八年级数学竞赛讲座：第一讲 因式分解(一)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】假如多项式的各项有公因式，依据乘法分派律的逆运算，能够把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分派律。

多项式的公因式确实定方法是：（1）当多项式有同样字母时，取同样字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大条约数，公因式能够是数、单项式，也能够是多项式。

下边我们经过例题进一步学惯用提公因式法因式分解【分类分析】1.把以下各式因式分解（1）a2 x m 2abx m 1acx m ax m3（2）a(a b) 32a2 (b a) 22ab(b a)分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解： a 2 x m 2abx m 1acx m ax m 3ax m (ax 2bx c x 3 )（2）有时将因式经过符号变换或将字母从头摆列后可化为公因式，如：当 n 为自然数时，(a b) 2n(b a) 2n； (a b) 2n 1(b a) 2 n 1，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解： a(a b)3 2a 2 (b a) 2 2ab(b a)2. 利用提公因式法简化计算过程987 987 987 987 例：计算 1232684565211368136813681368分析：算式中每一项都含有987，能够把它当作公因式提拿出来，1368再算出结果。

解：原式987 (123 268 456 521)13683. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组2x y 3 ，求代数式 (2 xy)(2 x3y) 3x( 2x y) 的5x 3y2值。

分析：不要求解方程组，我们能够把2xy 和 5x 3y 当作整体，它们的值分别是 3 和2 ，察看代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 2x y 和 5x 3y 的式子，即可求出结果。

数学竞赛专题讲座因式分解1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．关于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，因此上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看作是关于x的二次三项式．关于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解因此原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．假如把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这确实是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．依照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．关于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样方法的，然而当多项式f(x)的系数差不多上整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．专门地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们依照上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，因此依照定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，因此原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，专门要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：因此，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式能够化为9x2-3x-2，如此能够简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，假如能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就能够分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如此，我们就能够连续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用专门广泛，那个地点介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式通过分析，能够确信它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时能够用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个专门值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．因此原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，依照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，因此，在有理数集内，原式没有一次因式．假如原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，因此有由bd=7，先考虑b=1，d=7有因此原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯独性，因此对b=-1，d=-7等能够不加以考虑．本题假如b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。

