2021-2022年高二数学下学期期中试题理实验班

甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答 案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答 案〗B〖解 析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答 案〗C〖解 析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答 案〗B〖解 析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答 案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。

高2021级数学 第1 页 共 4 页 高2021级数学 第 2页 共 4 页高2021级高二下学期期中质量检测 2023.04.25理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数−=+z 1i2i，则=z （ ） A ．1BCD2．数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治 3．已知复数=+∈∈z a b a b i R,R )(，且+=−z 12i 1i )(，则−=a b （ ）A ．52B ．51C ．−52D ．−514．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（ ） A ．54B ．32C ．52D ．535．命题p :“∀∈−+>x x mx R,102”，命题q :“<m 2”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．命题“∃∈+∞a 0,)[，>a a sin ”的否定形式是（ ）A ．∈+∞∀a 0,)[，≤a a sinB ．∃∈+∞a 0,)[，≤a a sinC ．∀∈−∞a ,0)(，≤a a sinD ．∃∈−∞a ,0)(，>a a sin7．)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列a n }{称为“斐波那契数列”，则=a 7（ ） A ．8B ．13C ．18D ．23． B ． C ． ．9．地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥补了 单一地面交通的不足.成都地铁9号线每5分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是（ ）A ．0.6B ．0.8C ．0.4D ．0.210．已知命题∀∈p x :R ，>−x sin 1；命题∃∈+=+q x y x y x y :,R,sin sin sin )(，则下列命题是真命题的是（ ） A ．∧p q B ．∧⌝p q )( C ．∨⌝p q )( D ．⌝∧p q )(11．已知−=x a x 012在∈+∞x 0,)(上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎝⎦⎥ ⎛⎤e 20,1B ．⎝⎭⎪⎛⎫2e 0,1C ．⎝⎦⎥ ⎛⎤1,e 2e 1D ．⎝⎭⎪⎛⎫1,e 2e 112.函数=f x x ln 2)(的图象与函数=−+−−xg x x x x 2e e 1)(的图象交点的横坐标x 0，则e x xln 200＝ （ ） A ．−ln 2B ．－21C ．21D ．ln 2高2021级数学 第3 页 共 4 页 高2021级数学 第4页 共 4 页第二部分（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若()2i i 2i a b +=+，则i a b +=（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意()2i i 2i 2i a a b +=-+=+，所以2222b a a b -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以i a b +==故选：A2．下列函数的求导不．正确的是（ ） A ．()232x x --'=-B ．()cos cos sin x x x x x '=-C ．()1ln1010'=D ．()22x x e e '=【答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A ：由幂函数的导数公式得：()232x x --'=-.故A 正确； 对于B ：由导数的四则运算得：()cos cos sin x x x x x '=-.故B 正确； 对于C ：因为常值函数的导数为0，所以()ln100'=.故C 错误； 对于D ：由导数的四则运算得：()22x x e e '=.故D 正确. 故选：C.3．利用反证法证明“已知12345100a a a a a ++++≥，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（ ） A ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 均不大于20 B ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20 C ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不都大于20 D ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 至多有一个小于20 【答案】B【分析】根据量词的否定即可求解.【详解】1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20的否定是: 1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20.故选:B4．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．[]1,0-【答案】C【分析】设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，求出导数，即可求出切线方程，从而得到0ln 1a x =+，0b x =-，即可得到a b +的表达式，构造函数，利用导数求出函数的单调性与最大值，从而得解；【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点， 由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-， 即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-， 所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞， 所以()111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞； 故选：C5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的是真的，从而推理出正确答案.【详解】甲说：丁>乙；乙说：甲>丙；丙说：丙>丁；丁说：丙>乙.若甲的成绩最低，甲说的是真，乙丙丁说的是假，则丁>乙>丙>甲，符合题意. 若乙的成绩最低，乙说的是真，丁说的是假，即丙<乙，与乙的成绩最低矛盾，不符合题意.若丙的成绩最低，丙说的是真，即丙>丁，与丙的成绩最低矛盾，不符合题意. 若丁的成绩最低，丁说的是真，丙说的是假，即丙<丁，与丁的成绩最低矛盾，不符合题意. 故选：A6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y （单位：万元）与贷款x 满足关系式12ln 9y x x x=--+，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A ．3万元 B ．4万元 C ．5万元 D ．6万元【答案】B【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意12ln 9y x x x=--+，且010x <≤， ()()2'22243112121x x x x y x x x x -++-++=-+==， 所以函数12ln 9y x x x=--+在()'0,4,0y >，函数递增；在()'4,10,0y <，函数递减.所以当4x =万元时，函数取得最大值. 故选：B7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为 A ．44r π B ．43r πC ．42r πD ．4r π【答案】B【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W V '=，求出所求．【详解】由题知，,S l V S ''==，所以类比推理，猜想，W V '=，因为312V r π=， 所以43W r π=，故选B ．【点睛】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力．8．函数()sin sin cos f x x x x =+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可排除错误答案，从而得解； 【详解】解：因为()sin sin cos f x x x x =+，[],x ππ∈-，所以()()()()()sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x f x -=-+--=--=-， 所以()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D ；又sin sin cos 102222f ππππ⎛⎫=+⋅=> ⎪⎝⎭，故排除A ，又3313316sin sin cos 133332f ππππ⎛⎫=+⋅=>= ⎪⎝⎭，故排除C ； 故选：B9．利用数学归纳法证明不等式()211112321nf n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．k 项 B ．22k 项 C ．12k -项 D ．232k ⋅项【答案】D【分析】由数学归纳法，可知增加的项，由分母的改变量即可求解. 【详解】n k =时,左边为()211112321kf k +++⋅⋅⋅+<-， 当1n k =+时，左边为()2222211111111123212212221kk k k k ++++⋅⋅⋅+++++-++-左边增加了()2222111112212221k k k k +++++++- ，共有()()2122212132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦. 故选：D10．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,18B ．()2,18C ．(][)218-∞⋃∞,,+ D ．[]2,18 【答案】B【分析】求出导函数，得到函数在()0,+∞上的单调性，列不等式，即可得到答案.【详解】()2,0.af x x x x '=->当a ≤0时, ()0.f x '>恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a >0时,令()0.f x '>可得：22a x >；令()0f x '<，可得：202a x <<， 所以要使函数()f x 在()1,3内有极值点，只需2132<<a,解可得,2<a <18. 故选：B11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以111121231a =⨯=. 故选：C12．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]12ln2e 3--, B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【答案】D【分析】由方程12ln 0x x x mx -+-=分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x-=-+=， 所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,. 故选：D 二、填空题13．(12x dx =⎰________【答案】14π+【详解】因11(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而122(2)101x dx =-=⎰，2222000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t πππππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．