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中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
一、知识点:1.一元一次方程的定义、方程的解；2.一元一次方程的解法；3.一元一次方程的应用。
二、中考知识梳理1.会对方程进行适当的变形解一元一次方程解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一时方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。
2.正确理解方程解的定义，并能应用等式性质巧解考题方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。
3.理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用方程ax=b:(1)a≠0时，方程有唯一解x=ba；(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。
4.正确列一元一次方程解应用题列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。
三、中考题型例析题型一方程解的应用例1（芜湖）已知方程3x2x-9x+m=0的一个根是1，则m的值是。
分析：根据方程解的定义，把方程的解x=1代入方程成立，然后解决关于m的方程即可，解：把x=1代入原方程，得3×21-9×1+m=0，解得m=6答案：6点评：解题依据是方程解的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程。
题型二巧解一元一次方程例2（江苏）解方程：341138 43242x x ⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦分析：此题先用分配律简化方程，再解就容易了。
解：去括号，得1136242 x x--=移项、合并同类项，得-x=614，系数化为1，得x=-61 4点评：解一元一次方程，掌握步骤，注意观察特点，寻找解题技巧，灵活运用分配委或分数基本性质等，使方程简化。
备考2023年中考数学二轮复习-方程与不等式_一元二次方程_一元二次方程的根一元二次方程的根专训单选题：1、(2019丹东.中考真卷) 等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x 的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是 ( )A . 8B . 9C . 8或9D . 122、(2018河北.中考模拟) 已知x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣10=0的一个根，则m 等于（）A . ﹣5B . 5C . ﹣3D . 33、(2017锡山.中考模拟) 若x=3是方程x2﹣3mx+6m=0的一个根，则m的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44、(2017肥城.中考模拟) 对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1．③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5、(2019沈丘.中考模拟) 有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（）A . 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B . b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1C . 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D . ac≠06、(2019怀化.中考真卷) 一元二次方程的解是（）A .B .C .D .7、(2017越秀.中考模拟) 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A . 1B . ﹣1C . 1或﹣1D .8、(2017广东.中考模拟) 已知3是方程x2﹣mx+n=0的一个根，则3﹣m+ n=（）A . 2B . 3C . 4D . 59、(2017上思.中考模拟) 一元二次方程x2+px﹣6=0的一个根为2，则p的值为（）A . ﹣1B . ﹣2C . 1D . 210、(2019渝中.中考模拟) 已知关于x的方程x2+m2x﹣2=0的一个根是1，则m的值是（）A . 1B . 2C . ±1D . ±2填空题：11、(2013常州.中考真卷) 已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=________．12、(2011镇江.中考真卷) 已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=________，另一个根是________．13、(2017吉林.中考模拟) (2017·吉林模拟) 一元二次方程x2﹣3=0的两个根是________．14、(2019天台.中考模拟) 若m2-3m+1=0，则2-m- 的值为________ ．15、(2017菏泽.中考真卷) 关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是________．16、(2017成华.中考模拟) 定义新运算：a*b=a（b﹣1），若a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，则b*b﹣a*a的值为________．17、(2021广东.中考真卷) 若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为．18、已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k=．解答题：19、(2019通州.中考模拟) 关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根．（Ⅰ）求m的值；（II）求此方程的根．20、(2016丹东.中考模拟) 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率．21、(2019萧山.中考模拟) 当k满足条件时，关于x的一元二次方程kx2+（k﹣1）x+k2+3k＝0是否存在实数根x＝0？若存在求出k值，若不存在请说明理由.22、(2017台州.中考真卷) 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是：函数自变量取值X 围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络2．知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：①点P(x ，y)在xx y0 第一象限第二象限第四象限第三象限 11-1 -1点P(x ，y)在y ；②点P(x ，y)x=y ；点P(x ，y)x+y=0;③点P(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ，－y)； 点P(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x ，y)； 点P(x ，y)关于原点对称的点的坐标是(－x ，－y)；确定函数自变量取值X 围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
