2018年河南省高考数学三模试卷(文科)Word版含解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P ={x|y =√−x 2+x +2，x ∈N}，Q ={x|log 3x ＜1}，则P ∩Q ＝（ ） A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．（0，2]D ．（0，3）【解答】解：由题意，可得P ＝{0，1，2}，Q ＝（0，3），所以P ∩Q ＝{1，2}， 故选：B ．2．（5分）若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1﹣2i ，则z 1z 2=（ ） A ．35+45i B ．−35+45iC ．−35−45iD ．35−45i【解答】解：∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1﹣2i ， ∴z 2＝﹣1﹣2i ， 则z 1z 2=1−2i −1−2i=(1−2i)(−1+2i)(−1−2i)(−1+2i)=35+45i ，故选：A ．3．（5分）在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7＝39，a 3+a 6+a 9＝27，则S 9＝（ ） A ．66B ．99C ．144D ．297【解答】解：由a 1+a 4+a 7＝3a 1+9d ＝39，得a 1+3d ＝13①， 由a 3+a 6+a 9＝3a 1+15d ＝27，得a 1+5d ＝9②， ②﹣①得d ＝﹣2，把d ＝﹣2代入①得到a 1＝19， 则前9项的和S 9＝9×19+9×82×（﹣2）＝99． 故选：B ．4．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱为（ ）A ．2√2B ．4C ．√5D ．3【解答】解：三视图表示的几何体为三棱锥D ﹣ABC ，是正方体的一部分， 正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD=√CD2+BC2=√4+4+1=3．故选：D．5．（5分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该问题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8分整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入n＝24，则输出的结果为（）A．23B．49C．24D．48【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝24，S＝24执行循环体，n＝16，S＝40不满足条件n＝0，执行循环体，n＝8，S＝48不满足条件n＝0，执行循环体，n＝0，S＝48满足条件n＝0，可得S＝49，退出循环，输出S的值为49．故选：B．6．（5分）若正实数x，y满足4x+y＝xy，则x+4y取最小值时，y的值为（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：∵x＞0，y＞0且4x+y＝xy，∴1x +4y=1，∴x+4y=(x+4y)(1x+4y)=17+4x y+4y x≥25，当且仅当x＝y＝5时取等号，故选：D．7．（5分）函数f（x）=xcosxx2+1（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=xcosxx2+1（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）＝﹣f（x）是奇函数，排除D，x＝1时，f（1）=cos12＞0，对应点在第一象限，x＝2时，f（2）=2cos25＜0，对应点在第四象限；所以排除B，A故选：C ．8．（5分）将函数y ＝2sin3x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数y ＝f （x ）的图象，则下列说法不正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于直线x =π4对称 B ．函数f （x ）的一个零点为x 0=π12 C ．函数f （x ）在区间[−π6，π6]上单调递增D ．函数f （x ）的最小正周期为2π3【解答】解：函数y ＝2sin3x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数y ＝f （x ）＝2sin （3x −π4）的图象．对于：A 、当x =π4时，f(π4)=2，所以函数f （x ）的图象关于直线x =π4对称，故正确． 对于：B 、当x =π12时，f （π12）＝0，所以：函数f （x ）的一个零点为x 0=π12故正确． 对于：D 、函数的最小正在周期为：T =2π3，故正确． 故选：C ．9．（5分）若0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos （π4+α）=13，cos （π4−β2）=√33，则cos （α+β2）＝（ ）A ．√33B ．−√33C ．5√39D ．−√69【解答】解：∵0＜α＜π2，−π2＜β＜0，∴π4＜π4+α＜3π4，π4＜π4−β2＜π2∴sin （π4+α）=√1−19=2√23，sin （π4−β2）=√1−13=√63∴cos （α+β2）＝cos[（π4+α）﹣（π4−β2）]＝cos （π4+α）cos （π4−β2）+sin （π4+α）sin （π4−β2）=5√39故选：C ．10．（5分）已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，且△P AB 是边长为√3的正三角形，底面ABCD 是边长为√3的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．74πB ．4πC ．7πD ．16π【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB ，又∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，所以，BC ⊥平面P AB ，设△P AB 的外接圆半径为r ，四棱锥P ﹣ABCD 的外接球的半径为R ， 由正弦定理可得2r =PA sin∠PBA =√3sin60°=2，所以，r ＝1， 所以，R =√r 2+(BC 2)2=12+(√32)2=√72，因此，该四棱锥的外接球的表面积为4πR 2=4π×(√72)2=7π， 故选：C ．11．（5分）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 22−y 2b 2=1(b ＞0)的左右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，AF 1交左支于点B ，△AF 2B 是等腰直角三角形，∠AF 2B =π2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．4B ．2√3C ．2D ．√3【解答】解：设|AF 2|＝m ，|BF 1|＝n ， ∵△AF 2B 是等腰直角三角形，∠AF 2B =π2， ∴|BF 2|＝|AF 2|＝m ，|AB |=√2m ， 由|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝2√2， ∴√2m +n ﹣m ＝2√2，① 由|BF 2|﹣|BF 2|＝2a ＝2√2， ∴m ﹣n ＝2√2，②由①②可得m ＝4，n ＝4﹣2√2，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2﹣2|AF 1|•|AF 2|cos π4，∴4c 2＝m 2+（m +2a ）2﹣2×m ×（m +2a ）×√22 ＝16+（4+2√2）2﹣2×4×（4+2√2）×√22=24， ∴c =√6 ∴e =c a =√6√2=√3，故选：D ．12．（5分）若对于任意的正实数x ，y 都有(2x −ye )⋅ln yx ≤xme 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(1e，1)B ．(1e 2，1] C ．(1e 2，e] D ．(0，1e]【解答】解：根据题意，对于（2x −ye ）•ln y x≤x me，变形可得x y（2x −ye ）ln y x≤1m，即（2e −yx）ln yx≤1m，设t =y x ，则（2e ﹣t ）lnt ≤1m ，t ＞0， 设f （t ）＝（2e ﹣t ）lnt ，（t ＞0） 则其导数f ′（t ）＝﹣lnt +2et −1，又由t ＞0，则f ′（t ）为减函数，且f ′（e ）＝﹣lne +2ee −1＝0， 则当t ∈（0，e ）时，f ′（t ）＞0，f （t ）为增函数， 当t ∈（e ，+∞）时，f ′（t ）＜0，f （t ）为减函数， 则f （t ）的最大值为f （e ），且f （e ）＝e ， 若f （t ）＝（2e ﹣t ）lnt ≤1m 恒成立，必有e ≤1m ， 解可得0＜m ≤1e ，即m 的取值范围为（0，1e]；故选：D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a →=（1，2），b →=（1，1），c →=2a →+k b →，若b →⊥c →，则a →•c →= 1 ．【解答】解：∵向量a →=（1，2），b →=（1，1），c →=2a →+k b →， ∴c →=（2，4）+（k ，k ）＝（2+k ，4+k ）， ∵b →⊥c →，∴b →⋅c →=2+k +4+k ＝0，解得k ＝﹣3， ∴c →=（﹣1，1）， ∴a →•c →=−1+2＝1． 故选为：1．14．（5分）在圆x 2+y 2＝4上任取一点，则该点到直线x +y ﹣2√2=0的距离d ∈[0，1]的概率为13．【解答】解：如图，直线x +y ﹣2√2=0与圆x 2+y 2＝4相切于D ，且OD ＝2，作与直线x +y ﹣2√2=0平行的直线交圆于AB ， 由O 到直线AB 的距离OC ＝1，半径OA ＝2，可得∠AOB =2π3， ∴劣弧AB̂的长度为2π3×2=4π3，而圆的周长为4π，∴在圆x 2+y 2＝4上任取一点，则该点到直线x +y ﹣2√2=0的距离d ∈[0，1]的概率为4π34π=13．故答案为：13．15．（5分）已知实数x ，y 满足{x +2y −2≥02x +y −4≤0y ≤x +1，且m =x+3y+4x+1，则实数m 的取值范围为[2，7] ．【解答】解：由约束条件{x +2y −2≥02x +y −4≤0y ≤x +1作出可行域如图，∵m =x+3y+4x+1=1+3⋅y+1x+1， 而y+1x+1表示可行域上的动点（x ，y ）与定点P （﹣1，﹣1）连线的斜率，∴最大值为AP 的斜率2，最小值为BP 的斜率13．∴m =1+3⋅y+1x+1∈[2，7]． 故答案为：[2，7]16．（5分）已知数列{a n }，令P n =1n (a 1+2a 2+⋯+2n−1a n )(n ∈N +)，则称{P n }为{a n }的“伴随数列”，若数列{a n }的“伴随数列”{P n }的通项公式为P n =2n+1(n ∈N +)，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为 [125，52] ．【解答】解：由题意可得：1n（a 1+2a 2+……+2n ﹣1a n ）＝2n +1，即a 1+2a 2+……+2n ﹣1a n ＝n •2n +1，∴n ≥2时，a 1+2a 2+⋯⋯+2n−2a n−1=（n ﹣1）•2n ，可得：2n ﹣1a n ＝n •2n +1﹣（n ﹣1）•2n ，可得：a n ＝2n +2．n ＝1时，a 1＝4．对于上式也成立．∴a n ＝2n +2． a n ﹣kn ＝2n +2﹣kn ＝（2﹣k ）n +2．∴S n =n(4−k+2n+2−kn)2=n(6+2n−k−kn)2=2−k 2n 2+6−k2n ，k ≤2，不满足题意，舍去．k ＞2时，由S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，∴3.5≤−6−k2(2−k)≤4.5．解得：125≤k ≤52．则实数k 的取值范围为[125，52]． 故答案为：[125，52]．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且2R （sin 2B ﹣sin 2A ）＝（b ﹣c ）sin C ，c ＝3． