湖北省2019年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考理科数学试题(含答案)

2023-2024学年湖北省荆荆襄宜七校考试联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l 经过点（﹣3，﹣2），（1，2），则下列不在直线l 上的点是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（2，1）2．2013年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ） A ．52B ．29.2C ．10D ．6.43．如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 满足OM →=2MA →，点N 为BC 的中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+b →−12c →4．已知直线l 1：ax +y +a ＝0与l 2：（a ﹣6）x +（a ﹣4）y ﹣4＝0，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1→•PF 2→=−2，且△PF 1F 2的面积为1，则a 2的最小值为（ ） A ．2B ．2√2C ．2√3D ．46．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，经测量知SD ：DA ＝CF ：FS ＝2：1，SE ：EB ＝3：1，这个容器最多可盛原来水的（ ）A ．34B ．49C ．56D ．797．已知点P 是直线l 1：mx ﹣ny ﹣5m +n ＝0和l 2：nx +my ﹣5m ﹣n ＝0（m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0）的交点，点Q 是圆C ：（x +3）2+（y +5）2＝1上的动点，则|PQ |的最大值是（ ） A ．9+2√2B ．10+2√2C ．11+2√2D ．12+2√38．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且|F 1F 2|＝2|OB |（O 为坐标原点）．下列三个结论正确的是（ ）①B 的坐标为（a ，b ）；②|BF 1|﹣|BF 2|＞2a ；③若AB →=3F 1A →，则双曲线C 的离心率1+√173．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

曾都一中枣阳一中襄州一中宜城一中2018—2019学年下学期高二期中考试理数试题一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.设命题：，，则命题的否定为（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.2.双曲线的实轴长是（）A. B. C. 4 D.【答案】B【解析】【分析】双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长【详解】双曲线化为标准方程为解得即双曲线的实轴长为故选B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是将双曲线转化为标准方程，属于基础题。

3.如图所示，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】A【解析】考点：椭圆的定义．分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A4.设,则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式的解集，然后判断出结果【详解】解不等式可得则“”是“”的必要不充分条件故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件，在判定时根据范围的取值情况得到答案，较为基础5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C 6.已知命题：不等式的解集是，命题“在中，是的充要条件”则（）A.真假 B. 假 C. 真 D. 假真【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式即可判断出命题的真假，根据正弦定理的边角互化的推论，可以判定出命题的真假，对题目中的四个答案逐一进行判断，即可得到答案【详解】命题：解不等式，可得，故命题是真命题；命题：在中，等价于，即，故命题是真命题；对于：假错误对于:为真，故选项错误对于，真错误故四个选项中只有正确，故选【点睛】本题是一道复合命题真假性的题目，解题的关键在于判定每一个命题的真假，属于基础题。

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2019届高三2月联考数学（理）试题一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.详解：，集合，，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据欧拉公式可得，通过化简可得到它在复平面对应的点，从而可选出答案。

【详解】由题意，，则表示的复数在复平面对应的点为，位于第三象限。

故答案为C.【点睛】本题考查了复平面知识，考查了三角函数的化简，考查了转化思想，属于基础题。

3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图中可知，即可得到答案。

【详解】由图中可知，若向量与共线,则.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题。

4.若数列是公比不为1的等比数列,且,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，可得，然后利用等比数列的性质可求出的值。

【详解】由题意，，则，设等比数列的公比为，则，故.故答案为C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了定积分的几何意义，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。

5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数及符号函数的性质，对四个选项逐个分析即可选出答案。

曾都一中枣阳一中襄州一中宜城一中2018—2019学年下学期高二期中考试理数试题一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.设命题：，，则命题的否定为（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.2.双曲线的实轴长是（）A. B. C. 4 D.【答案】B【解析】【分析】双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长【详解】双曲线化为标准方程为解得即双曲线的实轴长为故选B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是将双曲线转化为标准方程，属于基础题。

3.如图所示，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】A【解析】考点：椭圆的定义．分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A4.设,则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式的解集，然后判断出结果【详解】解不等式可得则“”是“”的必要不充分条件故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件，在判定时根据范围的取值情况得到答案，较为基础5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C 6.已知命题：不等式的解集是，命题“在中，是的充要条件”则（）A.真假 B. 假 C. 真 D. 假真【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式即可判断出命题的真假，根据正弦定理的边角互化的推论，可以判定出命题的真假，对题目中的四个答案逐一进行判断，即可得到答案【详解】命题：解不等式，可得，故命题是真命题；命题：在中，等价于，即，故命题是真命题；对于：假错误对于:为真，故选项错误对于，真错误故四个选项中只有正确，故选【点睛】本题是一道复合命题真假性的题目，解题的关键在于判定每一个命题的真假，属于基础题。

