的对应点分别是点A '、点C '．感知：如图①，当BC 落在AB 边上时，A AB '∠与C CB '∠之间的数量关系是（不需要证明）；探究：如图②，当BC '不落在AB 边上时，A AB '∠与C CB '∠是否相等？如果不相等，请说明理由．14．（2023•河口区校级一模）如图1所示，边长为4的正方形ABCD 与边长为(04)a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．（1）【问题发现】如图1所示，AE 与BF 的数量关系为；（2）【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG 绕点C 旋转，旋转角为(030)αα<<︒，请问此时上述结论是否还成立？若成立，写出推理过程，若不成立，说明理由；（3）【拓展延伸】当2a =正方形CFEG 若按图1所示位置开始旋转，在正方形CFEG 的旋转过程中，当点A 、F 、C 在一条直线上时，请直接写出此时线段AE 的长．15．（2023•历下区一模）【特例感知】（1）如图1，已知AOB ∆和COD ∆是等边三角形，直接写出线段AC 与BD 的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，AOB ∆和COD ∆是等腰直角三角形，90BAO DCO ∠=∠=︒，请写出线段AC 与BD 的数量关系，并说明理由．【方法运用】如图3，若6AB =，点C 是线段AB 外一动点，AC =，连接BC ．若将CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到CD ，连接AD ，求出AD 的最大值．16．（2023•泰山区校级一模）如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是射线CB 和射线DC 上的动点，且始终45MAN ∠=︒．（1）如图1，当点M 、N 分别在线段BC 、DC 上时，请直接写出线段BM 、MN 、DN 之间的数量关系；（2）如图2，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，若6CN CD ==，设BD 与AM 的延长线交于点P ，交AN 于Q ，直接写出AQ 、AP 的长．17．（2023•岱岳区校级一模）如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE ∆≅∆；（2）求FAE ∠的度数；（3）求证：2CD BF DE =+．18．（2023•泰山区校级一模）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1所示，点M ，N 分别在线段AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，6AB =求线段AM 的长；（2）如图2所示，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且BE AF =，求证：DEF ∆是等腰直角三角形；（3）如图3所示，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN +=．19．（2023•东营区校级一模）如图1，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将CDE ∆绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当0α=︒时，AE BD =；②当180α=︒时，AE BD =．（2）拓展探究试判断：当0360α︒<︒ 时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决CDE ∆绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．20．（2023•泰山区校级一模）在ABC ∆中，AB BC =，点O 是AC 的中点，点P 是AC 上的一个动点（点P 不与点A ，O ，C 重合）．过点A ，点C 作直线BP 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接OE ，OF ．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当90∠=︒时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由ABC（3）若||2-=，EF=，当POFCF AE∆为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．专题16几何综合压轴一．解答题（共20小题）1．（2023•垦利区一模）如图1，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，在DA 上取点E ，使DE DC =，连接BE 、CE ．（1）直接写出CE 与AB 的位置关系；（2）如图2，将BED ∆绕点D 旋转，得到△B E D ''（点B '、E '分别与点B 、E 对应），连接CE '、AB '，在BED ∆旋转的过程中CE '与AB '的位置关系与（1）中的CE 与AB 的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当BED ∆绕点D 顺时针旋转30︒时，射线CE '与AD 、AB '分别交于点G 、F ，若CG FG =，DC =求AB '的长．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，45ABC DAB ∠=∠=︒，45DCE DEC AEH ∠=∠=∠=︒，可得结论；（2）通过证明ADB CDE ''∆∆∽，可得DAB DCE ''∠=∠，由余角的性质可得结论；（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB '=，即可求解．【详解】解：（1）如图1，延长CE 交AB 于H ，45ABC ∠=︒ ，AD BC ⊥，90ADC ADB ∴∠=∠=︒，45ABC DAB ∠=∠=︒，DE CD = ，45DCE DEC AEH ∴∠=∠=∠=︒，90BHC BAD AEH ∴∠=∠+∠=︒，CE AB ∴⊥；（2）在BED ∆旋转的过程中CE '与AB '的位置关系与（1）中的CE 与AB 的位置关系是一致，理由如下：如图2，延长CE '交AB '于H ，由旋转可得：CD DE '=，B D AD '=，90ADC ADB ∠=∠=︒ ，CDE ADB ''∴∠=∠，又 1CD AD DE DB ==''，ADB CDE ''∴∆∆∽，DAB DCE ''∴∠=∠，90DCE DGC '∠+∠=︒ ，90DAB AGH '∴∠+∠=︒，90AHC ∴∠=︒，CE AB ''∴⊥；（3）如图3，过点D 作DH AB '⊥于点H ，BED ∆ 绕点D 顺时针旋转30︒，30BDB '∴∠=︒，B D BD AD '==，120ADB '∴∠=︒，30DAB AB D ''∠=∠=︒，DH AB '⊥ ，2AD DH ∴=，AH B H '==，AB '∴=，由（2）可知：ADB CDE ''∆∆∽，30DCE DAB ''∴∠=∠=︒，AD BC ⊥ ，CD =，1DG ∴=，22CG DG ==，2CG FG ∴==，30DAB '∠=︒ ，CE AB ''⊥，24AG GF ∴==，415AD AG DG ∴=+=+=，AB '∴==2．（2023•利津县一模）（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图3，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点(D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ∆和ACF ∆均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ∆的形状并说明理由．【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得90BDA CEA ∠=∠=︒，而90BAC ∠=︒，根据等角的余角相等得CAE ABD ∠=∠，然后根据“AAS ”可判断ADB CEA ∆≅∆，则AE BD =，AD CE =，于是DE AE AD BD CE =+=+；（2）由BDA AEC BAC ∠=∠=∠，就可以求出BAD ACE ∠=∠，进而由AAS 就可以得出BAD ACE ∆≅∆，就可以得出BD AE =，DA CE =，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出120BAC ∠=︒，就可以得出BAD ACE ∆≅∆，就有BD AE =，进而得出BDF AEF ∆≅∆，得出DF EF =，BFD AFE ∠=∠，而得出60DFE ∠=︒，就有DEF ∆为等边三角形．【详解】解：（1）如图1，BD ⊥ 直线m ，CE ⊥直线m ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAD CAE ∴∠+∠=︒90BAD ABD ∠+∠=︒ ，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，AD CE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+；（2）如图2，BDA BAC α∠=∠= ，180DBA BAD BAD CAE α∴∠+∠=∠+∠=︒-，DBA CAE ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，AD CE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+；（3）如图3，由（2）可知，ADB CEA ∆≅∆，BD AE ∴=，DBA CAE ∠=∠，ABF ∆ 和ACF ∆均为等边三角形，60ABF CAF ∴∠=∠=︒，BF AF =，DBA ABF CAE CAF ∴∠+∠=∠+∠，DBF FAE ∴∠=∠，在DBF ∆和EAF ∆中，BD AE DBF EAF BF AF =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()DBF EAF SAS ∴∆≅∆，DF EF ∴=，BFD AFE ∠=∠，60DFE DFA AFE DFA BFD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，DEF ∴∆为等边三角形．3．（2023•宁阳县校级一模）已知，ABC ∆为等边三角形，点D 在边BC 上．【基本图形】如图1，以AD 为一边作等边三角形ADE ∆，连结CE ．可得CE CD AC +=（不需证明）．【迁移运用】如图2，点F 是AC 边上一点，以DF 为一边作等边三角DEF ∆．求证：CE CD CF +=．【类比探究】如图3，点F 是AC 边的延长线上一点，以DF 为一边作等边三角DEF ∆．