【名校首发】四川省树德中学2014-2015学年高二下学期4月月考数学理 Word版含答案[ 高考]

四川高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知复数（是虚数单位），它的实部与虚部的和是（）A．4B．2C．6D．32.已知集合，则=（）A．B．C．D．3.在三角形ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若变量满足约束条件，则的最小值为（）A．B．0C．1D．2 5.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．－B．C．－D．6.设，向量且，则（）A．B．C．D．7.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则；②若则；③若,则；④若，则.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．38.已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 与双曲线－＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|等于（ ） A ．28B ．32C ．20D ．409.已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －－1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1,x 2，x 3的大小关系是（ ）A ．x 2＜x 1＜x 3B ．x 1＜x 2＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 110.已知椭圆的左右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点P ，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若是上不同的点，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不正确二、填空题1.，，三个数中最大数的是 ．2.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB 的面积是________．3.已知点P(0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为4，则直线l 的一般式方程为 ．4.已知 则当a 的值为 时取得最大值.5.已知同时满足下列条件：①②.则实数的取值范围 .三、解答题1.已知，，分别为三个内角,,的对边，.（Ⅰ）求； （Ⅱ）若=2,的面积为，求,.2.设数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.（I ）求数列的通项公式；（II ）令…，求数列的前项的和.3.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i ）用所给编号列出所有可能的结果; （ii ）设A 为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.4.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（I）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；（II）证明：平面BDE⊥平面BCD；（III）求三棱锥DBCE的体积．5.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（I）求椭圆C的方程；（II）设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值.6.已知函数.（I）当时，讨论函数的单调性；（II）当时，在函数图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为，试探究函数在Q 点处的切线与直线AB的位置关系？（III）试判断当时图象是否存在不同的两点A、B具有(II)问中所得出的结论.四川高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知复数（是虚数单位），它的实部与虚部的和是（）A．4B．2C．6D．3【答案】B【解析】由题意得，所以它的实部与虚部的和是．【考点】复数的运算．2.已知集合，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，所以．【考点】集合的运算．3.在三角形ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，当，可得，而在三角形中，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件．【考点】充分不必要条件的判定．4.若变量满足约束条件，则的最小值为（）A．B．0C．1D．2【答案】A【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，目标函数的最优解为点，联立，解得，所以的最小值为．【考点】线性规划．5.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．－B．C．－D．【答案】D【解析】由题意得，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第4次循环：，此时跳出循环体，计算，故选D．【考点】循环结构的计算与输出．6.设，向量且 ，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得，，解得，则，所以，故选B ．【考点】向量的运算．7.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，给出下列命题： ①若，则；②若则； ③若,则；④若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意得，①中，若，此时与平面不一定是垂直的，所以 不一定正确；②中，若根据垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以是正确的； ③中，若,则是正确的；④总，若，则或与是相交的，故选C ．【考点】线面位置关系的判定．8.已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 与双曲线－＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|等于（ ） A ．28B ．32C ．20D ．40【答案】B【解析】由题意得，双曲线的右焦点，所以抛物线方程为，把直线与抛物线方程联立，可得，设的坐标为，则，所以，故选B ．【考点】双曲线与抛物线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何形性质、抛物线的标准方程及几何性质的有意义，其中熟练掌握圆锥曲线的简单性质的灵活运用是解答此类问题的关键，同时着重考查了抛物线焦点弦的性质，体现了转化的数学思想方法，本题的解答中根据双曲线的标准方程，求出其右焦点的坐标，进而求出抛物线的标准方程，利用直线与抛物线联立，可根据计算长度．9.已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －－1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1,x 2，x 3的大小关系是（ ）A ．x 2＜x 1＜x 3B ．x 1＜x 2＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 1【答案】B 【解析】令，因为函数，，，的零点分别为，函数令与函数的交点的横坐标分别作出函数的图象，结合图象可得，故选B ．【考点】函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了方程的零点的大小判断及函数的图象与性质，解题的关键是结合函数的图象，体现了函数与方程、转化的思想方法及数形结合的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题设函数，的零点分别为，转化为函数与函数的交点的横坐标分别作出函数的图象是解答的关键．10.已知椭圆的左右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点P，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若是上不同的点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．以上都不正确【答案】A【解析】由题意得，椭圆的左右焦点为，所以，直线，设，设，，则且由，所以，所以曲线，因为是上不同的点，，因为，，，所以，因为，所以，整理得，关于的方程有不为的解，所以且，所以且，解得或，故选A．【考点】椭圆的几何性质的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的有意义，着重考查了实数的取值发我的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握圆锥曲线的简单的几何性质，注意函数与方程思想的合理运用，本题的解答中，由已知条件推导出曲线及，由，推出，由此能求出的取值范围．二、填空题1.，，三个数中最大数的是．【答案】【解析】由题意得，，所以最大的数为．【考点】指数、对数式大小判定．2.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．【答案】【解析】由题意得，由图象中可知，，则对应三角形中，，又与平行的线段的长度为，则对应三角形的高为，所以三角形的面积为．【考点】斜二测画的应用．3.已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，则直线l的一般式方程为．【答案】或【解析】由圆的方程可知，圆心，半径，如图所示，，取的中点，连接，可得，连接，所以，在中，由勾股定理得：，分两种情况：（1）当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线方程为，由点到直线的距离公式，得，解得，即直线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，也满足题意，此时直线方程为；综上，所求直线的方程为或．【考点】直线与圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及到圆的垂径定理、勾股定理、点到直线的距离公式，着重考查了数形结合的思想和分类讨论的思想的应用，是一道综合性较强的试题，属于中档试题，本题的解答中根据圆的方程求解出圆的圆心坐标和半径，画出相应的图象，确的中点为，连结，可得出垂直于，进而得出与的长，利用勾股定理求出的长，然后可分两种情况分别求解直线的方程．4.已知则当a的值为时取得最大值.【答案】【解析】由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值.【考点】基本不等式求最值．5.已知同时满足下列条件：①②.则实数的取值范围 .【答案】【解析】因为，同时满足下列条件：根据①或，即函数和函数不能同时取非负值，由，求得，即当时，；当时，，故当时，；根据②成立，而当时，，所以在上有解，即当时，函数在轴上方的有图象，故函数和函数的图象如图所示，综上，可得即，解得．【考点】二次函数、指数函数的图象与性质的应用．【方法点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质的应用，属于中档试题，同时着重考查了转化的数学思想及数形结合的数学思想方法、分类讨论的数学思想的应用，难度较大，本题的解答中，由①故当时，，根据②可得当时，函数在轴上方的有图象，列出不等式组，由此可求得实数的取值范围．三、解答题1.已知，，分别为三个内角,,的对边，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若=2,的面积为，求,.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得的值，进而求得角；（II）利用三角形的面积公式求得的值，进而根据余弦定理求得的值，最后联立方程组，即可求解的值．试题解析：（Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ) 的面积==,故=4，而故=8，解得="2."【考点】正弦定理；余弦定理．2.设数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）令…，求数列的前项的和.【答案】（I）；（II）．【解析】（I）设出等比数列的公式，由已知列出首项和公比的方程组，求解方程组得首项和公比，然后代入等比数列的通项公式可得答案；（II）把代入，得到数列为等差数列，然后利用等差数列的前项和公式，即可求解数列的和．试题解析：（Ⅰ)由已知得解得设数列公比为，有，化简，解得，，所以数列的通项公式(Ⅱ)由，又，所以是等差数列所以【考点】等差数列与等比数列的通项公式；数列求和．3.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i）用所给编号列出所有可能的结果;（ii）设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.【答案】（I）；（II）（i）见解析；（ii）．【解析】（I）由题意可得抽取比例，即可求出相应的人数；（II）（i）列举可得从名运动员中随机抽取名的所有结果，共种；（ii）事件所包含的上述基本事件的个数为个，由概率的公式即可求解概率．试题解析：（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;（II）（i）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为, ,,,,,,,,,,,,,,共15种（ii）编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,, ,, , ,,,,共9种,所以事件A发生的概率【考点】古典概型及其概率的计算．4.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（I）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；（II）证明：平面BDE⊥平面BCD；（III）求三棱锥DBCE的体积．【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析；（III）．【解析】（I）连接，由三角形中位线定理及平行四边形的性质，可得四边形为平行四边形，即，结合线面平行的判定定理，可得平面；（II）根据等腰三角形的三线合一，可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，结合（I）中，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（III）由平面平面，结合面面垂直的性质定理可得平面，结合三视图中的数据，代入锥体的体积公式，即可求解体积．试题解析：（I）证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝CD，∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME.（II）证明∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.由（I），知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.(III)解 VDBCE ＝VEBCD＝S△BCD·|EM|＝××＝【考点】直线与平面垂直的判定；面面垂直的判定；几何体的体积的计算．5.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（I）求椭圆C的方程；（II）设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值.【答案】（I）；（II）．【解析】（I）由椭圆的离心率得到的关系，再把点的坐标代入椭圆的方程，得出的关系式，联立方程组，求解的值，从而确定椭圆的方程；（II）当过点的动直线斜率不存在知，直接求解的坐标，求出直线的斜率，由点斜式方程写出直线的方程，求得交点的横坐标，当斜率存在时，设出直线方程及的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，化为一元二次方程，由根与系数的关系得到横坐标的关系式，再由共线与共线把点纵坐标用的坐标表示，由坐标相等得到点的横坐标与的关系式，可得的横坐标，同时代入横坐标的和与积验证整成立，即可的的横坐标．试题解析：（I）由，又点在椭圆上，所以解得，则椭圆C方程是（II）当直线MN垂直于轴，交点为，由题知直线AN：，直线MB：，交点当直线MN不垂直轴时，设直线MN：，联立直线MN与椭圆方程得，因为，由A、N、G三点共线有同理，由A、N、G三点共线有有，即，化简，验证当时化简得代入韦达定理恒成立，因此G的横坐标的值为8.【考点】直线与圆锥曲线的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用、椭圆标准方程的求法，着重考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数之间的关系，求解（或表示）解题，也是处理此类问题的最为常见的方法，但此类问题的特点是运算量比较大，要要求具备较强的运算和推理能力，属于难度较大的试题．6.已知函数.（I）当时，讨论函数的单调性；（II）当时，在函数图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为，试探究函数在Q 点处的切线与直线AB的位置关系？（III）试判断当时图象是否存在不同的两点A、B具有(II)问中所得出的结论.【答案】（I）在定义域上单调递增；（II）函数点处的切线与直线平行；（III）函数不满足（II）中结论．【解析】（I）求解函数的导数，利用导数的正负，可得函数的单调性及单调区间；（II）根据题意，只需证明函数点切线的斜率与直线的斜率相等即可；（III）若满足（II）中的结论，有，设，则整理得，问题转化成该方程在上是否有解，从而可判断是否满足（II）中的结论．试题解析：（I）由题知，因为时，，函数在定义域上单调递增；（II），，所以函数Q点处的切线与直线AB平行；（III）设，若满足（II）中结论，有，即即 *设，则*式整理得，问题转化成该方程在上是否有解；设函数，则，所以函数在单调递增，即，即方程在上无解，即函数不满足（II）中结论.【考点】利用导数研究函数的单调性与最值；利用导数求解函数在某点的切线方程．【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数在某点的切线方程及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，着重考查了导数的几何意义，学生分析问题和解决问题的能力，同时考查了分类讨论和转化的数学思想方法，试题有一定的难度，本题的解答中若满足（2）中的结论，转化成该方程在上是否有解，从而可判断是否满足（2）中的结论是解答的关键．。

