《线性代数》电子教程之十四(矩阵对角化)

5[基本要求]1.2.3.掌握4.5.6.掌握[内容提要]一.主要概念:二.主要方法:1.无关组的正交化方法:11αβ=1111222),(),(ββββααβ-= 2.特征值和特征向量的求法:|=0的所有根λ1,…,λn ，即得A 的所有特征值；x =θ,得基础解系ξ1,…,ξn-r ，则属于λi 的全部特征p i =k 1ξ1+…+k n-r ξn-r ，k 1,…,k n-r 为不全为零的数3.实对称矩阵的对角化方法:111 1-1三.主要结论:1. 特征方程的根与系数的关系：(1) λ1+…+λn = a 11+…+a nn ；(2) λ1…λn ＝|A |．2.3. 矩阵A 的不同的特征值对应的特征向量线性无关.4. 实对称矩阵A 的不同的特征值对应的特征向量必正交.5. 设λ是矩阵A 的特征值,g(x )=a n x n +…+a 1x +a 0 是一个多项式， 则g(λ)是矩阵g(A)的特征值．特别: 当A 可逆时,1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A*的特征值. 例题分析1.设２是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(3A 2)－1必有一个特征值是 ．(1/12)2.1 (n,0, 03.设三阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为41,31,21,则行列式|B -1-E |= .[00数一]4.已知三阶矩阵A-E ，A-2E ,E+2A 都不可逆，则行列式|2A*|= .[仿复习题五-2](8)4-1.设A为二阶矩阵，α1,α2为线性无关的二维向量，Aα1=θ,Aα2=2α1+α2,则A的非零特征值为. [复习题五-4，08数1-3]5.设A为n阶方阵,若AX=θ有非零解,则( )(A) A的特征值全为0;(B) A至少有一个特征值为0;(C)A=O；(D)以上结论均不正确.6.[复习题五-6](或|A|=|Λ|)7.已知三阶矩阵A的特征值为0,1,-1,则下列结论中不正确的是( ).(A) 矩阵A是不可逆的;(B) 矩阵A的主对角线元素之和为零;(C) 1和-1所对应的特征向量是正交的;(D)齐次方程组AX=θ的基础解系由1个向量组成.8.0--------------------------------------------9.设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 01020101，若A 有一个特征值为0，求a 及A 的另一个特征值.----------------------------------------10. 设A 是n 阶正交矩阵，且|A |<0,证明：-1是A 的一个特征值.[] ------------------------------------------11. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A 习题5.4-1(1)---------------------------------------------------12. 设3阶矩阵A 的特征值为2, -2, 1，对应的特征向量依次为 p 1=(0,1,1)T , p 2=(1,1,1)T , p 3=(1,1,0)T ,求矩阵A. 习题5.4-3121235 [类型同例5.4.2]12".设三阶实对称矩阵A 的特征值是6, 3, 3,属于特征值6的特征向量是α1=(1,1,1)T .(1)求A 的属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A 及A 5.13.λA 是A*. [习题5.2-4------------------------------------------------ 14. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111p 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量．(1)求参数a,b 及特征向量p 所属的特征值；(2)问A 能否相似对角化?说明理由. [复习题9][97年数一]。

矩阵的对角化方法矩阵的对角化是一种重要的矩阵变换方法，在线性代数中具有广泛的应用。

对于一个可对角化的矩阵，可以将其通过相似变换转化为对角矩阵，这样可以简化矩阵的计算和分析过程。

在本文中，我将介绍矩阵的对角化方法，并详细解释其原理和应用。

首先，我们需要明确一下矩阵的对角化定义。

一个n×n的矩阵A称为可对角化的，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

其中，对角矩阵是指非对角线上的元素全部为0的方阵。

对角化的主要目的是将原矩阵化简为对角形式，以方便计算和理解。

对于一个可对角化的矩阵A，其对应的对角矩阵D的对角线元素是A的特征值，而P的列向量组成的矩阵则是对应于特征值的特征向量。

因此，对角化的关键在于求解矩阵A的特征值和特征向量。

求解矩阵A的特征值和特征向量的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法：特征值分解和相似对角化。

