下载文档原格式
圆锥曲线的共同性质（文）： ：【学习目标】1.了解圆锥曲线的统一定义；2.掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法. 【要点梳理】要点一：圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． 要点诠释：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=． 要点二：关于椭圆的第二定义 焦点与准线的对应关系对于方程)0(12222>>=+b a b y a x ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为c a x 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为c a x 2=；对于方程)0(12222>>=+b a b x a y ，上焦点),0(1c F 对应的准线ca y 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为ca y 2-=。
椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
要点三：关于双曲线的第二定义 焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程c a x 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程ca x 2=。
双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
高二数学选修1-1 圆锥曲线及轨迹-苏教版一、复习的目标、重点1、通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，掌握它的定义。
2、通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线、抛物线的定义。
3、理解圆锥曲线的统一定义4、理解曲线与方程的关系，掌握求轨迹方程的一般方法和步骤。
二、知识结构1、圆锥曲线的定义，并利用定义解决有关问题。
2、求轨迹方程并判断是什么曲线 三、基础训练1、设定点F 1(0,－3)，F 2(0,3)，动点P(x ,y )满足条件|PF 1|+|PF 2|=a （a >0），则动点P 的轨迹是 椭圆或线段或不存在2、已知A 、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，则炮弹爆炸点的所在曲线为 双曲线的一支3、如果M(x ,y )在运动过程中，总满足关系式10)3()3(2222=-++++y x y x ，则M 的轨迹是 椭圆4、若动圆与定圆(x －2)2+y 2=1外切，又与直线x +1=0相切，则动圆圆心的轨迹是 抛物线5、“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程y =x 2-”的 必要不充分 条件6、若P(2,－3)在曲线x 2－ay 2=1上，则a 的值为31四、典例选讲例1、若一个动点P(x ,y )到两个定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a (0≤a ≤2)，试探求点P 的轨迹。
解：当a =0时，|PF 1－PF 2|=0，从而PF 1=PF 2，所以点P 的轨迹为直线：x =0 当a =2时，|PF 1－PF 2|=2=F 1F 2，点P 的轨迹为两条射线：y =0（|x |≥1）当0<a <2时，|PF 1－PF 2|=a <F 1F 2，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，a 为实轴长的双曲线。
例2、已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：(x －3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹。
2.1 圆锥曲线疑难解答◆“曲线的方程”、“方程的曲线”两个概念有什么区别和联系？在“曲线的方程”这一概念中，主要的词是“方程”，前面三个字“曲线的”，是用来限制“方程”的含义，说明这类方程不能是随意的方程（例如不能是x＋y＋z＝0这样的平面方程），而只能是表示“曲线”的方程。
因此，“曲线的方程”这个概念反映的是图形所满足的数量关系。
反过来，“方程的曲线”这一概念中，主要的词是“曲线”，关面三个字“方程的”，用来限制“功曲线”的含义，说明这类曲线只能是有“方程”的曲线（有的曲线没有方程，例如对某一天的温度变化曲线，通常列不出方程）。
因此“方程的曲线”这个概念反映的是数量关系所表示的图形。
但这两个不同概念有着紧密的联系，就是“点在曲线上”等价于“点的坐标适合于此曲线的方程”，即曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集之间能够一一对立。
◆学习教科书第52页和第53页上所列求曲线方程的五个步骤时，要注意些什么？第一，“建立适当的直角坐标系”，这里，“适当”是指坐标系的位置。
到目前为止，应掌握以下两点：如果将坐标系的原点选在曲线上，那么曲线方程就会不含常数项；如果曲线有对称轴，并且选对称轴为x(y)轴，那么曲线方程就会不含y(x)的一次项。
第二，这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即解析化坐标化文字语言中的几何条件→数学符号语言中的等式→数学符号语言中含动点坐标等价变形x，y的代数方程F(x，y)＝0 → 简化了的x，y的代数方程f(x，y)＝0可此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程。
”第三，求曲线方程时，这五个步骤不一定完全要实施，对于简单的问题，化简过程是等价变形，步骤（2），（5）往往可以省略。
◆在求轨迹方程并画出轨迹曲线的简图时，要注意些什么？要注意防止遗漏和多余。
防止遗漏的方法是先画一张草图，将分析进行得尽可能仔细一些，免得把容易发现的细节漏掉。
圆锥曲线方程及性质一．课标要求：1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
二．命题走向本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲，预测07年：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．要点精讲1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
江苏省射阳县盘湾中学高中数学圆锥曲线的统一定义教案苏
教版选修1-1
教学目标：了解圆锥曲线的统一定义；掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法
教学重点、难点：圆锥曲线的统一定义。
教学过程：
一、问题情境：
情境：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线L（F不在L上）
的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线。
问题：（1）当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？
（2）已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线l：x=
2
a
c的距离的
比是常数c
a（a＞c＞0），求点P的轨迹。
二、学生活动：
探究：
三、建构数学：
1、圆锥曲线统一定义：
2、（1）离心率：（2）焦点：（3）准线：四、数学运用：
例1、椭圆
22
22
x y
1
4b b
+=
上一点P 到右准线的距离是23b，求该点到椭圆左焦点
的距离。
例2、已知双曲线
22
x y
1
916
-=
的右焦点为F，点A（9，2），试在这个双曲线上求
一点M，使|MA|+3
5|MF|的值最小，并求最小值。
练习：书P56 1-6
1、若椭圆的焦距是8，焦点到相应的准线的距离为9
4，则椭圆的离心率为_______
五、回顾反思：
知识：思想方法：
作业布置：
书P51 习题2（1）（3）（5）、3,4,6。