一般从以下几方面考虑：（1）解析式型：函数直接由解析式给出，不涉及其它问题。
主要有以下五种情况：①整式型：自变量的取值X 围是全体实数；②分式型：自变量的取值X 围是使分母不为零的实数；③二次根式型：自变量的取值X 围是使被开方式为非负数的实数；④零指数和负指数型：自变量的取值X 围是使底数不为零的实数。
专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。
2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。
3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：1nn aa-=。
5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。
华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题14 二次函数一、综合题1．（2022九上·青田期中）如图，抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是抛物线上的一个动点.（1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在第一象限时，求四边形BOCP 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BDP 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2．（2022九上·莲都期中）已知，点M 为二次函数y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1图象的顶点，直线y ＝mx+5分别交x 轴正半轴，y 轴于点A ，B.（1）判断顶点M 是否在直线y ＝4x+1上，并说明理由.（2）如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx+5＞﹣（y ﹣b ）2+4b+1，根据图象，写出x 的取值范围.（3）如图2，点A 坐标为（5，0），点M 在△AOB 内，若点C （14，y 1），D （34，y 2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小.3．（2022九上·定海期中）设抛物线y=(x−m)(x−n)（m、n是实数）.（1）若m=2，n=1，求二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值；（2）当m=−3，n=1时，已知抛物线y=(x+3)(x−1)与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），将这条抛物线向右平移a（a>0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求a的值；（3）当0<m<n<1时，已知二次函数的图象经过(0，p)，(1，q)两点（p，q是实数），求证：0<pq<1 16 .4．（2022九上·南湖期中）如图，二次函数y1=−x2+bx+c的图象与一次函数y2的图象交于点A(a，1)，B(3，4).（1）若y2的解析式为y2=32x−12，求点A的坐标和y1的函数表达式；（2）在（1）的条件下若点P(m，0)是x轴上一点，过点P做直线l垂直x轴于点P，直线l与函数y1，y2交于点M，N，当线段MN=1时，求m的值；（3）若点C(n，1)(n>a)是二次函数y1上的点，且AC=5，请直接写出二次函数y1的对称轴. 5．（2022九上·嘉兴期中）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t 秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB.（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度.6．（2022九上·津南期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．7．（2022九上·浦江期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B （0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN△y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022九上·舟山月考）如图，抛物线y=−x2+mx+n交x轴于点A(−2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM=2S△BOC，求点M的坐标．9．（2022九上·新昌期中）已知菱形OABC的边长为5，且点A(3，4)，点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线y=ax2+bx+c与边AB交于点D，（1）求点E 的坐标；（2）连接DE ，将△BDE 沿着DE 翻折.①当点B 的对应点B ′恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；②连接OB ，BB ′，若△BB ′D 与△BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数a = . 10．（2022九上·舟山期中）已知抛物线y =ax 2−3ax −4a 与x 轴交于A 、B 两点（A 左B 右），交y 轴负半轴点C ，P 是第四象限抛物线上一点．（1）若S △ABC =5，求a 的值；（2）若a =1，过点P 作直线垂直于x 轴，交BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）直线AP 交y 轴于点M ，直线BP 交y 轴于点N ，求4OM+ON OC的值． 