一、特征值分解方法特征值分解方法是求解矩阵特征值和特征向量的最常用方法之一。

对于一个n×n的矩阵A，其特征值和特征向量的计算步骤如下：1. 求解特征多项式。

将A的特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I为n阶单位矩阵，λ为特征值。

解特征多项式可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。

2. 求解特征向量。

对于每一个特征值λi，将其代入方程组(A-λiI)X=0，并求解出特征向量X。

3. 归一化特征向量。

将每个特征向量进行归一化处理，使其模长等于1。

4. 构造P和D矩阵。

将特征向量按列组成P矩阵，特征值按对角线组成D矩阵，得到P和D满足P-1AP=D。

特征值分解方法的优点是求解过程直观简单，容易理解，适用于一般情况。

但是，对于大规模矩阵，求解特征多项式和连续的特征值比较困难，计算量较大。

二、相似对角化方法相似对角化方法是通过相似变换将矩阵A转化为对角矩阵的方法。

它的基本思路是寻找一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D。

P矩阵的列向量正好是A的特征向量。

相似对角化的步骤如下：1. 求解矩阵A的特征值和特征向量。

第四章 矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前 x 0 y 0 的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济 x 1 y 1 发展水平，且有如下关系{ x 1 = 3x 0 +y 0 ，y 1 = 2x 0 +2y 0 .令， ， α0=( x 0 y 0 )α1=( x1 y 1 )A =(3 12 2)，则上述关系的矩阵形式为：α1=Aα0 .若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水α0=( x0 y 0)=(11)平与经济发展水平为，α1=Aα0=(3 12 2) ( x 0 y 0 )=(3 12 2) (11)= (44)=4 (11)=4α0即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.Aα0=4α0 . A α0 A 定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数 和维非零列向量，使得A n λ n α ；Aα=λα则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值 λ A α0 A α0 A λ的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. α A λk k α A λ （2）若为的属于的特征向量，则当时，也是的属于α1，α2 A λα1+α2 ≠0 α1+α2 A 的特征向量.λ （3）若为的互异特征值，分别为的属于的特征向量，则λ1， λ2 A α1，α2 A λ1， λ2 .α1≠α2 证 若，则，即，故.由于 α1≠α2 Aα1≠Aα2 λ1α1=λ2α2=λ2α1 (λ1-λ2)α1=0，所以，矛盾.因此.λ1≠λ2α1≠0 α1≠α2 例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量. n A =(a b b ⋯ bb a b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a )解 取维向量，则n α=(1，1，1)TAα=(a b b ⋯ bb a b ⋯ b⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a)(11⋮1)=(a +(n -1)b a +(n -1) b ⋮ a +(n -1) b)，故 是的一个特=[a +(n -1) b ](11⋮1)= [a +(n -1) b ] αλ=a +(n -1) b A 征值，是 属于特征值的一个特征向量.α A λ=a +(n -1) b 将（4.1.1）写成下面形式.(λE ‒A ) α=0根据定义，特征向量就是齐次线性方程组α. （4.1.2）(λE ‒A ) α=0的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的 n A 特征值满足方程λ .|λE ‒A |=0为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 .，称A =(a ij )n ×n f (λ)=|λE ‒A |=|λ-a 11 a 12 ⋯ -a 1n -a 21 λ-a 22 ⋯ -a 2n⋮ ⋮ ⋮-a n1 -a n2 ⋯ λ- a nn|为矩阵 的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.A λE ‒A A |λE ‒A |=0 A 二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：n A （1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，.A |λE ‒A | |λE ‒A |=0 λ1λ2⋯λn对每个特征值，求解齐次线性方程组.设它的一个基础λi (i =1，2，⋯，n )(λi E ‒A ) x =0解系为，，，，则的属于的全部特征向量为αi 1 αi 2 ⋯αini A λ i k 1αi 1+k 2αi 2+⋯+k n iαini其中为不全为零的任意常数.k 1，k 2，⋯，k ni 限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.A 例 4.1.3 求矩阵A =(2 -2 0- 2 1 -20 -2 0)的特征值与特征向量.解 矩阵的特征多项式A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-2 2 02 λ-1 20 2 λ|=λ(λ-1)(λ-8)-8(λ-1)=(λ+2)(λ-1)(λ-4)由，得的特征值为，，.|λE ‒A |=0 A λ1=-2λ2=1λ3=4对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-2(-2E ‒A )x =0,，(- 4 2 02 -3 20 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于，的全部特征向量为（ξ1=(1，2，2)Tλ1=-2k 1ξ1）.k 1≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2=- 2 (E ‒A )x =0(- 1 2 02 0 20 2 1)(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ2=(2，1，‒2)T λ2= 1 （）..k 2ξ2k 2≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 4 (4E ‒A )x =0，(2 2 023 20 2 4)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（ξ3=(2，-2，1)Tλ3= 4 k 3ξ3）..k 3≠0例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为Af (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 - 2 -- 2 λ - -4 -2 λ |λ+1 0 -(λ+1)- 2 λ -2 -4 -2 λ-3|=,(λ+1)2(λ‒8)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=-1 λ3=8对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=-1(-E ‒A )x =0，(- 4 - 2 -4- 2 - 1 -2- 4 - 2 -4)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，，所以对应于的全ξ1=(-1，2，0)T ξ2=(2，1，‒2)Tλ1= λ2=-1部特征向量为不全为零）.k 1ξ1+k 2ξ2（k 1，k 2 对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=8(8E ‒A )x =0，(5 -2 -4- 2 8 -2- 4 - 2 5 )(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）.