14．已知复数12z =-，则z z =______．【答案】12-【分析】先求出z ，再利用复数的四则运算直接求解. 【详解】因为复数12z =-，所以复数12z =-，所以21212z z ⎛⎫- ⎪==-⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-15．已知函数()()21e e e e 2x x f x a a x =+--（其中R,e a ∈为自然对数的底数）在x ＝1处取得极小值，则a 的取值范围是______． 【答案】()e,∞-+【分析】先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，结合()f x 在1x =处取得极小值来求得a 的取值范围.【详解】()()()()'2e e e e e e e x x x xf x a a a =+--=+-，当0a ≥时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意. 当0a <时，由e 0x a +=解得()ln x a =-，①当()ln 1,e 0a a -<-<<时，()f x 在区间()()()()'ln ,1,0,a f x f x -<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.②当()ln 1,e a a -≥≤-时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞>递增，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是()e,∞-+. 故答案为：()e,∞-+16．已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立．则11b a ++的最大值为______． 【答案】12e【分析】由不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤进行转化，先利用特殊值求得11b a ++的取值范围，再利用导数求得11b a ++的最大值. 【详解】依题意：不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即()()ln 2e 1121x x a x b +-≤+-+①对任意的()0,x ∈+∞恒成立， ln 2e 1y x x =+-在()0,∞+上递增，则10a +>，由①，令1e x =得()()111ln 2e 1121e e e a b +⋅-≤+⋅-+，整理得1112eb a +≤+.当13e 1,2a b =-=时，1112eb a +=+，此时，①即ln 2e 13e 3x x x +-≤-，只需ln e 20x x -+≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()()'e 1ln e 20,x f x x x x f x x-+=-+>=， 所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞< ⎪⎝⎭递减，所以()111ln e 20e e e f x f ⎛⎫≤=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：12e【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，主要步骤是先化简不等式，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等来进行求解. 三、解答题17．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）设0a b ≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+．（2）设0a >，求证：2211a a a a+≥+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差可得33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，由0a b >，可得2()0a b -，可得2()()0a b a b +-，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）证明如下：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+- 22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0a >，0b >，∴0a b +>，而()20a b -≥， ∴()()20a b a b +-≥， 故3322()()0a b a b ab +-+≥， 即3322a b a b ab +≥+．（2）证明：要证2211a a a a+≥+， 只要证431a a a +≥+， 只要证43(1)0a a a ---≥， 只要证3(1)(1)0a a a ---≥，只要证()31(1)0a a --≥， 只要证()22(1)10a a a -++≥，因为2(1)0a -≥，22131024a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以()22(1)10a a a -++≥成立，所以0a >时，2211a a a a+≥+成立． 19．已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线所在的直线方程；(3)若抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，求点M 的坐标和最短距离．【答案】(1)1a =，2b =，1c =- (2)420x y --=(3)()1,2M 【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P 点坐标代入两个函数式，可解得,,a b c ；（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；（3）由抛物线的导数值等于4可得M 点坐标，再由点到直线距离公式可得结论． 【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是()()()332100lim lim 3x x x x a x x x ax y y x a x x∆→∆→+∆++∆-+∆'===+∆∆． ()()()22200lim lim 2x x x x b x x c x bx c y y x b x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+∆∆．将()1,2P 分别代入两曲线方程得到21a =+，21b c =++．又213y x a '=+，22y x b '=+，则32a b +=+，解得1a =，2b =，1c =-． (2)由（1）知3y x x =+，2131y x '=+；当1x =时，14y '=，故切线方程 为()412y x =-+，即420x y --=．由（1）知221y x x =+-，222y x '=+，当1x =时，24y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．综上所述，公切线所在的直线方程为420x y --=．(3)要使抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，则抛物线在点M 处 的切线斜率应该与直线45y x =-相同， 则()()()2200lim lim 224x x x x b x x c x bx c y y x x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+=∆∆，解得1x =．又因为点M 在抛物线上，解得()1,2M ， 所以最短距离即d 为点M 到直线45y x =-的距离，代入点到直线的距离公式得d =20．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈） (1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？ (2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？ 【答案】(1)6.67万元 (2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】(1)当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =-- ()3322e e ,1x xx p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤> 此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max3e ()12ln e 12318ep x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.21．已知函数()e xf x =，()cosg x x =-．(1)讨论函数()()()g x F x f x =的单调性；(2)设函数()()()G x f x g x ax =+-（R a ∈），若()G x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)增区间π3π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，减区间3π7π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2)π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()F x 的单调区间.（2）由()'0G x ≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，分离常数a ，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围. 【详解】(1)()()()cos e xg x xF x f x -==，()F x 的定义域为R .()'sin cos πsin e 4x x x F x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 设Z k ∈， ππ3π2π2ππ,2π2π444k x k k x k <+<+-<<+， π3π7π2ππ2π2π,2π2π444k x k k x k +<+<++<<+， 所以()F x 在区间()()'π3π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭递减.(2)()()()e cos xG x f x g x ax x ax =+-=--，π2x ≥-，()'e sin 0x G x x a =+-≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，e sin x a x ≤+在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，令()πe sin 2xh x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，当ππ22x -≤≤时，()'cos 0,e cos 0x x h x x ≥=+>； 当π2x >时，e 1cos 1x x >≥≥-，()'e cos 0xh x x =+>， 所以()h x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，()ππ22ππe cos e 22h x h --⎛⎫⎛⎫≥-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2e a -≤，即a 的取值范围是π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】由函数()f x 在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用()'f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.22．