高一下学期期末考试数学试题人教A版

银川一中2015/2016学年度(下)高一期末考试数 学 试 卷命题人：尹秀香一、选择题（每小题5分，共60分） 1．计算()sin 600-o 的值是（）A ．12B ．2C ．2-D ．12-2．若0tan <α，且ααcos sin >，则α在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设向量(2,4)a =r 与向量(,6)b x =r共线，则实数x =（） A ．2B ．3C ．4D ．64．函数2sin cos 44+-=x x y 的最小周期是（） A ．πB ．π2C ．2πD ．4π 5．为了得到函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数3sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变6．在ABC ∆中,已知2AB =,1BC =,AC =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( )A ．-4B ．-2C ．0D ．47．若)0(137cos sin πααα<<=+，则=αtan () A ．31-B ．512 C ．512-D ．318．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则)42sin(πθ+的值为（） A ．1027-B ．1027 C ．102-D ．102 9．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减函数的是（） A ．sin 2y x =B ．2cos y x =C ．cos2xy =D ．()tan y x =- 10．函数)23cos(x y --=π的单调递增区间是（）A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B.)(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 11．定义运算bc ad d bca -=.若71cos =α，1433cos sin cos sin =ββαα，20παβ<<<，则β=()A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π12．设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<,且其图象关于直线0x =对称,则( )A ．()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2π上为增函数ABCDOB ．()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2π上为减函数C ．()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4π上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4π上为减函数二、填空题（每题5分，共20分）13．已知r a 与r b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量r a +r b 与向量k r a -rb 垂直，则k =_______.14．如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为 .15．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ,设AD=,a AB b =u u u r r u u u r r ,若2AB DC =u u u r u u u r ,则AO =u u u r.16．已知1tan()42πα+=,则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 . 三、解答题(共70分) 17．（本小题满分10分） 求值：（1）οοοοοο18sin 45sin 27cos 18sin 45cos 27sin -+（2）οοοο80sin 2)]10tan 31(10sin 50sin 2[2++18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知向量22,(sin ,cos ),(0,).2m n x x x π=∈u r r （1）若m n ⊥u r r，求tan x 的值； （2）若m n u r r 与的夹角为3π，求x 的值.19．（本小题满分12分）已知函数)0,0,0( ) sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f的部分图象，如图所示．（1）求函数解析式； （2）若方程()f x m =在]1213,12[ππ-有两个不同 的实根，求m 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数)0(23cos 3cos sin )(2>++-⋅=a b a x a x x a x f （1）写出函数的单调递减区间； （2）设]2,0[π∈x ，)(x f 的最小值是2-，最大值是3，求实数b a ,的值.21．（本小题满分12分）设关于x 的函数22221f (x )cos x a cos x (a )=--+的最小值为g(a ). （1）试用a 写出g(a )的表达式； （2）试求12g(a )=时a 的值，并求此时f (x )的最大值.22.（本小题满分12分）已知向量)2,2cos (x a -=，)2sin 32,2(x b -=，函数4)(-⋅=b a x f . （1）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值并求出相应x 的值；（2）若将)(x f 图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的21倍，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位得到)(x g 图象，求)(x g 的最小正周期和对称中心； （3）若1)(-=αf ，)2,4(ππα∈，求α2sin 的值.高一第二学期期末考试数学试卷——参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBBABACDDDDB二、 解答题（每小题5分，共20分）13.114.6π15.2133a b +r r 16.56-17.（本小题10分）解：（1）原式sin(4518)cos 45sin18sin 45cos18tan 451cos(4518)sin 45sin18cos 45cos18-+====--o o o o o oo o o o o o o（2）18.（本小题12分） 解：（1）由已知得22cos 0,tan 122x x x -==得 （2）由已知得||1,||1,m n ==u r r221sin ||||cos 2232m n x x m n π∴⋅=-==u r r u r r 15sin(),(0,),,,422444612x x x x x πππππππ∴-=∈∴-<<∴-==又 19.（本小题12分）解:(1)由图可知A=1，T 52=,22632T πππππωω-=∴===得由2225()sin()1,033333f ππϕϕπππϕπ=+=-<<<+<得 235+==326πϕπϕπ∴，，5()sin(2)6f x x π=+ (2)由（1）及图知，5135()[,][,],]12361236f x ππππππ-在及上递减，在[上递增。

人教a版数学高一期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = x^3答案：D2. 已知函数f(x) = 2x + 1，求f(-1)的值是（）A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B3. 函数y = 2x - 3的图象与x轴交点的横坐标是（）A. 3/2B. -3/2C. 2/3D. -2/3答案：B4. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的值是（）A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}答案：B5. 已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求第5项的值是（）A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A6. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a与向量b的点积是（）A. 10B. 8C. 14D. 11答案：B7. 已知复数z = 2 + 3i，求z的共轭复数是（）A. 2 - 3iB. -2 + 3iC. -2 - 3iD. 2 + 3i答案：A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值是（）A. -1B. 3C. 1D. 0答案：A9. 已知函数y = 1/x，求其在x = 2处的导数是（）A. 1/2B. -1/2C. 2D. -2答案：B10. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求其对称轴是（）A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. x = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x) = ______。

答案：3x^2 - 32. 已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，求第4项的值是______。

答案：163. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (2, 1)，求向量a与向量b的叉积是 ______。

册亨县民族中学2013-2014学年第二学期期末考试试卷 高一数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷主要内容：必修2，必修5。

