最新高三教案-g3.20180186不等式的概念和性质 精品

不等式的概念及性质内容 基本要求 略高要求 较高要求 不等式(组)能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义． 能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)． 不等式 的性质理解不等式的基本性质． 会利用不等式的性质比较两个实数的大小．不等式的概念：⑴不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：2-5-2,3-14,10,10,0,35a x a x a a <+>++≤+>≥≠等都是不等式．⑵常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>±如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c>) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变．另外，不等式还具有互逆性和传递性．不等式的互逆性：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ．不等式的传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c ．注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向．⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形：①如果a>0，那么3a>2a ；中考要求②如果a=0时，那么3a=2a；③如果a<0时，那么3a<2a．一、不等式的基本概念【例1】用不等式表示数量的不等关系．⑴a是正数⑵a是非负数⑶a的相反数不大于 1⑷x与y的差是负数⑸m的4倍不小于8⑹q的相反数与q的一半的差不是正数⑺x的3倍不大于x的1 3⑻a不比0大【例2】用不等式表示：⑴x的15与6的差大于2；⑵y的23与4的和小于x；⑶a的3倍与b的12的差是非负数；⑷x与5的和的30%不大于2-．【例3】用不等式表示下列数量关系（1）代数式43x+的值不大于2；（2）m和n的和是非负数。

高中不等式经典教案（最全18课时教案）第一教时一、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时一、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a dc b a ->-⇒⎩⎨⎧->->或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <>ΘΘ ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么db c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小 解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b6．若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴db c a -<-11 ∴原式成立第三教时一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

高三数学教案不等式的性质高三数学教案不等式的性质一、明确复习目标掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题二.建构知识网络1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：aa以此可以比较两个数(式)的大小，作差比较法.或作商比较：aa0时, .2.不等式的性质：(1)对称性: ，证明：(比较法)(2)传递性: ，(3)可加性: .移项法则:推论：同向不等式可加.(4)可乘性: ，推论1：同向(正)可乘:证明：(综合法)推论2：可乘方(正):(5) 可开方(正):证明：(反证法)四、经典例题做一做【例1】已知a2，求c的取值范围.?解：∵b2ac=b-2a0,b-4 -2a= .c的取值范围是：【例2】设f(x)=ax2+bx,且1f(-1) f(1) 4 ,求f(-2)的取值范围解：由已知12, ①, 24 ②若将f(-2)=4a-2b用a-b与a+b,表示，则问题得解设4a-2b=m(a-b)+n(a+b), (m,n为待定系数)即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,于是得得：m=3, n=1由①3+②1得54a-2b10即5f(-2)10,另法：由得f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1)◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a-2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释.【例3】(1)设A=xn+x-n，B=xn-1+x1-n，当xR+，nN时，比较A与B的大小.(2)设00且a ，试比较|log3a(1-x)3|与|log3a(1+x)3|的大小.解: (1)A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)=x-n(x2n+1-x2n-1-x)=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]=x-n(x-1)(x2n-1-1).由xR+，x-n0，得当x1时，x-10，x2n-1-1当x1时，x-10，x2n-10，即x-1与x2n-1-1同号.A-B0.AB.(2)∵0①当3a1，即a 时，|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|=|3log3a(1-x)|-|3log3a(1+x)|=3[-log3a(1-x)-log3a(1+x)]=-3log3a(1-x2).∵01，-3log3a(1-x2)0.②当01，即0|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|=3[log3a(1-x)+log3a(1+x)]=3log3a(1-x2)0.综上所述，|log3a(1-x)3||log3a(1+x)3|.◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号.。