如图，()111,P x y 、()222,P x y 、⋅⋅⋅、(),n n n Px y （120n y y y <<<⋅⋅⋅<）是曲线C ：y =上的n 个点，点(),0i i A a （i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是等腰直角三角形，其中i P 为直角顶点，0A 是坐标原点．(1)写出1a 、2a 、3a ；(2)猜想点(),0n n A a （*n ∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)12a =，26a =，312a = (2)证明见解析【分析】（1）推导出()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，结合0a 的值，可求得1a 、2a 、3a 的值；（2）结合1a 、2a 、3a 的值可猜想得出()()*1n a n n n =+∈N ，然后利用数学归纳法结合()()()2*112n n n n a a a a n ---=+∈N 和{}n a 为单调递增数列，可证得猜想成立.【详解】(1)设00a =，则依题意，可得12n nn a a x -+=，11122nn n n n n a a a a y a ---+-=-=， 代入y x =1122n n n n a a a a ---+= 即()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，由图可知{}n a 为单调递增数列，所以，1n n a a +>，所以12a =，26a =，312a =．(2)由（1）可猜想：()()*1n a n n n =+∈N ． 下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当n k =时猜想成立，即有()1k a k k =+，则当1n k =+时，由()()2112k k k k a a a a ++-=+得()()211121k k a k k k k a ++-+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()2211211120k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()112k a k k +=++（()11k k a k k a +=-<不符合题意，舍去）， 即当1n k =+时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即()()*1n a n n n =+∈N ．。

山东省聊城市聊城第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则000()()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．()012f x -'B ．()02f x '-C ．()0f x 'D ．()02f x '2．已知()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（）A ．8-B ．8x-C ．228x -D ．228x 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，则π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值为（）A ．π2B ．π12-C ．1-D ．π-4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（）种．A ．34B ．816C ．216D ．2105．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（）A ．0.6B ．0.625C ．0.5D ．0.36．已知2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m >-C ．3m >-D ．3m ≥-7．在()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中，3x 的系数为（）A ．120B ．84C ．210D ．1268．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,346a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多选题9．随机变量ξ的分布列为：ξ012Pa2b 2b 其中0ab ≠，下列说法正确的是（）A ．1a b +=B ．3()2b E ξ=C ．()D ξ随b 的增大而减小D ．()D ξ有最大值10．已知102(0)ax a⎛> ⎝展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在含6x 的项D ．展开式中含15x 项的系数为4511．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C ．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为96625D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为4512．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的有（）A ．10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,e)上单调递减C ．126x x +>D ．若221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<三、填空题13．全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．14．同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则4次试验中至少有2次成功的概率是______________．15．若77017(21)x a a x a x +=++⋯+，则7+11(1)i i i ia =-=∑______________．16．若函数()g x 在区间D 上有定义，且,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈均可作为一个三角形的三边长，则称()g x 在区间D 上为“M 函数”．已知函数()1ln x f x x k x-=-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？18．已知2mx⎛+ ⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12．(1)求m 的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．19．已知函数()2()e 61x f x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值；(2)求函数()f x 在区间[0,6]上的最值．20．将10株某种果树的幼苗分种在5个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需20元，用X 表示补种费用．(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求5个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X 的数学期望．21．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：容易题中等题难题答对概率0.70.50.3答对得分345(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望．22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件，(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a ．23．已知函数()e 3xf x ax =+-在0x =处的切线为=2y -．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．参考答案：1．A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为()f x 在0x x =处可导,所以，由导数的定义可得：()0000000()()()()11limlim 222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-⎡-∆-⎤⎛⎫⎛⎫'=-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥∆-∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A 2．D【分析】利用二项式定理求得()1nx -的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解之即可求得展开式中的第3项.【详解】因为()1nx -的展开通项为()()1C 11C kkk n kk k k n n T x x -+=-=-，所以()1nx -的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，因为()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以26C C n n =，由性质22C C n n n-=得26n -=，故8n =，所以()1nx -展开式中的第3项为()2222381C 28T x x =-=.故选：D.3．B【分析】先对()f x 求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，所以ππππsin 66612f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4．B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果．【详解】从7人中任选3人，不同的选法有37C 种，而不选男教师的选法有33C 种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有3373C C 34-=种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有44A 24=种．则这7名教师不同的安排方法有3424816⨯=种．故选：B ．5．B【分析】先由题意求得目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果．【详解】记事件A 为“甲命中目标”，事件B 为“目标至少被命中1次”，则()1(10.5)(10.6)0.8P B =--⨯-=，()0.5(10.6)0.50.60.5P AB =⨯-+⨯=，()0.5()0.625()0.8P AB P A B P B ===．故选：B.6．D【分析】求出导函数，推出12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数m 的取值范围．【详解】2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数则1()20f x x m x '=++≥在区间(1,2)上恒成立即12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立设1()2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1,2)x ∈22221))()2012(1(1x h x x x x '=-+=-=<函数()h x 在(1,2)上是减函数，则()(1)3h x h <=-所以3m ≥-．故选：D ．7．C【分析】先通过求出各项二项式中3x 的系数，再利用组合数的性质即可得解.【详解】因为()1nx +的展开通项为1C 1C k n kk k kk n n T x x -+==，所以()1x +的展开式中没有3x 这一项，()21x +的展开式中没有3x 这一项，()31x +的展开式中3x 的系数为33C ，()41x +的展开式中3x 的系数为34C ，……()91x +的展开式中3x 的系数为39C ，所以所求3x 的系数为333434910C C C C 210+++== .故选：C.8．