2017年春季学期苏教版高中数学必修4教案：三角函数的图像与性质(3)—正弦、余弦函数的值域(1)

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。

2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。

3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。

4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。

5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。

6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。

利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。

教学设计1.3.2三角函数的图象与性质整体设计教学分析研究函数的性质常常以直观图象为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．这是对数学思考方向的一种引导．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．三维目标1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成对正弦、余弦以及正切函数的初步认识，了解这三种曲线的准确作法．经历正弦、余弦、正切函数的性质的探索过程，熟练掌握这三种函数的性质．在探索学习的过程中，使学生养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过学习本节，理解正弦、余弦、正切函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系，加深学生对数形结合这一数学思想的认识．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．3．组织学生通过观察这三种函数的图象归纳出三种函数的性质，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣．通过学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，树立科学的辩证唯物主义观．重点难点教学重点：1.会画正弦、余弦、正切函数的图象．2．掌握正弦、余弦、正切函数的性质及应用．教学难点：1.利用正弦线、正切线画正弦、正切函数的图象；由诱导公式和正弦曲线画余弦函数的图象．2．正弦、余弦、正切函数性质的应用．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时y＝sinx的图象．思路2.(情境导入)指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．推进新课新知探究教师先让学生阅读教材、思考讨论．为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x 轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象，就很容易得到y ＝sinx ，x ∈R 时的图象了．第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等份，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等分．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线，就可以得到对应于0、π6、π3、π2、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，这就得到了函数对(x ，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来，我们就得到函数y ＝sinx 在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．图1因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sinx 在x ∈[2kπ，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0上的图象与函数y ＝sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)．图2教师引导学生观察诱导公式，思考探究正弦函数、余弦函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．把正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象，如图3.图3正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象和余弦函数y ＝cosx ，x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y ＝sinx 在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．应用示例例1课本本节例1. 变式训练1．画出下列函数的简图：(1)y ＝1＋sinx ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝－cosx ，x ∈[0,2π]． 解：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图4).图4(2)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图5)．图5点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．2.在给定的直角坐标系如图6中，作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象． 解：列表取点如下：描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象如图7.图6图7例2画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．活动：教师引导学生观察探究y＝sinx的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可．进一步探究发现，只要画出y＝|sinx|，x∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y＝|sinx|，x∈R的图象．让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以纠正．解：按三个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图8)．图8点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系.变式训练1．方程sinx ＝x10的根的个数为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生，考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y ＝x10的图象与y ＝sinx 的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图9，从图中可看出，两个图象有7个交点.图9答案：A2．用“五点法”作函数y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3答案：B知能训练课本本节练习2、3.课堂小结以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？ 2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业课本习题1.3 2.设计感想1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．备课资料备用习题1．用“五点法”画出下列函数的图象：(1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝12＋sinx，x∈[0,2π]．2．方程2x＝cosx的解的个数为()A．0 B．1C．2 D．无穷多个3．图10中的曲线对应的函数解析式是()图10A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|4．根据y＝cosx的图象解不等式：－32≤cosx≤12.参考答案：1.解：按五个关键点列表如下：在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示． (1)如图11.图11(2)如图12.图122．D 3.C 4．解：如图13.图13解集为{x|2kπ＋π3≤x ≤2kπ＋5π6，k ∈Z }或{x|2kπ＋7π6≤x ≤2kπ＋5π3，k ∈Z }．二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过：“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sin π6t，t∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图14)．图14由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．(设计者：郑吉星)第2课时。

1.3.2 三角函数的图像与性质（3）一、课题：正弦、余弦函数的值域（1）二、教学目标：1.理解正、余弦函数的值域；2.会求与正、余弦函数相关的函数的值域和最值。

三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的值域的求法。

四、教学过程：（一）复习：1．正、余弦函数的定义域、值域；2．练习：求下列函数的定义域：（1）y =（2）12sin 1y x =-． （答案：（1）[4,)(0,)ππ--；（2）{|(1),}6k x x k k Z ππ≠-⋅+∈）．（二）新课讲解：例1：求函数sin cos y x x =+的值域。

