历年高考数学真题精选18 平面向量的线性运算

第1页（共 10页）A ．2B ．3C ．D ．5D ，E ，F 分别是 ABC 的边 AB ， BC ， CA 的中点，则 （uuur uuur B ． BD CF uuur DF历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算 （学生版）D ．既不平行也不垂直uuur uuur uuur uuur足|CD| 1，则|OA OB OD |的取值范围是 (uuur uuur uuuurAB AC mAM 成立，则 m1．（ 2015?新课标Ⅰ）设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD，则 （ )uuur 1 uuur 4 uuuruuur 1 uuur 4 uuurA ． AD AB AC B ． AD ABAC3 333uuur 4 uuur 1 uuuruuur 4 uuur 1 uuurC ． AD AB 1 AC D ． ADAB 1AC3 3332．（ 2008?湖南）设 D 、E 、F 分别是 ABC 的三边 BC 、CA 、 AB 上的点，且 uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuurCE 2EA ，AF 2FB ，则AD BE CF 与 BC()．选择题（共 13 小题）A ．反向平行B ．同向平行uuur uuuruuur uuur DC 2 BD ，3．（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中， O 为原点， A( 1,0) ， B(0, 3) ， C(3,0) ，动点 D 满C ．互相垂直 A ．[4， 6]B ． [ 19 1， 19 1]C ．[2 3 ， 2 7]D ． [ 7 1， 7 1] 4 ．（ 2011 ? 上 海 ） 设 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是 平 面 上 给 定 的4 个不 同点 ， 则使uuuuruuuur MA MA uuu ur MAuuuur rMA 4 0 成立的点 M 的个数为 A ．0B ．1C ．D ．45 ．（ 2010 ?湖 北） 已 知 ABC 和 点 uuur M 满足 MA uuurMBuuu ur MC．若存 在 实数 m 使得6．（ 2009?湖南）如图，A ． AD DF CFuuur uuur u uur r uuur uuur uuur C ． AD CE CF 0 D ． BD BE FC则O uu C ur等于 ( )uuur uuuruuur uu 2 uuur 1 uuur1 u uu2 u uurA ． 2OA OB B ． OA 2OBC ． OA OBD ．OAOB3 3 338．（ 2006?全国卷Ⅰ） 设平面向量 a r 1 r、 a 2 、 a r 3 的和 a r 1 a r 2 a r 3 0 ．如果向量 r b 1、 r b2 r 、 b3 ，满足| b r i | 2|a r i |， 且 a r i 顺时针旋转 30 后与 b r i 同向，其中 i 1 ， 2， 3，则（)r r r rrr rrr r r rA ． b 1 b 2 b 3 0B ． b 1 b 2b 3C ． b 1 b 2b 3 0D ． b 1 b 2 b 3ur uur ur uur 9．（ 2016 ?上海）设单位向量 e 1 与 e 2 既不平行也不垂直，对非零向量a r x 1e 1 y 1e 2 、①若 x 1 y 2 x 2 y 1 0 ，则 a r / /b ；r②若 x 1x 2 y 1y 2 0，则 a b ．关于以上两个结论，正确的判断是 （ ）A ．8B ．4C ．2D ．111．（ 2018?新课标Ⅰ）在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， uuurE 为 AD 的中点，则 EB （)7．（2008?辽宁）已知 O ，A ，B 是平面上的三个点， uuur uuur直线AB 上有一点 C ，满足 2AC CB 0， x 2 e 1uur y 2 e 2 有结A ．① 成立， ② 不成立B ． ① 不成立， ②成立C ．① 成立， ② 成立D ．① 不成立， ②不成立10．（ 2010?四 川）设 点 M 是线 段 BC 的 中点， 点 A 在直线 BC 外，uuur 2BC 16 ，uuur uuur uuur | AB AC | | AB uuur uuuur AC|，则|AM | (A ． AB4AC 4B ． 12．（2011?全国）点D，E，uuur uuur uuur设 AFABAC ，则（ 4 2A ． （ ， )B ． 7 71 uuur 3 uuur 3 uuur 1AB ACC ． AB 4 4 4 4 uuur F 是 ABC 内三点，满足 AD ，)()14 41 (，)C ． ( ， )7777uuur13 uuurACD ABAC4 4uuur uuur uuur uuu r uuur DE ， BE EF ， CF FD ，2 4D（， )7 73 uuur 1 uuur则x ， y ．uuur uuur uuur16．（2013?四川）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与BD 交于点 O ， AB AD AO ，则．17．（2013?北京）向量 a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示， 若c ra rb r （ , R ） ，13．（2010?全国大纲版Ⅱ） A BC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分uuur r uuur r ACB ，若CB a ，CA b ，1r2r2r1r A ． a b B ． a b 3333二．填空题（共 4 小题）14．（2017?江苏） 如图， 在同一个平面内，C ． 3r 4rD ． 4r 3ra ba b5555uuur uuu r uuuruu ur 向量 OB ， OC 的模分别1， 1， 2 ， OAuuur uuur uuur与 OC 的夹角为 ，且 tan 7 ， OB 与 OC 的夹角为 45．若 uuurOCuuur mOA uuurnOB (m,n R) ，uuuur15．（2015?北京）在 ABC 中，点 M ，N 满足uuuur 2MC ， uuu rBN uuur NC，若 uuuur uuur MN xAB uuur yAC ， 2 r br则m历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算 （教师版）一．选择题（共 13 小题） uuur uuur1．（ 2015?新课标Ⅰ）设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则 （ ）uuur uuur足 | CD | 1，则 | OA uuur OB uuurOD | 的取值范围是 （)A ．[4， 6]B．[ 19 1 ， 19 1] C ．[2 3 ， 2 7]D ． [ 7 1，7 1]答案】 DB(0, 3)， C(3,0) 3．（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， ，动点 D 满A( 1,0) ， 可设 D (3 cos， sin )([0 ，2))．u u A u u r C 4 3 u u A 1 u r B u u A u u r B 1 3 u u A4 u u r D u r D u u A uuAu uu r A D u uu ru r B uuA 1u uu r A C 4uuur 解析】 由uuuruuur AB BDuuu r AB 4 uuur BC 3uuu rAB 4 uuur (AC 3uuurAB) 1 uuur 4 uuurAB AC 33故选： A ．2．（2008?