2018-2019学年湖北省荆州中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设角θ的终边过点（1，-2），则cosθ的值为（）A. B. C. D.2.已知数列1，a1，a2，4成等差数列，-1，b1，b2，b3，-4成等比数列，则的值是（）A. B. C. 或 D.3.下列不等式中一定成立的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4.“荆、荆、襄、宜七校联考”正在如期开展，组委会为了解各所学校学生的学情，欲从四地选取200人作样本开展调研．若来自荆州地区的考生有1000人，荆门地区的考生有2000人，襄阳地区的考生有3000人，宜昌地区的考生有2000人．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取荆州地区学生25人、荆门地区学生50人、襄阳地区学生75人、宜昌地区学生50人；②可采用简单随机抽样的方法从所有考生中选出200人开展调研；③宜昌地区学生小刘被选中的概率为；④襄阳地区学生小张被选中的概率为．A. B. C. D.5.直线x sin+y cos+1=0的倾斜角α是（）A. B. C. D.6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米五升．问米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=5（单位：升），则输入k的值为（）A.B. 15C. 20D. 257.某三棱锥的三视图如图所示，且三个视图均为直角三角形，则该三棱锥的表面积为（）A.B.C.D.8.已知函数y=f（x）+sin x在[，]上单调递增，则f（x）可能是（）A. B.C. D.9.大学生小王和小张即将参加实习，他们各从“崇尚科学，关心社会”的荆州市荆州中学、“安学、亲师、乐友、信道”的荆门市龙泉中学、“崇尚科学，追求真理”的荆门市钟祥一中、“追求卓越，崇尚一流”的襄阳市第四中学、“文明、振奋、务实、创新”的襄阳市第五中学、“千年文脉，百年一中”的宜昌市第一中学、“人走三峡，书读夷陵”的宜昌市夷陵中学这七所省重点中学中随机选择一所参加实习，两人可选同一所或者两所不同的学校，假设他们选择哪所学校是等可能的，则他们在同一个市参加实习的概率为（）A. B. C. D.10.已知奇函数f（x）为R上的单调递减函数，数列{a n}是公差为2的等差数列，且f（a5）+f（a6）+…+f（a10）=0，则a2018=（）A. 2018B. 2021C. 4019D. 402111.过平面直角坐标系中的点P（4-3a，）（a∈R）作圆x2+y2=1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则数量积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=3，长方体每条棱所在直线与过点C1的平面α所成的角都相等，则直线AC与平面α所成角的余弦值为（）A. 或1B. 或0C. 或0D. 或1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=______．14.已知不共线的平面向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=2，||=，则||=______；15.有下列命题：①边长为1的正四面体的内切球半径为；②正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为1：：；③棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球被平面A1BD截得的截面面积为．其中正确命题的序号是______（请填所有正确命题的序号）；16.设实数x，y满足，则z=的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量=（2sin x，-1），=（cos x，2cos2x），函数f（x）=．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且a2=bc，求f（A）的取值范围．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在y=x2的函数图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（-1）n+1a n a n+1，求数列{b n}的前100项和T100．19.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=a，AC=AD=b，BC=CD=D=c（a＞0，b＞0，c＞0）该三棱锥的截面EFGH平行于AB、CD，分别交AD、AC、BC、BD于E、F、G、H．（1）证明：AB⊥CD；（2）求截面四边形EFGH面积的最大值，并说明面积取最大值时截面的位置．20.已知在平面直角坐标系中，直线l过点P（1，2）．（1）若直线l在x轴和y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求坐标原点O到直线l距离取最大值时的直线l的方程；（3）设直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A，B两点，当|PA|•|PB|最小时，求直线l的方程．21.为达到节水节电的目的，某家庭记录了20天的日用电量x i（单位：度）的频数分布表和这20天相应的日y3（1）假设水费为2.5元/m，电费为0.6元/度，用以上数据估计该家庭日用电量的平均值和日用水量的平均值，并据此估计该家庭一个月的水费和电费一共是多少？（一个月按30天算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（2）假设该家庭的日用水量y和日用电量x可用线性回归模型来拟合，请利用（1）中的计算数据及所给的参考数据和公式，建立y与x的回归方程，预测若该家庭日用电量为20度时的日用水量是多少m3？（回归方程的系数小数点后保留2位小数）参考数据：x i y i=65，x=612参考公式：回归方程=x中斜率和截距的公式分别为：=，=22.已知圆C1：x2+y2-2mx-4my+5m2-4=0（m∈R），圆C2：x2+y2=1．（1）过定点M（1，-2）作圆C2的切线，求切线的方程；（2）若圆C1与圆C2相交，求m的取值范围；（3）已知点P（2，0），圆C1上一点A，圆C2上一点B，求||的最小值的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵角θ的终边过点（1，-2），∴x=1，y=-2，r=|OP|=，∴cosθ===，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：数列1，a1，a2，4成等差数列，可得公差d=a2-a1==1，-1，b1，b2，b3，-4成等比数列，可得b22=-1×（-4）=4，则b2=±2，由于b2为奇数项，且为负值，可得b2=-2，则的值是-．故选：B．运用等差数列和等比数列的性质，解方程即可得到所求值．本题考查等差数列和等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】对于A，若a＞b，令a=1，b=-1，则1＞-1，即，故错误，对于B，．∵a＞b＞0，∴==，故错误；对于C，若a＞b，令a=1，b=-1，则12＞（-1）2，即a2=b2，故错误，对于D，∵a＞b＞0，∴，∴a+，故正确；故选：D．利用作差法和不等式的基本性质即可判断出．本题考查了作差法和不等式的基本性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：用分层抽样的方法，由四区的考生人数之比为1：2：3：2，共抽取200人，可得分别抽取荆州地区学生25人、荆门地区学生50人，襄阳地区学生75人，宜昌地区学生50人，故正确；由于各校情况不相同，不可采用简单随机抽样的方法从所有考生中选出200人开展调研，故错误；由抽样特点可得各个个体被选中的概率相等，均为=，故正确，错误．故选：B．考虑四区的考生人数之比，可判断；由于各地情况不尽相同，可判断；由抽样特点可得各个个体被选中的概率相等，均为=，可判断．本题考查抽样方法在实际问题中的应用，考查运算能力和推理能力，是一道基础题．5.【答案】A【解析】解：xsin+ycos+1=0，则tanα=-=-=-1∴α=，故选：A．由题意可得：tanα=-利用诱导公式化简即可得出．本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据程序框图：当n=1时，s=k，当n=2时，s=k-，当n=3时，s=，当k=4时，输出s=，解得：k=15．故选：B．直接利用程序框图的循环结构求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】A【解析】解：满足条件的几何体是三棱锥，其直观图如下：底面ABC的面积为：1，侧面VAB的面积为：1侧面VAC的面积为：侧面VBC的面积为：故该三棱锥的表面积为2+2，故选：A．画出直观图，计算各个面的面积，相加可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．8.【答案】D【解析】解：对于A，f（x）=sinx，则：y=2sinx，由正弦函数的单调性可知错误；对于B，f（x）=sin（x），则：y=sinx+cosx=sin（x+），令2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得函数的单调递增区间为：[2kπ-，2kπ+]，k∈Z，可知错误；对于C，f（x）=sin（x+π），则：y=-sinx+sinx=0，可知错误；对于D，f（x）=sin（x+π），则：y=-cosx+sinx=sin（x-），令2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函数的单调递增区间为：[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，可知正确．故选：D．逐一求得函数解析式，利用正弦函数的单调性求解即可．本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：小王选一所学校实习，一共有7种选法，小张选一所学校实习，一共有7种选法，又他们选择哪所学校是等可能的，故两人随机选择一所参加实习，共有7×7=49（种）选法，又他们到同一个市参加实习共7种选法，即他们在同一个市参加实习的概率为=，故选：A．因为小王和小张他们选择哪所学校是等可能的，又小王选一所学校实习有7种选法，小张选一所学校实习有7种选法，即两人随机选择一所参加实习，共有49种选法，又他们到同一个市参加实习共7种选法，故他们在同一个市参加实习的概率为，本题考查了排列组合知识，两相互独立事件同时发生的概率，属简单题10.【答案】D【解析】解：∵f（a5）+f（a6）+…+f（a10）=0，f（a5）＞f（a6）＞…＞f（a10）=0∴f（a5）＞0且f（a10）＜0．结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a5）+f（a10）=0，∴f（a5）=-f（a10）=f（-a10），∴a5+a10=0，∴a5+a5+10=0，∴a5=-5．设数列{a n}通项a n=a1+2（n-1）．∴a5=a1+4×2=-5．∴a1=-13．