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人教版必修2《2.3.1直线和平面垂直的判定》优质课比赛课件(共17张PPT)

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人教A版必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(36张)

人教A版必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(36张)

合作 探究 释疑 难
直线与平面垂直的判定 【例 1】 如图，在三棱锥 S-ABC 中，∠ABC＝90°，D 是 AC 的中点，且 SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
[证明] (1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点， 所以 SD⊥AC.在 Rt△ABC 中，AD＝BD， 由已知 SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以 SD⊥BD.又 AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面 ABC， 所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点， 所以 BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD. 又因为 SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面 SAC，所以 BD⊥平面 SAC.
在本例正方体中，若 E 为棱 AB 的中点，求直线 B1E 与平面 BB1D1D 所成角的正切值．
[解] 连接 AC 交 BD 于点 O，过 E 作 EO1∥AC 交 BD 于点 O1， 易证 AC⊥平面 BB1D1D，
∴EO1⊥平面 BB1D1D， ∴B1O1 是 B1E 在平面 BB1D1D 内的射影， ∴∠EB1O1 为 B1E 与平面 BB1D1D 所成的角． 设正方体的棱长为 a， ∵E 是 AB 的中点，EO1∥AC， ∴O1 是 BO 的中点，
斜线 与平面 α相交，但不和平面 α垂直，图中 直线 PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点 A
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 射影 和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图
中斜线 PA 在平面 α 上的射影为 AO
对应图形
直线与 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
平面所 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直

高中数学人教A版-必修2-2.3.1直线与平面垂直的判定课件(共25张PPT)

高中数学人教A版-必修2-2.3.1直线与平面垂直的判定课件(共25张PPT)

A1
可得BD 平面ACC1A
BD A1A, BD AC
17
• 小结：证明线面垂直的方法关键是证明 线线垂直(三线合一，正方形/菱形对角线，直 线与平面垂直，勾股逆定理，直径所对圆周 角等）
18
高考真题——真枪实战·挑战自我
1.(2014全国Ⅰ文改编) 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O, 且AO⊥平面BB1C1C.证明:B1C⊥平面ABO;
BD A1A, BD AC
16
变式：在底面为菱形的直棱柱
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证： BD⊥平面ACC1A1
证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC，
又A1A 底面ABCD，BD 底面ABCD
所以A1
A
BD,即BD
A 1
A
由
A1
A、AC
平面ACC 1
A1A AC A
VOB.
证 明 ：VA = VC，O为AC中 点
∴VO ⊥AC
AB = BC，O为AC中 点
∴BO ⊥AC
又VO, BO ⊂平 面VOB
VO ∩BO = O
∴AC ⊥平 面VOB
14
探究案：
例2.正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求证： BD⊥平面ACC1A1
书写过程要求： ①字迹工整清晰； ②每一步骤的依据要表达清楚； ③推出直线与平面垂直的条件缺一 不可.
9
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
l
符号表示： a ,b
ab P
l a,l b
a
b
l

人教A版高中数学必修二课件2.3.1直线与平面垂直的判定(共27张PPT)

人教A版高中数学必修二课件2.3.1直线与平面垂直的判定(共27张PPT)

解：作CC1⊥平面α于点C1，连接AC1、BC1、DC1，则
∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，∠CDC1为CD与α所成的 角．
设 CC1＝ a，则 AC＝ 2a， BC＝ 2a. 因此，在 Rt△ ABC 中， AB＝ 6a， AC· BC 2 所以 CD＝ ＝ a. AB 3 CC1 3 在 Rt△ CC1 D 中，sin∠ CDC1＝ ＝ ，∴∠ CDC1 ＝ 60° . CD 2 即 CD 与平面 α 所成的角为 60° .
线和两相交直线所在的平面．
互动探究
1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平 面SAC的位置关系为________．
解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
答案：垂直
和平面所成角问题的关键．要找射影就要寻找过斜线上
一点与平面垂直的垂线．没有垂线的，还要在斜线上取
点作平面的垂线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足) 就是斜线在平面内的射影，但要注意斜线上点的选取以 及垂足的位置要与问题中已知量有关，才便于计算．
跟踪训练
3．如图，Rt△ABC的斜边AB在
平面α内，AC和BC与α所成的角分别是30°，45°，CD是 斜边AB上的高，求CD与平面α所成的角．
高中数学课件
• 灿若寒星整理制作
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2． 3
直线、平面垂直的判定及其性质
2．3.1 直线与平面垂直的判定
学习导航
学习目标
重点难点 重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解及应用．
难点：对直线与平面垂直的判定及线面角的求法．