湖南） 设 D 、E 、 F 分别是 ABC 的三边 BC 、CA 、 AB 上的点， uuur 且 DC uuur2 BD ， uuur uuur uuur uuurCE 2EA ， AF 2FB ，则 uuur uuur AD BE uuur uuur CF 与 BC( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案】 A解析】 由定比分点的向量式得：uuu r AD uuur uuur AC 2 AB 2 uuuruuur 1 uuur 2 uuur CF 1 CA 2CB ，以上三式相加得3uu ur AD12 uuur uuur BECF1uuurAC 3 1 uuur BC，2 uuurAB ， 3 uu ur BE 1 uuur BC 3 2 uuurBA ， 3 故选： A ． uuur解析】 Q 动点 D 满足|CD| 1， C又 A( 1,0) ， B(0, 3) ，uuur uuur uuur OA OB OD (2 cos , 3 sin ）．uuur uuur uuur |OA OB OD | (2cos ) 2 ( 3 sin ) 28 4cos 2 3sin8 2 7 sin(），u uu r A B所以满足条件的 M 只有一个，故选： B ．uuur uuur uuuur5 ．( 2010 ?湖 北)已 知 ABC 和点 M 满 足 MA MB MC uuur uuur uuuurAB AC mAM 成立，则 m ( ) A ．2B ．3C ． 4D ． 5【答案】 B【解析】 由u M u A ur u M uu B r u M uu C ur 0r 知，点 M 为 ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，uuuur 2 uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur 则 AM AD (AB AC) (AB AC) ，3 3 2 3uuur uuur uuuur所以有 AB AC 3AM ，故 m 3 ，故选： B ．6．( 2009?湖南)如图， D ，E ，F 分别是 ABC 的边 AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )其中sin Q 1剟sin( ) 1 ， ( 7 1)2 8 2 7剟8 2 7 sin( ) 8 2 7 ( 7 1)2 ，uuur uuur | OA OB uuurOD | 的取值范围是 [ 7 1, 7 1]． uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuur或， ，将其起点平移到 D 点，由其与 CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即 uuur uuur uuur |OA OB OD | 的取值范围是 [ 7 1, 7 1] ．故选： D ．是 平面 上 给定 的 4 个不 同点 ， 则使 uuuur MA 1 uuuur MA 2 uuuur MA 3 uuuur MA 4 r 0 成立的点 M 的个数为 （ )A ．0B． 1C ．2D ． 4 答案】Buuuur uuuur uuuur uuuur r解析】 根据所给的四个向量的和个零向量MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 0r，uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r uuuur uuur uuuur uuuur uuuur则 OA 1 OM OA 2 OM OA 3 OM OA 4 OM 0 ，即 4OM OA 1 OA 2 OA 3 OA 4 ， uuuur 1 uuur uuuur uuuur uuuur 所以 OM (OA 1 OA 2 OA 3 OA 4 )．4当A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是平面上给定的 4 个不同点确定以后，则 uuuurOM 也是确定的，0r ．若存在实数 m 使 得cos4 ．（ 2011 ? 上 海 ） 设 A 1 ， A ，A 3 ， A 4uuuruuur uuur r uuur uuur uuur rA．AD DF CF 0 B．BD CF DF 0uuur uuur uuur r uuur uuur uuurC AD CE CF 0 D BD BE FC答案】A解析】由图可知AD DB ，CF FA ED在DBE 中，DB BE ED 0 ，即AD CF BE 0 ．故选： A．uuur uuur7．（2008?辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC CB 0 ，uuur则OC 等于（)uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1uuur1uuur2 uuurA．2OA OB B．OA 2OB C．OA OB D．OA OB3 3 3 3 【答案】 Auuur 【解析】Q 依题uuurOBuuurBCuuurOBuuur2ACuuurOBuuur2(OCuuurOA)．uuurOCuuur2OAuuurOB．故选：A8．（2006?全国卷Ⅰ）设平面向量a r1、a r2、a r3的和a r1 a r2 a r3 0 ．如果向量b1、b2、b3，满足| b r i | 2|a r i|，且a r i顺时针旋转30 后与b r i同向，其中i 1，2，3，则（）A ．b1 b2 b3 0B ．b1 b2 b3 0 C．b1 b2 b3 0 D ．b1 b2 b3 0【答案】 D【解析】向量a r1、a r2、a r3的和a r1a r2a r30，向量a r1、a r2、a r3顺时针旋转30后与b1、b2、r r r r r rb3 同向，且|b i | 2|a i |，b1 b2 b3 0 ，故选：D．ur uur r ur uur 9．（2016?上海）设单位向量e1 与e2 既不平行也不垂直，对非零向量a r x1e1 y1e2 、b x2 e1 y2 e2 有结论：r①若x1y2 x2y1 0，则a r //b；②若x1x2 y1y2 0，则a r 关于以上两个结论，正确的判断是（）A ．① 成立，② 不成立B．① 不成立，②成立平行也不垂直， x 1x 2 ， y 1 y 2 ，满足 x 1y 2x 2y 1 0 ，r r因此 a / /b ．②若x 1x 2 y 1y 2 0 ，r r ur uur uruurur uur ur uur则 agb (x 1e 1 y 1 e 2 )g( x 2 e 1y 2 e 2 ) x 1x 2 y 1y 2 (x 2y 1x 1y 2 )e 1 ge 2 (x 2y 1 x 1 y 2 )e 1 ge 2 ，无法得到定正确．故选： A ．答案】答案】 A答案】 BC ．① 成立， ②成立 答案】 AD ．① 不成立， ②不成立解析】 ① 假设存在实数 u r 11则rbra得使y 2 e 2 ） ，Q 向量 e 1 与e 2既不r g r10 ．（ 2010?四川设 点 M 是线 段 BC 的 中点， 点 A 在直线 BC 外uuu r 2 BC16uuur uuur uuur | AB AC | | AB uuur uuuur AC|，则|AM | ( A ．8B ．4C ．2D ．1解析】 uuur2 由 BC 16 uuur ，得 | BC| 4， uuur Q | AB uuur uuur uuur AC | | AB AC | uuur uuur |BC | 4，而 | AB uuur uuuurAC| 2|AM |uuuur | AM | 2故选：11．（ 2018?新课标Ⅰ）ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，uuu r EB3 uuur A ．3 AB 1 uuur AC 41uuur B ． AB3 uuur 3AC 43uuurC ． 3 ABuu ur ACD ． 1uuurAB 4uuu r AC解析】 ABC 中， AD 为BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，uu ur EB uuu rABuuur uuurAE AB uuu r ADuuur 1 AB 21 uuur12(AB uuur AC)3uuurAB 4 1 uuurAC ，4 故选： A ． 12． 2011?