ξ3=(-1，2，0)Tλ3=8 k 3ξ3k 3≠0例4.1.5求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 1 -- 2 λ - -1 1 λ-2||λ-2 1 -1λ-2 λ -1 0 1 λ-2|=,(λ-2)2(λ‒1)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=2 λ3=1对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=2(2E ‒A )x =0，(- 1 1 -1- 2 2 -1- 1 1 0)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ1=(1，1，0)Tλ1= λ2= 2 （）.k 1ξ1k 1≠0对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=1(E ‒A )x =0，(- 2 1 -1- 2 1 -1- 1 1 -1)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（.ξ2=(0，1，1)Tλ3= 1 k 2ξ2k 2≠0）三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.n A A T证 由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特|λE ‒A T|=|(λE ‒A )T|=|λE ‒A | A A T 征值.定理4.1.2 设 ，，，，为方阵的个特征值，则有A =(a ij )n ×n λ1λ2⋯λn A n （1）λ1λ2⋯λn =|A |（2）λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 证 （1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有（4.1.3）|λE ‒A |=(λ-λ1)(λ-λ2)⋯(λ-λn )令，得，即λ=0|-A |=(-λ1)(-λ2)⋯(-λn )=(-1)nλ1λ2⋯λn |A |=λ1λ2⋯λn（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含λn -1-(λ1+λ2+⋯+λn )的项来自的主对角线元乘积项，其含的λn-1|λE ‒A |(λ-a 11)(λ-a 22)⋯(λ-a nn ) λn-1系数为，因此.-(a 11+a 22+⋯+a nn )λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为，即n A A tr （A ）=tr （A ）a 11+a 22+⋯+a nn =∑=nk 1a kk推论4.1.1 阶矩阵可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.n A 定理4.1.3 若为的特征值，是对应的特征向量，则 λ A α （1）为的特征值（）；a λ a A a 为常数（2）为的特征值（）；λk A kk 为正整数（3）为的多项式，则为的特征值；若φ(x ) x φ( λ)φ(A )（4）若可逆，则为的特征值，为的特征值.A 1λA -11λ|A |A *证 由题意，对于，有.α≠0 Aα=λα（1）因为，故为的特征值.(a A )α=a (Aα)=(a λ)αa λ a A （2）由，得，假设Aα= λα A 2α=A ( Aα)=A ( λα)=λ( Aα)= λ2α，A k-1α=λk-1α于是，由数学归纳法知结论成立.A k α=A ( Ak-1α)=A ( λk -1α)=λk-1( Aα)= λk α（3）设，由（2）可得φ(x )=a 0x m +a 1x m-1+⋯+a m-1x+a mφ(A )α=(a 0A m +a 1A m -1+⋯+a m-1A+a m E ) α =a 0A m α+a 1A m-1α+⋯+a m -1Aα+a m α=a 0λm α+a 1λm-1α+⋯+a m-1λα+a m α=(a 0λm +a 1λm -1+⋯+a m-1λ+a m ) α=φ(λ)α(4) 由于可逆，故，从而，故 A λ≠0α= A -1(Aα)= A -1(λα)=λ A-1α，，即为的特征值，为的特征A-1α=1λαA*α=| A | A-1α=| A |λα 1λ A-11λ|A |A*值.下面给出方阵的特征向量的性质A 定理4.1.4 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是 λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm 的属于，，，的特征向量，则，，，线性无关. A λ1λ2⋯λm α1 α2 ⋯αm 证 设有常数，，，，使得k 1 k 2 ⋯k m k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0（4.1.4）上式两边左乘，并注意到，有A Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，m ).k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0 按这种方法再依次用左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，A 2， A 3， A m ‒1得{k 1α1+k 2α2+k m αm =0 ，k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0，k 1λ21α1+k 2λ22α2+k m λ2m αm =0， ⋯⋯⋯⋯k 1λm ‒11α1+k 2λm ‒12α2+k m λm ‒1m αm =0.上式的矩阵形式为，( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )(1 λ1 ⋯ λm ‒111λ2 ⋯ λm ‒12⋮ ⋮ ⋮1 λm ⋯ λm ‒1m)=（0，0，⋯，0）上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，λ1λ2⋯λm 所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )=（0，0，⋯，0）于是，由于特征向量非零，因此只有k i αi =0(i =1，2，⋯，m )αi (i =1，2，⋯，m )上式才能成立，故，，，为线性无关.k i =0(i =1，2，⋯，m )α1 α2 ⋯αm 定理4.1.5 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm是的属于的线性无关的特征向量，则向量组A λi (i =1，2，⋯，m )，，，， ，，，， ，，，线性无关.