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若AD 是BC 边上的中线，AD =√192，求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，2R （sin 2B ﹣sin 2A ）＝（b ﹣c ）sin C 可化为b sin B ﹣a sin A＝b sin C ﹣c sin C 即b 2﹣a 2＝bc ﹣c 2cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，A =60°． （Ⅱ）以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在△ABE 中，∠ABE =120°，AE =√19． 在△ABE 中，由余弦定理得AE 2＝AB 2+BE 2﹣2AB •BE cos120°． 即：19＝9+AC 2﹣2×3×AC 2×（−12），解得，AC ＝2． 故S △ABC =12bcsinA =3√32．18．（12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） 频数b1849245（Ⅰ）求a ，b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为y ={1，x ＜202，20≤x ＜403，x ≥40，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[50，60）的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率．【解答】（12分）解：（I ）由直方图知：（0.01+0.025+0.035+a +0.01）×10＝1， 解得a ＝0.02，由频数分布表知：b +18+49+24+5＝100，解得b ＝4． ∴甲公司的导游优秀率为：（0.02+0.01）×10×100%＝30%； 乙公司的导游优秀率为：24+5100×100%=29%；由于30%＞29%，所以甲公司的影响度高． ………………………（4分） （ II ）甲公司年旅游总收入[10，20）的人数为0.01×10×100＝10人， 年旅游总收入[20，40）的人数为（0.025+0.035）×10×100＝60人， 年旅游总收入[40，60）的人数为（0.02+0.01）×10×100＝30人， 故甲公司导游的年平均奖金y =1×10+60×2+30×3100=2.2（万元）． ……（8分）（ III ）由已知得，年旅游总收入在[50，60）的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取6×1015=4人，记为a ，b ，c ，d ，从乙公司抽取6×515=2人，记为1，2．则6人中随机抽取2人的基本事件有： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，d ），（b ，1），（b ，2），（c ，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）共15个．参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）共9个．设事件A为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则P（A）=915=35，∴所求概率为35．…………………………………………………（12分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1B1C⊥平面AA1C1C，∠BAC＝90°．（1）证明：AC⊥CA1；（2）若△A1B1C是边长为2的等边三角形，求点B1到平面ABC的距离．【解答】证明：（1）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC⊂平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．又CA1⊂平面A1B1C，得AC⊥CA1．…（6分）解：（2）因为AB∥A1B1，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC，所以B1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，设其为d，由V A1﹣ABC＝V B﹣AA1C得，1 3×12×AC×AB×d=13×12×AC×A1C×B1O，所以d＝B1O=√3．即点B 1到平面ABC 的距离为√3．…（12分）20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，且过点(1，√22)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线l 1与椭圆C 交于A ，B 两点，直线l 2过坐标原点且斜率与直线l 1的斜率互为相反数．若直线l 2与椭圆交于E ，F 两点且均不与点A ，B 重合，试证明直线AE 的斜率与直线BF 的斜率之和为零．【解答】解：（Ⅰ）由题可得{ c a=√221a 2+(√22)2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1； 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（Ⅱ）证明：由题知直线l 1斜率存在，设l 1：y ＝k （x +1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{y =k(x +1)x 2+2y 2=2，消去y 得（1+2k 2）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0， 由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，因为l 2与l 1斜率相反且过原点，设l 2：y ＝﹣kx ，E （x 3，y 3），F （x 4，y 4），联立{y =−kx x 2+2y 2=2消去y 得（1+2k 2）x 2﹣2＝0，由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得x 3+x 4＝0，x 3x 4=−21+2k 2，因为E ，F 两点不与A ，B 重合，所以直线AE ，BF 存在斜率k AE ，k BF ，则k AE+k BF=y1−y3x1−x3+y2−y4x2−x4=k(x1+1)+kx3x1−x3+k(x2+1)−kx3x2+x3=k⋅(x1+x3+1)(x2+x3)+(x2−x3+1)(x1−x3)(x1−x3)(x2+x3)=k⋅2x1x2+2x32+x1+x2(x1−x3)(x2+x3)=k⋅2(2k2−2)1+2k2+2×21+2k2+−4k21+2k2(x1−x3)(x2+x3)=0．所以直线AE的斜率与直线BF的斜率之和为零．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x−1x）﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x≥1，都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x−1x−lnx，f（1）＝0，所以f′（x）＝1+1x2−1x，f′（1）＝1，即曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1；（Ⅱ）f（x）＝a（x−1x）﹣lnx的导数为f′（x）=ax2−x+ax2，若a≤0，则当x＞1时，x−1x＞0，lnx＞0，可得f（x）＜0，不满足题意；若a＞0，则当△＝1﹣4a2≤0，即a≥12时，f′（x）≥0恒成立，可得f（x）在[1，+∞）上单调递增，而f（1）＝0，所以当x≥1，都有f（x）≥0，满足题意；当△＞0，即0＜a＜12时，f′（x）＝0，有两个不等实根设为x1，x2，且x1＜x2，则x1x2＝1，x1+x2=1a＞0，即有0＜x1＜1＜x2，当1＜x＜x2时，f′（x）＜0，故f（x）在（1，x2）上单调递减，而f（1）＝0，当x∈（1，x2）时，f（x）＜0，不满足题意．综上所述，a≥1 2．请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =t +1y =√3t +1（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ1−cos 2θ． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点M （2，0），且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |．【解答】.解：（1）直线l 的参数方程可化为{x −1=ty−1√3=t （t 为参数），消去t 可得直线的普通方程为y =√3(x −1)+1，又∵{x =ρcosθy =ρsinθ， ∴直线l 的极坐标方程为√3ρcos θ﹣ρsin θ−√3+1＝0，由ρ=2cosθ1−cos 2θ可得ρ2（1﹣cos 2θ）＝2ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x ．（2）直线l 的倾斜角为π3， ∴直线 l ′的倾斜角也为π3，又直线l ′过点M （2，0）， ∴直线l ′的参数方程为{x =2+12t′y =√32t′（t ′为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2﹣4t ′﹣16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2，由一元二次方程的根与系数的关系知t 1′t 2′=−163，t 1′+t 2′=43，∴AB |＝|t 1′﹣t 2′|=√(t 1′+t 2′)2−4t 1′t 2′=4√133． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|，g （x ）＝x 2﹣x ﹣a ．（1）当a ＝5时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[2，3]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝5时，不等式f （x ）≥g （x ）等价于|x +1|﹣|x ﹣2|≥x 2﹣x ﹣5，① 当x ＜﹣1时，①式化为x 2﹣x ﹣2≤0，无解；当﹣1≤x ≤2时，①式化为x 2﹣3x ﹣4≤0，得﹣1≤x ≤2；当x ＞2时，①式化为x 2﹣x ﹣8≤0，得2＜x ≤1+√33．所以f（x）≥g（x）的解集为[−1，1+√332]．（2）当x∈[2，3]时，f（x）＝3，所以f（x）≥g（x）的解集包含[2，3]，等价于x∈[2，3]时g（x）≤3．又g（x）＝x2﹣x﹣a在[2，3]上的最大值为g（3）＝6﹣a．所以g（3）≤3，即6﹣a≤3，得a≥3．所以a的取值范围为[3，+∞）．。

2018年河南省新乡市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集，，，则A. B. C. D.2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则A. B. C. D.3. 已知，，则A. B. C. D.4. 某中学有高中生人，初中生人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A. B. C. D.5. 已知实数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.6. 已知等差数列中，，，则A. B. C. D.7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则A. B. C. D.8. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？如图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为A. B. C. D.9. 设函数，则不等式成立的的取值范围是（）A.B.C.D.10. 如图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A. B.C. D.11. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（）A. B. C. D.12. 已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡中的横线上。

13. 已知非零向量，，若，则与的夹角为________．14. 已知函数，在区间上任取一个实数，则的概率为________．15. 已知等比数列的前项和为，且，则________，且．16. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，若，，三点共线，则的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。