试探究线段CE ，CD ，CF 三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．【分析】【基本图形】证明CAE BAD ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到CE BD =，证明结论；【迁移运用】过点D 作//DG AB ，交AC 于点G ，证明CDE GDF ∆≅∆，得到CE GF =，证明结论；【类比探究】过点D 作//DG AC ，交AB 于点G ，仿照【迁移运用】的证明方法证明即可．【详解】【基本图形】证明：ABC ∆ 与ADE ∆都是等边三角形，AB AC BC ∴==，60BAC ∠=︒，AD AE =，60DAE ∠=︒，DAE CAD BAC CAD ∴∠-∠=∠-∠，即CAE BAD ∠=∠，在CAE ∆与BAD ∆中，AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CAE BAD SAS ∴∆≅∆，CE BD ∴=，CE CD BD CD BC ∴+=+=，AC BC = ，CE CD AC ∴+=；【迁移运用】证明：如图2，过点D 作//DG AB ，交AC 于点G，ABC ∆ 是等边三角形，60ACB A B ∴∠=∠=∠=︒，//DG AB ，60CGD A ∴∠=∠=︒，60CDG B ∠=∠=︒，CDG ∴∆为等边三角形，CD DG CG ∴==，DEF ∆ 为等边三角形，DE DF ∴=，60EDF ∠=︒，CDG EDG EDF EDG ∠-∠=∠-∠ ，即CDE FDG ∠=∠，在CDE ∆与GDF ∆中，DC DG CDE GDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDE GDF SAS ∴∆≅∆，CE GF ∴=，CE CD GF CG CF ∴+=+=；【类比探究】CD CF CE +=，理由如下：如图3，过点D 作//DG AB ，交AC 于点G ，ABC ∆ 是等边三角形，60ACB A B ∴∠=∠=∠=︒，//DG AB ，60CGD A ∴∠=∠=︒，60CDG B ∠=∠=︒，CDG ∴∆为等边三角形，CD DG CG ∴==，DEF ∆ 为等边三角形，DE DF ∴=，60FDE ∠=︒，GDC CDF EDF CDF ∠+∠=∠+∠ ，即GDF CDE ∠=∠，在CDE ∆与GDF ∆中，DC DG CDE GDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDE GDF SAS ∴∆≅∆，CE GF ∴=，GF CF CG CF CD =+=+ ，CD CF CE ∴+=．4．（2023•博山区一模）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD 中，B ∠为锐角，E 为BC 中点，连接DE ，将菱形ABCD 沿DE 折叠，得到四边形A B ED ''，点A 的对应点为点A '，点B 的对应点为点B '．（1）【观察发现】A D '与B E '是什么位置关系？（2）【思考表达】连接B C '，判断DEC ∠与B CE ∠'是否相等，并说明理由；（3）如图（2），延长DC 交A B ''于点G ，连接EG ，请探究DEG ∠的度数，并说明理由；（4）【综合运用】如图（3），当60B ∠=︒时，连接B C '，延长DC 交A B ''于点G ，连接EG ，请写出B C '，EG ，DG 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用翻折变换的性质判断即可；（2）结论：DEC B CE '∠=∠．证明//DE CB '即可；（3）证明GC GB ='，推出EG CB ⊥'，即可解决问题．（4）结论：2224916DG EG B C =+'．如图（3）中，延长DG 交EB '的延长线于点T ，过点D 作DR GA ⊥'交GA '的延长线于点R ．想办法证明74DE CB ='，可得结论．【详解】解：（1）如图（1）中，由翻折的性质可知，//A D B E ''．故答案为：//A D B E ''；（2）结论：DEC B CE '∠=∠．理由：如图（2）中，连接BB '．EB EC EB ==' ，90BB C ∴∠'=︒，BB B C ∴'⊥'，由翻折变换的性质可知BB DE '⊥，//DE CB ∴'，DEC B CE ∴∠=∠'；（3）结论：90DEG ∠=︒．理由：如图（2）中，连接DB ，DB '，由翻折的性质可知BDE B DE ∠=∠'，设BDE B DE x ∠=∠'=，A A y ∠=∠'=．四边形ABCD 是菱形，ADB CDB B DA ∴∠=∠=∠''，2A DG BDB x ∴∠'=∠'=，1802DGA x y ∴∠'=︒--，BEB EBD EB D BDB ∠'=∠+∠'+∠' ，1802BEB y x ∴∠'=︒-+，EC EB =' ，119022EB C ECB BEB y x ∴∠'=∠'=∠'=︒-+，11180(90)9022GB C A B E EB C y y x y x ∴∠'=∠''-∠'=︒--︒-+=︒--，2CGA GB C ∴∠'=∠'，CGA GB C GCB ∠'=∠'+∠' ，GB C GCB ∴∠'=∠'，GC GB ∴='，EB EC '= ，EG CB ∴⊥'，//DE CB ' ，DE EG ∴⊥，90DEG ∴∠=︒；（4）结论：2224916DG EG B C =+'．理由：如图（3）中，延长DG 交EB '的延长线于点T ，过点D 作DR GA ⊥'交GA '的延长线于点R ．设GC GB x ='=，2CD A D A B a ='=''=，60B ∠=︒ ，120A DA B ∴∠=∠''=︒，60DA R ∴∠'=︒，cos 60A R A D a ∴'='⋅︒=，DR =，在Rt DGR ∆中，则有222(2))(3)a x a x +=+-，45x a ∴=，45GB a ∴'=，65A G a '=，//TB DA '' ，∴TB GB DA GA ''=''，∴45625a TB a a '=，43TB a ∴'=，//CB DE ' ，∴443473a CB TB DE ET a a ''===+，74DE CB ∴='，90DEG ∠=︒ ，222DG EG DE ∴=+，2224916DG EG B C ∴=+'．5．（2023•天桥区一模）如图，ABC ∆和DBE ∆的顶点B 重合，90ABC DBE ∠=∠=︒，30BAC BDE ∠=∠=︒，3BC =，2BE =．（1）如图1，当点D ，E 分别在AB ，BC 上时，可以得出结论：AD CE =；直线AD 与直线EC 的位置关系是；（2）如图2，将图1中的DBE ∆绕点B 顺时针旋转一周的过程中，连接AD 、EC ，其所在直线相交于点F ，①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②当DF 的长度最大时，求线段EC 的长度．【分析】（1）解直角三角形求出EC ，AD ，可得结论；（2）结论不变，证明ABD CBE ∆∆∽，推出3AD AB EC BC==ADB BEC ∠=∠，可得结论；（3）因为AD CE ⊥，推出90DFE ∠=︒，推出4DF DE =，推出当DF 与DE 重合时，DF 的值最大，分两种情形分别求解即可．【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，3BC =，30A ∠=︒，333AB ∴==，在Rt BDE ∆中，30BDE ∠=︒，2BE =，33BD BE ∴==，1EC ∴=，3AD =，∴3AD EC=，此时AD EC ⊥，3（2）结论成立．理由：90ABC DBE ∠=∠=︒ ，ABD CBE ∴∠=∠，3AB BC = ，3BD BE =，∴AB DB BC EB=，ABD CBE ∴∆∆∽，∴3AD AB EC BC ==，ADB BEC ∠=∠，180ADB CDB ∠+∠=︒ ，180CDB BEC ∴∠+∠=︒，180DBE DCE ∴∠+∠=︒，90DBE ∠=︒ ，90DCE ∴∠=︒，AD EC ∴⊥；（3）如图2中，90DBE ∠=︒ ，2BE =，30BDE ∠=︒，24DE BE ∴==，AD CE ⊥ ，90DFE ∴∠=︒，4DF DE ∴= ，∴当DF 与DE 重合时，DF 的值最大，如图3中，设EC x =，则AD =，90ABC ∠=︒ ，3BC =，30BAC ∠=︒，26AC BC ∴==，222AC AE EC =+ ，2226(4)x ∴=++，解得x =（负根已经舍去），EC ∴=如图4中，设EC y =，则AD =，则22264)y =+-，解得y =，EC ∴=+综上所述，EC的值为322+或223．6．（2023•梁山县一模）在ABC∆中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点)D．（1）如图①，当//BE CF时，连接ED并延长交CF于点H．求证：四边形BECH是平行四边形；（2）如图②，当BE AE⊥于点E，CF AE⊥于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、∠=∠．ND．求证：EMD FND【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得DBE DCH=，∠=∠，然后依据AAS求得BDE CDH∆≅∆得出ED HD 最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME DN=，∠=∠．∆≅∆，最后根据全等三角形的对应角相等求得EMD FND =，进而根据SSS即可证明MED NDFMD NF【详解】证明：（1）如图①，D为BC的中点，∴=，BD CD//，BE CF∴∠=∠，DBE DCH在BDE∆与CDH∆中，DBE DCH BDE CDH BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CDH AAS ∴∆≅∆，ED HD ∴=，∴四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②连接FD 、ED ，延长ED 交CF 于点H ，BE AE ⊥ ，CF AE ⊥，//BE CF ∴，由（1）可知ED HD =，又CF AE ⊥ ，ED FD ∴=（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， 在RT AEB ∆中，M 是AB 的中点，12ME AB ∴=， 在ABC ∆中，D 、N 分别是BC 、AC 的中点，12DN AB ∴=，ME DN ∴=，同理，MD NF =，在MED ∆与NDF ∆中，ED FD ME DN MD NF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()MED NDF SSS ∴∆≅∆，EMD FND ∴∠=∠．7．