2021-2022年高二数学下学期期中试题理实验班

甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答 案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答 案〗B〖解 析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答 案〗C〖解 析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答 案〗B〖解 析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答 案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。

高2021级数学 第1 页 共 4 页 高2021级数学 第 2页 共 4 页高2021级高二下学期期中质量检测 2023.04.25理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数−=+z 1i2i，则=z （ ） A ．1BCD2．数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治 3．已知复数=+∈∈z a b a b i R,R )(，且+=−z 12i 1i )(，则−=a b （ ）A ．52B ．51C ．−52D ．−514．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（ ） A ．54B ．32C ．52D ．535．命题p :“∀∈−+>x x mx R,102”，命题q :“<m 2”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．命题“∃∈+∞a 0,)[，>a a sin ”的否定形式是（ ）A ．∈+∞∀a 0,)[，≤a a sinB ．∃∈+∞a 0,)[，≤a a sinC ．∀∈−∞a ,0)(，≤a a sinD ．∃∈−∞a ,0)(，>a a sin7．)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列a n }{称为“斐波那契数列”，则=a 7（ ） A ．8B ．13C ．18D ．23． B ． C ． ．9．地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥补了 单一地面交通的不足.成都地铁9号线每5分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是（ ）A ．0.6B ．0.8C ．0.4D ．0.210．已知命题∀∈p x :R ，>−x sin 1；命题∃∈+=+q x y x y x y :,R,sin sin sin )(，则下列命题是真命题的是（ ） A ．∧p q B ．∧⌝p q )( C ．∨⌝p q )( D ．⌝∧p q )(11．已知−=x a x 012在∈+∞x 0,)(上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎝⎦⎥ ⎛⎤e 20,1B ．⎝⎭⎪⎛⎫2e 0,1C ．⎝⎦⎥ ⎛⎤1,e 2e 1D ．⎝⎭⎪⎛⎫1,e 2e 112.函数=f x x ln 2)(的图象与函数=−+−−xg x x x x 2e e 1)(的图象交点的横坐标x 0，则e x xln 200＝ （ ） A ．−ln 2B ．－21C ．21D ．ln 2高2021级数学 第3 页 共 4 页 高2021级数学 第4页 共 4 页第二部分（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若()2i i 2i a b +=+，则i a b +=（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意()2i i 2i 2i a a b +=-+=+，所以2222b a a b -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以i a b +==故选：A2．下列函数的求导不．正确的是（ ） A ．()232x x --'=-B ．()cos cos sin x x x x x '=-C ．()1ln1010'=D ．()22x x e e '=【答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A ：由幂函数的导数公式得：()232x x --'=-.故A 正确； 对于B ：由导数的四则运算得：()cos cos sin x x x x x '=-.故B 正确； 对于C ：因为常值函数的导数为0，所以()ln100'=.故C 错误； 对于D ：由导数的四则运算得：()22x x e e '=.故D 正确. 故选：C.3．利用反证法证明“已知12345100a a a a a ++++≥，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（ ） A ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 均不大于20 B ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20 C ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不都大于20 D ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 至多有一个小于20 【答案】B【分析】根据量词的否定即可求解.【详解】1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20的否定是: 1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20.故选:B4．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．[]1,0-【答案】C【分析】设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，求出导数，即可求出切线方程，从而得到0ln 1a x =+，0b x =-，即可得到a b +的表达式，构造函数，利用导数求出函数的单调性与最大值，从而得解；【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点， 由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-， 即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-， 所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞， 所以()111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞； 故选：C5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的是真的，从而推理出正确答案.【详解】甲说：丁>乙；乙说：甲>丙；丙说：丙>丁；丁说：丙>乙.若甲的成绩最低，甲说的是真，乙丙丁说的是假，则丁>乙>丙>甲，符合题意. 若乙的成绩最低，乙说的是真，丁说的是假，即丙<乙，与乙的成绩最低矛盾，不符合题意.若丙的成绩最低，丙说的是真，即丙>丁，与丙的成绩最低矛盾，不符合题意. 若丁的成绩最低，丁说的是真，丙说的是假，即丙<丁，与丁的成绩最低矛盾，不符合题意. 故选：A6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y （单位：万元）与贷款x 满足关系式12ln 9y x x x=--+，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A ．3万元 B ．4万元 C ．5万元 D ．6万元【答案】B【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意12ln 9y x x x=--+，且010x <≤， ()()2'22243112121x x x x y x x x x -++-++=-+==， 所以函数12ln 9y x x x=--+在()'0,4,0y >，函数递增；在()'4,10,0y <，函数递减.所以当4x =万元时，函数取得最大值. 故选：B7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为 A ．44r π B ．43r πC ．42r πD ．4r π【答案】B【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W V '=，求出所求．【详解】由题知，,S l V S ''==，所以类比推理，猜想，W V '=，因为312V r π=， 所以43W r π=，故选B ．【点睛】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力．8．函数()sin sin cos f x x x x =+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可排除错误答案，从而得解； 【详解】解：因为()sin sin cos f x x x x =+，[],x ππ∈-，所以()()()()()sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x f x -=-+--=--=-， 所以()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D ；又sin sin cos 102222f ππππ⎛⎫=+⋅=> ⎪⎝⎭，故排除A ，又3313316sin sin cos 133332f ππππ⎛⎫=+⋅=>= ⎪⎝⎭，故排除C ； 故选：B9．利用数学归纳法证明不等式()211112321nf n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．k 项 B ．22k 项 C ．12k -项 D ．232k ⋅项【答案】D【分析】由数学归纳法，可知增加的项，由分母的改变量即可求解. 【详解】n k =时,左边为()211112321kf k +++⋅⋅⋅+<-， 当1n k =+时，左边为()2222211111111123212212221kk k k k ++++⋅⋅⋅+++++-++-左边增加了()2222111112212221k k k k +++++++- ，共有()()2122212132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦. 故选：D10．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,18B ．()2,18C ．(][)218-∞⋃∞,,+ D ．[]2,18 【答案】B【分析】求出导函数，得到函数在()0,+∞上的单调性，列不等式，即可得到答案.【详解】()2,0.af x x x x '=->当a ≤0时, ()0.f x '>恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a >0时,令()0.f x '>可得：22a x >；令()0f x '<，可得：202a x <<， 所以要使函数()f x 在()1,3内有极值点，只需2132<<a,解可得,2<a <18. 故选：B11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以111121231a =⨯=. 故选：C12．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]12ln2e 3--, B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【答案】D【分析】由方程12ln 0x x x mx -+-=分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x-=-+=， 所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,. 故选：D 二、填空题13．(12x dx =⎰________【答案】14π+【详解】因11(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而122(2)101x dx =-=⎰，2222000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t πππππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．14．已知复数12z =-，则z z =______．【答案】12-【分析】先求出z ，再利用复数的四则运算直接求解. 【详解】因为复数12z =-，所以复数12z =-，所以21212z z ⎛⎫- ⎪==-⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-15．已知函数()()21e e e e 2x x f x a a x =+--（其中R,e a ∈为自然对数的底数）在x ＝1处取得极小值，则a 的取值范围是______． 【答案】()e,∞-+【分析】先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，结合()f x 在1x =处取得极小值来求得a 的取值范围.【详解】()()()()'2e e e e e e e x x x xf x a a a =+--=+-，当0a ≥时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意. 当0a <时，由e 0x a +=解得()ln x a =-，①当()ln 1,e 0a a -<-<<时，()f x 在区间()()()()'ln ,1,0,a f x f x -<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.②当()ln 1,e a a -≥≤-时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞>递增，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是()e,∞-+. 故答案为：()e,∞-+16．已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立．则11b a ++的最大值为______． 【答案】12e【分析】由不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤进行转化，先利用特殊值求得11b a ++的取值范围，再利用导数求得11b a ++的最大值. 【详解】依题意：不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即()()ln 2e 1121x x a x b +-≤+-+①对任意的()0,x ∈+∞恒成立， ln 2e 1y x x =+-在()0,∞+上递增，则10a +>，由①，令1e x =得()()111ln 2e 1121e e e a b +⋅-≤+⋅-+，整理得1112eb a +≤+.当13e 1,2a b =-=时，1112eb a +=+，此时，①即ln 2e 13e 3x x x +-≤-，只需ln e 20x x -+≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()()'e 1ln e 20,x f x x x x f x x-+=-+>=， 所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞< ⎪⎝⎭递减，所以()111ln e 20e e e f x f ⎛⎫≤=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：12e【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，主要步骤是先化简不等式，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等来进行求解. 三、解答题17．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）设0a b ≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+．（2）设0a >，求证：2211a a a a+≥+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差可得33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，由0a b >，可得2()0a b -，可得2()()0a b a b +-，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）证明如下：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+- 22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0a >，0b >，∴0a b +>，而()20a b -≥， ∴()()20a b a b +-≥， 故3322()()0a b a b ab +-+≥， 即3322a b a b ab +≥+．（2）证明：要证2211a a a a+≥+， 只要证431a a a +≥+， 只要证43(1)0a a a ---≥， 只要证3(1)(1)0a a a ---≥，只要证()31(1)0a a --≥， 只要证()22(1)10a a a -++≥，因为2(1)0a -≥，22131024a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以()22(1)10a a a -++≥成立，所以0a >时，2211a a a a+≥+成立． 19．已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线所在的直线方程；(3)若抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，求点M 的坐标和最短距离．【答案】(1)1a =，2b =，1c =- (2)420x y --=(3)()1,2M 【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P 点坐标代入两个函数式，可解得,,a b c ；（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；（3）由抛物线的导数值等于4可得M 点坐标，再由点到直线距离公式可得结论． 【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是()()()332100lim lim 3x x x x a x x x ax y y x a x x∆→∆→+∆++∆-+∆'===+∆∆． ()()()22200lim lim 2x x x x b x x c x bx c y y x b x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+∆∆．将()1,2P 分别代入两曲线方程得到21a =+，21b c =++．又213y x a '=+，22y x b '=+，则32a b +=+，解得1a =，2b =，1c =-． (2)由（1）知3y x x =+，2131y x '=+；当1x =时，14y '=，故切线方程 为()412y x =-+，即420x y --=．由（1）知221y x x =+-，222y x '=+，当1x =时，24y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．综上所述，公切线所在的直线方程为420x y --=．(3)要使抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，则抛物线在点M 处 的切线斜率应该与直线45y x =-相同， 则()()()2200lim lim 224x x x x b x x c x bx c y y x x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+=∆∆，解得1x =．又因为点M 在抛物线上，解得()1,2M ， 所以最短距离即d 为点M 到直线45y x =-的距离，代入点到直线的距离公式得d =20．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈） (1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？ (2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？ 【答案】(1)6.67万元 (2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】(1)当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =-- ()3322e e ,1x xx p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤> 此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max3e ()12ln e 12318ep x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.21．已知函数()e xf x =，()cosg x x =-．(1)讨论函数()()()g x F x f x =的单调性；(2)设函数()()()G x f x g x ax =+-（R a ∈），若()G x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)增区间π3π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，减区间3π7π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2)π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()F x 的单调区间.（2）由()'0G x ≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，分离常数a ，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围. 【详解】(1)()()()cos e xg x xF x f x -==，()F x 的定义域为R .()'sin cos πsin e 4x x x F x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 设Z k ∈， ππ3π2π2ππ,2π2π444k x k k x k <+<+-<<+， π3π7π2ππ2π2π,2π2π444k x k k x k +<+<++<<+， 所以()F x 在区间()()'π3π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭递减.(2)()()()e cos xG x f x g x ax x ax =+-=--，π2x ≥-，()'e sin 0x G x x a =+-≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，e sin x a x ≤+在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，令()πe sin 2xh x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，当ππ22x -≤≤时，()'cos 0,e cos 0x x h x x ≥=+>； 当π2x >时，e 1cos 1x x >≥≥-，()'e cos 0xh x x =+>， 所以()h x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，()ππ22ππe cos e 22h x h --⎛⎫⎛⎫≥-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2e a -≤，即a 的取值范围是π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】由函数()f x 在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用()'f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.22．如图，()111,P x y 、()222,P x y 、⋅⋅⋅、(),n n n Px y （120n y y y <<<⋅⋅⋅<）是曲线C ：y =上的n 个点，点(),0i i A a （i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是等腰直角三角形，其中i P 为直角顶点，0A 是坐标原点．(1)写出1a 、2a 、3a ；(2)猜想点(),0n n A a （*n ∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)12a =，26a =，312a = (2)证明见解析【分析】（1）推导出()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，结合0a 的值，可求得1a 、2a 、3a 的值；（2）结合1a 、2a 、3a 的值可猜想得出()()*1n a n n n =+∈N ，然后利用数学归纳法结合()()()2*112n n n n a a a a n ---=+∈N 和{}n a 为单调递增数列，可证得猜想成立.【详解】(1)设00a =，则依题意，可得12n nn a a x -+=，11122nn n n n n a a a a y a ---+-=-=， 代入y x =1122n n n n a a a a ---+= 即()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，由图可知{}n a 为单调递增数列，所以，1n n a a +>，所以12a =，26a =，312a =．(2)由（1）可猜想：()()*1n a n n n =+∈N ． 下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当n k =时猜想成立，即有()1k a k k =+，则当1n k =+时，由()()2112k k k k a a a a ++-=+得()()211121k k a k k k k a ++-+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()2211211120k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()112k a k k +=++（()11k k a k k a +=-<不符合题意，舍去）， 即当1n k =+时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即()()*1n a n n n =+∈N ．。