11．（2022九上·龙港期中）如图，抛物线y ＝−x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，点D 在射线CO 上运动.（1）求该抛物线的表达式和对称轴.（2）过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝2OC，求点E的坐标.（3）记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长.12．（2022·攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1，m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0，1).（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：对于y=−x2+2x+3①，令x=0，则y=3，令y=−x2+2x+3=0，解得x=−1或3，故点A、B、C的坐标分别为(−1，0)、(3，0)、(0，3)，∵点D与点C关于x轴对称，故点D(0，−3)，设直线BD的表达式为y=kx+b，则{b=−30=3k+b，解得{k=1b=−3，故直线BD的表达式为y=x−3（2）解：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y=−x+3，设点P(x，−x2+2x+3)，则点H(x，−x+3)，则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB=12×OB⋅OC+12×PH×OB=12×3×3+12×3×(−x 2+2x+3+x−3)=−32x2+92x+92，∵−32<0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x=32时，四边形BOCP面积最大值为458，此时点P(32，154)；（3）解：存在，理由：①当∠PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为(0，3)；②当∠PDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，故设直线PD的表达式为y=−x+t，将点D的坐标代入上式得，−3=0+t，解得t=−3，故直线PD的表达式为y=−x−3②，联立①②并解得：x=3±√332，故点P的坐标为(3+√332，−9+√332)或(3−√332，−9−√332)，综上，点P的坐标为(3+√332，−9+√332)或(3−√332，−9−√332)或(0，3).【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）利用y=−x2+2x+3求出B、C的坐标，由点D与点C关于x轴对称可求出D 坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可；（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，先求出直线BC解析式为y=−x+3，设点P(x，−x2+2x+3)，则点H(x，−x+3)，则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB，据此求出关于x关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况：①当∠PBD为直角时，②当∠PDB为直角时，据此分别求解即可.2．【答案】（1）解：点M在直线y＝4x+1上，理由：∵点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）解：如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A （5，0），由图象，得当mx+5＞﹣（x ﹣b ）2+4b+1时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞5；（3）解：把A （5，0）代入y ＝mx+5得，0＝5m+5，解得m ＝﹣1，∴y ＝﹣x+5，∵M （b ，4b+1）在△AOB 内部，∴{0<b <50<4b +1<−b +5， 解得0＜b ＜45， 当点C ，D 关于对称轴对称时，b ＝14+342＝12， ∴0＜b ＜12时，y 1＞y 2， b ＝12时，y 1＝y 2， 12＜b ＜45，y 1＜y 2. 【知识点】一次函数的图象；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【分析】（1）先求出顶点M 的坐标，再代入y ＝4x+1中检验即可；（2）由y ＝mx+5求出B （0，5） ，再将其代入y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1 中求出b 值，即得y ＝﹣（x ﹣2）2+9， 从而求出A （5，0），由图象可知当x ＜0或x ＞5时，直线y ＝mx+5的图象在y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1 图象的上方，据此即得结论；（3）由（2）可得y ＝﹣x+5， 由M （b ，4b+1）在△AOB 内部， 可求出0＜b ＜45， 当点C ，D 关于对称轴对称时可求出b ＝12， 从而得出当0＜b ＜12时，y 1＞y 2，当b ＝12时，y 1＝y 2，当12＜b ＜45，y 1＜y 2.3．【答案】（1）解：将m =2，n =1代入y =(x −m)(x −n)，得y =(x −2)(x −1)=x 2−3x +2=(x −32)2−14， 则该二次函数的对称轴是x =32，且当x =32时，有最小值为−14； （2）解：分为两种情况：①如图，当C 在B 的左侧时，B ，C 是线段AD 的三等分点，∴AC =BC =BD ，∵抛物线向右平移a 个单位，∴AC =BD =a ，当y =0时，(x +3)(x −1)=0， 解得x 1=−3，x 2=1，∵点A 在点B 的左侧，∴A(−3，0)，B(1，0)，∴AB =1−(−3)=4，∴AC =BC =2，∴a =2；②同理，当C 在B 的右侧时， ∵AB =1−(−3)=4，∴AB =BC =CD =4，∴a =AB +BC =4+4=8；（3）解：∵y =(x −m)(x −n)图象经过(0，p)，(1，q)两点， ∴p =mn ，q =(1−m)(1−n)， ∴pq =mn(1−m)(1−n)，=(m −m 2)(n −n 2)，=[−(m −12)2+14][−(n −12)2+14]，∵0<m <n <1，结合y =−(x −12)2+14的函数图象， ∴0<−(m −12)2+14≤14，∴0<−(n−12)2+14≤14，∵m<n，∴m、n不能同时等于14，∴0<pq<116.