∴通项a n=-13+2（n-1）=2n-15．∴a2018=2×2018-15=4021．故选：D．结合函数的单调性和奇偶性，以及等差数列的性质可得a5+a10=0，即可求出首项，可得数列的通项公式，问题得以解决．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．11.【答案】C【解析】解：由圆的切线性质可知PA=PB，设PA，PB的夹角为2θ，根据切线的性质可知，sinθ=，则=||||cos2θ=PA2cos22θ，=（PC2-1）（1-2sin2θ）=（PC2-1）（1-）=，故选：C．由圆的切线性质可知PA=PB，设PA，PB的夹角为2θ，sinθ=，结合向量的数量积的定义及基本不等式可求本题以向量的数量积的运算为载体，主要考查了直线与圆的性质的应用及基本不等式的应用，属于知识的简单综合12.【答案】A【解析】解：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中截取一个棱长为2的正方体EFGH-A1B1C1D1，长方体每条棱所在直线与过点C1的平面α所成的角都相等，则平面α可视为平面HFA1，平面C1FA1．直线AC与平面C1FA1所成角的余弦值，为1，∵AC∥EG，EC1⊥面FHA1，∴直线AC与平面HFA1所成角的余弦值等于EG与EC1所成角∠GEC1的正弦值，在直角△EGC1中，，GC1=2，，∴sin．∴直线AC与平面α所成角的余弦值为1，，故选：A．在长方体ABCD-A1B1C1D1中截取一个棱长为2的正方体EFGH-A1B1C1D1，长方体每条棱所在直线与过点C1的平面α所成的角都相等，则平面α可视为平面HFA1，平面C1FA1．利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解直线AC与平面α所成角的余弦值．本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度．13.【答案】：：【解析】解：∵A+B+C=π，A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°，A：B：C=1：2：3⇒A=30°，B=60°，C=90°，由正弦定理可知：a：b：c=sinA：sinB：sinC=．故答案为：．通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a、b、c的比即可本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查．14.【答案】4【解析】解：∵不共线的平面向量，，两两所成的角相等；∴向量，，两两所成的角为120°；又；∴==7；∴；解得，或-1（舍去）．故答案为：4．根据条件可得出平面向量，，两两所成的角为120°，根据，对两边平方，进行数量积的运算即可得出关于的方程，解出即可．考查向量夹角的概念，知道不共线的三个向量，两两夹角相等时，夹角为120°，以及向量数量积的运算及计算公式．15.【答案】①②③【解析】解：边长为1的正四面体的高为h==，可得正四面体的体积为V=•h=，设内切球的半径为r，由等积法可得V=r•S=r•4•，（S为正四面体的全面积）解得r=，故正确；设边长为1的正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径分别为r1，r2，r3，可得2r1=1，2r2=，2r3=，即有r1：r2：r3=1：，故正确；棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球的半径为，设内心为I，可得A1I==，I在截面的射影为等边三角形A1BD的中心O，可得OI===，由球的截面的性质可得截面圆的半径为=，可得截面圆的面积为，故正确．故答案为：．运用正四面体的性质和体积公式，结合等积法可得球的半径，可判断；由正方体与内切球、棱切球和外接球的关系，求得半径，可判断；求得正方体内切球半径，结合球的截面性质，以及勾股定理和等边三角形的性质，即可判断．本题考查多面体与球的位置关系，考查球的截面的性质和勾股定理的运用，考查等积法的运用，以及转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】[-1，1]【解析】解：∵＞0，∴由，得=，由y=，得y′=＞0在（-∞，+∞）上恒成立，可得y=在（-∞，+∞）上为增函数，则x≥-y．∴⇔．而z==．由约束条件画出可行域如图：的几何意义为可行域内的动点与定点P（2，0）连线的斜率，联立，解得，则B（-1，1）．∵，．∴z=的取值范围为[-1，1]，故答案为：[-1，1]．把不等式组中第三个不等式变形为x≥-y，作出可行域，再由z==，结合的几何意义，即可行域内的动点与定点P（2，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．17.【答案】解：（1）f（x）=•=2sin x cosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-）-1，∵2x-=kπ，∴x=+，∴f（x）的对称中心为（+，-1）（k∈Z）；（2）cos A==≥=，∵y=cos x在[0，π]上是减函数，∴0＜A≤，f（A）=2sin（2A-）-1，∵0＜A≤，∴-＜2A-≤，∴-＜sin（2A-）≤1，∴-2＜2sin（2A-）-1≤1∴f（A）的取值范围为（-2，1]．【解析】（1）由已知得f（x）=•=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-）-1，又2x-=kπ，得x=+，得f（x）的对称中心为（+，-1）（k∈Z）；（2）由a2=bc和余弦定理得0＜A≤，结合正弦函数的图象可得结果．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）点（n，S n）（n∈N*）在y=x2的函数图象上．∴S n=n2，可得：n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-（n-1）2=2n-1．n=1时，a1=1．可得：a n=2n-1．（2）b n=（-1）n+1a n a n+1，∴b2n-1+b2n=a2n-1a2n-a2n a2n+1=（4n-1）（4n-3-4n-1）=-4（4n-1）．∴数列{b n}的前100项和T100=-4×=-20200．【解析】（1）点（n，S n）（n∈N*）在y=x2的函数图象上．S n=n2，可得：n≥2时，a n=S n-S n-1．n=1时，a1=1．即可得出．．（2）b n=（-1）n+1a n a n+1，可得b2n-1+b2n=a2n-1a2n-a2n a2n+1=-4（4n-1）．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（1）取CD中点I，连结AI、BI，∵AC=AD，∴AI⊥CD，∵BC=BD，∴BI⊥CD，又AI∩BI=I，∴CD⊥平面ABI，又AB⊂ABI，∴AB⊥CD；（2）∵AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，平面EFGH∩平面ABC=FG，∴AB∥FG，同理可证AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥HG，∴EFGH是平行四边形，由（1）AB⊥CD知EF⊥EH，∴EFGH是矩形，设GF=ka，则GH=（1-k）c，S EFGH=k（1-k）ac=-ac（k-）2+，当k=时，截面四边形EFGH面积的最大为，此时，截面为中截面．【解析】（1）要证AB⊥CD，需证CD⊥平面ABI，需证AI⊥CD，BI⊥CD，由已知可证；（2）先证EFGH是矩形，再表示出S EFGH=k（1-k）ac=-ac（k-）2+，可求最值．本题考查直线与平面垂直的判定，二次函数用配方法求最值，属中档题．20.【答案】解：（1）直线l经过原点时满足条件，可得方程为：y=2x．直线l不经过原点时，设方程为：x+y=a，可得：a=1+2=3．可得方程为：x+y=3．综上可得：直线l的方程为：y=2x，x+y=3．（2）坐标原点O到直线l距离取最大值时，直线l⊥OP．可得：k OP=2，∴k l=-．∴坐标原点O到直线l距离取最大值时的直线l的方程为：y-2=-（x-1），化为：x+2y-5=0．（3）设直线l的方程为：y-2=k（x-1），k＜0．可得A（1-，0），B（0，2-k）．|PA|•|PB|=•=≥4，当且仅当k=-1时取等号．此时直线l的方程为：y-2=-（x-1），化为：x+y-3=0．【解析】（1）直线l经过原点时满足条件，可得方程为：y=2x．直线l不经过原点时，设方程为：x+y=a，把点P 的坐标代入即可得出a．（2）坐标原点O到直线l距离取最大值时，直线l⊥OP．可得：k OP=2，k l=-．利用点斜式即可得出．（3）设直线l的方程为：y-2=k（x-1），k＜0．可得A（1-，0），B（0，2-k）．利用两点之间的距离公式可得|PA|•|PB|，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）=（1×2+3×5+5×7+7×3+9×3）=5，=0.1×0.1+0.3×0.15+0.5×0.25+0.7×0.4+0.9×0.1=0.55，则一个月的水电费一共为5×30×0.6+0.55×30×2.5=131.25（元）；（2）==≈0.09，=5，=0.5，则=0.55-0.09×5=0.1，则y与x的回归方程是=0.09x+0.1，则x=20时，=1.9．【解析】（1）分别求出x，y的平均数，从而求出一个月的水电费；（2）求出相关系数，求出回归方程，从而求出对应的函数值即可．本题考查了平均数和回归方程问题，考查函数代入求值，是一道基础题．22.【答案】解：（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1；当切线斜率存在时，设切线方程为y+2=k（x-1），即kx-y-k-2=0．由，解得k=-，此时切线方程为3x+4y+5=0．∴切线方程为x=1或3x+4y+5=0；（2）由圆C1：x2+y2-2mx-4my+5m2-4=0，得（x-m）2+（y-2m）2=4，则C1（m，2m），r1=2，C2（0，0），r2=1．由圆C1与圆C2相交，得r1-r2＜|C1C2|＜r1+r2，∴1＜＜，即＜m＜；（3）如图，O（0，0），C1（m，2m），P（2，0），则==（-2，0）+（m-2，2m）+=（m-4，2m）+，∵与共线，∴的范围为[1，3]，而=，其最小值为，∴当向量与共线同向且与反向时，||的最小值最小，为，∴||的最小值的取值范围是[，+∞）．【解析】（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1；当切线斜率存在时，设切线方程为y+2=k（x-1），由圆心到直线的距离等于半径求得k，则切线方程可求；（2）由圆C1求得C1（m，2m），r1=2，再求得C2（0，0），r2=1，由圆C1与圆C2相交，得r1-r2＜|C1C2|＜r1+r2，由此可得实数m的范围；（3）O（0，0），C1（m，2m），P（2，0），则==（-2，0）+（m-2，2m）+，求得与共线时的范围为[1，3]，而=，其最小值为，由此可得当向量与共线同向且与反向时，||的最小值最小，答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量模的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．。