人教版高中数学必修2 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共49张PPT)

人教版高中数学必修2 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共49张PPT)

平面垂直的判定定理知，直线垂直于平面，所以直线与第三边垂直．]
梦 境
3．矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是________．
30°[如图所示，∵PA⊥平面 ABCD， ∴AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影． ∴∠PCA 为 PC 与平面 ABCD 所成的角．
的射影，图中斜线 PA 在平面 α 上的射影为_A_O_
梦 境
直线与平 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
面所成的 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_直__角_____；一条直
角
线和平面平行或在平面内，它们所成的角是_0_°__的__角___
取值范围

[0°，90°]
梦 境
定的平面；
梦 境
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
梦 境
(1)B (2)D (3)C [(1)A 项，α∥β 且 m⊂α，则 m∥β，故 A 不正确； B 项，n⊥β，则 n 垂直 β 内的任意一条直线，又 m∥n.可知 m 也垂直于 平面 β 内的任意一条直线，所以 m⊥β，故正确； C 项，D 项，由 m⊥n，n⊂β 或 m⊥n，n∥β，可得 m 与 β 的关系可以是 m⊂β，或 m∥β 或 m 与 β 相交，故不正确； 选 B.
(2)直线 a⊥直线 b，b⊥平面 β，则 a 与 β 的关系是( )
A．a⊥β
B．a∥β
C．a⊂β
D．a⊂β 或 a∥β
(3)下列说法中，正确的有( )

高一数学人教A版必修2第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定课件(共35张PPT)

高一数学人教A版必修2第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定课件(共35张PPT)
由已知计算得AD＝ 2 ，A1D＝ 2，AA1＝2.
AD2 + A1 D2 AA12∴A1D⊥AD.
∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.
方法总结，生成智慧
判断直线与平面垂直的方法
（1）定义法: (2)线面垂直的判定定理.
（3）例1结论：(1)a // b, a b (2) // , m m
//
达标检测，深化知识
深化知识，灵活运用
4 如图在三棱锥 V ABC 中， VA= VC，AB=BC,
求证: VB ⊥AC.
V
A
C
B
能力提升，链接高考
(2017·北京，文改)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB， PA⊥BC,AB⊥BC,PA＝AB＝BC＝2,D为线段AC的中点， E为线段PC上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：BD⊥平面PAC；
A
B
D
C
思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
共同探讨，合作学习
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
作业： 高考调研课时作业14
不去奋斗，不去创造，再美的青春也 结不出硕果。
证明：BC1 平面A1B1CD
D1
A1
D A
C1 B1

人教A版高中数学必修二课件2.3.1《直线与平面垂直的判定》2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件

人教A版高中数学必修二课件2.3.1《直线与平面垂直的判定》2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件

线面垂直
27
二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
直二面角
两个平面互相垂直
判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
数学语言：
a a 面
线面垂直
面面垂直 α
β a
A
28
二、数学思想方法：转化的思想
线线垂直 线面垂直 空间问题
线面垂直 面面垂直
• 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平 面平行．
直线与平面平行的性质定理
• 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么这条直线和交线平行.
平面与平面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线
平行.
4
北京天安门广 场上的旗杆与 地面什么位置 关系？
数学语言：任意a ，都有l a l
基本性质：l ，a ， l a
6
练习1.
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所
√ 有的直线都垂直. （ ）
2.如果一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与
× 平面垂直. （ )
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角 是0的角。
2.范围：直线和平面所成角的范围是[0，90]。
15
例 3.如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，
D1
C1
求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角．
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O． A1
【证明】∵AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AC． ∵PA⊥面 ABC，BC 面 ABC，∴PA⊥BC．

高中数学人教A版必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(47张)