【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将m=2与n=1代入y=（x-m）（x-n）可得该函数的解析式，进而将解析式配成顶点式，即可得出答案；（2）分为两种情况：①如图，当C在B的左侧时，B，C是线段AD的三等分点，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值可得点A、B的坐标，可得AB的长，据此即可求出答案；②当C在B的右侧时，同理可得AB的长，进而即可根据a=AB+BC算出答案；（3）根据函数图象上的点的坐标特征可得p=mn，q=（1-m）（1-n），进而可表示出pq并配方成顶点式的乘积形式，由0<m<n<1，结合y=−(x−12)2+14的函数图象，可得m、n不能同时等于14，据此即可得出答案.4．【答案】（1）解：将A点坐标代入得：1=32a−12，解得：a=1，∴A(1，1)，将A、B点代入二次函数解析式得：{−12+b+c=1−32+3b+c=4，解得：{b=112c=−72，∴二次函数解析式为：y1=−x2+112x−72.（2）解：将x=m代入一次函数和二次函数解析式得：y 1=−m2+112m−72，y2=32m−12，∵线段MN=1，∴|y1−y2|=1，即|−m2+112m−72−32m+12|=1，∴−m2+4m−3=1或−m2+4m−3=−1，解得：m1=2+√2；m2=2−√2；m3=m4=2.（3）对称轴为x=6±√132【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：（3）将点B代入二次函数解析式得：4=−9+3b+c，则c=13−3b，∵A(a，1)，C(n，1)(n>a)，在二次函数图象上，得c=13-3b，∴a、n是方程−x2+bx+c=1的两个根，根据韦达定理得，n+a=b，na=1−c=1−(13−3b)=3b−12，∵AC=5，∴n−a=5，∵(n−a)2=(n+a)2−4an，∴25=b2−4(3b−12)=b2−12b+48，解得：b=6±√13，.∴对称轴为直线x=6±√132【分析】（1）将点A（a，1）代入y2的解析式，求出a的值，从而可得点A的坐标，将A、B两点的坐标分别代入y1=-x2+bx+c得出关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而求出y1的解析式；（2）将x=m分别代入两个函数解析式算出y1与y2，根据MN=1可得|y1−y2|=1，求解得出m 的值；（3）将点B代入二次函数y1=-x2+bx+c得c=13-3b，根据二次函数与一元二次方程的关系，结合A、C两点的纵坐标相同可得A、C两点的横坐标是方程-x2+bx+c=1的解，根据一元二次方程根与系数的关系得n+a=b，na=1-c=3b-12，再结合AC=5可得n-a=5，进而利用完全平方公式变形可得关于字母b的方程，求解得b的值，最后根据抛物线的对称轴直线公式即可得出抛物线的解析式. 5．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，，∴c=0，−b2=2则b=−4、c=0，∴抛物线解析式为y=x2−4x（2）解：设点B(a，a2−4a)，∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴点A(2，−4)，则OA2=22+42=20、OB2=a2+(a2−4a)2、AB2=(a−2)2+(a2−4a+4)2，①若OB2=OA2+AB2，则a2+(a2−4a)2=20+(a−2)2+(a2−4a+4)2，解得a=2(舍)或a=5 2，∴B(52，−154)，则直线OB解析式为y=−32x，当x=2时，y=−3，即P(2，−3)，∴t=(−3+4)÷1=1；②若AB2=OA2+OB2，则(a−2)2+(a2−4a+4)2=20+a2+(a2−4a)2，解得a=0(舍)或a=9 2，∴B(92，94)，则直线OB解析式为y=12x，当x=2时，y=1，即P(2，1)，∴t=[1−(−4)]÷1=5；③若OA2=AB2+OB2，则20=(a−2)2+(a2−4a+4)2+a2+(a2−4a)2，整理，得：a3−8a2+21a−18=0，a3−3a2−5a2+15a+6a−18=0，a2(a−3)−5a(a−3)+6(a−3)=0，(a−3)(a2−5a+6)=0，(a−3)2(a−2)=0，则a=3或a=2(舍)，∴B(3，−3)，∴直线OB解析式为y=−x，当x=2时，y=−2，即P(2，−2)，∴t=[−2−(−4)]÷1=2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5（3）解：∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t=1时，如图1，由（2）知∠OAB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B(52，−154)，∴M(54，−158)；当t=5时，如图2，由（2）知，∠AOB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B(92，94)、A(2，−4)，∴M(134，−78)；当t =2时，如图3，由（2）知，∠OBA =90°，∴此时Rt △OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点，∵A(2，−4)，∴M(1，−2)；则点M 经过的路径长度为√(54−1)2+(−158+2)2+√(1−134)2+(−2+78)2=√58+9√58=5√54. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角坐标系内两点的距离公式【解析】【分析】（1）将（0，0）代入y=x 2+bx+c 中可得c=0，根据对称轴为直线x=2可得b=-4，据此可得抛物线的解析式；（2）设B （a ，a 2-4a ），根据抛物线的解析式可得A （2，-4），由两点间距离公式表示出OA 2、OB 2、AB 2，然后结合勾股定理求出a 的值，得到点B 的坐标，利用待定系数法求出直线OB 的解析式，令x=2，求出y 的值，得到点 P 的坐标，进而可得t 的值；（3）由题意可得点M 在线段OA 的中垂线上，故当1≤t≤5时，点M 的运动路径是在线段OS 中垂线上的一条线段，当t=1时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OB 的中点，据此可得点M 的坐标；当t=5时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是AB 的中点，利用中点坐标公式可得点M 的坐标；当t=2时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点，同理可得点M 的坐标，然后结合两点间距离公式可求出点M 经过的路径长度.6．