山东省聊城市聊城第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则000()()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．()012f x -'B ．()02f x '-C ．()0f x 'D ．()02f x '2．已知()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（）A ．8-B ．8x-C ．228x -D ．228x 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，则π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值为（）A ．π2B ．π12-C ．1-D ．π-4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（）种．A ．34B ．816C ．216D ．2105．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（）A ．0.6B ．0.625C ．0.5D ．0.36．已知2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m >-C ．3m >-D ．3m ≥-7．在()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中，3x 的系数为（）A ．120B ．84C ．210D ．1268．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,346a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多选题9．随机变量ξ的分布列为：ξ012Pa2b 2b 其中0ab ≠，下列说法正确的是（）A ．1a b +=B ．3()2b E ξ=C ．()D ξ随b 的增大而减小D ．()D ξ有最大值10．已知102(0)ax a⎛> ⎝展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在含6x 的项D ．展开式中含15x 项的系数为4511．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C ．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为96625D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为4512．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的有（）A ．10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,e)上单调递减C ．126x x +>D ．若221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<三、填空题13．全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．14．同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则4次试验中至少有2次成功的概率是______________．15．若77017(21)x a a x a x +=++⋯+，则7+11(1)i i i ia =-=∑______________．16．若函数()g x 在区间D 上有定义，且,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈均可作为一个三角形的三边长，则称()g x 在区间D 上为“M 函数”．已知函数()1ln x f x x k x-=-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？18．已知2mx⎛+ ⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12．(1)求m 的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．19．已知函数()2()e 61x f x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值；(2)求函数()f x 在区间[0,6]上的最值．20．将10株某种果树的幼苗分种在5个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需20元，用X 表示补种费用．(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求5个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X 的数学期望．21．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：容易题中等题难题答对概率0.70.50.3答对得分345(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望．22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件，(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a ．23．已知函数()e 3xf x ax =+-在0x =处的切线为=2y -．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．参考答案：1．A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为()f x 在0x x =处可导,所以，由导数的定义可得：()0000000()()()()11limlim 222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-⎡-∆-⎤⎛⎫⎛⎫'=-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥∆-∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A 2．D【分析】利用二项式定理求得()1nx -的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解之即可求得展开式中的第3项.【详解】因为()1nx -的展开通项为()()1C 11C kkk n kk k k n n T x x -+=-=-，所以()1nx -的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，因为()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以26C C n n =，由性质22C C n n n-=得26n -=，故8n =，所以()1nx -展开式中的第3项为()2222381C 28T x x =-=.故选：D.3．B【分析】先对()f x 求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，所以ππππsin 66612f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4．B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果．【详解】从7人中任选3人，不同的选法有37C 种，而不选男教师的选法有33C 种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有3373C C 34-=种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有44A 24=种．则这7名教师不同的安排方法有3424816⨯=种．故选：B ．5．B【分析】先由题意求得目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果．【详解】记事件A 为“甲命中目标”，事件B 为“目标至少被命中1次”，则()1(10.5)(10.6)0.8P B =--⨯-=，()0.5(10.6)0.50.60.5P AB =⨯-+⨯=，()0.5()0.625()0.8P AB P A B P B ===．故选：B.6．D【分析】求出导函数，推出12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数m 的取值范围．【详解】2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数则1()20f x x m x '=++≥在区间(1,2)上恒成立即12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立设1()2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1,2)x ∈22221))()2012(1(1x h x x x x '=-+=-=<函数()h x 在(1,2)上是减函数，则()(1)3h x h <=-所以3m ≥-．故选：D ．7．C【分析】先通过求出各项二项式中3x 的系数，再利用组合数的性质即可得解.【详解】因为()1nx +的展开通项为1C 1C k n kk k kk n n T x x -+==，所以()1x +的展开式中没有3x 这一项，()21x +的展开式中没有3x 这一项，()31x +的展开式中3x 的系数为33C ，()41x +的展开式中3x 的系数为34C ，……()91x +的展开式中3x 的系数为39C ，所以所求3x 的系数为333434910C C C C 210+++== .故选：C.8．B【分析】由条件可得cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，考虑构造函数()()cos f x g x x=，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以()tan ()f x x f x '<-⋅可化为sin ()()0cos xf x f x x'+⋅<，即cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，设()()cos f x g x x=，则()()()()2cos sin cos cos f x f x x f x xg x x x ''+⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，因为πππ643<<，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πππ643πππcos cos cos 643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，即πππ23643f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b a >>，故选：B.9．ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案．【详解】根据分布列的性质得122b ba ++=，即1a b +=，故A 正确；根据期望公式得3()012222b b bE a ξ=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；根据方差公式得222333()(0)(1)(2)22222b b b b bD a ξ=-⨯+-⨯+-⨯222333(0)(1)(1)(2)22222b b b b b b =-⨯-+-⨯+-⨯22959525(424936b b b =-+=--+，因为01b <<，当509b <≤时，()D ξ随b 的增大而增大；当519b <<时，()D ξ随b 的增大而减小，故C 错误；当59b =时，()D ξ取得最大值2536，故D 正确，故选：ABD ．10．BD【分析】由1x =结合展开式的各项系数和得出1a =，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可．【详解】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令1x =，得10(1)1024a +=，∵a ＞0，∴a ＝1则二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项为：()520102211010C C rr rr r r T xx --+==展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错误；由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B 正确；令52062r -=，可得285r =不是自然数，则展开式中不存在含6x 的项，故C 错误；令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为210C 45=，故D 正确，故选：BD ．11．ACD【分析】对于ABC ，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D ，根据题意得到第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得X 的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有45选择方法，对于A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为454A 54322455555125⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为154A 5155555125==⨯⨯⨯，故B 错误；对于C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为2244C 46449655555625⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为15，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14()455E X =⨯=，故D 正确.故选：ACD.12．AD【分析】根据参变分离构造函数()ln xg x x=，根据()g x 的性质，即可判断A ；求导得()f x '，结合10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可判断B ；构造函数()()()()2e ,e,2e F x f x f x x =--∈，利用导数求解12x x +的范围，即可判断C ，根据()21,f f a ⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小关系结合()f x 的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由()0f x =等价于ln xa x=，令()()2ln 1ln ,x x g x g x x x -'==，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 单调递增；在()e,+∞单调递减，当e x =时，()g x 取极大值()1e =eg ，当()1,0x g x <<；当1x >时，()0g x >，()10g =，则121e,e,x x <<>10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确．对于B ，()11axf x a x x-'=-=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1e a <，所以()f x 在(0,e)单调递增，故B 错误；对于C ，由A 可知120e x x <<<，当22e x ≥时，122e x x +>，当()2e,2e x ∈时，令()()()()()()e ln ln 2e 2e 2e ,e,2F x f x x x ax f x a x x =--=-+-∈--，11112e()222e 2e (2e )F x a a a a x x x x x x =-+-=-=----'，()()22e,2e ,2e 2e e x x x x x ∈∴-=-+< ，()()2e 22202e eF x a a x x =->--'∴>，()F x ∴在()e,2e 上单调递增，()()e 0F x F ∴>=，()()2e f x f x ∴>-，则()()222e f x f x >-，又()()21f x f x = ，()()122e f x f x ∴>-，又()f x 在()0,e 上单调递增，12e 2e 0x x >>->，122e x x ∴>-，122e x x ∴+>，综上122e x x +>，故C 错误；对于D ，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12110,,x x a a ⎛⎫⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()110f a f x =-<= ，11x ∴>，()2222ln 2lne 20f f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，22x a ∴<，21221ax x a a-∴-<-=，故D 正确，故选：AD ．13．625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5555⨯⨯⨯种，即625种，故答案为：625.14．67256【分析】由题意可知4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得出答案．【详解】 同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率为111224⨯=，∴在4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4次试验中至少有2次成功的概率是2234234444131315412167C +C C 44444256256256256⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：67256．15．14【分析】由二项式定理可求0127,,,,a a a a ⋅⋅⋅，利用组合数性质化简+1(1)i i ia -，结合二项式定理求值.【详解】因为()()()()0127071625707777772(1C 12C 122))C 21C 12(1x x x x x x +==+++⋅⋅+⋅+，化简可得0122277777777C 2C 22(1C C 2)x x x x =++++⋅⋅⋅+，又77017(21)x a a x a x +=++⋯+，所以72C ,0,1,2,3,4,5,6,7,i ii a i ==当1,2,3,4,5,6,7i =时，()()()1767!6!C 77C !7!1!61!i i i i i i i i -=⋅=⋅=---+，所以()1+1+1+111766(1)(1)2C (1)7C 214C 2i i i i i i i i i i i a i ---⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅=-⋅=⋅-，所以()()77711+11166111(1)14C214C 2i i i i i i i i i ia ----===-=-=-∑∑∑，所以()()()()()7126+10615246066661(1)14C 12C 12C 12C 12i i i ia =-=-+-+-+⋅⋅⋅+-∑，所以()76+11(1)141214i i i ia =⎡⎤-=+-=⎣⎦∑，故答案为：14.16．()2e 4,-+∞【分析】先由题意得到()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，再利用导数求得()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，从而求得k 的取值范围.【详解】根据题意可知()g x 在区间D 上为“M 函数”，则有()()min max 2g x g x >且()min 0g x >，因为()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，所以()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，因为()11ln 1ln e 1e x f x x k x k x x x -⎛⎫=-+=--+≤≤ ⎪⎝⎭，所以()22111x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，得1e x <≤；令()0f x ¢>，得11ex ≤<；所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减，则()()max 1f x f k ==，又111e ln 2e e e f k k ⎛⎫=--+=+- ⎪⎝⎭，()11e 1ln e e e f k k =--+=-，则()111e 2e 2e 0e e 2f f ⎛⎫-=-+<-+< ⎪⎝⎭，即()1e e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()min 12e e f x f k ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，所以()22e 2e 0k k k ⎧+->⎨+->⎩，解得2e 4k >-，所以实数k 的取值范围为()2e 4,-+∞.故答案为：()2e 4,-+∞.17．(1)75种；(2)65种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，其中只有医生的情况数有455C =，不可能存在只有护士的情况．故共有70565-=种不同的建组方案.答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解.18．(1)7；(2)114﹒【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12列出关于m 的方程，解方程即可求得m ；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为()152222122rr m m rrr r r mm T C xx C x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，∴展开式中第4项的系数为332m C ⋅，倒数第4项的系数为332m m mC --⋅，33332122m m m m C C --⋅∴=⋅，即611,722m m -=∴=．（2）展开式共有8项，由(1)可得当522rm -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =．19．(1)单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-，极大值是18e -，极小值是54e -(2)最大值为6e ，最小值为54e -．【分析】（1）对()f x 求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）()2()e 45e (5)(1)x xf x x x x x =--'=-+．令()0f x '>，得1x <-或5x >；令()0f x '<，得15x -<<，所以()f x 的单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-．所以()f x 的极大值是1(1)8e f --=，()f x 的极小值是5(5)4e f =-．（2）因为6(0)1,(6)e f f ==，由（1）知，在区间[0,6]上，()f x 有极小值5(5)4e f =-，所以函数()f x 在区间[0,6]上的最大值为6e ，最小值为54e -．20．(1)34(2)135512(3)25元【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数Y 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得()E Y ，再由数学期望的性质求得()E X ，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率2212131C 24P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）得每坑要补种的概率1114P -=，所以5个坑中恰有2个坑需要补种的概率2322513135C 44512P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）设5个坑中需要补种的坑数为Y ，则Y 服从二项分布，即15,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以15()544E Y =⨯=而20X Y =，故()20()25E X E Y ==（元），所以X 的数学期望为25元.21．(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)172【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到X 的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X 的每一个取值的概率求出，从而得到X 的的分布列，从而求得X 的数学期望．【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.70.70.49P =⨯=；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：30.70.30.21P =⨯=；因为132P P P >>，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，则11771177(3),(7)2221040221020P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯=，11331177(8),(11)221040221040P X P X ==⨯⨯===⨯⨯=，11331133(12)2,(16)221020221040P X P X ==⨯⨯⨯===⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 378111216P740720340740320340所以77373317()3781112164020404020402E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．(1)2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(2)()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对L 求导，令0L '=得3823ax +=或18x =，讨论3823a +与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．（2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，令0L '=，解得：3823ax +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤，①当38216173a+≤<，即5 6.5a ≤<时，当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减，∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -；②当38217183a+≤≤，即6.58a ≤≤时，当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，∴当17x =时，L 取最大值7a -，综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩23．(1)1a =-；极小值为2-，无极大值(2)2【分析】（1）利用导数的几何意义得到()00f '=，从而求得1a =-，进而利用导数与函数的极值的关系求得()f x 的极值；（2）将问题转化为e 2e 1x x x t +<-恒成立问题，结合（1）中结论得到()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，从而求得()0min 1g x x +=，由此求得[]t 的最大值．【详解】（1）根据题意，易得函数()f x 的定义域为R ，因为()e x f x a '=+，由已知得()00f k '==，即0e 0a +=，则1a =-，所以()e 3x x f x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢>，得0x >；令()0f x '<，得0x <；所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的极小值为()02f =-，无极大值．（2）因为当0x >时，e 10x->，故不等式()e 2xt x t -<+等价于e 2e 1x x x t +<-，令e 2()e 1x x x g x +=-，则()()2e e 3()e 1x x xx g x --=-'，()min t g x <，由（1）得()e 3xx f x =--在(0,)+∞上单调递增，又因为2(1)e 130,(2)e 230f f =--<=-->，所以()f x 在(0,)+∞有唯一零点0x ，且012x <<，所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，又当()00,x x ∈时，()0f x <，则()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x >，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 的最小值为()()0min g x g x =，由()00g x '=得00e 3x x =+，所以()()00000000321e 22e 1x x x g x x x x x +=+=+=-++，因为012x <<，所以()023g x <<，因为()min t g x <，所以[]t 的最大值为2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2021-2022年高二下学期期中考试数学试题含答案一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为___________.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为___________.3、经过点且与直线平行的直线的方程为___________.4、过点且与圆相切的直线的方程是___________.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为___________.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为___________.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为___________.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为___________.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=___________.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为___________.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为___________.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是___________.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）； （B ）；（C ）； （D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（） （A ）相交但不过圆心； （B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切； （D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点. （1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.上外附属大境中学xx第二学期期中考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：120分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为____.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____.3、经过点且与直线平行的直线的方程为____.4、过点且与圆相切的直线的方程是__或__.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为____.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为____.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为__8__.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为____.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=__4__.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为____.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为____.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是__②③__.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（ B ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（ C ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（ A ）（A ）； （B ）；（C ）； （D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（ A ）（A ）相交但不过圆心； （B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切； （D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.关于轴的对称点为，则直线方程为，则反射点即为直线与轴交点，.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.（1）2242202y x y y b y x b⎧=⇒-+=⎨=+⎩，AB ===，解得.（2）由得，设，则由点到直线距离公式可得：，解得或，即或.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.（1）（2）的两条渐近线分别为，则交点分别为和，从而由题意224333m m OA OB m ⋅=-+=⇒=20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点.（1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.（1）；（2），椭圆方程为（3），设.由得，即，则当且仅当时，取到最小值为，此时(2,EM FN +=+=，与是平行的.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.（1）；（2），椭圆上的点到点距离的最小值为，此时椭圆上点的横坐标为40338 9D92 鶒Yt?24795 60DB 惛24880 6130 愰N30153 75C9 痉36851 8FF3 迳39976 9C28 鰨26304 66C0 曀27921 6D11 洑。

2021—2022学年度其次学期一般高中模块监测 高二数学（理）第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量()1,1,0a =，则与a 共线的单位向量e =A. 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. ()0,1,0C. 22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. ()1,1,12.已知曲线()ln f x x x =，则其在()()1,1P f 处的切线方程是 A.22y x =- B. 22y x =+ C. 1y x =- D. 1y x =+ 3.设随机变量()0,1N ξ，若()1P p ξ≥=，则()10P ξ-<<=A.12p - B. 12p + C.p D. 1p - 4.甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是 A.13 B. 427 C.49 D. 1275.6本不同的书分给甲乙丙三人，每人2本，不同的分法种数为 A. 6 B. 12 C. 60 D. 906.某单位为了了解用电量y （度）与气温()x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：（度） 由表中数据得线性回归方程为ˆybx a =+中2b =-，猜测当气温为3C -时，用电量的度数约为 A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 7.甲同学练习投篮，每次投篮命中的概率为13，假如甲投篮3次，则甲至多有1次投篮命中的概率为 A.2027 B. 49 C.827 D.1278.从1，，,,3,4,5中任取2个不同的数，大事A=“取到的2个数之和为偶数”，大事B=“取到的2个 均为偶数”，则()|P B A 等于A.18 B. 14 C. 25 D. 129.某班主任对班级51（可能用到的公式：()21122122121212n n n n n n n n n χ++++-=，可能用到的数据：()()226.6350.01, 3.8410.05P P χχ≥=≥=）参照以上公式和数据，得到的正确结论是A. 有95%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少有关B. 有95%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少无关C. 有99%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少有关D. 有99%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少无关 10. ()(3411x --的开放式中2x 的系数是A. 3B. 0C. 3-D. 6-第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知(),xf x xe =则()1f '= .12.已知()929012912x a a x a x a x -=++++，则0129a a a a ++++= .13.已知在正方体1111ABCDA B C D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDB D 所成角的正弦值为 .14.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共 有 个.15.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = .三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）已知在n的开放式中，第6项为常数项. （1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；.（3）求开放式中全部有理项.17.（本题满分12分）已知曲线()ln f x x ax b =++在()()1,1f 处的切线与此点的直线1322y x =-+垂直. （1）求,a b 的值；（2）若函数()f x 在点P 处的切线斜率为11e+，求函数()f x 在点P 处的切线方程.18（本题满分12分）如图，已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线上B D ''，60.HDA ∠= （1）求DH 与CC '所成角的大小；（2）求DH 与平面ADD A ''所成角的大小.19（本题满分12分）箱中装有4个白球和()m m N *∈个黑球，规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球的1分，现从箱中任取3个球，假设每个球取出的可能性都相等，记随机变量X 表示取出的3个球所得分数之和. （1）若()265P X ==，求m 的值； （2）当3m =时，求X 的分布列和数学期望E(X).20（本题满分13分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的正方形，PAD 是正三角形， 平面PAD ⊥平面ABCD ，E,F,G 分别为PA,PB,BC 的中点. （1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.21（本题满分14分）现有甲、乙、丙三人参与某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为12，乙、丙应聘成功的概率均为()022tt <<，且三人是否应聘成功是相互独立的. （1）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值； （2）若三人中恰有两人应聘成功的概率为732，求的值； （3）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当2ξ=时，对应的概率最大，求()E ξ的取值范围.。