树德中学高2015级第五期期末考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共四页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集R U =,集合})1lg(|{},|{2x y x B x x x A -==>=，则下列结论正确的是A. B B A =B. B UA U = C.B UA =∅ D.B ⊆UA2. 已知i 是虚数单位，复数z 满足0+2zi z -=，则复数z 的虚部为 A ．1- B ．i - C ．1 D ．i 3．已知命题:p 对任意()480,,log log x x x ∈+∞<，命题:q 存在x R ∈，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值是A ．63B ．127C ．66D ．2555．若将函数1()sin sin )2f x x x x =-+的图象向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为A ．(,1)6πB ．5(,1)12πC ．3(,)62π D ．53(,)122π6. 已知x ，y 满足24243x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≥≥≤，则目标函数2(24)2(24)z y x y x =---的取值范围是A ．[−1，24]B ．[4，8]C ．[4，48]D ．[−1，143]7. 已知ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 是ABC ∆内一点（含边界），且满足23AP AB AC λ=+，则||AP 的取值范围为 A． B ．8[2,]3 C． D． 8. 已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系，其统计数 据如下表：由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是A ．59.5B ．52.5C ．56D ．63.5附：121^1221()())=()(n ni ii nii iii nii x y nx yb xx x y y n x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-9. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为A ．π25 B.380πC ．3100πD. π4010. 周日下午树德中学甲、乙二人相约坐230路公交去上学，已知230路公交在下午05:4，10:4，15:4，20:4，25:4，30:4这6个时刻经过二人上车地点，他们相约在下午00:4到30:4之间（含30:4）的任意时间到站，若先到者，等到第一趟车，没有见到另一个人，就再等下一趟车，若还没有等到，就自己独自上车，则二人坐同一趟车上学的概率为A ．49B ．1325C ．512D ．173611. 已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足2OF OP =，21tan 5PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．]45,1( B. ]426,1( C.]2,1( D. ]317,1( 12. 已知函数()f x 满足()()f x f x -=,()()8f x f x +=,且当(]0,4x ∈时()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20fx af x +>在[]2020,2020-上有且仅有2020个整数解，则实数a 的取值范围是A ．1(ln 6,ln 2]3-B ．1[ln 2,ln 6)3-- C ．1(ln 2,ln 6]3-- D ．1[ln 6,ln 2)3-第Ⅰ 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设dx x x a ⎰+=π)cos (sin ，则二项式axax 3)1(-展开式中常数项是 . 14. 设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若111||||3PF QF -=，则直线l 的斜率为 ． 15. 在中，角的对边分别为，若且三边成等差数列，则内切圆半径的最大值为 ．16. 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 612f x x x x x t x x t x =+-+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 数列}{n a 的前n 项和为n S ，),)(3(,2*1N n R t t na S a n n ∈∈+⋅==． （1）求t 的值及数列}{n a 的通项公式；ABC ∆,,A B C ,,a b c 2b =,,a b c ABC ∆（2）设nn a b 1=(n ⅠN *)，{b n }的前n 项和为T n ，当n ∈N *时，λ>T n 恒成立，求实数λ的取值范围．18. (本小题满分12分)树德中学调查了某班全部40名同学参加模联社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）能否有95%的把握认为参加模联社团和参加演讲社团有关？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（2已知既参加模联社团又参加演讲社团的8名同学中，有3名男同学，5名女同学。

