下载文档原格式
板块一 勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba勾股定理3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
板块一、勾股定理【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ； （2）如果68a b ==，，则c = ； （3）如果512a b ==，，则c = ； （4）如果1520a b ==，，则c = .【例3】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【例4】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．【例5】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例6】 已知直角三角形两边x ，y 的长满足240x -，则第三边长为______________．【例7】 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20【例8】 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为【例9】 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定CA【例10】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例11】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【例12】 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为【例13】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例14】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C到旗杆底部B 的距离为CBA【例15】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例16】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例17】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例19】 设,,,a b c d 都是正数。
证明勾股定理的4种方法2022-01-27勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
以下是小编整理的证明勾股定理的4种方法，仅供参考，大家一起来看看吧。
证明勾股定理的4种方法勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。
在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。
《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。
”勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的'定理之一。
下面我们一起来欣赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
方法二：刘徽“青朱出入图”约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。
方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。
勾股定理的4种证明方法
《勾股定理的奇妙证明之旅》
嘿，朋友们！今天咱来聊聊那神奇的勾股定理呀！这可是数学里的一颗璀璨明珠呢。
先来说说第一种证明方法吧。
想象一下，有个直角三角形摆在那，咱给它外面围上三个正方形。
嘿，你瞧，这三个正方形的面积之间就有着奇妙的关系啦！通过一番巧妙的计算和观察，就能发现那个大名鼎鼎的勾股定理啦，是不是很神奇呀！就好像是在玩拼图游戏，突然就拼出了一个让人惊喜的图案。
第二种证明方法呢，就像是变魔术一样。
我们把几个图形进行巧妙的组合和拆分，然后哇塞，勾股定理就像变戏法一样出现在我们眼前了。
就好像魔术师从帽子里变出兔子一样，让人忍不住拍手叫绝呀！
接着第三种证明方法，这可得动点小脑筋啦。
通过一些线条的摆弄和思考，嘿，那隐藏的勾股定理就现身了。
感觉就像是在解一道有趣的谜题，当你找到答案的时候，那种满足感真是太棒啦！
最后一种证明方法也很有意思哦。
我们就像是探险家一样，在图形的世界里探索，一点点地挖掘出勾股定理的秘密。
就像在森林里寻找宝藏，经过努力终于找到时的那种兴奋呀！
你看，勾股定理的证明方法是不是特别有趣，特别神奇呀！它就像是数学王国里的一把钥匙，打开了无数知识的大门。
我们可以通过它更好地理解几何图形，更好地解决各种数学问题。
它就像是我们的好朋友，一直陪伴着我们在数学的海洋里遨游呢！所以呀，大家一定要好好记住这个神奇的勾股定理，还有它的这些有趣的证明方法哦！让我们一起在数学的世界里快乐地探索和发现吧！。
勾3股4定理公式大全勾股定理是数学中最基本的定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边的关系。
而勾三股四定理，则是一种推广的勾股定理，它描述了三个直角三角形的边长之间的比例关系。
以下是勾三股四定理的三个公式及其推导过程。
一、第一个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB^2=BC×AC这个公式可以通过勾股定理的推导得出。
根据勾股定理，有AC^2=AB^2+BC^2带入角C=90°，则有AB^2=AC^2-BC^2即AB^2=BC×AC。
二、第二个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠A=90°，则有AC^2=AB×BC这个公式可以通过将公式一中的AB和BC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和BC互换，得到AC^2=AB×BC。
三、第三个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠B=90°，则有BC^2=AB×AC这个公式可以通过将公式一中的AB和AC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和AC互换，得到BC^2=AB×AC。
ABCB，C在直角三角形ABC中，根据勾三股四定理公式一的推导过程，可以得到AB^2=BC×A C。
同理，根据勾三股四定理公式二和公式三的推导过程，可以得到AC^2=AB×BC以及BC^2=AB×AC。
勾三股四定理公式在解决问题时非常实用，它可以帮助我们在已知两条边后，快速求解剩余边的长度。
举个例子，假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm，我们需要求解AB的长度。
根据勾三股四定理公式一，我们有AB^2=BC×AC代入已知值，即可得到AB^2 = 12cm × 5cm计算得到AB^2 = 60 cm^2再开平方根，即可得到AB的长度，约为7.746cm。