全国）F 是 ABC 内三点，满足 uuur uuur AD DE uu ur BE uu ur EF uuu r CF uuurFDuuur 设 AF uuu r AB uuu r AC则（A ．(472 27)1 B ．(174 74)C ． 4 (74，7)D ． 2 (72 447)解析】 如图可得 D 是 AE 中点， E 是 BF 中点， F 为 CD 中点，(x 2e 1y 1uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur1uuur 1 uuur 1 uuurAF ACAD AC1AE AE 1 AF AB22 2 422 uuur 1 uuur 4 uuur 1 4AF ABAC，故B777 7uuur r uuur rABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分 ACB ，若 CB a ，CA b ，r r uuur |a r| 1，|b| 2，则 CD ( ) 1 r 2rB．2 r 1 r 3r 4r 4 r3 r A ． ab ab C ． ab D ． a b 33335555答案】B解析】 Q CD 为角平分线，BD BC 1，AD AC2uuur uuur uuur r Q AB CB CA a二．填空题（共 4 小题）uuur uuur uuur uuur 14．（ 2017?江苏）如图，在同一个平面内， 向量 OA ，OB ，OC 的模分别为 1，1， 2，OA与u O uu C r 的夹角为 ，且 tan 7 ， O uu B ur 与 u O uu C r 的夹角为 45 ．若 u O u C ur mO uu A ur nO uu B ur（m,n R ） ，解析】 如图所示，建立直角坐标系． A （1,0） ．13．（2010?全国大纲版Ⅱ）u uuru u urb2 ra 2rr32a r 13br故选： B ．ruuur uuur 由 OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan7．coscos( 45 )B( 5,5)．2(cos(cos 2 uuur OC sin sin( 45uuuruuur mOA nOB( m,n R)，1 ， sin 522(sin 2 3 5n ，7 52cosC(15,75)．解得则m 15．（2015?北京） n 3 ．故答案为： 3．在 ABC 中，点 M ， N 满足 uuuurAM uuuur 2MC uuu rBNuuur NC ，若 uuu ur MNuuur xAB uuur yAC ，则x 答案】解析】 由已知得到uuu ur MN uuu ur MC uu ur CN1 uuur AC 31uuurCB 21 uuur 1AC 32 uuur (AB uuur AC)uuu r ABuuur AC ；由平面向量基本定理，得到 16．（2013?四川）在平行四边形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O uuu r AB uuur ADuuur AO ，答案】 2． 解析】 Q 四边形 ABCD 为平行四边形， 对角线 AC 与 BD 交于点 O ， uuu r AB uuu r ADuuur AC ，又O 为 AC 的中点，uuur uuur uuur uuur AC 2AO ， AB AD uuur 2AO ， uuur uuur uuurQ AB ADAO 2 ．故答案为： 2 ． 17．（2013?北京）向量a r ，b ，c r在正方形网格中的位置如图所示， 若 c r b( ,R)，答案】4．解析】以向量a r、b r的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系2因此，21 4 故答案为：42ra得可3)Q c r a r b (16R) 3126，解之得 2 且26。

专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。

平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十八 平面向量的线性运算（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++与(BC )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( )A ．[4，6]B ．11]+C ．，D ．11]4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．45．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．56．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC 等于( ) A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=．如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i b a =，且i a 顺时针旋转30︒后与i b 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=B ．1230b b b -+=C ．1230b b b +-=D ．1230b b b ++=9．（2016•上海）设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+、2122b x e y e =+有结论：①若12210x y x y -=，则//a b ； ②若12120x x y y +=，则a b ⊥．关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = )A ．8B ．4C ．2D ．111．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =，BE EF =，CF FD =，设AF AB AC λμ=+，则(λ，)(μ= ) A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)713．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n += ．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN xAB y AC =+，则x = ，y = ．16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= ．17．（2013•北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ= ．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由4414()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+；故选：A ．2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++与(BC )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得：2121233AC AB AD AC AB +==++，1233BE BC BA =+，1233CF CA CB =+，以上三式相加得13AD BE CF BC ++=-，故选：A ．3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( )A ．[4，6]B ．11]+C ．，D ．11]【答案】D【解析】动点D 满足||1CD =，(3,0)C ，∴可设(3cos D θ+，sin )([0θθ∈，2))π．又(1,0)A -，B ，∴(2cos sin )OA OB OD θθ++=+．||(2OA OB OD ∴++=，（其中sinϕ=cos ϕ1sin()1θϕ-+，∴22(71)8827sin()827(71)θϕ=-+++=+，||OA OB OD ∴++的取值范围是1]．