洛阳市2017--2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：首先应用复数的运算法则，将复数化为最简形式，根据复数在复平面内对应的点的坐标，确定其所在的象限即可求得结果.详解：，在复平面内对应的点为，所以在第四象限，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定出其所在的象限.2. 已知集合，.若，则实数的值是（）A. 0B. 2C. 0或2D. 0或1或2【答案】C【解析】分析：解题时利用子集的概念即可得结果.详解：当时，，满足；当时，，满足；所以或，所以实数的值是0或2，故选C.点睛：该题考查了子集的概念，属于基础题.3. 下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合函数奇偶性的定义，由条件判断各个选项中函数的奇偶性，从而得出结论.详解：由于A中的函数为非奇非偶函数，故排除A；由于B、D中的函数的定义域为R，且满足，故它们都是偶函数，故排除B、D；对于C中的函数，的定义域为，且满足，所以它是奇函数，故选C.点睛：该题考查的是函数奇偶性的判定，解题的关键是根据与的关系判断函数的奇偶性，在解题的过程中，首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称，之后再根据奇函数的定义判断，得出结果.4. 已知平面向量，，，若，，则实数的值为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：首先应用向量的数乘及坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线时坐标所满足的条件，列出等量关系式，求解k的值.详解：因为，所以，又，由得，解得，故选B.点睛：该题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量平行时坐标所满足的条件，正确地把握向量的坐标运算是解题的关键，在解题时，一定要熟记向量共线时坐标的关系，从而正确得到等量关系式求解即可.5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A. B. 3 C. 5 D.【答案】A【解析】分析：首先求出抛物线的焦点坐标，之后利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，，先求出，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，之后应用点到直线的距离公式求得结果.详解：因为抛物线的焦点坐标为，依题意，，所以，所以双曲线的方程为，所以其渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，故选A.点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点坐标，以及双曲线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，在求解的过程中，首先需要求出抛物线的坐标，之后借助于双曲线中之间的关系，求出，之后求得渐近线方程，接着应用点到直线的距离公式求得结果.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】分析：首先利用题中所给的三视图将几何体还原，因为正视图、侧视图和俯视图外轮廓都是正方形，所以就得到该几何体是由正方体切割而成的，从而得到其为正方体切去一个三棱锥，之后应用减法运算求得该几何体的体积. 详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是由正方体切割而成的，记正方体为，取中点为，取中点为N，该几何体就是正方体切去一个三棱锥之后剩余部分，故其体积为，故选A.点睛：该题考查的是有关根据三视图还原几何体，求其体积的问题，解题的关键是将几何体还原，在分析的过程中，能够得出该几何体与正方体有关，从而需要先画出一个正方体，结合三视图中对应的有关线段，从而得到对应几何体的相应的顶点在什么位置，从而得到最后的结果，之后应用减法运算求得体积.7. 已知满足约束条件，则的最小值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】D详解：根据约束条件画出可行域，如图所示，由得，画出直线，之后向上移动，可以发现当其过点时，截距最小，即z取得最小值，由可得，此时，故答案是7.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，关键一步就是正确画出约束条件对应的可行域，之后化目标函数为直线方程的斜截式，结合z的几何意义，数形结合得到最优解，联立方程组，求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案.8. 定义表示不超过的最大整数，例如，，.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.则输出（）A. 9B. 16C. 23D. 30【答案】C【解析】分析：首先模拟运行该程序框图，依据程序逐级运算，并通过判断条件调整运算的方向，是继续还是结束，即可计算得出结果.详解：一步步运行程序框图，可得，，，所以输出，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图运行后输出结果运算的问题，在解题的过程中，首先需要明确的意义，通过题中的举例，清楚其意义，之后在程序框图运行的过程中，明确什么时候该往哪走，从而最后求得结果.9. 下列叙述中正确的个数是（）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题，，命题，，则为真命题；③“”是“的必要而不充分条件；④将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：①利用一组数据的方程的定义和公式可以判断得出结果；②结合函数的性质以及复合命题的真值表可知结果；③利用余弦函数的性质，结合条件的充分性和必要性得到结论；④利用图像的平移变换规律以及诱导公式得到结果.详解：对于①，因为有结论将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，所以①正确；对于②，结合指数函数的性质，可知p是真命题，根据二次函数的性质，可知很成立，所以q是假命题，所以是假命题，所以②错误；对于③，因为当时，一定有，但是当，时，有，所以不一定成立，所以应该是充分不必要条件，所以③错误；对于④，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为，故④正确，所以正确命题的个数为2，故选B.点睛：该题考查的是有关真命题的个数问题，在解题的过程中，需要对命题逐一分析，得到结果，在判断的过程中，用到方差的性质、复合命题真值表、余弦函数的性质、图像的平移变换以及诱导公式，需要认真审题.10. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用差角公式将解析式化简，应用复合函数单调性法则，结合对数式的底数是，从而得到应该求的增区间，并且首先满足真数大于零的条件，从而得到，化简，最后求得其结果为，从而确定选项.详解：根据题意有，所以要求，结合复合函数单调性法则，实则求的增区间，所以有，解得，所以函数的单调减区间是，故选B.点睛：该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要首先化简函数解析式，之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则，得到其结果，在解题的过程中，需要时刻注意定义域优先原则，得保证函数有意义，之后列出相应的式子，求得结果.11. 已知函数满足条件：对于，且，存在唯一的且，使得.当成立时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，得到函数在和上单调，并且是连续的函数，从而得到以及的符号，代入相应的式子，得到其所满足的等量关系式，从而求得，得到结果.详解：若对于，存在唯一的，使得，所以在和上单调，则，且，由得，即，即，则，故选D.点睛：该题考查的是有关分段函数的性质问题，在求解的过程中，需要把握住条件对于，存在唯一的，使得，得到函数的单调性，从而得到系数所满足的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.12. 已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________．【答案】10【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果.详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有，故答案是10.点睛：该题考查的是有关利用角的正切值来求关于正余弦的分式形式的式子的值的问题，在解题的过程中，需要注意利用角的终边所过的点，结合三角函数的定义式求得正切值，之后对分式的分子分母上下同除，将其化为切的式子求解即可.14. 关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：首先将方程转化，分离参数，化为，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数研究函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最后求得结果.详解：关于的方程，即：，令函数，若方程在区间上有两个不等实根，即函数与在区间上有两个不同的交点，，令可得，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，所以函数的最小值为，，所以函数的最大值为，所以关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.点睛：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数与在区间上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方程转化为，即曲线和直线在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.15. 在正三棱锥中，，是的中点，，则正三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】分析：利用正三棱锥和是的中点，，找到正三棱锥的三条侧棱之间的关系，从而得到该三棱锥的特殊的特征，从而利用补体的方式，将其转化Wie求正方体的外接球的有关量的计算，从而求得结果.详解：取的中点，连接，因为，所以，又因为是正三角形，所以，故平面，，又因为，，所以平面，且，故得到是三条两两垂直的，可以看做是正方体切下来的一个正三棱锥，故外接球的直径，因为，所以，从而得到，所以其外接球的表面积为.点睛：该题考查的是有关空间几何体的外接球的问题，在解题的过程中，首先应该寻找该三棱锥的有关特征，利用有关相等和垂直关系，得到该三棱锥的三条侧棱是两两垂直的，从而利用特殊几何体的外接球球心所在位置的规律，得到对应的结果.16. 在中，是的中点，与互为余角，，，则的值为__________．【答案】或【解析】设,则由+可知,为的中点，,即,由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC, ,当时, ,在△ACD中, ,综上可得,的值为或.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设正项数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】(1);(2).详解：（1）①时，由，得，②时，由已知，得，∴，两式作差，得，又因为是正项数列，所以.∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列.∴.（2）∵，∴.又因为数列是递增数列，当时最小，，∴.点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解以及裂项相消法求和，在解题的过程中，需要对题中所给的式子，类比着往前写或者往后写一个，两式相减，结合题中的条件，得到相邻两项的差为同一个常数，从而得到该数列是等差数列，之后借助于等差数列的通项公式求得结果，对于第二问应用裂项相消法求和之后，结合式子的特征以及n的范围，求得其值域.18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：选择家的占、选择朋友聚集的地方的占、选择个人空间的占.上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占、选择家的占、选择个人空间的占.（1）请根据以上调查结果将下面列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：（2）从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附：，其中 d.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：第一问就需要根据题意，将对应的数据填入表中的相应位置，之后应用公式求得观测值，与表中所给的临界值比较，得出结果；第二问将所有的基本事件和满足条件的基本事件都写出来，之后借助于古典概型概率公式求得结果.详解：（1）由已知得，∴，∴有的把握认为“恋家”与城市有关.（2）用分层抽样的方法抽出4 人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为；∵，∴，设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件，，∴，则所求的概率为.点睛：该题考查的是有关独立性检验的问题，以及古典概型的概率求解公式的应用，在解题的过程中，需要利用公式将的值算出，之后与表中的临界值比较得出结果；之后是古典概型的解题方案，就是将对应的所有的基本事件和满足条件的基本事件都写出来，之后借助于公式完成任务.19. 如图，三棱柱中，平面，，是的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由平面得,由得，由线面垂直的判定定理得平面，故平面平面；（2）很容易得的值，由可得到平面的距离。