又 DE⊂平面 CDD1C1，∴DE⊥BC.
在三角形 CDE 中，CD＝2a，CE＝DE＝ 2a，则有 CE2＋DE2＝CD2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC. 又 BC∩EC＝C，∴DE⊥平面 BCE.
题型三 证线线垂直
例 3 如图所示，已知 PA⊥平面 ABC，AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上的任一点．求证：PC⊥BC.
思考题 3 如图，已知，α∩β＝l，PA⊥α于 A，PB⊥ β于 B，求证：AB⊥l.
【思路分析】 注意直线 AB 在平面 ABP 内，证明 l⊥平面 ABP 即可．
【证明】
Pl⊂A⊥αα⇒PA⊥l
Pl⊂B⊥ββ⇒PB⊥l⇒l⊥平面ABP ⇒AB⊥l.
PA∩PB＝P
AB⊂面ABP
题型四 直线与平面所成的角
探究 4 准确理解直线与平面所成的角等相应的概念，是解 决概念题的关键．
思考题 4 (1)若 l 是平面 α 的斜线，n 是平面 α 的垂线， 如果 l 与 n 所成的角为 φ，那么 l 与平面 α 所成的角 θ 为________．
π 【答案】 2 －φ
π (2)若直线 l 与平面 α 所成的角为 3 ，直线 a 在平面 α 内且与
⇒∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角
在Rt△A1BO中，A1B＝
2a，
OB＝
2 2a
⇒s∠inB∠AB1OA为1O锐＝角AO1BB＝12⇒∠BA1O＝30°
⇒A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
探究 5 (1)运用定义求直线与平面所成的角的步骤是： ①作(或找)出斜线在平面上的射影； ②证明某平面角就是斜线与平面所成的角； ③将这个角放在由垂线段、斜线段、射影所组成的直角三角 形中计算； ④答案． (2)记忆口诀：作—证—求—答．

人教A版高中数学必修二 .1直线与平面垂直的判定课件(共26张ppt)


B1
D
C
A
B
例题示范,巩固新知
例3.如图，已知a∥b、a⊥α.
求证：b⊥α.
练习：
V
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,
AB＝BC,K是AC的中点. 求证：AC⊥平面VKB．
K
A
C
变式：
B V
在练习1.中若E、F分别为AB、
BC 的中点，试判断EF与平面
K
VKB的位置关系．
A
C
E
F
B
2.已知 PA平面 ABC，AB是⊙O的直径，C
件时， ACBD ？(只能添加一个合适的条件)
A
D
解:底面ABCD可以是菱形, 正方形, 或者是对角线相互
B
C
垂直的任意四边形．
A
D
B
C
知识小结
1．直线与平面垂直的定义
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
布置作业—自主探究 作业:P74 B组2,4题
A
B C
人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定课件(共26 张PPT)
α 内经过点B的直线⊥ AB所在直线 α内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A
α
人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定课件(共26 张PPT)
B1
B C1
C
人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定课件(共26 张PPT)
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面

(直线与平面垂直的判定)人教版高中数学必修二教学课件(第2.3.1课时)


m是平面内任一条直线
am
a
a
.
α
P
第四页，共十七页。
新知探究
线面垂直直观图的画法：
m
n
第五页，共十七页。
新知探究
按条件作出下列图形: (1)任意作一个平面α与一条直线l，使l⊥α； (1) 过空间一点P，有且只有一条直线l与已知平 面α垂直。 (2)已知平面α和点P，过P作平面α的垂线 (2) 过空间一点P， 有且只有一个平面α与已知直线l垂直。 (3)已知直线l和点P，过P作直线l的垂面。
第九页，共十七页。
新知探究
实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC 与桌
面接触）.
A
B
D
C
第十页，共十七页。
新知探究2、直线与平Fra bibliotek垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
m ,n ,
l m,l n
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么
a
b
m n
另一条也垂直于同一个平面。
第十三页，共十七页。
典型例题
练1: 如图，圆O所在一平面为
（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,求证：
P
解：（1）
AB , AC ,
α l
p α
l p α
l A p l
α
l p
α
第六页，共十七页。
新知探究
练习
判断正误： ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。

人教版数学必修二2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共21张PPT)