B【分析】由条件可得cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，考虑构造函数()()cos f x g x x=，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以()tan ()f x x f x '<-⋅可化为sin ()()0cos xf x f x x'+⋅<，即cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，设()()cos f x g x x=，则()()()()2cos sin cos cos f x f x x f x xg x x x ''+⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，因为πππ643<<，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πππ643πππcos cos cos 643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，即πππ23643f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b a >>，故选：B.9．ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案．【详解】根据分布列的性质得122b ba ++=，即1a b +=，故A 正确；根据期望公式得3()012222b b bE a ξ=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；根据方差公式得222333()(0)(1)(2)22222b b b b bD a ξ=-⨯+-⨯+-⨯222333(0)(1)(1)(2)22222b b b b b b =-⨯-+-⨯+-⨯22959525(424936b b b =-+=--+，因为01b <<，当509b <≤时，()D ξ随b 的增大而增大；当519b <<时，()D ξ随b 的增大而减小，故C 错误；当59b =时，()D ξ取得最大值2536，故D 正确，故选：ABD ．10．BD【分析】由1x =结合展开式的各项系数和得出1a =，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可．【详解】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令1x =，得10(1)1024a +=，∵a ＞0，∴a ＝1则二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项为：()520102211010C C rr rr r r T xx --+==展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错误；由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B 正确；令52062r -=，可得285r =不是自然数，则展开式中不存在含6x 的项，故C 错误；令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为210C 45=，故D 正确，故选：BD ．11．ACD【分析】对于ABC ，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D ，根据题意得到第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得X 的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有45选择方法，对于A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为454A 54322455555125⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为154A 5155555125==⨯⨯⨯，故B 错误；对于C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为2244C 46449655555625⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为15，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14()455E X =⨯=，故D 正确.故选：ACD.12．AD【分析】根据参变分离构造函数()ln xg x x=，根据()g x 的性质，即可判断A ；求导得()f x '，结合10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可判断B ；构造函数()()()()2e ,e,2e F x f x f x x =--∈，利用导数求解12x x +的范围，即可判断C ，根据()21,f f a ⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小关系结合()f x 的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由()0f x =等价于ln xa x=，令()()2ln 1ln ,x x g x g x x x -'==，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 单调递增；在()e,+∞单调递减，当e x =时，()g x 取极大值()1e =eg ，当()1,0x g x <<；当1x >时，()0g x >，()10g =，则121e,e,x x <<>10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确．对于B ，()11axf x a x x-'=-=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1e a <，所以()f x 在(0,e)单调递增，故B 错误；对于C ，由A 可知120e x x <<<，当22e x ≥时，122e x x +>，当()2e,2e x ∈时，令()()()()()()e ln ln 2e 2e 2e ,e,2F x f x x x ax f x a x x =--=-+-∈--，11112e()222e 2e (2e )F x a a a a x x x x x x =-+-=-=----'，()()22e,2e ,2e 2e e x x x x x ∈∴-=-+< ，()()2e 22202e eF x a a x x =->--'∴>，()F x ∴在()e,2e 上单调递增，()()e 0F x F ∴>=，()()2e f x f x ∴>-，则()()222e f x f x >-，又()()21f x f x = ，()()122e f x f x ∴>-，又()f x 在()0,e 上单调递增，12e 2e 0x x >>->，122e x x ∴>-，122e x x ∴+>，综上122e x x +>，故C 错误；对于D ，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12110,,x x a a ⎛⎫⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()110f a f x =-<= ，11x ∴>，()2222ln 2lne 20f f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，22x a ∴<，21221ax x a a-∴-<-=，故D 正确，故选：AD ．13．625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5555⨯⨯⨯种，即625种，故答案为：625.14．67256【分析】由题意可知4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得出答案．【详解】 同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率为111224⨯=，∴在4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4次试验中至少有2次成功的概率是2234234444131315412167C +C C 44444256256256256⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：67256．15．14【分析】由二项式定理可求0127,,,,a a a a ⋅⋅⋅，利用组合数性质化简+1(1)i i ia -，结合二项式定理求值.【详解】因为()()()()0127071625707777772(1C 12C 122))C 21C 12(1x x x x x x +==+++⋅⋅+⋅+，化简可得0122277777777C 2C 22(1C C 2)x x x x =++++⋅⋅⋅+，又77017(21)x a a x a x +=++⋯+，所以72C ,0,1,2,3,4,5,6,7,i ii a i ==当1,2,3,4,5,6,7i =时，()()()1767!6!C 77C !7!1!61!i i i i i i i i -=⋅=⋅=---+，所以()1+1+1+111766(1)(1)2C (1)7C 214C 2i i i i i i i i i i i a i ---⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅=-⋅=⋅-，所以()()77711+11166111(1)14C214C 2i i i i i i i i i ia ----===-=-=-∑∑∑，所以()()()()()7126+10615246066661(1)14C 12C 12C 12C 12i i i ia =-=-+-+-+⋅⋅⋅+-∑，所以()76+11(1)141214i i i ia =⎡⎤-=+-=⎣⎦∑，故答案为：14.16．()2e 4,-+∞【分析】先由题意得到()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，再利用导数求得()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，从而求得k 的取值范围.【详解】根据题意可知()g x 在区间D 上为“M 函数”，则有()()min max 2g x g x >且()min 0g x >，因为()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，所以()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，因为()11ln 1ln e 1e x f x x k x k x x x -⎛⎫=-+=--+≤≤ ⎪⎝⎭，所以()22111x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，得1e x <≤；令()0f x ¢>，得11ex ≤<；所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减，则()()max 1f x f k ==，又111e ln 2e e e f k k ⎛⎫=--+=+- ⎪⎝⎭，()11e 1ln e e e f k k =--+=-，则()111e 2e 2e 0e e 2f f ⎛⎫-=-+<-+< ⎪⎝⎭，即()1e e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()min 12e e f x f k ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，所以()22e 2e 0k k k ⎧+->⎨+->⎩，解得2e 4k >-，所以实数k 的取值范围为()2e 4,-+∞.故答案为：()2e 4,-+∞.17．(1)75种；(2)65种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，其中只有医生的情况数有455C =，不可能存在只有护士的情况．故共有70565-=种不同的建组方案.答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解.18．(1)7；(2)114﹒【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12列出关于m 的方程，解方程即可求得m ；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为()152222122rr m m rrr r r mm T C xx C x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，∴展开式中第4项的系数为332m C ⋅，倒数第4项的系数为332m m mC --⋅，33332122m m m m C C --⋅∴=⋅，即611,722m m -=∴=．