因式分解在初中数学竞赛中的应用_王盛裕

第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解． 例题求解【例1】分解因式：344422-+--y y x x = ．(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解．配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用．【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．A ．7B ．8C ．15D ．2l(2001年武汉市选拔赛试题)思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．【例3】把下列各式分解因式：(1)1724+-x x ； (“祖冲之杯”邀请赛试题)（2）22412a ax x x -+++； (哈尔滨市竞赛题)(3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (扬州市竞赛题)(4)1232234++++x x x x (河南省竞赛题)思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)思路点拨 因k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而)2)(1(232++=++x x x x ，可得多项式必为)2)(1(++++ny x my x 的形式．【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少?(江苏省竞赛题)思路点拨 由待定系数法得到关于b 、c 、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b 、c 、a 的值．学历训练1．(1)完成下列配方问题：[])()()()(212222++=+++=++x px x px x （江西省中考题）（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ．(郑州市竞赛题)2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ．3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．(2003年青岛市中考题)4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么1123-+n m 的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)5．已知052422=+-++b a b a ，则b a b a -+的值为( ) A ．3 B ． 31 C ．3- D ．31- 6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )A ．－2B ．－lC ．0D ．2(江苏省竞赛题)7．44+a d 分解因式的结果是（ ）A ．)22)(22(22+--+a a a aB ．)22)(22(22---+a a a aC ．)22)(22(22--++a a a aD ．)22)(22(22+-++a a a a(北京市竞赛题)8．把下列各式分解因式：(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++；(3)2222)()1(x x x x ++++；（4）))((4)(2b a c b a c ----； (昆明市竞赛题)(5)893+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题）（6）65223--+x x x (重庆市竞赛题)9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．（第15届“希望杯”邀请赛试题）10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝ ． (第15届江苏省竞赛题)11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是 ．(重庆市竞赛题)12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ．(北京市竞赛题)13．已知n 为正整数，且19987444++n 是一个完全平方数，则n 的值为 ．14．设m 、n 满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m =( )A ．(2，2)或(－2，－2)B ．(2，2)或(2，－2)C ．(2，－2)或(－2，2)D ．(－2，－2)或(－2，2)15．将145++x x 因式分解得( )A ．)1)(1(32++++x x x xB ．)1)(1(32+++-x x x xC ．)1)(1(32+-+-x x x xD ．)1)(1(32+-++x x x x16．若 a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是( )A ．若ca bc ab c b a ++=++222，则c b a ==B ．若abc c b a 3222=++，则c b a ==C ．若)(222224444d c b a d c b a +=+++，则d c b a ===D ．若abcd d c b a 44444=+++，则d c b a ===17．把下列各式分解因式：(1)153143+-x x ； (2)444222222222c b a c b c a b a ---++；(3)15++x x ； (4)93523-++x x x ；(5)262234+---a a a a (2003年河南省竞赛题)18．已知关于x 、y 的二次式24435722-+-++y x my xy x 可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值． (大原市竞赛题)19．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++ (北京市竞赛题)20．一个自然数a 若恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a ＝20012+20012× 20022十20022，求证：a 是一个完全平方数．(希望杯题)。

第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．( “五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)(上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)；(2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组：(2)按次数分组；(3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学力训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． (重庆市中考题)4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（ ）．A ．)1)(3(22-+x xB ．)3)(1(22-+x xC ．)1)(1)(3(2+-+x x xD ．)3)(3)(1(2+-+x x x (北京中考题)6．下列5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④)(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．A ．①、②、③B ．②、③ 、④C ．①③ 、④、⑤D ．①、②、④7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (“希望杯”邀请赛试题)8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )．A ．92B ．32C ．54D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题) 9．分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+x 2+x+；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． (“希望杯”邀请赛试题)10．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ．11．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．12．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．（ “五羊杯”竞赛题）13．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有 个． (北京市竞赛题)14．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x15．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定(第 “希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++；(2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (湖北省黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题) (4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+；))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)． 求证：b c a 2=+ (天津市竞赛题)。