（2023•新泰市一模）已知点O 是线段AB 的中点，点P 是直线l 上的任意一点，分别过点A 和点B 作直线l 的垂线，垂足分别为点C 和点D ，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P 与点O 重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC 和OD 的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P 是线段AB 上的任意一点时，“足中距”OC 和OD 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P 是线段BA 延长线上的任意一点时，“足中距”OC 和OD 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若60COD ∠=︒，求证：3AC BD OC +=．【分析】（1）猜想：OC OD =．证明Rt AOC BOD(AAS)∆≅∆，可得结论．（2）结论成立．过点O 作直线//EF CD ，交AC 的延长线点E ，证明()COE DOF SAS ∆≅，可得结论．（3）①结论成立．如图3中，延长CO 交BD 于点E ，证明CO OE =，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即可．【详解】（1）解：猜想：OC OD =．理由：如图1中，AC CD ⊥ ，BD CD ⊥，90ACO BDO ∴∠=∠=︒，点O 是线段AB 的中点，OA OB ∴=，在AOC ∆与BOD ∆中，ACO BDO AOC DOB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD AAS ∴∆≅∆，OC OD ∴=，故答案为：OC OD =；（2）解：“足中距”OC 和OD 数量关系依然成立．理由：如图，过点O 作直线//EF CD ，交AC 的延长线于点E ，交BD 于F，//EF CD ，90DCE E CDF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CEFD 为矩形，90OFD ∴∠=︒，CE DF =，由（1）同理得，OE OF =，在COE ∆与DOF ∆中，CE DF CEO DFO OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()COE DOF SAS ∴∆≅，OC OD ∴=；（3）①解：“足中距”OC 和OD 的数量关系依然成立．理由：如图3中，延长CO 交DB 的延长线于点E，AC CD ⊥ ，BD CD ⊥，//AC BD ∴，ACO E ∴∠=∠，点O 为AB 的中点，AO BO ∴=，又AOC BOE ∠=∠ ，()AOC BOE AAS ∴∆≅∆，CO OE ∴=，90CDE ∠=︒ ，12OD CE OC ∴==；②证明：如图3中，60COD ∠=︒ ，OD OC =，COD ∴∆是等边三角形，CD OC ∴=，60OCD ∠=︒，90CDE ∠=︒ ，tan 60DE CD∴︒=，DE ∴=，AOC BOE ∆≅∆ ，AC BE ∴=，AC BD BD BE DE ∴+=+==，AC BD ∴+=．8．（2023•郓城县一模）实践与探究操作一：如图①，将矩形纸片ABCD 对折并展开，折痕PQ 与对角线AC 交于点E ，连结BE ，则BE 与AC 的数量关系为．操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B 、C 、G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上，连结AF ，M 为AF 的中点，连结DM 、ME ．求证：DM ME =．拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，连结AF ，M 为AF 的中点，连结DM 、ME 、DE ．已知正方形纸片ABCD 的边长为5，正方形纸片ECGF 的边长为DME ∆的面积为．【分析】操作一：由折叠可知AE BE =，AE EC =，则可得BE EC AE ==，即可求得12BE AC =；操作二：延长EM 与AD 交于点N ，通过证明()AMN FME AAS ∆≅∆，推导出DM ME =；拓展延伸：连接AC ，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，推导出DME ∆是等腰直角三角形，求出26ME =即可求面积．【详解】操作一：解：由折叠可知，AE BE =，P 是CD 的中点，//PE AD ，E ∴是AC 的中点，AE EC ∴=，BE EC AE ∴==，12BE AC ∴=，故答案为：12BE AC =；操作二：证明：延长EM 与AD 交于点N ，四边形ABCD 是矩形，90ADE ∴∠=︒，四边形ECGF 是正方形，90FEC ∴∠=︒，90DEF ∴∠=︒，ADE DEF ∴∠=∠，//AD EF ∴，DAM MFE ∴∠=∠，ANM FEN ∠=∠，M 是AF 的中点，AM MF ∴=，()AMN FME AAS ∴∆≅∆，MN ME ∴=，90NDE ∠=︒ ，12DM NE MN ME ∴===，DM ME ∴=；拓展延伸：解：连接AC ，45DCA ∴∠=︒，45ECF ∠=︒ ，E ∴点在AC 上，90FEA ∴∠=︒，在Rt ADF ∆中，M 是AF 的中点，AM MF DM ∴==，DAM ADM ∴∠=∠，2DMF DAM ∴∠=∠，在Rt AEF ∆中，M 是AF 的中点，AM FM ME ∴==，DM ME ∴=，MAE MEA ∴∠=∠，2FME MAE ∴∠=∠，2290DME DAM MAE ∴∠=∠+∠=︒，DME ∴∆是等腰直角三角形，5AD = ，AC ∴=，EC = ，AE ∴=，在Rt AEF ∆中，AF =，262ME ∴=，DME ∴∆的面积为134，故答案为：134．9．（2023•长清区一模）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一)尝试探究如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上，30EAF ∠=︒，连接EF ．（1）如图2，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转60︒后得到△(A B E A B '''''与AD 重合），请直接写出E AF ∠'=度，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为．（2）如图3，当点E 、F 分别在线段BC 、CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由．（二)拓展延伸如图4，在等边ABC ∆中，E 、F 是边BC 上的两点，30EAF ∠=︒，1BE =，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△(A B E A B '''''与AC 重合），连接EE '，AF 与EE '交于点N ，过点A 作AM BC ⊥于点M ，连接MN ，求线段MN 的长度．【分析】（一)（1）根据图形旋转前后对应边相等，对应角相等，判定AEF ∆≅△AE F '，进而根据线段的和差关系得出结论；（2）先在BE 上截取BG DF =，连接AG ，构造ABG ADF ∆≅∆，进而利用全等三角形的对应边相等，对应角相等，判定GAE FAE ∆≅∆，最后根据线段的和差关系得出结论；（二)先根据旋转的性质判定AEE ∆'是等边三角形，进而利用等边ABC ∆、等边AEE ∆'的三线合一的性质，得到AN AM AE AB=和BAE MAN ∠=∠，最后判定BAE MAN ∆∆∽，并根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求得MN 的长．【详解】解：（一)（1）如图2，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转60︒后得到△A B E '''，则12∠=∠，BE DE ='，AE AE ='，60BAD ∠=︒ ，30EAF ∠=︒，1330∴∠+∠=︒，2330∴∠+∠=︒，即30FAE ∠'=︒EAF FAE ∴∠=∠'，在AEF ∆和△AE F '中，AE AE EAF FAE AF AF ='⎧⎪∠=∠'⎨⎪=⎩，AEF ∴∆≅△()AE F SAS '，EF E F ∴='，即EF DF DE =+'，EF DF BE ∴=+，即线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为BE DF EF +=，故答案为：30，BE DF EF +=；（2）如图3，在BE 上截取BG DF =，连接AG ，在ABG ∆和ADF ∆中，AB AD ABE ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG ADF SAS ∴∆≅∆，BAG DAF ∴∠=∠，且AG AF =，30DAF DAE ∠+∠=︒ ，30BAG DAE ∴∠+∠=︒，60BAD ∠=︒ ，603030GAE ∴∠=︒-︒=︒，GAE FAE ∴∠=∠，在GAE ∆和FAE ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GAE FAE SAS ∴∆≅∆，GE FE ∴=，又BE BG GE -= ，BG DF =，BE DF EF ∴-=，即线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为BE DF EF -=；（二)如图4，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△A B E '''，则AE AE ='，60EAE ∠'=︒，AEE ∴∆'是等边三角形，又30EAF ∠=︒ ，AN ∴平分EAE '∠，AN EE ∴⊥'，∴直角三角形ANE中，AN AE =， 在等边ABC ∆中，AM BC ⊥，30BAM ∴∠=︒，∴AM AB =，且30BAE EAM ∠+∠=︒，∴AN AM AE AB =，又30MAN EAM ∠+∠=︒ ，BAE MAN ∴∠=∠，BAE MAN ∴∆∆∽，∴MN AM BE AB=，即312MN =，32MN ∴=．10．（2023•成武县校级一模）在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A ，B ，C ，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E 和Q 分别位于AD 和DC 上，且ED QC =．证明两条直路BE AQ =且BE AQ ⊥．”为背景开展数学探究．（1）独立思考：将上题条件中的ED QC =去掉，将结论中的BE AQ ⊥变为条件，其他条件不变，那么BE AQ =还成立吗？请写出答案并说明理由；（2）合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD 内有一点P ，过点P 作EF GH ⊥，点E 、F 分别在正方形的对边AD 、BC 上，点G 、H 分别在正方形的对边AB 、CD 上，那么EF 与GH 相等吗？并说明理由．