（2）展开式共有8项，由(1)可得当522rm -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =．19．(1)单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-，极大值是18e -，极小值是54e -(2)最大值为6e ，最小值为54e -．【分析】（1）对()f x 求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）()2()e 45e (5)(1)x xf x x x x x =--'=-+．令()0f x '>，得1x <-或5x >；令()0f x '<，得15x -<<，所以()f x 的单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-．所以()f x 的极大值是1(1)8e f --=，()f x 的极小值是5(5)4e f =-．（2）因为6(0)1,(6)e f f ==，由（1）知，在区间[0,6]上，()f x 有极小值5(5)4e f =-，所以函数()f x 在区间[0,6]上的最大值为6e ，最小值为54e -．20．(1)34(2)135512(3)25元【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数Y 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得()E Y ，再由数学期望的性质求得()E X ，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率2212131C 24P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）得每坑要补种的概率1114P -=，所以5个坑中恰有2个坑需要补种的概率2322513135C 44512P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）设5个坑中需要补种的坑数为Y ，则Y 服从二项分布，即15,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以15()544E Y =⨯=而20X Y =，故()20()25E X E Y ==（元），所以X 的数学期望为25元.21．(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)172【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到X 的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X 的每一个取值的概率求出，从而得到X 的的分布列，从而求得X 的数学期望．【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.70.70.49P =⨯=；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：30.70.30.21P =⨯=；因为132P P P >>，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，则11771177(3),(7)2221040221020P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯=，11331177(8),(11)221040221040P X P X ==⨯⨯===⨯⨯=，11331133(12)2,(16)221020221040P X P X ==⨯⨯⨯===⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 378111216P740720340740320340所以77373317()3781112164020404020402E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．(1)2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(2)()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对L 求导，令0L '=得3823ax +=或18x =，讨论3823a +与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．（2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，令0L '=，解得：3823ax +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤，①当38216173a+≤<，即5 6.5a ≤<时，当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减，∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -；②当38217183a+≤≤，即6.58a ≤≤时，当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，∴当17x =时，L 取最大值7a -，综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩23．(1)1a =-；极小值为2-，无极大值(2)2【分析】（1）利用导数的几何意义得到()00f '=，从而求得1a =-，进而利用导数与函数的极值的关系求得()f x 的极值；（2）将问题转化为e 2e 1x x x t +<-恒成立问题，结合（1）中结论得到()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，从而求得()0min 1g x x +=，由此求得[]t 的最大值．【详解】（1）根据题意，易得函数()f x 的定义域为R ，因为()e x f x a '=+，由已知得()00f k '==，即0e 0a +=，则1a =-，所以()e 3x x f x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢>，得0x >；令()0f x '<，得0x <；所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的极小值为()02f =-，无极大值．（2）因为当0x >时，e 10x->，故不等式()e 2xt x t -<+等价于e 2e 1x x x t +<-，令e 2()e 1x x x g x +=-，则()()2e e 3()e 1x x xx g x --=-'，()min t g x <，由（1）得()e 3xx f x =--在(0,)+∞上单调递增，又因为2(1)e 130,(2)e 230f f =--<=-->，所以()f x 在(0,)+∞有唯一零点0x ，且012x <<，所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，又当()00,x x ∈时，()0f x <，则()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x >，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 的最小值为()()0min g x g x =，由()00g x '=得00e 3x x =+，所以()()00000000321e 22e 1x x x g x x x x x +=+=+=-++，因为012x <<，所以()023g x <<，因为()min t g x <，所以[]t 的最大值为2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2021-2022年高二下学期期中考试数学试题含答案一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为___________.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为___________.3、经过点且与直线平行的直线的方程为___________.4、过点且与圆相切的直线的方程是___________.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为___________.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为___________.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为___________.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为___________.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=___________.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为___________.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为___________.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是___________.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）； （B ）；（C ）； （D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（） （A ）相交但不过圆心； （B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切； （D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点. （1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.上外附属大境中学xx第二学期期中考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：120分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为____.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____.3、经过点且与直线平行的直线的方程为____.4、过点且与圆相切的直线的方程是__或__.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为____.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为____.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为__8__.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为____.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=__4__.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为____.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为____.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是__②③__.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（ B ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（ C ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（ A ）（A ）； （B ）；（C ）； （D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（ A ）（A ）相交但不过圆心； （B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切； （D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.关于轴的对称点为，则直线方程为，则反射点即为直线与轴交点，.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.（1）2242202y x y y b y x b⎧=⇒-+=⎨=+⎩，AB ===，解得.（2）由得，设，则由点到直线距离公式可得：，解得或，即或.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.（1）（2）的两条渐近线分别为，则交点分别为和，从而由题意224333m m OA OB m ⋅=-+=⇒=20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点.（1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.（1）；（2），椭圆方程为（3），设.由得，即，则当且仅当时，取到最小值为，此时(2,EM FN +=+=，与是平行的.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.（1）；（2），椭圆上的点到点距离的最小值为，此时椭圆上点的横坐标为40338 9D92 鶒Yt?24795 60DB 惛24880 6130 愰N30153 75C9 痉36851 8FF3 迳39976 9C28 鰨26304 66C0 曀27921 6D11 洑。