或||||OA OB OD OA OB OC CD ++=+++，OA OB OC ++=，将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即||OA OB OD ++的取值范围是1]．故选：D ．4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】根据所给的四个向量的和是一个零向量12340MA MA MA MA +++=，则12340OA OM OA OM OA OM OA OM -+-+-+-=，即12344OM OA OA OA OA =+++， 所以12341()4OM OA OA OA OA =+++．当1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点确定以后，则OM 也是确定的， 所以满足条件的M 只有一个，故选：B ．5．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由0MA MB MC ++=知，点M 为ABC ∆的重心，设点D 为底边BC 的中点， 则2211()()3323AM AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 所以有3AB AC AM +=，故3m =，故选：B ．6．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=【答案】A【解析】由图可知AD DB =，CF FA ED ==在DBE ∆中，0DB BE ED ++=，即0AD CF BE ++=．故选：A ．7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC 等于( ) A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【答案】A【解析】依题22()OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-．∴2OC OA OB =-．故选：A ．8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=．如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i b a =，且i a 顺时针旋转30︒后与i b 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++= B ．1230b b b -+=C ．1230b b b +-=D ．1230b b b ++=【答案】D【解析】向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=，向量1a 、2a 、3a 顺时针旋转30︒后与1b 、2b 、3b 同向，且||2||i i b a =，∴1230b b b ++=，故选：D ．9．（2016•上海）设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+、2122b x e y e =+有结论：①若12210x y x y -=，则//a b ；②若12120x x y y +=，则a b ⊥． 关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立【答案】A【解析】①假设存在实数λ使得a b λ=，则11122122()x e y e x e y e λ+=+，向量1e 与2e 既不平行也不垂直，12x x λ∴=，12y y λ=，满足12210x y x y -=，因此//a b ． ②若12120x x y y +=，则111221221212211212211212()()()()a b x e y e x e y e x x y y x y x y e e x y x y e e =++=+++=+，无法得到0a b =，因此a b ⊥不一定正确．故选：A ．10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = )A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】由216BC =，得||4BC =，||||||4AB AC AB AC BC +=-==，而||2||AB AC AM +=∴||2AM =故选：C ． 11．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 12EB AB AE AB AD =-=-11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选：A ． 12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =，BE EF =，CF FD =，设AF AB AC λμ=+，则(λ，)(μ= ) A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)7【答案】B【解析】如图可得D 是AE 中点，E 是BF 中点，F 为CD 中点，∴11112224AF AC AD AC AE =+=+，1122AE AF AB =+． ∴1477AF AB AC =+，∴14,77λμ==，故选：B ．13．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +【答案】B【解析】CD 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==， AB CB CA a b =-=-，∴222333AD AB a b ==-， ∴22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+故选：B ． 二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n += ．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．(1,0)A ．由OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=．cosα∴，sin α=．17(,)55C ∴．3cos(45)sin )5ααα+︒=-=-．4sin(45)cos )5ααα+︒+=． 34(,)55B ∴-．(,)OC mOA nOB m n R =+∈，∴1355m n =-，74055n =+，解得74n =，54m =． 则3m n +=．故答案为：3．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN xAB y AC =+，则x = ，y = ． 【答案】11,26-．【解析】由已知得到111111()323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-；由平面向量基本定理，得到12x =，16y =- 16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= ． 【答案】2．【解析】四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB AD AC +=， 又O 为AC 的中点，∴2AC AO =，∴2AB AD AO +=， AB AD AO λ+=，2λ∴=．故答案为：2．17．（2013•北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ= ．【答案】4．【解析】以向量a 、b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得(1,1)a =-，(6,2)b =，(1,3)c =--(,)c a b R λμλμ=+∈∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-因此，2412λμ-==-故答案为：4。

专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。