人教版八年级数学上因式分解讲座一、学习目标1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力．2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解．3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题．二、基础知识 基本技能1．因式分解(1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解的注意事项①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确．②分解因式的对象必须是多项式，如把5a 2bc 分解成5a ·abc 就不是分解因式，因为5a 2bc 不是多项式；再如把1x 2－1分解为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1也不是分解因式，因为1x2－1不是整式． ③分解因式的结果必须是积的形式，如x 2＋x －1＝x (x ＋1)－1就不是分解因式，因为结果x (x ＋1)－1不是积的形式．④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x 2－x ＝x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 就不是分解因式，因为x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 不是整式的乘积形式． ⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是 1.如4x 2－6x ＝x (4x －6)．结果中的因式4x －6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x 2－6x ＝2x (2x －3)．【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是( )．A ．x 2y ＋x ＝x 2⎝⎛⎭⎫y ＋1x B ．x 2－4－3x ＝(x ＋2)(x －2)－3xC ．ab 2－2ab ＝ab (b －2)D ．(x －3)(x ＋3)＝x 2－9解析：选项A 右边的其中一个因式不是整式，不符合；选项B 的结果不是整式的乘积，只分解了一部分；选项D 是整式乘法；选项C 符合因式分解的意义，故选C ．解题技巧：分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：n(a＋b＋c)na＋nb＋nc，因式分解是把多项式化为积的形式，注意一要是整式，二要是多项式．【例1－2】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？(1)12a2b＝3a·4ab；(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9；(3)4x2－8x－1＝4x(x－2)－1；(4)2ax－2ay＝2a(x－y)；(5)a2－4ab＋b2＝(a－2b)2.解：(1)不是分解因式．因为等号左边必须是一个多项式，而12a2b是单项式．(2)不是分解因式．因为等号左边(x＋3)(x－3)是积的形式，右边x2－9是一个多项式，不符合分解因式的定义．(3)不是分解因式．因为等号左边虽然是一个多项式，但是等号右边的4x(x －2)－1不是整式积的形式．(4)是分解因式．因为等号左边2ax－2ay是一个多项式，且等号右边2a(x －y)是整式积的形式．(5)不是分解因式．因为分解因式是多项式的恒等变形，左右两边必须相等，而此题左边＝a2－4ab＋b2；右边＝(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2.因为左、右两边不相等，即不是恒等变形，当然不是分解因式．：判断一个式子由左到右的变形是不是分解因式，关键看它是不是把多项式变形为几个整式积的形式，也就是说，变形后第一必须是整式；第二必须是乘积的形式．2．因式分解的基本方法——提公因式法(1)公因式的意义多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同因式叫做这个多项式各项的公因式．如多项式ab＋ac＋ad中，各项都含有因式a，故a是这个多项式的公因式．(2)公因式的确定准确地确定公因式，是运用提公因式法因式分解的关键．确定一个多项式各项的公因式，其方法如下：①确定公因式系数，即数字因数．当各项系数都是整数时，取各项的最大公约数作为公因式的系数；当各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数．②确定公因式的字母及字母指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的．如：多项式4x4＋6x2＋12x3y中，系数的最大公约数是2，相同字母为x，它的最低指数是2，所以这个多项式的公因式应为2x2.③注意：公因式可能是单项式，也可能是多项式．当公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体，这时要注意符号的变化，经常用的变形有：(b＋a)n＝(a＋b)n(n为正整数)，(b－a)n＝(a－b)n(n为偶数)，(b－a)n＝－(a－b)n(n为奇数)．【例2－1】指出下列各多项式中各项的公因式：(1)4x2y3z＋12x3y4；(2)47(x＋1)2y3－12(x＋1)3y4；(3)12x n y2n＋16x n－1y n＋1(n为大于1的整数)．(3)提公因式法①如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．我们在学习乘法分配律时知道，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，现在把它反过来就有ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，这正是提公因式法，可见提公因式法在实质上是逆用乘法分配律．②提公因式法的步骤运用提公因式法分解因式一般分为三步：第一步，确定公因式；方法：系数取最大公约数，相同因式取最低次幂。

初二数学竞赛培训（一）因式分解专题一分解因式的主要方法有提公因式法、应用公式法、分组分解法、拆项添项法、十字相乘法、双十字相乘法、尝试求根法、主元法等主要公式有1）)b a )(b a (b a 22-+=- 2) 222)b a (b ab 2a =+±3) )b ab a )(b a (b a 2233+±=±4）)ca bc ab c b a )(c b a (abc 3c b a 222333---++++=-++5）a n -b n =(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；6）a n -b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；7）a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．1、分解下列因式 1）ab 4c ab 12b a 8333+- 2）22q 41pq 2p 4++ 3）z xy 4yz x 4z x 223-+-4）)1y x (4)y x (2-+-+ 5）9y xy 2x 22-+- 6）1ab b a +++7) 41y 91x x 2nn 2+-+ 8) 1n 2n 22n 2x 92x 271x 31+++--2、已知二次三项式c bx x 22++分解因式后为)1x )(3x (2+-，求b,c 的值3、已知x 、y 为正偶数，且2222y x ,96xy y x +=+求4、已知关于x 、y 的二次式24y 43x 5ay xy 7x 22-+-++可以分解成为两个一次因式的乘积，求a 的值。

5、求方程)y x (07y 2x 2xy ≤=+--的整数解例1 分解下列因式（双十字与尝试求根法）1）22y 6y 3x xy 5x ++++ 2）1x x ...x x x 2131415++++++变式：分解下列因式1）20y 23x 2y 6xy 5x 622-++-- 2）8x 12x 14x 13x 6x 2345+++++3）2x 3x 7x 3x 9234--+- 4）222z 2yz 7xz y 3xy 7x 6-+---例2 分解下列因式（换元法）1）12)2x x )(1x x (22-++++ 2）15)7x )(5x )(3x )(1x (+++++3）2x )6x )(3x )(2x )(1x (+++++ 4）1x 33x 22)1x 3x 2(222-+-+-变式 分解因式1）91)7a 2)(9a )(5a 22---+（ 2）42424x 10)1x 3x )(1x 4x (++++-3）2)1y x ()21y x (2)3xy ()1xy (xy -+-++-+++1、分解因式1）22222b a abx 4x )b a +---（ 2）10)3x x )(4x x (2424+++-+3）6y 13x y 6xy x 22-++-+ 4）)1xy )(1xy ()xy 2y x )(y x (-+++++2、若的值求y x ,28x xy y ,14y xy x 22+=++=++。