2022-2023学年四川省成都市树德中学（宁夏校区）高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．若，则的虚部为（ ）(1i)1i z +=-z A ．1B ．C ．D ．1-i-i【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，再根据复数的定义判断即可.z z 【详解】因为，所以，所以，(1i)1i z +=-()()()21i 1ii 1i 1i 1i z --===-++-i z =所以的虚部为.z 1故选：A2．用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是a b 30x ax b ++=（ ）A ．方程没有实根30x ax b ++=B ．方程至多有一个实根30x ax b ++=C ．方程至多有两个实根30x ax b ++=D ．方程恰好有两个实根30x ax b ++=【答案】A【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，即可得出结论．【详解】方程至少有一个实根的反面是方程没有实根，30x ax b ++=30x ax b ++=因此，用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假a b 30x ax b ++=设是“方程没有实根”.30x ax b ++=故选：A.3．设函数．则值为（ ）()31f x x =+()π2π2f x dx-⎰A ．B ．C ．D ．1π62+01π【答案】D【分析】利用微积分基本定理可求得所求定积分的值.【详解】因为，则()31f x x =+()()πππ22342πππ2221d 1d 4f x x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰.441ππ1πππ422422⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故选：D.4．已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的M 21ln 2y x x ax =++M π4锐角，则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．[)2,+∞[)1,-+∞(],2-∞(],1-∞-【答案】B【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等1πtan 14y x a x '=++≥=0x >式可求得实数的取值范围.a 【详解】函数的定义域为，且，21ln 2y x x ax =++()0,∞+1y x a x '=++因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，21ln 2y x x ax =++M π4所以，对任意的恒成立，则，1πtan 14y x a x '=++≥=0x >11a xx -≤+当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，0x >12x x +≥=1x =所以，，解得.12a -≤1a ≥-故选：B.5．如图所示，在平行六面体中，M 为与的交点.若，，1111ABCD A B C D -11A C 11B D AB a =AD b =，则下列向量中与相等的向量是（ ）1AA c = BMA ．B ．1122-++a b c1122a b c ++C ．D ．1122a b c--+ 1122a b c -+【答案】A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：，()111111111111112222BM BB B M BB B D BB A D A B a b c=+=+=+-=-++根据空间向量基本定理可知：只有与相等.1122-++a b c BM故选：A.6．下列有关回归分析的说法中不正确的是（ ）A ．回归直线必过点(),x y B ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数时，两个变量正相关0r >D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于r【答案】B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点，A 对；(),x y 对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数时，两个变量正相关，C 对；0r >对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D 对.r0故选：B.7．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）()f x '()f x ()f x '()f xA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，()f x '()f x 进而得到的可能图象.()f x 【详解】由的图象可得，()f x '当时，，则单调递增；0x <()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减；10x x <<()0f x '<()f x 当时，，则单调递增.1x x >()0f x ¢>()f x 则仅有选项C 符合以上要求.故选：C8．用数学归纳法证明“”时，由假设不等式成立，()*11112321n n n +++⋯+<∈-N ()*1,n k k k =>∈N 推证不等式成立时，不等式左边应增加的项数为（ ）1n k =+A ．B ．C ．D ．k 12k -2k12k +【答案】C【分析】分析当、时，不等式左边的项数，作差后可得结果.n k =1n k =+【详解】用数学归纳法证明“”,()*11112321n n n ++++<∈-N 当时，左边，共项，n k =11112321k=++++- ()21k -当时，左边，共项，1n k =+111112321k +=++++- ()121k +-所以，由假设不等式成立，推证不等式成立时，()*1,n k k k =>∈N 1n k =+不等式左边应增加的项数为.()()121212k k k+---=故选：C.9．已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是,R a b ∈x a =21()()()(1)x f x x a x b e -=---（ ）A ．B ．C ．D ．1b a ≤<1b a <≤1a b<≤1a b <≤【答案】B【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 【详解】解：令，得.21()()()(1)0x f x x a x b e -=---=123,,1x a x b x ===下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 对选项A ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1b a ≤<x a =()f x 对选项B ：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；1b a <≤x a =()f x 对选项C ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 对选项D ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 故选：B.【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草()f x 图，结合极小值点的定义，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析，即可求解.10．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴()2222:10x y a b a b Γ+=>>A B A A x 作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）C BCD ABDA ．BCD 12【答案】B 【分析】设点、，其中，，则、，分析可知()00,A x y ()11,D x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的1DA AB k k =-22DA DBb k k a =-22b a e =值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，()00,A x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x则，，00AB y k x =02BC y k x =设点，则，作差可得，()11,D x y 22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221010220x x y y a b --+=所以，，2221022210y y b x x a -=--所以，，则不互相垂直，2221010102221010101DA DBy y y y y y b k k x x x x x x a -+-=⋅==-≠--+-,AD BD 所以，则，所以，，AD AB ⊥1AD ABk k =-001AD AB x k k y =-=-又因为，所以，，0000122DA DB DA BC xy k k k k y x ==-⋅=-2212b a =所以，该椭圆的离心率为c e a =====故选：B.11．设是定义在R 上的奇函数，在上有，且()f x (),0∞-2023(2023)(2023)0xf x f x '+<，则不等式的解集为（ ）()20230f =()ln 20230x f x ⋅<A ．B ．C ．D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,0-∞-- ()()1,00,1- ()()1,01,-⋃+∞【答案】B 【分析】构造函数，利用题给条件求得在上单调性，再利用奇()()2023,0k x x f x x =⋅<()k x (,0)-∞函数满足求得，进而得到在上的函数值的正负情()f x ()20230f =()20230f -=()2023f x (,0)-∞况，再利用奇函数的性质即可求得不等式的解集.()ln 20230x f x ⋅<【详解】令，则()()2023,0k x x f x x =⋅<()()()2023202320230k x f x x f x ''=+⋅<则在上单调递减，()()2023k x x f x =⋅(,0)-∞又是定义在R 上的奇函数，，则，()f x ()20230f =()20230f -=则，()(1)120230k f -=-⨯-=则当时，，，；1x <-()0k x >()20230f x <()ln 20230x f x ⋅<当时，，，.10x -<<()0k x <()20230f x >()ln 20230x f x ⋅<又由是定义在R 上的奇函数，可得()f x 当时，，；1x >()20230f x >()ln 20230x f x ⋅>当时，，01x <<()20230f x <()ln 20230x f x ⋅>综上，不等式的解集为()ln 20230x f x ⋅<()(),11,0-∞-- 故选：B12．下列不等式成立的有（ ）个．①；②；③；④．0.2etan 0.21>+1819e 16<sin180.3︒>311cos324<A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】分别构造新的函数，利用导函数分析单调性，即可判断不等式的正误.【详解】解：令，()πe tan 1012x f x x x ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭则，()2cos e 1x f x x '=-()32sin co e s xx f x x ''=-当时，，，π012x <<πsin sin 12x <πcos cos12x >所以，33π2sin2sin12πcos cos 12x x<而，πππππππ1sin sin sin cos cos sin 123434342⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭πππππππ1coscos cos cos sin sin 123434342⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭所以，3π2sin12561πcos 12=====-<则，所以在上单调递增，()32sin 0c s e o x x f x x ''=->()f x 'π0,12⎛⎫⎪⎝⎭所以，则在上单调递增，()()02100co 0e s f x f ''>=-=()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭，()()0e tan 0100.20f f >--==所以，即，①正确；0.2etan 0.210-->0.2e tan 0.21>+令，可得，()3e 12x f x x =--()3e 2x f x '=-因为，，所以函数在上单调递减，()030e 02f '=-<103f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭()f x 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，即，可得，②错误；()108f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭18310e 128>-⨯-1819e 16>如图，是顶角为的等腰三角形，D 为BC 的中点ABC 36则，()118036722B ∠=⨯-=AD BC⊥设，，则，即，1BC =AB AC x ==sin cos BAD B ∠=112sin18cos 722x x ===由正弦定理可得，sin sin AC BCB BAC =∠即，11cos36sin 72sin 362sin 36cos36sin 362x x x =⇒=⇒=又由余弦定理可知，22222121cos3622x x x x x x +--==⋅所以，则，23222121022x xx x x -=⇒-+=()()2110x x x ---=解得（舍），（舍），，11x BC =<2x =<3x =，③正确；sin180.3∴===> 令，可得，()211cos 2f x x x =--()sin f x x x '=-+时，，所以函数在上单调递减，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦则，即，可得，④正确；()104f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭1101cos 324>--311cos 324<综上所述，①③④正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于构造函数，并选择合适的定义域，利用求导分析函数的单调性及最值，进而证明不等式，属于难题.二、填空题13．如图，若向量对应的复数为z ，则表示的复数为______．OZ 4z z +【答案】##3i +i 3+【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数.1i z =-4z z +【详解】由图可得，，1i z =-则()()()()41i 441i 1i 1i 21i 3i 1i 1i 1i z z ++=-+=-+=-++=+--+故答案为：3i+14．若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最21sin 24y x x =+()11,Ax y ()22,B x y 12x x -小值为________．【答案】##π212π【分析】化简可得范围内，即可得出切线1πsin 223y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭[1,1]-斜率必须一个是1，一个是，即可求出.1-【详解】， 2111cos 21πsin 2sin 2sin 244223x y x x x x +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∴πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭曲线的切线斜率在范围内，∴[1,1]-又曲线在两点处的切线互相垂直，故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是.()11,A x y ()22,B x y 1-不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有，，()111π22πZ 3x k k +=∈()222π22ππZ 3x k k +=+∈则可得，()()1212ππππZ 22x x k k k k -=--=-∈所以.12minπ2x x -=故答案为：.π215．已知椭圆C ：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足22221(1)1x y a a a +=>-,A B ，则的取值范围______．OA OB OA OB-=+a 【答案】⎛ ⎝【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为，设直线方程为，，联()1,0AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 立得交点坐标关系，由得，即OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= ，整理得关于得方程有解，即可得的取值范围.()()21212110OA OB n y y n y y ⋅=++++=n a 【详解】已知椭圆C ：，则其右焦点坐标为，22221(1)1x y a a a +=>-()1,0过右焦点的直线交椭圆于，若满足，所以，,A B OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= 则设直线方程为，AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 则，所以，2222111x y a a x ny ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩()()()222222212110n a a y n a y a ⎡⎤-++---=⎣⎦显然恒成立，所以，0∆>()()()()212222221222221111n a y y n a a a y y n a a ⎧-⎪+=--+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩则()()()()21212121212121111OA OB x x y y ny ny y y n y y n y y ⋅=+=+++=++++()()()()()222222222212111011a n a n n n a a n a a ----=+⋅+⋅+=-+-+整理得，所以，()()()22222111a a a a na a +---=--()()()22221101a a a a a a +---≥--又，所以，解得，1a >2101a a a ⎧--≤⎨>⎩1<≤a 所以的取值范围为.a ⎛ ⎝故答案为：.⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.16．已知函数，，若函数有且仅有3个零点，则2()ln 2(1ln )f x a x x x =+-R a ∈22()e ()2g x f x a =-的取值范围______．a 【答案】()2e,e 【分析】根据函数的导数，分四种情况①若，②若，③若，④若，讨论函0a ≤01a <<1a =1a >数的单调性；令，得，问题可转化为函数与的图像有3个()f x ()0g x =222()e a f x =()y f x =222e a y =不同的交点，根据单调性可得或，分两种情况①当时，②当时，讨()f x 01a <<1a >01a <<1a >论即可得出答案．【详解】函数的定义域为，且，()f x (0,)+∞()2ln 1a f x x x ⎛=-'⎫ ⎪⎝⎭①若，则，当时，，单调递增，0a ≤10a x -<(0,1)x ∈()0f x '>()f x 时，，单调递减，(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x ②若，当时，，01a <<(0,)x a ∈()0f x '<当时，，(,1)x a ∈()0f x '>当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增，()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a ③若，则，1a =()0f x '≤所以在上单调递减，()f x (0,)+∞④若，当时，，1a >(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x a ∈()0f x '>当时，，(,)x a ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增；()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a 令，则，()0g x =222()e a f x =所以依题意可得函数与的图像有3个不同的交点，()y f x =222e a y =则有必有或，01a <<1a >①当时，在和上单调递减，在上单调递增，01a <<()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a 所以的极大值为，()f x ()1f 2=的极大值为，的极小值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+又，()f a 22222(ln 2ln 2)[(ln 1)1]e a a a a a a a =-+=-+>>函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以函数与的图像至多有1个交点，不合题意，()y f x =222e a y =②当时，在和上单调递减，在上单调递增，1a >()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a所以的极小值为，的极大值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以必须有成立，22222(ln 2ln 2)e a a a a <<-+因为，所以，2222e a <e a >所以，2222(ln 2ln 2)e a a a a <-+所以，222ln 2ln 2ea a a <-+(*)下面求不等式的解集，(*)令，则不等式等价于，ln a x =(*)222e22x x x -<-+令函数，22()22e 2x h x x x -=--+则，2()222e x h x x -=--'令，有，2222e x y x -=--222ex y -=-'函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，2222ex y x -=--(,-∞2](2,)+∞又，所以，()2y 0=2222e 0x y x -=--≤即恒成立，故函数单调递减，()0h x '≤()h x 又，()2h 0=所以当且仅当时，，2x <()0h x >所以不等式的解集为，222e 22x x x -<-+(,2)-∞即不等式的解集为．