（3）拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：如图3，将边长为10cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点A 落在DC 的中点E 处，折痕为MN ，点N 在BC 边上，点M 在AD 边上．请你画出折痕，则折痕MN 的长是；线段DM 的长是．【分析】（1）根据BE AQ ⊥可求出AEB AQD ∠=∠，再由AB AD =，90BAE ADQ ∠=∠=︒，可证明ABE DAQ ∆≅∆，则结论得出；（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作//BM EF 交AD 于M ，作//AN GH 交CD 于N ，那么BM EF =，AN GH =，（1）中我们已证得ABM ∆、DAN ∆全等，那么BM AN =，即EF GH =；（3）求出AE 长，由（2）可知MN AE =，设DM xcm =，则(10)AM ME x cm ==-．将所有未知量转化到直角三角形DME 中，利用勾股定理解答即可．【详解】（1）解：BE AQ =，理由如下：BE AQ ⊥ ，90AEB DAQ AQD ∴∠=︒-∠=∠，又AB AD = ，90BAE QDA ∠=∠=︒，()ABE DAF AAS ∴∆≅∆，BE AQ ∴=；（2）解：EF GH =，理由如下：如图1，作//BM EF 交AD 于M ，作//AN GH 交CD 于N ，//AB CD ，//AD BC ，∴四边形AGHN 四边形BMEF 都是平行四边形，BM EF ∴=，AN GH =，由（1）知，BM AN =，EF GH ∴=；（3）解：如图2，E 为DC 的中点，5DE cm ∴=，∴222210555AE AD DE cm +=+=，MN AE ⊥ ，由（2）可知，55MN AE cm ∴==，设DM xcm =，则(10)AM ME x cm ==-．在Rt DME ∆中，222DM DE ME +=，即2225(10)x x +=-，解得154x =．∴线段DM 的长为154cm ．故答案为：55cm ，154cm ．11．（2023•菏泽一模）如图①，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，5AB =，12BC =，5CD =，//DE AB ．将EDC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）①当0α=︒时，AE BD =；②当180α=︒时，AE BD =．（2）试判断：当0360α︒ 时，AE BD的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．（3）当EDC ∆旋转到A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD的长．【分析】（1）①分别求出AE ，BD ，即可求解；②由平行线分线段成比例可求解；（2）通过证明ECA DCB ∆∆∽，可证1312AE AC BD BC ==．（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）①当0α=︒时，Rt ABC ∆ 中，90B ∠=︒，13AC ∴==，//DE AB ，CDE CBA ∴∆∆∽，∴EC CD ED AC BC AB==，513651212EC ⨯∴==，2512DE =，9112AE ∴=，∴91131212512AE BD ==-；②如图①1-，当180α=︒时，可得//AB DE ， AC BC AE BD=，∴1312AE AC BD BC ==，故答案为：1312，1312；（2）当090α︒<︒ 时，AE BD 的大小没有变化，ECD ACB ∠=∠ ，ECA DCB ∴∠=∠，又 1312EC AC DC BC ==，ECA DCB ∴∆∆∽，∴1312AE AC BD BC ==．（3）①如图③，13AC = ，5CD =，CD AD ⊥，12AD ∴===，AD BC = ，AB DC =，90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，13BD AC ∴==；②如图④，13AC = ，5CD =，CD AD ⊥，12AD ∴===，2512DE =，11912AE ∴=，由（2）可得1312AE AC BD BC ==．11913BD ∴=．综上所述，BD 的长为13或11913．12．（2023•泰山区校级一模）已知ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以AD 为边作ADE ∆，且AD AE =，连接CE ，BAC DAE ∠=∠．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，试说明：①ABD ACE ∆≅∆；②BC DC CE =+；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，探究线段BC 、DC 、CE 之间存在的数量关系，并说明理由．【分析】（1）先判断出BAD CAE ∠=∠，进而用SAS 判断出ABD ACE ∆≅∆，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论．【详解】解：（1）①BAC DAE ∠=∠ ，BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACE ∴∆≅∆；②由①知，ABD ACE ∆≅∆，BD CE ∴=，BC BD CD CE CD ∴=+=+；（2）BAC DAE ∠=∠ ，BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACE ∴∆≅∆；BD CE ∴=，BC BD CD CE CD ∴=-=-．13．（2023•东明县一模）已知ABC ∆是等腰三角形，AB AC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，点A 、点C 的对应点分别是点A '、点C '．感知：如图①，当BC 落在AB 边上时，A AB '∠与C CB '∠之间的数量关系是（不需要证明）；探究：如图②，当BC '不落在AB 边上时，A AB '∠与C CB '∠是否相等？如果不相等，请说明理由．【分析】感知：由旋转的性质可证BCC '∆、BAA '∆是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案；探究：由旋转知BC BC BA BA '='，可证明△A BA '∽△C BC '∠，即可得到结论；【详解】解：感知： 将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，A BA C BC ''∴∠=∠，又A B AB '= ，C B BC '=，BCC '∴∆、BAA '∆都是等腰三角形，∴18018022A BA C BC A ABC CB ''︒-∠︒-∠''∠===∠，即A AB C CB ''∠=∠，故答案为：相等；探究：A AB C CB ''∠=∠，证明如下： 将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，A B AB '∴=，C B BC '=，A BA C BC ''∠=∠，∴BC BC BA BA '='，∴△A BA '∽△C BC '，A ABC CB ''∴∠=∠．14．（2023•河口区校级一模）如图1所示，边长为4的正方形ABCD 与边长为(04)a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．（1）【问题发现】如图1所示，AE 与BF 的数量关系为；（2）【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG 绕点C 旋转，旋转角为(030)αα<<︒，请问此时上述结论是否还成。

2023年菏泽市初中学业水平考试一,选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.下列运算正确的是（）A.632a a a ÷= B.235a a a ⋅= C.()23622a a = D.()222a b a b +=+3.一把直尺和一个含30︒角的直角三角板按如图方式放置,若120∠=︒,则2∠=（）A.30︒B.40︒C.50︒D.60︒4.实数a ,b ,c 在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是（）A .()0c b a -< B.()0b c a -< C.()0a b c -> D.()0a c b +>5.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的,它的主视图是（）A.B.C.D.6.一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x ，,则1211+x x 的值为（）A.32B.3- C.3D.32-7.ABC 的三边长a ,b ,c满足2()|0a b c --=,则ABC 是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C --等都是三倍点”,在31x -<<的范围内,若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”,则c 的取值范围是（）A.114c -≤< B.43c -≤<- C.154c -<< D.45c -≤<二,填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分,只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9.因式分解：24m m -=______．10.计算：0|2|2sin 602023-+︒-=___________．11.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为__________．12.如图,正八边形ABCDEFGH 的边长为4,以顶点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则阴影部分的面积为__________（结果保留π）．13.如图,点E 是正方形ABCD 内的一点,将ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到CBF V ．若55ABE ∠=︒,则EGC ∠=__________度．14.如图,在四边形ABCD 中,90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<,点E 在线段BC 上运动,点F 在线段AE 上,ADF BAE =∠∠,则线段BF 的最小值为__________．三,解答题（本题共78分,把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15.解不等式组：()5231,32232x x x x x ⎧-<+⎪⎨--≥+⎪⎩．16.先化简,再求值：223x x xx y x y x y⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭,其中x ,y 满足230x y +-=．