【答案】（1）解：将A(−1，0)，B(4，0)代入y =ax 2+bx −4得{a −b −4=016a +4b −4=0解得{a=1b=−3∴y=x2−3x−4，对称轴为直线x=3 2（2）解：过点P作PH∥y轴交直线AD于H当x=0时，y=−4，∴点C(0，−4)，∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线，∴D(3，−4)，∵A(−1，0)，∴直线AD的函数关系式为：y=−x−1，设P(m，m2−3m−4)，则H(m，−m−1)，∴PH=−m−1−(m2−3m−4)=−m2+2m+3，∴SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m2+4m+6，当m=−42×(−2)=1时，SΔAPD最大为8．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=ax2+bx−4求出a、b的值即可；（2）过点P作PH∥y轴交直线AD于H，先求出直线AD的解析式y=−x−1，设P(m，m2−3m−4)，则H(m，−m−1)，再求出SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m 2+4m +6，最后利用二次函数的性质求解即可。
备考2023年中考数学二轮复习-函数_二次函数_二次函数图象与系数的关系二次函数图象与系数的关系专训单选题：1、(2017永修.中考模拟) 如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中B 点坐标为（4，0），直线DE是抛物线的对称轴，且与x轴交于点E，CD⊥DE于D，现有下列结论：①a＜0，②b＜0，③b2﹣4ac＞0，④AE+CD=4下列选项中选出的结论完全正确的是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ①②2、(2015武汉.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的xX ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个3、(2011崇左.中考真卷) 已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）A . ①⑤B . ①②⑤C . ②⑤D . ①③④4、(2011玉林.中考真卷) 已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A . 第一、二、三象限B . 第二、三、四象限C . 第一、二、四象限D . 第一、三、四象限5、(2020上海.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的图像大致为( )A .B .C .D .6、(2020涪城.中考模拟) 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx 的图象可能是（）A .B .C .D .7、(2020来宾.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c(a子0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③若点A(-3，0)、B( ，y2)、C( ，y3)在该函数图象上则y1<y3<y2；④若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1≤-1<5<x2，其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8、(2021邵阳.中考模拟) 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（）A .B .C .D .9、(2021枣庄.中考真卷) 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：① ；② ；③ ；④若，是抛物线上的两点，则；⑤ （其中）．正确的结论有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个10、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；② ；③ ；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个填空题：11、(2018河东.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的是________（只填序号）.12、(2017盘锦.中考模拟) 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有________ （填序号）13、(2017威海.中考模拟) 如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数为________．14、(2018黄冈.中考真卷) 在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为________.15、(2018岳阳.中考模拟) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am +bm+a＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y），B（﹣100，y ）在该抛物线上，则y＞y ．其中正确的结论有________ ．（写出所有正确结论的序号）16、(2019河池.中考模拟) 抛物线的部分图象如图所示,与轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴是直线,下列结论:① ;② ;③方程有两个不相等的实数根;④抛物线与轴的另一个交点坐标为,其中正确的结论有________.17、(2020铁西.中考模拟) 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤ （m为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）18、(2021怀化.中考模拟) 已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点.给出下列结论：① ；② ；③ ，是关于的一元二次方程的两个实数根.其中正确的结论是（填写序号）.解答题：19、(2013杭州.