2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题（答案在最后）命题学校：审题学校：考试时间：2024年4月22日考试用时：120分钟试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()()1,2,,0A B m -，若直线AB 与直线:210l x y +-=垂直，则实数m =（）A.3-B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为：12k =-，因为直线AB 与直线:210l x y +-=垂直，所以()0221AB k m --==-，解得：2m =.故选：B.2.现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（）A.47种B.74种C.7654⨯⨯⨯种D.432⨯⨯种【答案】A 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有47种，经检验只有A 选项符合.故选：A.3.若直线y kx =与曲线3log y x =相切，则实数k =（）A.eln 3B.3elog eC.1e D.31log e e【答案】D 【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可.【详解】设切点为()030,log x x ，由3log y x =可得1ln3y x '=，则001ln3x x y k x ='==，所以00301ln3log k x kx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e 1eln3x k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即31log e e k =..故选：D.4.已知向量a b c、、，其中在同一平面的是（）A.()()()1,1,0,0,1,1,1,4,1a b c ===B.()()()3,0,0,1,1,2,4,1,2a b c ===C.()()()1,2,4,1,4,2,2,3,1a b c ===D.()()()1,0,0,0,0,2,0,3,0a b c ===【答案】B 【解析】【分析】利用共面向量定理，结合方程思想逐项分析判断即可.【详解】对于A ，假定,,a b c共面，设()()()1,1,00,1,11,4,1m n =+，则1410n m n m n =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，A 不是；对于B ，由()()()4,1,213,0,011,1,2=⋅+⋅，得,,a b c共面，B 是；对于C ，假定,,a b c共面，设()()()1,2,41,4,22,3,1x y =+，则2143224x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，C 不是；对于D ，假定,,a b c共面，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，则013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾，D 不是.故选：B5.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn r =++（p q r 、、为常数），则“{}n a 为递增的等差数列”是“0p >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式函数性质、n S 与n a 的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，类比表达式2n S pn qn r =++，有1,,022d dp q a r ==-=.当{}n a 为递增等差数列时，有0p >；反之，当0,0p r >≠时，例如221n S n n =-+，可得10a =；()1232n n n a S S n n -=-=-≥，则()2111,23n n a a a a n --=-=≥，此时数列从第二项开始才为递增的等差数列；所以“{}n a 为递增的等差数列”是“0p >”的充分不必要条件.故选：A.6.如图，111ABC A B C -是一个由棱长为2a 的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线1AC 与1BB 夹角的余弦值为（）A.3B.12C.3D.36【答案】D 【解析】【分析】补形成正四面体，记,,PA a PB b PC c ===，利用基底求出111CA CA B B ⋅ ，，代入夹角公式即可求解.【详解】补形成正四面体，如图.记,,PA a PB b PC c ===，则112CA a c =- ，由正四面体的性质和题意可知，π,,,,23a b a c b c a b c a ====== ，所以1CA ==== ，22211111111224222CA B B a c b a b c b a a a ⎛⎫⋅=-⋅=⋅-⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，所以21112cos ,6a CA B B -==-，所以，异面直线1AC 与1BB 的夹角的余弦值为36.故选：D.7.已知点()()1122,,,A x y B x y是曲线y =121222x x y y =++，则直线AB 的斜率的取值范围是（）A.4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.41,3⎡⎤⎢⎣⎦D.40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】将原条件等价转换为过点()0,2P -的直线与半圆弧有两个不同的交点，从而结合点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系即可得解.【详解】由y =()22(4)40x y y -+=≥，所以曲线为以()4,0C 为圆心，2为半径的上半圆弧.由()()1122,,,A x y B x y 为不同两点，且121222x x y y =++可转化为121222y y x x ++=，则过点()0,2P -的直线与半圆弧有两个不同的交点.如图，当直线AB 位于直线PE 的位置时，(20)E ,，PE 斜率为()102120k --==-.当过点P 的直线与圆相切于点T 时，设直线方程为2y kx =-，即：20kx y --=，由圆心()4,0C到直线的距离2d ==，解得0k =（舍），或43k =，即直线PT 的斜率为243k =.如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点，则直线AB 斜率k 的取值范围为413k ≤<，即41,3k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.8.已知对存在的()0,m n ∈+∞、，不等式()222e e 4e eln 4e 2m n m n +≤+恒成立，则（）A.294m n +>B.21m n -<C.222m n -<D.221m n >【答案】C 【解析】【分析】把不等式变形为()21221e41ln402m m n n --+--≤，构造函数证明不等式11ln ,e x x x x --≥≥，根据保值性即可列式求解2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，逐项判断即可.【详解】()()22211222222e 11e4e eln4e e 4ln 4e e 41ln40222m mmn m n n m n m n n --+≤+⇔+≤+⇔-+--≤（1）由()1ln (0)f x x x x =-->，则()111(0)x f x x x x-=->'=，所以当()1,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()10f x f ≥=，即1ln x x -≥.由()1ex g x x -=-，则()1e 1x g x -='-，所以当()1,x ∞∈+时，()()0,g x g x '>单调递增，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()10g x g ≥=，即1e x x -≥.故()21221e,41ln 42m m n n ≥-≥，所以()21221e 41ln402m m n n --+--≥.由（1）式得，当且仅当21241m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以294m n +=，2714m n -=>，2231216m n -=<，22118m n =<.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，对不等式同构变形，然后利用切线不等式结合加法法则，根据保值性得到2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后逐项求解，即可判断.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()34f x x x =-，则下列结论正确的有（）A.函数()f x 在原点()0,0处的切线方程是4y x =-B.233x =是函数()f x 的极大值点C.函数()sin y x f x =+在R 上有3个极值点D.函数()sin y x f x =-在R 上有3个零点【答案】AD 【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A ，求出函数的单调区间，即可判断B ，分析sin y x =的单调性，结合函数图象判断D ，设()()sin g x x f x =+，利用导数说明函数的单调性，即可判断C.【详解】因为()34f x x x =-，则()234f x x ='-，所以()04f '=-，又()00f =，所以()f x 在原点()0,0处的切线方程是4y x =-，故A 正确；因为()234333f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎪，所以当3x <-或3x >时()0f x '>，当33x -<<时()0f x '<，所以()f x在,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和,3∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，因此233是极小值点，故B 错误；因为[]sin 1,1y x =∈-，且在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，画出()y f x =与sin y x =的图象如下所示：因此()y f x =与sin y x =的图象有3个交点，即()sin y x f x =-有3个零点，故D 正确；设()()3sin sin 4g x x f x x x x =+=+-，则()2cos 34g x x x +'=-，令()()2cos 34h x g x x x +'==-，则()6sin h x x x -'=，设()()6sin x h x x x ϕ=-'=，则()6cos 0x x ϕ'=->恒成立，即()h x '是增函数，而()00h '=，所以当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()g x '（即()h x ）在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()0g '=-30<，()()220g g ''-=>，所以()g x '存在两个零点，由()g x '的单调性知这两个零点就是()g x 的两个极值点，故C 错误.