2021—2022学年度其次学期一般高中模块监测 高二数学（理）第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量()1,1,0a =，则与a 共线的单位向量e =A. 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. ()0,1,0C. 22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. ()1,1,12.已知曲线()ln f x x x =，则其在()()1,1P f 处的切线方程是 A.22y x =- B. 22y x =+ C. 1y x =- D. 1y x =+ 3.设随机变量()0,1N ξ，若()1P p ξ≥=，则()10P ξ-<<=A.12p - B. 12p + C.p D. 1p - 4.甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是 A.13 B. 427 C.49 D. 1275.6本不同的书分给甲乙丙三人，每人2本，不同的分法种数为 A. 6 B. 12 C. 60 D. 906.某单位为了了解用电量y （度）与气温()x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：（度） 由表中数据得线性回归方程为ˆybx a =+中2b =-，猜测当气温为3C -时，用电量的度数约为 A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 7.甲同学练习投篮，每次投篮命中的概率为13，假如甲投篮3次，则甲至多有1次投篮命中的概率为 A.2027 B. 49 C.827 D.1278.从1，，,,3,4,5中任取2个不同的数，大事A=“取到的2个数之和为偶数”，大事B=“取到的2个 均为偶数”，则()|P B A 等于A.18 B. 14 C. 25 D. 129.某班主任对班级51（可能用到的公式：()21122122121212n n n n n n n n n χ++++-=，可能用到的数据：()()226.6350.01, 3.8410.05P P χχ≥=≥=）参照以上公式和数据，得到的正确结论是A. 有95%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少有关B. 有95%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少无关C. 有99%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少有关D. 有99%的把握认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业多少无关 10. ()(3411x --的开放式中2x 的系数是A. 3B. 0C. 3-D. 6-第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知(),xf x xe =则()1f '= .12.已知()929012912x a a x a x a x -=++++，则0129a a a a ++++= .13.已知在正方体1111ABCDA B C D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDB D 所成角的正弦值为 .14.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共 有 个.15.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = .三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）已知在n的开放式中，第6项为常数项. （1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；.（3）求开放式中全部有理项.17.（本题满分12分）已知曲线()ln f x x ax b =++在()()1,1f 处的切线与此点的直线1322y x =-+垂直. （1）求,a b 的值；（2）若函数()f x 在点P 处的切线斜率为11e+，求函数()f x 在点P 处的切线方程.18（本题满分12分）如图，已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线上B D ''，60.HDA ∠= （1）求DH 与CC '所成角的大小；（2）求DH 与平面ADD A ''所成角的大小.19（本题满分12分）箱中装有4个白球和()m m N *∈个黑球，规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球的1分，现从箱中任取3个球，假设每个球取出的可能性都相等，记随机变量X 表示取出的3个球所得分数之和. （1）若()265P X ==，求m 的值； （2）当3m =时，求X 的分布列和数学期望E(X).20（本题满分13分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的正方形，PAD 是正三角形， 平面PAD ⊥平面ABCD ，E,F,G 分别为PA,PB,BC 的中点. （1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.21（本题满分14分）现有甲、乙、丙三人参与某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为12，乙、丙应聘成功的概率均为()022tt <<，且三人是否应聘成功是相互独立的. （1）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值； （2）若三人中恰有两人应聘成功的概率为732，求的值； （3）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当2ξ=时，对应的概率最大，求()E ξ的取值范围.。

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 113a =()1211n n a n a ++=-∈+N 2022a =A ．2B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，，113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ）A ．10B ．15C ．20D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，，1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ）{}n a n 12n n S a b -=⋅+ab A ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.1a a b =+2a a =32a a =2ab =-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a 故，解得：.()22a a a b =+2ab =-故选：A 4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即，1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即，3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦，2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故，22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以.2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ 5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610 14916 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，1145+=14712++=故第四个五边形数为.1471022+++=故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得，()()()()22221sin 1sin 11x x x x f x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x ⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++-'-=+即，()()f x f x ''=-则()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=故选：.D 7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x '=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+∵x >0，∴，∴．2211111112222xx x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为()f x ()f b ()f x ()f a C ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增，()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>a b c>>b c a>>b a c>>【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增，()0g x ¢>()()f xg x x =()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A 10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）()5ln f x x a x x =--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x ≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立，()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x ≤+又5x x +≥=x =所以，a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ）()21cos sin 4f x x x x x=-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间．