解：sin cos y x x =+)4x π=+，∵1sin()14x π-≤+≤，∴)4x π≤+≤所以，函数sin cos y x x =+的值域是[．例2：求函数sin y x x -的值域。

解：1sin 2(sin )22y x x x x =-=- 2sin()3x π=-- ∵1sin()14x π-≤-≤，∴22sin()24x π-≤--≤，所以，函数sin y x x =-的值域为[2,2]-． 【变题】若把本题再加上24[,]33x ππ∈的条件，则结果又如何？ 说明：sin cos y a x b x =+形式的函数求值域时，可考虑先将函数化为sin()y A x ωϕ=+形式的函数来求解。

例3：求函数234sin 4y x cos x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值。

解： 234sin 4y x cos x =--24sin 4sin 1x x =--214(sin )22x =--， 令sin t x =，则11t -≤≤， ∴214()22y t =--（11t -≤≤）， ∴当12t =，即26x k ππ=+或526x k ππ=+（k Z ∈）时，min 2y =-， 当1t =-，即322x k ππ=+（k Z ∈）时，max 7y =． 例4：求函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的值域。

第2课时　正弦、余弦的图象与性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理　正弦函数、余弦函数的图象与性质阅读教材P 28～P 29的全部内容，完成下列问题.函数正弦函数y ＝sin x ，x ∈R余弦函数y ＝cos x ，x ∈R图象定义域R R 值域[－1,1][－1,1]最值当x ＝2k π＋(k ∈Z )时，π2取得最大值＝1；当x ＝2k π－(k ∈Z )时，π2当x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取得最小值－1取得最小值－1周期性周期函数，T ＝2π周期函数，T ＝2π奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称单调性在(k ∈Z )上是[2k π－π2，2k π＋π2]增函数；在2k π＋，2k π＋(k ∈Z )上是π23π2减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是减函数对称性关于x ＝k π＋(k ∈Z )成轴对称，π2关于(k π，0)(n ∈Z )成中心对称关于x ＝k π(k ∈Z )成轴对称，关于k π＋，0(k ∈Z )成中心π2对称判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin是奇函数．( )(x ＋π2)(2)y ＝cos x 是周期为π的偶函数．( )(3)y ＝sin x 在上单调递减．( )[－π2，π2](4)y ＝cos x 的值域为(－1,1)．( )【解析】　(1)×.∵y ＝sin＝cos x ，∴是偶函数．(x ＋π2)(2)×.y ＝cos x 的周期为2π.(3)×.y ＝sin x 在上单调递增．[－π2，π2](4)×.y ＝cos x 的值域为[－1,1]．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：[小组合作型]求三角函数的单调区间　求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝2sin . 【导学号：06460024】(π4－x )【精彩点拨】　(1)借助y ＝cos x 的单调性求解；(2)解答本题要先用诱导公式将x 的系数化为正数，再确定所求的单调区间后求解．【自主解答】　(1)令z ＝2x ，由y ＝cos z 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 可知－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，∴－＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，π2∴单调递增区间为，k ∈Z .[－π2＋k π，k π](2)y ＝2sin (π4－x )＝－2sin，(x －π4)令z ＝x －，π4则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要取y ＝－2sin z 的递增区间，即取sin z 的递减区间，即2k π＋≤z ≤2k π＋(k ∈Z )，π23π2∴2k π＋≤x －≤2kπ＋(k ∈Z )，π2π43π22k π＋≤x ≤2k π＋(k ∈Z )，3π47π4∴函数y ＝2sin 的递增区间为2k π＋，2k π＋(k ∈Z )．(π4－x )3π47π4求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：(1)当ω>0时，把“ωx ＋φ”看成一个整体，由2k π－≤ωx ＋φ≤2k π＋(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递增区间；由π2π22k π＋≤ωx ＋φ≤2k π＋(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递减区间.π23π2(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin (－ωx －φ)，则y ＝sin (－ωx －φ)的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 余弦函数y ＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调性讨论同上.[再练一题]1.求函数y ＝2sin，x ∈[－π，0]的单调减区间．(2x ＋π6)【解】　当2k π＋≤2x ＋≤2k π＋时，函数单调递减，π2π63π2解得：k π＋≤x ≤k π＋.π62π3∵x ∈[－π，0]，∴取k ＝－1，此时－π＋≤x ≤－π＋，π62π3即－≤x ≤－.5π6π3故函数y ＝2sin ，x ∈[－π，0]的单调减区间为.(2x ＋π6)[－5π6，－π3]比较三角函数值的大小　用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin与sin ；(－π18)(－π10)(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos 与cos.(－235π)(－174π)【精彩点拨】　先把异名函数同名化，再把异单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．【自主解答】　(1)∵－＜－＜－＜，π2π10π18π2又∵函数y ＝sin x 在上是增函数，[－π2，π2]∴sin＞sin .