(*)2(0,e )所以的取值范围为．a ()2e,e故答案为：．()2e,e 三、解答题17．已知函数．1()ln ln f x x x =+(1)求函数的单调区间；()f x (2)求证：．21e ()ln x f x x ->-【答案】(1)的单调增区间，，单调减区间，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e (2)证明见解析【分析】（1）求导函数，令，得，确定区间，，，()0f x '=121,e e x x ==10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e 导函数符号，即可得函数的单调区间；()e,+∞（2）将所证不等式转化为，构造函数，，求导确定函数的2e ln 0x x -->2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞单调性及取值情况，即可证得结论.【详解】（1）定义域，，()()0,11,+∞ 222111(ln )1()(ln )(ln )x f x x x x x x -'=-=⋅令，即，解得()0f x '=()2ln 10x -=121,e e x x ==当，时，，当，时，，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e,x ∈+∞()0f x '>1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,e x ∈()0f x '<所以的单调增区间，，单调减区间，．()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e （2）证明：要证，即证21e ()ln x f x x ->-2e ln 0x x -->设函数，，则，2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞21()e x x x ϕ-='-令，则恒成立，所以在上单调递增．()21e x m x x -=-()221e 0x m x x -'=+>()x ϕ'()0,∞+又由，知，在上有唯一实数根，且()11e 10ϕ--'=<()0112e 022ϕ'=-=>()0x ϕ'=()0,∞+0x ，则，即．012x <<()02001e 0x x x ϕ--'==0201e x x -=当时，，单调递减；当时，，单调递增，()00,x x ∈()0x ϕ'<()x ϕ()0,x x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ所以，结合，知，()0200()e ln x x x x ϕϕ-≥=-0201e x x -=002ln x x -=-所以，则，故原不等式()()()2200000000121120x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>()2e ln 0x x x ϕ-=->得证.21e ()ln xf x x ->-18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生2022升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，150其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学1515120生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规100则如表：每分钟跳绳个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,∞+得分17181920(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；(2)若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任[)155,165[)165,1756意选取人，求两人得分之和大于分的概率．234【答案】(1)中位数为，平均数为184185(2)1415【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形m m 底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、[)155,1652a b [)165,1754A 、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求B C D 得所求事件的概率.【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为，m 因为，则，()()0.0060.012100.180.50.0060.0120.03410+⨯=<<++⨯()175,185m ∈由中位数的定义可得，解得，()()0.0060.012101750.0340.5m +⨯+-⨯=0.321751840.034m =+≈平均数（个）．1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为[)155,1651000.066⨯=[)165,175个，1000.1212⨯=按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，6[)155,1652a b 在内抽取人，分别记为、、、，[)165,1754A B C D 从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、62(),a b (),a A (),a B (),a C (),a D 、、、、、、、、、，共种，(),b A (),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 15两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、34(),a A (),a B (),a C (),a D (),b A 、、、、、、、、，共种，(),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 14则两人得分之和大于分的概率．341415P =19．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定AD ⊥PDC 理，证得，从而得到平面；//AD l l ⊥PDC （2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之(,0,1)Q m 后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面QCD PB cos ,n PB <> PB 所成角的正弦值的最大值.QCD 【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，ABCD //AD BC AD ⊄PBC BC ⊂PBC 所以平面，又因为平面，平面平面，//AD PBC AD ⊂PAD PAD ⋂PBC l =所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且//AD l P ABCD -ABCD ,,AD DC l DC ⊥∴⊥平面，所以PD ⊥ABCD ,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为，所以平面．CD PD D = l ⊥PDC （2）［方法一］【最优解】：通性通法因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：,,DP DA DC D xyz -因为，设，1PD AD ==(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B 设，则有，(,0,1)Q m (0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===- 设平面的法向量为，QCD (,,)n x y z = 则，即，00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 00y mx z =⎧⎨+=⎩令，则，所以平面的一个法向量为，则1x =z m =-QCD (1,0,)n m =-cos ,n PB n PB n PB ⋅<>== 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>==时取等号，所以直线与平面=≤≤=1m =PB .QCD ［方法二］：定义法如图2，因为平面，，所以平面．l ⊂PBC Q l ∈Q ∈PBC 在平面中，设．PQC PB QC E = 在平面中，过P 点作，交于F ，连接．PAD PF QD ⊥QD EF 因为平面平面，所以．PD ⊥,ABCD DC ⊂ABCD DC PD ⊥又由平面，平面，所以平面．又平,,DC AD AD PD D PD ⊥=⊂ PAD AD ⊂PAD DC ⊥PAD PF ⊂面，所以．又由平面平面，所以PAD DC PF⊥,,PF QD QD DC D QD ⊥=⊂ ,QOC DC ⊂QDC 平面，从而即为与平面所成角．PF ⊥QDC FEP ∠PB QCD 设，在中，易求．PQ a =PQD △PF =由与相似，得，可得PQE BEC1PE PQa EB BC ==PE =所以，当且仅当时等号成立．sin FEP ∠==≤=1a =［方法三］：等体积法如图3，延长至G ，使得，连接，，则，过G 点作平面，CB BG PQ =GQ GD //PB QG GM ⊥QDC 交平面于M ，连接，则即为所求．QDC QM GQM∠设，在三棱锥中，．PQ x =Q DCG -111()(1)326Q DCG V PD CD CB BG x -=⋅⋅+=+在三棱锥中，．G QDC-111323G QDC V GM CD QD GM -=⋅⋅=由得Q DCG G QDC V V --=11(1)63x GM+=解得，GM ===≤当且仅当时等号成立．1x =在中，易求，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为Rt PDB△PB QG ==sin MQG ∠==【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等QCD n PB cos ,n PB <> 式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB 与平面QCD 所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB 与平面QCD //PB QG 所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．20．设函数，（）．2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+-a ∈R(1)若在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；()f x (2)对任意的函数恒成立，求实数a 的取值范围．[)1,x ∞∈+()0f x ≥【答案】(1)12a =(2)1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将在定义域上单调递增，转化为在区间上恒成立，分类讨论a ()f x ()0,∞+()0f x '≥并，令，求导分析的单调性即可；()2(1)ln g x a x x =--()f x '（2），令，分析单调性可知，进而得到()2(1)ln f x a x x '=--()ln 1h x x x =-+ln 1≤-x x ，分类讨论a ，求出在上的单调性，即可判断是否恒成立.()(21)(1)f x a x '≥--()f x [)1,+∞()0f x ≥【详解】（1），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--若在定义域上单调递增，则在区间上恒成立，，()f x ()0,∞+()0f x '≥()10f '=当，在单调递减，显然不合题意．0a ≤()f x '()0,∞+令，，()2(1)ln g x a x x =--121()2ax g x a x x -'=-=当时，，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a >当时，，在单调递减，112x a <<()0g x '<()g x 11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递减，则在上，不合题意，()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=当时，由得；由得；12a =()0g x '<01x <<()0g x '>1x >所以在上单调递减，上单调递增，则，满足题意，()g x ()0,1()1,+∞()()()10f x g x g '=≥=当时，，1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a <当时，，在单调递增，112x a <<()0g x '>()g x 1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递增，则在上有，不合题意．()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=综上所述．12a =（2），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--令，，则，()ln 1h x x x =-+0x >()11h x x '=-当时，；当时，，01x <<()0h x '>1x >()0h x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()h x (]0,1[)1,+∞在处有最大值，则，1x =()()1ln1110h x f ≤=-+=即，所以，ln 10x x -+≤ln 1≤-x x 则，()2(1)(1)(21)(1)f x a x x a x '≥---=--当即时，由得恒成立，210a -≥12a ≥[)1,x ∞∈+()0f x '≥在上单调递增，，符合题意．所以．()f x [)1,+∞()()10f x f ≥=12a ≥当时，由得恒成立，0a ≤[)1,x ∞∈+()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=0a ≤当时，由，得，即，102a <<ln 1≤-x x 11ln 1x x ≤-1ln 1x x ≥-则，11()2(1)1(21)x f x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以．时，恒成立，102a <<112a >11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x 11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()10f x f ≤=102a <<综上可得：．1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭21．已知椭圆C ：的焦距为．()222210x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭(1)求椭圆方程；(2)A 为椭圆的上顶点，三角形AEF 是椭圆C 内接三角形，若三角形AEF 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求三角形AEF 的面积．【答案】(1)2214x y +=(2)或者6425S =3215S =【分析】（1）先利用题给条件列方程求得，，进而得到椭圆方程；24a =21b =（2）先分别设出直线AE ，AF 的方程，再与椭圆方程联立，利用设而不求的方法分别求得的代数表达式，利用列方程求得直线AE 的斜率，进而求得三角形AEF 的面,AE AF AE AF=积．【详解】（1）椭圆C 过点，则，又，12⎫⎪⎭223114a b +=2c =223a b =+所以，解之得，，则椭圆方程为．2231134b b +=+24a =21b =2214x y +=（2）由题可知，直线AE 斜率存在，设直线AE ：y ＝kx ＋1，令，11(,)E x y 由整理得：，则22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()221480k x kx ++=1218140A Ak xx k x x ⎧+=-⎪+⎨⎪=⎩=设直线AF ：，令，11y x k =-+22(,)F x y 由整理得：，则221411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()22480k x kx +-=222840A A k xx k x x ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩==由题知得：，AE AF =221144k kk =++不妨设k ＞0，化简方程知：，()2(1)310k k k --+=解之得k ＝1，k =又因为，()()()()()22222211144323224k AE AFS k k k k k ++=+⋅+==+将k ＝1，代入得三角形面积为，或者．k =6425S =3215S =22．已知．2()e 2x a f x x x =--(1)若在x ＝0处取得极小值，求实数a 的取值范围；()f x (2)若有两个不同的极值点，（），判断的正负，并说明理()f x 1x 2x 12x x <122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭由．（为的二阶导数）．()f x ''()f x 【答案】(1)(),1-∞(2)小于0，理由见解析122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数0a ≤01a <<1a =1a >的单调性即可得出；（2）根据题意可得，构造函数，122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭()2121122121e1e e x x x x x x x x x --⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2()2e 1e (0)t t g t t t =+->利用导数即可求解.【详解】（1）由题意得，，，()e 1xf x ax =--'()00f '=()e x f x a ''=-①当时，在上单调递增，0a ≤()f x '(),-∞+∞所以当x ＜0时，，当x ＞0时，，()()00f x f ''<=()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x 当时，由可得，由可得，0a >()0f x ''>ln x a >()0f x ''<ln x a <②当0＜a ＜1时，，在单调递增，ln 0a <()f x '()ln ,a +∞所以当时，，当时，，()ln ,0x a ∈()()00f x f ''<=()0,x ∈+∞()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x ③当a ＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，()f x '(),ln a -∞()f x '()ln ,a +∞所以在处取得最小值，即，()f x 'ln x a =()()()ln 00f x f a f '''≥==所以函数在上单调递增，()f x R 所以在x ＝0处无极值，不符合题意．()f x④当a ＞1时，，由（Ⅰ）知的减区间为，ln 0a >()f x '(),ln a -∞所以当时，，当时，，(),0x ∈-∞()()00f x f ''>=()0,ln x a ∈()()00f x f ''<=所以在x ＝0处取得极大值，不符合题意，()f x 综上可知，实数a 的取值范围为．(),1-∞（2），为的零点，则，，，1x 2x ()e 1x f x ax =--'1212e 10e 10x x ax ax ⎧--=⎨--=⎩1212e e x x a x x -=-()e xf x a ''=-，121212122212e e e e2x x x x x x x x f a x x +++-⎛⎫''=-=-⎪-⎝⎭()212121211122121221e 1e 1e e ee x x x x x x x x x x x x x x x x ----⎡⎤⎛⎫-+--⎢⎥=-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，构造函数，212x x t -=2()2e 1e (0)t tg t t t =+->则，()2()2e 2e 2e 2e 1e 0t t t t t g t t t '=+-=+-<所以在单调递减，故，故原不等式得证．()g t ()0,∞+()()0g t g <故小于0．122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论参数情况。