第一讲 因式分解一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ）A ．(2a+3)()2a-3)=4a 2-9;B ．4m 2-9=(2m+3)(2m-3)C ．m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;D ．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y);B ．)3(33111x y y x y x y x n m n m n m +-=+---+C ．6)133)((2)(2)(2+--=---b a b a a b b a ;D ．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 )3．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．)444221)(221()(81223b ab a b a b a b a ++++++-=+-B ．)2)(2(4)(222222222xy y x xy y x y x y x -+++=-+C ．22)1(4448-=--a a aD ．))()(()()(22b a b a y x x y b y x a -+-=-+-4．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1)B ．4xy + 1 – 4)21)(21(22y x y x y x ---+=-C ．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x )D ．)21)(21(41422y x y x y x xy --++=--+-5．下列因式分解的变形中，正确的是（ ）A ．))(1()1(22a x x a x a x --=++-B ．)13)(12(61652++=++m m m m C ．))(()(2222222b y a y b a y b a y ++=+⋅++D ．)1)(4)(2)(1(8)3(2)3(222-+--=----x x x x x x x x二、填空题1．在代数式164)3(,)2(,144)1(2222++++-n n mn m x x 中是完全平方式的是__________。

第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。

第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一：它被广泛地应用于初等数学之中：是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活：技巧性强：学习这些方法与技巧：不仅是掌握因式分解内容所必需的：而且对于培养学生的解题技能：发展学生的思维能力：都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上：对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中：我们学过若干个乘法公式：现将其反向使用：即为因式分解中常用的公式：例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)：(2)a2±2ab+b2=(a±b)2：(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)：(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)：(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数：(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)：其中n为偶数：(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)：其中n为奇数．运用公式法分解因式时：要根据多项式的特点：根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4：(2)x3-8y3-z3-6xyz：(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab：(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形：直接使用公式(5)：解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性：现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式：本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式：用它可以推出很多有用的结论：例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然：当a+b+c=0时：则a3+b3+c3=3abc：当a+b+c＞0时：则a3+b3+c3-3abc ≥0：即a3+b3+c3≥3abc：而且：当且仅当a=b=c时：等号成立．如果令x=a3≥0：y=b3≥0：z=c3≥0：则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项：从最高次项x15开始：x的次数顺次递减至0：由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)：所以说明在本题的分解过程中：用到先乘以(x-1)：再除以(x-1)的技巧：这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时：整理、化简常将几个同类项合并为一项：或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时：需要恢复那些被合并或相互抵消的项：即把多项式中的某一项拆成两项或多项：或者在多项式中添上两个仅符合相反的项：前者称为拆项：后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多：这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法：注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出：用拆项、添项的方法分解因式时：要拆哪些项：添什么项并无一定之规：主要的是要依靠对题目特点的观察：灵活变换：因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3：(2)(m2-1)(n2-1)+4mn：(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4：(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目：由于分解后的因式结构较复杂：所以不易想到添加+ab-ab：而且添加项后分成的三项组又无公因式：而是先将前两组分解：再与第三组结合：找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在：同学们需多做练习：积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体：并用一个新的字母替代这个整体来运算：从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开：是关于x的四次多项式：分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体：并用字母y来替代：于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y：则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体：比如今x2+x+1=u：一样可以得到同样的结果：有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式：然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2：则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y：则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知：用换元法分解因式时：不必将原式中的元都用新元代换：根据题目需要：引入必要的新元：原式中的变元和新变元可以一起变形：换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体：但并没有设立新元来代替它：即熟练使用换元法后：并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母：且当互换这两个字母的位置时：多项式保持不变：这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式：经常令u=x+y：v=xy：用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u：xy=v：则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2：(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4：(2)x4-11x2y2+y2：(3)x3+9x2+26x+24：(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1：(2)x4+7x3+14x2+7x+1：(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1：(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。