(－π18)(－π10)(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin 16°＜sin 66°；从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°.(3)cos＝cos π(－235π)235＝cos＝cos π，(4π＋35π)35cos＝cos π(－174π)174＝cos＝cos .(4π＋π4)π4∵0＜＜π＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，π435∴cos π＜cos ，即cos＜cos .35π4(－235π)(－174π)比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.[再练一题]2．比较下列各组数值的大小：(1)sin 2与cos 1；(2)sin与sin .(sin3π8)(cos3π8)【解】　(1)因为cos 1＝sin ，(π2－1)sin 2＝sin(π－2)，又0<－1<π－2<且y ＝sin x 在上是递增的，π2π2(0，π2)从而sin <sin(π－2)，(π2－1)即cos 1<sin 2.(2)∵cos ＝sin ，0<sin <sin <1，3π8π8π83π8即0<cos <sin <1<，3π83π8π2又∵y ＝sin x 在上是增函数，[0，π2]∴sin <sin.(cos 3π8)(sin 3π8)[探究共研型]与三角函数有关的值域问题探究1　如何求函数y ＝sin x ，x ∈上的值域？[－π3，π6]【提示】　借助函数y ＝sin x 在上的单调性求解．[－π3，π6]因为x ∈时，y ＝sin x 是单调递增函数，[－π3，π6]所以sin ≤sin x ≤sin ，即－≤sin x ≤，∴其值域为.(－π3)π63212[－32，12]探究2　如何求形如y ＝a sin x ＋b (a ，b ≠0)的值域？【提示】　令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，从而转化为y ＝at ＋b ，t ∈[－1,1]型的值域问题．探究3　如何求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的值域？【提示】　令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，从而y ＝at 2＋bt ＋c ，t ∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．　(1)求函数y ＝2sin的最大值和最小值；(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)(2)求函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈的值域．[π6，5π6]【精彩点拨】　(1)由x 的范围⇒2x ＋的范围⇒借助单调性求y ＝2sinπ3的最值；(2x ＋π3)(2)由x 的范围⇒sin x 的范围⇒函数的值域．【自主解答】　(1)∵－≤x ≤，π6π6∴0≤2x ＋≤，π32π3∴0≤sin≤1，(2x ＋π3)∴当sin ＝1时，取得最大值2；(2x ＋π3)当sin＝0时，取得最小值0.(2x ＋π3)(2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝22＋.(sin x ＋12)12∵x ∈，∴≤sin x ≤1.[π6，5π6]12当sin x ＝1时，取得最大值5；当sin x ＝时，取得最小值.1252∴函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3的值域为.[52，5]1．求形如y ＝A sin x ＋B 或y ＝A cos x ＋B 型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．[再练一题]3．(2016·南通高一检测)已知函数f (x )＝2a sin2x －＋b 的定义域为，π3[0，π2]函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．【解】　∵0≤x ≤，∴－≤2x －≤，π2π3π32π3∴－≤sin≤1.32(2x －π3)若a ＞0，则Error!解得Error!若a ＜0，则Error!解得Error!综上知Error!或Error![构建·体系]1．函数y ＝sin 2x 的奇偶性为________．2【解析】　∵sin(－2x )＝－sin 2x ，22∴函数y ＝sin 2x 为奇函数．2【答案】　奇函数2．函数f (x )＝sin的图象的一条对称轴是________(任写一条)．(x －π4)【解析】　令x －＝k π＋，∴x ＝k π＋(k ∈Z )．π4π23π4【答案】　x ＝－π4(或x ＝3π4等)3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______.【导学号：06460025】【解析】　cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.【答案】　cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．函数f (x )＝sin在区间上的最小值是________．(2x －π4)[0，π2]【解析】　∵0≤x ≤，∴0≤2x ≤π，π2∴－≤2x －≤，π4π43π4∴－≤sin≤1，∴f (x )取最小值－.22(2x －π4)22【答案】　－225．求函数y ＝sin的单调区间．(－2x ＋π4)【解】　y ＝sin ＝－sin.(－2x ＋π4)(2x －π4)因为2x －是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin 关于2x －π4(2x －π4)的单调性即可．π4当2k π－≤2x －≤2k π＋(k ∈Z )时，y ＝sin2x －为增函数，y ＝sinπ2π4π2π4为减函数，(－2x ＋π4)解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )，π83π8即函数y ＝sin的单调减区间为(－2x ＋π4)(k ∈Z )；[k π－π8，k π＋3π8]同理，令2k π＋≤2x －≤2k π＋(k ∈Z )，π2π43π2求得函数y ＝sin的单调增区间为(－2x ＋π4)(k ∈Z )．[k π＋3π8，k π＋7π8]我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)学业分层测评(九)正弦、余弦的图象与性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝2cos x －1的最大值是________，最小值是________．【解析】　∵cos x ∈[－1,1]，∴y ＝2cos x －1∈[－3,1]．∴最大值为1，最小值为－3.【答案】　1　－32．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．