不等式的性质高三数学教案不等式的性质高三数学教案教学分析本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上，系统归纳整理不等式的其他性质，这是进一步学习不等式的基础．要求学生掌握不等式的基本性质与推论，并能用这些基本性质证明简单不等式，进而更深层地从理性角度建立不等观念．对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、归纳逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量之间的比较过程．基本性质2、3、4在初中是由实例验证，在高中里要进行逻辑证明．教学中教师一定要认识到对学生进行逻辑训练的必要性，注意启发学生要求证明的欲望．在中学数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与中学数学几乎所有章节都有联系，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．为此，在进行本节教学时，教材中基本性质的推论可由学生自己证明，课后的练习A、B要求学生全做．三维目标1．通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论．2．在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式．3．通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度．体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情．重点难点教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式．教学难点：不等式基本性质的灵活应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．思路2.(类比导入)等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课．推进新课新知探究提出问题1怎样比较两个实数或代数式的大小？2初中都学过不等式的哪些基本性质？你能给出证明吗？3不等式有哪些基本性质和推论？这些性质有哪些作用？活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质(或用多媒体展示)，即a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b＝0a＝b.根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点．从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：性质1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a.这种性质称为不等式的对称性．性质2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c.这种性质称为不等式的传递性．性质3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．由此得到推论1，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．这个推论称为不等式的移项法则．推论2，如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论．性质4，如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac ＜bc.推论1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.推论2，如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)．推论3，如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N＋，n＞1)．以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．其中性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数(或式)去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是正数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方．对以上性质的逻辑证明，教师可与学生一起完成.5个推论可由学生自己完成，教师给予适当点拨．这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会，不可错过．讨论结果：(1)(2)略．(3)4条性质，5个推论．应用示例例1(教材本节例题)活动：本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的`训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力．实践证明，学生往往推理不严密．教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰．点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一.变式训练已知a＞b＞0，c＜0，求证： ca＞cb.证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，1ab＞0.于是a1ab＞b1ab，即1b＞1a.由c＜0，得ca＞cb.例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所限，往往容易出错．这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.上面两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.∴－π2≤α－β2＜π2.又知α＜β，∴α－β2＜0.故－π2≤α－β2＜0.点评：在三角函数化简求值中，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.变式训练已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能答案：B解析：由题意知f(x)是奇函数，且在R上为单调增函数，所以f(－x2)＝－f(x2 )，f(－x3)＝－f(x3)，f(－x1)＝－f(x1)，且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.所以f(x1)＜－f(x2)，f(x2)＜－f(x3)，f(x3)＜－f(x1)．由不等式的性质3推论2知f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜－f(x1)－f(x2)－f(x3)．因此，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c＞eb－d.活动：教师引导学生观察结论，由于e＜0，因此即证1a－c＜1b －d，引导学生作差，利用本节所学的不等式基本性质．证明：c＜d＜0－c>－d>0a>b>0 a－c＞b－d＞0 1a－c<1b－de<0 ea－c＞eb－d.点评：本例是灵活运用不等式的性质．证明时一定要推理有据，思路条理清晰.变式训练若1a＜1b＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正确的不等式有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：B解析：由1a＜1b＜0得b＜a＜0，ab＞0，则①正确，②错误，③错误.知能训练1．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )A.1a＜1b B．a2＞b2[来源:学+科+网]C.ac2＋1＞bc2＋1 D．a|c|＞b|c|2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )A.ba＞b＋1a＋1 B．a＋1a＞b＋1bC．a＋1b＞b＋1a D.2a＋ba＋2b＞ab3．有以下四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.其中能使1a＜1b成立的有__________个条件．答案：1．C 解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均错．2．C 解法一：由a＞b＞0 0＜1a＜1b a＋1b＞b＋1a.解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝12，b＝13，排除B.3．3 解析：①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.课堂小结1．教师与学生共同完成本节的小结．从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得，推论的证明，以及例题的探究、变式训练等．真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系．2．教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题．作业习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.设计感想1．本节设计更加关注学生的发展．通过具体问题的解决，让学生去感受、体验，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．2．本节设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和积极主动的学习品质，从而提高学习质量．3．本节设计注重了学生个性品质的发展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．备课资料备用习题1．如果a、b、c、d是任意实数，则( )A．a＞b，c＝d ac＞bd B.ac＞bc a＞bC．a3＞b3，ab＞0 1a＜1b D．a2＞b2，ab＞0 1a＜1b2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( ) A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞bC．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b3．已知－1＜ a＜b＜0，则下面不等式中正确的是( )A.1a＜1b＜b2＜a2B.1a＜1b＜a2＜b2C.1b＜1a＜a2＜b2D.1b＜1a＜b2＜a24．设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0 D．b＋a＞05．若α、β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0C．－π2＜α－β＜π2 D．－π2＜α－β＜06．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为__________，xy的取值范围为__________．7．已知a＜b，c＞d，求证：c－a＞d－b.8．已知x＞y＞z＞0，求证：yx－y＞zx－z.参考答案：1．C A项中，当c、d为负数时，ac＜bd，A错；B项中，当c 为负数时，a＜b，B错；C项中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得1a＜1b，C项正确；D项中，若a、b均为负数时，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出1a＞1b，D错．2．C 由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b为正，－a，b为负，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.3．D 由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以1b＜1a＜0，a2＞b2＞0，故1b＜1a＜b2＜a2.4．D 利用赋值法：不妨令a＝1，b＝0，则排除A，B，C.5．B 由α＜β知α－β＜0，又由α＞－π2，β＜π2，故α－β＞(－π2)－π2＝－π，即－π＜α－β＜0.6．(27,56) (2011，3) ∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28.又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，yx∈(2884，3360)．∴xy∈(6033，8428)，即2011＜xy＜3.7．证明：∵a＜b，∴－a＞－b.又∵c＞d，∴c＋(－a)＞d＋(－b)，即c－a＞d－b.8．证明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴1x－y＞0.又y＞z＞0，∴yx－y＞zx－y.①∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.∴0＜x－y＜x－z.∴1x－y＞1x－z.又z＞0，∴zx－y＞zx－z.②由①②得yx－y＞zx－z.。