第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式x x x 2522>--的解集是( )A ．{}51|≥-≤x x x 或B ．{}51|>-<x x x 或C ．{}51|<<-x xD ．{}51|≤≤-x x2．若b a >，R c ∈则下列关系一定成立的是( )A ．22bc ac >B ．bc ac >C ．c b c a +>+D ．b a 11<3．右面的三视图所表示的几何体是( ) A ．圆锥 B ．棱柱 C ．五棱锥 D ．六棱锥4．不等式062<--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的( ) A.左上方 B. 右上方 C. 左下方 D. 右下方 5. 直线l 过点（2，1）且与直线072=+-y x 平行，则直线l 的方程为( )A. 02=-y xB. 032=+-y xC. 072=--y xD.正视图侧视图俯视图 (第3题图)02=-y x6. 方程064222=++-+y x y x 表示的曲线是( )A. 圆B. 点C. 不存在D. 无法确定7．在空间直角坐标系中，已知点()4,1,5-P ，则点P 关于Z 轴的对称点为( )A. ()4,1,5--'PB. ()4,1,5---'PC. ()4,1,5-'PD. ()4,1,5--'P8．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、所对的边分别是2、3、4，则三角形中最大角的余弦值为( )A. 78B.1116C. 14D. 14-9．数列{}n a 的通项公式为492-=n a n ，当该数列的前n 项和n S 达到最小时，n 等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．2710． 一个直角三角形的三边长分别为3cm 、4cm 、5cm ，则它绕斜边旋转一周形成的几何体的体积等于( )A ．3584cm π B ． 3548cm π C ． 3528cm π D ． 3524cm π 11．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是( )A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π12．如图，在长方体中，2,321===CC AD AB ,则二面角C BD C --1的大小为( ) A ． 90° B ． 60° C ． 45° D ． 30°第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2013-2014学年广东省清远市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}2．各项都为正数的等比数列{a n}中，a1=2，a3=8，则公比q的值为（）A．2B．3C．4D．53．不等式x2﹣3x+2＞0的解集为（）A、（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B、（﹣∞，1）∪（2，+∞）C、（﹣2，﹣1）D、（1,2）4．按如图的程序框图运行后，输出的S应为（）A．7B．15 C．26 D．405．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛A．a3＞b3B．C．0＜b﹣a＜1 D．a2＞b2＜7．将下列不同进位制下的数转化为十进制，这些数中最小的数是（）A．（20）7B．（30）5C．（23）6D．（31）48．二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．9．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：x，且△ABC为锐角三角形，则x的取值范围是（）A．B．＜x＜5 C．2＜x＜D．＜x＜5二、填空题（每小题5分，共20分）11．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为_________．12．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_________人．13．若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是_________．14．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，按上述规律，则a6=_________，a n=_________．三、解答题（共80分）15．（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂车间工人数（单位：十人）与药品产量（单位：万盒）的数据如表所示：工人数：x（单位：十人） 1 2 3 4药品产量：y（单位：万盒）3 4 5 6（1）请画出如表数据的散点图；（2）参考公式，根据表格提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=x+；（参考数据i2=30，x i y i=50）（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测该制药厂车间工人数为45时，药品产量是多少？16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知向量=（2cos，sin），=（cos，2sin），•=﹣1．（1）求角A的值；（2）若a=2，b=2，求c的值．17．（14分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．18．（14分）等差数列{a n}，a1=25，a6=15，数列{b n}的前n项和为S n=2b n﹣2．（n∈N*）（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．19．（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．（14分）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=+log2的图象上的任意两点．（1）当x1+x2=1时，求f（x1）+f（x2）的值；（2）设S n=f（）+f（）+…+f（）+f（），其中n∈N*，求S n；（3）对于（2）中S n，已知a n=（）2，其中n∈N*，设T n为数列{a n}的前n项的和，求证：≤T n＜．。

安阳一中2013—2014学年第二学期期末考试高一数学试题卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A.43-B.34- C.43 D.342、已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，下列结论中不正确的是（ ） A ．a ⊥b B ．a ∥b a b = a b a b +=-3、等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．1924、在等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S等于 （ ）A ．297B ．144C ．99D ． 66 5、在ABC ∆中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．D ．2 6、在ABC ∆中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．36D ．28 7、下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x=+，(0,2)x π∈C ．2y =D ．2y =-8、若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）A ．3B ．3-C ．54-xD ．x 45- 9、要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象 ( )A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 10、已知向量)sin ,(cos θθ=a , )1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,011、设各项均为正数的等差数列n a n 的前}{项和为,1,>m S n 若0211=-++-m m m a a a 且m S m 则,3812=-等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．912、如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ,2AB =,3AC =,BC =则⋅AO BC 等于( )A.32B.52C. 2D.3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13、设,x y R +∈且111x y+=,则x y +的最小值为________. 14、若实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 则y x z +=2的最大值是_________15、已知数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列1{}1n a +为等差数列，则5a = _________ 16、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山 顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒已知山高100BC m =，则山高MN =________m .三、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤．．．） 17、（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求B cos 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求C A sin sin 的值．18、（本小题满分12分）已知17cos ,sin(),(0,),(,)3922ππβαβαβπ=-+=∈∈． （Ⅰ）求cos 2β的值； （Ⅱ）求sin α的值．19、（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。