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 113a =()1211n n a n a ++=-∈+N 2022a =A ．2B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，，113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ）A ．10B ．15C ．20D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，，1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ）{}n a n 12n n S a b -=⋅+ab A ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.1a a b =+2a a =32a a =2ab =-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a 故，解得：.()22a a a b =+2ab =-故选：A 4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即，1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即，3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦，2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故，22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以.2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ 5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610 14916 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，1145+=14712++=故第四个五边形数为.1471022+++=故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得，()()()()22221sin 1sin 11x x x x f x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x ⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++-'-=+即，()()f x f x ''=-则()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=故选：.D 7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x '=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+∵x >0，∴，∴．2211111112222xx x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为()f x ()f b ()f x ()f a C ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增，()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>a b c>>b c a>>b a c>>【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增，()0g x ¢>()()f xg x x =()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A 10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）()5ln f x x a x x =--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x ≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立，()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x ≤+又5x x +≥=x =所以，a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ）()21cos sin 4f x x x x x=-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间．1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵，()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为．81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{na 11a=-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2na 2022a=【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，，11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，，34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+--- 20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++- 321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=-20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________.143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值q 143a a a +【详解】设四个数为，，，，1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则.214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______．【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即，12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x=-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立，12x x <()F x ()0F x '≥因为，()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x -++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x +≤+又，所以，即，12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n a b n ={}n b nT【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2)1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案；()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得，11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②，2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴，13n n a a -=13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，{}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴，13n na -=13n n n n nb a -==∴，，01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n n T --=+++++ ∴，01231112111113113333333313n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴．13313932122323443n n n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.{}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}n b n n T 【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为，{}n a d 由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：，124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- (84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111(22121n b n n ∴=--+1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ .11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：2n n S n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：，()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：，()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：，()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：；n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；；111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即；()*1,n k k k N =≥∈21k kS k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k kk S k k ++=+∴，12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立.N*n ∈21k kS k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x<<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b 上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：，()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：．32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得：()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值，2x =-()h x 443k -当时，有极小值，2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩．204433k ∴-<<故实数的取值范围是k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数．21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.22sin 2cos x x xa x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增，(,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x在，，，上，，单调递减，(2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得，0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以，22sin 2cos x x x a x +=-令，，，22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即，[2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增，()g x [2π]π又，，24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则，()f x [,]2ππ242a ππ- 故的取值范围，．a (022π。

吉林省长春市第二十九中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理1.已知集合{}{}=1,0,1,=|11A B x x --≤<,则A B ⋂= ( ) A. {}0 B. {}1,0- C. {}0,1D.{}1,0,1-2.141681-⎛⎫⎪⎝⎭的值是( ) A. 23 B. 32 C.481 D. 814-3.若直线,a b ⊥且直线a 平面,α则直线b 与平面α的位置关系是( ) A. b α⊂ B. b αC. b α⊂或b αD. b 与α相交或b α⊂或b α 4.过点()1,3P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ）A. 210x y +-=B. 250x y +-=C. 250x y +-=D. 270x y -+=5.直线:10l mx y m -+-=与圆()22:15C x y +-=的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 6.下面程序运行后,输出的值是( )A.42B.43C.44D.457.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[)27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A. 56B. 60C. 120D. 1408.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A.14B.π8C.12D.π49.22sin 15cos 15︒+︒=( ) A.1B.0C.-1D.210.已知三点(1,2)A ,(3,4)B --,(2,)C x 共线,则x 为( ) A.72-B.72C.53D.53-11.在ABC ∆中若()()3a b c b c a bc +++-=，则A = ( )A. 90B. 60C. 135D. 15012.已知等差数列{}n a 的前13项之和为39,则678a a a ++等于( ) A.6B.9C.12D.18二、填空题13.函数()log 32a y x =--的图像过的定点是_______. 14.函数232y x x =--的定义域是__________. 15.已知等比数列{}n a 的公比q 13q =-,则13572468a a a a a a a a ++++++的值为__________.16.过点()3,1作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________. 三、解答题17.已知函数2π()sin()sin 3cos 2f x x x x =--(1).求()f x 的最小正周期和最大值; (2).讨论()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性18.数列{}n a 中, 10a =且132n n a a +=+ （1）求数列{}n a 的前5项;（2）由1猜想数列{}n a 的一个通项公式 （3）求证数列{}1n a +为等比数列19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．（1）证明 : //PA 平面EDB ； （2）证明: PB ⊥平面EFD .20.已知曲线1C 的极坐标方程6cos ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线1C ,2C 相交于,A B 两点.（1）把曲线1C ,2C 的极坐标方程化为直角方程; （2）求弦AB 的长度.21.已知函数()12f x x x =-+- （1）求不等式()3f x ≥的解集（2）若存在实数x 满足()27,f x a a ≤-++求实数a 的取值范围四、附加题23. 把数列{21}n ＋依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：（3），（5,7），（9,11,13），（15,17,19,21），（23），（25,27），（29,31,33），（35,37,39,41），(43)，……则第104个括号内各数之和为________________参考答案1.答案：B解析：∵1,0,1,B B B -∈∈∉ ∴{}1,0A B ⋂=-. 故选B. 2.答案：B解析：11441681381162-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.答案：D4.答案：A解析：设所求直线的方程为20x y m ++=, ∵(1,3)-在直线20x y m ++=上,∴23? 0m -++=,∴1m =-∴所求直线的方程为210x y +-=,故选A. 5.答案：A 解析：选.A 由题意可知,直线10mx y m -+-=过定点()1,1,又因为点()1,1,在圆()2215x y +-=的内部,所以直线l 与圆C 是相交的,故选.A 6.答案：C解析：当45i =时,满足条件,执行1i i =-,输出i 的值是44. 7.答案：D解析：由频率分布直方图知,数据落在[)22.5,30的频率为()2.50.160.080.040.7⨯++=.故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7140⨯=.故选D. 8.答案：B解析：设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,正方形内切圆的面积为,根据对称性可知,黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半,所以黑色部分的面积为π2根据几何概型的概率公式,得所求概率ππ248P ==故选B.9.答案：A解析：因为22sin cos 1αα+=,其中α为任意角,所以22sin 15cos 151︒+︒=.故选A. 10.答案：B解析：设AB k AC =,所以(3,4)(1,2)[(2,)(1,2)]k x ---=- 所以(4,6)(1,2)k x --=-, 所以4k =-,6322x k -=-=,所以72x =.故选B. 11.答案：B解析：由22222()()()23a b c b c a b c a b bc c a bc +++-=+-=++-=， 化简，得222,b c a bc +-=根据余弦定理，得2221cos .222b c a bc A bc bc +-=== 又∵(0,180),60A A ∈∴=12.答案：B解析：由题意，得1339S =，所以71339a =，解得73a =，所以67873339a a a a ++==⨯= 13.答案：()4,2-解析：当4x =时, ()log 4322a y =--=-,即定点为()4,2- 14.答案：[]3,1-解析：要使函数y =,则2320x x --≥,解得31x -≤≤,则函数y =[]3,1-.15.答案：-3 解析：16.答案：解析：17.答案：(1).2π()sin()sin 2f x x x x =-cos sin cos2)x x x =+1sin 2cos2)2x x =+1sin 2x x =sin(2)3πx =-因此()f x 的最小正周期为π, (2).当2π,63πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有2π3π0x ≤-≤,从而当π023π2x ≤-≤时, 即π612π5x ≤≤时, ()f x 单调递增; 当2π23ππx ≤-≤时, 即5π2π123x ≤≤时, ()f x 单调递减. ()f x 在5π,612π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.18.答案：（1）由10a =且132n n a a +=+,得2132=30+2=2a a =+⨯,3232=32+2=8a a =+⨯,4332=38+2=26a a =+⨯,5432=326+2=80a a =+⨯,所以,数列{}n a 的前5项为0,2,8,26,80（2）猜想1=31n n a --（3）由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+,而1110a +=≠, 所以数列{}1n a +是一个首项为1,公比为3的等比数列 19.答案：（1）证明:连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA //EO ．而EO ⊂平面EDB ， 且PA ⊄平面EDB ， 所以,PA //平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD ，且BC ⊂底面ABCD ∴PD ⊥BC .∵ 底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ,PD DC D =，PD ⊂平面PDC ，DC ⊂平面PDC ,∴ BC ⊥平面PDC ． 而DE ⊂平面PDC ， ∴DE ⊥BC .又∵PD CD =,E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ，PCBC C =，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .∴DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB ．又EF ⊥PB ，且DEEF E =，DE ⊂平面EFD ，EF ⊂平面EFD ，所以PB ⊥平面EFD20.答案：（1） 由6cos ρθ=,得26cos ρρθ=,所以226x y x +=,即曲线1C 的在极坐标方程为()2239x y -+=. 由()4R πθρ=∈,可知曲线2C 的在极坐标方程为y x =.（2）因为圆心(3,0)到直线y x =的距离32d r ==,所以弦长AB ==所以AB的长度为21.答案：（1） ()23,11,12,22321x x x x f x x x x -+≤⎧⎪<=-+-=<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时,得233x -+≥,解得0,x ≤ 当12x <<时,得13≥,所以,x ∈∅ 当2x ≥时,得233,x -≥解得3x ≥综上可知,不等式()3f x ≥的解集为(][),03,-∞⋃+∞（2）由()()12121,x x x x -+-≥---=依题意得271a a -++≥,即260,a a --≤解得23,a -≤≤故a 的取值范围是[]2,3-22.答案：2072解析：由题意知1044=26，∴第104个括号中最后一个数字是2×260+1， ∴2×257+1+2×258+1+2×259+1+2×260+1=2072。

数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，则复数1i i -的共轭复数所对应的点在 A. 第一象限 B. 其次象限 C. 第三象限 D.第四象限2. .函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在内(),a b 的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内的极大值点有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. 对于(),0,,2,a b a b ab ∈+∞+≥（大前提）112,x x x x +≥⋅（小前提）所以12x x +≥，（结论），以上推理过程中的错误为A. 大前提B. 小前提C. 结论D.无错误4. 用反证法证明命题：,,,,1,1,1,a b c d R a b c d ac bd ∈+>+>+>则,,,a b c d 中至少有一个负数“时的假设为A. ,,,a b c d 全都大于等于0B. ,,,a b c d 全为正数C. ,,,a b c d 中至少有一个正数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11111,,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+6. 已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是 7.右图中阴影部分的面积是 A. 23 B. 923- C. 323 D.353 8.已知曲线()41x f x e tx =-+上存在与直线13y x =垂直的切线，则实数t 的取值范围是 A. 34t > B. 34t ≤ C. 112t >- D. 112t ≤- 9. 将正偶数按下边的规律排列，第19行，从左到右，第6个数是 A. 654 B. 656 C. 658 D. 660 10.对于R 上的可导的任意函数()f x ，若满足()320x f x +≥'，则必有 A. ()()31222f f f ⎛⎫-+-<- ⎪⎝⎭ B. ()()31222f f f ⎛⎫-+->- ⎪⎝⎭ C. ()()31222f f f ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭ D. ()()31222f f f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.11.已知复数2a ii +-为纯虚数，那么实数a = .12.已知函数()f x 的导函数()f x '，且满足()()2533f x x xf '=+，则()5f '= .13.函数()21x xf x e =+的最大值为 .14.已知点()()1122,log ,,log a a A x x B x x 是函数()log 1a y x a =>的图像上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A,B 两点之间函数图象的下方，因此有结论1112log log log 22a a a x x x x ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立.运用类比的思想方法,若点()()1122,cos ,,cos C x x D x x 是函数cos ,22y x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象上任意不同两点，则类似的有 成立.15.已知函数()()23x x axf x a R e +=∈在[)4,+∞上是减函数，则a 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD 190, 1.2DAB AD CD AB ∠====直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD .（1）求证：;FA BC ⊥（2）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值.17.(本小题满分12分)已知函数()1x af x x e =-+（,a R e ∈为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值. 18.(本小题满分12分) 已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 底面ABCD 为菱形，60,2,ABC AB PA E ∠==是线段BC 的中点. （1）求异面直线PE 和CD 所成角的余弦值； （2）求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值； （3）在线段PD 上是否存在一点F ，使得//CF 平面PAE ， 并给出证明. 19.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足关系式()33.1n n n S a n N n *+=-∈+ （1）求1234,,,a a a a 得值； （2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 20.(本小题满分13分) 一小型机械加工厂生产某种零件的年固定成本为15万元，每生产1千件零件需另投入1.6万元.设该加工厂一年内生产该种零件x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()P x 万元，且()22111.6,01230106250,12x xP x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润y （万元），关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该工厂在这种零件的生产中所获得的年利润最大.(注：年利润=年销售收入—年总成本)21.(本小题满分12分)已知函数()ln 1x x f x x ++=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()2x x aF x xf x x ++=-在[]1,e 上有最小值32，求a 的值；（3）假如当1x ≥时，不等式()11af x x ≥++恒成立，求实数a 的取值范围.。

2021年高二下学期期中考试数学试题一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点且与直线平行的直线的方程为 _.4、双曲线的虚轴长是 _.5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _.6、直线被圆所截得的弦长等于 _.7、已知方程 表示双曲线，则实数的取值范围为 _.8、过点且与圆相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线的两个焦点分别为、,为双曲线上一点，且,则的面积是 .10、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若点， 的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线方程为 .11、若方程只有一个解，则实数的取值范围是 _.12、下列五个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角的范围是；②直线与过，两点的直线相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是；⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是或；正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线与直线的位置关系是…………………………（）（A）相交（B）平行（C）重合（D）由决定14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为…………（）（A） 1 （B）（C）（D）不确定15、已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16、已知曲线：，下列叙述中错误．．的是………………………………（）（A）垂直于轴的直线与曲线只有一个交点（B）直线（）与曲线最多有三个交点（C）曲线关于直线对称（D）若，为曲线上任意两点，则有三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17、已知△ABC的三个顶点是、、，求（1）边所在直线的一般式方程；(4分)（2）边上的高所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过,且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线：（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（5分）（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于、两点。