圆锥曲线一、考纲要求1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的一些实际应用.3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.二、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x,y)在曲线C上f(x,y)=0；点P0(x,y)不在曲线C上f(x,y)≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x,y)是C1，C2的交点方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.圆的方程(1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-,-);当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 与半径r 的大小关系来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线4.平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则(1) 或 (2)公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.例1如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，求y/x的最大值.解：此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷. 设＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为.，解得k＝(-舍去).(二)充要条件说明充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.例2直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交解：把“直线与平面平行”作为甲命题，在四个选项中选出一个是甲命题的充要条件的命题。
因为直线与平面平行的定义是直线与平面无交点，而A、B、D三个选项都不能保证此条件，只有C能保证，故选C(三)圆的标准方程和一般方程说明求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.例3圆A：(x+1)2+(y+1)2=1，圆B：(x-1)2+(y-1)2=4，则有两圆的公切线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解：要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 .∵A圆圆心是C1(-1,-1)，B圆圆心是C2(1，1)，∴｜C1C2｜＝2，r1＝1，r2＝2.r 1+r2＞｜C1C2｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法说明天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.例4椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，椭圆的离心率e=,椭圆各点到直线x-y++=0的最短距离为1，求此椭圆的方程。
解因为e==，所以a=-2b.设 M(2bcosθ，bsinθ)为椭圆上任一点，则M到直线x-y++＝0的距离为d=.而d的最小值为1。
＝１，则b＝1，故所求椭圆方程为+y2＝1.(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线说明根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.例5已知双曲线＝1(＜θ＜π)过点A(4，4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A的焦半径.解：因为双曲线过点A(4，4)，所以＝1，tg2+tgθ-２＝0 ，tgθ＝-2，(tgθ=1舍去，因为＜θ＜π)∴双曲线方程为-＝1.从而a=2,b=4,c=2.(1)实轴长2a=4，虚轴长2b＝8.(2)离心率e＝＝.(3)顶点为(0，2)，(0，-2).(4)焦点F1(0，-2)，F2(0，2).｜AF1｜＝＝2(+1)，｜AF2｜＝＝2(-1).(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法说明这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax2+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.例6如图，过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程。
解 (1)设点M的坐标为(m,2),点N的坐标为(n,-2)，由已知，OM2+ON2＝MN2，则 m2+4m+n2+4n=(m-n)2+(2+2)2，mn＝16。
直线MN:当y=0时，x=＝4所以 MN与x轴交点的坐标为(4，0)。
(2)又因设弦MN的中点为P(x,y),MJy2＝m+n-2=2x-8故弦MN的中点轨迹为y2=2x-8(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程说明坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一条曲线在不同的坐标中有不同的方程.例7方程x2+4y2+6x-8y+1=0的对称中心是( )A.(-3，-1)B.(-3，1)C.(3，-1)D.(3，1)解：将原方程配方后化为=1，∴对称中心是(-3，1).故选B.例8求椭圆9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率及准线方程.解：将原方程配方后化成=1.令.得到新方程为＝1.∴a=3,b=2,c==.即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e＝＝.在新坐标系中，焦点为(0，)，(0，-)，准线为y′＝±＝±由平移公式，得在原坐标系中焦点为：(2，-3)、(2，--3)，准线为：y=±-3.(八)综合例题赏析例9设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解“甲是乙的必要条件”，即“甲乙”，“丙是乙的充分不必要条件”，即“丙乙，且丙乙”。
因丙乙甲即丙是甲的充分不必要条件故应选A.例10已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是( )A.5B.4C.3D.2解：r=2，圆心(1，0)，a＞0，∴a＝３应选C.例11设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距离最小的圆的方程解：设所求圆的圆心P(a,b)半径r由题设知，P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦长为r,有r2=2b2由“圆P截y轴所得弦长为2”有r2=a2+1∴2b2-a2=1P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=,得5d2=｜a-2b｜2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)2b2-a2=1当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1从而d取得最小值由此有解得或又由r2=2b2,得r2=2.∴所求圆方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2例12已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l∶x-2y=0的距离为，求该圆的方程解设已知圆的圆心P(a,b)，半径为r，由题设已知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角是90°，从而圆P截x轴所得弦长为r，又点P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜圆P 截y轴所得弦长为2。
r2=a2+1 (1)由已知有，点P到直线x-2y=0的距离为，即d= (2)由圆P截y轴的弦长为2，易知｜b｜=1 (3)(2)、(3)联立，可得或代入(1 )又得r=2于是所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2或(x-1)2+(y-1)2＝2例13设椭圆=1 (a＞b＞0) 的右焦点为F1，右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .解：例14设直线2x-y-=0与y轴的交点为P，点P把圆(x+1)2+y2＝25的直径分为两段，则其长度之比是( )A.或B. 或C. 或D. 或解：如右图圆(x+1)2+y2＝25的圆心坐标是(-1,0)，半径r=5。