高一下学期期末考试数学试题（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共60分） 1．cos540°= （ ）A ．0B ．1C ．-1D ． 1/22．平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0a =，1b =，则a b += ( )A. 9B.C. 3D. 73．已知角θ的始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ）A. 45-B. 45C. 35D. 35- 4．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且1233,,a a a --成等差数列，若1a ＝1，则4s ＝( )A ．－20B ．0C ．7D ．405．若x ，y 满足约束条件03434x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最大值是( )A ． 4B ．43C ．1D ．2 6． 函数()()sin f x A x ωϕ=+（00,0A ωϕ＞，＞＜＜π)的图象如图所示，则f(0)值为 （ ）A ．1B ．0 CD7．设1e 与2e 是不共线向量，2121,a ke e b e e =+=+，若a b ∥且a b ≠，则实数k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1±8．已知函数f （x ）﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x 的取值范围为（ ）A.{x|k π+3π≤x ≤k π+π，k ∈Z} B.{x|2k π+3π≤x ≤2k π+π，k ∈Z} C.{x|k π+3π≤x ≤k π+56π，k ∈Z} D.{x|2k π+6π≤x ≤2k π+56π，k ∈Z}9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，n s ＝210，4n s -＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．1810．在ABC ∆中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ）A ．B A > B ．B A <C ．A B ≥D ．A 、B 的大小关系不能确定 11．△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形 12．已知，则的最小值是( )A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（每题5分，共20分）13．若34αβ+=π，则()()1tan 1tan αβ--= __。

2020-2021高一下学期期末考试考前预测卷02试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．在复平面内，已知复数11z i =-，则其共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【分析】 根据复数运算和共轭复数定义求得z ，由此可得对应点坐标，从而确定结果.【详解】 ()()111111122i z i i i i +===+--+，1122z i ∴=-， z ∴对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D. 2．在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ）A ．至少摸出1个白球B ．至少摸出1个红球C ．摸出2个白球D ．摸出2个白球或摸出2个红球【答案】C【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项．【详解】对于A ，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于B ，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于C ，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；对于D ，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件. 故选：C ．3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（ ）A ．70，75B ．70，50C ．75，1.04D ．65，2.35【答案】B【分析】由数据可知平均分不变，结合方差公式，写出更正前和更正后的方差表达式，即可求出更正后的方差.【详解】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，由题意得， s 2＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，而更正前有： 75＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]， 化简整理得s 2＝50.故选:B.4．已知空间三条直线a ，b ，c ．若a b a c ⊥⊥，，则（ ）A ．b 与c 平行B ．b 与c 异面C ．b 与c 相交D ．b 与c 平行、异面、相交都有可能【答案】D【分析】利用正方体模型进行分析判断【详解】解：如图在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB AD AB AA ⊥⊥，此时AD 与1AA 相交； 当,AB AD AB BC ⊥⊥时， AD ∥BC ；当1,AB AD AB CC ⊥⊥时，AD 与1CC 异面， 所以由a b a c ⊥⊥，，可得b 与c 平行、异面、相交都有可能，故选：D5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c bB ac +-=，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】C【分析】将()222tan a c b B ac +-=，变形为222cos 2s 2in =ac a c b B B +-求解. 【详解】因为()222tan a c b B ac +-=， 所以222co =s cos sin 22a c b B a B Bc +-=， 即()cos 2sin 10B B -=，因为cos 0B ≠， 所以1sin 2B =， 因为()0,B π∈， 所以6B π=或56π， 故选：C6．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且PA PB PC ==，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是（ ）A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PAE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC【答案】D【分析】 由//DF BC 判断A ，由,AE PE 与BC 垂直，证明线面垂直，再结合平行线判断B ，根据面面垂直的判定定理判断C ，根据正棱锥的性质判断D ．【详解】 P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且PA PB PC ==，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，//DF BC ∴，DF ⊂平面PDF ，BC ⊂/平面PDF ，//BC ∴平面PDF ，故A 正确； PA PB PC ==，E 是BC 中点，PE BC ∴⊥，AE BC ⊥，PE AE E =，,PE AE ⊂平面PAE ，BC ∴⊥平面PAE ，//DF BC ，DF ⊥∴平面PAE ，故B 正确；BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故C 正确；设AEDF O =，连结PO ，O 不是等边三角形ABC 的重心，PO ∴与平面ABC 不垂直， ∴平面PDF 与平面ABC 不垂直，故D 错误．故选：D ．7．已知向量,a b 满足5a =，6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ） A ．3135- B ．1935- C ．1735 D ．1935【答案】D【分析】 利用数量积的运算律可求得a b +，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】 ()222225127a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=， ()225619cos ,5735a ab a a b a a b a a b a a b ⋅++⋅-∴<+>====⨯⋅+⋅+.故选：D.【点睛】 结论点睛：（1）求夹角的大小：若,a b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos a ba b θ⋅=⋅(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题；（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角． 8．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B CD -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，1DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．2【答案】C【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由1DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∥P AC ∈．