2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷附解析注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列{a n}，S n是其前n项和，若S10＝a10＝10，则（）A．a5＝2B．a5＝﹣2C．S5＝18D．S5＝﹣20【答案】D【分析】设数列{a n}的公差为d，由题意可得，解得a1＝﹣8，d＝2，再根据通项公式和求和公式即可求出．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，由题意可得，解得a1＝﹣8，d＝2，∴a5＝a1+4d＝0，S5＝＝﹣20，故选：D．【知识点】等差数列的前n项和2.若正项等比数列{a n}，中，a1•a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比为（）A．B．1C．3D．9【答案】C【分析】根据题意，设数列{a n}的公比为q，将a1•a3＝a2，变形可得（a2）2＝a2，解可得a2的值，又由q3＝，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设数列{a n}的公比为q，若a1•a3＝a2，则有（a2）2＝a2，解可得a2＝1或0（舍），a5＝27，则q3＝＝27，则q＝3，故选：C．【知识点】等比数列的通项公式3.如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x1）与f′（x2）的大小关系是（）A．f′（x1）＞f′（x2）B．f′（x1）＜f′（x2）C．f′（x1）＝f′（x2）D．不能确定【答案】A【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（x1）为点A处切线的斜率，f′（x2）为点B处切线的斜率，结合函数的图象分析切线的斜率，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x1）为点A处切线的斜率，设其斜率为k1，f′（x2）为点B处切线的斜率，设其斜率为k2，由函数的图象可得k1＞k2，即有f′（x1）＞f′（x2）；故选：A．【知识点】导数及其几何意义4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝2，S4﹣S3＝，则数列{a n}的前4项和为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，分析可得a4＝，由等比数列的通项公式可得q的值，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1＝2，S4﹣S3＝，即a4＝，则q3＝＝，则q＝，故数列{a n}的前4项和S4＝＝，故选：A．【知识点】等比数列的前n项和5.已知函数f（x）在x0处的导数为f′（x0），则等于（）A．mf′（x0）B．﹣mf′（x0）C．D．【答案】A【分析】根据题意，由极限的运算性质可得＝m，结合导数的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝m＝mf′（x0），故选：A．【知识点】导数及其几何意义6.设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（1）＝1，当x＜0时，xf'（x）+f（x）＞0，则使|f（x）|＞成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【答案】C【分析】设F（x）＝xf（x），根据函数的单调性和奇偶性问题转化为|F（x）|＞F（1）＝1，求出不等式的解集即可．【解答】解：设F（x）＝xf（x），易知函数F（x）为奇函数，且当x＜0时，F′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，故函数F（x）在R递增，将目标不等式转化为|F（x）|＞F（1）＝1，结合函数的单调性得：|x|＞1，解得：x＜﹣1或x＞1，故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：C．【知识点】利用导数研究函数的单调性7.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【答案】B【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．【知识点】等比数列的通项公式8.设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（）A．f（2）＜f（e）＜f（π）B．f′（π）＜f′（e）＜f′（2）C．f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）【答案】C【分析】f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，由，可得＜，可得y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误．【解答】解：∵f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵，∴＜，∴y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．∴f（2）＜f（e）＜f（π），f′（π）＜f′（e）＜f′（2），可知：A，B正确．∵f（3）﹣f（2）＝，表示点A（2，f（2）），B（3，f（3））的连线的斜率．由图可知：f′（3）＜k AB＜f′（2），故D正确．C项无法推出，故选：C．【知识点】利用导数研究函数的单调性二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。

2021—2022学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷出卷人：王鹏程审卷人：何运保一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．已知//a α，b α⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面2．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱锥D ．正方体3．已知空间直线l 和平面α，则“直线//l 平面α”是“直线l 在平面α外”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（）A ．234aB ．232aC 2D 25．l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥，βγ⊥，l αγ= ，则l β⊥B ．若m n ⊥，n l ⊥，则m l∥C ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥6．已知三棱锥S ABC -中，2SC AB ==，,E F分别是,SA BC 的中点，1EF =，则EF 与AB 所成的角大小为（）A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π7．已知非零向量324a m n p =-- ，(1)82b x m n y p =+++ ，且m 、n 、p不共面．若//a b ，则x y +=（）．A ．13-B ．5-C ．8D ．138．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是6，则正视图中的x 的值是（）A ．9B ．8C ．3D ．69．已知空间向量()0,1,2AB =- ，2AC = ，2,3AB AC π= ，则AB BC ⋅= （）A ．5B 5C ．5D 510．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（）A ．24B ．24C ．12D ．1211．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1CC 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面的面积为A ．1B ．98C ．89D 12．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是该正方体对角线1BD 上的动点，给出下列四个结论：①1AC B P⊥②APC △面积的最大值是③APC △④当BP =ACP ∥平面11AC D 其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．圆台两底面半径分别为2cm 和5cm ，母线长为cm ，则它的轴截面的面积是________cm2.14．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A B 上任一点，则1AD 与CM 位置关系是___________.15．如图，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中4O A ''=，1O C ''=，则原图形周长是__________．16．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC =，OH kOD = .(1)求证：E F G H ，，，四点共面；(2)平面AC ∥平面EG .18．如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.(1)该截角四面体的表面积；(2)该截角四面体的体积.19．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且AM FN =，过M 作MH AB ⊥于H ，求证：(1)平面//MNH 平面BCE ；(2)//MN 平面BCE .20．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=︒，2AB AD =.(1)求证：平面PAD ⊥平面PBD ；(2)求二面角A PB C --的余弦值.21．如图，直三棱柱中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =,点M 是11A B 的中点.（1）求证：1B C //平面1AC M ；（2）求三棱锥11A AMC -的体积.22．三棱锥-P ABC 中，AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ，F 分别为PC 和PB 的中点，平面ABC ⋂平面AEF l =．(1)证明：直线l BC ；(2)设M 是直线l 上一点，且直线PB 与平面AEF 所成的角为α，直线PM 与直线EF 所成的角为β，满足2παβ+=，求AM 的值．1．D【分析】a平面α，直线b在平面α内，知//a b，或a与b异面．由直线//【详解】解： 直线//a平面α，直线b在平面α内，∴，或a与b异面，//a b故选：D．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答．2．B【分析】根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征判断即可【详解】用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所以B不满足条件；用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.故选：B.3．A【分析】根据直线l在平面α外则直线l与平面α平行或相交可判定“直线l与平面α平行”与“直线l 在平面α外”的关系．【详解】“直线l与平面α平行”⇒“直线l在平面α外”“直线l在平面α外”则直线l与平面α平行或相交，故“直线l在平面α外”不能推出“直线l与平面α平行”故“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分非必要条件故选A．【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，熟悉定理是解题的关键，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．4．A 【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.【详解】23a ⨯，所2a ，斜高为2a =，所以侧面积为21133224S a a a =创=.选A.【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.5．A 【分析】可利用长方体线线，线面，面面之间的关系.【详解】如下图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，令α为平面1AD ，β为平面1AB ，γ为平面11A C ，易知A 正确；令m 为AD ，n 为DC ，l 为1CC ，易知B 错误；令α为平面1AD ，β为平面1BC ，m 为AD ，n 为1CC ，易知C 错误；令α为平面1AD ，β为平面AC ，l 为1BC ，易知D 错误.故选：A6．B 【分析】取SB 的中点G ，然后根据异面直线所成角的定义证明GEF ∠（或其补角）是EF 与AB 所成的角，进而求得答案.【详解】取SB 的中点G ，连接GF ,GE ，又F 为BC 的中点，所以1//,12EG AB EG AB ==，1//,2GF SC GF SC ==GEF ∠（或其补角）是EF 与AB 所成的角.取GF 的中点H ，连接EH ，则EH ⊥GF ，所以sin 3HF HEF HEF EF π∠==∠=，则23GEF π∠=，所以EF 与AB 所成的角为3π.故选：B.7．B 【解析】先由向量平行，得到b a λ=，利用系数对应相等构建关系，即求得x ，y ，即得结果.【详解】//a b 且0a ≠ ，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=-- ，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .8．D 【分析】由三视图可还原几何体是一个底面为梯形的四棱锥，根据体积公式即可求解高.【详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，高为x ，棱锥的底面是一个上下底分别为1和2，高为2的梯形，故()1=122=32S +⨯梯，又因为几何体的体积为6，所以13663x x ⨯=⇒=故选：D 9．A 【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得AB AC ⋅=，结合()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- ，即可求解.【详解】由题意，空间向量()0,1,2AB =- ，2AC = ，2π,3AB AC = ，可得2πcos 3AB AC AB AC ⋅=⋅= 则()25AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-= .故选：A.10．B 【分析】先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.【详解】如图，设上底面的半径为r ，下底面的半径为R ，高为h ，母线长为l ，则21r ππ=⋅，22R ππ=⋅，解得1,12r R ==，211l =-=，2h ===，设上底面面积为2124S ππ⎛⎫'=⋅= ⎪⎝⎭，下底面面积为21S ππ=⋅=，则体积为(1173342224S S h πππ⎛⎫'+=+⋅= ⎝⎭.故选：B.11．B【分析】取BC 的中点H ，连接,AH GH ，证明平面AHGD 1∥平面A 1EF ，得截面图形，求面积即可【详解】取BC 的中点H ，连接,AH GH ，因为1,EF BC GH EF ⊄ 面AHGD 1，GH Ì面AHGD 1，EF ∴∥面AHGD 1，同理，1A E ∥面AHGD 1，又1A E EF E ⋂=，则平面AHGD 1∥平面A 1EF ，等腰梯形AHGD 1的上下底分别为2，则梯形面积为98，故选B ．【点睛】此题考查了几何体截面问题，灵活运用面面平行的判定是关键，考查空间想象与推理能力，是中档题．12．B【分析】通过证明AC ⊥平面11BDD B 来证明1AC B P ⊥；将APC △的面积表示出来，等价于求PE 长度的最值，从而在1Rt BDD 中分别求得最大值和最小值；通过证明1BD ⊥平面APC 且1BD ⊥平面11AC D 来证明平面//ACP 平面11AC D .【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=，故AC ⊥平面11BDD B ，又111B P BDD B ⊂，则1AC B P ⊥，①正确；连接BD 交AC 与E ，由11EP BDD B ⊂，则AC EP ⊥，12APC S AC PE =⋅= ，则求APC △的面积的最值等价于求PE 长度的最值.在1Rt BDD 中，当1PE BD ⊥时，PE最小，易知BD =，1BD =111sin 3DD DBD BD ∠==，此时1sin PE BE DBD =⋅∠=此时，APC △33==，故③错误；当EP 与1ED 重合时，PE最大，易知DE =1ED =此时，APC△=，故②正确；当3BP =时，在BPE 中，BE =，11cos 3DB DBD BD ∠==，则3PE ===，则PE PB ⊥，又,AC PB AC PE E ⊥⋂=，故1BD ⊥平面APC ，由正方体体对角线性质，易知11111,D A B BD C A D ⊥⊥，即1BD ⊥平面11AC D ，故平面//ACP 平面11AC D ，④正确；故正确的有：①②④.故选：B13．63【分析】首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.【详解】画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm )，AM 9(cm )，所以S 四边形ABCD ＝()41092+⨯＝63(cm 2)．【点睛】本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．垂直【分析】根据线线垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,因为侧棱11A B ⊥平面1BC ,1BC ⊂平面1BC ,所以111A B BC ⊥,又因为四边形11BCC B 是正方形,所以111111,B C BC B C A B B ⊥⋂=,故1BC ⊥平面1B CM ,111//AD BC AD ∴⊥ 平面1B CM ,因此1AD ⊥CM ,故答案为:垂直15．14【分析】根据直观图还原该平面图形，然后可得答案．【详解】在直观图中，设O y ''与B C ''交于点P'，则1C P ''=，3P B ''=，O P ''=在原图形中，4OA =，1CP =，23OP O P OC ''====，所以原图形周长是()24314⨯+=故答案为：1416【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线1CC 距离的函数关系，再求其最小值作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===-- ，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==-- ，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=-- ，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅== ，而||CP = ，则点Р到直线1CC的距离25h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算可得EG EF EH =+ ,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+ ，∵EG OG OE =- ，()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD =⋅-⋅=-==+ ()k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH =-+-=-+-=+ ∴E 、F 、G 、H 四点共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅ ，∴EF AB ∥又因为EF ⊄平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,所以EF ∥平面ABCD又∵EG k AC =⋅ ，∴EG AC ∥，EG ⊄平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,EG ∥平面ABCD ，又EF EG E = ，,EF EG ⊂平面EG所以，平面EG ∥平面AC .18．(1)(2)12.【分析】（1）求出截角四面体一个的正六边形、正三角形的面积即可求解作答.（2）求出原正四面体和截去的一个正四面体的体积，再用割补法求解作答.【详解】（1）依题意，该截角四面体是4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成，截角四面体中，正三角形的面积11112S =⨯⨯⨯边长为1的正六边形的面积21611222S =⨯⨯⨯⨯=，所以该截角四面体的表面积为4442S =⨯⨯（2）该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得，棱长为1的正四面体的高h =3的正四面体的高为3h =则棱长为1的正四面体的体积211134312V ⨯⨯==，棱长为3的正四面体的体积22133V =所以该截角四面体的体积为：2144V V V =--19．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由线面平行的判定推证//MH 平面BCE ，再借助比例式推平行得//NH BE ，利用线面、面面平行的判定推理作答.（2）利用（1）的结论，结合面面平行的性质推理作答.（1）在正方形ABCD 中，MH AB ⊥，BC AB ⊥，则//MH BC ，又MH ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，因此//MH 平面BCE ，由//MH BC ，得AM AH MC HB =，而AM FN =，AC FB =，则有MC NB =，即FN AM AH NB MC HB==，于是得////NH AF BE ，又NH ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，则//NH 平面BCE ，因MH NH H ⋂=，,MH NH ⊂平面MNH ，所以平面//MNH 平面BCE .（2）由（1）知：平面//MNH 平面BCE ，而MN ⊂平面MNH ，所以//MN 平面BCE .20．(1)证明见解析(2)35-【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可；（2）先建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，再利用夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，令1AD =，则BD ==在ABD △中，222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面PAD .又因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAD ⊥平面PBD ；（2）由（1）得AD BD ⊥，以D 为空间直角原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，令1AD =，()1,0,0A，()B，()C -，12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =-，122PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()1,0,0BC =-uu u r ，设平面PAB 的法向量为()111,,n x y z = ，则0,0,AB n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得111110,10,2x x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令11y =，得1x =11z =，所以平面PAB的法向量为)n = ；设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z = ，0,0,BC m PB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,10,2x x =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令22z =，得21y =，所以平面PBC 的法向量为()0,1,2m = .所以3cos ,5n m n m n m ⋅== ，由图可知二面角为钝角，所以所求二面角A PB C --的余弦值为35-.21．(1)证明见解析；（2）16.【分析】（1）连接1AC 交1AC 与N ，则N 为1AC 的中点，利用三角形中位线定理可得1//MN B C ，再由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等积变换可得11A AMC V -11A A C M V -=，再利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】（1）连接1AC 交1AC 与N ，则N 为1AC 的中点，又M 为11A B 的中点，1//MN B C ∴，又因为MN ⊂平面1AC M ，1B C ⊄平面1AC M ，1//B C ∴平面1AC M ；（2）因为，直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =，且点M 是11A B 的中点所以11A AMC V -11A A C MV -=11113A C M S AA ∆=⨯11111132A CB S AA ∆=⨯⨯11111123226=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.22．(1)证明见解析答案第15页，共15页(2)1【分析】（1）由线面平行的判定与性质定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解（1）证明：∵E 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴BC EF ∥，又∵EF ⊂面EFA ，BC ⊄面EFA ，∴BC ∥面EFA ，又∵BC ⊂面ABC ，面⋂EFA 面=ABC l ，∴BC l ∥，（2）以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,2,0A ，()4,0,0B ，()0,1,3P ，130,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132,,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),2,0M m ，()4,1,3PB =-- ，()2,0,0EF = ，330,,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z = 有2033022x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩则平面AEF 的一个法向量为()0,1,3n = 131sin cos ,2205PB n PB n PB n α--⋅====⋅ (),1,3PM m =- ，22cos cos ,1324m PM EF m PM EF PM EF m m β⋅====⋅++⋅+ ∵2παβ+=，∴cos sin αβ=，2154mm =+∴1m =±即存在M 满足题意，此时1AM =。

2021年高二下学期期中考试数学（理科）试卷 含答案程远见 丁勇数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 设i 为虚数单位，则复数5－6ii等于A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i2．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是 A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，至多有两个是偶数3. 已知积分，则实数A ．2B ．C ．1D ．4. 已知函数的导函数如图所示,若为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D.5. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是 A.18B.24C. 36D. 726．某个自然数有关的命题，如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立.现已知当时，该命题成立，那么，可推得A. 时，该命题成立B. 时，该命题成立C.时，该命题不成立D.时，该命题不成立 7．函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 A 、 B 、 C 、 D 、8. 记为函数的阶导函数，即.若且集合()*{|()sin ,,2013}m M m f x x m N m ==∈≤，则集合中元素的个数为（A ） （B ） （C ） （D ）9. 某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为A ．1860B ．1140C ．1320D ．102010. 已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是. B. C. .11. 已知函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为A ．B ．C ．D ．12.设函数=,其中a 1，若存在两个整数x 1,x 2，使得f(x 1),f(x 2)都小于0，则的取值范围是(A) (B)[-，） (C) (D) [，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13、设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为 ▲14.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第行第3个数字是 ▲ ．（用含的式子作答）15.如图，用五种不同的颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不ABCDE F同的涂色方法共 ▲_ 种。