求多元函数条件最值的常用技法王盛裕!浙江省镇海外语实验学校"#$%&&’曹贤鸣!浙江省椒江一中"#(&&&’求函数最值问题是数学中一类重要问题)其中又以求多元函数的条件最值为各级各类竞赛的热点*解答条件最值问题)要求有较扎实的数学基础+灵活变更问题的能力和较高的解题技巧)本文浅析求解竞赛试题中多元函数条件最值问题的常用技法*,配方法例,设实数-).)/)0满足-%1.%1/% 10%2$)则!-3.’%1!-3/’%1!-30’%1!. 3/’%1!.30’%1!/30’%的最大值是*!%&&%年上海市中学生数学竞赛题’解析将原式展开+合并+整理得"-%1 ".%1"/%1"0%3%-.3%-/3%-03%./3%.03%/0*配方后得原式24-%14.%14/%140%3!-1.1/ 10’%2%&3!-1.1/10’%*5!-1.1/10’%6&)7原式的最大值为%&*8因数分解例8自然数-).)/)0)9都大于#)其乘积-./092%&&&)则其和-1.1/1019的最大值为)最小值为* !%&&&年五羊杯初中数学竞赛题’解析%&&&分解因数为%:%:%:%:$:$:$)而-).)/)0)9都大于#)显然当各个因数最接近时)其和最小;各个因数相差越大)其和越大)故最大值为%1%1%1%1#%$ 2#"")最小值为4141$1$1$2%"*<借用取值范围例<设-).)/均为不小于"的实数)则===-3%1.1#1>#3/3#>的最小值是*!%&&#年希望杯初二数学竞赛题’解析由条件-6").6")/6")7-3%6#).1#64)/3#6%)则原式===2-3%1.1#1/3#3#*又因为被开方数越小)其算术根越小)7原式的最小值为=#1%1%3#2% =1%*?消元法例?已知二次函数@2-A%1.A1/!其中-是正整数’的图象经过点B!3#)4’与点C!%)#’)并且与A轴有两个不同的交点)则. 1/的最大值是*!%&&"年D E F G H I信利杯J全国初中数学竞赛题’解析因为二次函数@2-A%1.A1/的图象经过点B!3#)4’与点C!%)#’)所以-3.1/24)4-1%.1/2#)消去/得.23-3#)代入得/23%-1"*7.1/23"-1%* 5抛物线与A轴有两个不同的交点)7K L&)即.%34-/L&)7!3-3#’%34-!3%-1"’L&)解得-L#或-M#N*又-是正整数)7-6%)故当-2%时). 1/达到最大)其值为34*O基本不等式法例O若A@2#)那么代数式#A41#4@4的最小值是*!#N N P年湖北省黄冈市初中数学竞赛题’解析5!#A%3#%@%’%6&)展开得#A43%Q#A%Q#%@%1#4@46&)7#A41#4@46%Q#A%Q#%@%2#)故#A41#4@4的最小值是#*4"中学数学月刊%&&4年第"期!判别式法例!实数"#$满足%"&’(’)$’*+#那么$"的最大值是,%第+-届美国中学生数学竞赛题(解析设$"*.#则$*."#代入得"’&/")/).’"’*+#整理得%.’)0("’&/")0*1,2.’)031#又"是实数,45*06&/%.’)0(71,解得8&+9.89+#4.:;<8*+#即%$"(:;<8*+,=夹逼法例=设"#$#>为三个非负数#且+")’$)>*-#")$&>*’#若?*’")$&>#则?的最大值与最小值的和是,%0@@A 年天津市初二数学竞赛题(解析由已知条件得$*B &/"+#>*0&"+#代入?*’")$&>#得?*")’,2"#$#>是非负数#4"71#$*B &/"+71#>*0&"+C D E 71#解得19"90,则’9?9+#故?:;<)?:F G*-,H三角法图0例H 如图0#正方形I J K L 边长为0#点M 是J K 边上的动点,过J #K #L 作射线I M 的垂线J J 0#K K 0#L L 0#则J J 0)K K 0)L L 0的最大值是#最小值是,%’111年上海市初中数学竞赛题(解析设N M I J *O#则N0*N’*N+*O #因为M 点在边J K 上#所以1P 9O 9/-P ,J J 0*IJ Q F G O *Q F G O #L L 0*I L R S QO *R S Q O #M J *I J T ;GO *T ;GO #K K 0*M K R S QO *%K J &M J (R S QO *%0&M J (R S QO *%0&T ;GO (R S Q O *R S Q O &Q F GO,4J J 0)K K 0)L L 0*Q F GO )R S Q O )R S Q O &Q F GO *’R S Q O,当1P 9O 9/-P 时8#’9’R S QO 9’#即J J 0)K K 0)L L 0的最大值是’#最小值是8’,’11+年中考探索型试题精选江苏省苏州市初中数学教学评价与命题研究组王清华%江苏省苏州市景范中学’0-11-(韩挺%江苏省苏州市第四中学’0-11+(U V %北京市试题(已知W 抛物线$*X "’)/X ")Y 与"轴的一个交点为I %&0#1(,%0(求抛物线与"轴的另一个交点J 的坐标Z%’(L 是抛物线与$轴的交点#K 是抛物线上的一点#且以I J 为一底的梯形I J K L 的面积为@#求此抛物线的解析式Z-+’11/年第+期中学数学月刊求多元函数条件最值的常用技法作者：王盛裕， 曹贤鸣作者单位：王盛裕(浙江省镇海外语实验学校,315200)， 曹贤鸣(浙江省椒江一中,318000)刊名：中学数学月刊英文刊名：THE MONTHLY JOURNAL OF HIGH SCHOOL MATHEMATICS年，卷(期)：2004，""(3)被引用次数：0次本文链接：/Periodical_zxsxyk200403016.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：76267ae9-464c-4216-b462-9dc80153d6d7下载时间：2010年8月4日。