17.如图,在ABCD Y 中,AE 平分BAD ∠,交BC 于点E ,CF 平分BCD ∠,交AD 于点F ．求证：AE CF =．18.无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测最大楼的高度BC ,无人机在空中点P 处,测得点P 距地面上A 点80米,点A 处俯角为60︒,楼顶C 点处的俯角为30︒,已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ,B ,C ,P 在同一平面内）,求大楼的高度BC （结果保留根号）19.某班学生以跨学科主题学习为载体,综合运用体育,数学,生物学等知识,研究体育课的运动负荷,在体育课基本部分运动后,测量统计了部分学生的心率情况,按心率次数x （次/分钟）分为如下五组：A 组：5075x ≤<,B 组：75100x ≤<,C 组：100125x ≤<,D 组：125150x ≤<,E 组：150175x ≤≤．其中,A 组数据为73,65,74,68,74,70,66,56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示）,请结合统计图解答下列问题：（1）A 组数据的中位数是_______,众数是_______,在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是_______度.（2）补全学生心率频数分布直方图.（3）一般运动的适宜行为为100150x ≤<（次/分钟）,学校共有2300名学生,请你依据此次跨学科项目研究结果,估计大约有多少名学生达到适宜心率？20.如图,已知坐标轴上两点()()0,4,2,0A B ,连接AB ,过点B 作BC AB ⊥,交反比例函数ky x=在第一象限的图象于点(,1)C a ．（1）求反比例函数ky x=和直线OC 的表达式.（2）将直线OC 向上平移32个单位,得到直线l ,求直线l 与反比例函数图象的交点坐标．21.某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A ,B 两块（如图所示）,花园里种满牡丹和芍药,学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积.（2）在花园面积最大的条件下,A ,B 两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹？22.如图,AB 为O 的直径,C 是圆上一点,D 是 BC的中点,弦DE AB ⊥,垂足为点F ．（1）求证：BC DE =.（2）P 是»AE 上一点,6,2AC BF ==,求tan BPC ∠.（3）在（2）的条件下,当CP 是ACB ∠的平分线时,求CP 的长．23.（1）如图1,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,AE DF ⊥,垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,AE DF =,延长BC 到点H ,使CH DE =,连接DH ．求证：ADF H ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3,在菱形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,11AE DF ==,8DE =,60AED ∠=︒,求CF 的长．24.已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点()0,4C,其对称轴为32x =-．（1）求抛物线的表达式.（2）如图1,点D 是线段OC 上的一动点,连接AD BD ，,将ABD △沿直线AD 翻折,得到AB D 'V ,当点B '恰好落在抛物线的对称轴上时,求点D 的坐标.（3）如图2,动点P 在直线AC 上方的抛物线上,过点P 作直线AC 的垂线,分别交直线AC ,线段BC 于点E ,F ,过点F 作FG x ⊥轴,垂足为G ,求2FG FP 的最大值．2023年菏泽市初中学业水平考试一,选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．既是轴对称图形,也是中心对称图形,故A 符合题意.B ．是轴对称图形,不是中心对称图形,故B 不符合题意.C ．不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故C 不符合题意.D ．不是轴对称图形,是中心对称图形,故D 不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心．2.下列运算正确的是（）A.632a a a ÷=B.235a a a ⋅= C.()23622a a = D.()222a b a b +=+【答案】B【分析】利用同底数幂的乘除法,积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．【详解】解：A ,633a a a ÷=,故选项错误.B ,235a a a ⋅=,故选项正确.C ,()23624a a =,故选项错误.D ,()2222a b a ab b +=++,故选项错误.故选：B ．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算,同底数幂的乘除法,积的乘方,幂的乘方以及完全平方公式,正确掌握相关乘法公式是解题关键．3.一把直尺和一个含30︒角的直角三角板按如图方式放置,若120∠=︒,则2∠=（）A.30︒B.40︒C.50︒D.60︒【答案】B【分析】根据平行线的性质,得出3120∠=∠=︒,进而260340Ð=°-Ð=°．【详解】由图知,3120∠=∠=︒∴2603602040Ð=°-Ð=°-°=°故选：B【点睛】本题考查平行线的性质,特殊角直角三角形,由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键．4.实数a ,b ,c 在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是（）A.()0c b a -<B.()0b c a -<C.()0a b c ->D.()0a cb +>【答案】C【分析】根据数轴可得,0a b c <<<,再根据0a b c <<<逐项判定即可．【详解】由数轴可知0a b c <<<.∴()0c b a ->,故A 选项错误.∴()0b c a ->,故B 选项错误.∴()0a b c ->,故C 选项正确.∴()0a c b +<,故D 选项错误.故选：C ．【点睛】本题考查实数与数轴,根据0a b c <<<进行判断是解题关键．5.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的,它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．【详解】解：从正面看该几何体,有三列,第一列有2层,第二和第三列都只有一层,如图所示：故选：A ．【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图,熟知三视图的定义是解题的关键．6.一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x ，,则1211+x x 的值为（）A.32B.3- C.3 D.32-【答案】C【分析】先求得123x x +=-,121x x ⋅=-,再将1211+x x 变形,代入12x x +与12x x ⋅的值求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x 、.∴123x x +=-,121x x ⋅=-∴1211+x x 1212x x x x +=31=--3=．故选C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,牢记12b x x a+=-,12cx x a ⋅=是解决本题的关键．7.ABC 的三边长a ,b ,c 满足2()23|320a b a b c ----=,则ABC 是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于a ,b ,c 的等式,从而分别计算得到a ,b ,c 的值,再由222+=a b c 的关系,可推导得到ABC 为直角三角形．【详解】解∵2()23|32|0a b a b c -+---=又∵()20230320a b a b c ⎧-≥--≥-≥⎪⎩∴()2000a b c ⎧-==-=⎪⎩.∴02300a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-=⎩解得33a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.∴222+=a b c ,且a b =.∴ABC 为等腰直角三角形.故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识,求解的关键是熟练掌握非负数的和为0,每一个非负数均为0,和勾股定理逆定理．8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C --等都是三倍点”,在31x -<<的范围内,若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”,则c 的取值范围是（）A.114c -≤< B.43c -≤<- C.154c -<< D.45c -≤<【答案】D【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为3y x =,根据二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”转化为2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点,求0∆≥,再根据3x =-和1x =时两个函数值大小即可求出．【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为3y x =.在31x -<<的范围内,二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”.即在31x -<<的范围内,2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点.令23x x x c =--+,整理得：240x x c --+=.则()()22444116+40b ac c c ∆---⨯-⨯≥===,解得4c ≥-.42x±=-.∴12x =-+22x =--∴321-<-+<或321-<--当321-<-+<时,13-<<,即03≤<,解得45c -≤<.当321-<-<时,31-<<,即01≤<,解得43c -≤<-.综上,c 的取值范围是45c -≤<.