四川省成都市树德中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项3．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．5．已知数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（）A．3n﹣1 B．3（3n﹣1）C．D．6．设tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α、β∈（﹣，），则α+β的值为（）A．﹣B．C．或﹣D．﹣或7．已知某几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是上底为2，下底为4，底角为60°的等腰梯形，俯视图是直径分别为2和4的同心圆，则该几何体的表面积为（）A．6πB．9πC．11πD．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知数列2 008，2 009，1，﹣2 008，﹣2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 015项之和S2015等于（）A．1B．2 010 C．4 018 D．010．在锐角三角形ABC中，BC=2，AB=3，则AC的取值范围是（）A．（1，）B．（，）C．（，5）D．（，5）11．{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．2112．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若对于任意的实数x，都有f（x﹣1）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．设正数a，b满足：a+4b=2，则的最小值为．14．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=．15．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）在区间（，）上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）16．已知侧棱长为2的正三棱锥S﹣ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为．三、解答题17．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若实数p，q，r满足p﹣2q+3r=a，求p2+q2+r2的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．18．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．19．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．20．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．21．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=32，b3S3=120．（1）求a n与b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．（3）若对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．22．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立．四川省成都市树德中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，所求式子利用诱导公式化简后，将sinα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵cos（2π﹣α）=cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故选B点评：此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意求出a1+a n的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．解答：解：依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2∴a1+a n==60∴S n===390∴n=13故选A点评：本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a1•n+这两个公式的灵活运用．3．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；作图题．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．5．已知数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（）A．3n﹣1 B．3（3n﹣1）C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可知，数列{a n}是以2为首项以3为公比的等比数列，从而可得由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，代入求等比数列的求和公式即可求解解答：解：∵，则数列{a n}是以2为首项以3为公比的等比数列由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列前n项的和为S n=故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，解题的关键是确定新数列是等比数列6．设tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α、β∈（﹣，），则α+β的值为（）A．﹣B．C．或﹣D．﹣或考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．解答：解：依题意得tanα+tanβ=﹣3＜0，tanα•tanβ=4＞0，∴tan（α+β）===．易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（﹣，），∴α∈（﹣，0），β∈（﹣，0），∴α+β∈（﹣π，0），∴α+β=﹣．故选A．点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．本题的关键是找出α+β的范围．7．已知某几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是上底为2，下底为4，底角为60°的等腰梯形，俯视图是直径分别为2和4的同心圆，则该几何体的表面积为（）A．6πB．9πC．11πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可以看出，本题中的几何体是一个圆台去掉一个圆柱，根据圆柱和圆台的表面积公式进行求解即可．解答：解：由三视图知此几何体是一个圆台去掉一个圆柱，圆台的上底面半径为1，下底半径为2，高为，母线l=2，圆柱的底面半径为1，高为，则圆柱的侧面积为2=2π，圆台的侧面积S=π（1+2）×2=6π，底面面积S=4π﹣π=3π，则该几何体的表面积为2π+6π+3π=（9+2）π，故选：D点评：本题主要考查几何体的表面积的计算，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据是解决本题的关键．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解．9．已知数列2 008，2 009，1，﹣2 008，﹣2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 015项之和S2015等于（）A．1B．2 010 C．4 018 D．0考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过写出数列{a n}的前几项的值，找出数列的周期，进而可得结论．解答：解：记该数列的通项为a n，由题可知：a1=2008，a2=2009，a3=1，a4=﹣2008，a5=﹣2009，a6=﹣1，a7=2008，a8=2009，a9=1，…∴数列{a n}是以6为周期的周期数列，且前6项和为：2008+2009+1﹣2008﹣2009﹣1=0，∵2015=335×6+5，∴S2015=335×0+=1，故选：A．点评：本题考查数列的前n项和，找出数列的周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．10．在锐角三角形ABC中，BC=2，AB=3，则AC的取值范围是（）A．（1，）B．（，）C．（，5）D．（，5）考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意判断出那个是最大角，再由余弦定理列出不等式组，即可求出AC的取值范围．解答：解：∵BC=2，AB=3，∴∠ABC或∠ACB可能是最大角，要使△ABC是一个锐角三角形，则，∴32+22＞AC2，22+AC2＞32，解得5＜AC2＜13，则＜AC＜，∴AC的取值范围是，故选：B．点评：本题考查余弦定理的灵活应用，以及边角关系，属于中档题．11．{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查的是等差数列的性质，要求S n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a n大于0，而a n+1小于0，由，我们不难得到a11＜0＜a10，根据等差数列的性质，我们易求出当S n取得最小正值时，n的值．解答：解：∵S n有最大值，∴d＜0则a10＞a11，又，∴a11＜0＜a10∴a10+a11＜0，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，S19=19a10＞0又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又∵S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0∴S19为最小正值故选C点评：{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最大值，则数列的公差d小于0；{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最小值，则数列的公差d大于0．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若对于任意的实数x，都有f（x﹣1）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：绝对值不等式的解法．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，f（x）min=﹣a2．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）ma x=a2．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：﹣≤a≤．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了转化思想，对任意的实数x，都有f（x﹣1）≤f（x）成立的理解与应用是关键，也是难点，属于难题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设正数a，b满足：a+4b=2，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得=（a+4b）（）=（5++），由基本不等式可得．解答：解：∵正数a，b满足a+4b=2，∴=（a+4b）（）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴所求的最小值为，故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题．14．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=2n2+6n．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据题意先可求的a 1，进而根据题设中的数列递推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{a n}的通项公式，进而求得数列{}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．解答：解：令n=1，得=4，∴a 1=16．当n≥2时，++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，∴a n=4（n+1）2，n=1时，a1适合a n．∴a n=4（n+1）2，∴=4n+4，∴+++==2n2+6n．故答案为2n2+6n点评：本题主要考查了利用数列递推式求数列的前n项和．解题的关键是求得数列{a n}的通项公式．15．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）在区间（，）上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．解答：解：函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）====．∴函数f（x）的最大值为，因此①正确；周期T=，因此②正确；当时，，因此y=f（x）在区间（，）上单调递减，因此③正确；将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，得到y====，因此④不正确．综上可知：①②③．故答案为①②③．点评：熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．16．已知侧棱长为2的正三棱锥S﹣ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为120°，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程．解答：解：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为120°，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为=．故答案为：．点评：本题考查利用侧面展开图求最短路程，考查余弦定理的运用，比较基础．三、解答题17．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若实数p，q，r满足p﹣2q+3r=a，求p2+q2+r2的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式，求得数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值，即可求得a的值．（2）由条件利用柯西不等式，求得p2+q2+r2的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．解答：解：（1）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，从而可得数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为a=﹣3．（2）由（1）知：p﹣2q+3r=﹣3，又（p2+q2+r2）•[12+（﹣2）2+32]≥（p﹣2q+3r）2 =9，∴，当且仅当，故p2+q2+r2的最小值为，此时．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．18．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．点评：本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B为三角形的内角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，当且仅当a=c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××=××（2+）=+1．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题；综合题．分析：（1）由题意可得：a n=2S n﹣1+1（n≥2），所以a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2），又因为a2=3a1，故{a n}是等比数列，进而得到答案．（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T n．解答：解：（1）因为a n+1=2S n+1，…①所以a n=2S n﹣1+1（n≥2），…②所以①②两式相减得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2）又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列∴a n=3n﹣1．（2）设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=﹣10∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d=2，∴．点评：本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．21．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=32，b3S3=120．（1）求a n与b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．（3）若对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；不等式的证明．专题：计算题．分析：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，利用等差数列和等比数列的通项公式，根据b2S2=32，b3S3=120建立方程组求得d和q，进而根据数列的首项求得a n与b n．（2）根据（1）中求得的a n与b n，利用错位相减法求得数列{a n b n}的前n项和T n．（3）利用裂项法求得=，进而可知问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，进而求得a的范围．解答：解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=2q n﹣1依题意有，即，解得，或者（舍去），故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=2n．（2）a n b n=（2n+1）•2n．T n=3•2+5•22++（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，2T n=3•22+5•23++（2n﹣1）•2n+（2n+1）•2n+1，两式相减得﹣T n=3•2+2•22+2•23++2•2n﹣（2n+1）2n+1=2+22+23++2n+1﹣（2n+1）2n+1=2n+2﹣2﹣（2n+1）2n+1=（1﹣2n）2n+1﹣2，所以T n=（2n﹣1）•2n+1+2．（3）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），∴===，问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，即，即a2≤1，解得﹣1≤a≤1．点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．数列由等差数列和等比数列构成求和时常用裂项法求和．22．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立．考点：数列的应用；数列的求和．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（Ⅰ）解法一：由题设条件可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．然后用数学归纳法证明．解法二：由a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可知为等数列，其公差为1，首项为0．由此可求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn，λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n ﹣1）λn+1．然后用错位相减法进行求解．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．然后用分析法进行证明．解答：解：（Ⅰ）解法一：a2=2λ+λ2+（2﹣λ）×2=λ2+22，a3=λ（λ2+22）+λ3+（2﹣λ）×22=2λ3+23，a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2﹣λ）×23=3λ4+24．由此可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．以下用数学归纳法证明．（1）当n=1时，a1=2，等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即a k=（k﹣1）λk+2k，那么，a k+1=λa k+λk+1+（2﹣λ）2k=λ（k﹣1）λk+λ2k+λk+1+2k+1﹣λ2k=[（k+1）﹣1]λk+1+2k+1．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a n=（n﹣1）λn+2n对任何n∈N*都成立．解法二：由a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0．故，所以数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．（Ⅱ）解：设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn①λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n﹣1）λn+1．②当λ≠1时，①式减去②式，得（1﹣λ）T n=λ2+λ3+…+λn﹣（n﹣1）λn+1=，．这时数列{a n}的前n项和．当λ=1时，．这时数列{a n}的前n项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．下面证明：．③由λ＞0知a n＞0．要使③式成立，只要2a n+1＜（λ2+4）a n（n≥2）．因为（λ2+4）a n=（λ2+4）（n﹣1）λn+（λ2+4）2n＞4λ．（n﹣1）λn+4×2n=4（n﹣1）λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2a n+1，n＞2．所以③式成立．因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．。

