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集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
1.1.2集合的表示方法学习目标：1、掌握集合的表示方法，集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）2、用列举法、描述法表示一个集合.知识要点:集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）能不能表示无限集？（只能表示存在规律的集合）{0,2,4,6,8,}A n =3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.① {(,)x y y =中的元素是点。
满足条件的二元方程的解集，是成对出现的。
② {x y = {y y = {y 表示单元素集合，方程的解。
4、维恩(Venn)图（文氏图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.学习中应注意的问题：①注意a 与{}a 的区别，②注意Φ与{0}的区别， {0}是含有0一个元素的集合。
集合的表示法1．集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn 图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn 图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}表示实数x 的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B 实际理解为：x 是A 且是B 中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁U A）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁U A）∪（∁U B）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．。
集合的介绍与表示方法集合在数学中是一种基本的概念，广泛应用于各个领域，如数学、计算机科学、物理学等。
本文将介绍集合的基本概念、性质以及几种常见的表示方法。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同性质的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含了元素1、2和3的集合。
如果一个元素x属于集合A，我们可以用x∈A表示。
集合的特点是无序性，即集合中的元素没有先后之分；独一性，即集合中的元素不会重复出现。
二、集合的性质1. 子集关系：如果集合B的所有元素都属于集合A，则称B是A的子集，用B⊆A表示。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={1, 3}，则B是A的子集。
2. 并集和交集：并集即两个集合合并在一起，交集即两个集合共有的元素。
如果A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}表示A和B的并集，A∩B={3}表示A和B的交集。
3. 补集：对于给定的一个集合A和所在的全集U，集合A对于U的补集即U中不属于A的元素构成的集合。
用A'表示，例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过直接列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含元素1、2和3的集合。
2. 描述法：通过给出集合中元素的属性或特征来表示集合。
例如，A={x | x是偶数，x>0}表示由所有大于0的偶数构成的集合。
3. 结论法：通过得出一些结论，将满足条件的元素组成集合。
例如，设集合A={x | x^2=1}，则A={-1, 1}表示满足平方等于1的元素构成的集合。
4. 包含法：通过规定元素属于某个集合，定义包含关系。
例如，全集为U，集合A={x | x∈U, x是奇数}表示U中的奇数构成的集合。
集合的表示方法：列举法摘要：一、集合的定义与作用二、集合的表示方法：列举法1.基本概念2.应用场景3.列举法的优点与局限性三、列举法的实践案例四、总结与展望正文：一、集合的定义与作用集合是数学中的一个基本概念，它由具有某种特定性质的对象组成。
集合论是数学的基础，研究集合的性质和运算，具有广泛的应用，如概率论、组合数学、计算机科学等领域。
二、集合的表示方法：列举法1.基本概念列举法是一种表示集合的方法，它通过列出集合中的所有元素来表示该集合。
列举法清晰地展示了集合中的元素，便于理解和识别。
2.应用场景列举法适用于较小规模的集合，特别是在需要展示集合元素具体内容的情况下。
例如，用列举法表示一个班级的学生名单，可以清晰地了解每个学生的姓名。
3.列举法的优点与局限性优点：直观、清晰，易于理解。
局限性：当集合规模较大时，列举法可能显得繁琐，不易于展示。
此外，对于动态变化的集合，列举法难以反映集合的实时状态。
三、列举法的实践案例在实际应用中，列举法可以帮助我们更好地理解和分析问题。
以下是一个实践案例：假设有一个包含水果的集合，我们需要找出其中的苹果和橙子。
通过列举法，我们可以将集合表示为：{苹果，橙子，香蕉，葡萄，柠檬}这样，我们可以清晰地看到集合中的水果种类，便于进行进一步的分析和操作。
四、总结与展望作为一种表示集合的方法，列举法在实际应用中具有重要作用。
然而，随着集合规模的扩大和动态变化，列举法的局限性也逐渐显现。
因此，研究更多有效的集合表示方法和完善集合论，对于数学及相关领域的发展具有重要意义。
§1.1.2 集合的表示方法
课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．列举法
把集合的所有元素都______出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个__________．于是，集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为____________，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
一、选择题
1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )
A ．{0,1,2,3,4}
B ．{1,2,3,4}
C ．{0,1,2,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )
A ．方程y ＝2x －1
B ．点(x ，y )
C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合
3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)}
C ．{x ＝2，y ＝3}
D ．(2,3)
4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( )
A ．{1,1}
B ．{1}
C ．{x ＝1}
D ．{x 2－2x ＋1＝0}
5．已知集合A ＝{x ∈N|－3≤x ≤3}，则有( )
A ．－1∈A
B ．0∈A C.3∈A D ．2∈A
6．集合{x |x ＝a |a |＋|b |b －c |c |
，a ，b ，c ∈R}的列举法表示应该是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{1,3}
C ．{－1,1,3}
D ．{－1,1}
题 号
1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x
∈N}＝____________. 8．下列可以作为方程组⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集的是__________(填序号)．
(1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}；
(3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}；
(5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}；
(6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}．
9．已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，(1，－4)∉A ，则满足条件的a 的值为________．
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x －2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合；
(2)方程x 2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x －6<5的解集；
(4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集．
能力提升
12．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z}，N ＝{x |x ＝k 4＋12
，k ∈Z}，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( )
A ．x 0∈N
B ．x 0∉N
C ．x 0∈N 或x 0∉N
D ．不能确定
13．对于a ，b ∈N ＋，现规定：
a *
b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b (a 与b 的奇偶性相同)a ×b (a 与b 的奇偶性不同). 集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋}
(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？
1．在用列举法表示集合时应注意：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
1．1.2 集合的表示方法
知识梳理
1．列举 2.特征性质 {x ∈I |p (x )}
作业设计
1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]
2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]
3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝3. 所以答案为{(2,3)}．]
4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，
∴x 1＝x 2＝1，
故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．]
5．B
6．A
7．{5,4,2，－2}
解析 ∵x ∈Z ，86－x
∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.
此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．
8．(3)(5)(6)
9．0,1,2
解析 ∵(2,1)∈A 且(1，－4)∉A ，
∴2a －1≤3且a ＋4>3，
∴－1<a ≤2，又a ∈Z ，
∴a 的取值为0,1,2.
10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N}；
③{x |x >8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解 (1)文字描述法：{x |x 是正偶数}．
符号描述法：{x |x ＝2n ，n ∈N *}．
(2){x |x 2＋2＝0，x ∈R}．
(3){x |4x －6<5，x ∈R}．
(4){(x ，y )|y ＝2x ＋3，x ∈R ，y ∈R}． 12．A [M ＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z}，N ＝{x |x ＝k ＋24
，k ∈Z}， ∵2k ＋1(k ∈Z)是一个奇数，k ＋2(k ∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]
13．解(1)当a，b奇偶性不同时，a*b＝a×b＝36，
则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M 可表示为：
M＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍
为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．。