【解析】　y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]．【答案】　(－π，0]3．函数f (x )＝7sin 是________(填“奇函数”或“偶函数”)．(23x ＋15π2)【解析】　f (x )＝7sin ＝7sin (23x ＋15π2)(23x ＋3π2)＝－7cos x ，23∴f (x )是偶函数．【答案】　偶函数4．y ＝的定义域为________，单调递增区间为________．sin x 【解析】　∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .当x ∈[0，π]时，y ＝在上单调递增，sin x [0，π2]∴其递增区间为，k ∈Z .[2k π，2k π＋π2]【答案】　[2k π，π＋2k π]，k ∈Z ，k ∈Z [2k π，2k π＋π2]5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝对称，则φ＝________.π8【解析】　由题意，当x ＝时，π8f (x )＝sin ＝±1，(2×π8＋φ)故＋φ＝k π＋(k ∈Z )，解得φ＝k π＋(k ∈Z )．π4π2π4【答案】　k π＋(k ∈Z )π46．已知函数f (x )＝sin(x ∈R )，下面结论错误的是________．(只填序(x －π2)号) 【导学号：06460026】①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间上是增函数；③函[0，π2]数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．【解析】　∵y ＝sin ＝－cosx ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在(x －π2)上是减函数，则y ＝－cosx 在上是增函数，即②正确．由图象知[0，π2][0，π2]y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．【答案】　④7．(2016·南京高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间上单调递增，[0，π3]在区间上单调递减，则ω＝________.[π3，π2]【解析】　因为当0≤ωx ≤时，函数f (x )是增函数，π2当≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，π2即当0≤x ≤时，函数f (x )为增函数，π2ω当≤x ≤时，函数f (x )为减函数，π2ωπω所以＝，所以ω＝.π2ωπ332【答案】　328．(2016·连云港高一检测)函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为________．【解析】　令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1.y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10]．【答案】　[2,10]二、解答题9．比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 与cos ；15π814π9(3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.【解】　(1)∵函数y ＝sin x 在上单调递减，且90°＜250°＜260°[π2，3π2]＜270°，∴sin 250°＞sin 260°.(2)cos ＝cos＝cos ，15π8(2π－π8)π8cos ＝cos＝cos .14π9(2π－4π9)4π9∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜＜＜π，∴cos ＞cos ，π84π9π84π9∴cos ＞cos .15π814π9(3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.又因为y ＝sin x 在x ∈上是增函数，[0，π2]所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.10．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2cos3x ＋.π4(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．【解】　(1)令2k π－π≤3x ＋≤2k π(k ∈Z )，π4解得－≤x ≤－(k ∈Z )，2k π35π122k π3π12∴f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．[2k π3－5π12，2k π3－π12](2)当3x ＋＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.π4即x ＝－(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.2k π35π12[能力提升]1．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则[0，π3]2ω＝________.【解析】　由题意知0≤x ≤时，0≤ωx ≤＜，π3ωπ3π3f (x )取最大值2sin ＝时，sin ＝，＝，ω＝.ωπ32ωπ322ωπ3π434【答案】　342．若函数f (x )＝sin (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.x ＋φ3【解析】　∵f (x )为偶函数，∴＝k π＋(k ∈Z )，φ3π2∴φ＝3k π＋(k ∈Z )．3π2又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.3π2【答案】　3π23．(2016·南通高一检测)函数y ＝2sin (ω＞0)的周期为π，则其单调(ωx ＋π4)递增区间为________．【解析】　周期T ＝π，∴＝π，∴ω＝2，2πω∴y ＝2sin.(2x ＋π4)由－＋2k π≤2x ＋≤2k π＋，k ∈Z ，π2π4π2得k π－π≤x ≤k π＋，k ∈Z .38π8【答案】　(k ∈Z )[k π－3π8，k π＋π8]4．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间上是增函数，求ω的[－π3，π4]取值范围．【解】　由－＋2k π≤ωx ≤＋2k π(k ∈Z )，得－＋≤x ≤＋，π2π2π2ω2k πωπ2ω2k πω∴f (x )的单调递增区间是，k ∈Z .[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]根据题意，得⊆，[－π3，π4][－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]从而有Error!解得0＜ω≤.32故ω的取值范围是.(0，32]。