洛阳市2017--2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则复数21i+在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.已知集合{0,1,2}A=，{1,}B m=.若B A⊆，则实数m的值是（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或23.下列函数为奇函数的是（）A．323y x x=+ B．2x xe ey-+= C．23log3xyx-=+D．siny x x=4.已知平面向量(2,1)a=-r，(1,1)b=r，(5,1)c=-r，若()//a kb c+rr r，，则实数k的值为（）A．114-B．12C. 2 D．1145.已知双曲线2221(0)4x ybb-=>的右焦点与抛物线212y x=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．5B．3 C.5 D．426.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．233B．152C.476D．87.已知,x y满足约束条件5040250yx yx y-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为（）A.1B.3 C，5 D.78.定义[]x表示不超过x的最大整数，例如[0.6]0=，[2]2=，[3.6]3=.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.则输出a=（）A.9B.16C.23D.309.下列叙述中正确的个数是（ ）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题:[0,1]p x ∀∈，1x e ≥，命题0:q x R ∃∈，20010x x ++<，则p q ∧为真命题；③“cos 0α≠”是“2()2k k Z παπ≠+∈的必要而不充分条件；④将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度得到函数sin(2)6y x π=-的图象. A.1B ，2C.3D ，410.函数12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-的单调递减区间是（ ）A ．5(,),88k k k Z ππππ++∈ B ．3(,],88k k k Z ππππ++∈ C. 3[,),88k k k Z ππππ-+∈ D ．35[,),88k k k Z ππππ++∈ 11.已知函数3,0(),0x x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件：对于1x R ∀∈，且10x ≠，存在唯一的2x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =.当(2)(3)f a f b =成立时，a b +=（ ） A ．632-+ B ．62- C.632+ D ．6212.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB V 是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 2B ．2352 D 63第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点(3,4)P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-．14.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1[,]e e上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是． 15.在正三棱锥S ABC -中，2AB =，M 是SC 的中点，AM SB ⊥，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为．16.在ABC V 中，D 是AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则sin A 的值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：选择家的占25、选择朋友聚集的地方的占310、选择个人空间的占310.上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占35、选择家的占15、选择个人空间的占15. （1）请根据以上调查结果将下面22⨯列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：在家里最幸福 在其它场所最幸福 合计 洛阳高中生 上海高中生 合计中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c =+++d.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90ACB ︒∠=，M 是AB 的中点，12AC CB OC ===.（1）求证：平面1A CM ⊥平面1l ABB A ； （2）求点M 到平面11A CB 的距离.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF V 为正三角形.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线12//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 21.已知函数2()(1)2x t f x x e x =--，其中t R ∈. （1）函数()f x 的图象能否与x 轴相切?若能，求出实数t ，若不能，请说明理由； （2）讨论函数()f x 的单调性.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ+=，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5： DCCBA 6-10：ADCBB 11、12：AD 二、填空题13. 10 14.1(1,1]e + 15. 3π16.3或4三、解答题17.解：（1）①1n =时，由11a =+，得11a =，②2n ≥时，由已知，得24(1)n n S a =+，∴2114(1)n n S a --=+，两式作差，得11()(2)0n n n n a a a a --+--=， 又因为{}n a 是正项数列，所以12n n a a --=. ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列. ∴21n a n =-. （2）∵111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，∴12n n T b b b =+++L11111111(1)()()2323522121n n =-+-++--+L 111(1)2212n =-<+. 又因为数列{}n T 是递增数列，当1n =时n T 最小，113T =， ∴11[,)32n T ∈. 18.解：（1）由已知得，∴2100(2236933)1001134.628 3.841316955453123K ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“恋家”与城市有关.（2）用分层抽样的方法抽出4 人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为123,,,a a a b ；∵Ω121312323{(,),(,),(,),(,),(,)(,)}a a a a a b a a a b a b =， ∴6n =，设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A ，123{(,),(,),(,)}A a b a b a b =，∴3m =，则所求的概率为31()62m P A n ===. 19.（1）由1A A ⊥面ABC ，CM ⊂平面ABC ，则1A A CM ⊥. ∵AC CB =，M 是AB 的中点，∴AB CM ⊥. 又1A A AB A ⋂=，∴CM ⊥平面11ABB A又CM ⊂平面1ACM ，∴平面1A CM ⊥平面11ABB A . （2）设点M 到平面11A CB 的距离为h ，由题意可知11112AC CB A B MC ====1124A CB S ==V 11A MB S =V 1211ABB A S四边形122=⋅⋅=由（1）可知CM ⊥平面11ABB A ， 得111111111133C A MB A MB M A CB A CB V MC S V h S --=⋅==⋅V V ， ∴点M 到平面11A CB 的距离1111A MB A CB MC S h S ⋅=VV =20.解：（1）由题意知(,0)2pF ， 设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+， 因为||||FA FD =，由抛物线的定义知：3||22p p t +=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去）， 由234p t+=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知(1,0)F ，设000(,)(0)A x y x >，(,0)(0)D D D x x >， 因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 的斜率为02AB y k =-， 因为直线1l 和直线AB 平行， 故可设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意知20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =， 当204y ≠时，0020044E AE E y y yk x x y -==--，可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--，由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 所以直线AE 恒过点(1,0)F ，当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 恒过定点(1,0)F .21.解：（1）由于()()xxf x xe tx x e t '=-=-. 