整数的可除性

主要内容:1．1.整除的概念1．2.带余数除法1．3.最大公因数的理论与性质1．4.最小公倍数的理论与性质1．5.辗转相除法1．6.素数与合数1．7.算术基本定理1．8.高斯函数[x]与{x}及其应用1.1.1 整除的定义与性质1.整除的定义定义设a，b∈Z，b≠ 0，若存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除（或b整除a），并称a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），记为b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不能被b整除，记为b|/a。

在整除的定义中应特别注意：（1）0不整除任何整数（即0不能作除数），但任何非零数整除0；在记号“b∣a”中蕴含着b≠ 0成立。

（2）显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数（平凡因子），a的除±1，±a外的约数称为非平凡约数（或真因数）。

（3）能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

若整数a ≠0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。

以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。

2.整除的性质定理1.1.1 设,,a b c ,m,n 是整数,下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c （整除的传递性）；(ⅱ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ，即a ∣b ⇔ |a |∣|b |;m ∣a , n ∣b ⇒ mn ∣ab ；(ⅲ) 若b ∣a ，且b ∣c ⇒ b ∣(ka+lc)（其中k , l 是任意的整数）；一般地，若m ∣a i ，i = 1, 2, , n ⇒ m ∣（q 1a 1 + q 2a 2 + + q n a n ）， 此处q i （i = 1, 2, , n ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇔ bc ∣ac ，此处c 是任意非零的整数；(ⅴ) 若b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；若b ∣a ，且|a | < |b | ⇒ a = 0；若b ∣a ，且a ∣b ，a >0, b>0, 则a =b.证明 (ⅰ)由整除定义及|a b ，|,b c 知: 存在两个整数12,k k 使得:12,b ak c bk ==, 因此12()c k k a =, 由于12k k 是整数, 故 |a c .(ⅱ) — (ⅳ)的结论类似可证. 证毕.注 为了证明“|b a ”，最为基本的手法是将a 分解为b 与某个整数之积，即a bc =，其中c 是整数.这样的分解, 常常通过某些代数式的分解因式公式中取特殊值而产生. 如：（Ⅰ）若n 是正整数，则1221()();n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++（Ⅱ）若n 是正奇数，则在上式中以（b -）代换b 得:1221()().n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+例1 证明十进制整数5001001个能被十进制整数1001整除.证明 由分解因式公式(Ⅱ),有500513171*********=+=+个（）33163153101[(10)10101],=+-+-+（）（）所以, 31011001+=能整除5001001个.证毕想一想:此题目能变形推广吗?推广后的一般形式是什么?例2 若n 是正奇数，则8∣（n 2 - 1）.证明 设n = 2k + 1，()k Z ∈，则 n 2 - 1= (2k + 1)2 - 1 = 4k (k + 1).由于k 和k + 1中必有一个是偶数，所以8∣（n 2 - 1）. 证毕注 由此得到一个重要且常用的结论：“任何奇数的平方与1的差都能被8整除”.诸如此类的还有，“任何整数的平方被4除的余数为0或1，被3除的余数为0或1; 任何整数的立方被9除的余数为 0，1或8”等，解题后可及时总结归纳, 并灵活运用这些性质.例3 设n 是奇数，则16∣(n 4 + 4n 2 + 11).解 因为 n 4 + 4n 2 + 11 = (n 2 - 1)(n 2 + 5) + 16.由于n 是奇数,有8∣(n 2 - 1)，且2∣(n 2 + 5),故16∣(n 2 - 1)(n 2 + 5).从而16∣(n 2 - 1)(n 2 + 5)+16,即16∣(n 4 + 4n 2 + 11).例4 设,m n 为正整数，且0m n >≥, 证明: 22(21)|(21)n m +-. 证明 由于0m n >≥, 故10m n --≥. 于是:112222(2)m n m n +--=在公式(Ⅰ)中，令 122n a +=, 1b =，则:11111111221222222222(2)(2111[(2)(1)2)2]n m n n m n m m n n n n +--+--+++------++=+=+-所以 122(21)|(21),n m +-- 又 1222(221(21),1)n n n ++-=-因此 122(21)|(21).n n ++-由定理1.1.1中 (ⅰ),即整除的传递性知：22(21)|(2).1n m+- 证毕． 