1.3.2　三角函数的图象与性质第1课时　正弦、余弦函数的图象1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理　正弦曲线、余弦曲线阅读教材P26～P28图1­3­3以上的部分，完成下列问题．1．正弦曲线、余弦曲线正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．图1­3­32．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，(π2，1)，(2π，0)．(3π2，－1)画余弦函数y ＝cosx ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．(π2，0)(3π2，0)3．正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x(x ＋π2)的图象向左平移个单位长度即可．π2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( )(2)y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同．( )(3)余弦曲线向右平移个单位得到正弦曲线．( )π2【答案】　(1)√　(2)√　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：[小组合作型]利用“五点法”作简图　用“五点法”作出下列函数的图象．(1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]．(2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．(3)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]．【精彩点拨】　先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．【自主解答】　(1)列表如下：x 0π2ππ322πsin x 010－10sin x －1－1－1－2－1描点连线，如图(1)所示．图(1)(2)列表如下：x 0π2ππ322πcos x 10－1012＋cos x32123描点连线，如图(2)所示．图(2)(3)列表：x0π2π3π22πcos x10－101－1－cos x－2－10－1－2描点作图，如图(3)所示：图(3)1．“五点法”中的五点即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节．[再练一题]1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象.【导学号：06460021】【解】　按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连接起来．x0π2π3π22πcos x10－101 3＋2cos x53135利用正、余弦曲线解三角不等式　利用正弦曲线，求满足＜sin x ≤的x 的集合．1232【精彩点拨】　作出正弦函数y ＝sinx 在一个周期内的图象，然后借助图象求解．【自主解答】　首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的12交点横坐标为和；作直线y ＝，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐π65π632标为和.观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x ≤，或≤x ＜时，不等式π32π3π6π32π35π6＜sin x ≤成立，1232所以＜sin x ≤的解集为1232x Error!＋2k π或＋2k π≤x ＜＋2k π，k ∈Z .2π35π6利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为：(1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象；(2)写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集；(3)把此解集推广到整个定义域上去.[再练一题]2．求函数y ＝的定义域．log21sin x－1【解】　为使函数有意义，需满足Error!即Error!正弦函数图象如图所示，∴定义域为Error!∪Error!.[探究共研型]正、余弦函数图象的应用探究1　你能借助图象的变换作出y ＝|sin x |的图象吗？试画出其图象．【提示】　先画出y ＝sin x 的图象，然后将其x 轴下方的对称到x 轴的上方(x 轴上方的保持不变)即可得到y ＝|sin x |的图象，如图．探究2　方程|sin x |＝a ，a ∈R 在[0,2π]上有几解？【提示】　当a ＜0时，方程|sin x |＝a 无解；当a ＝0时，方程|sin x |有三解；当0＜a ＜1时，方程|sin x |＝a 有四解；当a ＝1时，方程|sin x |＝a 有两解；当a ＞1时，方程|sin x |＝a 无解．　在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．【精彩点拨】　―→―→作图看图交点个数―→sin x ＝lg x 解的个数【自主解答】　建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y ＝lg x 的图象，如图(110，－1)所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题.[再练一题]3．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．【解】　f (x )＝Error!的图象如图所示，故由图象知1＜k ＜3.[构建·体系]1．函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 的图象关于________对称．【解析】　在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 的图象，可知它们关于x 轴对称．【答案】　x 轴2．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－的交点有________个.12【导学号：06460022】【解析】　如图，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－有两个交12点．