假设函数()f x 的图象与x 轴相切于点0(,0)x ，则有0()0()0f x f x '=⎧⎨=⎩，即0020000(1)020x x t x e x x e tx ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩. 显然00x ≠，将00x t e =>代入方程0200(1)02xt x e x --=中， 得200220x x -+=.显然此方程无解.故无论t 取何值，函数()f x 的图象都不能与x 轴相切. （2）由于()()x xf x xe tx x e t '=-=-，当0t ≤时，0xe t ->，当0x >时，()0f x '>，()f x 递增，当0x <时，()0f x '<，()f x 递减； 当0t >时，由()0f x '=得0x =或ln x t =， ①当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，()0f x '>，()f x 递增， 当ln 0t x <<时，()0f x '<，()f x 递减， 当ln x t <，()0f x '>，()f x 递增； ②当1t =时，()0f x '>，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >，当ln x t >时，()0f x '>，()f x 递增， 当0ln x t <<时，()0f x '<，()f x 递减， 当0x <时，()0f x '>，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln ),(0,)t -∞+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0),(ln ,)t -∞+∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. 22.解：（1）∵sin()4πρθ+=sin cos ρθθ=， 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=. （2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆.∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解. 当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<.（2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅I .又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+， 由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞. 所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-.。

河南省豫北六校2018届高三年级第三次精英联考数学（文）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）~（24）题为选做题，其它题为必做题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上；2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清晰；3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．保持卷面清洁，不折叠，不破损；5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，参考公式：1．柱体体积公式：V=Sh其中S为底面面积，h为高2．锥体体积公式：13v Sh = 其中S 为底面面积，h 为高第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1．已知集合1{2,1,0,1,2},{|39,},3x M P x x R M P =--=<<∈ 则= A ．{0,1} B ．{-1,0} C．{-1,0,1}D ．{-2,-1,0,1,2}2．复数3()13i i i+-为虚数单位等于A ．lB ． -1C ．iD ．-i3．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是A ．124B ．144C ．192D ．2564．“3tan 3x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量1(1,1cos )(1cos ,),//2a b a b θθ=-=+且，则锐角θ等于 A ． 300B ． 450C ． 600D ． 75。

2018届河南省新乡市高三第三次模拟测试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}6,5,5,4,3,8122==-≤∈=B C A x x Z x U u ，则B A I =（ ） A ．{}6,5 B ．{}4,3 C ．{}3,2 D ．{}6,5,4 2.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=21z z （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +-2 D ．i --2 3.已知1010sin ),2,0(=∈απα，则)42tan(πα+=（ ） A ．71 B ．-71C ．7D ．-7 4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15 C.20 D ．215.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++02074024y x y x y x ，则y x z +-=3的最大值与最小值之和为（ ）A ．-7B ．-2 C. -1 D ．66.已知等差数列{}n a 中，2017,320171010==S a ，则=2018S （ ） A ．2018 B ．-2018 C.-4036 D ．40367.将函数21sin )(2-=x x f 的图像向右平移6π个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g y =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛65πg （ ） A ．21-B ．21C.23- D ．238.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．31B ．33 C.35 D ．399.设函数xex f x++-=+24)(32，则不等式)3()52(x f x f --π成立的x 的取值范围是（ ） A ．（-1,5） B ．（-∞，-1）∪（5，+∞） C.（-5,1） D ．（-∞，-5）∪（1，+∞）10..下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．23224++B ．434+ C.23422++ D ．428+ 11.如图，在正方体1111DC B A ABCD -中，FE ,分别为1111,D C C B 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且∥AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ）A ．2B ．2 C.22 D ．2312.已知双曲线()0,01:2222φφb a by a x C =-的离心率332=e ，对称中心为O ，右焦点为F ，点A是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，OAF OAF AOF ∆∠=∠,的面积为33，则双曲线C 的方程为（ ）A ．1123622=-y x B ．1322=-y x C. 141222=-y x D ．13922=-y x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量)3,1(),0,(-==b t a ρρ，若4-=⋅b a ρρ，则b a ρρ2+与b ρ的夹角为 ．14.已知函数x e x f x =)(，在区间)3,21(上任取一个实数0x ，则()00≥'x f 的概率为 ．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9863=S S ，则=--+11n n n a a a （,2≥n 且N n ∈）． 16.已知抛物线)0(2:2φp py x C =的焦点为O F ,为坐标原点，点)2,1(),2,4(pN p M ---，射线NO MO ,分别交抛物线C 于异于点O 的点B A ,，若F B A ,,三点共线，则p 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，c b a 、、分别是内角C B A 、、的对边，已知C c a B b A a sin )(sin sin -=-.（1）求B 的大小； （2）若6,31cos ==a A ，求ABC ∆的面积S 18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时），又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（1）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[0,5),[5,10),···[30,35),[35,40]，在答题卡上完成频率分布直方图；（2）以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（3）以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20的男生有50人.请完成答题卡中的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”)(02k K P ≥0.10 0.05 0.010 0.005 0k2.7063.8416.6357.879附：)())()()(()(22d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=. 19.在如图所示的几何体中，⊥AC AC DE ,∥平面ο60,1,2,42,=∠====BCD DC BC DE AC BCD .（1）证明：⊥BD 平面ACDE ；（2）过点D 作一平行于平面ABE 的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE 之间的几何体的体积.20.已知椭圆()01:2222φφb a by a x E =+的焦距为c 2，且c b 3=，圆)0(:222φr r y x O =+与x 轴交于点P N M ,,为椭圆E 上的动点，PMN a PN PM ∆=+,2面积最大值为3. （1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）圆O 的切线l 交椭圆E 于点B A ,，求AB 的取值范围.21.已知函数)ln ()(bx x a e x f x-=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为2)4(+--=e x e y .（1）求b a ,的值；（2）证明：2()0f x x +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为N M ,，求MN .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数35)(+--=x x x f . （1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为m ，若420,0,abab m a b e ee ->>⋅=，求ab 的最小值.新乡市高三第三次模拟测试数学（文科）一、选择题1-5:BACAA 6-10:DBDCA 11、12：CD二、填空题13.3π 14.54 15.21- 16.2 三、解答题17.解：（1）因为C c a B b A a sin )(sin sin -=-. 所以222c ac b a -=-，即ac b c a =-+222.又212cos 222=-+=ac b c a B ， 所以3π=B .（2）因为()π,0,31cos ∈=A A ， 所以322sin =A . 由B b A a sin sin =，可得469322236sin sin =⨯==A B a b . 又6322233121322)sin(sin +=⨯+⨯=+=B A C . 