故选：AD.10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为,A B ，右焦点F ,P 为双曲线C 在第一象限上的点，则下列结论正确的有（）A.双曲线C 的渐近线方程为y =B.双曲线C 的离心率为C.设直线AP 的倾斜角为α，直线BP 的倾斜角为β，则tan tan αβ⋅为定值D.若直线PF 与双曲线的两条渐近线分别交于M N 、两点，且2FM FN =，则2MOF NOF S S =△△【答案】ACD 【解析】【分析】求出右焦点F 到渐近线的距离，进而求得b =，再逐项分析计算即可得解.【详解】依题意，设(c,0)F ，而双曲线2222:1x yC a b-=的渐近线为0bx ay ±=，则点Fb =，因此b =，2c a =，对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y =，A 正确；对于B ，双曲线C 的离心率为2ca=，B 错误；对于C ，显然(,0),(,0)A a B a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b -=，即2222002()b y x a a=-，所以22000222000tan tan 3y y y b x a x a x a a αβ⋅=⋅===+--为定值，C 正确；对于D ，由2FM FN =，得N 是FM 的中点，则2MOF NOF S S =△△，D 正确.故选：ACD11.如图，已知二面角l αβ--的平面角为π3，棱l 上有不同的两点,,A B AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥.若2AC AB BD ===，则下列结论正确的是（）A.点D 到平面α的距离是2B.直线AB 与直线CD 的夹角为π4C.四面体ABCD 的体积为3D.过,,,A B C D 四点的球的表面积为28π3【答案】BCD 【解析】【分析】补成正三棱柱，根据正三棱柱的性质即可求点面距离判断A ，根据异面直线夹角定义求解判断B ，根据等体积法求解判断C ，利用球的性质确定外接球的球心，根据勾股定理求出R ,由表面积公式即可求解判断D.【详解】在平面α内过B 作与AC 平行且相等的线段BE ，连接EC ，在平面β内过A 作与BD 平行且相等的线段AF ，连接,,FD FC ED ，补成一个正三棱柱,AFC BDE BDE -△是边长为2的正三角形，所以D 到平面α的距离为点D 到BE的距离22⨯=，所以A 错误；因为AB FD ∥，直线AB 与直线CD 的夹角即直线FD 与直线CD 的夹角，又FDEC 是正方形，所以夹角为π4，B正确；111223323A BCD D ABC ABC V V S --===⨯⨯⨯=，所以C 正确；如图，取AD 的中点1O ，BC 的中点2O ，1O ，2O 为ABD △，ABC 的外心，取AB 的中点M ，连接1MO ，2MO ，则2O M AB ⊥，1O M AB ⊥，所以21O MO ∠是二面角l αβ--的一个平面角，则21π3O MO ∠=，过2O 作平面ABC 的垂线和过1O 作平面ABD 的垂线，交于点O ，O 即为外接球球心，所以2OO ⊥平面CAB ，1OO ⊥平面DAB ，连接OM ，12112O M O M BD ===，所以易证得：1O MO 与2O MO 全等，所以12π6OMO OMO ∠=∠=，所以在直角三角形1111,tan 3013OO OO O MO MO ︒===，所以133OO =，3OD R=====，则过,,,A B C D四点的球的表面积为228π4πR3S==球，所以D正确.故选：BCD【点睛】方法总结：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：1、定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；2、作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；3、求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d=+（r为底面多边形的外接圆的半径，R为几何体的外接球的半径，d表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线()120k x y k++--=恒过定点P，则点P到直线20x y--=的距离为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线恒过定点P的坐标，然后代入点到直线距离公式求解即可.【详解】由直线()120k x y k++--=化为()()120k x x y-++-=，令1020xx y-=⎧⎨+-=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，于是此直线恒过点()1,1P.由点到直线的距离公式得P到直线20x y--=的距离d==.13.若251121111C C Cx x x--=+，则正整数x的值为______.【答案】5【解析】【分析】利用组合数性质化简方程，根据组合数性质解方程即可.【详解】由组合数性质：11C C C m m m n nn -+=+，可得1111112C C C x x x -+=，则251212C C x x-=，所以25x x -=或2512x x -+=，解得5x =或173x =（舍）.故答案为：514.如图，已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线交于第一象限的,A B 两点，若AFB CFB ∠=∠，则直线AF的斜率k =_________．【解析】【分析】设直线l 的方程为2,0x my m =->，与抛物线方程联立表示出,AB BC ，再结合正弦定理，抛物线焦半径公式及韦达定理即可求解．【详解】由题意得，()()2,0,2,0F C -，当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线只有1个交点，不合要求，故设直线l 的方程为2,0x my m =->，联立28y x =，可得28160y my -+=，易得()2Δ641m =-，即210m >>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212120,8,16y y y y m y y >>+==，则1222,AB y y BC y y =-==，由正弦定理得,CF BCAFAB ==∠∠∠∠，因为,πAFB CFB CBF ABF ∠=∠∠+∠=，所以CF BCAF AB =，即2124y AF y y ==-，又由焦半径公式可知111222AF x my my =+=-+=，则21124y my y y =-，即121244my y y y =-=即16m =，解得3m =，满足21m >，于是1212,163y y y y +==，解得(16,y A =，所以43062k ==-，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()e sin 2xf x a x =+-，且()f x 在点()()0,0f 处的切线与直线210x y +-=垂直.（1）求a 的值；（2）当0x ≥时，求()f x 的导函数()f x '的最小值.【答案】（1）1（2）2【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义及直线垂直的斜率关系列方程求解即可；（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求解函数的最小值.【小问1详解】因为()cos e xf x x a =+'，所以()10f a '=+，因为直线210x y +-=的斜率为12-，所以()1112a ⎛⎫+⋅-=- ⎪⎝⎭，解得1a =；【小问2详解】令()()()cos e 0xg x f x x x +'==≥.()sin e 0x g x x =+'-> ，()f x '∴在[)0,∞+上单调递增.()f x '∴的最小值是()00cos0e 2f ='+=.16.已知数列{}n a 中，122,4a a ==，且2132n n n a a a ++=-.（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log ,n n n n b a a S =为数列{}n b 的前n 项和，求使1262n n n S +⋅-≤成立的正整数n 的最大值.【答案】（1）证明见解析，2n n a =；（2）5.【解析】【分析】（1）将已知变形为()2112n n n n a a a a +++-=-，即可得证，然后利用累加法可得通项；（2）根据错位相减法求出n S ，代入不等式求解即可.【小问1详解】由已知得()2112n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}1n n a a +-是以212a a -=为首项，公比为2的等比数列.所以11222n n n n a a -+-=⨯=.当2n ≥时，12112212,2,,2n n n n n n a a a a a a ------=-=-= .累加得12122222n n n n a a ---=+++=- ，()22n n a n ∴=≥，当1n =时满足上式，2nn a ∴=.【小问2详解】由（1）知22log 22nnnn b n ==⋅.()231122232122n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ①，()23412122232122n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②，①-②得()231122222122nn n n S n n ++-=++++-⋅=-⋅- ，()1122n n S n +∴=-⋅+.由1262n n n S +⋅-≤得162642n +≤=，16n ∴+≤，即5n ≤.所以，所求正整数n 的最大值为5.17.在ABC 中，,242B AB BC π===，点D E 、分别为边AC AB 、的中点，将AED △沿DE 折起，使得平面AED ⊥平面BCDE .（1）求证：DC AE ⊥；（2）在平面ACD 内是否存在点M ，使得平面AEM ⊥平面ABD ？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点M ，M 点在直线AN （N 点在直线CD 上且13DN DC =）上【解析】【分析】（1）利用已知可得AE ED ⊥，结合面面垂直可得⊥AE 平面BCDE ，可证结论.