α11 α12 ⋯α1s 1α21 α22 ⋯α2s 2αm 1 αm 2 ⋯αms m 证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数 λ0是 n A k λ0不超过个.k 显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组n A λi 的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一(λi E ‒A )=0 A λi 起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.n A n 例4.1.6 设三阶矩阵的特征值为，，求A λ1= λ2=3 λ3=3（1）的特征值.A -1（2）的特征值.A *（3）的特征值及.B =12(A-1)2‒A *+2E |B |解 （1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，| A |= λ1λ2λ3=12≠0A A-112，.1213（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.A *（3）因为，所以）.A *|A |A-1=12A -1B =12(A -1)2‒A*+2E 设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.f (x )=12x 2-12x +2B =f (A-1)f(1λi )i =由此得的特征值为，.B -1，-1，-23|B |=-23例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值A |A |=-1A -1证 ，则f (λ)=|λE ‒A |.f (-1)=|-E ‒A |=|(-E ‒A )T|=|-E ‒A T|另一方面，由于及，则AA T=E |A |=1f (-1)=|-E ‒A |=|AA T -A |=|A || ‒A T-E |=-| -E ‒A T|=-f (-1)因此，即为的特征值.f (-1)=0-1 A §4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为n A 对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.A 一、相似矩阵定义4.2.1 设为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得A ，B n n P ，P -1AP =B 则称矩阵相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵.A 和B B A A~B P例4.2.1 设，，，不难A =(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)B =(1 0 00 1 00 0 -2)P =(- 2 0 -11 0 10 1 1)验证可逆，且.由于P P-1=(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0),P-1AP =(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0)(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)(- 2 0 -11 0 10 1 1)=(1 0 00 1 00 0 -2)=B 因此.A~B 两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；A~A （2）对称性：若，则；A~B B~A （3）传递性：若，，则；A~B B~C A~C 此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若阶矩阵相似，则n A 与B （1）；|A |=|B |（2）；R (A )=R (B )（3）有相同的特征值；A ，B （4）.tr (A )=tr (B )证 由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而A~B n P P-1AP =B （1）；|B |=|P-1AP |=|P-1||A ||P |=|A |（2）；R (B )=R (P -1AP )=R (AP )=R (A )（3）由于，|λE ‒B |=|λE ‒P-1AP |=|P-1(λE ‒A )P |=|λE ‒A |即有相同的特征多项式，于是有相同的特征值.A ，B A ，B （4）由（3）即得.推论4.2.1 若阶矩阵对角矩阵n A 与 =Λ(λ1λ2⋱λn)相似，则，，，是的个特征值. λ1λ2⋯λn A n 例4.2.2 若，求.A =(- 2 0 02 x 23 1 1)~(- 1 0 00 2 00 0 y )=B x ，y 解 对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再B -12y A~B A -12y 根据相似矩阵有相同的迹，可得{|2E ‒A |=0，tr (A )=tr (B )，解此方程组得， .x =0y =-2两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若，则，（为正整数）；A~B k A~kB A m ~B mm （2）若， 为多项式，则；A~B f (x )f (A )~f (B )（3）若，且均可逆，则；A~B A ，B A-1~B -1证 只证，故存在阶矩阵，使得，从而 A m ~B m n P P-1AP =B B m =(P-1AP )m =(P-1AP )(P-1AP )⋯(P-1AP )=P-1A mP即.A m ~B m 二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.n A A 相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我A A P 们就来讨论这个问题.定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无n A A A n 关的特征向量.证 必要性.设存在可逆矩阵，使得P = =.P -1AP Λ(λ1λ2⋱λn)设，由 =，得 =，或P =( α1，α2，⋯，αn )P-1AP ΛAP P Λ.A ( α1，α2，⋯，αn )=( α1，α2，⋯，αn )(λ1λ2⋱ λn)即A ( α1，α2，⋯，αn )=( λ1α1，λ2α2，⋯，λm αm )因此，，由于可逆，因此，从而Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )P |P |≠0都是非零向量，故分别是的属于特征值αi (i =1，2，⋯，n )α1，α2，⋯，αn A 的特征向量，再由可逆知线性无关.λ1，λ2，⋯，λn P α1，α2，⋯，αn 充分性.设分别是的属于特征值的个线性无关的特征α1，α2，⋯，αn A λ1，λ2，⋯，λn n 向量，则有Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )取,因为线性无关，所以可逆，于是有P =( α1，α2，⋯，αn )α1，α2，⋯，αn P =.，AP P(λ1λ2⋱λn)即个m==P -1AP (λ1λ2⋱λn)Λ因此矩阵相似于对角矩阵.A A 因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.P 推论4.2.2 若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.n A n A 推论4.2.3 阶矩阵的充分必有条件是的每个重特征值个线性无n A 可对角化A t i λi 都有ti 关的特征向量.