高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习1．设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( B ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A,当λ＞0时,a 与λa 的方向相同,当λ＜0时,a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C,|－λa |＝|－λ||a |,由于|－λ|的大小不确定,故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D,|λ|a 是向量,而|－λa |表示长度,两者不能比较大小．2．(合肥质检)已知O ,A ,B ,C 为同一平面内的四个点,若2AC →＋CB →＝0,则向量OC →等于( C )A ．23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：因为AC→＝OC →－OA →,CB →＝OB →－OC →,所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA→＋OB →＝0,所以OC →＝2OA →－OB →. 3．(济宁模拟)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB→＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵O 为BC 的中点,∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN→)＝m 2AM →＋n 2AN →, ∵M ,O ,N 三点共线,∴m 2＋n2＝1,∴m ＋n ＝2.4．(河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ＝2AD ＝2DC ,E 为BC 边上一点,BC →＝3EC→,F 为AE 的中点,则BF →＝( C )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB→＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.5．(长春模拟)在△ABC 中,D 为△ABC 所在平面内一点,且AD→＝13AB →＋12AC →,则S △BCD S △ABD＝( B )A ．16B ．13C ．12 D ．23解析：由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上,从而有S△ABD＝12S △ABC ,又S △ACD ＝13S △ABC ,所以S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ,所以S △BCDS △ABD＝13.故选B ．6．(太原模拟)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝60°,点P 是△ABC 内一点(含边界),若AP →＝23AB →＋λ·AC →,则|AP →|的取值范围为( D ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133 解析：在AB 上取一点D ,使得AD→＝23AB →,过D 作DH ∥AC ,交BC 于H .∵AP→＝23AB →＋λAC →,且点P 是△ABC 内一点(含边界),∴点P 在线段DH 上． 当P 在D 点时,|AP→|取得最小值2；当P 在H 点时,|AP →|取得最大值,此时B ,P ,C 三点共线, ∵AP→＝23AB →＋λAC →,∴λ＝13, ∴AP→＝13AC →＋23AB →,∴AP →2＝19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC→＝529,∴|AP →|＝2133.故|AP→|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D ． 7．已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0,若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立,则m＝3__.解析：由已知条件得MB→＋MC →＝－MA →,如图,延长AM 交BC 于D 点, 则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点,延长CM 交AB 于F 点, 同理可证E ,F 分别为AC ,AB 的中点,即M 为△ABC 的重心,∴AM→＝23AD →＝13(AB →＋AC →),即AB→＋AC →＝3AM →,则m ＝3.8．(郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为－94.解析：由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2, 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2, 所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2,又e 1与e 2不共线,所以⎩⎨⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.9．在直角梯形ABCD 中,A ＝90°,B ＝30°,AB ＝23,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋μAB→,则μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：由题意可求得AD ＝1,CD ＝3,∴AB →＝2DC →,∵点E 在线段CD 上,∴DE→＝λDC →(0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →,又AE→＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →,∴2μλ＝1,即μ＝λ2,∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 10．(太原质检)设G 为△ABC 的重心,且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,则角B 的大小为60°__.解析：∵G 是△ABC 的重心,∴GA→＋GB →＋GC →＝0,GA →＝－(GB →＋GC →), 将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,得(sin B －sin A )GB→＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB→,GC →不共线,∴sin B －sin A ＝0,sin C －sin A ＝0. 则sin B ＝sin A ＝sin C ． 根据正弦定理知,b ＝a ＝c , ∴△ABC 是等边三角形,则B ＝60°.11．如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是AB ,AC 的中点,BF 与CD 交于点O ,设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a ,b 表示向量AO→.解：由D ,O ,C 三点共线,可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数), 同理,可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数),①又BO→＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ,②所以由①②,得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b , 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ,b 不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO→＝－23a ＋13B ． 