1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵，()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为．81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{na 11a=-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2na 2022a=【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，，11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，，34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+--- 20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++- 321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=-20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________.143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值q 143a a a +【详解】设四个数为，，，，1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则.214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______．【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即，12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x=-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立，12x x <()F x ()0F x '≥因为，()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x -++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x +≤+又，所以，即，12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n a b n ={}n b nT【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2)1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案；()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得，11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②，2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴，13n n a a -=13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，{}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴，13n na -=13n n n n nb a -==∴，，01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n n T --=+++++ ∴，01231112111113113333333313n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴．13313932122323443n n n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.{}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}n b n n T 【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为，{}n a d 由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：，124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- (84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111(22121n b n n ∴=--+1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ .11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：2n n S n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：，()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：，()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：，()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：；n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；；111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即；()*1,n k k k N =≥∈21k kS k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k kk S k k ++=+∴，12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立.N*n ∈21k kS k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x<<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b 上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：，()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：．32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得：()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值，2x =-()h x 443k -当时，有极小值，2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩．204433k ∴-<<故实数的取值范围是k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数．21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.22sin 2cos x x xa x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增，(,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x在，，，上，，单调递减，(2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得，0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以，22sin 2cos x x x a x +=-令，，，22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即，[2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增，()g x [2π]π又，，24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则，()f x [,]2ππ242a ππ- 故的取值范围，．a (022π。

吉林省长春市第二十九中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理1.已知集合{}{}=1,0,1,=|11A B x x --≤<,则A B ⋂= ( ) A. {}0 B. {}1,0- C. {}0,1D.{}1,0,1-2.141681-⎛⎫⎪⎝⎭的值是( ) A. 23 B. 32 C.481 D. 814-3.若直线,a b ⊥且直线a 平面,α则直线b 与平面α的位置关系是( ) A. b α⊂ B. b αC. b α⊂或b αD. b 与α相交或b α⊂或b α 4.过点()1,3P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ）A. 210x y +-=B. 250x y +-=C. 250x y +-=D. 270x y -+=5.直线:10l mx y m -+-=与圆()22:15C x y +-=的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 6.下面程序运行后,输出的值是( )A.42B.43C.44D.457.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[)27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A. 56B. 60C. 120D. 1408.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A.14B.π8C.12D.π49.22sin 15cos 15︒+︒=( ) A.1B.0C.-1D.210.已知三点(1,2)A ,(3,4)B --,(2,)C x 共线,则x 为( ) A.72-B.72C.53D.53-11.在ABC ∆中若()()3a b c b c a bc +++-=，则A = ( )A. 90B. 60C. 135D. 15012.已知等差数列{}n a 的前13项之和为39,则678a a a ++等于( ) A.6B.9C.12D.18二、填空题13.函数()log 32a y x =--的图像过的定点是_______. 14.函数232y x x =--的定义域是__________. 15.已知等比数列{}n a 的公比q 13q =-,则13572468a a a a a a a a ++++++的值为__________.16.过点()3,1作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________. 三、解答题17.已知函数2π()sin()sin 3cos 2f x x x x =--(1).求()f x 的最小正周期和最大值; (2).讨论()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性18.数列{}n a 中, 10a =且132n n a a +=+ （1）求数列{}n a 的前5项;（2）由1猜想数列{}n a 的一个通项公式 （3）求证数列{}1n a +为等比数列19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．（1）证明 : //PA 平面EDB ； （2）证明: PB ⊥平面EFD .20.已知曲线1C 的极坐标方程6cos ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线1C ,2C 相交于,A B 两点.（1）把曲线1C ,2C 的极坐标方程化为直角方程; （2）求弦AB 的长度.21.已知函数()12f x x x =-+- （1）求不等式()3f x ≥的解集（2）若存在实数x 满足()27,f x a a ≤-++求实数a 的取值范围四、附加题23. 把数列{21}n ＋依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：（3），（5,7），（9,11,13），（15,17,19,21），（23），（25,27），（29,31,33），（35,37,39,41），(43)，……则第104个括号内各数之和为________________参考答案1.答案：B解析：∵1,0,1,B B B -∈∈∉ ∴{}1,0A B ⋂=-. 