2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二（下）期中数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列求导不正确的是（）A.（2x+cosx）′=2x ln2-sinxB.（x3lnx）'=3x2lnx+x2C. (2sinxx2)′=2xcosx−4sinxx3D.[（3x+5）3]′=3（3x+5）22.（单选题，5分）若复数z满足（1+3i）z=1-i（i为虚数单位），则z所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（12＜X＜52）的值为（）A. 23B. 34C. 45D. 564.（单选题，5分）已知曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，则f（6）+f′（6）=（）A.-11B.-18C.17D.305.（单选题，5分）设（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4的值为（）A.1B.-1C.81D.-816.（单选题，5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种7.（单选题，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则P（2≤ξ＜5）=（）A.0.3B.0.35C.0.5D.0.78.（单选题，5分）已知(x2+ax )5的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（）A.5B.10C.20D.409.（单选题，5分）从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.49B.56C.64D.8410.（单选题，5分）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A.a n+1=a n+n，n∈N*B.a n=a n-1+n，n∈N*，n≥2C.a n+1=a n+（n+1），n∈N*，n≥2D.a n=a n-1+（n-1），n∈N*，n≥211.（单选题，5分）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，面的钉子，碰到钉子后皆以12直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的概率为（）A. 1128B. 7128C. 21128D. 3512812.（单选题，5分）已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2，对于∀x1∈R，x2∈（0，+∞），不等2式f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2恒成立，则整数a的最大值为（）A.1B.2C.3D.413.（填空题，5分）若复数z=1-2i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一个根，则p+q=___ ．14.（填空题，5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为___ ．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=e x −12x 2−kx −1 有两个极值点，则k 的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的两个焦点为F 1（-c ，0）和F 2（c ，0）．直线l 过点F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且（ F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2，则椭圆C 的离心率为 ___ ．17.（问答题，10分）如图，在多面体ABCDEFG 中，矩形ADEF 、矩形CDEG 所在的平面均垂直于正方形ABCD 所在的平面，且AB=2，AF=3．（1）求多面体ABCDEFG 的体积；（2）求平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．18.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ．（1）求C 的大小；（2）若c=1，求b 2-a 2的取值范围．19.（问答题，12分）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n （n∈N *）．（Ⅰ）求证数列 {1T n } 是等差数列； （Ⅱ）设b n =（1-a n ）（1-a n+1），求数列{b n }的前n 项和S n ．20.（问答题，12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为35，25，且每局比赛的结果相互独立．（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．21.（问答题，12分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点M（x，y）的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程：（2）过点F（1，0）的直线l与曲线Γ交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆F：（x-1）2+y2=1的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ ax（a∈R）．（1）若a=1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）=af（x）+x2-2x- a2x有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列求导不正确的是（）A.（2x+cosx）′=2x ln2-sinxB.（x3lnx）'=3x2lnx+x2C. (2sinxx2)′=2xcosx−4sinxx3D.[（3x+5）3]′=3（3x+5）2【正确答案】：D【解析】：利用求导公式表，结合复合函数求导法则，逐个判断各个选项的正误即可．【解答】：解：对于A，（2x+cosx）'=2x ln2-sinx，故A正确，对于B，（x3lnx）'=3x2lnx+ x3•1x=3x2lnx+x2，故B正确，对于C，（2sinxx2）'= 2x2cosx−2sinx•2xx4= 2xcosx−4sinxx3，故C正确，对于D，[（3x+5）3]'=3（3x+5）2•3=9（3x+5）2，故D错误，故选：D．【点评】：本题主要考查了导数的运算，属于基础题．2.（单选题，5分）若复数z满足（1+3i）z=1-i（i为虚数单位），则z所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：B【解析】：先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】：解：∵（1+3i）z=1-i，∴ z=1−i1+3i =(1−i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)= −15−25i，∴ z=−15+25i，∴ z所对应的点（−15，25）位于复平面的第二象限．故选：B．【点评】：本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．3.（单选题，5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（12＜X＜52）的值为（）A. 23B. 34C. 45D. 56【正确答案】：D【解析】：根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．【解答】：解：∵P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），∴ a 2 + a6+ a12+ a20=1，∴a= 54，∵P（12＜X＜52）=P（X=1）+P（X=2）= 54× 12+ 54× 16= 56．故选：D．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分．4.（单选题，5分）已知曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，则f（6）+f′（6）=（）A.-11B.-18C.17【正确答案】：A【解析】：由题意直接求得f′（6），再由点（6，f（6））在切线y=-2x+3上求解f（6），则答案可求．【解答】：解：∵曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，∴f′（6）=-2，又点（6，f（6））在切线y=-2x+3上，∴f（6）=-2×6+3=-9．∴f（6）+f′（6）=-9-2=-11．故选：A．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．5.（单选题，5分）设（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4的值为（）A.1B.-1C.81D.-81【正确答案】：A【解析】：根据题意，在（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=-1可得：（2×（-1）+1）4=a0-a1+a2-a3+a4，即可得答案．【解答】：解：根据题意，（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=-1可得：（2×（-1）+1）4=a0-a1+a2-a3+a4，则有a0-a1+a2-a3+a4=1故选：A．【点评】：本题考查二项式定理的应用，注意特殊值法的使用，属于基础题．6.（单选题，5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（）A.12种B.24种D.48种【正确答案】：C【解析】：根据题意，先安排“数“，然后捆绑“射”和“御”内部全排，看成一个元素和剩下的三个元素全排可求解．【解答】：解：由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有A 22 =2种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A 33 =6种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3×2×6=36种不同的排法．故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．7.（单选题，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则P（2≤ξ＜5）=（）A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7【正确答案】：B【解析】：根据题意，由正态分布曲线的特点分析μ的值，即可得P（ξ＜5）=0.5，然后求出P（2≤ξ＜5）的值．【解答】：解：根据题意，正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则μ=5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x=5，则P（ξ＜5）=0.5，又由P（ξ＜2）=0.15，得P（2≤ξ＜5）=0.5-0.15=0.35．故选：B．【点评】：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，涉及正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．8.（单选题，5分）已知(x2+ax )5的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（）A.5B.10C.20D.40【正确答案】：B【解析】：根据二项式定理展开式，即可解出．【解答】：解：令x=1得，（1+a）5=32，解得a=1，）5展开式中的x4的系数，即（x 2+1x∴ C52(x2)3(x−1)2 =10x4，故选：B．【点评】：本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.49B.56C.64D.84【正确答案】：C【解析】：分别在甲、乙有且仅有1人入选和甲、乙2人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果．【解答】：解：甲、乙有且仅有1人入选、丙没有入选的情况有：C21C82=56种；甲、乙2人都入选、丙没有入选的情况有：C81=8种；∴甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有56+8=64种．故选：C．【点评】：本题主要考查排列组合计数问题，排列组合的实际应用等知识，属于基础题．10.（单选题，5分）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A.a n+1=a n +n ，n∈N *B.a n =a n-1+n ，n∈N *，n≥2C.a n+1=a n +（n+1），n∈N *，n≥2D.a n =a n-1+（n-1），n∈N *，n≥2 【正确答案】：B【解析】：根据题意，结合等差数列的求和公式算出a n =1+2+3+…+n= n (n+1)2，由此再对各个选项加以判断．【解答】：解：根据题意，可得a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，… 发现规律：a n =1+2+3+…+n= n (n+1)2， 而a n+1-a n =(n+1)(n+2)2-n (n+1)2 = n+12[（n+2）-n]=n+1 故a n+1=a n +n+1成立， 即a n =a n-1+n ，n∈N *，n≥2， 故选：B ．【点评】：本题给出图形的特殊排列，叫我们依此判断命题的真假．着重考查了等差数列的通项与求和公式、数列递推式的推导等知识，属于中档题．11.（单选题，5分）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以 12 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第 ③ 个格子的概率为（ ）A. 1128B. 7128C. 21128D. 35128【正确答案】：C【解析】：其落在第③个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，由此能求出其落在第③ 个格子的概率．【解答】：解：从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，∴从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的概率为：P= C72(12)2(12)5= 21128．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．12.（单选题，5分）已知函数f(x)=(x−1)e x−a2x2，对于∀x1∈R，x2∈（0，+∞），不等式f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2恒成立，则整数a的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：原不等式变形可得f（x1+x2）+（x1+x2）＞f（x1-x2）+（x1-x2），令g（x）=f（x）+x，则问题转化为对任意x1∈R，x2∈（0，+∞），有g（x）在R上单调递增，然后对函数g（x ）求导，可得g′（1）≥0，求得a=3，再验证即可．【解答】：解：∵f （x 1+x 2）-f （x 1-x 2）＞-2x 2，又-2x 2=（x 1-x 2）-（x 1+x 2），∴f （x 1+x 2）-f （x 1-x 2）＞（x 1-x 2）-（x 1+x 2），即f （x 1+x 2）+（x 1+x 2）＞f （x 1-x 2）+（x 1-x 2），令g （x ）=f （x ）+x ，则g （x 1+x 2）＞g （x 1-x 2），∴对任意x 1∈R ，x 2∈（0，+∞），有g （x ）在R 上单调递增， ∵ g (x )=(x −1)e x −a2x 2+x ， ∴g′（x ）=xe x -ax+1≥0在R 上恒成立， 又g′（1）=e-a+1≥0，则a≤e+1＜4，下证a=3时符合题意，此时g′（x ）=xe x -3x+1， 易知当x≤0时，g′（x ）=xe x -3x+1≥xe x +1，考查函数y=xe x ，y′=（x+1）e x ，易知函数y=xe x 在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，∴ (xe x )min =−1e ，故 g′(x )≥1−1e ＞0 ；当x ＞0时，g′（x ）=xe x -3x+1＞x （x+1）-3x+1=x 2-2x+1=（x-1）2≥0； ∴符合条件的最大整数为3． 故选：C ．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查转化思想，函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.（填空题，5分）若复数z=1-2i （i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，则p+q=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：由已知条件可得， z =1+2i 也是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，再结合韦达定理，即可求解．【解答】：解：∵复数z=1-2i （i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，∴ z =1+2i 也是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根， ∴ {1+2i +1−2i =−p (1+2i )(1−2i )=q ，解得 {p =−2q =5 ， ∴p+q=-2+5=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查共轭复数的概念，以及韦达定理，属于基础题．14.（填空题，5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为___ ． 【正确答案】：[1] 717【解析】：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P （A ）= 85100 ，P （AB ）= 35100 ，再利用条件概率的概率公式即可求出结果．【解答】：解：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次， 事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次， 则P （A ）= 85100 ，P （AB ）= 35100 ，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P （B|A ）= P (AB )P (A ) = 3510085100=3585 = 717 ，故答案为： 717 ．【点评】：本题主要考查了条件概率，是中档题．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=e x −12x 2−kx −1 有两个极值点，则k 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x ）=e x -x-k 有两个不同根，利用参数分离法进行转化求解即可．【解答】：解：函数f （x ）=e x - 12x 2-kx-1有两个极值点， ∴f′（x ）=e x -x-k=0有两个不同根， ∴k=e x -x ， 设g （x ）=e x -x ，∴g′（x ）=e x -1，令g′（x ）=0，解得x=0，当x ＜0时，g′（x ）＜0，函数单调递减， 当x ＞0时，g′（x ）＞0，函数单调递增， ∴g （x ）min =g （0）=1，当x→-∞时，g （x ）→+∞，当x→+∞时，g （x ）→+∞， ∴k ＞1，故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题主要考查导数的综合应用，结合函数极值与导数之间的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 16.（填空题，5分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的两个焦点为F 1（-c ，0）和F 2（c ，0）．直线l 过点F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且（ F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2，则椭圆C 的离心率为 ___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：由向量线性运算化简已知等式得到 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2 ，由向量数量积定义可求得|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， cos∠F 1F 2M =12 ，可知△AF 1F 2为等边三角形；利用椭圆定义可得4c=2a ，进而可得椭圆离心率．【解答】：解：设AF 2与直线l 交点为M ，则M 为AF 2中点，AF 2⊥F 1M ；∵ (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 2F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2 ，∴ |F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠F 1F 2A =|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||F 1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2c 2 ，∴ |F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ， |AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，∴ cos∠F 1F 2M =c 2c =12 ，则 ∠F 1F 2M =π3 ，又 |AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，∴△AF 1F 2为等边三角形，则 |AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， 由椭圆定义知： |AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4c =2a ， ∴椭圆离心率 e =ca =12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题． 17.（问答题，10分）如图，在多面体ABCDEFG 中，矩形ADEF 、矩形CDEG 所在的平面均垂直于正方形ABCD 所在的平面，且AB=2，AF=3． （1）求多面体ABCDEFG 的体积；（2）求平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）利用补形法和体积差减去三棱锥B-FHG 的体积即可；（2）以A 为坐标原点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BFG 与平面ADEF 的法向量 m ⃗⃗ =(1，−1，23)，n ⃗ =(1，0，0) ，求出 〈m ⃗⃗ ，n ⃗ 〉 ，并结合立体图形判定二面角为锐角，从而进一步求出二面角余弦值即可．【解答】：解：（1）∵AF⊥AD ，∴AF⊥平面ABCD ， 同理ED ，GC 均与平面ABCD 垂直，故可将多面体补成如图所示的长方体ABCD-FHGE ，此长方体体积为2×2×3=12，三棱锥B-FHG 的体积为 13×2×3=2 ， 故此多面体的体积为10；（2）以A 为坐标原点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，2，0），F （0，0，3），G （2，2，3）， ∴ BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，3)，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2，0) ，设平面BFG 的法向量为 m ⃗⃗ =(x ，y ，z) ， 则 {−2x +3z =02x +2y =0 ，令x=1得 m ⃗⃗ =(1，−1，23) ，又ABCD 为正方形，∴AB⊥AD ，故AB⊥平面ADEF ， ∴ n ⃗ =(1，0，0) 为平面ADEF 的一个法向量， cos〈m ⃗⃗ ，n ⃗ 〉=1√1+1+49⋅1=3√2222， 故平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值为3√2222．【点评】：本题考查了几何体体积的计算，向量法解决二面角的平面角问题，属于中档题． 18.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ． （1）求C 的大小；（2）若c=1，求b 2-a 2的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合同角平方关系及正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求cosC ，进而可求C ；（2）由正弦定理表示a ，b ，代入到所求式子后，结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数性质可求．【解答】：解：（1）因为 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ， 所以1-sin 2C-1+sin 2A= √3 sinAsinB-sin 2B ， 由正弦定理得，a 2+b 2-c 2= √3ab ， 故cosC= a 2+b 2−c 22ab = √32，由C 为三角形内角得C= π6； （2）由正弦定理得2R= csinC =2， 因为 {0＜A ＜π20＜5π6−A ＜π2 ，所以 π3＜A ＜π2 ， 所以 5π6＜2A +π6＜7π6 ， 所以 −12＜ sin （2A+ π6 ） ＜12 ， 所以a=2sinA ，b=2sinB ， 所以b 2-a 2=4（sin 2B-sin 2A ）=4（1−cos2B2−1−cos2A2 ）=2（cos2A-cos2B ）=2cos2A-2cos （ 5π3−2A ）=cos2A+ √3 sin2A=2sin （2A+ π6 ）∈（-1，1）．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n （n∈N *）． （Ⅰ）求证数列 {1T n} 是等差数列；（Ⅱ）设b n =（1-a n ）（1-a n+1），求数列{b n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知，令n=1可求T 1，然后利用已知变形可得： T n =2−2Tn T n−1 ⇒T n •T n-1=2T n-1-2T n （n≥2），变形即可证明（Ⅱ）由等差数列，可求1T n，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和【解答】：解：（Ⅰ）∵T n=2-2a n∴T1=2-2T1∴ T1=23∴ 1 T1=32（1分）由题意可得：T n=2−2T nT n−1 ⇒ T n•T n-1=2T n-1-2T n（n≥2），所以1T n −1T n−1=12（6分）∴数列{1T n }是以12为公差，以32为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列{1T n}为等差数列，∴ 1 T n =n+22，∴ a n=n+1n+2，（8分）∴ b n=1(n+2)(n+3)（10分），∴ S n=13×4+14×5+⋯+1(n+2)×(n+3)= (13−14)+(14−15)+⋯+(1n+2−1n+3) = 13−1n+3=n3n+9（12分）【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．20.（问答题，12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为35，25，且每局比赛的结果相互独立．（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）记事件A i：“甲在第 i 局比赛中获胜”，（i=1，2，3），事件A‾i：“甲在第i 局比赛中末胜”．（i=1，2，3），记事件A：“甲夺得冠军”，分析事件A包含的情况，直接求概率；（2）X的可能取值：3，4，5．分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望．【解答】：解：记事件A i=“甲在第i局比赛中获胜”，（i=1，2，3），事件A i=“甲在第i局比赛中未胜”．（i=1，2，3）显然P(A i)=35，P(A i)=1−P(A i)=25，（i=1，2，3）．（1）记事件A=“甲夺得冠军”，则P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=(35)2+35×25×35+25×(35)2=81125．（2）设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知Y=2或Y=3．则P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=(35)2+(25)2=1325，故P(Y=3)=1−P(Y−2)=1225．记N1=“第i局比赛后抽到新球”，N i=“第i局比赛后抽到旧球”．由题意知、比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时P（N1）= 56，P(N1)=16，若N1发生，则比赛2局后，盒内有 4 颗新球，2颗旧球，此时P(N1N2)=56×46=59，P(N1N2)=56×26=518．若N1，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球．即P(N1N2)=16×1=16．于是P(X=3)=P(Y=3)P(N1N2)=1225×59=415，P(X=4)=P(Y=2)P(N1)+P(Y=3)P(N1N1)+P(Y=3)P(N1N2)=1325×56+1225×518+12 25×16=97150．P(X=5)=P(Y=2)P(N1)=1325×16=13150．故X的分布列为：故X的数学期望EX=3×40150+4×97150+5×13150=19150．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点M（x，y）的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程：（2）过点F（1，0）的直线l与曲线Γ交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆F：（x-1）2+y2=1的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据所给条件，得D点的参数方程，消去参数即可；（2）作图，联立方程，分别求出OP，OQ，OM，ON的长度即可求解．【解答】：解：（1）设动圆的圆心为（a，0），因为经过（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，则a＞-2，半径为a+4，圆的方程为（x-a）2+y2=（a+4）2，与x轴的另一个交点为B（2a+4，0），与y轴的交点为C（0，y），即x=2a+4，y2=8a+16，∴y2=4x，即Γ 的方程为y2=4x；（2）由（1）作下图：设过F 点的直线方程为x=my+1，显然m 是存在的，联立方程： {y 2=4x x =my +1，得y 2-4my-4=0， ∴y 1+y 2=4m… ① ，y 1y 2=-4… ② ，设P （t 2，2t ），Q （s 2，2s ），代入 ① ② 得ts=-1，t+s=2m … ③则直线OP 的方程为y= 2t x ，直线OQ 的方程为y= 2s x ，联立方程： {(x −1)2+y 2=1y =2t x， 解得M （ 2t 2t 2+4 ， 4t t 2+4 ），同理N （ 2s 2s 2+4 ， 4s s 2+4 ）， ∴|OM|= √(2t 2t 2+4)2+(4t t 2+4)2 = √4t 2t 2+4 = √t 2+4同理可得：|ON|= √s 2+4∴|OP|= √(t 2)2+(2t )2 =2|t| √t 2+4 ，|OQ|=2|s| √s 2+4 ，∴ S △OMN S △OPQ = |OM|•|ON||OP|•|OQ| = 4(t 2+4)(s 2+4) = 4(ts )2+4(t 2+s 2)+16 ④ ， 由 ③ 得t 2+s 2=（t+s ）2-2ts=4m 2+2，代入 ④ 得：S △OMN S △OPQ = 416m 2+25， 显然当m=0时最大，最大值为 425 ．【点评】：本题考查了抛物线方程及直线与抛物线的综合问题、也考查了学生的计算能力，关键在于先作图，设点P，Q的坐标，求出M，N点的坐标，由于△OMN与△OPQ 顶角∠MON 相同，只要计算边长乘积之比即可，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ ax（a∈R）．（1）若a=1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）=af（x）+x2-2x- a2x有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）求出g（x）的导数，根据函数g（x）有两个极值点x1，x2，分离参数m，将问题转化为m≤（1-x1）- 11−x1 +2x1lnx1恒成立，令h（t）=1-t- 11−t+2tlnt（0＜t＜12），求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的取值范围即可．【解答】：解：（1）a=1时，f（x）=lnx+ 1x，定义域是（0，+∞），∴f′（x）= 1x - 1x2= x−1x2，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故当x=1时函数有极小值f（1）=1，无极大值；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）= 1x - ax2= x−ax2，① a≤0时，x-a＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，② a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，a ＞0时，f （x ）在（0，a ）递减，在（a ，+∞）递增；（3）g （x ）=af （x ）+x 2-2x- a 2x=alnx+x 2-2x ，定义域是（0，+∞），g （x ）有2个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），即g′（x ）= a x +2x-2= 2x 2−2x+a x =0， 则2x 2-2x+a=0有2个不相等实根x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），∴Δ=4-8a ＞0，a ＞0，解得：0＜a ＜ 12 ，且x 1+x 2=1，a=2x 1-2 x 12从而0＜x 1＜ 12 ＜x 2＜1，由不等式g （x 1）≥mx 2恒成立，得m≤ g(x 1)x 2= x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)lnx 11−x 1 =（1-x 1）- 11−x 1 +2x 1lnx 1恒成立， 令h （t ）=1-t- 11−t +2tlnt （0＜t ＜ 12 ），当0＜t ＜ 12 时，h′（t ）=1- 1(1−t )2 +2lnt ＜0恒成立， 故函数h （t ）在（0， 12 ）上单调递减，∴h （t ）＞h （ 12 ）=- 32 -ln2，故实数m 的取值范围是（-∞，- 32 -ln2]．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．。