所以82273366322469621sin 21+=+⨯⨯⨯==C ab S . 18.解：（1）由题意知样本容量为20，频率分布表如下：[0,5) 1 201 0.01 [5,10) 1 201 0.01 [10,15) 4 51 0.04 [15,20) 2 101 0.02 [20,25) 4 51 0.04 [25,30) 3 203 0.03 [30,35) 3 203 0.03 [35,40) 2 101 0.02 合计201频率分布直方图为：（2）因为（1）中的[30,40]的频率为41101203=+， 所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为41. （3）因为（1）中[0,20)的频率为52，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是4052100=⨯.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生 女生 总计 累计观看时间小于20小时 50 40 90 累计观看时间不小于20小时15060210总计200 100 300结合列联表可算得635.6143.790210100200)401506050(30022φ≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K .所以，有%99的把握认为“该校学生观看冬奥会时间与性别有关”. 19.（1）证明：在BCD ∆中，360cos 2121222=⨯⨯-+=οBD . 所以222DC BD BC +=，所以BCD ∆为直角三角形，CD BD ⊥. 又因为⊥AC 平面BCD ，所以BD AC ⊥. 而C CD AC =I ，所以⊥BD 平面ACDE .（2）解：取AC 的中点F ，BC 的中点M ，连接MF DM DF ,,，平面DFM 即为所求. 理由如下：因为AF DE AC DE =,∥，所以四边形AEDF 为平行四边形，所以AE DF ∥，从而∥DF 平面ABE ，同理可证∥FM 平面ABE .因为F DF FM =I ，所以平面∥DFM 平面ABE . 由（1）可知，⊥BD 平面ACDE ，⊥FC 平面CDM . 因为()33214231=⨯⨯+⨯=-ACDE B V ， 63260sin 21131=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=-οCDM F V ， 所以，所求几何体的体积635633=-=V .20.解：（1）因为c b 3=，所以c a 2=.①因为a PN PM 2=+，所以点N M ,为椭圆的焦点，所以22241a c r ==. 设),(00y x P ，则b y b ≤≤-0，所以0021y a y r S PMN =⋅=∆. 当b y =0时，()321max ==∆ab S PMN ，② 由①，②解得2=a ，所以3=b ，1=c .所以圆O 的方程为122=+y x ，椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1=x ，解得3),23,1(),23,1(=-AB B A . ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为),(),,(,2211m kx x B m kx x A m kx y +++=. 因为直线l 与圆相切，所以112=+k m ，即221k m +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，消去y 可得01248)34(222=-+++m kmx x k ， 34124,348,0)23(48)34(482221221222+-=+-=++=-+=∆k m x x k km x x k m k φ.()3434134412222212212+-+⋅+⋅=-+⋅+=k m k k x x x x k AB=()()3441433414333423134222222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=+++k k k k k k=3431214311613222++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅k k . 令4312+=k t ，则4343102≤+=k t π，所以AB =340,32116132≤++-⋅t t t π，所以AB =4)4(16132+--⋅t ，所以3643≤AB π. 综上，AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡364,3. 21. （1）解：由已知得)0)(ln ()(φx b xa bx x a e x f x -+-=' 因为⎩⎨⎧-='-=4)1(2)1(e f f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==e b a 21. （2）证明：由（1）知)(x f 12ln )(--=x x rex e x f ， 所以221ln 2()0ln 2x x x x x f x x e x x re x e e -+<⇔+<⇔-p . 设x ex e x h x x x g -==2)(,ln )(，要证2()0f x x +<，即要证)()(x h x g π在（0，+∞）恒成立. 因为)0(ln 1)(2φx x x x g -='，所以xx x g ln )(=在),0(e 上为增函数，在[)+∞,e 上为减函数， 所以ee g x g 1)()(=≤.① 又x e x x h 1)(-='，所以x ex e x h -=2)(在)1,0(上为减函数，在[)+∞,1上为增函数， 所以eh x h 1)1()(=≥.② 由于不等于①和②不能同时取等号，故)()(x h x g φ.所以0)(2πx x f +成立.22.解：（1）因为θθρsin 8cos 2=所以θρθρsin 8cos 22=，即y x 82=，所以曲线C 表示焦点坐标为（0,2），对称轴为y 轴的抛物线. （2）直线l 过抛物线焦点坐标（0,2），且参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，得020522=--t t ， 所以20,522121-==+t t t t . 所以()1042122121=-+=-=t t t t t t MN .23.解：（1）当3-≤x 时，由135+≥++-x x x ，得7≤x ， 所以3-≤x ；当35x -<<时，由135+≥---x x x ，得31≤x ， 所以133x -<≤； 当5≥x 时，由135+≥---x x x ，得9-≤x ，无解. 综上可知，31≤x ，即不等式1)(+≥x x f 的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,. （2）因为83535=---≤+--x x x x ，所以函数)(x f 的最大值8=m .应为844-=⋅ab b a e e e ，所以844+=+ab b a .又0,0a b >>， 所以ab ab b a 4424=≥+，所以0484≥--ab ab ，即02≥--ab ab . 所以有.()0)2(1≥-+ab ab .0>，所以2≥ab ，4≥ab ，即ab 的最小值为4.。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i 为虚数单位，则复数21+i在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴复数21+i在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．故选：D ．2．（5分）已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }．若B ⊆A ，则实数m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或2【解答】解：∵集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }，B ⊆A ， ∴m ＝0或m ＝2． ∴实数m 的值是0或2． 故选：C ．3．（5分）下列函数为奇函数的是（ ） A ．y ＝x 3+3x 2B ．y =e x +e −x2C ．y =log 23−x3+xD ．y ＝x sin x【解答】解：A ．不满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），不是奇函数； B ．满足f （﹣x ）＝f （x ），∴该函数是偶函数，不是奇函数； C .f(−x)=log 23+x 3−x =−log 23−x3+x =−f(x)； ∴该函数是奇函数，即C 正确；D ．f （﹣x ）＝﹣x sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ）； ∴该函数为偶函数，不是奇函数． 故选：C ．4．（5分）已知平面向量a →=(2，−1)，b →=(1，1)，c →=(−5，1)，若(a →+kb →)∥c →，则实数k 的值为（ ） A ．−114B ．12C ．2D ．114【解答】解：∵平面向量a →=(2，−1)，b →=(1，1)，c →=(−5，1)，∴a →+kb →=（2+k ，﹣1+k ）， ∵(a →+kb →)∥c →， ∴2+k −5=−1+k 1，解得k =12． ∴实数k 的值为12．故选：B ． 5．（5分）已知双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ．√5B ．4√2C ．3D ．5【解答】解：抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0） ∵双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合∴4+b 2＝9 ∴b 2＝5∴双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ，即√5x −2y =0 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于|3√5−0|3=√5故选：A ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．233B ．152C ．476D ．8【解答】解：根据几何体的三视图，及其数据得出：正方体的棱长为2，截去的三棱锥的底面直角边长为：1，几何体是正方体截去一个角，如图：∴该几何体的体积为2×2×2−13×12×1×1×2=233． 故选：A ．7．（5分）已知x ，y 满足约束条件{y −5≤0x +y −4≥02x −y −5≥0，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A ．.1B ．.3C ．，5D ．.7【解答】解：画出不等式组{y −5≤0x +y −4≥02x −y −5≥0表示的可行域，如图所示；目标函数z ＝2x +y 在点A 处取得最小值， 由{x +y −4=02x −y −5=0，解得点A （3，1）， 代入目标函数z ＝2x +y ，求得最小值为2×3+1＝7． 故选：D ．8．（5分）定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3．下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图．则输出a ＝（ ）A ．9B ．16C ．23D ．30【解答】解：当k ＝1时，第1次执行循环体后，a ＝9，不满足a ﹣3•[a 3]＝2，k ＝2； 当k ＝2时，第1次执行循环体后，a ＝16，不满足a ﹣3•[a3]＝2，k ＝3；当k ＝3时，第1次执行循环体后，a ＝23，满足a ﹣3•[a 3]＝2，满足a ﹣5•[a5]＝3；故输出的a 值为23， 故选：C ．9．（5分）下列叙述中正确的个数是（ ）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1，命题q ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则p ∧q 为真命题； ③“cos α≠0”是“α≠2kπ+π2(k ∈Z)的必要而不充分条件； ④将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度得到函数y =sin(π6−2x)的图象．A ．.1B ．，2C ．.3D ．