06-第6讲函数极限的运算

函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。

四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。

在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。

1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。

证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

证明方法与加法法则类似，略。

3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

求函数极限的方法与技巧函数极限是微积分中的重要概念，在解决实际问题和进行理论推导时经常需要用到。

在计算函数极限时，常常使用一些方法和技巧可以简化计算过程。

下面将介绍一些常用的函数极限计算方法和技巧。

一、代数运算法则1. 乘积运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)g(x)]=AB。

2. 商运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B且B≠0，则lim(x->a)[f(x)/g(x)]=A/B。

3. 加法运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)+g(x)]=A+B。

4. 减法运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)-g(x)]=A-B。

以上的代数运算法则可以简化函数极限的计算过程，通过运用这些法则可以将一个复杂的函数极限问题转化为多个简单的函数极限问题。

二、夹逼准则夹逼准则也是常用的一种函数极限计算方法。

如果存在函数g(x)和h(x)，使得对于x 在a的某个去心邻域内，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim(x->a)g(x)=lim(x->a)h(x)=L，则lim(x->a)f(x)=L。

夹逼准则利用了三个函数之间的大小关系，将复杂的函数极限问题转化为两个较为简单的函数极限问题。

三、分子有理化和分母有理化在计算函数极限时，有时候分子或分母不是有理式，而是含有根号、分数等形式。

这时可以利用分子有理化和分母有理化的方法将其化简为有理式，再进行运算。

当计算lim(x->0)(sinx/x)时，可以将其改写为lim(x->0)(sinx)/(x/x)的形式，然后再利用等式lim(x->0)(sinx)/x=1来计算极限。

函数的极限函数的极限定义和计算方法函数的极限：定义和计算方法函数的极限是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

它帮助我们理解函数在自变量逼近某一特定值时的表现，并可以用于求解各种问题。

本文将介绍函数的极限的定义和常见的计算方法。

一、函数的极限的定义对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，那么我们说函数f(x)在点x=a处的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这里，lim表示极限的意思，(x→a)表示x无限接近a，f(x)表示函数f在x处的函数值。

需要注意的是，函数的极限可能存在或者不存在。

如果一个函数的某个点存在极限，那么它的极限值是唯一的。

此外，函数的极限和函数在该点的取值无关，只与函数的定义域和自变量逼近的点有关。

二、函数的极限的计算方法对于常见的函数，可以使用下列计算方法求出函数的极限：1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，计算函数值。