大庆实验中学实验一部2020级高（二）下学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求；每小题5分，共计60分）1．对四组不同的数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，下列正确的是（）样本相关系数为1r 样本相关系数为2r 样本相关系数为3r 样本相关系数为4r 图（1）图（2）图（3）图（4）A ．24310r r r r <<<<B ．42130r r r r <<<<C ．42310r r r r <<<<D ．24130r r r r <<<<2．已知()0.4P A =，()0.5P B =，()06|.P A B =，则()|P B A =（）A ．0.2B ．0.3C ．0.75D ．0.253．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ135P0.5m0.2则均值()E ξ=（）．A ．1B ．0.3C ．23m +D ．2.44．六个人站成一排照相，其中甲乙要相邻的站法种数有（）A ．720B ．120C ．240D ．3605．若离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 和()D X 分别为（）A ．83，169B ．83，89C ．89，83D ．169，836．甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（）A ．27B ．36C ．18D ．247．某人上班从家到单位的路上途经6个红绿灯路口，遇到4次绿灯，2次红灯，则2次红灯不相邻的情况有多少种（）A ．5B ．10C ．15D ．308．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（）.A ．12164320C C C B ．21164320C C C C ．21316416320C C C C +D ．343201C C -9．有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X 表示这3支竹签的最小编号，则()D X =（）A ．4.5B ．2.5C ．1.5D ．0.4510．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（）A ．0.4B ．0.6C ．0.7D ．0.811．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E (5ξ＋1)＝()A ．2B ．1C ．3D ．412．已知()()37121001210121x x a a x a x a x -+=++++ ，则246810++++=a a a a a （）A ．64B ．64-C ．63-D ．65-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知随机变量Z 服从正态分布()20,mN ，若()128P Z >=，则()22P Z -≤≤=___________.14．甲、乙、丙、丁4人排成一行，其中甲不排在第1位，乙和丙不相邻，则共有______种不同的排法.15．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.16．若不等式2ln kx ke x x ≥恒成立，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题（17题10分，18-22题12分，共计70分）17．今年新冠肺炎疫情影响到各国的复工复产，导致我国部分进口行业的运营成本不断上升，经过调查，某种产品所需原料的价格今年以来不断上涨，近5个月的平均价格（万元/吨）如下表所示.x （月份）45678y （万元/吨）4050556590已知平均价格和月份成线性相关关系.(1)求平均价格y （万元/吨）关于x （月份）的线性回归方程；(2)据此线性回归方程预测10月份该产品所需原料的平均价格.附：回归直线方程ˆybx a =+中，11222,xy n nxy xs x y x y x y s xy b a y bx n s +++=-==- ，其中,x y 为样本平均值，2xs 是{}i x 的方差.参考数据：511915i i i x y ==∑.18．甲、乙两名射手射击1个较远的目标，甲命中的概率为23，乙命中的概率为12.甲、乙是否命中互相独立，甲乙均射击两枪.(1)求甲命中1枪乙命中2枪的概率；(2)设随机变量X 表示“甲乙命中的枪数之和”，求X 的分布列和数学期望.19．已知函数()32391f x x x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．20．中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n 名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在[)50,60内的频数为3.(1)求n 的值；(2)已知抽取的n 名参赛人员中，成绩在[)80,90和[]90,100女士人数都为2人，现从成绩在[)80,90和[]90,100的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.21．为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明，小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为12，小红答对的概率为()01p p <<，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量X ．(1)若16p =，求x 的分布列和数学期望；(2)若高二1班至少答对一道题的概率不小于8081，求p 的最小值．22．已知函数()ln 2f x x x =--.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 12kx x x x +>-，求整数k 的最大值.1．A 【分析】根据散点图和相关系数的概论和性质可得选项.【详解】由散点图可知图（1）与图（3）中的两个变量是正相关，故10r >，30r >，图（2）与图（4）中的两个变量是负相关，故20r <，40r <.又图（1）与图（2）中的样本点集中在一条直线附近，所以24310r r r r <<<<.故选：A.2．C 【分析】先求得()P AB ，由此求得()|P B A .【详解】()()()()0.6,0.60.53|0.P AB P AB P B P A B =⨯===，所以()()()0.3|0.750.4P AB P B A P A ===.故选：C 3．D 【分析】先求得m 的值，再依据数学期望的计算公式即可求得均值()E ξ【详解】10.50.20.3m =--=，所以()10.530.350.2 2.4E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：D ．4．C 【分析】相邻问题，由捆绑法求解【详解】将甲乙捆绑视为整体，共有25252120240A A =⨯=种故选：C 5．B 【分析】利用二项分布的期望和方差公式求()E X 和()D X 即可.【详解】因为离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()28433E X =⨯=，()22841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选：B ．6．A 【分析】分别求出甲选生物和甲不选生物时，甲、乙的选法种数，然后利用加法计数原理即可.【详解】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有1233C C 9=种；当甲不选生物，乙随便选，甲、乙的选法有2234C C 18=种，则甲、乙总的选法有91827+=种．故选：A .7．B 【分析】利用插空法即得.【详解】因为2次红灯不相邻，所以在4次绿灯所形成的5个空插入红灯共有2510C =种.故选：B.8．D 【分析】根据题意得都是二等品的概率为34320C C ，求解计算即可.【详解】全部都是二等品的概率为34320C C ，故至少有1个是一等品的概率为343201C C -.故选：D.9．D 【分析】由题意X 可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意X 可能取得数值为：1，2，3，所以()2354315C C P X ===，()23353210C C P X ===，()3335C 13C 10P X ===所以()3123 1.51351001E X =⨯+⨯+⨯=．所以()()()()222.3131 1.52 1.53150.4510510D X =-⨯+-⨯+-⨯=故选：D ．10．D 【分析】设1A 表示该汽车是货车，2A 表示该汽车是客车，即可得到1()P A ，2()P A ，设1B 表示货车中途停车修理，2B 表示客车中途停车修理，则1()0.02P B =，2()0.01P B =，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率．【详解】解：设1A 表示该汽车是货车，2A 表示该汽车是客车，则12()3P A =，21()3P A =，设1B 表示货车中途停车修理，2B 表示客车中途停车修理，则1()0.02P B =，2()0.01P B =，∴今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：1111122()()(|)()()()P A B P A B P A B P B P A B P A B ==+20.0230.8210.020.0133⨯==⨯+⨯．故选：D 11．C 【分析】根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出()E ξ，则()()5151E E ξξ+=+.【详解】ξ的可能取值为0,1,2.()3133155C C 2203P ξ===，()12213315C C 121C 35P ξ===，()21213315C C 12C 35P ξ===.∴ξ的分布列为：ξ012P22351235135于是()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=，故()()251515135E E ξξ+=+=⨯+=.故选：C.12．D 【分析】采用赋值法，可求得1x =时，01210128a a a a ++++=- ，以及=1x -时，012100a a a a -+++= ，两式相加，再求得01a =，可求得答案.【详解】令1x =可得：()()37012101211a a a a -+=++++ ，即01210128a a a a ++++=- ①,令=1x -，可得：()()37012101211a a a a +-=-+++ ，即012100a a a a -+++= ②，2+①②可得：02410=64a a a a ++++- ，又令0x =，可得01a =，所以24681065a a a a a ++++=-,故选：D 13．34##0.75【分析】利用正态分布的对称性有()()22122P Z P Z -≤≤=->，即可求概率.【详解】由题设，正态分布曲线关于0Z =对称，所以()221213()4241P Z P Z -≤≤=->==-.故答案为：34【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性应用，属于基础题14．10【分析】甲不排在第1位，从乙、丙、丁中选一个排在第1位，分别讨论这三种情况即可得出答案.【详解】甲不排在第1位，从乙、丙、丁中选一个排在第1位，所以分为以下情况：①乙排在第1位，丙只能从第3、4位中选一个，所以有122C =，甲和丁的排列为222A =种，共有：224⨯=种.②丙排在第1位与乙相同，有：224⨯=种.③丁排在第1位，乙和丙只能排2、4位，甲排第3位，所以有222A =种.所以有44210++=种.故答案为：10.15．509【分析】先利用古典概型求得试验成功的概率，再利用二项分布均值公式求解.【详解】在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，故试验成功的概率P ＝1－4466⨯⨯＝205369=，则在10次试验中成功次数的均值E (ξ)＝5501099⨯=.故答案为：50916．2k e ≥【分析】由题设，构造()x f x xe =易知2()(ln )f kx f x ≥在(0,)+∞上恒成立，由导数知()f x 递增，即2ln x k x ≥恒成立，再构造2ln ()xg x x=，应用导数求最值，即可知k 的范围.【详解】由题设，有0x >，则22ln kx kxe x x ≥，令()x f x xe =且0x >，则2()(ln )f kx f x ≥，而()(1)0x f x x e '=+>，∴()f x 在(0,)+∞上递增，则2ln kx x ≥，即2ln xk x≥，若2ln ()x g x x=，则22(1ln )()x g x x -'=，∴当0<<x e 时，()0g x '>，即()g x 递增；当>x e 时，()0g x '<，即()g x 递减；∴2()()g x g e e≤=，故2k e ≥.故答案为：2k e≥【点睛】关键点点睛：构造()x f x xe =则2()(ln )f kx f x ≥恒成立，应用导数证明单调性，可将问题转为2ln x k x ≥在(0,)+∞上恒成立，再构造2ln ()xg x x=并证单调性，只需max ()k g x ≥即可求范围.17．(1)ˆ11.59yx =-(2)预测10月份该产品所需原料的平均价格为106万元/吨【分析】（1）先求出,x y ，再利用公式b 和a ，从而求得答案；（2）根据（1）的结果代入即可求解.(1)因为40505565906,605x y ++++===，所以22222112211915(2)(1)122,6602355n n x xy x y x y x y s s xy n +++⎡⎤=⨯-+-++==-=-⨯=⎣⎦ ，22311.52xyxs b s ===，所以6011.569a y bx =-=-⨯=-，所以平均价格y （万元/吨）关于x （月份）的线性回归方程为ˆ11.59yx =-.(2)当10x =时，由（1）ˆ11.5109106y=⨯-=，所以预测10月份该产品所需原料的平均价格为106万元/吨.18．(1)19；(2)分布列见解析，7()3=E X .【分析】(1)根据独立事件概率的计算方法即可计算；(2)根据题意X 的可能取值为0，1，2，3，4，根据独立事件的概率计算方法计算分布列并求数学期望即可.(1)记事件A ＝“甲命中1枪乙命中2枪”，则由题意可知，212211()C 133292P A ⎝⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎫ ⎪⎭；(2)由题意知0,1,2,3,4X =，22111(0)3236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎝⎭⎝⎭，22112211121161(1)C C 322332366P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222221122112112113(2)C C 323323236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222112221121121(3)C C 33232363P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222141(4)32369P X ⎛⎫⎛⎫==⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X 的分布列用表格表示如下：X 01234P1361613361319故X 的数学期望1113117()0123436636393E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19．(1)递增区间为(),1-∞-和()3,+∞，递减区间为()1,3-(2)最大值为6，最小值为－26【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由()0f x '=的零点，对区间[2,4]-列表得出()f x '的正负，得出单调性与极值，同时计算区间端点处函数值，比较得最大值和最小值．【详解】（1）()()2323f x x x '=--，由()0f x ¢>得1x <-或3x >，由()0f x '<得13x -<<，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()1,3-．（2）令()0f x '=得=1x -或3x =，由（1）可列下表x [)2,1---1()1,3-3(]3,4()f x '+-+()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增由于()21f -=-，()16f -=，()326f =-，()419f =-，得()f x 在区间[]2,4-上的最大值为6，最小值为－26．20．(1)40(2)分布列见解析，95【分析】（1）按照直方图中频率和频数的关系即可求得；（2）考虑X 的取值范围，对于每一个取值做出分析即可.(1)由频率分布直方图知，成绩在[)50,60频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，∵成绩在[)50,60内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==.(2)由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[)80,90的人数为0.012510405⨯⨯=，成绩在[]90,100的人数为0.010010404⨯⨯=，∴X 的可能取值为0，1，2，3，4，∴223222541(0)20C C P X C C ===；11221123232222543(1)10C C C C C C P X C C +===；221111222223223222547(2)15C C C C C C C C P X C C ++===；21111222232222541(3)6C C C C C C P X C C +===；222222541(4)60C C P X C C ===；∴X 的分布列为X01234P 12031071516160∴137119 ()012342010156605 E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.21．(1)分布列见解析，数学期望为4 3(2)5 6【分析】（1）X的可能取值为0，1，2，3，4．1~4,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布求得各概率得分布列，由期望公式得期望；（2）由对立事件的概率公式求得事件“至少答对一道题的概率”的概率，列不等式求解．【详解】（1）X的可能取值为0，1，2，3，4．高二1班答对某道题的概率11111 22263 =⨯+⨯=，则1~4,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，()()4412C0,1,2,3,433k kkP X k k-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则X得分布列为X01234P 16813281827881181则()14 433E X=⨯=．（2）高二1班答对某道题的概率为11111 22242p p =⨯+=+，答错某道题的概率为11314242pp⎛⎫-+=-⎪⎝⎭．则438014281p⎛⎫--≥⎪⎝⎭，解得516p≤<，所以p 的最小值为56．22．(1)()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减.(2)6【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再解导数大于0或小于0的不等式即可作答.（2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答.(1)()f x 的定义域为()0,∞+，求导得：()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，则1x >，令()0f x '<，则01x <<，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减.(2)(1,)x ∀∈+∞，()2ln ln (1)21x x x kx x x x k x ++>-⇔<-，令()ln 1x x x g x x +=-，1x >，则()2ln 2(1)x x g x x -'-=-，由（1）知，()ln 2f x x x =--在()1,+∞上单调递增，且()()31ln30, 3.5 1.5ln3.50f f =-<=->，则()f x 在区间()3,3.5内存在唯一的零点0x ，使()000ln 20f x x x =--=，即00ln 2x x =-，则当()01,x x ∈时，()0f x <，()0g x '<，有()g x 在()01,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0f x >，()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上单调递增，于是得()()()000000min 00002ln ()3,3.511x x x x x x g x g x x x x -++====∈--，因此，()min 02()26,7k g x x <=∈，所以整数k 的最大值为6.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.。