即.R （λi E ‒A ）=n ‒t i由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：A （1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对A λi (λi E ‒A ) x =0应的线性无关的特征向量，设为；ξi 1，ξi 2，⋯，ξis i (i =1，2，⋯，m )（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，则可对A s i =t i (i =1，2，⋯，m )A 角化，否则不可对角化；（4）当可对角化时，令A ，P =(ξ11，ξ12，⋯，ξ1s i，ξ21，ξ22，⋯，ξ2s i，ξm 1，ξm 2，⋯，ξmsm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且可逆，且有P =P-1AP Λ例4.2.3 判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.P P -1AP (1)；（2）A =(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)B =(1 2 22 1 22 2 1)（1）矩阵的特征多项式为解A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1||λ-1 λ-1 λ-1- 2 λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)(λ-1)(λ-3)由，得的特征值为.由推论4.2.2知，矩阵可对|λE ‒A |=0A λ1=-1，λ2=1，λ3=3A 角化.下面求可逆矩阵.P 个1个2个s m r 1+r 2r 1+r 3对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-1(-E ‒A )x =0,，(- 2 - 2 -2- 2 - 2 22 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，即为即为的属于特征值的一ξ1=(-1，-1，0)Tξ1 ξ2A λ1=-1个特征向量.对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2= 1 (E ‒A )x =0(0 ‒2 ‒2‒2 0 22 2 0)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ2=(1，-1，0)Tξ2A λ2=1对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 3 (3E ‒A )x =0，(2 -2 -2- 2 2 22 2 2)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ3=(0，1，-1)Tξ3A λ3=3取,则有P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 0- 1 - 1 10 1 -1)==P-1AP (- 1 0 00 1 00 0 3)Λ（2）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1|λ-1 λ-1 λ-1- 2λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)2(λ-5)由，得的特征值为.|λE ‒B |=0B λ1=λ2=‒1，λ3=5当−1，即−1为的二重特征值时，λ1=λ2=B .(-E ‒B )=(‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2) 1 1 1)故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且−1对应的线R (-E ‒B )=1=3‒2B λ1=λ2=性无关的特征向量为，.ξ1=(-1，1，0)T ξ2=(-1，0，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值的一个特λ3= 5 (5E ‒A )x =0B λ3=5征向量.取ξ3=(1，1，1)T取,P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(- 1 - 1 11 0 1 0 1 1)则有==P-1BP (- 1 0 00 ‒1 00 0 5)Λ对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，A A m =P Λm P ‒1A 我们有(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)m=( 1 1 0‒1 ‒1 10 1 ‒1)=((‒1)m 0 00 1 00 0 3m)=(0 ‒1 ‒11 1 11 1 0).=(1 1+(‒1)m +1 1+(‒1)m +13m ‒1 3m ‒1+(‒1)m (‒1)m ‒11‒3m 1‒3m 1)例4.2.4 设，求为何值时，A =(a 1 11 a ‒11 ‒1 a )A （1）可对角化，并求相似变换矩阵；A P （2）为可逆矩阵.A ‒E 解 （1）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-a -1 -1- 1 λ-a -1- 1 2 λ-a| |λ-a -1 -1 -1λ-a -1 λ-a 10 1 λ-a |=，(λ-a -1)2(λ-a +2)故的特征值为，.A λ1=λ2=a +1λ3=a ‒2对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值λ1=λ2=a +1((a +1)E ‒A )x =0A 的特征向量为，.λ1=λ2=a +1ξ1=(1，1，0)T ξ2=(-，0，1)T 对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值 λ3=a -2((a -2)E ‒A )x =0A 的特征向量为.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵 λ3=a -2 ξ3=(-1，1，1)T a 均可对角化.令A ，P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 -11 0 10 1 1)则有==.P-1AP (a +1 0 00 a +1 00 0 a ‒2)Λ的特征值分别为，故当时，为可逆矩阵.（2）A ‒E a ，a ，a ‒3a ≠0且a ≠3A ‒E §4.3 实对称矩阵的对角化c 1+c 2我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即λα.Aα=λα， α≠0用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则λλαα，Aα=Aα=Aα=λα=λα于是有，αT Aα=αT (Aα)=λαT α及，αT Aα=(αT A T )α=(Aα)T α=(λα)T α=λαT α以上两式相减得，(λ-λ)αT α=0以为所以.因而，即为实数.α≠0αTα≠0λ=λλ由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解A λE ‒A 可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.(λE ‒A )x =0A 定理4.3.2 实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证 设为实对称矩阵的两个不同的特征值，分别为它们对应的特征向量，则λ1，λ2A α1，α2，从而，因是对称矩阵，又有Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，α1，α2≠0αT 1(Aα2)=λ2∙αT1α2A ，于是αT 1(Aα2)=αT 1(A T α2)=( Aα1)T α2=( Aα1)T α2=( λ1α1)T α2=λ1α1T ∙α2，(λ1-λ2)α1Tα2=0因，故，即正交.λ1≠λ2α1Tα2=0α1与α2定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特A n λA k R (λE ‒A )=n ‒k 征值恰好对应个线性无关的特征向量.λk 证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得A n Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ=(λ1λ2⋱λn)其中，，，为的全部特征值.