故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题,熟练掌握相关性质是关键．二,填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分,只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9.因式分解：24m m -=______．【答案】()4-m m 【分析】直接提取公因式m ,进而分解因式即可．【详解】解：m 2-4m =m (m -4)．故答案为：m (m -4)．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键．10.计算：0|2|2sin 602023-+︒-=___________．【答案】1【分析】根据先计算绝对值,特殊角的三角函数值,零指数幂,再进行加减计算即可．22sin 602023+︒-32212=-⨯-1=故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的运算,掌握绝对值,特殊角的三角函数值,零指数幂的运算是解题的关键．11.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为__________．【答案】59【分析】先列表得出所有的情况,再找到符合题意的情况,利用概率公式计算即可．【详解】解：0不能在最高位,而且个位数字与十位数字不同.列表如下：1230102030121312123231323一共有可以组成9个数字,偶数有10,12,20,30,32.∴是偶数的概率为59．故答案为：59．【点睛】本题考查了列表法求概率,注意0不能在最高位．12.如图,正八边形ABCDEFGH 的边长为4,以顶点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则阴影部分的面积为__________（结果保留π）．【答案】6π【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数,再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：由题意,()821801358HAB -⋅︒∠==︒.4AH AB ==∴213546360S ππ⋅==阴.故答案为：6π．【点睛】本题考查正多边形与圆,扇形的面积等知识,解题的关键是记住扇形的面积2360n r S π=,正多边形的每个内角度数为()2180n n-⋅︒．13.如图,点E 是正方形ABCD 内的一点,将ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到CBF V ．若55ABE ∠=︒,则EGC ∠=__________度．【答案】80【分析】先求得BEF ∠和CBE ∠的度数,再利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形.∴90ABC ∠=︒.∵55ABE ∠=︒.∴905535CBE ∠=︒-︒=︒.∵ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到CBFV ∴90EBF ∠=︒,BE BF =.∴45BEF ∠=︒.∴EGC ∠=354580CBE BEF ∠+∠=︒+︒=︒.故答案为：80．【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,旋转图形的性质和三角形外角的性质,利用旋转图形的性质求解是解题的关键．14.如图,在四边形ABCD 中,90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<,点E 在线段BC 上运动,点F 在线段AE 上,ADF BAE =∠∠,则线段BF 的最小值为__________．292##229-+【分析】设AD 的中点为O ,以AD 为直径画圆,连接OB ,设OB 与O 的交点为点F ',证明90DFA ∠=︒,可知点F 在以AD 为直径的半圆上运动,当点F 运动到OB 与O 的交点F '时,线段BF 有最小值,据此求解即可．【详解】解：设AD 的中点为O ,以AD 为直径画圆,连接OB ,设OB 与O 的交点为点F '.∵90ABC BAD ∠=∠=︒.∴AD BC ∥.∴DAE AEB ∠=∠.∵ADF BAE =∠∠.∴90DFA ABE ==︒∠∠.∴点F 在以AD 为直径的半圆上运动.∴当点F 运动到OB 与O 的交点F '时,线段BF 有最小值.∵4=AD .∴122AO OF AD '===,.∴225229BO =+=.BF 292.292．【点睛】本题考查了平行线的性质,圆周角定理的推论,勾股定理等知识,根据题意分析得到点F 的运动轨迹是解题的关键．三,解答题（本题共78分,把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15.解不等式组：()5231,32232x x x x x ⎧-<+⎪⎨--≥+⎪⎩．【答案】23x ≤【分析】分别求出各个不等式的解,再取各个解集的公共部分,即可．【详解】解：解()5231x x -<+得：52x <.解32232x x x --≥+得：23x ≤.∴不等式组的解集为23x ≤．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组,熟练掌握解不等式组的基本步骤,是解题的关键．16.先化简,再求值：223x x x x y x y x y ⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭,其中x ,y 满足230x y +-=．【答案】42x y +,6【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时将除法变为乘法,约分得到最简结果,将230x y +-=变形整体代入计算即可求解．【详解】解：原式()()()()()()()()3x x y x x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤+--+=+⨯⎢⎥-+-+⎣⎦()()()()2233x y x y x xy x xy x y x y x -+++-=⨯-+()()()()242x y x y x xy x y x y x -++=⨯-+42x y =+.由230x y +-=,得到23x y +=.则原式()226x y =+=．【点睛】此题考查分式的化简求值,解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．17.如图,在ABCD Y 中,AE 平分BAD ∠,交BC 于点E ,CF 平分BCD ∠,交AD 于点F ．求证：AE CF =．【答案】证明见解析【分析】由平行四边形的性质得B D ∠=∠,AB CD =,AD BC ∥,由平行线的性质和角平分线的性质得出BAE DCF ∠=∠,可证BAE DCF ≌△△,即可得出AE CF =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形.∴B D ∠=∠,AB CD =,BAD DCB ∠=∠,AD BC ∥.∵AE 平分BAD ∠,CF 平分BCD ∠.∴BAE DAE BCF DCF ∠=∠=∠=∠.在BAE 和DCF 中.B D AB CD BAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA BAE DCF ≌ ∴AE CF =．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质,平行线的性质及全等三角形的判定与性质,根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质,平行线的性质是解答本题的关键．18.无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测最大楼的高度BC ,无人机在空中点P 处,测得点P 距地面上A 点80米,点A 处俯角为60︒,楼顶C 点处的俯角为30︒,已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ,B ,C ,P 在同一平面内）,求大楼的高度BC （结果保留根号）【答案】大楼的高度BC 为．【分析】如图,过P 作PH AB ⊥于H ,过C 作CQ PH ⊥于Q ,而CB AB ⊥,则四边形CQHB 是矩形,可得QH BC =,BH CQ =,求解3sin 60802PH AP =︒=⨯= ,cos 6040AH AP =︒= ,可得704030CQ BH ==-=,tan 30PQ CQ =︒= BC QH ===【详解】解：如图,过P 作PH AB ⊥于H ,过C 作CQ PH ⊥于Q ,而CB AB ⊥.则四边形CQHB 是矩形.∴QH BC =,BH CQ =.由题意可得：80AP =,60PAH ∠=︒,30PCQ ∠=︒,70AB =.∴3sin 60802PH AP =︒=⨯= cos 6040AH AP =︒= .∴704030CQ BH ==-=.∴tan 30PQ CQ =︒=∴BC QH ==∴大楼的高度BC 为．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质,解直角三角形的实际应用,理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．19.某班学生以跨学科主题学习为载体,综合运用体育,数学,生物学等知识,研究体育课的运动负荷,在体育课基本部分运动后,测量统计了部分学生的心率情况,按心率次数x （次/分钟）分为如下五组：A 组：5075x ≤<,B 组：75100x ≤<,C 组：100125x ≤<,D 组：125150x ≤<,E 组：150175x ≤≤．其中,A 组数据为73,65,74,68,74,70,66,56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示）,请结合统计图解答下列问题：（1）A 组数据的中位数是_______,众数是_______,在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是_______度.（2）补全学生心率频数分布直方图.（3）一般运动的适宜行为为100150x ≤<（次/分钟）,学校共有2300名学生,请你依据此次跨学科项目研究结果,估计大约有多少名学生达到适宜心率？【答案】（1）69,74,54,（2）见解析（3）大约有1725名学生达到适宜心率．【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解,先求出总人数,然后求出B 组所占的百分比,最后乘以360︒即可求出在统计图中B 组所对应的扇形圆心角.（2）根据样本估计总体的方法求解即可．【小问1详解】将A 组数据从小到大排列为：56,65,66,68,70,73,74,74.∴中位数为6870692+=.∵74出现的次数最多.∴众数是74.88%100÷=.1536054100︒⨯=︒∴在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是54︒.