不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a-<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。

【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a是正数（2）a是非负数（3）a的相反数不大于1（4）x与y的差是负数（5）m的4倍不小于8（6）q的相反数与q的一半的差不是正数（7）x的3倍不大于x的1 3（8）a不比0大不等式（组）的概念、性质与解法知识讲解【巩固】用不等式表示：【巩固】用不等式表示：不等式基本性质基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．不等式的互逆性不等式的传递性易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴⑵⑶⑸【巩固】或填空【巩固】）C.【例3】( )A B C D【巩固】）【巩固】( )A．B．C．D．【巩固】( )A．B．C．D．【巩固】( )A B C D【巩固】( )A．B．C．D．不等式的解集1.不等式的解：解，当然它的解还有许多．2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个围，在这个围的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】 下列说法中错误的是（ ）A.C.D.【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：【巩固】）【巩固】下列不等式：其中一定成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项((式)【例6】【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】【例7】1的正整数解．【巩固】_______．【巩固】__________．【巩固】一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式组和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：【例8】【巩固】【例9】【巩固】【例10】解【巩固】【例11】解【巩固】【例12】解【巩固】如果2m 、m 、1m -这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求m 的取值围．1.如果a b >，可知下面哪个不等式成立( )A ． a b ->-B ． 11a b < C ． 2a b b +> D ．2a ab >2.比较下列各对代数式的值的大小： ⑴已知x y <，则111______122x y --；⑵已知2323x y ->-，则_____x y 。

《不等式和它的基本性质》教案教学目标：1、了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质，并能正确运用它们将不等式变形；2、提高学生观察、比较、归纳的能力，渗透类比的思维方法； 重 难 点：掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形。

教 法：尝试、讨论、引导、总结 教 具：多媒体投影仪 教学内容及程序： 一、 前提测评1、前边，我们已学习了等式和它的基本性质。

请同学们思考并回答什么叫等式？2、由“等式表示相等关系”，引导学生联想，在现实生活中，同种量间有没有不等关系呢？（如身高与身高、面积与面积等）请学生举一些实例。

3、这节课我们就来研究表示不等关系的式子，看它有哪些性质。

（课题：不等式的基本性质）二、 达标导学 我们先来认识不等式。

1、教师出示下列式子（板书）：（1）3＞2 （2） 12+a ＞0 （3） x x 232+ （4） x ＜12+x （5） 52-=x x （6） x x 42+＜13+x （7）b a +≠c学生观察上面式子时，教师问：哪位同学能由等式的意义，说说“什么叫做不等式？”（对学生的回答加以修正完善并板书：“不等式的意义：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式”。

）2、用“＞”或“＜”填空：（1）4 －6 （2）－1 0 （3） －8 －3 （4） －4.5 －4（5）7＋3 4＋3 （6） 7＋(－3) 4＋(－3) （7） 7×3 4×3 （8） 7×(－3) 4×(－3) 三、回忆复习；1、观察下面这几个式子，回答什么是等式？32=+y x 、02322=-n m 、y x =+2★表示相等关系的式子叫等式。

★等号左边的代数式叫等式的左边； ★等号右边的代数式叫等式的右边。

2、观察下面这几个式子，完成下面的填空。

∵b a = ∵a ＝b∴ 33±=±b a ，)2()2(22y x b y x a +±=+± 由此得出等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。

高中数学教案不等式的性质和解法高中数学教案：不等式的性质和解法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，它可以帮助我们描述数值大小的关系。