【答案】　23．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]与直线y ＝4的交点坐标为________．【解析】　作出函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y ＝4的交点坐标为，4，.π2(3π2，4)【答案】　，(π2，4)(3π2，4)4．sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是________．【解析】　如图所示是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图可知满足sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是(0，π)．【答案】　(0，π)5．用“五点法”作出y ＝(0≤x ≤2π)的简图．1－sin2x 【解】　y ＝＝|cos x |(x ∈[0,2π])．1－sin2x 列表：x 0π2π3π22πcos x 10－101|cos x |101011－sin2x111描点作图，如图．我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　学业分层测评(八)　正弦、余弦函数的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y＝－sin x的大致图象是________(填序号)．图1­3­4【解析】　y＝－sin x的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称．故选①.【答案】　①2．若cos x＝1－2m，且x∈R，则m的范围是________．【解析】　∵cos x∈[－1,1]，∴－1≤1－2m≤1，解得0≤m≤1.【答案】　0≤m≤13．关于三角函数的图象，有下列说法：①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确的序号是________. 【导学号：06460023】【解析】　对②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知①③均不正确．【答案】　②④4．函数y ＝的定义域是________．log 12sin x 【解析】　由题意可得，Error!即Error!∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z }．【答案】　{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z }5．函数y ＝的定义域是________．2cos x ＋1【解析】　2cos x ＋1≥0，cosx ≥－，结合图象知12x ∈，k ∈Z .[2k π－23π，2k π＋23π]【答案】　，k ∈Z [2k π－23π，2k π＋23π]6．函数y ＝sin x 的图象与函数y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．【解析】　在同一坐标系内画出两函数的图象，(图略)易知，交点坐标为和.(π4，22)(5π4，－22)【答案】　和(π4，22)(5π4，－22)7．函数f (x )＝3＋2cos x 的图象经过点，则b ＝________.(π3，b )【解析】　由f ＝3＋2cos ＝3＋2×＝b ，得b ＝4.(π3)π312【答案】　48．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．【解析】　由|cos x －sin x |＝sin x －cos x 得sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x .又x ∈[0,2π]，结合图象可知，≤x ≤，π45π4所以x ∈.[π4，5π4]【答案】　[π4，5π4]二、解答题9．利用图象变换作出函数y ＝sin|x |，x ∈[－2π，2π]的简图．【解】　∵y ＝sin|x |＝Error!为偶函数，∴首先用五点法作出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象；x ∈[－2π，0]的图象，只需将x ∈[0,2π]的图象作出关于y轴对称的图象．如图所示．10．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间：①sin x ＞0；②sin x ＜0.(2)直线y ＝与y ＝－sin x 的图象有几个交点？12【解】　利用“五点法”作图，如图．(1)根据图象可知在x 轴上方的部分－sin x ＞0，在x 轴下方的部分－sinx ＜0，所以当x ∈(－π，0)时，sin x ＜0；当x ∈(0，π)时，sin x ＞0.(2)画出直线y ＝，知有两个交点．12[能力提升]1．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是________．【解析】　由题意画出图形(图略)，由于余弦函数图象关于点和点(π2，0)成中心对称，可得y ＝cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成的封闭图(3π2，0)形的面积为2π×1＝2π.【答案】　2π2．已知函数f (x )＝Error!则不等式f (x )＞的解集是________．12【解析】　在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝的图象，如12图所示．当f (x )＞时，函数f (x )的图象位于函数y ＝的图象上方，此时有1212－＜x ＜0或＋2k π＜x ＜＋2k π(k ∈N )．32π65π6【答案】　x Error!3．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为________．(填序号)图1­3­5【解析】　y ＝cos x ＋|cos x |＝Error!【答案】　④4．判断方程x 2－cos x ＝0的根的个数．【解】　设f (x )＝x 2，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象有两个交点，则方程x 2－cos x ＝0有两个根．。