故答案为：69,74,54.【小问2详解】10081545230----=∴C 组的人数为30.∴补全学生心率频数分布直方图如下：【小问3详解】304523001725100+⨯=（人）.∴大约有1725名学生达到适宜心率．【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识,理解频数分布直方图,扇形统计图的相关信息,掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．20.如图,已知坐标轴上两点()()0,4,2,0A B ,连接AB ,过点B 作BC AB ⊥,交反比例函数k y x=在第一象限的图象于点(,1)C a ．（1）求反比例函数k y x=和直线OC 的表达式.（2）将直线OC 向上平移32个单位,得到直线l ,求直线l 与反比例函数图象的交点坐标．【答案】（1）4y x=,14y x =（2）()2,2或18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）如图,过点C 作CD x ⊥轴于点D ,证明ABO BCD ∽ ,利用相似三角形的性质得到2BD =,求出点C 的坐标,代入k y x=可得反比例函数解析式,设OC 的表达式为y mx =,将点()4,1C 代入即可得到直线OC 的表达式.（2）先求得直线l 的解析式,联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．【小问1详解】如图,过点C 作CD x ⊥轴于点D .则1CD =,90CDB ∠=︒.∵BC AB ⊥.∴90ABC ∠=︒.∴90ABO CBD ∠+∠=︒.∵90CDB ∠=︒.∴90BCD CBD ∠+∠=︒.∴BCD ABO ∠=∠.∴ABO BCD ∽ .∴OA BD OB CD=.∵()()0,4,2,0A B .∴4OA =,2OB =.∴421BD =.∴2BD =.∴224OD =+=.∴点()4,1C .将点C 代入k y x =中.可得4k =.∴4y x=.设OC 的表达式为y mx =.将点()4,1C 代入可得14m =.解得：14m =.∴OC 的表达式为14y x =.【小问2详解】直线l 的解析式为1342y x =+.当两函数相交时,可得13442x x +=.解得12x =,8x =-.代入反比例函数解析式.得1122x y =⎧⎨=⎩,22812x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为()2,2或18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,待定系数法求函数的解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数的平移问题,解一元二次方程等知识．21.某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A ,B 两块（如图所示）,花园里种满牡丹和芍药,学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积.（2）在花园面积最大的条件下,A ,B 两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹？【答案】（1）长为60米,宽为20米时,有最大面积,且最大面积为1200平方米（2）最多可以购买1400株牡丹【分析】（1）设长为x 米,面积为y 平方米,则宽为1203x -米,可以得到y 与x 的函数关系式,配成顶点式求出函数的最大值即可.（2）设种植牡丹的面积为a 平方米,则种植芍药的面积为()1200a -平方米,由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值,即可解答．【小问1详解】解：设长为x 米,面积为y 平方米,则宽为1203x -米.∴()221140601200331203y x x x x x =⨯=--+-+=-.∴当60x =时,y 有最大值是1200.此时,宽为120203x -=（米）答：长为60米,宽为20米时,有最大面积,且最大面积为1200平方米．【小问2详解】解：设种植牡丹的面积为a 平方米,则种植芍药的面积为()1200a -平方米.由题意可得()252152120050000a a ⨯+⨯-≤解得：700a ≤.即牡丹最多种植700平方米.70021400⨯=（株）.答：最多可以购买1400株牡丹．【点睛】本题考查二次函数的应用,一元一次不等式的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件．22.如图,AB 为O 的直径,C 是圆上一点,D 是 BC的中点,弦DE AB ⊥,垂足为点F ．（1）求证：BC DE =.（2）P 是»AE 上一点,6,2AC BF ==,求tan BPC ∠.（3）在（2）的条件下,当CP 是ACB ∠的平分线时,求CP 的长．【答案】（1）证明见解析,（2）43（3）【分析】（1）由D 是 BC的中点得 CD BD =,由垂径定理得 BE BD =,得到»»BC DE =,根据同圆中,等弧对等弦即可证明.（2）连接OD ,证明ACB OFD ∽ ,设O 的半径为r ,利用相似三角形的性质得=5r ,210AB r ==,由勾股定理求得BC ,得到84tan 63BC CAB AC ∠===,即可得到tan BPC ∠43=.（3）过点B 作BG CP ⊥交CP 于点G ,证明CBG 是等腰直角三角形,解直角三角形得到cos 45CG BG BC ==︒=,由tan BPC ∠43=得到43BG GP =,解得GP =【小问1详解】解：∵D 是 BC的中点.∴ CDBD =.∵DE AB ⊥且AB 为O 的直径.∴ BEBD =.∴»»BCDE =.∴BC DE =.【小问2详解】解：连接OD .∵ CDBD =.∴CAB DOB ∠=∠.∵AB 为O 的直径.∴90ACB ∠=︒.∵DE AB ⊥.∴90DFO ∠=︒.∴ACB OFD ∽ .∴AC OF AB OD=.设O 的半径为r .则622r r r -=.解得=5r ,经检验,=5r 是方程的根.∴210AB r ==.∴8BC ==.∴84tan 63BC CAB AC ∠===.∵BPC CAB ∠=∠.∴tan BPC ∠43=.【小问3详解】解：如图,过点B 作BG CP ⊥交CP 于点G .∴90BGC BGP ∠=∠=︒∵90ACB ∠=︒,CP 是ACB ∠的平分线.∴45ACP BCP ∠=∠=︒∴45CBG ∠=︒∴cos 45CG BG BC ==︒=.∵tan BPC ∠43=∴43BG GP =.∴GP =∴CP ==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理及推论,解直角三角形等知识,熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．23.（1）如图1,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,AE DF ⊥,垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,AE DF =,延长BC 到点H ,使CH DE =,连接DH ．求证：ADF H ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3,在菱形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,11AE DF ==,8DE =,60AED ∠=︒,求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3【分析】（1）由矩形的性质可得90ADE DCF ∠=∠=︒,则90CDF DFC ∠+∠=︒,再由AE DF ⊥,可得90DGE ∠=︒,则90CDF AED ∠+∠=︒,根据等角的余角相等得AED DFC ∠=∠,即可得证.（2）利用“HL ”证明 ≌ADE DCF ,可得DE CF =,由CH DE =,可得CF CH =,利用“SAS ”证明DCF DCH ≌,则DHC DFC ∠=∠,由正方形的性质可得AD BC ∥,根据平行线的性质,即可得证.（3）延长BC 到点G ,使8CG DE ==,连接DG ,由菱形的性质可得AD DC =,AD BC ∥,则ADE DCG ∠=∠,推出()SAS ADE DCG △≌△,由全等的性质可得60DGC AED ∠=∠=︒,DG AE =,进而推出DFG 是等边三角形,再根据线段的和差关系计算求解即可．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形.90ADE DCF ∴∠=∠=︒.90CDF DFC ∴∠+∠=︒.AE DF ⊥.90DGE ∴∠=︒.90CDF AED ∴∠+∠=︒.AED DFC ∴∠=∠.ADE DCF ∴△∽△.（2）证明： 四边形ABCD 是正方形.AD DC ∴=,AD BC ∥,90ADE DCF ∠=∠=︒.AE DF = .()HL ADE DCF ∴ ≌.DE CF ∴=.又 CH DE =.∴CF CH =.点H 在BC 的延长线上.∴90DCH DCF ∠=∠=︒.DC DC = .()SAS DCF DCH ∴ ≌.H DFC ∴∠=∠.AD BC ∥.ADF DFC H ∴∠=∠=∠.（3）解：如图,延长BC 到点G ,使8CG DE ==,连接DG .四边形ABCD 是菱形.AD DC ∴=,AD BC ∥.ADE DCG ∴∠=∠.()SAS ADE DCG ∴ ≌.60DGC AED ∴∠=∠=︒,DG AE =.AE DF = .DG DF ∴=.DFG ∴ 是等边三角形.11FG FC CG DF ∴=+==.111183FC CG ∴=-=-=．【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,正方形的性质,菱形的性质,相似三角形的判定,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．24.已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点()0,4C ,其对称轴为32x =-．（1）求抛物线的表达式.（2）如图1,点D 是线段OC 上的一动点,连接AD BD ，,将ABD △沿直线AD 翻折,得到AB D 'V ,当点B '恰好落在抛物线的对称轴上时,求点D 的坐标.（3）如图2,动点P 在直线AC 上方的抛物线上,过点P 作直线AC 的垂线,分别交直线AC ,线段BC 于点E ,F ,过点F作FG x ⊥轴,垂足为G ,求FG 的最大值．【答案】（1）234y x x =--+（2）D ⎛ ⎝（3）496【分析】（1）由题易得c 的值,再根据对称轴求出b 的值,即可解答.（2）过B '作x 轴的垂线,垂足为H 求出A 和B 的坐标,得到5AB AB '==,52AH =,由52AB AB AH '===,推出1302DAB B AB '∠=∠=︒,解直角三角形得到OD 的长,即可解答.