奥林匹克数学竞赛因式分解因式分解是多项式乘法的逆向运算,是代数恒等变形的基础,体现了一种化归的思想.提取公因式法、公式法、二次三项式的十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法,下面是为你整理的奥林匹克数学竞赛因式分解，一起来看看吧。

奥林匹克数学竞赛因式分解十二种方法1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)解：a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a&times;b=m,c&times;d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

第10讲 因式分解的应用如果你不能解决这个提出的问题，环视一下四周，找一个适宜的有关的问题。

辅助问题可能提供方法论的帮助。

它可能提示解的方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作等等。

——波利亚 知识方法扫描因式分解是一种重要的恒等变形。

利用恒等变形，我们可以解决许多数学问题。

如求代数式的值；证明不等式；处理与整数有关的一些问题：分解质因数、判断数的整除性、求方程的整数解等。

经典例题解析例1．（2005年东清市初中数学竞赛试题）已知正实数a,b,c 满足方程组222229,217,225.a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩求a+b+c 的值。

解 三式相加，得：2222()(222)72(a +b +c )()720. [(a +b +c )+9][(a +b +c )-8]=0.a b c a b c a b b c c a a b c ++++++++=∴+++-=∴∵ a,b,c 都是正实数，a+b+c+9>0. a+b+c=8.∴∴ 例2 （1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？给出你的证明。

解 a 4-3a 2+9= a 4+6a 2+9-9a 2=( a 2+3)2-(3a)2=( a 2+3a+3)( a 2-3a+3)=( a 2+3a+3)[( a-1)(a-2)+1]当a=1时，a 4-3a 2+9=7是质数；当a=2时，a 4-3a 2+9=13是质数；当a>2时, a 2+3a+3>1, ( a-1)(a-2)+1>1,故a 4-3a 2+9是合数。

例3．(第17届江苏省初二数学竞赛试题)多项式x 2-(a+5)x+5a-1能分解为两个一次因式(x+b)，(x+c)的乘积, 则a 的值应为多少？解 因x 2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x 2+(b+c)x+bc ，故有b+c=-a-5, bc=5a-1消去a, 变形得 （b+5）(c+5)=-1因 b ，c 是整数，故有b=-4,c=-6 或b=-6,c=-4。