高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。

2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

教学重难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。

众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。

三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈Ry ＝cos x ，x ∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ，x ∈R①当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.(3)周期性由⎩⎨⎧=+=+x k x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z ) 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.(5)单调性从y ＝sin x ，x ∈［－π2 ，3π2］的图象上可看出： 当x ∈［－π2 ，π2］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［π2 ，3π2］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［π2 ＋2k π，3π2＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R .解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝.函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大值的Z的集合是｛Z ｜Z ＝π2＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝π2 ＋2k π，得x ＝π4＋k π 即：使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝π4＋k π，k ∈Z ｝. 函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1.［例2］求下列函数的定义域：(1)y ＝1＋1sin x(2)y ＝cos x 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠3π2＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－π2 ＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z )［例3］求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋π6 )；②y ＝3sin(π3 －x 2) 解：①设u ＝2x ＋π6，则y ＝cos u 当2k π－π≤u ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大又∵u ＝2x ＋π6随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6 )当2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z ) 即k π－7π12 ≤x ≤k π－π12时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6)的单调递增区间为： ［k π－7π12 π，k π－π12］(k ∈Z ) ②设u ＝π3 －x 2，则y ＝3sin u 当2k π＋π2 ≤u ≤2k π＋3π2时，y ＝3sin u 随x 增大在减小， 又∵u ＝π3 －x 2随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )当2k π＋π2 ≤π3 －x 2 ≤2k π＋3π2即－4k π－7π3 ≤x ≤－4k π－π3时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )的单调递增区间为 ［4k π－7π3 ，4k π－π3］(k ∈Z ) Ⅲ.课堂练习课本P 33 1～7Ⅳ.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.Ⅴ.课后作业课本P 46 习题 2、3、4课后练习：1．给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数；②α是锐角，则y ＝sin(α＋π4)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π；④y ＝sin 2x －cos 2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是_____.分析:①y ＝sin x 是周期函数，自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝π3 ，x 2＝π6＋2π，此时x 1＜x 2 而sin π3 ＞sin(π6＋2π) ∴①错误；②当α为锐角时，π4 ＜α＋π4 ＜π2 ＋π4由图象可知22＜sin(α＋π4)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lg(sin x －32) (2)y ＝22cos3x －1 分析：根据函数有意义列不等式，求x 的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sin x －32)有意义，必须且只须sin x ＞32， 解之得：2k π＋π3 ＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z 又∵0＜sin x －32≤1－32 ∴lg(sin x －32)≤lg(1－32) ∴定义域为(2k π＋π3 ，2k π＋2π3)，(k ∈Z ) 值域为(－∞，lg(1－32)］. (2)要使22cos3x －1 有意义，必须且只须2cos3x －1≥0，即cos3x ≥12， 解之得2k π－π3 ≤3x ≤2k π＋π3即 2k π3 －π9 ≤x ≤2k π3 ＋π9，k ∈Z . 又0≤2cos3x －1≤1故0≤22cos3x －1 ≤2∴定义域为［2k π3 －π9 ，2k π3 ＋π9］，k ∈Z 值域为［0，2］评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195°与cos170°;(2)cos 32 ，sin 110 ，－cos 74(3)sin(sin 3π8 )，sin(3π8). 分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y ＝sin x 在［0°，90°］上是递增函数，∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°∴sin195°＞cos170°.(2)∵sin 110 ＝cos(π2 －110) －cos 74 ＝cos(π－74) 又∵π2 －110 ＝1.47＜1.5＝32π－74 ＝1.39＜1.4＜π2 －110 ＜32而y ＝cos x 在［0，π］上是减函数，由π－74 ＜π2 －110 ＜32＜π 得cos 32 ＜cos(π2 －110 )＜cos(π－74) 即cos 32 ＜sin 110 ＜－cos 74. (3)∵cos 3π8 ＝sin π8∴0＜cos 3π8 ＜sin 3π8＜1 而y ＝sin x 在［0，1］内递增∴sin(cos 3π8 )＜sin(sin 3π8 ).。