（2）以点E 为原点，以EB ED EA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系E xyz -，求得平面ABD 的一个法向量，若AM DC ∥，求得平面AEM 的一个法向量，可判断此情况不成立，若AM 与DC不共线，设AM CD N = ，连接EN ，利用0EN BD ⋅=，可求得结论.【小问1详解】在ABC 中， 点D 、E 分别为边AC 、AB 的中点，DE BC ∴∥且,2B AE ED π=∴⊥.又 平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面,BCDE ED =AE ⊂平面AED ，AE ∴⊥平面BCDE .又DC ⊂ 平面,BCDE DC AE ∴⊥.【小问2详解】由（1）知，,,AE ED AE EB EB ED ⊥⊥⊥.以点E 为原点，以EB ED EA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系E xyz -.则()()()()()0,0,02,0,02,2,00,1,00,0,2E B C D A 、、、、.()()()0,0,22,0,20,1,2EA AB AD ==-=- 、、，设(),,m x y z =为平面ABD 的一个法向量，则0220200m AB x z y z m AD ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ ，取1z =，则()1,2,1m = .假设在平面ACD 内存在点M ，使得平面AEM ⊥平面ABD .连接AM .若AM DC ∥，则设()2,,0AM DC μμμ== .设平面AEM 的一个法向量为(),,n a b c =.由020200n EA a b c n AM μμ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ ，取1a =，则()1,2,0n =- . 平面ABD 的法向量()1,2,1m =.由0m n ⋅≠知，此情况不成立.若AM 与DC不共线，设AM CD N = ，连接EN.设()()2,1,02,,0DN DC λλλλ=== ，则()2,1,0EN ED DN λλ=+=+.当()()2,1,02,1,00EN BD λλ⋅=+⋅-= ，即13λ=时，BD EN ⊥.又,AE BD BD ⊥∴⊥ 平面AEN ，即平面ABD ⊥平面AEN ，也即平面AEM ⊥平面ABD .所以在平面ACD 内存在点M ，当M 点在直线AN （N 点在直线CD 上且13DN DC =）上时，平面AEM ⊥平面ABD .18.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，且满足：()()()()00,00,f R f R =''=()()()()()()00,,00m n m n f R f R ++=⋅⋅⋅=''''.（注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()(),f x f x ''''⎡'⎤⎣⎦'=()()()()()()()()()454,,,n f x f x fx fx fx ''⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦''为()()1n f x -的导数）已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1mxg x nx=+.（1）求实数,m n 的值；（2）证明：当0x ≥时，()()f x g x ≥；（3）设a 为实数，讨论方程()()02af xg x -=的解的个数.【答案】（1）11,2m n ==；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据()()()()00,00f g f g '''='''=列方程组求解可得；（2）构造函数()()()x f x g x ϕ=-，利用导数求单调性，由()()0x ϕϕ≥即可得证；（3）构造函数()()()2ah x f x g x =-，分2a ≤，2a >利用导数讨论单调性，利用单调性判断零点个数.当2a >时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.【小问1详解】由()()()ln 1,1mxf x xg x nx=+=+，有()()00f g =，可知()()()()223112,,,1(1)(1)(1)m mnf x f xg x g x x x nx nx -==-=''''=+++''+，由题意，()()()()00,00f g f g '''='''=，所以121m mn =⎧⎨-=-⎩，解得11,2m n ==.【小问2详解】由（1）知，()22xg x x =+，令()()()()()2ln 102xx f x g x x x x ϕ=-=+-≥+，则()()2221401(2)1(2)x x x x x x ϕ=-=++'≥++，所以()x ϕ在其定义域()1,∞-+内为增函数，又()()()0000f g ϕ=-=，0x ∴≥时，()()()()00x f x g x ϕϕ=-≥=，得证.【小问3详解】()()()()ln 122a ax h x f x g x x x =-=+-+的定义域是()1,∞-+，()()()()222421121(2)1(2)x a x ah x x x x x +-+=-=++++'.①当2a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在()1,∞-+上单调递增，且()00h =，所以()h x 在()1,∞-+上存在1个零点；②当2a >时，令()()()()()224214242t x x a x x a x a =+-+=+-+-，由()0t x =，得()()1222x a x a =--=-.又因为()()110,0420t t a -=>=-<，所以()()121,0,0,x x ∞∈-∈+.x()11,x -1x ()12,x x 2x ()2,x ∞+()h x '+-0+()h x 单调递增极大值()1h x 单调递减极小值()2h x 单调递增当()12,x x x ∈时，因为()00h =，所以()h x 在()12,x x 上存在1个零点，且()()()()1200,00h x h h x h >=<=；当()11,x x ∈-时，因为()()e 12ee1lne 0e 1e 1a aaaaaa a h ---------=-=<++，1<e 10a ---<，而()h x 在()11,x -单调递增，且()10h x '=，而()e10ah --<，故11e 1a x --<-<，所以()h x 在()11,x -上存在1个零点；当()2,x x ∞∈+时，因为()()e 12e 1lne 0e 1e 1a a a a aa ah --=-=>++，e 10a ->，而()h x 在()2,x ∞+单调递增，且()20h x '=，而()e 10ah ->，所以2e 1ax ->，所以()h x 在()2,x ∞+上存在1个零点.从而()h x 在()1,∞-+上存在3个零点.综上所述，当2a ≤时，方程()()02af xg x -=有1个解；当2a >时，方程()()02af xg x -=有3个解.【点睛】思路点睛：关于零点个数问题，一般从以下方面入手：（1）转化为两个函数图象相交问题进行讨论；（2）利用导数求极值，根据极值符号，结合单调性以及变化趋势进行判断；（3）利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理进行判断.19.已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线2x =截椭圆Γ所得的弦长为（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线2x =与x 轴交于点,P A C 、为粗圆Γ上的两个动点、且均位于第一象限（不在直线2x =上），直线AP 、CP 分别交椭圆于B D 、两点，直线AD BC 、分别交直线2x =于E F 、两点.①设()11,A x y ，试用11,x y 表示()22,B x y 的坐标；②求证：P 为线段EF 的中点.【答案】（1）22184x y +=（2）①11113833x y x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程即可求解椭圆方程；（2）①设直线AB 的方程，与椭圆方程联立，韦达定理，表示出12,y y ，代入即可求解；②先求出直线AD 的方程，令2x =得E y 311331311322338x y x y y y x x x x -+-=+--，进而0E F y y +=，即可证明.【小问1详解】已知2c e a ===，可得222a b =，所以椭圆方程为222212x y b b +=，由直线2x =截椭圆Γ所得的弦长为(在椭圆上，故22222(2)12b b+=，解得24b =，则2b =，故椭圆Γ的标准方程22184x y +=；【小问2详解】①设直线AB 的方程为2x my =+（由题意可知，其斜率不为0），与椭圆22184x y +=联立得()222440m y my ++-=，0∆>，可得12242y y m =-+，由112x my =+，有112x m y -=，于是有()1222221111111444244222y y x y x my x y y ---===+-+⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而221128x y +=，所以1213y y x =--.又222x my =+，所以111121111223822333x y x x x y x x x ⎛⎫---=⋅-+=+= ⎪---⎝⎭.②设()()3344,,,C x y D x y ，同理由①，可知33443338,33x y x y x x -==--直线AD 的方程为()411141y y y x x y x x -=-+-，令2x =得：33311141144133334113382222333383E x y yy x y x y x y y y x x x y x x x x x -⋅-⋅+--+----==----311331311322338x y x y y y x x x x -+-=+--，同理，F 的坐标只需要将上式中的()11,x y 和()33,x y 作一个交换即可，E y 的表达式中分母是对称的，分子刚好是一个逆序的即311331311322338F x y x y y y y x x x x -+-=-+--，从而0E F y y +=，故P 为EF 的中点.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；第21页/共21页（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2019-2020学年湖北省四地七校考试联盟高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，则p等于（）A．B．0C．1D．2．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则f'（）＝（）A．B．1C．D．