初中数学竞赛专题——因式分解多式的因式分解是代数式恒等形的基本形式之一，它被广泛地用于初等数学之中，是我解决多数学的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性，学些方法与技巧，不是掌握因式分解内容所必需的，而且于培养学生的解技能，展学生的思能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介了提取公因式法、运用公式法、分分解法和十字相乘法．本及下一在中学数学教材基上，因式分解的方法、技巧和用作一步的介．1．运用公式法在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2)a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3)a 3 3 2 2 +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4)a 3 3 2 2 -b =(a -b)(a +ab+b ) ．下面再充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3b2+⋯ +ab n-2 +b n-1 ) 其中 n 正整数；(8)a n n n-1 n-2b+an-3 2 n-2n-1) ，其中 n 偶数；-b =(a+b)(a -a b -⋯ +ab -b(9)a n+b n=(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2 -⋯ -ab n-2+b n-1) ，其中 n 奇数．运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．解(1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1 y n[(x 2n) 2 -2x 2ny2+(y 2) 2]=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2n-1 nn 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( - Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz -2yz) ．(3) 原式 =(a 2 -2ab+b 2)+( -2bc+2ca)+c 21＝(a -b) 2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c) 2．本小可以稍加形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( - b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b )=a 5(a 2-b2)+b 5(a 2-b2) =(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a4 3 2 2 3 4 - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )2 43 2 2 3 4=(a+b) (a - b)(a - a b+a b -ab +b )例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本上就是用因式分解的方法明前面出的公式(6) ．分析我已知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，将此公式形3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．3 3解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ．明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很多有用的，例如：我将公式 (6) 形3 3 3a +b +c -3abc3 3 3；当 a+b+c＞ 0 3 3 3 3 3 3然，当 a+b+c=0 ， a +b +c =3abc ， a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc，而且，当且当 a=b=c ，等号成立．如果令x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有等号成立的充要条件是 x=y=z ．也是一个常用的．例 3 分解因式： x15 +x14+x13+⋯+x2+x+1．2分析个多式的特点是：有 16 ，从最高次 x15开始， x 的次数次减至 0，由此想到用公式 a n -b n 来分解．解因x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，所以明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的，即把多式中的某一拆成两或多，或者在多式中添上两个符合相反的，前者称拆，后者称添．拆、添的目的是使多式能用分分解法行因式分解．例4 分解因式： x3 -9x+8．分析本解法很多，里只介运用拆、添法分解的几种解法，注意一下拆、添的目的与技巧．解法 1 将常数8 拆成 -1+9．33=(x -1) - 9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x +x-8) ．解法 2 将一次 -9x 拆成 -x-8x ．原式 =x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次x3拆成 9x3-8x3．原式 =9x 3 3-8x -9x+8=(9x 3 3+8)- 9x)+( -8x2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x+x+1)2=(x -1)(x +x-8) ．3解法 4 添加两项 -x 2+x 2． 原式 =x 3 -9x+8322=x -x +x -9x+8 =x 2 (x - 1)+(x -8)(x -1) =(x -1)(x 2+x-8) ．说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规， 主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2 -1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4)a 3b-ab 3+a 2+b 2 +1．解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1．96 3原式 =x +x +x - 1- 1-1=(x 963-1)+(x -1)+(x -1)=(x 363333-1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3) ． (2) 将 4mn 拆成 2mn+2mn ．22原式 =(m -1)(n -1)+2mn+2mn2 222=mn -m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n)=(mn+1) 22-(m-n)=(mn+m-n+1)(mn -m+n+1)．(3) 将 (x 2-1) 2 拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式 =(x+1) 4+2(x 2222+(x -1) 4 -1) -(x -1)=［ (x+1) 422422+2(x+1) (x -1) +(x -1) ] - (x -1)=［ (x+1) 22222+(x - 1) ] -(x -1)22222+1)(x 2+3) ．=(2x +2) -(x - 1) =(3x (4) 添加两项 +ab-ab ．332 2原式 =a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b- ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)42=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b+1)2=[a(a -b)+1](ab+b+1)=(a 2 2+ab+1) ．-ab+1)(b说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y，则原式 =(y+1)(y+2)- 12=y2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将2看作一个整体，比如今2x +x+1 x +x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令y=2x2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例 8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y ，则5原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2 +5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2 -1) -36x24 2 2 2 2=6［(x -2x +1)+2x ］ +7x(x -1) -36x=6[(x 2 2]+7x(x2 2 - 1)2+2x -1) -36x=6(x 2 2+7x(x2 2 -1) -1) -24x=[2(x 2- 1) -3x］［ 3(x 2-1)+8x]=(2x 2 -3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2说明本解法实际上是将 x -1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法 2原式 =x2 [6(t 2+2)+7t -36]=x2 (6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2 [2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]2 2+8x-3)=(2x - 3x-2)(3x=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2 ) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解原式 =[(x+y) 2 2 2．令 x+y=u， xy=v ，则-xy] -4xy[(x+y) -2xy]2 2 2原式 =(u -v) -4v(u -2v)=u4-6u2v+9v22 2=(u -3v)6=(x 2+2xy+y 2 -3xy) 2=(x 22 2．-xy+y )7。