正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∥1DQ ==，∥Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上，显然M 关于直线AC 的对称点为E ，11PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-==，当且仅当,,,E P Q D共线时取等号，∥所求最小值为1．故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．（多选）已知复数z a =+（a ∈R ）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2则下列结论正确的是（ ）A ．z 3＝8B ．zC ．z 的共轭复数为1+D ．z 2＝4 【答案】AB【分析】由已知求解a ，进一步求出z 2与z 3的值，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】解：∥复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，∥a ＜0，又|z |2，得a ＝﹣1（a ＜0），∥1z =-+，则()2212z =-+=--，()()322118z z z =⋅=-+-=．∥A 正确，B 正确，故选：AB ．10．下列说法正确的是（ ）A ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C ．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】AB【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.【详解】对于A ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A 正确对于B ，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B 正确．对于C ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错．故选：AB ．【点睛】本题考查频率与概率的关系、概率的定义，注意两者之间的关系是概率是频率的稳定值，本题属于基础题．11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7【答案】ACD【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则OA ==，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点. 同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而2<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故1AE ==，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ，同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面.由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确.因为在直角三角1BA C 中，1A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误. 由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥，因为EF EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒，故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ABC ，的面积为S ，若22a S =，则（ ） A ．sin sin 2(cos cos )b Cc B b C c B +=+ B ．2a bc的最大值为1 C ．c b b c+的最大值为5 D ．2222tan 2b c a A a+-= 【答案】ABC【分析】 由面积公式可得2sin bc A a =，再由正弦定理化简即可判断A ；由2sin a A bc =根据sin 1A ≤可判断B ；利用余弦定理可得22sin 2cos b c bc A bc A +=+，进而得出sin 2cos c b A A b c+=+可判断C ；由已知结合余弦定理即可判断D.【详解】 211sin 22S bc A a ==，即2sin bc A a =， 由正弦定理可得2sin sin sin sin B C A A =，sin 0A ≠，()sin sin sin sin sin cos cos sin B C A B C B C B C ∴==+=+，即()sin sin sin sin 2sin cos cos sin B C B C B C B C +=+， 由正弦定理可得sin sin 2(cos cos )b C c B b C c B +=+，故A 正确；2sin bc A a =，2sin a A bc=，()0,A π∈,则当2A π=时，2a bc取得最大值为1，故B 正确；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，22sin 2cos b c bc A bc A ∴+=+，()22sin 2csin 2c o o s s bc A bc Ac b c b A A A b c bc bcϕ+∴+==+=+=+，其中tan 2ϕ=，则可得c bb c+C 正确；由2sin bc A a =，2222cos a b c bc A =+-联立可得22222tan a A b c a=+-，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，解题的关键是利用面积公式和正弦定理将已知化简得出2sin bc A a =.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知向量||3,||2,|2|213a b a b ==+=，则,a b 的夹角为_________． 【答案】3π 【分析】设a ，b 的夹角为θ，则22244213a b a b a b +=++⋅=，利用数量积的定义，将已知代入即可得到答案. 【详解】设a ，b 的夹角为θ，则22244213a b a b a b +=++⋅=，又3a =，2b ==所以1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，故3πθ=．故答案为：3π14．已知复数1z ，2z 满足221z z =，121z z =+，则对于任意的t ∈R ，12tz z +的最小值是________．【分析】先设出2z a bi =+，根据题意得到21z ==，()121z z =⋅，代入12tz z +化简得到21z t z =+12tz z +的最小值. 【详解】解：设2z a bi =+， 则2z a bi =-， 又()()22221z z a bi a bi a b =+⋅-=+=，21z ∴==，121z z =+， ()121z z ∴=⋅，12tz z ∴+()221t z z =+⋅+()211t z =++⋅()11t =+===t R ∈，∴当14t =-时，1min 2tz z ==+15．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．【答案】【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得． 【详解】由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2APA π'∠=，则4AA '==故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．16．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =a 、b 、c 、S 为三角形的三边和面积）表示.在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若3a =，且22cos cos 3c b C c B -=，则ABC 面积的最大值为___________.【分析】由条件22cos cos 3c b C c B -=结合余弦定理可得出223b c =，然后利用二次函数的基本性质结合公式S =ABC 面积的最大值. 【详解】22cos cos 3c b C c B -=，则22222222223cos 3cos cos cos 22a b c a c b c b C c B ab C ac B ab ac b c ab ac+-+-=-=-=⋅-⋅=-，可得223b c =，所以，S ===12==. 当且仅当3c =时，等号成立.因此，ABC .【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，求： （1）2人都未解决的概率； （2）问题得到解决的概率. 【答案】（1）13；（2）23【分析】（1）由两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率乘积，即可求出2人都未解决的概率；（2）根据问题能得到解决的对立事件为两人都未解决问题，再根据对立事件概率和等于1，即可求解.【详解】解：（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为：11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）问题能得到解决，即至少有1人能解决问题， 其对立事件为两人都未解决问题，∴问题得到解决的概率为：12133-=. 18．已知复数(1)(21)()z m m i m R =-++∈ （1）若z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及z 的最小值【答案】（1）1；（2）1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，||min z = 【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【详解】 解：（1）(1)(21)()z m m i m R =-++∈为纯虚数，10m ∴-=且210m +≠ 1m ∴=（2）z 在复平面内的对应点为(1,21))m m -+ 由题意：10210m m -<⎧⎨+>⎩，∴112m -<<．