（3）求得BC 所在直线的解析式为144y x =-+,设()2,34P m m m --+,设PE 所在直线的解析式为：22y x b =-+,得2224y x m m =---+,令12y y =,解得223m m x +=,分别表示出FG 和,再对FG +进行化简计算,配方成顶点式即可求解．【小问1详解】解：抛物线与y 轴交于点()0,4C.∴4c =.∵对称轴为32x =-.∴322b -=--,3b =-.∴抛物线的解析式为234y x x =--+.【小问2详解】如图,过B '作x 轴的垂线,垂足为H .令2340x x --+=.解得：121,4x x ==-.∴()4,0A -,()10B ,.∴()145AB =--=.由翻折可得5AB AB '==.∵对称轴为32x =-.∴()35422AH =---=.∵52AB AB AH '===.∴30AB H '∠=︒,60B AB '∠=︒∴1302DAB B AB '∠=∠=︒.在Rt AOD中,tan 30OD OA =︒=.∴D ⎛⎝.【小问3详解】设BC 所在直线的解析式为111y k x b =+.把B ,C 坐标代入得：11104k b b +=⎧⎨=⎩.解得1144k b =-⎧⎨=⎩.∴144y x =-+.∵OA OC =.∴45CAO ∠=︒.∵90AEB ∠=︒.∴直线PE 与x 轴所成夹角为45︒.设()2,34P m m m --+.设PE 所在直线的解析式为：22y x b =-+.把点P 代入得2224b m m =--+.∴2224y x m m =---+.令12y y =,则24424x x m m -+=---+.解得223m m x +=.∴()24243F m m FG y -+==+()()223F P x x m m ==-=-∴()()22422433m mm mFG -+-+=++22549326m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵点P 在直线AC 上方.∴40m -<<.∴当52m =-时,FG 的最大值为496．【点睛】本题考查了二次函数综合问题,利用数形结合的思想是解题的关键．。

第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。

日照市2023年初中学业水平考试数学试题（满分120分，时间120分钟）注意事项：1．本试题分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．第I 卷每小题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．第I 卷（选择题36分）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1.计算：23 的结果是（）A.5B.1C.-1D.-5【答案】A【解析】【分析】把减法化为加法，即可求解。

【详解】解： 23 =235 ，故选A ．【点睛】本题主要考查有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是关键．2.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．3.芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（）A.81.410 B.71410 C.60.1410 D.91.410 【答案】A【解析】【分析】科学计数法的记数形式为：10n a ，其中1a 10 ，当数值绝对值大于1时，n 是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，n 是小数点向左移动的位数的相反数．【详解】解：80.000000014 1.410 ，故选A ．【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．4.如图所示的几何体的俯视图可能是（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形．故选：C ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．5.在数学活动课上，小明同学将含30 角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得123 ，则2 的度数是（）．A.23B.53C.60D.67【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解．【详解】解：如图：∵BC DE ∥，∴2BCD ，在ABC 中，1BCD A ∠∠∠，∵30A ，故21233053BCD A ∠∠∠∠，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．6.下列计算正确的是（）A.236a a aB. 32628m mC.222()x y x yD.232235ab a b a b 【答案】B【分析】根据整式乘法运算法则及加法法则逐一判断即可．【详解】A 、235a a a ，故错误；B 、 32628m m ，故正确；C 、222()2x y x xy y ，故错误；D 、223ab a b 、不是同类项，不能合并，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查整式乘法与加法运算法则，熟记基本的运算法则是解题关键．7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，可列方程为（）A.911616x x B.911616x x C.911616x x D.911616x x 【答案】D【解析】【分析】设人数为x ，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为 911x 钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为 616x 钱，由此列出方程即可．【详解】解：设人数为x ，由题意得，911616x x ，故选D ．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．8.日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯塔最高点A 的仰角45ABD ，再沿BD 方向前进至C 处测得最高点A 的仰角60ACD ，15.3m BC ，则灯塔的高度AD 大约是（）（结果精确到1m 1.41 1.73 ）A.31mB.36mC.42mD.53m【答案】B【解析】【分析】在Rt ADB 中，得出AD BD ，设AD x ，则BD x ，15.3CD x ，在Rt ADC 中，根据正切得出tan 315.3AD x ACD CD x ，求解即可得出答案．【详解】解：在Rt ADB 中，45ABD ，AD BD ，设AD x ，则BD x ，15.3CD x ，在Rt ADC 中，60ACD ，tan 315.3AD x ACD CD x ，36x ，灯塔的高度AD 大约是36m ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．9.已知直角三角形的三边,,a b c 满足c a b ，分别以,,a b c 为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为1S ，均重叠部分的面积为2S ，则（）A.12S S B.12S S C.12S S = D.12,S S 大小无法确定【答案】C【解析】【分析】根据题意，由勾股定理可得222 a b c ，易得222c a b ，然后用,,a b c 分别表示1S 和2S ，即可获得答案．【详解】解：如下图，∵,,a b c 为直角三角形的三边，且c a b 。

中考复习4、1.图形认识初步中考一轮复习一、选择题（本大题共8小题，共24分。

）1. 用一副三角板，不可能画出的角度是( )A. 15∘B. 75∘C. 165∘D. 145∘2. 如图，OO是∠OOO的平分线，OO是∠OOO的平分线，那么下列各式中正确的是( )A. ∠OOO=12∠OOO B. ∠OOO=23∠OOOC. ∠OOO=12∠OOO D. ∠OOO=23∠OOO3. 如果点O在线段OO上，那么下列表达式中: ①OO=12OO②OO=OO ③OO=2OO④OO+OO=OO，能表示O是线段OO的中点的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 把2.36°用度、分、秒表示正确的是( )A. 2°3′6″B. 2°30′6″C. 2°21′6″D. 2°21′36″5. (对应目标15)下面是“蒙牛”牌牛奶软包装盒，其表面展开图不正确的是( )A. B. C. D.6. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠O=∠O的图形个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 47. (对应目标15)如图是一个长方体纸盒表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，这个盒子容积为( )A. 6B. 8C. 10D. 158. 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角(这里所说的角均是指不大于平角的角)，如：在3：00时的钟面角为90°，那么在3：30与5：00之间钟面角恰好为90°的次数共有( )A. 2次B. 3次C. 4次D. 5次二、填空题（本大题共8小题，共24分）9. 72.125°=度分秒．10. 下图中小于平角的角有个.11. 如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点.若AB=10cm、BC=2cm，则MC=_____。

12. 已知∠AOB和∠COD是共顶点的两个角，∠COD的OC边始终在∠AOB的内部，并且∠COD的边OC把∠AOB分为1：2的两个角，若∠AOB=60°,∠COD= 30°,则∠AOD的度数是_______．13. 将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体，其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱O等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体216个，那么O的值为．14. 如图，在一次数学活动课上，张明用17个棱长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至少需要个小正方体，此时王亮所搭几何体的表面积为．15. 已知两个角的和是67∘56′，差是12∘40′，则这两个角的度数分别是．16. 由于钟表的表面被分成12大格，每格为30∘，而10点30分时，钟面上时针指向数字10与11的中间，分针指向数字6，则它们所夹角的度数是度.三、解答题（本大题共9小题，共72分。