λ1λ2⋯λn A （1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，A λi (λi E ‒A ) x =0即为的对应的线性无关的特征向量，设为；(i =1，2，⋯，m )（3）用施密特正交化方法，将特征向量正交αi1，αi 2，⋯，αis i(i =1，2，⋯，m )单位化，得到一个标准正交向量组αi 1，αi 2，⋯，αiti ；βi 1，βi 2，⋯，βit i(i =1，2，⋯，m )（4）令Q =(β11，β12，⋯，β1t i，β21，β22，⋯，β2t i，βm 1，βm 2，⋯，βmtm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ例4.3.1 设实对称矩阵，A = (3 -3 -3- 3 1 -1- 3 - 1 1)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 3 33 λ-1 13 1 λ-1|λ+3 λ+3 λ+33 λ-1 13 1 λ-1|=，(λ+3)(λ-2)(λ-6)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=-3，λ2=2，λ3=6对于，解齐次线性方程组，得基础解系；λ1=-3(-3E ‒A )x =0α1=(1，1，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得基础解系； λ2= 2 (2E ‒A )x =0 α2=(0，1，-1)T对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系.λ3= 6 (6E ‒A )x =0 α3=(-2，1，1)T将单位化，可得α1，α2，α3β1=1||α1||α1=13(1，1，1)T ，β2=1||α2||α2=12(0，1，‒1)T ，β3=1||α3||α3=16(-2，1，1)T令个s 1个2个s m,Q =( β1，β2，β3)=(130 2613 1216131216)且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q TAQ =(- 3 0 00 2 00 0 6)例4.3.2 设实对称矩阵，A = (1 -2 2- 2 - 2 42 4 -2)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 - 4 λ+2| |λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 λ- 2 λ-2|=，(λ-2)2(λ+7)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=λ2=2，λ3=7对于，解齐次线性方程组，得基础解系，λ1=λ2=2(2E ‒A )x =0α1=(-2，1，0)T；先将向量正交化，令α2=(2，0，1)T α1，α2，η1=α1=(-210)，η2=α2=-(α2，η1)(η1，η1)=(201)+45(-210)=(25451)再单位化，得β1=1||η1||η1=15(-210)，β2=1||η2||η2=135(245)，对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系，λ3=‒7 (‒7E ‒A )x =0 α3=(1，2，‒2)T将其单位化，得.β3=1||α3||α3=13(12-2)令r 3+r 2,Q =( β1，β2，β3)=(‒25235 1315435 230 535 ‒23)且为正交矩阵，且有Q =.Q -1AQ Q TAQ = (2 0 00 2 00 0 ‒7)例4.3.3设三阶实对称矩阵的特征值为，且属于的特征矩阵A λ1=-1，λ2=λ3=1λ1为，求矩阵.α1=(0，1，1)TA 解 设的属于特征值的特征向量为，则与正交，即A λ2=λ3=1α=(x 1，x 2，x 3)Tαα1，α1T α=x 2+x 3=0解此齐次线性方程组，得基础解系，α2=(1，0，0)T ，α3=(0，1，‒1)T 易见，正交. 将单位化，可得α2，α3 α1，α2，α3β1=1||α1||α1=12(011)，β2=1||α2||α2=(100)，β3=1||α3||α3=12(01-1)令,则为正交矩阵，且有Q =( β1，β2，β3)=12(0 2 01 0 11 0 -1)Q =，Q-1AQ Q TAQ =B =(- 1 0 00 1 00 0 1)从而= A =Q-1BQ Q T BQ.=12(0 2 01 0 11 0 ‒1)(- 1 0 00 1 00 0 1)(0 1 12 0 00 1 ‒1)=(1 0 00 0 ‒10 ‒1 0)习题四（A ）一、填空题1.为阶矩阵，有非零解，则必有一个特征值__________.A n Ax =0A 2.若阶可逆方阵的每行元之和，则的一个特征值为__________.n A a 3A-1+E3.设为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为，则行列式 __________.A 12，13，14|E ‒A |=4.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为__________.λ=2(13A 2)-15.若为四阶实对称矩阵，，且2是的三重特征值，则的相似对角矩阵为A |A |=-8A A __________.6. 设为阶矩阵，有个互异特征值，，，，则有__________A n A n λ1λ2⋯λn R (λj E ‒A ) x =.(j =1，2，⋯，n )7. 设是三阶实对称矩阵，的特征值是，则有__________.A A λ1=λ2=1，λ3=-1A 2n =8.若四阶矩阵相似，矩阵的特征值为，则A 与B A 12，13，14，1513|(B -1)∗+E |=__________.9.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则A =(4 a2 6)a =__________.10.设，矩阵，为自然数，则行列式α=(2，1，‒1)T A =ααTn |a E -A*|=__________.11.已知三阶实对称矩阵的一个特征值为，对应的特征向量，且A λ=2α=(1，2，‒1)T的主对角线上的元全为零，则A A =__________.二、单选题1.设三阶矩阵，则的特征值是（）A =(1 1 01 0 10 1 1)A （A ）1,0,1（B ）1,1,2（C ）-1,1,2（D ）1,-1,12.若可对角化的阶矩阵只有一个特征值为零，则=（）n A R (A )（A ）n（B ）n -1（C ）1（D ）03.设是矩阵对应于特征值的特征向量，当线性组合满足αi (i =1，2，⋯，n )A A ∑=ni 1k i αi （）时，也是矩阵对应于特征值的特征向量.∑=ni 1k i αi A A （A ）其中不全为零k i （B ）其中全不为零k i （C ）是非零向量（D ）是任一向量4.当满足下列（）条件时，矩阵相似.A 与B （A ）|A |=|B |（B ）R (A )=R (B )（C ）有相同的特征多项式.A 与B （D ）阶矩阵有相同的特征值且个特征值不相同.n A 与B n 5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）A (-31)|A |<0A （A ）c (-31)（B ）c (13)，c ≠0（C ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1≠0，c 2≠0（D ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1，c 2不同时为零6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.A n A k=O （A ）的特征值只有零A （B ）必不能对角化A （C ）必可逆E +A +⋯+A k ‒1（D ）只有一个线性无关的特征向量A 7.