即实数m 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭．而||z ===当11(,1)52m =-∈-时，||5min z =19．已知(1,0),(2,1)a b ==．（1）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？（2）若23,AB a b BC a mb =+=+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【答案】（1）12k =-；（2）32. 【分析】（1）由题意，求得(2,1)ka b k -=--，2(5,2)a b +=，根据ka b -与2a b +共线，列出方程，即可求解；（2）因为A ，B ，C 三点共线，得到AB BC λ=，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）由(1,0),(2,1)a b ==，可得(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+=，因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(1)50k ---⨯=， 即2450k -+=，解得12k =-. （2）因为A ，B ，C 三点共线，所以,AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，所以23m λλ=⎧⎨=⎩，解得32m =.20．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，2PA PC ==，PB PD =.（∈）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ； （∈）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值.【答案】（∥）证明见解析；（∥. 【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，可证得PO AC ⊥，PO BD ⊥,从而得证；（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连OP .PA PC =，PD PB =，且O 是AC 和BD 的中点，PO AC ∴⊥，PO BD ⊥,AC 和BD 为平面ABCD 内的两条相交直线， PO ∴⊥平面ABCD .（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据题意得2,PA PC AC AB AD PO OD =======所以112MN AD ==，NC =PD =所以，MC =故222cos 2MN MC NC NMC MN MC +-∠==⋅21．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，_________． （1）求角C 的大小；（2）若1,tan b c B -==，求ABC 的面积S ．在①cos c C R =（R 为ABC 外接圆的半径），②sin 2cos cos sin 2B C A Bb a-=，③2224S a b c =+-（S 为ABC 的面积），这三个条件中选一个，补充在横线上，并加以解答．【答案】（1）4C π；（2）4+【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及二倍角正弦公式即可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.（2）根据同角三角函数的基本关系求出sin 3B =，再根据正弦定理可得34c b =，求出,b c ，利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）选①，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 则cos cos 2sin cos 12sin cc C R c C C C C=⇒=⇒=sin 21C ⇒=， 又02C π<<， 所以22C π=，解得4Cπ.选②，sin 2cos cos sin 2B C A Bb a-= 2sin cos cos cos sin 2sin sin B B C A BB A-⇒=sin cos cos sin cos A B A B C ⇒+= ()sin cos A B C ⇒+=sin cos C C ⇒= tan 1C ⇒=，因为0C π<<，所以4C π.选③，2224S a b c =+-14sin 2cos 2ab C ab C ⇒⨯=sin cos C C ⇒=tan 1C ⇒=，因为0C π<<，所以4C π.（2）tan B =sin cos BB⇒=， 又22sin cos 1B B +=，解得sin 3B =，1cos 3B =，由（1）4Cπ，由正弦定理sin sin b cB C=，=，整理可得34c b =，又1b c -=，解得4,3b c ==，14sin sin()sin cos cos sin 32326A B C B C B C =+=+=+⨯=114sin 124226ABCSbc A +==⨯⨯=+ 22．如图，棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，过AB 的截面与上底面交于PQ ，且点P 在棱11A D 上，点Q 在棱11C B 上，且1AB =，AC =2BC =.（1）求证：11//PQ A B ；（2）若二面角1A C D C --，求侧棱1BB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）由线面平行的性质定理可推出//AB PQ ，再由平行的传递性可证得11//PQ A B （2）先找出二面角1A C D C --的平面角CAP ∠，表示出tan CAP ∠，求出CP ，再设1CC x =，建立方程求出1CC ，进而求出1BB .【详解】（1）在棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB 面1111D C B A ，AB面ABPQ ， 面1111A B C D 面ABPQ PQ =，由线面平行的性质定理有//AB PQ ，又11//AB A B ，故11//PQ A B ；（2）证明：在底面ABCD 中，1AB =，AC =2BC =.222AB AC BC +=， AB AC ∴⊥，AC CD ∴⊥又因为侧棱1AA ⊥底面ABCD ，则1CC ⊥底面ABCDAC ⊂面11ABB A ，1CC AC ∴⊥又1=CC CD C ，AC ∴⊥面11CDD C过点C 作1CS C D ⊥于S ，连接AS ，则CSA ∠是二面角1A C D C --的平面角．os c CSA ∠=22cos sin 1CSA CSA ∠+∠=，则in s CSA ∠=an t CSA ∠=2tan AC CS CSCSA ==∠=，CS ∴= 设1CC x =，则1111122CC D SC D CS CD CC =⋅⋅=⋅．CS x =，CS ∴==故12CC =，故12BB =．【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．。

2023-2024学年全国高一下数学期末试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1. 已知，则 A.B.C.D.2. 甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则 A.甲的中位数和平均数都比乙高B.甲的中位数和平均数都比乙低C.甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低D.甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高3. 把一个体积为 ，表面涂有红色的正方体木块锯成个体积为的小正方体.从这个小正方体中随机取出块，则这块至少有面涂有红色的概率是( )A.cosα=13sin(2α+)=(π2)−7979±42–√9−89()64c m 3641c m 364111387B.C.D. 4. 已知且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.5. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：频率本根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间6. 设，是两条不同的直线， ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则.其中正确命题的序号是( )A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③781858||=1,||=a →b →3–√⊥a →b →a →−b →a →π33π42π35π64.56%10.510%6.5 4.58.5m n αβγm ⊥αn//αm ⊥n α//ββ//γm ⊥αm ⊥γm//αn//αm//n7. 如图，在平面直角坐标系中，扇形的圆心角为，半径为，是上一点，其横坐标为，则＝（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）8. 已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由个和个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值．则下列说法正确的是( )A.有个不同的值B.若，则与无关C.若，则与无关D.若，则9. 已知，则以下关系成立的有( )A.B.C.xOy AOB 3π41P AB ^22–√3sin ∠BOP 2–√33–√34+2–√63+2–√6a →b →x 1→x 2→x 3→x 4→x 5→y 1→y 2→y 3→y 4→y 5→2a →3b →S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅x 1→y 1→x 2→y 2→x 3→y 3→x 4→y 4→x 5→y 5→S min S S 5⊥a →b →S min ||a →//a →b →S min ||b →||>4||b →a →>0S min z =+i 123–√2=−1z 3=−z 2z¯¯¯=1z 12−z +1=02D.10. 