山东省临沂市2021-2022学年高二下学期期中数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班級和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新的〖答案〗；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的〖答案〗无效.4.填空题请直接填写〖答案〗，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）A. 7B. 9C. 12D. 16〖答案〗C〖解析〗根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：3412⨯=种，故选：C.2. 已知()215P AB=，()25P A=，那么()|P B A等于（）A. 475 B.13 C.23 D.34〖答案〗B〖解 析〗由条件概率公式得()()()251|1523P AB P B A P A ==⨯=，故选B.3. 在()2391(1)(1)(1)x x x x ++++++⋯++的展开式中，2x 的系数等于（ ）A. 280B. 300C. 210D. 120〖答 案〗D〖解 析〗在239(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中，2x 项的系数为22222349CC CC ++++32223349CCCC =++++322449CCC=+++3239910120C C C==+==．故选D ．4. 在“志愿和平”活动中，某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务.根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少有1名男教师；另外4人测量出入人员体温.则这7名教师不同的安排方法有（ ） A. 15种 B. 18种 C. 31种 D. 45种 〖答 案〗C〖解 析〗从7人中任选3人，不同的选法有3735=C 种，而不选男教师的选法有344=C 种，所以这7名教师不同的安排方法有337431C C -=种.故选：C.5. 某市高二年级男生的身高ξ(单位：cm )近似服从正态分布()170,25N ξ~，则随机选择名本市高二年级的男生身高在[]165,180内的概率为（ ）附：随机变量符合正态分布()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545,(33)0.9973P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=A. 0.84B. 0.8186C. 0.9759D. 0.4772〖答 案〗B〖解 析〗由已知求得170,5μσ==,[]165,180=[][][],2,,2μσμσμσμσμσμσ-+=-+⋃++,()()()12222P P P μσξμσμσξμσμσξμσ⎡⎤+<<+=-<<+--<<+⎣⎦,()()()165ξ180?2P P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+++≤≤+()()()1222P P P μσξμσμσξμσμσξμσ⎡⎤=-<<++-<<+--<<+⎣⎦ ()()()11220.95450.68270.818622P P μσξμσμσξμσ⎡⎤=-<<++-<<+=+=⎣⎦，故选：B.6. 设函数23()ln 2=+-f x x ax x，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A. ln 22-B. ln21-C. ln 32-D. ln31- 〖答 案〗A〖解 析〗∵()23ln (0)2f x x ax x x =+->，∴()1322f x ax x =+-'， ∵1x =是函数的极大值点，∴()311122022f a a +-=-'==，解得14a =， ∴()()()21213322222x x x x x f x x x x ---+='=+-=，∴当01x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当12x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当2x >时，()()0,f x f x '>单调递增；∴当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为()2ln22f =-．故选A ．7. 为了研究某校男生的脚长x (单位；cm )和身高y (单位：cm )的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系.设y 关于x 的经验回归方程为y bx a =+.已知201460ii x==∑，2013240ii y==∑，4b =，该校某男生的脚长为25.5cm ，据此估计其身高为（ ）A. 164cmB. 168cmC. 172cmD. 176cm 〖答 案〗C〖解 析〗由题知：4602320x ==，324016220y ==，又因为回归直线为4y x a =+，所以162423a =⨯+，解得70a =. 即回归直线为470y x =+.所该男身高为425.570172cm ⨯+=. 故选：C. 8. 已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，()02021f =，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2021xf x e <的解集为（ ）A.()0,∞+B.22021,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.22021,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.(),0-∞〖答 案〗D〖解 析〗设()()xf xg x e =，则()()()0x f x f x g x e ''-=>，所以()g x 是增函数， 不等式()2021xf x e <变形为0()(0)2021x f x f ee <=，即()(0)g x g <，所以0x <． 故选：D ．二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A. -3是()f x 的一个极小值点；B. -2和-1都是()f x 的极大值点；C. ()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D.()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．〖答 案〗ACD〖解 析〗当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，∴3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-．故选：ACD.10. 如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）A. 18B. 19C. 24D. 26 〖答 案〗AB〖解 析〗第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 3； 第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 6； 第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 6．因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为 346619+++=，故选：AB. 11. 离散型随机变量X 的分布列如下表，若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（ ）A 0.1q =B. ()2E X =，() 1.4D X =C. ()2E X =，() 1.8D X =D. ()5E Y =，()7.2D Y =〖答 案〗ACD〖解 析〗因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确； 又()00.110.420.130.240.22E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()22222020.1120.4220.1320.2420.2 1.8D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C 正确；因为21Y X =+，所以()()215E Y E X =+=，()()47.2D Y D X ==，故D 正确，故选：ACD. 12. 已知函数()e 1x f x =-，对于满足120ex x <<<的任意1x ，2x ，下列结论中正确的是（ ） A.()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦B.()()2112>x f x x f xC. ()()2121f x f x x x ->-D.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 〖答 案〗CD 〖解 析〗函数()e 1x f x =-在(0,e)上单调递增，120ex x <<<，则12()()f x f x <，()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，A 不正确；取121,2x x ==，()()221122(e 1)(e 1)e(2e)10x f x x f x -=---=--<，()()2112x f x x f x <，B 不正确；令()()g x f x x =-，(0,e)x ∈，()e 10xg x '=->，()g x 在(0,e)上单调递增， 120ex x <<<，则12()()<g x g x ，即()()2211f x x f x x ->-，有()()2121f x f x x x ->-，C 正确；120ex x <<<，()()121212122e e 11e1222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫=->=-= ⎪⎝⎭，D 正确.故选：CD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡相应的横线上.13. 离散型随机变量ξ的分布列，且()2Eξ=，则1p=____；2p=____．〖答案〗1412〖解析〗依题意：121211412324p pp p⎧++=⎪⎪⎨⎪++⨯=⎪⎩，解得：1211,42p p==，所以1211,42p p==.故〖答案〗为：14；12.14. 高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为12、23，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为__________.〖答案〗5 6〖解析〗这位考生1个A没得的概率为111 236⨯=，所以这位考生至少得1个A的概率为15166-=，故〖答案〗为：56.15. 已知()()4234501234512x x a a x a x a x a x a x+-=+++++，则3a=____．〖答案〗16〖解 析〗因为()()4234501234512x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则3a 是1x +中的一次项x ，常数项1分别与()42x -的展开式中的23,x x 项相乘积的和的系数，所以23223344C 2(1)C 2(1)16a =⨯-+⨯-=⨯⨯.故〖答 案〗为：16. 16. 已知函数()2x e x f x a =-，∈a R ，现有下列结论：①()f x 至多有三个零点；②[)2,a ∃∈+∞，使得()0,x ∀∈+∞，()0f x >；③当0,2e a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 在R 上单调递增. 其中正确的结论序号是____________. 〖答 案〗①③〖解 析〗①函数()f x 的零点个数，即方程()0f x =的解的个数， 因为当0x =时，()10f x =≠，所以0不是方程()0f x =的解，所以方程()0f x =的解的个数等价于方程2xe a x =的解的个数， 令2(),0x e g x x x =≠，则24()(2)x e g x x x x '=-，当0x <或2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增， 当02x <<时，()0g x '<，所以()g x 在(0,2)上单调递减，当0x -→时，()g x →+∞，当0x +→时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，又2(2)4e g =，作出函数2()x e g x x =的大致图象， 因为方程2xe a x =的解的个数等价于直线y a =与2()x e g x x =图象交点的个数， 所以数形结合直线y a =与2()xe g x x =图象最多3个交点，故函数()f x 至多由3个零点．①正确．②(0,)x ∀∈+∞，()0f x >，等价于2(0,),xe x a x ∀∈+∞<， 由①的分析可知，当0x >时，22()4x min e e x=，所以24e a <，由222.8824e e e <<⇒<⇒<，所以不存在[2a ∈，)+∞，使得(0,)x ∀∈+∞，()0f x >，②错误．③)2(xf x e ax '=-， 当0a =时，()0xf x e '=>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增； 当02ea<时，令()2x h x e ax =-，()2xh x e a '=-，令()0h x '=，解得ln2x a =，当ln 2x a <时，()0h x '<，()h x 在(,ln 2)a -∞上单调递减； 当ln 2x a <时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)a +∞上单调递增， 所以()(ln 2)22ln 22(1ln 2)0min h x h a a a a a a ==-=-，所以()0f x '在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．故③正确． 故〖答 案〗为：①③．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知(21)()n x n *-∈N 的二项展开式中二项式系数之和为256. （1）求n 的值；（2）求该展开式中3x 项的系数.解：（1）2256n=，解得8n =；（2）818(2)(1)r r rr T C x -+=-，令83-=r可得=5r 时，533368(2)(1)448T C x x =-=-，即3x 项的系数为448-．18. 已知函数()()231e xf x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间[]2,0-上的最大值和最小值．解：（1）函数()()231e xf x x x =-+定义域为R ，2()(2)e (1)(2)e x x f x x x x x '=--=+-，当1x <-或2x >时，()0f x '>，当12x -<<时，()0f x '<，即()f x (),1-∞-，()2,+∞上递增，在()1,2-上递减，所以()f x 的递减区间为()1,2-，递增区间为(),1-∞-和()2,+∞.（2）由（1）知，()f x 在[)2,1--上单调递增，在(]1,0-上单调递减,因此，()f x 在区间[]2,0-上的最大值为()51e f -=，而()01f =，()22111121e 3f -=>>，即有()min 1f x =，所以()f x 在区间[]2,0-上的最大值为5e ，最小值为1.19. 某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（x 元）试销1天，得到如表单价x （元）与销量y （册）数据：附：1221ˆni ii nii x y nxybxnx==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，515160i ii x y==∑，5212010ii x==∑．（1）根据表中数据，请建立y 关于x 的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量y （册）与单价x （元）服从（1）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？解：（1）由表格数据知：1819202122205x ++++==，6156504845525y ++++==，51522215516052052ˆ420105205i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，ˆ52420132a=+⨯=； y ∴关于x 的回归直线方程为：ˆ4132yx =-+. （2）设获得的利润为W ，则()()()21212413241801584W x y x x x x =-=--+=-+-，∴当18022.58x =-=-元时，W取得最大值，即为了获得最大利润，该册书的单价应定为22.5元.20. 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．（1）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（2）在（1）的条件下，从选择“政治”的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，设这2人中男生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++解：（1）2×2列联表如下：22100(45153010) 3.030 3.84155457525K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关.（2）这5人中有男生2人，女生3人，随机抽取2人中男生的人数X 可能取值为0，1，2，则()()2113232255360,11010C C C p X p X C C ======，()22251210C p X C ===，则X 的分布列如下：()36140121010105E X =⨯+⨯+⨯=.21. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．（1）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（2）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列；（3）若108a b +=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值．（只需写出结论）解：（1）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播． 用iA 表示事件抽取的月份为第i 月，∴1{A Ω=，2A ，3A ，4A ，5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A ，11A ，12}A 共12个基本事件，且2{A A =，6A ，8A ，9A ，10A ，11}A 共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率61()122P A ==；（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月， ∴X 所有可能的取值为0，1，2．242662(0)155C P X C ====，1426128(1)15C C C P X ===，22261(2)15C P X C ===，随机变量X 的分布列为：（3）由表格已知数据：乙地数据从小到大为31%,34%,38%,42%,54%,62%,65%,66%,69%,70%，又108a b +=，不妨假设a b ≤，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ， 当54a b ==时，则54%M =；当54a <，即54b >时，若5462b <<有54%%2b M +=，若62b ≥有54%62%58%2M +==，∴M 的最大值为58%，最小值为54%． 22. 设函数()1,=--∈x f x ae x a R . （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：当()0,x ∈+∞时，1ln 2x ex x ->. （1））解：当1a =时，则()1x f x e =-，令()'0f x =得0x =，所以有即1a =时，()f x 的单调递减区间为(),0-∞； ()f x 的单调递增区间为[)0,+∞.（2）解：由()0f x >，分离参数可得：1e x x a +>，设()1x x g x e +=， ()0,x ∈+∞，∴()'x xg x e =-，又∵0x >，∴()'0x xg x e =-<，则()g x 在()0,∞+上单调递减，∴()()01g x g <=，∴1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞.（3）证明：1ln 2x e x x ->等价于210xxe xe --> 设()()21,0,xx h x e xe x =--∈+∞，∴()22'12x xx h x e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时， 10xe x -->恒成立，所以2102x x e -->，∴()22'102x x x h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭恒成立∴()h x 在()0,∞+上单调递增，∴()()00h x h >=，因此()0,x ∈+∞时，有1ln 2x e xx ->.。