2022-2023学年四川省成都市树德中学高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则（ ）1i z =-21z z -=A ．B ．C ．D ．31i2--11i 2--11i 2-11i 2+【答案】B【分析】将复数z 代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.【详解】因为，所以．1i z =-21111(1i)i (1i)1i 2i 22z z-=-+=-+=---故选：B ．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）1:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=12l l ∥3m =A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或，12l l ∥1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，1m =-3m =12l l ∥12l l ∥3m =故选：C ．3．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．在区间上，是增函数(2,1)-()f x B ．当时，取到极小值2x =()f x C ．在区间上，是减函数(1,3)()f x D ．在区间上，是增函数(4,5)()f x 【答案】D【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B ，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A 错；时，取得极322-<<-x ()0f x '<()f x 2x =()f x 大值（函数是先增后减），B 错；时，，递增，C 错；时，12x <<()0f x '>()f x 45x <<，递增，D 正确．()0f x '>()f x 故选：D.4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则21s 22s 2212s s >B ．甲成绩比乙成绩更稳定C ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x <【答案】B【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A 、B ：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A 错误，B 正确；2212s s <对C ：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C 错误；对D ：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D 错误；12x x >故选：B.5．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布π尼兹“关于的级数展开式计算 的近似值（其中P 表示的近似值）”.若输入，输出的结果Pπππ8n =可以表示为A ．B ．11114(1)35711P =-+-+- 11114(135713P =-+-++ C ．D ．11114(135715P =-+-+- 11114(1)35717P =-+-++ 【答案】C【解析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:;1,2S i ==第2次循环:；11,33S i =-=第3次循环: ;111,435S i =-+=…第8次循环:,1111135715S =-+-+⋯-9i =此时满足判定条件,输出结果.111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题6．椭圆与直线相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线的斜22221x y a b +=10x y +-=率为2，则=（ ）ab ABCD ．2【答案】A【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出．0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--a b 【详解】解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ∴0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--由AB 的中点为M 可得①，②1202x x x +=1202y y y +=由A ．B 在椭圆上，可得22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得③，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=把①②代入③可得()()01201222220x x x y y y a b --+=整理可得222,b a a b ==故选：A7．已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的m []0,43221()233f x x x m x =-++x ∈R 概率是（ ）A ．B ．C ．D ．14131223【答案】C【分析】首先得到恒成立，则解出的范围，再根据其在内取数，利220()4f x x x m '=-≥+m [0,4]用几何概型公式得到答案.【详解】，22()4f x x x m '=-+在上是增函数3221()233f x x x m x =-++x ∈R 恒成立22()40f x x x m '∴=-+≥21640m ∴∆=-≤解得或2m ≥2m ≤-又是区间内任取的一个数m [0,4]24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数在上是增函数的概率3221()233f x x x m x =-++x ∈R 42142P -==故选：C ．8．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B-ECDAF 的体积最大时，EF 的长为A ．1BCD 【答案】B【分析】由可知三角形为等边三角形，设，由此计算得的高，以及五//EF AC BEF EF x =BEF ∆边形的面积，由此写出五棱锥的体积的表达式，并用导数求得当为何值时，体积取得最ECDAF x 大值.【详解】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形，面//EF AC BEF EF x =BEF x，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为2ECDAF 22222x =.令，解得，且当()23110238x x x x ⎛⎫⨯=-<< ⎪ ⎪⎝⎭'32131088x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭x =时，单调递减，故在0x <<318x x -2x <<318x x -x =也即是最大值.故选B.【点睛】本小题考查等边三角形的面积公式（若等边三角形的边长为.），考查a 2锥体的体积公式，考查利用导数的方法求体积的最大值.题目是一个折叠问题，折叠问题解决的第一步是弄清楚折叠前后，有那些量是不变的，有哪些是改变的.属于中档题.9．已知点，若在圆上存在点满足，则正实()()2,0,1,0M N -221:()(1)4C x a y -+-=P 2PM PN =数的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．[]2,41⎡+⎢⎣22⎡⎢⎣59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在圆上，(),P x y 2PM PN=22:(2)4E x y -+=P C E 所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.C E【详解】设，由，得(),P x y 2PM PN==整理得，即；2240x y x +-=22(2)4x y -+=记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，22:(2)4E x y -+=P C E C E所以，即，解得.3522CE ≤≤3522≤≤22a ≤≤故选：C.10．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>A 2:12C y ax =F 线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）E P 0PA PF ⋅=EA ．B ．C ．D ．()1,2⎛ ⎝()2,+∞⎫+∞⎪⎭【答案】B【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到00所求范围．【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，()2222:10,0x y E a b a b -=>>(),0A a b y x a =±抛物线的焦点为，2:12C y ax =()3,0F a 设，则，，,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭,b PA a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3,b PF a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由可得：，0PA PF ⋅= ()()22230b a m a m m a --+=整理可得：，22221430b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，2222Δ164130b a a a ⎛⎫∴=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，()222233a b c a ∴≥=-，2234c a ∴≤则：c e a =≤由可得：.1e>e ⎛∈ ⎝故选：B.11．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，R ()f x ()()2xf x f x e =-0x >恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）()()f x f x '>A ．B ．()()523e f f <-()()523f e f <-C ．D ．()()523e f f ->()()523f e f -<【答案】B【分析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小()()x f x g x e =()0,∞+得到答案.【详解】构造函数，因为，所以()()x f x g x e =()()2x f x f x e =-()()2x f x f x e -=则，所以为偶数()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====()g x 当时，，所以在上单调递增，0x >()()()0x f x f x g x e '-'=>()g x ()0,∞+所以有，则，即，即.()()32g g >()()32g g ->()()3232f f e e -->()()532e f f ->故选B【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.()()x f x g x e =12．已知函数若函数恰有5个零点，则实数2,1,()eln 52,1,xx f x xx x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩2[()](24)()1y f x a f x =+-+的取值范围是（ ）a A ．B ．949,824⎡⎫⎪⎢⎣⎭491,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．91,8⎛⎤⎥⎝⎦9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转1x >()e ln xf x x =化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，则，1x >()e ln xf x x =()2ln 1e ln x f x x -'=当时，，单调递减，当时，，单调递增，1e x <<()0f x '<()f x e x >()0f x ¢>()f x 则时，.当时，.1x >()(e)1f x f ≥=1x ≤22()52(1)66f x x x x =--=-++≤作出大致图象，函数恰有5个不同零点，()f x 2[()](42)()1y f x a f x =--+即方程恰有5个根.令，则需方程.2[()](24)()10f x a f x +-+=()f x t =2(24)10(*)t a t +-+=（l ）在区间和上各有一个实数根，令函数，(,1)-∞[2,6)2()(24)1u t t a t =+-+则解得.(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+<⎧⎪=+-+≤⎨⎪=+-+>⎩949824a ≤<（2）方程（*）在和各有一根时，则(1,2)(6,)+∞(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+>⎧⎪=+-+<⎨⎪=+-+<⎩即无解.1,9,849,24a a a ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.4924a =16（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.1a =综上，.949824a ≤<故选：A【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.()f x t =二、填空题13．已知呈线性相关的变量与的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则x y 1.050.85y x =+______．m =x24568y34.5m7.59【答案】6.5##132【分析】根据样本中心点一定在回归直线上，代入求解即可.【详解】245685,5x ++++==3 4.57.5924.55m m y +++++==样本点的中心的坐标为24(5,5m +代入得：1.050.85y x =+24 1.0550.85,5m+=⨯+6.5.m =故答案为：6.514．若实数，满足约束条件，设的最大值为，则______．x y 30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x y +a 11(2)d ax x x +=⎰【答案】##24ln 5+ln 524+【分析】根据给定条件，作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求出a ，再计算定积分作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ABC ，15(2,1),(1,1),(,)22A B C -令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，2x y z +=2y x z =-+2-z 画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，0:2l y x =-0l 1l 1l A 1lz 于是，即，max 2215z =⨯+=5a =所以.5252211111(2)d (2)d (ln )|(5ln 5)(1ln1)24ln 5ax x x x x x x x +=+=+=+-+=+⎰⎰故答案为：24ln 5+15．已知点P 为抛物线C ：上一点，若点P 到y 轴和到直线的距离之22(0)y px p =>34120x y -+=和的最小值为2，则抛物线C 的准线方程为___．【答案】=1x -【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C 的准线方程.2p =【详解】过点分别作直线，和y 轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为.P 34120x y -+=A B (,0)2pF 点到直线的距离为.F 34120x y -+=531210d p =+由定义可知，，则，||||2pPF BP =+||||||||222p AP BP AP PF p d +=+-≥-=当且仅当三点共线时，取等号，,,A P F 所以，解得，12231052p p+-=2p =则抛物线C 的准线方程为=1x -故答案为：=1x -16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．