从一批产品中取出三件产品，设“三件产品不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 A.与互斥且为对立事件B.与互斥且为对立事件C.与存在有包含关系D.与不是对立事件11. 在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成．如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为分、“较强”记为分、“很强”记为分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是( )A.甲、乙的五项能力指标的均值相同B.甲、乙的五项能力指标的方差相同C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D.如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力12. 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )A.侧面积之比为B.侧面积之比为C.体积之比为D.体积之比为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）−z +1=0z 2A =B =C =()A B B C A C A C 4561:21:41:81:271:2613. 函数的对称轴方程是________.14. 如图，四棱锥中，底面为四边形．其中为正三角形，又．设三棱锥，三棱锥的体积分别是，，三棱锥，三棱锥的外接球的表面积分别是，．对于以下结论：①；②＝；③；④；⑤＝；⑥．其中正确命题的序号为________．15. 已知样本，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数和方差分别是________.16. 在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱是一个“堑堵”，其中＝＝＝，点是的中点，则四棱锥的外接球的表面积为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ） 17. 如图，，是单位圆上的动点，是圆与轴正半轴的交点，设．（1）当点的坐标为时，求的值．（2）若，且当点，在圆上沿逆时针方向移动时，总有，试求的取值范围． 18. 某教师对所教两个班名学生网课期间参加体育活动的情况调查后整理得到如下列表（已知这名学生男女比例恰为）参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计补全列联表，并判断是否有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系？”按分层抽样在未参加体育锻炼的学生中抽取人，再从这人中随机选取人接受采访，求抽到男同学和女同学各人的概率．附：.y =cos2x P −ABCD ABCD △ACD ⋅=⋅=3⋅DA →DB →DB →DC →DB →AB →P −ABD P −ACD V 1V 2P −ABD P −ACD S 1S 2<V 1V 2V 1V 2>V 1V 2<S 1S 2S 1S 2>S 1S 2x 1x 2x 3x 4x 551−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 5ABC −A 1B 1C 1AB BC B B 12M A 1C 1M −CB B 1C 1A B O C x ∠COA =αA (，)3545cos2α1+sin2α0≤α≤π3A B ∠AOB =π3BC 90901:1352590(1)99.5%(2)7721=，n =a +b +c +d K 2n (ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P (K 2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828ABCD −A B C D ABCD A B C B19. 如图，在四棱柱中，底面为菱形，＝．（1）证明：平面平面；（2）若＝，是等边三角形，求二面角的余弦值． 20. 已知．（1）求向量的夹角；（2）求． 21. 某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评．“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出的值；（2）若已从年龄较小的第，组中用分层抽样的方法抽取人，现要再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率． 22. 如图，在四棱锥中，＝＝＝，＝，＝，，，分别为，的中点，．（1）求证：平面；（2）求直线与底面所成角的大小ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A B 1C B 1BD ⊥D 1B 1ABCD ∠DAB 60∘△D B B 1−BD −A 1C 1||=6,||=4,(−2)⋅(+3)=−72a b a b a b ,a b θ|+3|a b 2002001[15,25)2[25,35)3[35,45)4[45,55)5[55,65)a 1255322A −DBCE AD BD AE CE =5–√BC 4DE 2DE//BC O H DE AB AO ⊥CE DH //ACE DH DBCE参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】结合诱导公式及二倍角余弦公式进行化简即可求解．【解答】因为，则＝．2.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项．【解答】解：甲的平均数为：，中位数为，乙的平均数为：，中位数为，所以甲的中位数和平均数都比乙低.故选.3.【答案】cosα=13sin(2α+)=cos2απ22α−1=−cos 279=2925+28+29+31+32529=3028+29+30+31+32530BB【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由题意，先弄清至少有一面涂红漆的小正方体个数以及没有颜色的小正方体的个数，从中随机取出一块，根据古典概型及其概率计算公式解之即可.【解答】解：由题意可知，正方体的边长为，没有颜色的小正方体有个，至少有一面涂有红色的小正方体有个，从个正方体中随机取出块，这一块至少有一面有红色的概率是.故选.4.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】设与的夹角为，因为，所以，所以，故，所以又，所以，故选．【解答】C 5.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】=4cm 64−−√3856641P ==566478B a →−b →a →θ⊥a →b →⋅=0a →b →⋅(−)=⋅−=−1a →b →a →a →b →a →2=+−2⋅=1+3=4(−)b →a →2a →2b →2a →b →−=2∣∣∣b →a →∣∣∣cosθ===−a ⋅(b −a)||⋅a|a →−11×212θ∈[0,π]θ=2π3C此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】利用空间线面平行以及垂直判定定理，依次判断，即可求出选项.【解答】解：由，是两条不同直线，，，是三个不同平面，得在①中，，，则由线面垂直的性质定理得，故①正确；在②中，若，，，则由面面平行性质定理、线面垂直的判定定理得，故②正确；在③中，若，，则与相交、平行或异面，故③错误，综上所述，正确命题的序号是①②.故选.7.【答案】C【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】由题意求得点坐标，根据三角函数的定义写出、，再计算的值．【解答】由题意知，点，m n αβγm ⊥αn//αm ⊥n α//ββ//γm ⊥αm ⊥γm//αn//αm n A P sin ∠P OA cos ∠P OA sin ∠BOP P (,)22–√313∠P OA =1根据三角函数的定义知，，，所以＝＝．二、 多选题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）8.【答案】B,D【考点】平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积【解析】写出的所有可能组合，计算它们的值，结合选项进行判断．【解答】解：共有三种组合方式，分别记作，，，则，．，故错误；当时，，故正确；当时，或，故错误；当时，，，∴，.又，∴，故正确．故选．9.【答案】A,B,D sin ∠P OA =13cos ∠P OA =22–√3sin ∠BOP sin(−∠P OA)3π4sin cos ∠P OA −cos sin ∠P OA 3π43π4=×−(−)×2–√222–√32–√213=4+2–√6S S S 1S 2S 3=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 1a →a →a →a →b →b →b →b →b →b →=2+3a →2b →2=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 2a →b →a →b →b →b →b →a →b →a →=4⋅+a →b →b →2=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 3a →a →a →b →b →a →b →b →b →b →=+2⋅+2a →2a →b →b →2A ⊥a →b →=S min =S 2b →2B //a →b →⋅=||||a →b →a →b →−||||a →b →C ||>4||b →a →−4<⋅<4a →2a →b →a →2>16b →2a →2>0S 2>0S 3>0S 1>0S min D BD复数的运算共轭复数【解析】根据复数的运算得到，在对选项逐一判定即可得解.【解答】解：因为，所以,，，故正确；，因为，所以，故正确；， ，故错误；， ，故正确．