【中考数学】2018数学总复习数与式第5节二次根式(精讲)课件

化成最简二次根式后，被开方数相 同的二次根式，叫做同类二次根式。
2． 二次根式的性质
（1） ( a ) ≥0（a≥0）；
2 （ 2） ( a ) =a（a≥0）；
a(a 0) （ 3） ( a ) a a(a＜0)
2
特别提醒：三个具有非负性的式子： a2， | a |， a （a≥0）
知识梳理
一、平方根、算术平方根、立方根 1．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根， 记作 a ； 如果一个正数的平方等于a，即 x2 = a ，那么这个数x叫 做a的算术平方根，记作 a ．
2．平方根有以下性质：
（1）正数有两个平方根，他们互为 相反数 ；
（2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根．
解（2） 12 1 3
36 1 6 1 5

3 12 3
1 3 3
3．二次根式的运算
（1）二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成最简二次根式； ②再把同类二次根式分别合并，合并时， 仅合并系数，被开方数和根指数不变．
（2）二次根式的乘除法
①
ab a · b （a≥0，b≥0）；
a a b b
②
（a≥0，b＞0）．
二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式
x 2．若代数式 x 1 有意义，则实数x的取值范围是（ D）
A．x≠1
B．x≥0
C．x＞0
D．x≥0且x≠1
考点2：二次根式的运算
例2．计算
【举一反三】3．计算： （ 1）
3 2
1 24 18 = 3
6
．
2 ；2 23 6 6 6 解（1） . 2 3 2 2 3 3 2 3 6

2.二次根式 a (a≥0)中,当a≥时, a 有意义,即二次根式有意义的
条件是被开方数大于等于0.
3.最简二次根式应满足的两个条件是： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1.5.3 二次根式的性质
2
1 a a a 0.
2
a2

a

a a a
1.平方根：一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，记 作 a .
2.算术平方根：一个正数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，
记作 a ，0的算术平方根是0. 3.立方根：一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根,记作 3 a .
1.5.2 二次根式的有关概念
1.二次根式：一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式.
所以C错误. 【答案】A
x2

x

x x
x

0 x＜0.
所以D错误.
a2 a
ab a b a 0，b 0
a a a 0,b＞0
bb
加减法：化简后把被开方数相同的二次根式合并
乘法：a b ab a 0,b 0
除法： a a a 0,b＞0
bb 混合运算：类比整式的运算法则进行计算
1.5.1 平方根、算术平方根与立方根
安徽中考近几年都考查了有关二次根式的内容，但2016、2017年中 考没有单独命题，而是考查了立方根的概念，预测2018年安徽中考 仍将考查一道有关平方根、算术平方根、立方根、二次根式的简单 运算等知识点.
知识体系图
概念
二次根式
性质 运算
二次根式的定义 a a≥0
最简二次根式

类型二 二次根式的有关概念与性质
例 2 (1) 式子 2x＋ 1有意义的 x 的取值范围是 ________； x－ 1
(2)(2017 邵·阳模拟 )将 45化成最简二次根式是 ________．
(3)计算： （ 1－ 2） 2＝ ________.
【解后感悟】 (1)此类有意义的条件问题主要是根据： ① 二次根式的被开方数大于或等
(2)(2016 聊·城 )计算： 27· 83÷ 12＝
积的算术平方根
ab＝ a· b(a≥ 0， b≥ 0)．
商的算术平方根
aa b ＝ b(a≥ 0， b>0)．
3.二次根式的运算
考试内容
二次根式的加减 二次根式的乘法 二次根式的除法 二次根式的混合运算
先将各根式化为
，然后合并被开方数
的二次根式．
a· b ＝
(a≥ 0， b≥ 0)．
a＝
(a≥0， b ＞0)．
考试 要求
c
1． (2015 ·湖州 )4 的算术平方根是 ( )
A．± 2
B． 2
C．－ 2
D. 2
2． (2017 ·宁波 )要使二次根式 x－ 3有意义，则 x 的取值范围是 ( )
A． x≠ 3
B． x＞ 3
C．x≤3
D．x≥3
3． (2016 ·杭州 )下列各式变形中，正确的是 ( ) A． x 2· x3 ＝x6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例 1 (1)(2015 ·黄冈 )9 的平方根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( )
A．± 3
1 B．± 3
(2)(2017 黄·冈 )16 的算术平方根是 ________．
C． 3

02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。

二次根式应用
面积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的面积时，如正 方形、矩形、三角形等，可能会涉及 到二次根式的计算。
体积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的体积时，如长 方体、正方体、圆柱体等，也可能会 涉及到二次根式的计算。
Part
05
拓展：复数和虚数单位i的引 入
复数的定义和基本运算规则
易错难点剖析及应对策略
易错点一
忽视二次根式中被开方数的取值 范围。应对策略：在解题时，要 时刻注意被开方数的取值范围，
确保其非负。
易错点二
混淆二次根式的性质。应对策略： 正确理解并区分二次根式的性质， 如$sqrt{a^2}$和$(sqrt{a})^2$的 区别。
易错点三
运算顺序出错。应对策略：遵循先 乘除后加减的运算顺序，同时注意 括号的使用。
运算规则与注意事项
加减运算
先将二次根式化为最简形 式，再合并同类二次根式 。
乘除运算
根据二次根式的乘法法则 和除法法则进行计算。
注意事项
在运算过程中，要保证被 开方数是非负数，同时要 注意运算顺序和符号问题 。
Part
02
二次根式的化简与求值
化简方法与技巧
STEP 01
因式分解法
STEP 02
二次根式的性质
$sqrt{a^2} = |a|$，即正数的平方根是其本身，负数的平方根是其相反数，0的平方根是 0。
二次根式的运算法则
包括加法、减法、乘法和除法。其中，乘法法则为$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{ab}$（ $a geq 0, b geq 0$），除法法则为$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）。

通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如

考点2 二次根式的运算
【例2】 （1）（2012·黔东南州）下列等式一定成 立的是（ B ）
A. 9 4 5
B. 5 3 15
C. 9 3
D. 92 9
考点2 二次根式的运算
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(3)(2012·南通) 计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24 解 原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
求值问题“五招”
(1)巧用乘法公式；(2)巧用平方；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1.（2013·嘉兴）二次根式中 x 3 ，x的取值范围是 x≥3
2.（2011·杭州）下列各式中，正确的是（ B ）
A. 32 3
B. 32 3
C. 32 3
D. 32 3
3.（2012·金华）一个正方形的面积为15，估计它的边
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时就要分 类讨论；
(2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求 解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分， 都必须认真对待．
请完成考点跟踪突破
（3）（2012·安顺）计算 12 3 3 3 .
考点3 二次根式混合运算
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.

2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2