注1 在此例中，直接证明“22(21)|(21)n m +-”不易入手，因此尝试选择适当的“中间量（1221n +-）”，使之满足定理1.1.1中 (ⅰ)的条件，再利用整除的传递性导出所要的结论.注2 在此例中，形如“221n n F =+()n N ∈”的数称为费马数.当0m n >≥时, 费马数满足: |(2)n m F F -，即存在整数t ，使得2m n F t F -=⋅.例5 设正整数n 的十进制表示为: 10(09,0,0)k i k n a a a a i k a =≤≤≤≤≠，且110()k k S n a a a a -=++++，证明：9|n 的充要条件是9|()S n .证明：由于101010k k n a a a =⨯++⨯+,110()k k S n a a a a -=++++，1()(101)(101)(101)k i k i n S n a a a ∴-=-+-++-, 对于所有的0,i k ≤≤ 有9|(101),i -由整除的性质知上式右端k 个加项中每一项都是9的倍数，由定理1.1.1之(ⅲ)知它们的和也被9整除，即9|(()),n S n - 从而 9|9|()n S n ⇔. 证毕.注 两个十进制正整数,其中一个被另一个正整数整除的条件，称为“整除的数字特征”.例5得出十进制正整数n 被9整除的数字特征是:“9整除n 的各位数字之和”.下面例题6得出十进制正整数n 被11整除的数字特征是:“11整除n 的各位数字的正负交错之和”.例6 设正整数n 的十进制表示为10(09,0)k i k n a a a a a =≤≤≠，n 的个位为起始数字的正负交错和 01()(1)k k T n a a a =-++-，证明：“11|n ”的充分必要条件是“11|()T n ”.证明 由于 101010k k n a a a =⨯++⨯+, 01()(1)k k T n a a a =-++-，1()(10(1))(10(1))(101)k k i i k i n T n a a a ∴-=--++--+++ 当i 为偶数时， 10(1)9999i i --= ，其中有偶数个9，显然它是11的倍数；当i 为奇数时，10(1)101(101)11()i i i s s s z --=+=+=∈， 它也是11的倍数,故总有11|(10(1)),(0).i i i k --≤≤ 即11|(())n T n -成立. 从而11|11|().n T n ⇔习题1.11．设n 是整数，则3|(1)(21)n n n ++. 2. 设正整数n 的十进制表示为10(09,0,0)k i k n a a a a i k a =≤≤≤≤≠，n 的个位为起始数字的正、负交错的和 01()(1)k k T n a a a =-++-，证明：“11|n ”的充分必要条件是“11|()T n ”.3. 若10个男孩和n 个女孩共买了282n n ++本书, 已知他们每人买的书本数量相同, 且女孩人数多于男孩人数, 问女孩人数是多少?4．证明一个整数a 若不能被2整除，也不能被3整除, 则223a +必能被24整除.5. 已知整数,,,m n p q 适合: (m - p ) ∣(mn + pq )，证明:(m - p )∣(mq + np ).对任意两个整数,(0)a b b ≠，a 未必能被b 整除. 为了能在整数范围内研究除法，引入整数的除法算法——带余数除法，它是初等数论证明中最重要、最基本、最常用的工具. 本节中，我们将介绍带余数除法及其简单应用. 我们约定, 以Z 表示所有整数的集合，N 表示所有正整数的集合. 除特别声明外，在涉及到带余数除法时总假定除数是正整数.1. 带余数除法定理1.2.1 (带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b>0，则存在惟一的一对整数q 和r ，使得:a = bq + r ，0 ≤ r <b . (2)若a = bq + r (0 ≤ r < b ), 则|b a 的充分必要条件是0r =.证明: 存在性作整数序列: ,3,2,,0,,2,3,b b b b b b ---则a 必在上述序列的某两项之间,即存在一个整数q ,使得(1)qb a q b ≤<+成立. 令a qb r -=,则,a qb r =+而0.r b ≤<1.1.2 带余数除法惟一性 假设11,q r 是满足(2) 的两个整数，即 111(0),a bq r r b =+≤< 则 11a bq r bq r =+=+于是 1111()||||b q q r r b q q r r -=-⇒-=-(3)由上式推出: 1||b r r -,由于 110,0||r r b r r b <<⇒≤-<因此必有1||0r r -=,即1r r =，代入式(3)得 1q q =，惟一性得证.若a bq r =+(0)r b ≤<，则 ||,b a b r ⇔ 又 0r b ≤<, 则 |0.b r r ⇔=故|0.b a r ⇔= 证毕 注:这个结论揭示了整除与带余数除法之间的联系,说明了整除问题可以化归为带余数除法问题来解决.定义：在式a = bq + r （0 ≤ r < b ）中，q 称为a 被b 除的不完全商，r 称为a 被b 除的余数, 也称为最小非负剩余.带余数除法是一个重要的工具，数论的许多基本性质都是建立在带余数除法基础之上的.例1 当 15,225b a ==时有 1701022515,175,;r q <===⨯+ 当 15,417b a ==时有 1241715,15,;2072712q r <<===⨯+ 当 15,81b a ==-时, 有 0(6)8115,15,9;96q r --<=+<=-=⨯且有 (6)8115,(5)5;60,q r =--<=⨯-=--+ 此处{0,1,2,,151}r ∉-，这时的余数r 不是最小非负剩余。