中考真卷) 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点1= x+n的图A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2随着x的增大而减小时，求自变象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1量x的取值范围．20、(2014杭州.中考真卷) 复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．21、(2019巴中.中考真卷) 如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．①求抛物线的解析式．②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B 出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．22、(2018杭州.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m －5的图象与x轴有两个公共点．（）求m的取值范围；（）若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的表达式；②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．23、(2019五华.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.二次函数图象与系数的关系答案1.答案：C2.答案：B3.答案：A4.答案：D5.答案：C6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：21.答案：22.答案：23.答案：。
2023年中考数学二轮复习----角度问题（二次函数综合）一、解答题1．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝49x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；(3)点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．2．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，连接AD、AC、CD，CD交x轴于E．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S△DAE=14S△ACD时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△P AD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为123y x =--，求∠CAF -∠CAD 的度数．(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ⊥y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．4．已知顶点为A (2，一1)的抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于C 、D 两点，点C 坐标(1，O )； (1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB 、BD 、DA ，求cos ∠ABD 的大小；(3)点P 在x 轴正半轴上位于点D 的右侧，如果∠APB =45°，求点P 的坐标．5．如图1，抛物线()2102y x bx c c =++<与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD x ∥轴，与抛物线交于另一点D ，直线BC 与AD 相交于点M ．(1)已知点C 的坐标是()04-，，点B 的坐标是()40，，求此抛物线的解析式； (2)若112b c =+，求证：AD BC ⊥； (3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线BC 上一点，是否存在这样的点P ，使得PGQ △是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足GQP OCA ∠=∠，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．6．抛物线223y ax ax a =--与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴相交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点O 为坐标原点．(1)若ABC V 是直角三角形，求抛物线的函数表达式；(2)王亮同学经过探究认为：“若a<0，则2∠=∠DCB ABC ”，王亮的说法是否正确？若你认为正确，请加以证明：若是错误的，说明理由；(3)若第一象限的点E 在抛物线上，四边形ABEC 面积的最大值为254，求a 的值． 7．如图，抛物线22y ax ax c =++经过(1,0)B ，(0,3)C 两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，点E 在抛物线上，连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接BD ，若B D F V 是以BD 为底的等腰三角形，求点E 坐标．(3)如图2，连接AC 、BC ，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4)，与x 轴交于点,(3,0)A B 两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求MEAE的最大值及此时点M 的坐标；(3)如图2，已知点(0,1)Q ，是否存在点M ，使得1tan 2MBQ ∠=？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，一次函数y ＝12x ﹣2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 的坐标为（﹣1，0），二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A ，B ，D 三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点G （1，m ）在抛物线上，作射线AG ，点H 为线段AB 上一点，过点H 作HE ⊥y 轴于点E ，过点H 作HF ⊥AG 于点F ，过点H 作HM ∥y 轴交AG 于点P ，交抛物线于点M ，当HE•HF 的值最大时，求HM 的长；（3）在（2）的条件下，连接BM ，若点N 为抛物线上一点，且满足∠BMN ＝∠BAO ，求点N 的坐标．