EZZN =EKFN(易证CK=FD=EC)=2FD12FD=41.因为NXXF ·FYYE·EZZN=12×12×41=1,所以,NY、FZ、EX三线共点(塞瓦定理),即AN、FP、EM三线共点.(2)易证△AFN∽△FDP∽△EFM]AN=FP=EM.①设AN、FP、EM共点O.易证ONOA =NX AE.又N F=12DF =12AE,可得ON OA =NXAE=13N F2N F=16.由P、Q是梯形FEKX两对角线的中点,必有PQ=12(EK-FX)=122EC-13FD=122-13FD.则OFOP=FXPQ=23FNPQ=23×12FD122-13FD=25.又OMOE=MNYE=12EF23EF=34,②由①知ON+OA=OF+OP=OM+OE,联系式②,可得ON∶OF∶OM∶OE∶OP∶OA=1∶2∶3∶4∶5∶6.(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学,246142)《中等数学》2003年总目次数学活动课程讲座·初中·填数问题(蒋　声　1·2)与一次函数相关的竞赛题及其解法(王东青　2·2)最值问题的常用解法(王定成　3·2)解数学竞赛题的特殊化策略(王连笑　4·2)与整数有关的几何问题(刘康宁　5·2)几何计数问题(上)(罗增儒　6·2)·高中·利用基本结论解立体几何竞赛题(方廷刚　1·7)配对原理(映射法计数)(徐文兵　2·5)数学竞赛中客观性试题的求解策略(许少华　3·7)解析几何问题的解题技巧(薛党鹏　4·6)整最值问题(王凤燕　严镇军　5·6)应用阿贝尔变换解竞赛题(方廷刚　6·5)命题与解题2002年全国高中数学联赛加试题另解(李建泉　整理　1·11)利用向量解平面几何问题(沈　凯　1·15)一道国际竞赛题的新推广(罗增儒　2·13)一道国家集训队考试题的几点探索(闵　飞　2·15)复合最值问题的解法(王卫华　3·12)函数不动点在解题中的应用(邓光发　3·14,4·13)关于2003年中国数学奥林匹克第5题(苏　淳　4·10)含无理递推式的数列问题化归策略(沈伟忠　5·10)一道高考试题与一道奥赛试题(王连笑　5·13)关于2003年中国数学奥林匹克第一题(沈文选　冷岗松　6·9)一道奥赛题的解法研究(吕峰波　叶中豪　6·15)专题写作四面体中的Milosevic不等式(罗必耀　周永国　1·17)一个分式不等式的加强与推广(苟春鹏　安振平　1·18)条件方程组的图形构造性解法(吴　康　2·9)关系四边形的几个命题(万喜人　5·15)正n边形内接三角形的个数(吴　康　5·18)短论集锦一个不等式的加强(庞如兰　1·20)H.G uggenheimer不等式的加强(孙　泰　1·20)一道冬令营试题的简解(周建新　2·17) 84中等数学一道数学奥林匹克问题的推广(吴善和　2·18)周界中点三角形的一个命题(丁遵标　2·19)三角形内接正三角形的最小面积(邢进喜　2·20) F—H不等式的几何解释(孔令恩　王开广　2·20)关联四个圆的一个恒等式(李永利　3·17)三个不等式之间隐含的关系(孙建斌　3·17)两个几何不等式的加强(缪华柱　3·18)一个不等式的推广(方廷刚　3·19)一道集训题的简解(王　勇　4·17)关于费尔马和的一个不等式(方廷刚　4·17)关联五个三角形内切圆半径的一个等式(李耀文　张　愫　4·18)关于三角形中线的一个不等式(郝迎利　4·18)一道I M O预选题的简解(孙　毅　5·19)对一个优美的半对称不等式的补充(马占山　赵晓娟　5·19)也谈Weisenb ck不等式的三维推广(李永利　庞耀辉　5·20)一个命题的再推广(曾令辉　