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6+a7＝24，S8＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．3C．4D．84．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）A．105种B．210种C．630种D．1260种5．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．6．位于坐标原点的一个支点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（）A．（）6B．C（）6C．C（）2D．C C（）67．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a2＝（）A．40B．﹣40C．80D．﹣808．已知直线y＝a分别与函数y＝e x+2和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．9．如图，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若＝3，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．210．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有3f（x）+xf'（x）＜0，则不等式（x+2020）3f（x+2020）+8f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2020，+∞）B．（﹣∞，2022）C．（﹣2022，﹣2020）D．（﹣2020，﹣2018）11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π12．已知函数f（x）＝，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣二、填空题（共4小题）.13．顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是．14．若函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是．15．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为．16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为．（参考数据：X，X，P）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．18．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a为常数．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，∠ABC＝60°，点M为棱PC的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点（E，F与所在棱的端点不重合），且满足BE＝BF．（1）证明：平面PEF⊥平面MBD；（2）当三棱锥F﹣PEC的体积最大时，求二面角C﹣ME﹣F的余弦值．20．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：维修次数0123台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？21．已知点A为圆C：x2+y2＝4上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P为线段AB的中点，设点P的轨迹为Γ．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）已知直线l与Γ交于M，N两点，Q（0，1），若直线QM，QN的斜率之和为3，直线l是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）＝e2x﹣alnx，函数的图象在点（1，g（1））处的切线方程为y﹣3＝0．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（Ⅱ）若a≤0，且f（x）在[e，+∞）上的最小值为e2x，证明：当x＞0时，f（x）≥g（x）．参考答案一、选择题（共12小题）.1．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，则p等于（）A．B．0C．1D．【分析】利用二项分布的期望与方差公式，转化求解即可．解：随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，可得np＝300，np（1﹣p）＝100，故选：A．2．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则f'（）＝（）A．B．1C．D．【分析】先由复合函数的求导公式求出f′（x），再把x＝代入计算．解：函数f（x）＝sin（2x﹣），f′（x）＝[sin（2x﹣）]′•（2x﹣）′＝2cos （2x﹣），则f′（）＝2cos（2×﹣）＝2cos＝，故选：D．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6+a7＝24，S8＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．3C．4D．8【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得答案．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6+a7＝24，S8＝48，∴{a n}的公差为3．故选：B．4．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）A．105种B．210种C．630种D．1260种【分析】根据题意，分2步进行分析：①先将7人按照3人、2人、2人分成三个小组，②将分好的三组全排列，对应三个不同病房，由分步计算原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①先将7人按照3人、2人、2人分成三个小组，有＝105种分组方法，②将分好的三组全排列，对应三个不同病房，有A33＝6种情况，则有105×6＝630种安排方案；故选：C．5．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．【分析】由题可知，焦距F1F2＝6，设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可列出关于线段PF1和PF2的长的方程组，解之可得PF1和PF2的长，然后在△PF1F2中，结合余弦定理即可得解．解：由题可知，焦距F1F2＝6，不妨设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可知，在△PF1F2中，由余弦定理可知，cos∠F1PF4＝．故选：A．6．位于坐标原点的一个支点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（）A．（）6B．C（）6C．C（）2D．C C（）6【分析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动4次，由此能求出质点P移动6次后位于点（2，4）的概率．解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动4次，因此质点P移动6次后位于点（2，2）的概率为：故选：B．7．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a2＝（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】将原式化为[1+2（x﹣1）]5，然后利用通项求出含（x﹣1）2的系数即可．解：原式＝[1+2（x﹣1）]5，故展开式中（x﹣1）3项为．故选：A．8．已知直线y＝a分别与函数y＝e x+2和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，a），B（x2，a），依题意，可得|AB|＝a2+3﹣lna，设f（a）＝a2+3﹣lna，利用导数求其最小值即可得解．解：依题意，设A（x1，a），B（x2，a），则，即，由指数函数及根式函数的图象及性质可知，x6＜x2，设f（a）＝a2+3﹣lna，则，∴，即A，B之间的最短距离是．故选：C．9．如图，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若＝3，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设PF2＝m，PF1＝n，由于＝3，M为PQ的中点，且，∴M为QF1的三等分点，且△F2PQ为等腰三角形，于是可得QF1＝3PF1＝3n，QF2＝PF2＝m，由双曲线的定义可知，，即，可解得m和n．在Rt△MPF2和Rt△MF1F2中，通过中间量MF2，利用勾股定理可建立关于a和c的等量关系，即16a2+3×4a2＝4c2，化简得，故而可求得离心率．解：设PF2＝m，PF1＝n，∵＝3，且M为PQ的中点，∴M为QF1的三等分点，QF1＝3PF1＝3n，由双曲线的定义可知，，即，解得．在Rt△MF1F2中，，∴，故选：B．10．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有3f（x）+xf'（x）＜0，则不等式（x+2020）3f（x+2020）+8f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2020，+∞）B．（﹣∞，2022）C．（﹣2022，﹣2020）D．（﹣2020，﹣2018）【分析】根据条件，构造函数g（x）＝x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．解：构造函数g（x）＝x3f（x），g′（x）＝x2（3f（x）+xf′（x））；当x＜0时，∴g′（x）＜0；g（x+2020）＝（x+2020）3f（x+2020），g（﹣2）＝﹣7f（﹣2）；（x+2020）3f（x+2020）＜﹣8f（﹣2）∴x+2020＞﹣2，且x+2020＜3；∴原不等式的解集为（﹣2022，﹣2020）．故选：C．11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a＝a2b，所以a2b＝4；所以a2＝，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．12．已知函数f（x）＝，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】求出x1＝，即x2＝lnx1，＝＝k，得到e k＝k3e k，令h（k）＝k3e k，k＜0，根据函数的单调性求出h（k）的最小值即可．