（2）如果一条直线和一个平面内的两条直 线垂直，此直线是否和平面垂直？
是不是一条直线？
知识探究（二）：直线与平面垂直的判定定理
探究活动：请同学们拿出一块
三角形的纸片，做如图所示的试
验：
过△ABC的顶点A翻折纸片，得
到折痕AD，将翻折后的纸片竖起
2．直线与平面垂直的判定、性质
线线垂直
线面垂直
A B
A B
A B
A B
A B
AB所在直线 ⊥ 地面内任意一条直线
任意一条直线
A
所有直线？
无数条直线？
B
B1
C1
C
学校操场上竖了一 根新旗杆，现要检验它 是否与地面垂直，你有 什么好办法？
（1）根据定义判断 ——困难，不可行
（2）有没有什么方便可行的方法来判定？
（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线 垂直，此直线是否和平面垂直？
D
放置在桌面上（BD、DC与桌面接
A
A
触）.
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
B
(2)如何翻折才能保证折痕AD
D
与桌面所在平面B 肯定垂D直？ C
C
A
B D
C
C
l
m
α
O
n
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面.
m 线线垂直 线面垂直
n
mn P
2.3.1直线与平面垂直的判定
问题：请同学们观察图片，说出旗杆与地面， 大桥的桥柱与水面是什么位置关系？
直线与平面垂直的定义：
文字表示：
如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，
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培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取 新知.
重点、难点
重点 直线与平面垂直的定义及判定定理.
难点
直线与平面垂直的定义及判定定理和线面角 的求法.
教学过程
一、创设情景 1.直观感知 [问题1]请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面 是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？
l
B m n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求证:

强调:(1)两条相交直线; (2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这 个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.
问 能否通过一个量来准确刻画 l 和 l 相对平 题 面 的不同位置呢？ 引 入
1
2
3.直线和平面所成角
斜线和平面所成角的概念
一个平面的斜线和它在这个平面内的射 影的夹角，叫做斜线和平面所成的角.
2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3.1 直线与平面垂直的判定
知识与技能 1、掌握直线与平面垂直的定义及判定定理. 2、使学生掌握判定直线与平面垂直的方法. 过程与方法 培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的 基础上学会归纳、概括结论. 情感、态度与价值观
在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生 勤于思考、勤于动手的良好品质.
证明：设 m 是 内的任意一条直线．
a a m m b m b a // b m
学 以 致 用
注意：
1.求线面角的步骤是先作再证后求;
2.作线面角的关键是作（找）射影.
例2：在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，试求 直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
O D C A B
四、达标练习（教材练习）
1、 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,
求证：VB⊥BC. V a， 2.过三角形ABC所在平面a外一点P，作PO ⊥ 垂足为O，连接PA、PB、PC. V
(1)若PA=PB=PC,角C=90°，则点O 是AB边的——. A
（2）若PA=PB=PC, 则点O是三角形 ABC的——心. （3）若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC，PC ⊥ PA，则点O是三角形ABC的——心. A
2.抽象概括 [问题2]通过上述观察分析，你认为应该如何定义 一条直线与一个平面垂直？
要用心想啊！
1.直线和平面垂直的定义
探 索 研 究
？
如果一条直线与一个平面内 任意一条直线都垂直，我们就 说这条直线与这个平面相互垂直。
2.相关概念: (1) 垂线 (2) 垂面 (3) 垂足
合 作 探 究 ？
B K C
C
B
C
五、课堂小结
从知识和方法两个方面进行归纳： 1.请归纳一下直线与平面垂直的定义及判定定理的基本过程. 2.直线与平面垂直的定义及判定定理，体现的教学思想方法 是什么？ 3.什么是直线和平面所成的角？
六、布置作业
层次1：教材练习3. 层次2：教材习题2.3A组8、9.
规 定：
（1）如果直线和平面垂直，就说直线和 平面所成的角是直角.
（2）如果直线和平面平行或在平面内， 就说直线和平面所成的角是 0 的角. 0,90 注意：直线和平面所成角的范围是：
三、应用举例
例 1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面．
a ， a // b ． 已知： b ． 求证：
1.如果一条直线和一个平面内的一条直线
垂直，此直线是否和平面垂直？
2. 如果一条直线和一个平面内的两条直线
垂直，此直线是否和平面垂直？
3.那如平面内的两条直线相交呢？
2. 直线和平面垂直的判定定理
如果一个条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 已知:
m , n , m n B, l m, l n, l