初等数论初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。

第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++Λ2211 勾股数 费尔马大定理。

习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。

第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。

第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念 孙子定理高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。

习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。

第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。

第六章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、 特征函数习题要求123p ：3。

➢ 第一章 整除 一、主要内容筛法、[x]和{x}的性质、n ！的标准分解式。

二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除 整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。

认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。

第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。

本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。

) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。

中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。

m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。

数字的整除性质数字的整除性质是数学中一个非常重要且基础的概念。

在数学中，我们经常会遇到数字之间的整除关系，通过研究数字的整除性质，我们可以得到许多有用的结论和推论。

本文将探讨数字的整除性质，讨论其定义、性质以及应用。

一、定义在整数集合中，对于任意的整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就说a能被b整除，或者b是a的因数，记作b|a。

其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。

如果a不能被b整除，我们就说a不能被b整除，记作b∤a。

二、性质1. 对于任意的整数a，a|a。

这个性质非常显然，任何一个整数都能整除它自身。

2. 对于任意的整数a，1|a。

同样地，因为1乘以任何一个整数都等于这个整数本身，所以1能整除任意一个整数。

3. 对于任意的整数a，a|0。

这个性质是因为任何一个整数乘以0都等于0，所以任意一个整数都能整除0。

4. 如果a|b且b|c，则a|c。

这个性质表明，如果一个整数能同时整除另外两个整数，那么它也能整除它们的和。

5. 如果a|b且a|c，则a|(bx + cy)，其中x和y是任意整数。

这个性质表示了如果一个整数能整除其他两个整数，那么它也能整除它们的线性组合。

三、应用1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是关于整除性质的两个重要概念。

最大公约数指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大的正整数，用gcd(a, b)表示。

最小公倍数指的是两个或多个整数中能够被它们整除的最小的正整数，用lcm(a, b)表示。

通过研究数字的整除性质，我们可以发现最大公约数和最小公倍数的计算方法，这对于解决实际问题非常有用。

2. 整数的因式分解通过对一个整数进行因式分解，我们可以将这个整数表示为若干个素数的乘积形式。

因式分解是数学中一个重要的内容，它不仅能够帮助我们理解整数的结构，还能够在解决一些数学问题时提供便利。

3. 同余定理同余定理是整除性质的一个重要应用，它在数论中有广泛的应用。

数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。

在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。

本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。

一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。

整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。

2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。

3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。

4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。