2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“x R ∈,若20x >,则0x >”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“x R ∈,若0x >,则20x >”为真命题，故其否命题为真命题.故选C. 【解析】四种命题及真假性判断． 2．设复数1i1iz a +=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a （ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．－2【答案】B【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再结合纯虚数的意义求解作答. 【详解】222(1i)(1i)1(1)i 11i (1i)(1i)111a a a a az a a a a a +-++-+-===++-+++，因复数z 为纯虚数，则2101aa +=+，解得1a =-， 所以实数1a =-. 故选：B3．已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面 故选：D4．一个关于自然数n 的命题，已经验证知1n =时命题成立，并在假设n k =（k 为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n k =+时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）A ．一切自然数成立B ．一切正整数成立C ．一切正奇数成立D ．一切正偶数成立【答案】C【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决【详解】已经验证知1n =时命题成立，并在假设n k =（k 为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n k =+时命题成立，那么综上可知，命题对13579n =，，，，，成立 即该命题对于一切正奇数成立 故选：C5．4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（ ） A ．34A B ．34CC ．34D ．43【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答. 【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法， 由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为34444⨯⨯=. 故选：C6．如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（ ）A ．1OG OA OB OC =++ B ．1111333OG OA OB OC =++C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++【答案】D【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭故选：D 7．0a b <<是11a b b a+<+的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简不等式11a b b a+<+，再判断二者间的逻辑关系 【详解】()111a b ab a b a b a b b a ab ab-+⎛⎫+-+=-+=- ⎪⎝⎭ 当0a b <<时，0a b -<，0ab >，10ab +>， 则有()10ab a b ab +-<成立，即11a b b a+<+成立； 当21a b =-=-，时，11113231122a b b a +=-+=-+=-+=---，， 即11a b b a+<+成立，但此时0a b <<不成立. 综上可知，0a b <<是11a b b a+<+的充分不必要条件 故选：A8．若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,3]-∞-C ．[3,1]D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】利用函数的导函数在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恒为非负数列不等式，用分离常数法求得a的取值范围.【详解】依题意，()'cos sin 0f x a x x =-≥在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos sin a x x ≥，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，cos 0x >，故sin tan cos x a x x ≥=，tan y x =在ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时为递增函数，其最大值为πtan14=，故1a ≥.所以选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A ．8种B ．14种C ．20种D ．116种【答案】B【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=32=6C A ⋅⨯种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有1124=24=8C C ⋅⨯种可能； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能. 故选：B.10．已知a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上的点，C ，D 是b 上的点，2AB =，1CD =，且AC b ⊥，BD b ⊥，则a 与b 所成角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】先计算出AB CD ,再根据cos θ=AB CD AB CD计算夹角的余弦值，即可写出答案【详解】设,θAB CD =2()1AB CD AC CD DB CD CD =++== 1cos θ=2AB CD AB CD∴= 又θ[0,180]︒︒∈ ，θ=60︒∴ 故选：C11．已知t 和3t +是函数()32f x x ax bx c =+++的零点，且3t +也是函数()f x 的极小值点，则()f x 的极大值为（ ） A ．1 B ．4C ．43D ．49【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f x x t x t =---，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数()f x 在3t +处取得极小值0，又t 是函数()f x 的另一零点，因此函数()f x 只有两个零点，从而有2()()(3)f x x t x t =---，求导得：()3(1)(3)f x x t x t '=----， 当1x t <+或3x t >+时，()0f x '>，当13t x t +<<+时，()0f x '<， 于是，()f x 在3x t =+处取得极小值，在1x t =+处取得极大值(1)4f t +=， 所以()f x 的极大值为4. 故选：B12．设10099a =，0.01e b =，c ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】A【分析】构造函数()()e 1xf x x =-+利用导数说明函数的单调性，即可得到e 1x x ≥+，即可判断；【详解】解：令()()e 1x f x x =-+，则()e 1xf x '=-，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，所以()()00f x f ≥=，即()e 10xx -+≥恒成立，即e 1x x ≥+（当0x =时取等号），所以0.020.01e 10.02e >+⇒∴b c >， 又e 1x x -≥-（当0x =时取等号）， 所以当1x <且0x ≠时，有111e e 1x x x x >-⇒<-，∴0.011100e 10.0199<=-，∴a b >． 故选：A 二、填空题13．已知函数()()2223f x x f x '=++，则()2f '的值为______．【答案】4-【分析】将(2)f '作为常量对()f x 求导，得到导函数，再将()2f '作为未知量求解即可. 【详解】由解析式知：()22(2)f x x f ''=+， ∴(2)222(2)f f ''=⨯+，解得()24f '=-. 故答案为：4-.14．某单位拟从A ，B ，C ，D ，E ，F 六名员工中选派三人外出学习，要求： （1）A ，C 二人中至少选一人； （2）B ，E 二人中至少选一人； （3）B ，C 二人中至多选一人； （4）A ，D 二人中至多选一人． 由于E 因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：______． 【答案】A ，B ，F【分析】依据条件（2）（3）（1）（4）的顺序去选人即可解决【详解】由于E 因病无法外出，依据条件（2）B ，E 二人中至少选一人，可知一定选派B ，依据条件（3）B ，C 二人中至多选一人，可知一定不选派C ， 又依据条件（1）A ，C 二人中至少选一人，可知一定选派A ， 又依据条件（4）A ，D 二人中至多选一人，可知一定不选派D ， 则一定选派B ，A 二人，一定不派出C ，D ，E 三人. 又共需选派3人，则一定选派F综上，该单位最终选派的三位员工为：A ，B ，F 故答案为：A ，B ，F15．将A ，B ，C ，D 四份不同的文件放入编号依次为15-的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件A ，B 必须放入相邻的抽屉，文件C ，D 不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共有______种． 【答案】24【分析】依据先分类再分步的原则去求解即可解决【详解】文件A ，B 放入1、2号抽屉时，文件C ，D 只能放入3、5号抽屉； 文件A ，B 放入2、3号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、4号或1、5号抽屉； 文件A ，B 放入3、4号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、5号或2、5号抽屉； 文件A ，B 放入4、5号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、3号抽屉. 则满足要求的放置方法共有()()22222222222222222222A A A A A A A A A A 24+++++=故答案为：2416．双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=和双曲余弦函数()e e cosh 2x x x -+=在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点A 、B ，曲线1C 在A 处的切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．①()()()sinh cosh x x '=，()()()cosh sinh x x '=；②()()22sinh cosh 1x x +=；③点P 必在曲线e x y =上；④PAB △的面积随m 的增大而减小． 【答案】①④【分析】利用求导法则可判断①；利用指数运算可判断②；求出切线PA 、PB 的坐标，联立两切线方程可得出点P 的坐标，可判断③的正误；求出PAB △的面积关于m 的表达式，结合函数的单调性可判断④的正误. 【详解】对于①，()()()e e e e sinh cosh 22x x x xx x --'⎛⎫-'===⎪⎭+⎝， ()()()e e e e cosh sinh 22x x x xx x --'⎛⎫-=⎪=⎭+'=⎝，①对； 对于②，()()222222e e e e e e sinh cosh 222x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-+++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒为1，②错；对于③，e e ,2m m A m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭、e 2,e m m B m -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，切线PA 的方程为()e e e e 22m m m mx m y --+-=--，切线PB 的方程为()e e e e 22m m m mx m y ---+=--，联立()()e e e e 22e e e e 22m m m mm m m my x m y x m ----⎧+--=-⎪⎪⎨-+⎪-=-⎪⎩，解得1e m x m y =+⎧⎨=⎩，即点()1,e mP m +， 所以，点P 不在曲线e x y =上，③错；对于④，e mAB -=，点P 到直线AB 的距离为1，则1e 2m PAB S -=△，所以，PAB △的面积随m 的增大而减小，④对. 故答案为：①④. 三、解答题17．（1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”）（2）给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；命题q ：关于x 的方程2=0x x a -+有实根．已知命题()p q ⌝∨和命题()p q ∨⌝都是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 ；（2）[)10,4,4⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）依据真值表去判断所给命题的真假即可解决；（2）先判断出题给条件对命题p ，q 真假的要求，再去求实数a 的取值范围． 【详解】（1）从上至下依次为“真”，“假”，“真”，“真”；（2）若命题p 为真命题，则0a =或0Δ0a >⎧⎨<⎩，解得[)0,4a ∈，若命题q 为真命题，由0∆≥，解得14a ≤，要使()p q ⌝∨和()p q ∨⌝都是真命题， 则需p ，q 同真同假， 若p ，q 同真，则有10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若p ，q 同假，则有4a ≥，综上可知，a 的取值范围为[)10,4,4⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2CA =，1CB =，M 是1CC 的中点，1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长；(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】6； 10【分析】（1）证明1BA AN ⊥，再利用相似三角形求解；（2）证明11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角，再解三角形求解. 【详解】(1)解：取1BB 中点N ，连接MN ，AN ，则//BC MN ， ∵1BB ⊥平面ABC ，∴1BB BC ⊥，又BC BA ⊥，,,AB BC B AB BC ⋂=⊂平面11ABB A ， ∴BC ⊥平面11ABB A ，故MN ⊥平面11ABB A ，AN 即为AM 在平面11ABB A 内的射影， 又1AM BA ⊥，∴1BA AN ⊥， 故1Rt ABN Rt A AB △△∽，∴1BN ABAB AA =，而413AB =- ∴126AA ==(2)解：连接1AB ，由（1）知11B C ⊥平面11ABB A ， 故11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角，16410AC +=111B C =，∴11sin 10C AB ∠=1019．某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为()0k k >．现已知相距10km 的A ，B 两家化工厂（污染源），A 化工厂的污染强度未知，暂记为()0a a >，B 化工厂的污染强度为4，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和，设()km AC x =．(1)试将y 表示为关于x ，k ，a 的等式；(2)调研表明y 在2x =处取得最小值，据此请推断出A 化工厂的污染强度． 【答案】(1)410a y k x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，()0,10x ∈(2)14【分析】（1）根据题意去将y 表示为关于x ，k ，a 的等式； （2）利用导数去求A 化工厂的污染强度． 【详解】(1)410a y k x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，()0,10x ∈；(2)()()()22222241041010x a x a y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--'=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 由题意，,210166404x ya a ==⇒-=⇒=， 经检验知，当14a =时，y 在()0,2上单减，在()2,10上单增，满足题意．所以，A 化工厂的污染强度为14．20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，棱PC 的中点为E ，3PF FB =，连接DE ，DF ，EF ．(1)若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，求CB CD 的值．(2)设棱P A 与平面DEF 相交于点G ，且PG PA λ=，求λ的值； 【答案】2 (2)13【分析】（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2CD =，CB m =，先利用向量求得m 的值，再去求CBCD的值； （2）利用1DG n ⊥，由向量列出关于λ的方程，再去求λ的值.【详解】(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，并设2CD =，CB m =，则()0,0,0D ，(),0,0A m ，(),2,0B m ，()0,2,0C ，()002P ,,，于是()0,1,1E ，()0,0,2DP =，(),2,0DB m =，()0,1,1DE =又31344PF FB DF DP DB =⇒=+，所以13,,422m DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面DEF 的一个法向量()1,,n x y z =．则1304220mx y z y z ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，令4x =-，则y m =-，z m =则平面DEF 的一个法向量()14,,n m m =--．易知平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =，∴122cos ,216n n m =+，212216m =+，由此解得22m =∴22CB mCD == (2)由(0,0,2)DP =，(,0,2)PA m =-，(,0,2)PG PA m λλλ==- 可得(),0,22DG DP PA m λλλ=+=-， 由题意，G 是平面DEF 上一点，则1DG n ⊥， 则()4220m m λλ-+-=，由此解得：13λ=．21．已知函数()()()2ln 0f x x ax a =->．(1)若()f x 恰有一个零点，求a 的值； (2)若0x 是()f x 的零点，且2y x 在点()200,x x 处的切线恰与ln y x =相切，求a 的值．【答案】(1)2e a = (2)2e a =.【分析】（1）由题可得函数()2f x f ≥⎝⎭，进而可得202f ⎛= ⎝⎭，即得； （2）利用导数的几何意义可得2yx 在()200,x x 处切线l ：()20002y x x x x =-+，结合条件可得()2001ln 2x x =+，()200ln x ax =，即得.【详解】(1)∵()21212,0x f x x x x x -'=-=>， 由()0f x '=可得2x =，∴当2x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当2x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在⎛ ⎝⎭单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x f ≥⎝⎭，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， ∴由题意可知，x =()f x的唯一零点，由20f =-=⎝⎭⎝⎭，解得：a = (2)由2y x 可得2y x '=，∴2yx 在()200,x x 处切线l ：()20002y x x x x =-+，整理得：l ：2002y x x x =-，设该切线与ln y x =相切于(),ln t t ，又1y x'=， 则l ：()1ln y x t t t=-+， 整理得：l ：1ln 1y x t t=+-，∴()002012ln ln 21ln x t x t x t⎧=⎪⇒=-⎨⎪=-⎩， ∴()2001ln 2x x =+，又由题知：()200ln x ax =，∴()()()000ln 1ln 2ln 2e ax x x =+=， ∴2e a =即为所求．22．已知函数()()ln 1R f x x ax a =++∈，()f x '为()f x 的导函数． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若210x x >>，证明：对任意R a ∈，存在唯一的()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-成立．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析【分析】（1）先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）构造函数()()()()1212f x f x F x f x x x -'=--，然后结合导数以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】(1)()()110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 在()0,∞+单调递增；②当0a <时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0f x '>，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0f x '<，∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递减.(2)依题意，210x x >>， 设()()()()()()121212121f x f x f x f x F x f x a x x x x x --'=-=+---，()12,x x x ∈，()F x 在定义域内单调递减， ()()()1211121f x f x F x a x x x -=+-- ()1122112ln 1ln 11x ax x ax a x x x ++-++=+-- ()1122112ln1x a x x x a x x x +-=+-- ()11212211211212lnln 1x xx x x x a a x x x x x x x x -=+--=---- 12112121ln x x x x x x x ⎛⎫-=+⎪-⎝⎭ 21121211ln x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，令()120,1x t x =∈，()11ln G t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()112F x x x G t =-， ∵()21tG t t-'=，∴在()0,1，()()0G t G t '>⇒在()0,1单调递增， ∴()()10G t G <=，故()()11210F x G t x x =>-. 同理可得：()112122211ln x x F x x x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，令()120,1x t x =∈，()1ln H t t t =--，则()()2121F x H t x x =-，∵()11H t t'=-，∴在()0,1，()()0H t H t '<⇒在()0,1单调递减，∴()()10H t H >=，故()()21210F x H t x x =<-， 综上可知，()F x 在()12,x x 单调递减，且()10F x >，()20F x <， ∴()F x 在()12,x x 存在唯一零点0x ，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-，命题得证．【点睛】利用导数研究方程的根的个数，首先将方程变形，然后构造函数，结合导数、零点存在性定理、图象等知识来进行研究.。