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抛物线及其标准方程2●教学目标1． 掌握抛物线的定义，灵活应用定义求轨迹方程；2． 掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.●教学重点抛物线定义、几何性质的应用●教学难点抛物线的应用●教学方法启发引导式●教具准备三角板●教学过程Ⅰ.复习回顾：师：上一节，我们学习了抛物线的定义及其标准方程，首先作简要回顾（略）.这一节，我们继续研究抛物线的定义及其标准方程的灵活运用.Ⅱ.讲授新课：师：这一节，我们主要通过例题分析研究抛物线定义及其标准方程在解题时的具体应用.例2 点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程.分析：由已知，点M 属于集合|}.5|1|||{+=+=x MF M P将|MF |用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M 的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐. 仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M 的横坐标x 应满足x ＞－5,即点M 应在直线l 的右边，否则点M 到F 的距离大于它到l 的距离；其次，“点M 与点F 的距离比它到直线l ：x +5=0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x +4=0为准线的抛物线.解：如图8—21，设点M 的坐标为（x ，y ）.由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离.根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线..8,42=∴=p p 因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2=16x说明：此题为抛物线定义的灵活应用，应强调学生加强对抛物线定义的理解与认识.例3 斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长.分析：例3是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB 分段转化成点A 、B 到准线距离，从而达到求解目的.解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0），所以直线AB 的方程为y =x －1. ①将方程①代入抛物线方程y 2=4x ,得（x －1）2=4x 化简得x 2－6x ＋1=0解之得：.223,22321-=+=x x将x 1，x 2的值分别代入方程①中，得.222,22221-=+=y y即A 、B 坐标分别为)222,223(++、)222,223(--..8)24()24(||22=+=∴AB解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，|AF |等于点A 到准线x =－1的距离.1||,1+=''x A A A A 而 同理,12+='=x B B BF于是得|AB |=|AF |+|BF |=x 1＋x 2＋2.由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1=0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2=6 于是可以求出|AB |=6+2=8.说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.Ⅲ.课堂练习课本P 119 4，5.●课堂小结师：通过本节学习，要求大家进一步掌握抛物线的定义，并灵活运用抛物线定义求轨迹方程，同时掌握焦点弦性质的应用.●课后作业习题8.5 5，6，7.●板书设计●教学后记。
课题：8．5抛物线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；2．根据定义画出抛物线的草图3．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平教学重点：抛物线的定义教学难点：抛物线标准方程的不同形式授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“抛物线及其标准方程”是教材第八章第五节的内容，也是本章介绍的最后一种圆锥知识学好本节对于完整地掌握二次曲线，有着不可替代的作用作为教学大纲规定的重点内容，高考必考的考点，这节教材继续着力于教会学生运用坐标法解题以及培养学生的对立统一的思想观点本节教材与前面的内容和结构都有相似之处但抛物线的确定过程中只有一个定点，所以这里要从对e值的讨论来导入新课教材利用教具演示引出抛物线定义，这种直观形象的过程类似于椭圆、双曲线定义引出过程，同学们已有一定的经验但这三者毕竟有着各自的特征，尤其是抛物线形成中依赖于一点一线而非两点，所以演示操作时除了讲出教材上的话之外还要适当与前面的椭圆、双曲线相关内容进行对比说明像椭圆和双曲线一样，抛物线的标准方程不只一种形式，而是共有4种形式之多为此应注意两点：一是要对四种方程形式进行列表对比，对其中的图形特征（如开口方向、顶点、对称轴等）也须作特别说明；二是要指出不能把抛物线当成双曲线的一支当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线没有渐近线；而双曲线上的点趋于无穷远时，它有渐近线本节内容分为两课时第一课时主要内容为抛物线的定义、标准方程及其推导、课本中的例一第二课时的主要内容是课本中的例二、例三教学过程：一、复习引入：和它到一条定直线l的距离的比是一个)1,0(内的常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率2. 