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．12．(四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点,若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP→,则点P 是△ABC 的( A ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →,得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0,即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0,所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点,则AB →·2PD →＝0,故AB →·PD →＝0.因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →,所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →,所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ,同理可得BC →·PE→＝0, 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点, 所以P 是△ABC 的外心．故选A ．13．如图所示,在△ABC 中,AD ＝DB ,点F 在线段CD 上,设AB →＝a ,AC →＝b ,AF →＝x a ＋y b ,则1x ＋4y ＋1的最小值为( D )A ．6＋2 2B ．6 3C ．6＋4 2D ．3＋2 2解析：由题意知AF →＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →, 因为C ,F ,D 三点共线,所以2x ＋y ＝1,即y ＝1－2x . 由题图可知x ＞0且x ≠1. 所以1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2,则f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2,令f ′(x )＝0,得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍)． 当0＜x ＜2－1时,f ′(x )＜0, 当x ＞2－1且x ≠1时,f ′(x )＞0.所以当x ＝2－1时,f (x )取得极小值,亦为最小值,最小值为f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.14．(河北百校联盟联考)已知在△ABC 中,点D 满足2BD→＋CD →＝0,过点D 的直线l 与直线AB ,AC 分别交于点M ,N ,AM→＝λAB →,AN →＝μAC →.若λ＞0,μ＞0,则λ＋μ的最小值为3＋223.解析：连接AD ．因为2BD→＋CD →＝0,所以BD →＝13BC →,AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →.因为D ,M ,N 三点共线,所以存在x ∈R , 使AD→＝xAM →＋(1－x )AN →,则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →,所以xλAB→＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →,所以xλ＝23,(1－x )μ＝13,所以x ＝23λ,1－x ＝13μ,所以23λ＋13μ＝1,所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223,当且仅当λ＝2μ时等号成立,所以λ＋μ的最小值为3＋223.15．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ,b 〉,则关于平面向量上述运算的以下结论中,①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ,则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ＞0,则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是①③④__.解析：①恒成立,②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ,b 〉, (λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ,b 〉,当λ＜0时,λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立,③a ＝λb ,则sin 〈a ,b 〉＝0, 故a ⊗b ＝0恒成立,④a ＝λb ,且λ＞0,则a ＋b ＝(1＋λ)b ,(a ＋b )⊗c ＝|(1＋λ)||b |·|c |sin 〈b ,c 〉,(a ⊗c )＋(b ⊗c )＝|λb |·|c |sin 〈b ,c 〉＋|b |·|c |sin 〈b ,c 〉＝|1＋λ||b |·|c |sin 〈b ,c 〉, 故(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )恒成立．。

向量的线性运算真题汇编及解析一、选择题1．下列命题正确的是（）A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．如果a、b都是单位向量，那么a＝bC．如果a＝k b（k≠0），那么a∥bD．如果m＝0或a＝0，那么m a＝0【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．【详解】解：A．向量是既有大小又有方向，|a|＝|b|表示有向线段的长度，a＝b表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；C. a＝k b（k≠0）⇔a∥b，所以C选项正确；D．如果m＝0或a＝0，那么m a＝0，不正确．故选：C．【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.2．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.【详解】解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.3．已知向量，且则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ． A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【答案】A 【解析】 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】解：由向量的加法原理知所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.4．计算45a a -+的结果是（ ） A ．a B ．aC ．a -D ．a -【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键5．如图，ABCD 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==，那么向量AE 用向量a b 、表示为（ ）A ．12ab B ．12a b -C ．12a b -+D ．12a b --【答案】A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+，只要求出BE 即可解决问题. 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==，BE CE ＝，1BE b 2∴=，AE AB BE,AB a =+=，1AE a b 2∴=+，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.6．