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（4）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f（x）＞4，则0＜x1＜6且f（x1）＝g（x2）＝f（），故e k＝k3e k，令h（k）＝k5e k，k＜0，令h′（k）＜0，解得k＜﹣3，令h′（k）＞5，解得：﹣3＜k＜0，∴h（k）min＝h（﹣3）＝﹣，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是或．【分析】由题意设出抛物线的标准方程，分类代入P点坐标求解p，则答案可求．解：由抛物线过点P（﹣2，3），可设抛物线方程为y2＝﹣7px（p＞0）或x2＝2py（p ＞0）．若抛物线方程为y2＝﹣2px（p＞0），则32＝﹣2p×（﹣7），得p＝，若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则（﹣2）2＝2p×3，得p＝，故答案为：或．14．若函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围．解：函数f（x）＝x+alnx的定义域为：x＞0．函数f（x）＝x+alnx的导数为：f′（x）＝1+，当a＜0时，函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．15．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为．【分析】学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场包含的基本事件个数n ＝＝384，其中学生丙第一个出场包含的基本事件个数m＝＝96，由此能求出在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率．解：某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场包含的基本事件个数n＝＝384，学生丙第一个出场包含的基本事件个数m＝＝96，学生丙第一个出场的概率为p＝＝．故答案为：．16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为131022．（参考数据：X，X，P）【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为2，2，1，对应杨辉三角形的第3行，第1行为23，第2行为21，第3行为27，以此类推则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣6，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，由于最右侧为2，3，4，5，……，为个首项是2公差为1的等差数列，则杨辉三角形的前17项的和为S17＝417﹣1，且前17行中有15×2+3＝33个4，故答案为：131022．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．【分析】（1）利用数列是等比数列，结合等差数列，求出数列的首项，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．解：（1）数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），可得数列{a n}是公比为2的等比数列，又知a2，a8+2，a4成等差数列，可得8（a3+2）＝a7+a4，（2）由（1）知a n＝2n，所以b n＝＝＝（），则T n＝．18．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a为常数．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值．【分析】（1）当a＝1时，对f（x）求导，由函数的单调性可得函数的最大值；（2）对f（x）求导，分类讨论求得函数在（0，e]的单调性，求出函数的最大值为﹣2，求得a的值．解：（1）a＝1时f（x）＝lnx﹣x，则f'（x）＝﹣1＝（x＞8），令f'（x）＝0，x＝1，x∈（0，1），f'（x）＞6，所以函数f（x）单调递增，所以x∈（0，+∞）时，f（x）≤f（1），即f（1）为最大值且为﹣1，（2）f'（x）＝﹣a，x∈（0，e]，∈[，+∞），①当a≤0时f'（x）＞0，可得函数f（x）在（0，e]上单调递增；所以f（e）最大为lne﹣ae＝﹣2，解得a＝，不符合题意；②当a＞0时f'（x）＝0，则x＝，x∈（0，），f'（x）＞0，函数f（x）单调递增x∈（，+∞），f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以x∈（0，e]，f（e）为最大值且lne﹣ae＝﹣2，解得a＝，不符合题意；所以x∈（0，e]，当x＝时，即f（）最大，且为ln﹣•a＝﹣2，解得a＝e，满足条件，综上所述满足条件，a的值为e．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，∠ABC＝60°，点M为棱PC的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点（E，F与所在棱的端点不重合），且满足BE＝BF．（1）证明：平面PEF⊥平面MBD；（2）当三棱锥F﹣PEC的体积最大时，求二面角C﹣ME﹣F的余弦值．【分析】（1）连接AC交BD于N，连接MN，证明MN∥PA，可得MN⊥底面ABCD，得到AC⊥MN，由直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面MBD，再证明即EF∥AC．可得EF⊥平面MBD，从而得到平面PEF⊥平面MBD；（2）设BE＝BF＝x，由题意，，写出三棱锥F ﹣PEC的体积，由基本不等式求最值，可得E，F分别为AB，BC的中点，以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面MEF的一个法向量与平面MEC的一个法向量，由两向量所成角的余弦值可得二面角C ﹣ME﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC交BD于N，连接MN，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AN＝NC，由PA⊥底面ABCD，知MN⊥底面ABCD，又BD∩MN＝N，BD，MN⊂平面MBD，∴AC⊥平面MBD，∴EF⊥平面MBD，（2）解：设BE＝BF＝x，由题意，，当x＝2时，三棱锥F﹣PEC的体积最大．以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．，，．由，取x6＝1，得；由，取z2＝1，得．由图可知，所求二面角为锐二面角，则二面角C﹣ME﹣F的余弦值为．20．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：维修次数0123台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？【分析】（1）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应概率，由此能求出X的分布列．（2）选择延保方案一，求出所需要费用Y1元的分布列，从而EY1＝1000元，选择延保方案二，求出所需要费用Y2元的分布列，EY2＝1030元，因此能求该工厂选择延保方案一较合算．解：（1）由题意X的可能取值为0，1，2，3，6，5，6，P（X＝0）＝，P（X＝7）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝6）＝，Y1700900110013001500PEY1＝+（元），Y2100011001200PEY2＝＝1030（元），∵EY1＜EY6，∴该工厂选择延保方案一较合算．21．已知点A为圆C：x2+y2＝4上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P为线段AB的中点，设点P的轨迹为Γ．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）已知直线l与Γ交于M，N两点，Q（0，1），若直线QM，QN的斜率之和为3，直线l是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）设点P（x，y），则B（x，0），A（x，2y），把点A的坐标代入圆的方程有，x2+（2y）2＝4，即，此即为点P的轨迹Γ的方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），然后分两类讨论：①当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m（m≠1），将其与椭圆的方程联立，写出韦达定理，再用M、N和Q的坐标表示出直线QM，QN的斜率，利用斜率之和为3，得，结合之前得出的韦达定理，化简整理后有，所以直线l：恒过定点；②当直线l的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝﹣y2，仍然利用直线QM，QN的斜率之和为3，可求得直线l：，也恒过定点，故而得解．解：（1）设点P（x，y），则B（x，0），A（x，2y），∵A在圆C上，∴x2+（5y）2＝4，即．（2）设M（x8，y1），N（x2，y2），①当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m（m≠1），联立，得（4k3+1）x2+7kmx+4m2﹣4＝0，∵直线QM，QN的斜率之和为3，∴，即，∵4k7﹣m2+1＞0，∴8k2+3k＞0，即，②当直线l的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝﹣y2，∴，此时直线l：，也恒过定点．综上所述，直线l恒过定点，定点的坐标为．22．已知函数f（x）＝e2x﹣alnx，函数的图象在点（1，g（1））处的切线方程为y﹣3＝0．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（Ⅱ）若a≤0，且f（x）在[e，+∞）上的最小值为e2x，证明：当x＞0时，f（x）≥g （x）．【分析】（Ⅰ）求出导函数，再分a≤0及a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）先依题意容易求得m＝1，n＝2，再将问题等价于证明x（e2x﹣2）﹣lnx≥1，构造函数h（x）＝x（e2x﹣2）﹣lnx，利用导数求出函数h（x）的最小值即可得出结论．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．显然当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f'（x）无零点．则，即f'（x）单调递增，所以导函数f'（x）存在唯一零点．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）单调递增，所以，所以a＝0．所以，所以m＝1．根据题意，要证f（x）≥g（x），即证，只需证x（e2x﹣2）﹣lnx≥1．令，则，又，，当x∈（0，x0）时，F（x）＜8，即h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以．故f（x）≥g（x）．。