双曲线的第二定义：一动点到定点F的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个),1(+∞内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线。
8。
5 抛物线及其标准方程教学要求：掌握抛物线的定义、焦点、准线,能熟练运用抛物线的标准方程,焦点坐标和准线方程。
教学重点：掌握标准方程。
教学难点：理解定义。
教学过程：一、复习准备：1.如何用准线定义椭圆、双曲线?2.说出椭圆、双曲线的准线方程。
二、讲授新课：1.教学抛物线标准方程的推导:①出示例：求平面内到定点F和定直线L的距离相等的点的轨迹方程。
②教师指出如何建系：取过定点F且垂直于直线L的直线为y轴，FH的中垂线为x轴，设|HF|＝p。
③学生用设动点求轨迹的方法试求.④分析结果:x2＝2py →抛物线⑤定义：抛物线;焦点；准线.⑥讨论：四种抛物线图形位置的方程、焦点、准线；→记忆:一次项的变量表示焦点所在轴，符号表示开口方向→讨论：p的意义及对图形的影响？2。
教学例题：①出示例：已知抛物线y2＝－6x,求焦点坐标、准线方程.已知抛物线焦点F（0,2），求标准方程。
②学生试求→订正→小结:注意方程形式.③练习：写抛物线标准方程:A。
焦点F（3,0); B。
准线方程:x＝－1；4C。
焦点到准线的距离是2求焦点坐标和准线方程:y2＝20x x2＝1y 2y2＋5x＝0 x2＋8y＝023。
小结：注意四种形式.三、巩固练习：1。
求焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线的标准方程。
2.抛物线y2＝－8x上与点(－2，0）的距离为6的点的坐标是。
3.课堂作业：书P119 练习3题、4题。
2019-2020年高二数学上 8.5 抛物线及其标准方程教案旧人教版教学要求：掌握抛物线的定义、焦点、准线，能熟练运用抛物线的标准方程，焦点坐标和准线方程。
教学重点：掌握标准方程。
教学难点：理解定义。
教学过程：一、复习准备：1.如何用准线定义椭圆、双曲线？2.说出椭圆、双曲线的准线方程。
二、讲授新课：1.教学抛物线标准方程的推导：①出示例：求平面内到定点F和定直线L的距离相等的点的轨迹方程。
②教师指出如何建系：取过定点F且垂直于直线L的直线为y轴，FH的中垂线为x轴，设|HF|＝p。
③学生用设动点求轨迹的方法试求。
④分析结果：x＝2py →抛物线⑤定义：抛物线；焦点；准线。
⑥讨论：四种抛物线图形位置的方程、焦点、准线；→记忆：一次项的变量表示焦点所在轴，符号表示开口方向→讨论：p的意义及对图形的影响？2.教学例题：①出示例：已知抛物线y＝－6x，求焦点坐标、准线方程。
已知抛物线焦点F(0,2)，求标准方程。
②学生试求→订正→小结：注意方程形式。
③练习：写抛物线标准方程：A. 焦点F(3,0)；B. 准线方程：x＝－；C. 焦点到准线的距离是2求焦点坐标和准线方程：y＝20x x＝y 2y＋5x＝0 x＋8y＝03.小结：注意四种形式。
三、巩固练习：1.求焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线的标准方程。
2.抛物线y＝－8x上与点(－2,0)的距离为6的点的坐标是。
3.课堂作业：书P119 练习3题、4题。
2019-2020年高二数学上 8.5 抛物线的几何性质（一）教案旧人教版教学要求：理解抛物线的作图，掌握抛物线的范围、对称轴、顶点、离心率等几何性质。
教学重点：掌握求标准方程。
教学难点：理解作图原理。
教学过程：一、复习准备：1.给出焦点在四种位置情况的抛物线图形，说出其方程、焦点、准线方程。
2. ①焦点为F(-2,0)的抛物线方程是；②抛物线y＝4ax (a<0)的焦点坐标是；③抛物线4x－y＝0的准线方程是。
§8.5.1抛物线及其标准方程(王)
一、教学目标：
1.掌握抛物线的定义及标准方程，能根据条件确定抛物线的标准方程.
2.培养分析能力、归纳能力、推理能力.
二、教学重点与难点：
重点：抛物线的定义和标准方程.
难点：抛物线标准方程的推导.
三、教学内容：
（一）复习
1.椭圆、双曲线的第二定义.
2.椭圆、双曲线标准方程？
3.问题：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e=1的点的轨
迹是什么曲线？
（二）新课
1.知识点：
抛物线的定义
抛物线的焦点、准线
抛物线的标准方程
2.例题分析：
（1）求适合下列条件的抛物线的标准方程.
①过点（-3，2）
②焦点在直线x-2y-4=0上.
（2）已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程.
①y=6x2②y=ax2
（3）已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.