八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的方法1专题讲解专题3和差化积----因式分解的方法阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l】分解因式___________．解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程：；原式＝；．原式＝．第题分组后能直接提公因式，第题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：；．解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式；；．解题思路：式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是．A．B．c．D．解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：；；．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：．解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级．分解因式：＝___________________________．＝__________________________．．分解因式：＝_________________________；＝_____________________________．．分解因式：＝____________________________．．多项式与多项式的公因式是____________________．．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．．将多项式分解因式的积，结果是．A．B．c．D．．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是．A．B．c．D．．把分解因式，其中一个因式是．A．B．c．D．．多项式有因式．A．B．c．D．0．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么．A．一定是奇数B．一定是偶数c．可为奇数也可为偶数D．一定是负数1．分解因式：；；；；．12．先化简，在求值：其中，．B 级．分解因式：＝_______________．．分解因式：＝_____________．．分解因式：＝_________________________．．分解因式：＝______________________．．将因式分解得．A．B．c．D．．已知是△ABc三边的长，且满足，则此三角形是．A．等腰三角形B．等边三角形c．直角三角形D．不能确定．的因式是．A．B．c．D．E.．分解因式：；；；；；．已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式：．0．分解因式：；；．1．对方程，求出至少一组正整数解．．已知在△ABc中，，求证：．。

《因式分解》说课稿一、说教材一、说教材的地位与作用。

我今天说课的内容是《因式分解》。

因式分解就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。

就本节课而言，着重论述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的彼此关系。

它是在学生把握了因数分解、整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，通过这节课的学习，不仅使学生把握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习分式、解方程及代数式的恒等变形作铺垫。

因此，它起到了承先启后的作用。

二、说目标一、教学目标。

《新课标》指出“初中数学的教学，不仅要使学生学好基础知识，进展能力，还要注意培育学生初步的辩证唯物主义观点。

”因此，依照本节内容所处的地位，我定如下教学目标：知识目标：明白得因式分解的概念和意义，把握因式分解与整式乘法之间的关系。

能力目标：①经历从分解因数到分解因式的类比进程，培育学生的观看、发觉、类比、化归、归纳等能力；②通过对因式分解与整式乘法的关系的明白得，克服学生的思维定势，培育他们的逆向思维能力；情感目标：培育学生乐于探讨，合作的适应，体验探讨成功，感受到成功的乐趣。

二、教重点与难点。

重点是因式分解的概念。

理由是明白得因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的灵魂。

难点是明白得因式分解与整式乘法的彼此关系，理由是学生由整式乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。

在前面学了较长时刻的整式乘法，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。

三、说教法一、教法分析针对初一学生的年龄特点和心理特点，和他们的知识水平，我采纳启发式、发觉法等教学方式，培育学生分析问题，解决问题的能力。

同时遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原那么。

二、学法指导在教师的启发下，让学生成为行为主体。

正如《新课标》所要求的，让学生“动手实践、自主探讨、合作交流”。

3、教学手腕采纳多媒体辅助教学，增加课堂容量，提高教学成效。

四、说教学进程本节课教学进程分以下六个环节：创设情景，引出新知；观看分析，探讨新知；师生互动，运用新知；强化训练，把握新知；整理知识，形成结构；布置作业，巩固提高。

初二级竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3 ＋…＋a2＋a＋1)2、a2±2ab＋b2=(a±b)2；3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b);4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5）其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分）。

三、例题1、添项拆项[例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；　（2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x)（2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)=(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)=(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)[例2]因式分解：（1）x3－11x＋20； （2）a5＋a＋1（1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x ＋4)=x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5)（2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1=a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1)2、待定系数法[例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法，可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y ＋b)，其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得 解得∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5) [另解]原式=2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)，这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－(3y－4)(3y＋5),用待定系数法，可设2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)=[mx－(3y－4)][nx＋(3y＋5)]比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)四、填空题1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a= ，b=。