，4【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的稳定性不变，即方差不变，①正确，对于②，命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1为真命题，方程x 2+x +1＝0的判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，命题q ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0为假命题． 则p ∧q 为假命题．故②错误；对于③，由cos α≠0，可得α≠2kπ+π2(k ∈Z)，反之，由α≠2kπ+π2(k ∈Z)，cos α＝0可能成立，则“cos α≠0”是“α≠2kπ+π2(k ∈Z)的充分不必要，故③错误； 对于④，将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度得到函数y ＝sin2（x +5π12）＝sin （2x +5π6），即y =sin(π6−2x)的图象，故④正确． ∴正确的个数是2个． 故选：B ．10．（5分）函数y =log 12（sin2x cos π4−cos2x sin π4）的单调递减区间是（ ）A ．（k π+π8，k π+5π8），k ∈Z B ．（k π+π8，k π+3π8），k ∈Z C ．（k π−π8，k π+3π8），k ∈Z D ．（k π+3π8，k π+5π8），k ∈Z【解答】解：∵sin2x cos π4−cos2x sinπ4=sin （2x −π4）＞0，∴2k π+π＞2x −π4＞2k π，又∵函数y =log 12（sin2x cos π4−cos2x sin π4）单调递减，∴由2k π＜2x −π4＜2k π+π2，k ∈Z 可解得函数y =log 12（sin2x cos π4−cos2x sin π4）的单调递减区间是：（k π+π8，k π+3π8），k ∈Z 故选：B ．11．（5分）已知函数f(x)={√x +3，x ≥0ax +b ，x ＜0满足条件：对于∀x 1∈R ，且x 1≠0，∃唯一的x 2∈R且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）．当f （2a ）＝f （3b ）成立时，则实数a +b ＝（ ） A ．√62B ．−√62C ．√62+3 D ．−√62+3【解答】解：若对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）＝f （x 2）． ∴f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调， 则b ＝3，且a ＜0，由f （2a ）＝f （3b ）得f （2a ）＝f （9）， 即2a 2+3=√9+3＝3+3，即a =−√62，则a +b =−√62+3， 故选：D ． 12．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （ ） A ．√22B ．2−√3C ．√5−2D ．√6−√3【解答】解：如图，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ， 若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|=√2m ， 由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ， 即有4a ＝2m +√2m ，即m ＝2（2−√2）a ， 则|AF 2|＝2a ﹣m ＝（2√2−2）a ， 在直角三角形AF 1F 2中， |F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2＝4（2−√2）2a 2+4（√2−1）2a 2， ∴c 2＝（9﹣6√2）a 2， 则e 2=c 2a 2=9﹣6√2=9−2√18， ∴e =√6−√3． 故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P （3，4），则sinα+2cosαsinα−cosα= 10 ．【解答】解：∵角α的始边与x 轴非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边经过点P （3，4）． ∴sinα=√3+4=45，cos α=35，则sinα+2cosαsinα−cosα=45+2×3545−35=10．故答案为：10．14．（5分）若关于x 的方程xlnx ﹣kx +1＝0在区间[1e ，e ]上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 （1，1+1e ] ．【解答】解：由xlnx ﹣kx +1＝0得k ＝lnx +1x， 令f （x ）＝lnx +1x，则f ′（x ）=1x −1x 2=x−1x2． ∴当1e＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当1＜x ＜e 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， ∴当x ＝1时，f （x ）取得最小值f （1）＝1， 又f （1e ）＝﹣1+e ，f （e ）＝1+1e．∴f （e ）＜f （1e）．∵关于x 的方程xlnx ﹣kx +1＝0在区间[1e，e ]上有两个不等实根，∴f （x ）＝k 有两解， ∴1＜k ≤1+1e ． 故答案为：（1，1+1e]．15．（5分）在正三棱锥S ﹣ABC 中，AB =√2，M 是SC 的中点，AM ⊥SB ，则正三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为 3π ． 【解答】解：如图所示：正三棱锥S﹣ABC中，AB=√2，M是SC的中点，取AC的中点N，连接SN，BN，所以：AC⊥平面SNB，则：AC⊥SB，由于AM⊥SB，则：SB⊥平面SAC，由于三棱锥是正三棱锥，所以：∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°．故：（2R）2＝12+12+12，所以：R2=3 4，则：S=4π⋅34=3π．故答案为：3π16．（5分）在△ABC中，D是AB的中点，∠ACD与∠CBD互为余角，AD＝2，AC＝3，则sin A的值为√74或√53．【解答】解：如图所示：在△ADC中，设∠ACD＝θ，则：∠CBD=π2−θ，利用余弦定理：cosθ=32+CD 2−42⋅3⋅CD =5+CD26CD ．在△ADC 中，利用正弦定理：CD sin(π2−θ)=BDsin(π2−A)，故：CDcosθ=BD cosA，所以：CD5+CD 26CD=2cosA，解得：cos A =10+2CD26CD2， 在△ACD 中，利用余弦定理：cosA =22+32−CD 22⋅2⋅3，所以：10+2CD 26CD 2=13−CD 212，整理得：CD 4﹣9CD 2+20＝0 解得：CD =2或√5．①当CD ＝2时，cos A =10+2⋅226⋅22=34． 所以：sin A =√74CD =√5时，cos A =10+2⋅56⋅5=23， 所以：sin A =√53． 故答案为：√74或√53三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2√S n =a n +1，求 （1）{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，数列{a n }满足2√S n =a n +1， 当n ＝1时，有2√S 1=a 1+1＝2√a 1，解可得a 1＝1， 将2√S n =a n +1两边平方得4S n =(a n +1)2①， n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2②，①﹣②可得，4a n =(a n +1)2−(a n−1+1)2， 变形可得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，又由数列{a n }为正数数列，则（a n +a n ﹣1）＞0， 则有（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴有a n ＝2n ﹣1； （2）b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(1(2n−1)−12n+1)，则T n =12（1−13）+12（13−15）+⋯+12（12n−1−12n+1）=12(1−12n+1)，则T n ＜12，当n ＝1，T n =13，则T n ≥13， 故13≤T n ＜12．18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占25、朋友聚集的地方占310、个人空间占310．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占35、家占15、个人空间占15．（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生 美国高中生 合计（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （k 2≥k 0）0.0500.025 0.010 0.001k0 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知得，在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生223355美国高中生93645合计3169100∴K2=100×(22×36−9×33)231×69×55×45=100×11×331×23≈4.628＞3.841，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a1，a2，a3，b；∵Ω＝{（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a3），（a2，b），（a3，b）}，∴n＝6；设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A，A＝{（a1，b），（a2，b），（a3，b）}，∴m＝3；则所求的概率为P(A)=mn=36=12．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M是AB的中点．（1）求证：平面A1CM⊥平面ABB1A1；（2）求点M到平面A1CB1的距离．【解答】证明：（Ⅰ）由A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则A1A⊥CM．由AC＝CB，M是AB的中点，则AB⊥CM．又A1A∩AB＝A，则CM⊥平面ABB1A1，又CM⊂平面A1CM，所以平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1．解：（Ⅱ）设点M 到平面A 1CB 1的距离为h ，由题意可知A 1C =CB 1=A 1B 1=2MC =2√2，S △A 1CB 1=2√3，S △A 1MB 1=2√2． 由（Ⅰ）可知CM ⊥平面ABB 1A 1，得：V C−A 1MB 1=13MC ⋅S △A 1MB 1=V M−A 1CB 1=13ℎ⋅S △A 1CB 1，所以，点M 到平面A 1CB 1的距离ℎ=MC⋅S △A 1MB 1S △A 1CB1=2√33．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |，当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（I ）抛物线的焦点F （p2，0），设D （t ，0），则FD 的中点为（p+2t 4，0）．∵|F A |＝|FD |，∴3+p 2=|t −p2|，解得t ＝3+p 或t ＝﹣3（舍）． ∵p+2t 4=3，∴3p+64=3，解得p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ．（II ）由（I ）知F （1，0），设A （x 0，y 0），D （x D ，0），∵|F A |＝|FD |，则|x D ﹣1|＝x 0+1，由x D ＞0得x D ＝x 0+2，即D （x 0+2，0）．∴直线l 的斜率为k AD =−y 02．∵l 1∥l ，故直线l 1的斜率为−y2． 设直线l 1的方程为y =−y02x +b ，联立方程组{y 2=4xy =−y 02x +b，消元得：y 2+8y 0y −8by 0=0， ∵直线l 1与抛物线相切， ∴△=64y 02+32b y 0=0，∴b =−2y 0． 设E （x E ，y E ），则y E =−4y 0，x E =4y 02， 当y 02≠4时，k AE =y E −y0x E −x 0=4y0y 02−4，直线AE 的方程为y ﹣y 0=4y0y 02−4（x ﹣x 0）， ∵y 02＝4x 0，∴直线AE 方程为y =4y 0y 02−4(x −1)．