故选.10.【答案】B,C,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案．【解答】解：为"三件产品全不是次品"，指的是三件产品都是正品，为"三件产品全是次品"，为"三件产品不全是次品"，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，由此知：与是互斥事件，但不对立；与是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；与是互斥事件，也是对立事件．故选．11.=−+i z 2123–√2z =+i 123–√2==+i +=−+i z 2(+i)123–√22143–√234i 2123–√2A =(−+i)(+i)=−=−1z 3123–√2123–√2(i)3–√2214A B =−i z ¯¯¯123–√2=−z 2z ¯¯¯B C 1z =1+i 123√2=−i 123√2(+i)(−i)123√2123√2=−i 123–√2C D −z +1=−+i −(+i)+1=0z 2123–√2123–√2D ABD A B C A B A C B C BCDA,B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】【解答】解：甲的五项能力指标为，，，，，平均值为，乙的五项能力指标为，，，，，平均值为，则正确；由于均值相同，各项指标也相同（只是顺序不同），所以方差也相同，则正确；从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，则不正确；从影响力、控制力、感召力考虑，甲、乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，则不正确．故选．12.【答案】B,D【考点】棱锥的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积截面及其作法【解析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果．【解答】解：由题意可知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，则小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，65454=4.86+5+4+5+4564545=4.86+4+5+4+55A B 143133C D AB 1:31:31:91:27所以小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】余弦函数的对称性余弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：，令，则，∴的对称轴方程为.故答案为：.14.【答案】①⑤【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积命题的真假判断与应用【解析】利用已知条件，推出，然后推出，说明三棱锥的外接球相同，然后推出结果．【解答】不妨设＝，又为正三角形，由，得，即有，所以＝，1:81:26BD x =(k ∈Z)kπ2y =cos2x 2x =kπ,k ∈Z x =,k ∈Z kπ2y =cos2x x =(k ∈Z)kπ2x =(k ∈Z)kπ2DB ⊥AC <V 1V 2P −ACD |AD |2△ACD ⋅=⋅=3⋅DA →DB →DB →DC →DB →AB →⋅−⋅=⋅(−)=0DA →DB →DB →DC →DB →DA →DC →DB ⊥AC ∠ADB 30∘=3⋅→→=3⋅(−)→→DB |=4–√得，化简可以得，∴＝，易得，故，由于＝＝，所以与的外接圆相同（四点共圆），所以三棱锥，三棱锥的外接球相同，所以＝．15.【答案】，【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数的变化规律可得出数据，，，，的平均数是；先根据数据，，，，的方差为，求出数据，，，，的方差是．【解答】解：数据，，，，的平均数是，数据，，，，的平均数是.数据，，，，的方差为，数据，，，，的方差是．故答案为：，．16.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】将直三棱柱中的四棱锥单独如图所示，四棱锥是外接球的球心在过底面正方形的中心做底面的垂线上，设球心为，做交于点，可得＝，连接，可得＝＝，在两个三角形中求出的值，进而求出外接球的表面积．【解答】解：连接 ，取的中点，连接，，为中点， ，且 ，⋅=3⋅DB →DC →DB →AB →⋅=3⋅(−)DB →DC →DB →DB →DA →|DB |=43–√3∠DAB 90∘S <△ABD S △ACD <V 1V 2∠ADB ∠ACD 60∘△ABD △ACD P −ABD P −ACD S 1S 231−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 55−2x 1x 2x 3x 4x 51−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 51∵x 1x 2x 3x 4x 55∴−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 55−2=3∵x 1x 2x 3x 4x 51∴−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 5×1=11231π3O ON //P E ME N NE OP OC OM OC OM R R C B 1B 1C E DE BE ∵D AC ∴DE =A 12B 1DE//A B 1A B BD ∠BDE则异面线 与所成的角即为 ，， ，， ， , , ， 为等边三角形， .故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：（1）∵点的坐标为，∴，，∴，，∴（2）∵（，），，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【考点】三角函数【解析】（1）根据三角形函数线以及点的坐标，求出，，再根据二倍角公式，分别求出，，代入计算即可；（2）先表示出点的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，的取值范围．【解答】解：（1）∵点的坐标为，A B 1BD ∠BDE ∵∠ABC =90∘AB =BC =B =2B 1∴AC =22–√BD =2–√A =C =2B 1B 12–√∴DE =A =12B 12–√BE =C =12B 12–√∴△BDE ∴∠BDE =π3π3A (，)354545sinα=45cosα=35cos2α=2α−1=−cos 2725sin2α=2sinαcosα=2425==−cos2α1+sin2α−7251+242517B cos(α+)π3sin(α+)π3C(1,0)|BC =[cos(α+)−1+(α+)=2−2cos(α+)|2π3]2sin 2π3π30≤α≤π3≤α+≤π3π32π3−≤cos(α+)≤12π3121≤2−2cos(α+)≤3π31≤|BC |≤3–√A sinα=45cosα=35cos2αsin2αB BC A (，)354545α=4α=3∴，，∴，，∴（2）∵（，），，∴，∵，∴，∴，∴，∴．18.【答案】解：补全列联表如下：参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计所以，故有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系”．因为参加未体育锻炼的男同学有人，女同学有人，按分层抽样从中抽取人，则男同学应抽取人，记为，女同学应抽取人，记为，再从这人中随机抽取人共有种情况，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽到男同学和女同学各人有种情况，即，故所求的概率为．【考点】独立性检验列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析sinα=45cosα=35cos2α=2α−1=−cos 2725sin2α=2sinαcosα=2425==−cos2α1+sin2α−7251+242517B cos(α+)π3sin(α+)π3C(1,0)|BC =[cos(α+)−1+(α+)=2−2cos(α+)|2π3]2sin 2π3π30≤α≤π3≤α+≤π3π32π3−≤cos(α+)≤12π3121≤2−2cos(α+)≤3π31≤|BC |≤3–√(1)351045202545553590=K 290(35×25−10×20)245×45×55×35=≈10.519>7.87910×27211×9×799.5%(2)102572x,y 5a ，b ，c ，d ，e 7221xy xa xb xc xd xe ya yb yc yd ye ab ac ad ae bc bd be cd ce de 110xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye 1021【解答】解：补全列联表如下：参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计所以，故有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系”．因为参加未体育锻炼的男同学有人，女同学有人，按分层抽样从中抽取人，则男同学应抽取人，记为，女同学应抽取人，记为，再从这人中随机抽取人共有种情况，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽到男同学和女同学各人有种情况，即，故所求的概率为．19.【答案】证明：如图，设与相交于点，连接，又面为菱形，故，为中点，又＝，故，又在平面内，在平面内，且＝，∴平面，又在平面内，∴平面平面；由是等边三角形，可得，故平面，∴，，两两互相垂直，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设＝，则，则，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角的余弦值为．