勾 股 定 理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：利用勾股定理求线段长度——例题6 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.BAC7.关于翻折问题例7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.课后训练： 一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．图(1)2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
勾股定理公式大全勾股定理是一个基本的几何定理，直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股数组成a²+b²=c²的正整数组（a,b,c）。
（3,4,5）就是勾股数。
勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
当整数a,b,c满足a²+b²=c²这个条件时，（a,b,c）叫做勾股数组。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
”常见勾股数有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。
古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理的公式：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是3 和4 ，斜边长度是5 ，那么可以用数学语言表达：3²+4²=5²勾股定理是余弦定理中的一个特例。
实数
[学习重点]了解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数
[学习难点] 通过用不同的方法比较两个无理数的大小，理解估算的意义，发展数感和估算
能力
[知识要点]
1、回顾：有理数的分类
新知：无理数：．
常见的无理数有如下几类：
2、实数：
（1）称为实数．即
或
（2）实数与数轴上的点的对应关系是：
注意：
①实数的分类有多种，不同的分类依据的标准不同，但必须做到既不重复又不遗漏．
②实数与数轴的点具有一一对应关系，这种代数与几何之间的联系为今后研究问题带来方便．
3、实数的性质：
（1）实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同．
（2）有理数范围内的大小比较法则在实数范围内仍然适用．
（3）有理数范围内运用的运算律与运算法则在实数范围内仍然适用．
[学习过程]
一、探索思考
1、什么是有理数？有理数包括什么数？
2、判断下列各数是否是有理数？
2，1.5，－2
3，22
7
，3.14，π
3
是有理数吗？到底有多大？
实数0
实数
二、例题
1、把下列各数填入相应的集合内．。
，，，，，，，， 0011001000100.0049
16-327125-106.0932433π- （1）有理数集合：{ ……}；
（2）无理数集合：{ ……}；
（3）正实数集合：{ ……}；
（4）负实数集合：{ ……}；
（5）分数集合：{ ……}．
2、比较下列各数的大小
（1 （2）2
15- 0.5； （3）2-2-． 3、|5|π-= ； |523|-+= ．
4、设b a 、为实数，且02910422=++-+b a b a ，则ab 10-是( )
A 、整数
B 、分数
C 、无理数
D 、零
5、已知实数b a 、互为相反数，d c 、互为倒数，x 的绝对值为5，求代数式
3)(cd b a x cd b a -++++的值．
6、在数轴上画出表示5的点A 和表示3-的点B ．
7、 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，试利用格点
作
一个面积为5的正方形．
8、已知m n m －n ）的值．（用根号表示）
[知识要点二]
1、近似数
2、近似数的精确度
通常应用四舍五入法对近似数进行精确．一般有如下几种描述方法．
（1）四舍五入到哪一位即称精确到哪一位．（例：π精确到百分位即3.14，也称为精确到0.01）
（2）精确到某个单位（例：15.03米近似到10cm ，为15.0米）
（3）保留几位小数．
[学习过程]
一、例题．
1、下列问题中出现的数，哪些是精确数？哪些是近似数？
（1）八（3）班有53位同学；
（2）中国有13亿人口；
（3）一本笔记本卖3元，我们班47位同学，每人买一本笔记版大约共需150元；
（4）玲玲的身高为1.60米；
（5）妈妈的钱包里有55.9元；
（6）珠穆朗玛峰高出海平面约8844.43米．
2、小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg ，按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效数字．
（1）精确到0.01kg ；（2）精确到0.1kg ；（3）精确到1kg ．
3、用四舍五入法，按照括号内的要求取下列各数的近似数．
（1）60 340（精确到万位）；
（2）0.038 49（保留2位小数）；
（3）0.000 077（精确到0.000 01）；
（4）81 595（精确到百位）．
4、填空
（1）近似数0.3029精确到 位，（2）近似数4
1005.3 精确到 位
（3）近似数289.5万精确到 位，（4）0.03259精确到0.001为 ，
（5）38516精确到千位为
5、一卷紧紧缠绕在一起的牛皮纸，纸卷直径为20cm ，中间有一直径为6cm 的卷轴，已知纸的厚度为0.4mm ，试求这卷纸展开后大约有多少米？（精确到0.1米）
二、课堂练习
1、填空
（1）0.10元精确到 位；
（2）2.5万精确到 位
（3）500亿精确到 位
（4）5.310×104精确到 位
（5）27460按四舍五入法取近似值，精确到千位，并用科学计数法表示是 ；
（6）576300精确到万位的近似数是 ；
（7）现有22.5吨石灰，若每辆汽车最多只能装5吨，则至少需要 辆汽车才一次将石灰运完．
2、用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数：
（1）0.7528（精确到0.01）
（2）7.8132（精确到个位）
（3）47155（精确到百位）
3、近似数x ≈3.2 ，则x 的取值范围是 （ ）
A. 3.1<x <3.3
B. 3.15<x <3.25
C. 3.15≤
x <3.25 D. 3.15≤x <3.20 4、判断：
1. 由四舍五入得到的近似数0.70精确到百分位. ( )
2. 由四舍五入得到的近似数1万和近似数10000的精确度是相同的. ( )
3. 由四舍五入得到的近似数5.86万和0.15万的精确度是相同的. ( )
4. 由四舍五入得到的近似数1.0和近似数1.00的精确度不同. ( )
5. 由四舍五入得到的近似数0.6万，精确到千位. ( )
6. 38400精确到千位得到的近似数应写作38×104. ( )
5、近似数3.50所表示的准确值的取值范围是 （ ）
A 、3.495 3.505x ≤<
B 、3.40 3.60x ≤<
C 、3.495 3.605x ≤<
D 、3.500 3.60x ≤<
6、（选做）. 有一个长方体的集装箱，其体积为543m ，且箱体的长是宽的3倍，高是宽的2倍，求此集装箱的宽是多少？（ 精确到0.1m ）
7（选做）. 一个人每天平均要饮用大约0.00153m 的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约是403m ，如果用一个圆柱形容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（精确到0.01m ）。