二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。

利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。

例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。

由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。

2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。

我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。

例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。

3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。

利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。

例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。

因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。

第一章整数的可除性第一节整除的概念带余数除法1．m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( )D.m+n=0A.m－n=3B.m+2n=5C.2m+n=122．若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( ) A.c|a B.c|bC.c|a－bD.c|a2－b23．已知a=－81,b=16,a被b除的带余除法表达式为a=bq+r，则( )A.q=－6 r=15B.q=－5 r=－1C.q=－4 r=－17D.q=－7 r=314．若2|4a-6b+c，则以下一定成立的是( ) A.2|a B.2|2a-3b C.2|2a+3cD.2|b37284961a能被2整除，同时又能被3整除，则a为( ) A.8 5．九位数B.3C.4D.66．若a|M,b|M，则一定有（B）A．ab|M B．[a,b]|M C．[a,b](a,b)|MD．(a+b)|M7．若n=3k+1,则n被6除的带余除法表达式是（）A．6l+1或6l+4 B．6l+5或6l+4 C．6l+2或6l+4 D．6l+3或6l+58．既能被3整除，又能被8整除的数是（）A．24572 B．48576 C．96558 D．125869．能由21和56的倍数之和表示的最小自然数是（）A．7 B．3 C．21D．2810．存在整数n，使得n2的个位数是（）A．3 B．6 C．7 D．811．下列数中能被7整除的是( )。

A. 88888 B. 888888 C. 888 D. 888812．m,n为整数，下列式子一定不成立的是（）A.4m-1=4n+1B.2m+1=4n+3C.2m+3=4n-1D.2m=4n13．若2|8a-4b+3c ，则下列不一定成立的是（ ）A.2|3a+2c B.2|2a+cC.2|3c-2bD.2|6a-2b+c14．若b|a,c|b,则一定有（ ）A.a|c B.a|b C.b|a+cD.c|a+b15.已知a 3689218既能被3整除，又能被5整除，则a 的值是（ ）A.0 B.2C.5D.616.任意10个连续整数中，能被3整除的至多有 个。

数字的整除性与分析我们生活在一个数字的世界里，数字无处不在，它们贯穿着我们的日常生活。

在数学领域中，我们早已熟悉了数字的运算规则和性质。

其中一个重要的性质就是整除性，即一个数能够被另一个数整除。

本文将深入探讨数字的整除性及其分析。

一、整除性的定义和性质在数学中，如果一个整数 a 能够被另一个整数 b 整除，我们称 a 是b 的倍数，b 是 a 的约数。

符号“a | b”表示 a 可以整除 b。

例如，2 | 6，表示 2 可以整除 6。

在整除性中有一些重要的性质：1. 对于任意的整数 a，a 可以整除 0，即 a | 0。

2. 任何整数 a 都可以整除它本身，即 a | a。

3. 一个数 a 能够整除另一个数 b，同时 b 能够整除另一个数 c，则 a 能够整除 c，即如果 a | b 且 b | c，则 a | c。

4. 一个数 a 能够整除另一个数 b，同时 a 能够整除另一个数 c，则 a 能够整除 b 和 c 的线性组合，即如果 a | b 且 a | c，则对于任意的整数m、n，都有 a | (mb + nc)。

二、整除性的应用1. 素数判断：一个大于 1 的整数如果除了 1 和它本身之外没有其他约数，那么它就是素数。

通过判断某一个数是否能够被小于它的数整除，可以快速判断该数是否是素数。

例如，为了判断一个数 23 是否是素数，我们只需要验证 23 能否被小于 23 的素数整除。

2. 最大公约数与最小公倍数：对于两个整数 a 和 b，它们的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称 GCD）表示能够同时整除 a 和 b 的最大正整数；最小公倍数（Least Common Multiple，简称 LCM）表示同时是 a 和 b 的倍数的最小正整数。

通过整除性的概念，我们可以快速求解两个数的最大公约数和最小公倍数，进而解决应用问题。

3. 整除关系的推导：通过整除性及其性质，我们可以进行一系列整除关系的推导。