x 2121ln n mx e x -≥+1[,)2+∞nm 【答案】1e【解析】分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到0m <0m >在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得()21ln mx f x x =+1[,)2+∞122n m e e -≥，构造放缩函数对自变量再研究，可解,nm e ≥nm n 【详解】令；当时，，不合题意；2()1ln mx f x x =+0m <1(1)02n f m e -=<<当时，，0m >()()()22ln 11ln mx x f x x +'=+令，得或，()0f x '<10x e -<<112e x e --<<所以在区间和上单调递减.()f x 1(0)e -,112(,)e e --因为，且在区间上单调递增，1121(,)2e e --∈()f x 12(,)e -+∞所以在处取极小值，即最小值为.()f x 12x e -=2m e 2m e 若，，则，即.12x ∀≥12()n f x e -≥122n me e -≥nm e ≥当时，，当时，则.0n ≤0nm ≤0n >n n n m e ≤设，则.()()0n n g n n e =>1()n ng n e -'=当时，；当时，，01n <<()0g n '>1n >()0g n '<所以在上单调递增；在上单调递减，()g n (0,1)(1,)+∞所以，即，所以的最大值为.()(1)g n g ≤1nn ee ≤nm 1e 故答案为： 1e【点睛】本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数(,)0f x l ³λx D ∈的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数λ或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．0a >∆<0a<00∆>三、解答题17．已知命题：复数，．复数在复平面内对应的点在第四象p ()()2226i z m m m m =++--Rm ∈z 限．命题：关于的函数在上是增函数．若是真命题，是真命题，q x 21y x mx =++[)1,+∞p q ∨p ⌝求实数的取值范围．m 【答案】[][)2,03,-+∞【分析】由题可求出命题为真时的取值范围，然后根据复合命题的真假即得.,p q m 【详解】若命题为真，则，解得；p 222060m m m m ⎧+>⎨--<⎩03m <<命题为真：可得，所以；q 12m -≤2m ≥-由是真命题，可得命题为假命题，又是真命题，所以命题为真命题，p ⌝p p q ∨q所以或，且，0m ≤3m ≥2m ≥-故或，即的取值范围为.20m -≤≤3m ≥m [][)2,03,-+∞ 18．已知函数，且．()()312R 3f x x ax a =-+∈()20f '=(1)求函数在处的切线方程；()f x 3x =(2)求函数在上的最大值与最小值．()f x []0,3【答案】(1)；516y x =-(2)最大值为2，最小值为.103-【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切4a =3x =线方程；（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）因为，故，解得，()2f x x a'=-()240f a '=-=4a =因为，所以，()31423f x x x =-+()24f x x '=-则所求切线的斜率为，且，()23345f '=-=()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()()153y x --=-516y x =-（2）因为，，所以，()31423f x x x =-+[]0,3x ∈()24f x x '=-令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-由，可得，函数单调递减，()0f x '≤[]0,2x ∈()f x 由，可得，函数单调递增，()0f x '≥[]2,3x ∈()f x 所以的极小值为，又，，()f x ()81028233f =-+=-()02f =()31f =-所以的最大值为2，最小值为.()f x 103-19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间，[)20,409：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：[)40,60[)60,80[]80,10010点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？【答案】(1)10:04(2)35【分析】（1）运用频率分布直方图中平均数公式计算即可.（2）运用分层抽样比计算各段所抽取的车辆数，再运用列举法求古典概型的概率即可.【详解】（1）这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为9:2010:40～，即：10点04分.300.00520500.01520700.0220900.012064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）由题意知，时间段内抽取车辆数为，分别记为：[20,60)5(0.005200.01520)2⨯⨯+⨯=，，1a 2a 时间段内抽取车辆数为，分别记为：，，[60,80)50.02202⨯⨯=1b 2b 时间段内抽取车辆数为，记为：，[80,100]50.01201⨯⨯=c 所以从这5辆车中随机抽取3辆的基本事件有：，，，，121(,,)a a b 122(,,)a a b 12(,,)a a c 112(,,)a b b ，，，，，共10个，11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b 21(,,)a b c 22(,,)a b c 12(,,)b b c 恰有1辆为之间通过的基本事件有：，，，，9:2010:00～112(,,)a b b 11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b，共有6个，21(,,)a b c 22(,,)a b c 所以恰有1辆为之间通过的概率为.9:2010:00～63105p ==20．如图1，在梯形中，，，，，，线段的垂直ABCD BC AD ∥AB AD ⊥2AB =3BC =4=AD AD 平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，分别到点，AD E BC F CDEF EF C D G 的位置，得到几何体，如图2所示．H ABFEHG(1)判断线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存EH P PAF ∥BGH P 在，请说明理由．(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．AH =ABH BGH 【答案】(1)存在，点为线段的中点P EH (2)．12【分析】（1）当点为线段的中点时，先证明平面，再证平面，由面面P EH HG ∥PAF BG ∥PAF 平行判定定理证明；（2）先证明，再以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立AE EH ⊥E EA EF EH x y z 空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）当点为线段的中点时，平面平面．P EH PAF ∥BGH 证明如下：由题易知，，，因为点为线段的中点，2EH =1GF =EH GF ∥P EH 所以，，所以四边形是平行四边形，所以，1HP GF ==HP GF ∥HPFG HG PF ∥因为平面，平面，所以平面．PF ⊂PAF HG ⊄PAF HG ∥PAF 连接，因为，，所以四边形是平行四边形，PG PE GF ∥1PE GF ==PEFG 所以，且，又，，所以，，所以四边形PG EF ∥PG EF =EF AB ∥EF AB =PG AB ∥PG AB =是平行四边形，所以，ABGP PA BG ∥因为平面，平面，所以平面．PA ⊂PAF BG ⊄PAF BG ∥PAF因为平面，平面，，HG ⊂BGH BG ⊂BGH HG BG G ⋂=所以平面平面．PAF ∥BGH （2）因为，，AH =2AE EH ==所以，所以，222AE EH AH +=AE EH ⊥又，，所以，，两两垂直．EF EA ⊥EF EH ⊥EA EF EH 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标E EA EF EH x y z 系，E xyz-则，，，，()2,0,0A ()2,2,0B ()0,0,2H ()0,2,1G 所以，，．()0,2,0AB =()2,2,2BH =--()2,0,1BG =-设平面的法向量为，ABH ()111,,m x y z =则，即，得，取，得．00m AB m BH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111202220y x y z =⎧⎨--+=⎩10y =11z =()1,0,1m = 设平面的法向量为，则，即，BGH ()222,,x n y z = 00n BH n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222222020x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩取，得．21x =()1,1,2n =设平面与平面所成角为，ABH BGH θ则，cos m n m n θ⋅====所以，1sin 2θ===所以平面与平面所成角的正弦值为．ABH BGH1221．已知椭圆过点()2222:10x y E a b a b +=>>)(1)求椭圆的标准方程；E(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，()1,0T 1l 2l 1lE A B 2l E C D ，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与AB CD M N MN OMN 的面积之比；若不是，请说明理由．TMN △【答案】(1)；22142x y +=(2)恒过定点，与的面积之比2，理由见解析．OMN TMN △【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程组，再求解作答.,,a b c （2）设出直线、的方程，与椭圆E 的方程联立，求出点，的坐标，再求出直线的方1l 2l M N MN 程即可作答.【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，依题意可得，，解得，22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程是.E 22142x y +=（2）直线恒过定点，MN (2,0)设直线，，，:1AB x my =+()0m ≠()()1122,,,A x y B x y 由消去x 得，22124x my x y =+⎧⎨+=⎩()222230m y my ++-=则，12122223,22m y y y y m m --+==++设点，则，，(,)M M M x y 12222M y y my m +-==+2221122M M m x my m m m -=+=⋅+=++即，显然直线，同理可得，222(,)22mM m m -++1:1CD x y m =+2222(,)2121m m N m m -++直线的斜率有，MN MN k ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++因此直线，即，过定点，()222212:22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212m x y m +=+()2,0Q 显然点是线段中点，设点到直线的距离分别为，T OQ ,O T MN 12,d d则，112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQ MN d ⨯====⨯ 所以直线恒过定点，与的面积之比为2.MN ()2,0Q OMN TMN △22．已知函数．()ln f x x ax=-(1)求的单调区间．()f x (2)若存在两个不同的零点，且()fx 12,x x12x x <<【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，并讨论a 的范围，利用导函数的正负得到函数的单调区间；()f x （2）根据零点存在定理可得，令1211e x x a <<<<1212x xa +<<，转化为：221x t x =()122ln ln 11t x t t =>-<，设，通过求导分析单调性即()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-可证明．【详解】（1）因为，，所以()ln f x x ax =-0x >()11axf x a x x-'=-=（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+（ⅱ）当时，令得，，故时，，在单调递增；0a >()0f x '=1x a =10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，，在单调递减；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为存在两个不同的零点，且．所以且，()f x 12,x x 12x x <0a >10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭即，解得，且，1ln 10a ->10e a <<121x x a <<根据题意，()()1ln100f a a a a =-=-=->所以，所以，()10fa =-<()11e ln e e 1e 1e 00e e f a a a ⎛⎫=-=->-=<< ⎪⎝⎭所以，又，所以，()e 0f>10e a <<1211e x x a <<<<，又，所以，<()()120f x f x ==1212ln ln x x ax x ==（，且），ln ln 2a b a ba b -+<<-,0a b >a b ¹证明：设，则，设，0a b >>1>ab ()1a t t b =>对数不等式即为，，12ln t t t <-()21ln 1t t t ->+由的导数，12ln y t t t =-+()22212110t y t t t -'=--=-<可得在递减，则恒成立，12ln y t t t =-+()1,+∞12ln 0y t t t =-+<即；12ln t t t <-由的导数，()21ln 1t y t t -=-+()()()222114011t y t t t t -'=-=>++可得在递增，则恒成立，()21ln 1t y t t -=-+()1,+∞()21ln 01t y t t -=->+即；()21ln 1t t t ->+，()12121212121ln ln 2x x x x x xx x a x x a --+<==<--<<令，所以可以转化为：，221x t x =1212ln ln x x x x =()122ln ln 11t x t t =>-，1t t +⎫<⎪⎭1111ln ln ln 222t x t +-+<-即证，212ln 11ln ln 2212t t t t +-⋅+<--即证，即证，212ln 11ln ln 20212t t t t +-⋅+-+<-()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<设，，()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-1t >，()()()211112ln12ln 1212t t m t t t t t t t t t t t+-+'=+--+=+-+设，则，()11ln 22t t h t t t +-=+()22222111112101222121t t h t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫'=⋅-+=⋅=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭则，所以在递减，可得，所以不等式得证；()0m t '<()m t ()1,+∞()()10m t m <=【点睛】本题充分讨论函数的单调性，利用变量转化和构造函数证明不等式.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若()()cos 2,0,sin 2ππααπα⎛⎫-=∈-- ⎪⎝⎭则＝（ ） A．．23- C ．13- D ．23±【答案】B 【解析】试题分析：因为()cos 2cos ,02ππααα⎛⎫-==∈- ⎪⎝⎭，2sin 3α∴==-，则()2sin sin 3παα-==-，故选B 。