高中数学 第1章《三角函数》三角函数图象和性质(3)教学案
苏教版必修4
教学目标：能借助正切线画出正切函数的图象，并能通过图象理解正切函数的性质。

注重渗透
数形结合的数学思想。

教学重点：正切函数的图象和性质 教学难点：正切函数的性质的应用
教学过程：
一、问题情境： 前面我们研究了正、余弦函数的图象，正切函数的图象又是怎样的呢？你能用类似的方法进行研究吗？
二、学生活动：
探究：（1）单位圆中，tan α=________；你能在单位圆中作出
8π，4π，38π的正切线吗？
（2）y=tanx 是以________为周期的周期函数，所以我们可以先研究正切函数在[2π-，2
π]上的图象。

三、知识建构：
1、图象：
2、性质：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期性：
（4）奇偶性：
（5）单调性：
四、知识运用： x y O
例1、求函数y=tan (2x )4π
-的定义域
小结：
例2、求f(x)=tan2x 的周期
小结：
例3、不求值，比较下列各组值大小。

（1）tan138°， tan143° （2）tan(134π-)， tan(175π-)。

正弦函数的图像与性质教案教案标题：正弦函数的图像与性质教学目标：1. 了解正弦函数的定义、性质和图像特点。

2. 能够绘制正弦函数的图像并理解其与角度的关系。

3. 掌握正弦函数的周期、振幅、相位差等概念，并能运用到实际问题中。

教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器。

2. 学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦函数的图像，引发学生对正弦函数的认知。

2. 提问：你们对正弦函数有什么了解？它有什么特点？二、概念解释与图像绘制（15分钟）1. 教师简要解释正弦函数的定义和性质，包括周期、振幅、相位差等概念。

2. 教师在黑板上绘制正弦函数的图像，并解释图像与角度的关系。

3. 学生根据教师的示范，用纸、铅笔和直尺绘制正弦函数的图像，并标注周期、振幅、相位差等。

三、图像分析与探究（20分钟）1. 学生观察和比较不同正弦函数图像的特点，讨论它们之间的异同。

2. 学生根据图像的特点，总结正弦函数的性质，例如对称性、周期性等。

3. 学生通过计算器或数学软件，探究不同参数对正弦函数图像的影响，例如改变振幅、相位差等。

四、应用拓展（15分钟）1. 学生通过实际问题，运用正弦函数的性质解决相关应用题，例如弦长问题、振动问题等。

2. 学生自主设计一个与正弦函数相关的实际问题，并与同学分享解题思路和结果。

五、小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调正弦函数的重要性和应用价值。

2. 学生回答教师提出的问题，对本节课的学习进行反思和总结。

教学扩展：1. 学生可以通过数学软件或在线资源进一步探索正弦函数的图像和性质。

2. 学生可以进行实际观察和测量，探究正弦函数在物理、工程等领域的应用。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。

2. 学生完成课堂练习和课后作业，检查其对正弦函数的理解和应用能力。

教学延伸：1. 学生可以进一步学习余弦函数、正切函数等三角函数的图像和性质。