（4）如图所示，直线L1和L2相交于点M，L1⊥L2，点N L1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若⊿AMN锐角三角
形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
（98高考）
2
3.作业：
教材P119习题8.5 1-4。
8.5 抛物线及其标准方程
本章主要内容
8.5 抛物线及其标准方程
课本第115页至第119页
一、 本讲主要内容
1、 抛物线的定义
2、 抛物线的标准方程
3、 抛物线定义的运用
4、 运用待定系数法求抛物线方程
三、学习指导
1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。
椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。
椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。
2、课本P.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有：
（1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。
次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。
（2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的14值为焦点非零坐标，其相反数为准线方程中的数值。
3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。
尽管抛物线方程中的参数只有一个p ，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。
4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。
课本P.117例2是一道重要、典型的例题，同学们应仔细体会转化的思想。
四、典型例题
例1、互相垂直的两直线1、2交于点M ，点N ∈1，以A 、B 为端点的弧上任一点到2的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 是锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3,|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线弧C 的方程。
解题思路分析：
因弧C 上任意一点到直线
2的距离与到点N 距离相等，根据抛物线定义可知，AB 是抛物线的一段弧，N 为焦点，
2为准线。
以
1为x 轴，MN 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2=2px （p>0），弧C 方程为
y 2=2px ，x A ≤x ≤x B ，直线
2：2p x -=。
过A 作AA 1⊥
2，A 1为垂足，则|AA 1|=|AN|=3
∵ |AM|=17
∴ |A 1M|=22
即 y A =22
∴ A 2px 2)22(= ①
又 |AA 1|=32
p x A =+ ② 由①②得⎩
⎨⎧==2p 2x A 或⎩⎨⎧==4p 1x A 因△AMN 为锐角三角形，而当x A =2， p=2时，N （1，0），A 在x 轴上的射影在N 右侧，△AMN 为钝角三角形，故舍去。
∵ |BN|=x B +
2p ∴ x B =4
∴ 曲线弧C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y>0） 注：本题也可以以
1、2所在直线分别为x 轴、y 轴建立坐标系，不过曲线弧C 所在抛物线方程不是标准方程。
例2、抛物线拱桥如图，水面宽|AB|=2a 时，拱顶离水面h ，一货船在水面上部分的横截面是矩形CDEG 。
（1） 若矩形长|CD|为a ，则高|DE|为何值时船才能通过；
（2）求矩形面积S 的临界值M ，使当S ≤M 时，可适当调整矩形的长与高，让船通过拱桥；而当S>M 时，无论怎样调整，船都不能过桥。
解题思路分析：
这是一个实际问题，为了精确地求出|DE|，应通过建立坐标系，用解析几何知识求解。
（1）如图建立坐标系xOy ，|DE|最大值为E 在抛物线上，当船高小于|DE|最大值时，货船可以通过。
由抛物线的对称性知，x D =x E =
2a ,因D 到x 轴距离为h ，故欲求|ED|，只需求E 到x 轴的距离，即E 点纵坐标的绝对值。
设抛物线方程为x 2=-2py （p>0）
① ∵ B （a ，-=1（舍）
② 当2a-1<0，0<a<2
1时，x=1-2a 时(|MA|2)min =4a-4a 2 此时，|MA|=1)1a 2(2+--<1
∴ 0<a<2
1 （1） 设M 0（x 0，y 0）
则 x 0=1-2a
又 y 02
=4ax 0
消去a 得：2y 2+4(x-
21)2=1 x ∈(0，1) 七、附录
例1的解：分别以
1、2为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则弧C 的方程为
y 2=2px （p>0），x A ≤x ≤x B ，直线
2：2p x -= 过A 作AA 1⊥
2，A 1为垂足，则|AA 1|=|AN|=3 ∴ x A =32
p =+ ① 又 |AM|=17
∴ |A 1M|=22
∴ y A =22
∴ 2)22(=2px A ②
由①②得⎩⎨⎧==2
p 2x A ，或⎩⎨⎧==4p 1x A
∵ △AMN 为锐角三角形
∴ 舍去⎩
⎨⎧==4p 2x A 一组解 又 |BN|=62
p x B =+
∴ x B =4 ∴ 曲线弧C 的方程为y 2
=8x （1≤x ≤4，y>0）
例2的解：（1）如图建立坐标系，设抛物线方程为x 2=-2py （p>0）
∵ B(a ，->0时，A 、B 在第一象限
① 设P ：y 2=2px （p>0） 则 ⎪⎩⎪⎨⎧==p m 4
9pm 2362 ∴ ⎩
⎨⎧==9p 2m ∴ P ：y 2
=18x
② 设P ：x 2=2py （y>0）
则 ⎪⎩⎪⎨⎧==mp 341p 12m 2
∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧==121p 1m ∴ P ：y 6
1x 2= （2）当m<0时，A 在第二象限，同时通过A 、B 的抛物线不存在
∴ 所求抛物线方程为y 2
=18x ，或y 61x 2= 例4的解：设抛物线方程为x 2=2my （m ≠0），准线2m y -
= ∵ |MF|=5
∴ 5)4(2
m =--- ∴ m=-2
∴ 抛物线方程为x 2
=-4y
再令y=4
∴ x 2=16
∴ x=±4
∴ a=±4
例5的解：设M （3，0），r=3，动圆圆心为P ，半径为R
则 ⎩⎨⎧=+=R |x |3R |PM | ∴ |PM|=|x|+3
当x>0时，上式表明点P 到定点M 的距离等于它到直线x=-3的距离，其轨迹是抛物线，方程为y 2
=12x 当x<0时，动点P 到定点M 的距离等于动点P 到直线x=3的距离，因M 到x=3的距离正好为3 ∴ 点P 的轨迹为x 轴非正半轴，方程为y=0（x ≤0）。