10．已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=．①求证：AOC DOB ≅V V ；②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线243y ax x c =-+的图象与x 轴交于点A ，B 两点，点A 坐标为()3,0，点B 坐标为()1,0-，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若将直线AC 绕点A 顺时针旋转，交抛物线于一点P ，交y 轴于点D ，使B A P B A C ∠=∠，求直线AP 函数解析式；(3)在（2）条件下若将线段AC 平移（点A ，C 的对应点M ，N ），若点M 落在抛物线上且点N 落在直线AP 上，求点M 的坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点(2,0)A -和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D 是第一象限抛物线上一点，过D 作DM x ⊥轴于点M ，交BC 于点N ．若点N 为DM 中点，求点D 的坐标，并直接写出此时直线DC 的表达式．（3）在（2）的条件下，点E 为y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线DC 的垂线，垂足为P ，若EC PD A B ∠=∠，请直接写出点E 的坐标．13．已知函数y ＝22()1()222x nx n x n n nx x x n ⎧-++≥⎪⎨++<⎪⎩（n 为常数）． (1)当n ＝5时，①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值． ②求此函数的最大值．(2)当n ＜0时，作直线x ＝23n 与x 轴交于点P ，与该函数图象交于点Q ，若∠POQ ＝45°，求n 的值． (3)若此函数图象上有3个点到直线y ＝2n 的距离等于2，求n 的取值范围．14．如图，已知抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于点A 和点B （2，0），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在第一象限的点．（1）当△ABD 的面积为4时， ①求点D 的坐标；②联结OD ，点M 是抛物线上的点，且∠MDO ＝∠BOD ，求点M 的坐标；（2）直线BD 、AD 分别与y 轴交于点E 、F ，那么OE +OF 的值是否变化，请说明理由．15．如图，已知(2,0),(3,0)A B -，抛物线24y ax bx =++经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得290BCO PCN ∠+∠=︒？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线22y ax bx =++与x 轴交于(4,0)A -和(1,0)B ，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点M 为直线AC 上方的抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交AC 于点N ，过点M 作x 轴的平行线，交直线AC 于点Q ，求MNQ △周长的最大值；(3)点P 为抛物线上的一动点，且45ACP BAC ∠=︒-∠，请直接写出满足条件的点P 的坐标． 17．抛物线23y ax bx a =+-经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D (m,-m-1) 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使PCB CBD ∠=∠，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．(1)y ＝49x 2﹣13x ﹣3(2)154或3916(3)存在，t ＝7544或158或45222．（1）2134y x x =--+；（2）(21)D -+-；（3）P 点坐标为综上所述：1P (617-），2P (-5.00.，175)、()3 3.47, 3.48P -、4(220P -)、5P (14.22,33.30)--，6(9.74,30.47)P -． 3．(1)抛物线的解析式为y =-12x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +6 (2)45°(3)点P 的坐标为（，3）或（3），QR 的最短长度为4．（1）y =x 2﹣4x +3；（2）31010；（3）P （3+，0）5．(1)2142y x x =-- (2)11(3)t =t =6．(1)2=y x (2)王亮的说法正确 (3)23a =-7．(1)抛物线的解析式为：223y x x =--+，(1,4)D - (2)720(,)39E -(3)存在，()4,5M --或57(,)24M -8．(1)223y x x =-++；(2)916；315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)存在；829,749⎛⎫-- ⎪⎝⎭或（0，3）9．（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）2；（3）(1，﹣3)或(﹣53，179)10．（1）=8∆ （2）①1；②1cx =211．(1)224233y x x =-- (2)223y x =-+(3)()3,8-或104,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）211322y x x =-++；（2）D (2，2)，132y x =-+；（3点E 的坐标为(1，3)或(113，179-)13．(1)①b =92；②此函数的最大值为458；(2)n 的值是-152或-32；(3)423n -<-或463n <<-6n =+14．（1）①)D；②()M -；（2）不变化，值为815．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+，当32m =时，有最大值910(3)存在，74m =16．(1)213222y x x =--+(2)6+(3)()5,3--或2375,749⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（1）2=--y x2x3（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）11。