培优竞赛八年级第一讲：因式分解·基础知识：·问题解决：例1：分解因式：333(23)(32)125()x y x y x y -+---例2：要使二次三项式25x x p --在整数范围内分解因式，那么整数p 可取值有（ ）A.2个B.4个C.5个D.无数个例3：把下列各式分解因式：⑴22(52)(53)12x x x x ++++-⑵2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++⑶()(2)(1)(1)x y x y xy xy xy +++++-例4：分解因式：⑴2a ab ac bc -+-⑵22244x y z yz --+例5：分解因式：⑴326116x x x +++⑵4322928x x x x +---测试1因式分解（一）一选择题（每题5分，共30分）⒈将()()()()2222a b x m n x ab x n m x -+---分解因式时，可提取公因式(). ()A ()()22a b x m x n -+ ()B ()()ab x m x n -+()C ()ab x m - ()D ()ab x n - ⒉下列因式分解中错误的是().()A ()()111a b ab b a --+=-- ()B ()()111a b ab a b +--=+- ()C ()()222222111a b a b a b +++=++ ()D ()()222111a b ab a b -++=-+ ⒊将222222a c ab d b cd ---+-分解因式后有因式().()A a b c d +++ ()B a b c d +-- ()C a b c d -++ ()D a b c d -+-⒋下列各式能用完全平方公式分解因式的是().()A 444x y + ()B 22424x xy y -+ ()C 2244x xy y --+ ()D ()22510x x -+- ⒌如果可以分解为两个整系数的一次因式的积，那么().()A m 一定是偶数 ()B m 一定是奇数 ()C m 是定是正数 ()D m 一定是负数⒍化简的值最接近于()()()()()()()()()()333333333321314199110012131419911001---⋅⋅⋅--+++⋅⋅⋅++().()A 12 ()B 13 ()C 23 ()D 58二、填空题（每题6分，共30分） ⒎分解因式：2244a b x ax -+-= ．⒏分解因式：()()226151y x y x ---+= ． ⒐分解因式：224293x x y y +--= ．⒑分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-= ． ⒒分解因式：()()()2122xy x y x y xy ++++--= ．三、解答题（每题15分，共60分）⒓已知2222221996196a b ++++=+，a 、b 都是正整数，求()2a b +的值．⒔m 是正整治数，215x x m ++能分解为两个系数都为整数的一次因式的积，求m 的值．⒕写出尽可能多的整数a ，使220x ax --在整数范围内可以分解因式．⒖已知0a b c d +=+≠，3333a b c d +=+．求证：ad cd =．。

第1讲 因式分解【考点 .方法 .破译】(一) 考点点击1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

2. 因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法、换元法、主元法、配方法、待定系数法等。

3. 因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。

4. 竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项法、配方法和待定系数法等方法、例如2x px q ++的多项式,当; a p b =+，q ab =时，可分解为()()x a x b +- 的形式。

5. 利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解。

(二)热点提示1． 本章的重难点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。

2. 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

【预见性困难】学生结合自己实际情况认真填表【教材知识全解】一、知识结构二、知识要点因式分解的概念：把一个含字母的多项式表示成多个均含字母的多项式乘积的形式，其中单项式可以看成只有一项的多项式，分解后的多项式是原多项式的因式。

如：f gh =，其中,g h 是f 的因式。

强化观念：⑴整式的乘法是一种运算，而因式分解是对多项式形 式的一种转变。

⑵因式分解是对多项式而言的,单项式不能进行因式分解,如 3...a b a a a b = 就不是因式分解。

⑶因式分解的结果必须是积的形式,不能是和差的形式,如 234(3)4y y y y --=-- 从总体上看，等式的右边是两数之 差，不是积的形式，所以从左边到右边的变形不是因式分解。