5·21)一个不等式的推广(张树生　5·21)∑1a2的下界估计(唐新来　5·22)第42届I M O第五题的推广(傅善林　6·17) Weisenb ck不等式的简证(张延卫　6·17) Jani′c加强不等式的一个逆向不等式(孙建斌　6·18) H.G uggenheimer不等式的再加强(邹守文　闵　飞　6·18)数海拾贝几个与完全平方、平方和有关的问题(吴振奎　1·21,2·22)从海伦公式谈起(吴振奎　3·20)纽结的表示与分类(吴振奎　4·19)竞赛之窗首届女子数学奥林匹克(钱展望　整理　1·24) 2002年I M O中国国家集训队选拔考试(李胜宏　提供　1·27)第31届(2002)美国数学奥林匹克(单　墫　1·33)第28届(2002)俄罗斯数学奥林匹克见闻(苏　淳　于　沣　1·37) 2003年中国数学奥林匹克(李胜宏　2·25) 2002年上海市高中数学竞赛(李大元　等　2·29) 2002年湖南省高中数学奥林匹克(喻久华　2·30) 2002年安徽省高中数学竞赛(袁　金　2·35)2001—2002年国内外数学竞赛题选解(李建泉　娄姗姗　张　茗　2·38,3·30,5·32,6·31) 2003年“TRU LY 信利杯”全国初中数学联赛(考　评　3·24) 2002年我爱数学初中生夏令营数学竞赛(陈传理　3·27) 2003年I M O中国国家集训队选拔考试试题(3·29)第44届国际数学奥林匹克试题(4·封底) 2003年全国初中数学联赛(4·22) 2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛(4·25) 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛(4·27) 2002年重庆市初中数学竞赛(4·28)第17届江苏省数学竞赛(初三)(4·30) 2003年四川省初中数学竞赛(4·33) 2003年全国初中数学联赛武汉选拔赛(4·35) 2002年山东省初中数学竞赛(4·37)第44届I M O试题解答(李胜宏　5·23)第43届I M O预选题解答(李建泉　译　5·25,6·28) 2002年西部数学奥林匹克(李胜宏　5·38) 2003年全国高中数学联赛(6·19) 2003年I M O中国国家集训队选拔考试(6·24)课外训练数学奥林匹克初中训练题(60　王盛裕　1·40,61　孙　彦　黄全福　2·42,62　王盛裕　3·38,63　沈雪明　4·39,64　孙　彦　黄全福　5·40,65　吴伟朝　6·37)数学奥林匹克高中训练题(60　吴伟朝　1·43,61　许　勇　2·44,62　刘康宁　3·42,63　江厚利　4·42,64　吴伟朝　5·43,65　杨建忠　6·40)数学奥林匹克问题初中　(121　吴伟朝　左怀青　1·48,122　张延卫　1·48,123　郭　璋　2·48,124　黄全福　2·48,125　黄全福　3·48,126　吴伟朝　3·48,127　吴伟朝　4·47,128　张延卫　4·47,129　杨拥良　荀洋滔　5·49,130　贺　斌　5·49,131　张延卫　6·46,132　吴伟朝　6·46)高中　(121　宋　庆　1·48,122　田正平　1·48, 123　安振平　2·48,124　吴伟朝　2·48,125　徐　道　3·48,126　张延卫　3·48,127　张善立　4·47, 128　宋　庆　4·47,129　吴伟朝　方　超　5·49, 130　黄全福　5·49,131　贺　斌　6·46,132　费振鹏　6·46)94 2003年第6期。