故选B. 2.答案：B解析：11441681381162-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.答案：D4.答案：A解析：设所求直线的方程为20x y m ++=, ∵(1,3)-在直线20x y m ++=上,∴23? 0m -++=,∴1m =-∴所求直线的方程为210x y +-=,故选A. 5.答案：A 解析：选.A 由题意可知,直线10mx y m -+-=过定点()1,1,又因为点()1,1,在圆()2215x y +-=的内部,所以直线l 与圆C 是相交的,故选.A 6.答案：C解析：当45i =时,满足条件,执行1i i =-,输出i 的值是44. 7.答案：D解析：由频率分布直方图知,数据落在[)22.5,30的频率为()2.50.160.080.040.7⨯++=.故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7140⨯=.故选D. 8.答案：B解析：设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,正方形内切圆的面积为,根据对称性可知,黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半,所以黑色部分的面积为π2根据几何概型的概率公式,得所求概率ππ248P ==故选B.9.答案：A解析：因为22sin cos 1αα+=,其中α为任意角,所以22sin 15cos 151︒+︒=.故选A. 10.答案：B解析：设AB k AC =,所以(3,4)(1,2)[(2,)(1,2)]k x ---=- 所以(4,6)(1,2)k x --=-, 所以4k =-,6322x k -=-=,所以72x =.故选B. 11.答案：B解析：由22222()()()23a b c b c a b c a b bc c a bc +++-=+-=++-=， 化简，得222,b c a bc +-=根据余弦定理，得2221cos .222b c a bc A bc bc +-=== 又∵(0,180),60A A ∈∴=12.答案：B解析：由题意，得1339S =，所以71339a =，解得73a =，所以67873339a a a a ++==⨯= 13.答案：()4,2-解析：当4x =时, ()log 4322a y =--=-,即定点为()4,2- 14.答案：[]3,1-解析：要使函数y =,则2320x x --≥,解得31x -≤≤,则函数y =[]3,1-.15.答案：-3 解析：16.答案：解析：17.答案：(1).2π()sin()sin 2f x x x x =-cos sin cos2)x x x =+1sin 2cos2)2x x =+1sin 2x x =sin(2)3πx =-因此()f x 的最小正周期为π, (2).当2π,63πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有2π3π0x ≤-≤,从而当π023π2x ≤-≤时, 即π612π5x ≤≤时, ()f x 单调递增; 当2π23ππx ≤-≤时, 即5π2π123x ≤≤时, ()f x 单调递减. ()f x 在5π,612π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.18.答案：（1）由10a =且132n n a a +=+,得2132=30+2=2a a =+⨯,3232=32+2=8a a =+⨯,4332=38+2=26a a =+⨯,5432=326+2=80a a =+⨯,所以,数列{}n a 的前5项为0,2,8,26,80（2）猜想1=31n n a --（3）由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+,而1110a +=≠, 所以数列{}1n a +是一个首项为1,公比为3的等比数列 19.答案：（1）证明:连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA //EO ．而EO ⊂平面EDB ， 且PA ⊄平面EDB ， 所以,PA //平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD ，且BC ⊂底面ABCD ∴PD ⊥BC .∵ 底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ,PD DC D =，PD ⊂平面PDC ，DC ⊂平面PDC ,∴ BC ⊥平面PDC ． 而DE ⊂平面PDC ， ∴DE ⊥BC .又∵PD CD =,E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ，PCBC C =，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .∴DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB ．又EF ⊥PB ，且DEEF E =，DE ⊂平面EFD ，EF ⊂平面EFD ，所以PB ⊥平面EFD20.答案：（1） 由6cos ρθ=,得26cos ρρθ=,所以226x y x +=,即曲线1C 的在极坐标方程为()2239x y -+=. 由()4R πθρ=∈,可知曲线2C 的在极坐标方程为y x =.（2）因为圆心(3,0)到直线y x =的距离32d r ==,所以弦长AB ==所以AB的长度为21.答案：（1） ()23,11,12,22321x x x x f x x x x -+≤⎧⎪<=-+-=<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时,得233x -+≥,解得0,x ≤ 当12x <<时,得13≥,所以,x ∈∅ 当2x ≥时,得233,x -≥解得3x ≥综上可知,不等式()3f x ≥的解集为(][),03,-∞⋃+∞（2）由()()12121,x x x x -+-≥---=依题意得271a a -++≥,即260,a a --≤解得23,a -≤≤故a 的取值范围是[]2,3-22.答案：2072解析：由题意知1044=26，∴第104个括号中最后一个数字是2×260+1， ∴2×257+1+2×258+1+2×259+1+2×260+1=2072。

数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，则复数1i i -的共轭复数所对应的点在 A. 第一象限 B. 其次象限 C. 第三象限 D.第四象限2. .函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在内(),a b 的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内的极大值点有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. 对于(),0,,2,a b a b ab ∈+∞+≥（大前提）112,x x x x +≥⋅（小前提）所以12x x +≥，（结论），以上推理过程中的错误为A. 大前提B. 小前提C. 结论D.无错误4. 用反证法证明命题：,,,,1,1,1,a b c d R a b c d ac bd ∈+>+>+>则,,,a b c d 中至少有一个负数“时的假设为A. ,,,a b c d 全都大于等于0B. ,,,a b c d 全为正数C. ,,,a b c d 中至少有一个正数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11111,,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+6. 已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是 7.右图中阴影部分的面积是 A. 23 B. 923- C. 323 D.353 8.已知曲线()41x f x e tx =-+上存在与直线13y x =垂直的切线，则实数t 的取值范围是 A. 34t > B. 34t ≤ C. 112t >- D. 112t ≤- 9. 将正偶数按下边的规律排列，第19行，从左到右，第6个数是 A. 654 B. 656 C. 658 D. 660 10.对于R 上的可导的任意函数()f x ，若满足()320x f x +≥'，则必有 A. ()()31222f f f ⎛⎫-+-<- ⎪⎝⎭ B. ()()31222f f f ⎛⎫-+->- ⎪⎝⎭ C. ()()31222f f f ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭ D. ()()31222f f f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.11.已知复数2a ii +-为纯虚数，那么实数a = .12.已知函数()f x 的导函数()f x '，且满足()()2533f x x xf '=+，则()5f '= .13.函数()21x xf x e =+的最大值为 .14.已知点()()1122,log ,,log a a A x x B x x 是函数()log 1a y x a =>的图像上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A,B 两点之间函数图象的下方，因此有结论1112log log log 22a a a x x x x ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立.运用类比的思想方法,若点()()1122,cos ,,cos C x x D x x 是函数cos ,22y x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象上任意不同两点，则类似的有 成立.15.已知函数()()23x x axf x a R e +=∈在[)4,+∞上是减函数，则a 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD 190, 1.2DAB AD CD AB ∠====直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD .（1）求证：;FA BC ⊥（2）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值.17.(本小题满分12分)已知函数()1x af x x e =-+（,a R e ∈为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值. 18.(本小题满分12分) 已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 底面ABCD 为菱形，60,2,ABC AB PA E ∠==是线段BC 的中点. （1）求异面直线PE 和CD 所成角的余弦值； （2）求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值； （3）在线段PD 上是否存在一点F ，使得//CF 平面PAE ， 并给出证明. 19.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足关系式()33.1n n n S a n N n *+=-∈+ （1）求1234,,,a a a a 得值； （2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 20.(本小题满分13分) 一小型机械加工厂生产某种零件的年固定成本为15万元，每生产1千件零件需另投入1.6万元.设该加工厂一年内生产该种零件x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()P x 万元，且()22111.6,01230106250,12x xP x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润y （万元），关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该工厂在这种零件的生产中所获得的年利润最大.(注：年利润=年销售收入—年总成本)21.(本小题满分12分)已知函数()ln 1x x f x x ++=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()2x x aF x xf x x ++=-在[]1,e 上有最小值32，求a 的值；（3）假如当1x ≥时，不等式()11af x x ≥++恒成立，求实数a 的取值范围.。