这种方法适用于简单的函数，在函数式中出现除零或者无法计算函数值的情况下，不能直接使用。

2. 因子分解法：将函数式进行因子分解，化简为可能更易计算的形式。

通过因子的性质，可以将极限计算为各个因子的极限之积。

3. 主要部分法：将函数式中的主要部分提取出来，然后计算主要部分的极限。

主要部分是指影响极限值的部分，对于复杂函数，可以通过忽略高次项、无穷小量等方式找到主要部分。

4. 夹逼定理：对于难以计算的函数，可以通过夹逼定理来求解。

夹逼定理指出，如果函数g(x)无限接近L，函数h(x)无限接近L，且函数f(x)总是位于g(x)和h(x)之间，那么函数f(x)的极限也是L。

5. 分部求和法：对于一些敛散性序列或级数，可以通过分部求和将其转化为已知的序列或级数，从而求得极限。

三、示例：下面我们通过几个例子来说明函数的极限的计算方法。

例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在x→2 时的极限。

第六讲 两个重要极限 无穷小量的比较一、回顾上一讲的内容1.极限的运算法则；2.极限准则.二、本节教学内容：1、无穷小的比较； 2. 两个重要极限；[教学目的与要求]1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小.[教学重点与难点]无穷小比较阶的概念，两个重要极限的应用§1.6 极限存在准则、两个重要极限（下）一、0sin lim1x xx→= 利用准则Ⅰ可以证明下面的第一重要极限：1sin lim0=→xxx .证 先证1sin lim 0=+→xxx .由于+→0x ，不妨设02x π<<.作单位圆并设圆心角x AOB =∠则 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形∵ x BC OA S AOB sin 2121=⋅=∆， x x OA OA AB OA S AOD 212121=⋅⋅=⋂⋅=扇形， 11tan 22AOD S OA AD x ∆=⋅=，∴tgx x x 2121sin 21 ，即 sin tan x x x <<， 从而有 11sin cos x x x <<或sin cos 1xx x<<.∵ 22201cos 2sin 20(0)222x x x x x +⎛⎫<-=⋅=→→ ⎪⎝⎭，，∴ 1cos lim 0=+→x x ∴ 1sin lim 0=+→xxx 又 1sin lim sin lim 00=---=+-→→t t t x x x t x ∴ 1sin lim 0=→xxx .一般有公式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ （表面特性[]sin[]，本质特性“”0）例1 0tan limx x x →=1)cos 1sin (lim 0=⋅→xx x x .例2 0tan sin limx x x →=1)sin sin sin (lim 0=⋅→xxx x tg x .例3 =-→20cos 1lim x x x =→2202sin 2limx x x 2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x . （或者原式＝21)cos 11sin (lim 220=+⋅→x xx x ）. 例4 x x x xxnn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim 2sin2lim ，但 1sin lim ≠∞→xx x .二、1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭令t x=1，可得另外一种形式 ()e x x x =+→101lim一般情况，e x h x h x h =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ，()e x x x =+→)(10)()(1lim ϕϕϕ.例1 x x x 21lim 0-→()xx x 1021lim -=→()22210)2(1lim ---→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=e x x x .例2 21)11()11(lim 11lim e e e xx x x x xx xx ==-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→. k xx e x k =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim 例3 1)11()11(lim 11lim 1=⋅=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→+∞→e e xxx xx x xx .或者原式xx x x x --+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)11(lim 10)(lim ===-+∞→e e xxx .例4 已知4lim e c x c x xx =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→，则?=c . 左==c e 2右，所以2=c .§1.7 无穷小的比较三、无穷小的比较已知极限为0的函数为无穷小量，但它们趋于0的快慢程度往往不同，如,03lim 0=→x x ,0sin lim 0=→x x ,0lim 20=→x x但 ,03lim 20=→xx x ,313sin lim0=→x x x ∞=→203lim x xx故有必要比较一下它们的快慢，这里用阶的概念来表示. 1. 定义：设0lim =α，0lim =β 若 0lim=αβ，则称β是比α高阶无穷小，记)(0αβ=； 若 0lim≠=c αβ，则称β与α同阶；若 )0(0lim≠=k k αβ，则称β是α的k 阶无穷小； 若 1lim =αβ，则称β与α等价，记β～α.如：0→x 时，)3(02x x =， x sin 与x 3同阶， x sin ～x2. 等价无穷小在求极限中可作代换以简化计算 定理：若α～'α，β～'β，且''lim αβ存在，则=αβlim ''lim αβ . 证 =αβlim=⋅⋅αααβββ''''lim ''lim αβ .在使用中要注意：（1）要记准一些函数的等价无穷小；（2）代换时要么分子、分母一起换，要么只换分子或者分母，要么代换分子或分母中的部分因子，不可代换加式.0→x 时，x ～x sin ～tgx ～x arcsin ～)1ln(x +～1-x e ～)11(2-+x ，x cos 1-～221x 等.例1 )1ln(11lim 20x x x x +-++→x x x x 2lim 20+=→2121lim 0=+=→x x . 或者原式21)11(lim 22=++++=→x x x x x x . 例2 x x tgx x 30sin sin lim-→0lim 30=-=→xxx x （×）. 应该是 原式=-=→x x x x 20sin cos cos 1lim 21cos 21lim 220=→x x xx . 例3 当0→x 时,x x x tan ,sin ,都是无穷小, 因为1sin lim0=→x x x ,以及1cos 1sin lim tan lim 00==→→xx x x x x x ,所以, 当0→x 时, x ~x sin ~x tan .例4 当0→x 时,1ln )1ln(lim )1ln(lim100==+=+→→e x xx x x x ，1)1ln(lim )1(1lim 00=+=-==-→→u ue u x e u x x x 令.所以, 当0→x 时, x ~)1ln(x +~1-x e . 例5 设α为实数,容易验证,()ln 100(1)11lim lim x x x x e x x αα+→→+--==()()()ln 10ln 11lim .ln 1xx x e x xαααα+→+-=+所以, 当0→x 时, x x αα~1)1(-+.小结1、两个重要极限； 2. 无穷小的比较.作业作业: p24 习题 1.6: 1 (1),(3),(5)；2 (2),(4),(6). p26 习题 1.7: 3，4 (2),(4),(6)，5， 预习：第一章1.8，1.9。