∴直线AE 经过点（1，0）． 当y 02＝4时，直线AE 方程为x ＝1，经过点（1，0）． 综上，直线AE 过定点F （1，0）．21．（12分）已知函数f(x)=(x −1)e x −t2x 2，其中t ∈R ．（1）函数f （x ）的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数t ，若不能，请说明理由； （2）讨论函数f （x ）的单调性．【解答】解：（1）根据题意，函数f(x)=(x −1)e x −t 2x 2，则f ′（x ）＝xe x ﹣tx ＝x （e x ﹣t ）．假设函数f （x ）的图象与x 轴相切于点（x 0，0），则有{f(x 0)=0f ′(x)=0，即{(x 0−1)e x 0−t2x 02=0x 0e x 0−tx 0=0．显然x 0≠0，将t =e x 0＞0代入方程(x 0−1)e x 0−t2x 02=0中， 得x 02−2x 0+2=0．显然此方程无解．故无论t 取何值，函数f （x ）的图象都不能与x 轴相切． （2）由于f ′（x ）＝xe x ﹣tx ＝x （e x ﹣t ），当t ≤0时，e x ﹣t ＞0，当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减； 当t ＞0时，由f ′（x ）＝0得x ＝0或x ＝lnt ， ①当0＜t ＜1时，lnt ＜0，当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增， 当lnt ＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，当x ＜lnt ，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； ②当t ＝1时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； ③当t ＞1时，lnt ＞0，当x ＞lnt 时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增， 当0＜x ＜lnt 时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 当x ＜0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增．综上，当t ≤0时，f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； 当0＜t ＜1时，f （x ）在（﹣∞，lnt ），（0，+∞）上是增函数，在（lnt ，0）上是减函数； 当t ＝1时，f （x ）在（﹣∞，+∞）上是增函数；当t ＞1时，f （x ）在（﹣∞，0），（lnt ，+∞）上是增函数，在（0，lnt ）上是减函数． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ（φ为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；（2）若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 坐标为（2，2），求|AP |+|BP |的最小值． 【解答】解：（1）直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2， ∴√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2， 即ρcos θ+ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x +y ﹣4＝0；曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ（φ为参数）．∴曲线C 1的普通方程为（x +1）2+（y +2）2＝4． （2）∵点P 在直线x +y ＝4上，根据对称性，|AP |的最小值与|BP |的最小值相等． 曲线C 1是以（﹣1，﹣2）为圆心，半径r ＝2的圆． ∴|AP |min ＝|PC 1|﹣r =√(2+1)2+(2+2)2−2=3． 所以|AP |+|BP |的最小值为2×3＝6．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣a |+|3x +1|，g （x ）＝|4x ﹣1|﹣|x +2|． （1）求不等式g （x ）＜6的解集；（2）若存在x 1，x 2∈R ，使得f （x 1）和g （x 2）互为相反数，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）g （x ）＝|4x ﹣1|﹣|x +2|．g （x ）={−3x +3，x ≤2−5x −1，2＜x ＜14−3x −3，x ≥14，不等式g （x ）＜6，x ≤﹣2时，4x ﹣1﹣x ﹣2＜6，解得：x ＞﹣1，不等式无解； ﹣2＜x ＜14时，1﹣4x ﹣x ﹣2＜6，解得：−75＜x ＜14， x ≥14时，4x ﹣1﹣x ﹣2＜6，解得：3＞x ≥14， 综上，不等式的解集是（−75，3）；（2）因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f （x 1）＝﹣g （x 2）成立， 所以{y |y ＝f （x ），x ∈R }∩{y |y ＝﹣g （x ），x ∈R }≠∅， 又f （x ）＝3|x ﹣a |+|3x +1|≥|（3x ﹣3a ）﹣（3x +1）|＝|3a +1|， 故g （x ）的最小值是−94，可知﹣g （x ）max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312，512]．。

2017 — 2018学年度高三第三次调研测试文科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。

注意事项：1 •答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3•请按照题号在各题的答题区域 （黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

本大题共 12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有个是符合题目要求。

设全集 U =Z , A ={-1,1,3,5,7,9}, B ={-1,5,7}，贝V AplG u B)二B. {-1,5,7}D. {-1,1,3,5,9}__nA . -P ： X 。

R,X o 2 乞3X oB . -p: x R,x 22< 3x2C . — p: 一x R,x ■ 2 3xnD . _p: x 0 R,x 0 2 _ 3x 。

2. 已知复数 i z =1—i（i 为虚数单位），则z 的虚部为3.1 .A. i2已知命题P ：X o1 .B.i 2R,x ； 2 3x 0，则命题 1 C.2p 的否命题为D.4. F 列各组向量中，可以作为基底的是A. q =(0,0), e ? =(1,2)B.eiC.e 1 = (3,5), e 2 = (6,10)D.6 = (-1,2),0 = (5,7)、选择题: 1.A. {1,3,9}C.{-1,1,3x - y 3 _ 0设x, y 满足约束条件*x + yZ0，则z = 3x + y 的最小值是x 兰2S n ,则 S n =，定点的坐标是是某几何体的三视图，则该几何体的体积为C. D.5.6. A. -5 B. 4 C. -3D. 11已知等差数列｛务｝的公差不为0,可=1，且32,34,38成等比数列，设｛a n ｝的前n 项和A.n( n 1) 2B.2C. n 2 12 D.n(n 3) 47.以抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线X 二-2相切，这些圆必过一定点，则8. 9. A. (0,2)B. (2, 0)执行如图所示的程序框图，当输出则输入n 的值可以为A.B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为 C.S =210 时,1,粗实线画出的 (4, 0) D. (0, 4)——n = n - 1否甲S = n ・S(■结束2)A.14二B.310二3 5-J IS = 1C 开始3*/ 输入n // 输岀S /n < 5 ?是俯视图正视图F I +•B 8；侧视图-10.已知锐角：•满足cos( ) =cos2＞，则sin〉cos 等于414 411.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一， 他所著的《四元玉鉴》卷中如像招数”五问有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤•只云初日差六十四人，次日转多七人，每 人日支米三升，共支米四百三石九斗二升， 问筑堤几日”.其大意为：官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.这个问题中， 前5天应发大米12•对于定义域为 R 的函数f(x)，若同时满足下列三个条件：①且 X = 0 时，都有 xf (x)0 ；③当 x 1 ::: 0 x 2，且 I 片 |=| x 2 |时，都有 f (xj ::： f (x 2),则称f(x)为偏对称函数”.现给出下列三个函数：3 3 2 x ] ln(1—x), x 兰 0 f i (x)-X x ； f 2(x) = e - x-1； f 3(x)二212x, x > 0则其中是偏对称函数”的函数个数为 A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共 4个小题，每小题5分。

2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2018的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数；GP ：两角和与差的余弦函数． 【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos （﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin （+α）=﹣．故选：D ．6．已知f'（x ）=2x+m ，且f （0）=0，函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为3，数列的前n 项和为S n ，则S 2018的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f （x ）=x 2+mx+c ，运用导数的几何意义，由条件可得m ，c 的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x ）=2x+m ，可设f （x ）=x 2+mx+c ， 由f （0）=0，可得c=0．可得函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为2+m=3， 解得m=1， 即f （x ）=x 2+x ，则==﹣，数列的前n 项和为S n ，则S 2018=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A ．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2018，∴h=1+h（﹣2018）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d ，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项即可求出公差d ，再写出通项公式即可，（2）化简b n 根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n }的前n 项和S n ，利用裂项相消法求出S n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． ∴（2+2d ）2=（3+3d ）（2+d ）， 解得d=2，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+2（n ﹣1）=2n ，（2）b n ====（﹣），∴S n =（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到 2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2018年5月23日。