设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则λ1，λ2A α1，α2线性无关的充要条件是（）α1，A (α1+α2)（A ）λ1=0（B ）λ2=0（C ）λ1≠0（D ）λ2≠08.若，且，则以下结论错误的是（）.A 2≠A A ≠E ，O （A ）|A ‒E |≠0（B ）(A +E )‒1=‒12(A ‒2E )（C ）为不可逆矩阵A （D ）必有特征值A λ≠09.设，有特征值（二重），且有三个线性无关的特A =(1 -1 12 4 x- 3 - 3 5)A λ1=6，λ2=2A 征向量，则.x =( )（A ）4（B ）2（C ）‒4（D ）‒210.设为阶矩阵，且相似，则（）A ，B n A 与B （A ）λE ‒A =λE ‒B（B ）均相似于同一个对角矩阵.A 与B （C ）有相同的特征值与特征向量A 与B （D ）对任意常数，相似.a aE ‒A 与aE ‒B 三、综合题1.求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）； （2）；（3）；（4）.(- 3 2- 2 2)(0 0 10 1 01 0 0)(2 0 01 2 -11 0 1)(2 0 01 1 11 ‒1 3)2.判断下列矩阵是否相似：A 与B （1）；A =(3 1 00 3 10 0 3)，B =(3 0 00 3 00 0 3)（2）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（3）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（4）.A =(1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1)，B =(4 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0)3.求下列矩阵的次幂:k （1）； （2）.A =(- 3 2- 2 2)A =(1 4 20 -3 40 4 3)4. 求正交矩阵，使得为对角矩阵.Q Q TAQ (1)；（2）.A =(0 -2 2- 2 - 3 42 4 - 3)A =(1 2 42 -2 24 2 1)5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：λ0n A (λ0E ‒A )(λ0E ‒A )*的非零列向量是的属于的特征向量.(λ0E ‒A )*A λ06.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：{x n = 1.1x n -1-0.15y n -1，y n =0.1x n -1-0.85y n -1，n =1，2，⋯，其中分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而分别表示基年时兔子和狐x n ，y n x 0，y 0(n =0)狸的数量，记，αn =(x ny n )n =1，2，⋯，（1）写出该模型的矩阵形式；（2）如果,求.α0=(x0y 0)=(108)αn （3）求lim n→∞αn7.设相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵A =(1 0 00 a 10 1 0)，B =( 1 0 00 b 00 0 -1)a b ，使得.Q Q-1AQ =B8.设向量，，且记α=(a 1，a 2，⋯，a n )T ≠0β=(b 1，b 2，⋯，b n )T≠0αT β=0，，求的所有特征值及特征向量.A =αβTA 9.设为三维单位列向量，且，令，证明与相似.α，βαT β=0A =αT β+αβTA (1-1 0)10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是A A ，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）α1=(-1，-1，1)T α2=(1，‒2，‒1)T A 求矩阵.A 11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.A =(2 0 01 2 -11 0 k ) λ=1A k An(-142)12.若存在正交矩阵，使矩阵同时相似于对角矩阵，则必有.Q A ，B AB =BA 13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.A A 2+2A =O A R (A )=2A 14.设，求实对称矩阵，使.A =(8 -2 -2- 2 5 4- 2 - 4 5)B A =B 215.设矩阵，求.(1 4 20 -3 40 4 3)A 201316.已知三阶矩阵相似，是的两个特征值，，计算A 与B λ1=1，λ2=2A |B |=2,其中是的伴随矩阵.|(A +E )‒1 OO ( 2B )∗|( 2B )∗2B （B ）1.设矩阵相似，相似，试证：与相似.A 与B C 与D (A O O C )(B O O D )2.已知与对角矩阵相似，求.A =(0 0 1x 1 2x -31 0 0)x 3.设是阶实幂等矩阵（即），且.A n A =A 2R (A )=r ，0<r ≤n （1）设，试证.R (A ‒E )=s ，0<s ≤n r +s =n （2）试证：；A~( 1 ⋱ 10 ⋱0)（3）求|2E -A |4.设为阶矩阵，，证明A ，B n R (A )+R (B )<n （1）是的相同特征值；λ=0A 与B （2）与的基础解系线性相关.Ax =0Bx =05.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：A n n A （即为数量矩阵）A =(λλ⋱λ)A 6.已知三阶非零矩阵满足，，，证明：A ，B A =A 2B 2=B AB =BA =O （1）0和1必是的特征值；A 与B （2）若的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特α是A 关于λ=1A n A B 征向量，证明.AB =BA 8.设均为阶非零矩阵，且满足，，证明：A ，B n A +A 2=O B +B 2=O （1）是的特征值.-1A ，B （2）若，分别是对应于的特征向量，则线AB =BA =O ξ1，ξ2A ，B λ=-1ξ1，ξ2性无关.答案：一、填空题1.02.3a+13.-64.345.. (2 22-1)6. n -17.E8.14 7639.-1210.a 2(a -6n )11.A =(0 2 22 0 -22 -2 0)二、单选题1-5 CBCDB 6-10 DDADD 三、综合题1.（1），，的属于的特征向量；的属于λ1=1λ2=-2A λ1=1c 1(12)，c 1≠0A的特征向量.λ2=-2c 2(21)，c 2≠0（2），；的属于的特征向量为λ1=λ2=1λ3=-1A λ1=λ2=1不全为零；的属于的特征向量为c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2A λ3=-1c 3(-101)，c 3≠0（3），；的属于的特征向量为不λ1=λ2=2λ3=1A λ1=λ2=2c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2全为零；的属于的特征向量为.A λ3=1c 3(011)，c 3≠0（4）（三重）；的属于的特征向量为不全为零；λ=2A λ=2c 1(110)+c 2(-101)，c 1，c 22.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.3.(1)；A k=13((-1)k 2k +2- 1 (-1)k +12k +1+2(-1)k 2k +1- 2 (-1)k +12k +4)（2）当为偶数时，；当为奇数时，k A k =(1 0 -1+5k0 5k 00 0 5k )k .A k =(1 4×5k -1 -1+3×5k -10 - 3×5k -1 4×5k -10 4×5k -1 3×5k -1 )。