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=，正确； B 、0a 0⋅=，正确； C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-，正确； 故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．已知1,3a b ==，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．3a b = B ．3a b =-C ．3b a =D ．3b a =-.【答案】D【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==，而且b 和a 的方向相反 ∴3b a =-. 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a ＝3b ，那么a ∥b B ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-b C ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质解答即可． 【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．对于非零向量a 、b ，如果2|a |＝3|b |，且它们的方向相同，那么用向量a 表示向量b 正确的是（ ）A ．b ＝32a B ．b ＝23a C ．b ＝﹣32a D ．b ＝-23a 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a 、b 的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a |=3|b |，∴|b |23=|a |． 又∵非零向量a 与b 的方向相同，∴23b a =． 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．11．如图，在ABC 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =,BC b =，那么AD 等于（ ）A ．a b +B ．2233a b + C ．23a b -D ．23a b +【答案】D 【解析】 【分析】根据2BD CD =，即可求出BD ，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】 解：∵2BD CD = ∴2233BD BC b == ∴23AD AB BD a b =+=+ 故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0B ．如果e 是单位向量，那么e ＝1C ．如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣aD ．已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∥b 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0，错误，应该是k a ＝0． B 、如果e 是单位向量，那么e ＝1，错误．应该是e ＝1．C 、如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣a ，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∥b ，正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.13．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =， ∴BC b =， ∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ． 故选B ．14．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）． A ．CA B ．AC C ．0 D ．AE【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+ AE CE =- AE EC =+AC =，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．15．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =,AD b =，那么向量OC 可以表示为. ( )A ．1122a b + B ．1122a b - C ．1122a b -+ D ．1122a b --【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可. 【详解】 由题意可得()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+ 【点睛】 本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.16．已知a =3，b =5，且b 与a 的方向相反，用a 表示b 向量为（ ）A ．35b a =B ．53b a =C ．35b a =-D ．53b a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据a =3，b =5，且b 与a 的方向相反，即可用a 表示b 向量. 【详解】a =3，b =5，b =53a ,b 与a 的方向相反,∴5.3b a =-故选：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.17．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A ．a //b B ．a -2b =0C ．b =12a D ．2ab =【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误. 故选B.18．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB =B ．12CB AB =C ．0AC BC +=D ．0AC CB +=【答案】B 【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =，故本选项错误； B 、12CB AB =，故本选项正确； C 、0AC BC +=，故本选项错误； D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．19．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.20．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）． A ．()12a b - B ．()12b a - C ．()12a b + D ．()12a b -+【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b = ∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==-∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+ 故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.。