(4)因式分解的结果中的每一个因式必须是整式，即分母中不含字母，如11(1)x x x -=- , 结果中的因式中含11x - 不是整式,所以这不是因式分解。

第1讲：因式分解一．因式分解的定义：二．因式分解的方法：1.提取公因式法：提取所有项的公共的因式，将多项式化成两个多项式的乘积的形式例1：分解因式4121315242+-+---+-n n n n n n y x y x y x例2：试说明139792781--能被45整除例3：已知01234=++++x x x x ，求1200820092010+++++x x x x2.运用公式法：运用公式法进行因式分解的关键是利用各公式的特点，建立运用公式的模型，以下公式都应该熟记. 例4：分解因式xyz z y x 68333---例5：分解因式：abc c b a 3333-++例6：分解因式：12131415++++++x x x x x3.分组分解法：关键是如何分组，原则是：①各组能分解或部分组能分解，②组间能继续分解，从而达到分解的目的.常用的分组思路有，按系数分组，按符号分组，安某一字母一次或二次分组，联想公式分组，按项的次数分组等，对多项式分组的方法往往不唯一，但最终的结果是一致的。

例7：分解因式2105ax ay by bx -+-例8：分解因式2222428x xy y z ++-4.十字相乘法：对二次三项式分解的重要方法，即：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中a a a =21，c c c =21， b c a c a =+1221。

十字相乘法通常借助画“十”字来分解系数。

例9：分解因式（1）2524x x +-；（2）226x xy y +-；（3）222()8()12x x x x +-++ 例10：分解因式（1）22y 8xy 6x 5-+；（2）225681812x xy y x y +++++例11：已知：,,a b c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+= 求证：2b a c =+5.求根公式法：一般适合于对二次三项式的因式分解，如要对c bx ax ++2进行因式分解，可令02=++c bx ax ，若0≥∆，则方程有两个实数根，可用一元二次方程的求根公式求出，设为21,x x ，则有()()212x x x x a c bx ax --=++ 例12：分解因式：222(1)616 (2)44x x x xy y +-+-例13：分解因式：422x +x +2ax+1-a6.拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

第一讲 因式分解综合一、 知识回顾因式分解的基本方法：（1）提取公因式；（2）运用公式法；（3）分组分解法；（4）十字相乘法。

因式分解的其他常用方法：（5）拆项、添项；（6）换元法；（7）双十字相乘法；（8）待定系数法；（9）利用因式定理分解。

二、 对称式、交代式和轮换式1． 对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。

如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母a ，b 的对称式。

2． 交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。

例如a b -，22a b -。

3． 轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式。

如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等。

三、 对称式、交代式和轮换式的因式分解由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法。

因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解。

四、 例题例1. 分解因式66()()x y x y x y -+-例2. 分解因式32332a a a +++例3. 分解因式222()()()x p q x pq p q p q -+++-例4. （92年四川初中联赛试题）分解因式22276212x xy y x y -++--例5. 分解因式4322928x x x x +--+例6. 分解因式3333x y z xyz ++-例7. （第六届莫斯科数学奥林匹克）分解因式333()()()b c c a a b -+-+-例8. 分解因式()()()y z z x x y xyz ++++例9. 分解因式333()()()a b c b c a c a b -+-+-例10. 分解因式()()a b c ab bc ca abc ++++-五、 因式分解的应用例11.已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例12. （第9届莫斯科奥林匹克）证明：对于任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33： 543223453515412x x y x y x y xy y +--++例13. （1982年天津初中数学竞赛）已知在ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=例14.（基辅数学奥林匹克）证明对于任意整数n ，65222n n n n +--能被120整除六、 练习题1． 选择题（1）下列式子中，是轮换对称多项式的有（ ）○132x y z ++ ○2234432x y z x y z +++ ○32233xy y z z x ++ ○4333222x y z x y z ++--- A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）若2222223()()x y xy y z yz z x zx xyz k x y z xy yz zx ++++++=++++，则k 的值是（ ）A ．12 B ．1 C ．3 D ．－1（3）将444222222222a b c a b b c c a ++---分解因式得（ ）A ．2222()a b c --B ．222222(2)(2)a b c bc a b c bc --+---C ．()()()()a b c a b c a b c a b c +--+++--D ．()()()()a b c b c a c a b a b c +-+-+-++2． 分解因式（1）222()()()a b c b c a c a b -+-+-（2）222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-（3）222333()()()()2x y z y z x z x y x y z xyz +++++-++-3． 若多项式32x ax bx ++能够被(5)x -和(6)x -整除，那么a=______；b=______；4． 已知0a b c d +++=，33333a b c d +++=，求证： （1）33()()0a b c d +++=；（2）()()1ab c d cd a b +++=。