考点：（1）诱导公式（2）同角三角函数的基本关系2.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意1231234,146n n n a a a a a a --++=++=，1231234146180n n n a a a a a a --∴+++++=+=，又12132n n n a a a a a a --+=+=+，1180603n a a ∴+== ()160390,1322n na a n n S n +∴===∴=。

故选A 。

考点：等差数列的性质 3.函数()f x =）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.()+∞,2 C.()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,221,0【解析】试题分析：要使函数有意义，则()22log 10x ->即22log 1log 1x x ><-或，解得1202x x ><<或，即函数的定义域为()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛,221,0。

考点：函数的定义域及其求法4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )【答案】A 【解析】试题分析：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0，几何的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以zOx 平面为投影面。

高2013级第四期4月阶段性考试英语试题第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题, 从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后, 你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What did the woman see?A. A helicopter.B. A black dog.C. A red house.2. Which bus will the man take?A. No. 26.B. No. 810.C. No. 735.3. Where did the woman find the pen?A. At the little café.B. At her office.C. At a small store.4. What’ s the date today?A. July 21st.B. July 15th.C. July 9th.5. What does the man mean?A. John is right this time.B. He never believes John.C. John always tells true stories.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题, 从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前, 你将有时间阅读各个小题, 每小题5秒钟；听完后, 各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料, 回答第6、7题。

6. What does the woman want the man to do?A. Eat less food.B. Take more medicine.C. Brush his teeth more.7. Why does the man mention his sister?A. He’ ll visit her soon.B. She also has a toothache.C. He loves the sweets made by her.听第7段材料, 回答第8至10题。

高2013级第三期期中考试数学试题（文科）命题人：赖富彬一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知直线2121//,023)2(:06:l l a y x a l ay x l 则和=++-=++时，a 的值为（ ）A 3,1a a ==- B 3a = C 1a =- D以上都不对2.两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向右平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )．A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或114．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．13 B ．23C ． 1D ．25.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确．．的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6. 若A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上不同的三个点，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（ ） A. 221λμ+= B.111λμ+= C. 1λμ= D.1λμ+=7.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为边BC ，CD 的中点，沿AE 、EF 、AF 折叠成一个三棱锥P ﹣AEF （使 B ，C ，D 重合于点P ），则三棱锥P ﹣AEF 的外接球的表 面积为（ ）A. 83πB. 36πC. 12πD. 6π8.已知圆22(3)(4)4x y -+-=和直线y x =相交于,P Q 两点则OP OQ •的值是（ ） A. 212B. 2C. 4D. 219.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那 么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.2510. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ．点M 在底面ABCD 内运动，且满足|MP|=|MC|，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹 （ ）D C B A A B C D D C B A D CBAA B C D二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．12.设函数21,[1,0)f ()1,[0,1]x x x x x ⎧⎪-∈-=⎨-∈⎪⎩，则将y=f （x ）的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为 ．13．圆C ：2284190x y x y +-++=关于直线10x y ++=对称的圆的方程为14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=2．设M 是底面ABC 内一点，定义f （M ）=（m ，n ，p ），其中m 、n 、p 分别是三棱锥M ﹣PAB 、三棱锥M ﹣PBC 、三棱锥M ﹣PCA 的体积．若1()(,,)3f M x y =，则 x+y=．15.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为棱DD 1和AB 上的点，则下列说法正确的是．（填上所有正确．．命题的序号） ①A 1C ⊥平面B 1EF②在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线； ③△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E ，F 为中点时，平面B 1EF 截该正方体所得的截面图形是六边形； ⑤当21,32DE AF ==时，平面B 1EF 与棱AD 交于点P ，则34AP =．DCPM三．解答题：本大题共6小题，共 75分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）设直线1:2l y x =与直线2:3l x y +=交于点P ，当直线l 过P 点，且原点O 到直线l 的距离为1时，求直线l 的方程。

高2013级第四期4月阶段性考试化学试题考试时间：70分钟分值：100分可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Na-23 Fe-56V-51第I卷（共48 分）一、选择题（每小题只有1个选项正确，每小题3分，共48分）1．化学与人类生活密切相关。

下列说法正确的是（）A．淀粉、脂肪和蛋白质都是人体必需的高分子化合物B．汽油、柴油和植物油都是碳氢化合物C．高压聚乙烯是无毒高分子化合物，可用作食品包装袋等薄膜制品D．向蛋白质溶液中加入浓的Na2SO4或CuSO4溶液均可使蛋白质盐析而分离提纯2．下列依据热化学方程式得出的结论正确的是（）A．已知NaOH(aq)＋HCl(aq)=NaCl(aq)＋H2O(l) △H=－57.3 kJ·mol－1，则含40.0gNaOH的稀溶液与足量稀醋酸完全中和，放出的热量小于57.3 kJB. 2C(s)+2O2(g)=2CO2(g) △H=akJ·mol－1:2C(s)+O2(g)=2CO(g) △H=bkJ·mol－1,则a＞bC．氢气的燃烧热为285.5 kJ·mol－1，则水分解的热化学方程式为：2H2O(l)＝2H2(g)＋O2(g)；△H＝+285.5 kJ·mol－1D．已知正丁烷(g)→异丁烷(g) △H＜0，则正丁烷比异丁烷稳定3. 一定条件下，体积为10L的密闭容器中，1mol X和1mol Y进行反应：2X(g)＋Y(g)Z(g)，经60s达到平衡，生成0.3mol Z。

下列说法正确的是( )A. 以X浓度变化表示的反应速率为0.001mol/（L·S）B. 将容器体积变为20L，Z的平衡浓度变为原来的1/2C. 若增大压强，则物质Y的转化率减小D. 若升高温度，X的体积分数增大，则该反应的△H＞04. 在一密闭容器中，反应mA(g)+nB(g)pC(g)达到平衡时，测得c(A)为0.5 mol·L-1；在温度不变的条件下，将容器体积扩大一倍，当达到平衡时，测得c(A)为0.3 mol·L-1。