历年高三数学高考考点之<平面向量的线性问题>必会题型及答案体验高考1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 D解析 由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.3.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.高考必会题型题型一 平面向量的线性运算及应用例1 (1)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →， CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝_____.答案 (1)D (2)23解析 (1)设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. (2)因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.点评 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.答案 (1)A (2)6解析 (1)根据向量的基本定理可得， AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →) ＝AC →＋(2AC →－22BC →)＝AC →＋2AC →－22(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22·AC →＋22AB →， 所以λ＝22，k ＝1＋22， 所以λ＋k ＝1＋ 2.故选A.(2)由GA →＋GB →＋GC →＝0，知点G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (－3，0)，B (0，3)，点O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.答案 1解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 ①由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.③设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2，4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5，3).点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )A.8＋2 2B.8C.6D.6＋2 2(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 答案 (1)B (2)m ≠12解析 (1)因为点D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为点F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y ＞0，所以1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4xy＝8， 当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m ).由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时，实数m 满足的条件是m ≠12.高考题型精练1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|a答案 B解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.2.设点M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，点D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A.13B.12 C.1 D.2 答案 A解析 ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →).∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 3.已知点A (－3，0)，B (0，2)，点O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.23答案 D解析 过点C 作CE ⊥x 轴于点E (图略). 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.4.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 答案 C解析 由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形.5.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； ∵a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2， ∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2).因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，点E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →.7.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤ 答案 A解析 ①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b ＝0，则不对.8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2)解析 在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2).9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案 45解析 依题意得，AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC →，AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →.又AB →＝λAM →＋μAN →，于是有AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋BC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2BC →.又AB →与BC →不共线，因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.10.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________.答案 2解析 因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角.又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.11.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值.(1)证明 由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.12.已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，a 的值. (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明 当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →， 又∵AM →与AB →有公共点A ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.(3)解 当t 1＝a 2时， OM →＝(4t 2，4t 2＋2a 2).又AB →＝(4，4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2). |AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2， 故所求a 的值为±2.。