掌握不等式的性质和解法对于学生的数学素养的提高至关重要。

本教案将介绍不等式的基本性质以及常用的解法方法，帮助学生深入理解不等式的本质和应用。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：不等式具有传递性的性质，即如果对于实数a、b和c，若a < b，b < c，则有a < c。

这是由实数集的有序性决定的。

2. 不等式的加法性：对于实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c。

这是由实数加法运算的性质决定的。

3. 不等式的乘法性：对于实数a、b和c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。

若a < b且c < 0，则有ac > bc。

这是由实数乘法运算的性质决定的。

4. 已知不等式的平方：对于实数a，若a > 0，则有a^2 > 0。

若a < 0，则有a^2 > 0。

这是由实数平方的性质决定的。

二、不等式的解法方法1. 图解法：利用数轴上的点、线段和箭头等图形表示不等式的解集。

可以通过图示的方式直观地观察解集的范围。

2. 代数法：通过代数方法，利用不等式的性质，将不等式转化为若干等价的不等式，再通过解等价不等式得到原不等式的解集。

3. 数值法：对于一些简单的不等式，可以通过列举数字的方式求解。

将不等式中的变量替换为具体的数值，并逐个验证是否满足不等式，从而得到解集。

4. 增减法：通过逐步增减变量的值，缩小不等式的解集范围。

通过观察变量的增减趋势，可以确定不等式的解集。

三、应用实例例1：求解不等式2x + 5 > 10。

解：首先，由不等式的加法性质，可以将不等式转化为2x > 5。

然后，再利用不等式的乘法性质，将不等式进一步转化为x > 2.5。

数学高考复习名师精品教案第45课时：第六章 不等式——不等式的概念与性质课题：不等式的概念与性质一．复习目标：1．掌握并能运用不等式的性质，灵活运用实数的性质；2．掌握比较两个实数大小的一般步骤．二．知识要点：1．不等式的性质：①对称性： ；②传递性： ． ③加法性质； ． ④乘法性质： ， ． ⑤乘方性质： ；开方性质 ．2．比较两数大小的一般方法是： ．三．课前预习：1．命题（1）,n n a b ac bc n N *>⇒>∈，（2）22a b a b c c >⇒>，（3）11a b a b>⇒<， （4）0,0a b c d ac bd <<<<⇒>，（5()a b n N *⇒>∈（6）a b a c b d c d<⎧+<+⇔⎨<⎩，（7）220a b a ab b <<⇒>> 其中真命题的是 ．2．已知01x y a <<<<，则 （ ）()A log ()0a xy <()B 0log ()1a xy <<()C 1log ()2a xy <<()D log ()2a xy >．3．如果0m b a <<<，则 （ ）()A coscos cos b m b b m a m a a m +-<<+- ()B cos cos cos b b m b m a a m a m-+<<-+ ()C cos cos cos b m b b m a m a a m -+<<-+ ()D cos cos cos b m b m b a m a m a +-<<+-． 四．例题分析：例1．比较11n n x y +++和*(,,)n n x y xy n N x y R ++∈∈的大小．例2．设0,1a a >≠，0t >，比较1log 2a t 和 1log 2at +的大小，并证明你的结论．例3．在等比数列{}n a 与等差数列{}n b 中，11330,0a b a b =>=>，且31a a ≠，比较2a 与2b ，5a 与5b 的大小．例4．设数列{}n a 的通项公式是21000n n n a =， （1）讨论数列{}n a 的单调性；（2）求数列中的最大项．五．课后作业：1．设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的 （ ）()A 充分非必要条件()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既不充分也不必要条件 2．下列不等式：（1）232()x x x R +≥∈，（2）553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，（3）222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为 （ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 33．给出下列条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，能推出 11log log log b a a b b b<<成立的条件的序号是 （填所有可能的条件的序号）．4．函数()y f x =是(0,2)上的减函数，且关于x 的函数(2)y f x =+是偶函数， 则15((),(3)22f f f 的大小关系是 ．5．已知,,,a x y b 依次成等差数列，,,,c x y d 依次成等比数列，其中,0,0x y x y ≠>>， 比较a b +与c d +的大小．6．某人乘坐出租车从A 地到B 地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每Km 价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每Km 价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较适合？7．设()f x =，比较 11|()()|f x f x -与1212||()x x x x -≠的大小．8．设,m R x R ∈∈，比较21x x -+与222m mx --的大小．9．设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小。