【九年级】九年级数学竞赛明快简捷―构造方程的妙用讲座有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1.使用定义的根当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2.利用魏达定理的逆定理构造若问题中有形如，的关系式时，则、可看作方程的两实根．3.确定主成分结构对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．成功的施工基于敏锐的观察、适当的变形和广泛的联想；一个成功的结构可以得到明亮、简单和令人惊讶的效果注：许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．[示例解决方案]【例1】已知、是正整数，并且，，则．变形问题的条件可以看作是一个变量的两个二次方程。

这样，问题的简单解就可以作为一个整体得到【例2】若，且有及，则的值是()a、不列颠哥伦比亚省。

思路点拨第二个方程可变形为，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．[例3]实数已知，满足要求，并计算值范围思路点拨由两个等式可求出、的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．[例4]已知实数(1)求、、中最大者的最小值；（2）求最小值思路点拨不妨设a≥b，a≥c，由条件得，．构造以b、c为实根的一元二次方程，通过△≥0探求的取值范围，并以此为基础去解(2)．注：构造一个单变量的二次方程。

在问题有解决方案的前提下，使用判别式△≥ 0来建立一个带有参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．[例5]试着找出这样的四位数。

课题：因式分解上海科技出版社七年级下册第八章《因式分解》小结评价教学目标：通过情境创设、融错思辨、问题导引，加深学生对因式分解概念、方法、结果的理解，初步体验因式分解在数学学习中的应用，体会因式分解的必要性.教学重点：引导学生理清因式分解的方法教学难点：引导学生体会错误的产生根源教学准备：PPT 课件教学过程：课前引入：一．情境创设：1. 已知2-=x ，求下列各式的值：思考：观察计算结果，你发现了什么你有什么话想对同学说2.什么是因式分解因式分解的依据是什么举例说明.3.99993-能被100整除吗二．训练反思：活动1：下列变形中属于因式分解的是（）×3=6 =2×3 C. ()()44162-+=-x x x D.()()16442-=-+x x x设计意图：使学生明白因式分解的意义，同时请学生回答另外三个式子是什么运算它们分别是有理数乘法，分解质因数，多项式乘法.活动2：下列因式分解结果正确的是（）A. ()521022+-=+-a a aB. ()()21232+-=+-x x x xB. ()123-=-y y y y D.222141⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x 设计意图：这里给出的三种错误都是学生经常出现的，通过辨别，使学生明白因式分解首先是恒等变形，其次结果中的每一个因式必须不能再分解.活动3：42+x 能分解因式吗如果能，请把它分解出来.如果不能，请你添加一个整式后，使它能分解因式.试一试，看谁的方法多.设计意图：这是一道开放性问题，可以引导学生从不同的角度去思考，整式包括哪些式子因式分解有哪些方法最后教师和学生一起归纳出四种情况：（1）可以用提取公因式法（2）可以用平方差公式（3）可以用完全平方公式（4）可以用分组分解法活动4：利用因式分解进行简便运算：你还能对下面的式子进行简便运算吗设计意图：培养学生利用因式分解解决实际计算问题的能力，渗透转化的数学思想，让学生体会到学习数学带来的快乐.活动5：若n 是整数，那么n n -3一定能被6整除吗为什么设计意图：培养学生利用因式分解解决整式中的有关证明，使学生明白利用因式分解对整式进行变形后，式子的变化可以带来结果的变化，体会因式分解在学生学习中的必要性.三．反思收获：因式分解要计算，确定顺序是关键首先寻找公因式，发现提取莫忽视两项平方差公式，三项完全平方式四项分组分解法，三一二四要合适如果还是行不通，转化变形一定行结果我们要注意，恒等分完记心中四．巩固练习：1. 计算：497714772+⨯-2. 已知162+x ，按要求添加一个适当的整式，并进行分解因式：（1）可以用提取公因式法（2）可以用平方差公式（3）可以用完全平方公式（4）可以用分组分解法《因式分解》学案复习回顾：1.已知2-=x ，求下列各式的值：3. 什么是因式分解因式分解的依据是什么4. 活动1：下列变形中属于因式分解的是（）×3=6 =2×3 C. ()()44162-+=-x x x D.()()16442-=-+x x x活动2：下列因式分解结果正确的是（）C. ()521022+-=+-a a a B. ()()21232+-=+-x x x x()123-=-y y y y D.222141⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x 活动3：42+x 能分解因式吗如果能，请把它分解出来.如果不能，请你添加一个整式后，使它能分解因式.试一试，看谁的方法多.活动4：利用因式分解进行简便运算：你还能对下面的式子进行简便运算吗活动5：若n 是整数，那么n n -3一定能被6整除吗为什么作业：1.说明777-7773能被3整除.2.已知92+x ，按要求添加一个适当的整式，并进行分解因式：（1）可以用提取公因式法（2）可以用平方差公式（3）可以用完全平方公式（4）可以用分组分解法。

《分解因式》复习指导
喻碧涛
【期刊名称】《中学生数理化：八年级数学（北师大版）》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】一、重点和难点 1.重点正确理解分解因式的概念以及它与整式乘法的区别、联系,能够熟练地运用提公因式法和公式法把多项式分解因式. 2.难点:能用类比的思想方法去分析、理解整式乘法与分解因式的关系,能灵活选择适当的方法将一个多项式分解因式.……
【总页数】4页(P24-27)
【作者】喻碧涛
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.《分解因式》复习指导 [J], 喻碧涛
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3.巧用顺口溜妙分解因式 [J], 沈珍连
4.精准分析学情精心设计问题——例谈运用公式法分解因式的复习课教学 [J], 马欢
5.多项式分解因式到什么时候为止 [J], 张义启
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