(1)351045202545553590=K 290(35×25−10×20)245×45×55×35=≈10.519>7.87910×27211×9×799.5%(2)102572x,y 5a ，b ，c ，d ，e 7221xy xa xb xc xd xe ya yb yc yd ye ab ac ad ae bc bd be cd ce de 110xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye 1021AC BD O O B 1ABCD AC ⊥BD O AC A B 1C B 1O ⊥AC B 1BD BD D 1B 1O B 1BD D 1B 1BD ∩O B 1O AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD BD ⊥D 1B 1ABCD △D B B 1O ⊥BD B 1O ⊥B 1ABCD O B 1AC BD O AB 2AO =,O =3–√B 13–√A(,0,0),B(0,1,0),(0,0,),D(0,−1,0),(,−1,),(−,−1,)3–√B 13–√A 13–√3–√C 13–√3–√BD C 1=(x,y,z)n⋅=2y =0n BD →⋅=−x −y +z =0n O C 1→3–√3–√=(1,0,1)n BD A 1=(a,b,c)m⋅=2b =0m BD →⋅=a −b +c =0m O A 1→3–√3–√=(−1,0,1)m cos <,>==0m n ⋅m n ||||m n−BD −A 1C 10【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）首先由，可得平面，而在平面内，由面面垂直的判定即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式计算得出答案．【解答】证明：如图，设与相交于点，连接，又面为菱形，故，为中点，又＝，故，又在平面内，在平面内，且＝，∴平面，又在平面内，∴平面平面；由是等边三角形，可得，故平面，∴，，两两互相垂直，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设＝，则，则，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角的余弦值为．AC ⊥BD O ⊥AC B 1AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD AC BD O O B 1ABCD AC ⊥BD O AC A B 1C B 1O ⊥AC B 1BD BD D 1B 1O B 1BD D 1B 1BD ∩O B 1O AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD BD ⊥D 1B 1ABCD △D B B 1O ⊥BD B 1O ⊥B 1ABCD O B 1AC BD O AB 2AO =,O =3–√B 13–√A(,0,0),B(0,1,0),(0,0,),D(0,−1,0),(,−1,),(−,−1,)3–√B 13–√A 13–√3–√C 13–√3–√BD C 1=(x,y,z)n⋅=2y =0n BD →⋅=−x −y +z =0n O C 1→3–√3–√=(1,0,1)n BD A 1=(a,b,c)m⋅=2b =0m BD →⋅=a −b +c =0m O A 1→3–√3–√=(−1,0,1)m cos <,>==0m n ⋅m n ||||m n−BD −A 1C 1020.【答案】由＝，＝，＝，所以，所以＝；所以，又，所以向量的夹角为；＝，所以．【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）由平面向量的数量积求和的值；（2）根据平面向量的数量积求模长．【解答】由＝，＝，＝，所以，所以＝；所以，又，所以向量的夹角为；＝，所以．21.【答案】由＝，解得＝．第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法共抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人，分别记为，，，，；设从人中随机抽取人，则有，，，，，，，，，共个基本事件；其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件；所以第组抽到人的概率．||a 6||b 4(−2)⋅(+3)a b a b −72+⋅−6=−72a 2a b b 2⋅=−72−36+6×16a b −12cosθ===−⋅a b ||×||a b −126×412θ∈[0,π],a b θ=2π3=+6⋅+9=36+6×(−12)+9×16(+3)a b 2a 2a b b 2108|+3|==6a b 108−−−√3–√cosθθ|+3|a b ||a 6||b 4(−2)⋅(+3)a b a b −72+⋅−6=−72a 2a b b 2⋅=−72−36+6×16a b −12cosθ===−⋅a b ||×||a b −126×412θ∈[0,π],a b θ=2π3=+6⋅+9=36+6×(−12)+9×16(+3)a b 2a 2a b b 2108|+3|==6a b 108−−−√3–√10×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)1a 0.0351220301251223a 1a 2b 1b 2b 353(,,)a 1a 2b 1(,,)a 1a 2b 2(,,)a 1a 2b 3(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3(,,)b 1b 2b 31022(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3622P ==61035【考点】频率分布直方图【解析】（1）由频率分布直方图能求出．（2）第，组抽取的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法抽取人，第，组抽取的人数分别为人，人，分别记为，，，，．从人中随机抽取人，利用列举法能求出第组抽到人的概率．【解答】由＝，解得＝．第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法共抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人，分别记为，，，，；设从人中随机抽取人，则有，，，，，，，，，共个基本事件；其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件；所以第组抽到人的概率．22.【答案】证明：取线段的中点，连接，．因为是的中位线，所以．又因为＝，，所以＝，．所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．连接，取的中点，连接，．a 1220301251223a 1a 2b 1b 2b 3532210×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)1a 0.0351220301251223a 1a 2b 1b 2b 353(,,)a 1a 2b 1(,,)a 1a 2b 2(,,)a 1a 2b 3(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3(,,)b 1b 2b 31022(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3622P ==61035AC F EF HF HF △ABC HF =BC =2,HF ∥BC 12DE 2DE//BC HF DE HF //DE DEFH EF //HD EF ⊂ACE DH ⊂ACE DH //ACE OB OB G HG DG易知，易知是的中位线，所以且．因为＝，为中点，，又，所以．因为，，所以．又＝，，平面，所以底面．所以是与底面所成的角．易求等腰梯形的高为所以＝．在中，由．得＝．故直线与底面所成角的大小为．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行【解析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出是与底面所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．【解答】证明：取线段的中点，连接，．因为是的中位线，所以．又因为＝，，所以＝，．OD =DE =1,AO ===212A −O D 2D 2−−−−−−−−−−√−()5–√212−−−−−−−−−√HG △AOB HG//AO HG =AO =112AD AE O DE AO ⊥DE HG//AO HG ⊥DE AO ⊥CE HG//AO HG ⊥CE DE ∩CE E DE CE ⊂DBCE HG ⊥DBCE ∠HDG DH DBCE DBCE ==2C −E 2()BC −DE 22−−−−−−−−−−−−−−−−−√−()5–√2()4−222−−−−−−−−−−−−−−√DG 1Rt △HDG tan ∠HDG ===1HG DG 11∠HDG 45∘DH DBCE 45∘DEFH ∠HDG DH DBCE AC F EF HF HF △ABC HF =BC =2,HF ∥BC 12DE 2DE//BC HF DE HF //DE DEFH所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．连接，取的中点，连接，．易知，易知是的中位线，所以且．因为＝，为中点，，又，所以．因为，，所以．又＝，，平面，所以底面．所以是与底面所成的角．易求等腰梯形的高为所以＝．在中，由．得＝．故直线与底面所成角的大小为．DEFH EF //HD EF ⊂ACE DH ⊂ACE DH //ACE OB OB G HG DG OD =DE =1,AO ===212A −O D 2D 2−−−−−−−−−−√−()5–√212−−−−−−−−−√HG △AOB HG//AO HG =AO =112AD AE O DE AO ⊥DE HG//AO HG ⊥DE AO ⊥CE HG//AO HG ⊥CE DE ∩CE E DE CE ⊂DBCE HG ⊥DBCE ∠HDG DH DBCE DBCE ==2C −E 2()BC −DE 22−−−−−−−−−−−−−−−−−√−()5–√2()4−222−−−−−−−−−−−−−−√DG 1Rt △HDG tan ∠HDG ===1HG DG 11∠HDG 45∘DH DBCE 45∘。