将矩阵对角化的过程矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，其可以将一个矩阵变换为对角矩阵，使得矩阵的运算更加简便。

本文将介绍矩阵对角化的过程及其应用。

一、矩阵对角化的定义矩阵对角化是指将一个$n\times n$矩阵$A$与一个可逆矩阵$P$相似，即$P^{-1}AP=D$，其中$D$是一个对角矩阵。

对角矩阵是指只有对角线上有非零元素的矩阵，即$D=\begin{bmatrix}d_1&0&\cdots&0\\0&d_2&\cdots&0\\\v dots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_n\end{bmatrix }$，其中$d_1,d_2,\cdots,d_n$是对角线上的元素。

二、矩阵对角化的步骤对于一个给定的矩阵$A$，我们可以按照以下步骤对其进行对角化：1. 求出矩阵$A$的特征值和特征向量：设$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，$v$是对应的特征向量，满足$Av=\lambda v$，则特征值和特征向量可以通过解方程$(A-\lambda I)v=0$得到。

2. 构造矩阵$P$：将所有的特征向量按列组成一个矩阵$P$，即$P=[v_1,v_2,\cdots,v_n]$。

3. 求出矩阵$P^{-1}$：由于$P$是由特征向量组成的矩阵，因此其列向量线性无关，即$P$可逆，因此可以求出$P$的逆矩阵$P^{-1}$。

4. 求出对角矩阵$D$：由于$AP=PD$，因此$D=P^{-1}AP$，即$D$是$A$相似的对角矩阵。

至此，我们就完成了矩阵对角化的过程。

三、矩阵对角化的应用矩阵对角化在线性代数和其它学科中都有着广泛的应用。

以下是其中的几个例子：1. 求矩阵的幂：对于一个已经对角化的矩阵$A$，其幂可以通过对角矩阵的幂来计算，即$A^k=PD^kP^{-1}$。

矩阵对角化方法矩阵对角化方法摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。

关键词：矩阵特征根特征向量对角化The Methods of the Diagonalization of the MatrixgAbstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization1、引言对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||=-A E λ得特征根i λ，然后对每一个i λ，解方程组0)(=-X A E i λ得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T ，使得Λ=-AT T 1,其中Λ为对角阵，于是可得1-Λ=T T A ，从而1-Λ=T T A n n , 在这个对角化过程中，Λ中的元素即为矩阵A 的特征根，T 中每个列向量即为矩阵A 的属于每个特征根的特征向量。

矩阵对角化的步骤引言矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵变换为对角矩阵，从而简化一些运算和求解问题的过程。

本文将通过介绍矩阵对角化的基本概念、性质和步骤来深入探讨该主题。

什么是矩阵对角化矩阵对角化是指通过相似变换将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。

对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非主对角线上的元素全都是0，而主对角线上的元素可以是任意的数。

对角矩阵在一些问题的求解过程中具有简化运算的作用。

矩阵对角化的条件要将一个矩阵对角化，需要满足以下条件： 1. 矩阵必须是方阵，即行数和列数相等。

2. 矩阵必须有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的维度。

矩阵对角化的步骤对于一个满足对角化条件的矩阵，下面是进行矩阵对角化的步骤：步骤1：求矩阵的特征值首先，我们需要求出矩阵的特征值。

矩阵的特征值是一个标量，它满足方程Ax=λx，其中A是矩阵，λ是特征值，而x是对应于特征值λ的特征向量。

步骤2：求特征值对应的特征向量在求得矩阵的特征值之后，我们需要求解特征值对应的特征向量。

通过解方程(A−λI)x=0，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵，x是特征向量，可以得到特征向量。

步骤3：构成特征向量矩阵将步骤2中求得的特征向量按列构成一个矩阵P，这个矩阵称为特征向量矩阵。

步骤4：构成特征值矩阵将步骤1中求得的特征值按对角线排列成一个对角矩阵Λ，其它位置上的元素为0。

步骤5：对角化通过相似变换，即A=PΛP−1，将矩阵A变换为对角矩阵Λ。

这个过程中，矩阵P是特征向量矩阵，Λ是特征值矩阵。

矩阵对角化的意义和应用矩阵对角化在数学和工程中有着广泛的应用。

其主要意义在于简化问题的求解过程和分析矩阵的性质。

以下是矩阵对角化的一些具体应用：1.矩阵求幂一步计算: 对角化可以将矩阵的幂指数形式A n化简为PΛn P−1的形式，其中Λn是对角矩阵每个元素分别进行幂运算，大大简化了计算的复杂度。

2.线性差分方程的求解: 微分方程可以用矩阵表示，对角化可以将不易求解的高阶微分方程转化为一组一阶方程，从而简化求解过程。

矩阵对角化公式矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵转化为对角矩阵的形式。

对角化的过程在许多数学和工程领域中都有广泛的应用，例如解线性方程组、求特征值和特征向量、矩阵的幂运算等。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。

这个等式可以进一步展开为 A = P * D * P^-1。

在这个等式中，D的对角线上的元素为矩阵A的特征值，而P的列向量为相应的特征向量。

矩阵对角化的一个重要性质是，可对角化的矩阵必然是可对角化的，并且它们的特征值是相同的。

换句话说，如果A和B是可对角化的，并且它们的特征值相同，则存在可逆矩阵P和Q，使得P^-1 * A * P = Q^-1 * B * Q。

要判断一个矩阵是否可对角化，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来进行。

首先，计算矩阵的特征多项式，并求解特征多项式的根，这些根即为特征值。

接下来，对于每个特征值，求解齐次线性方程组 (A - λI)x = 0，得到对应的特征向量。

如果矩阵A具有n 个线性无关的特征向量，即其特征向量的个数等于矩阵的秩，那么矩阵A是可对角化的。

值得注意的是，并非所有的矩阵都可以对角化。

一些不可对角化的矩阵称为不可对角阵，其中最常见的例子是具有重复特征值的矩阵。

对于不可对角化的矩阵，我们可以使用类似于对角化的方法来将其转化为更简化的形式，例如Jordan标准形或者Schur标准形。

总结起来，矩阵对角化是一种重要的线性代数操作，它可以将矩阵转化为对角矩阵的形式，便于研究矩阵的性质和求解相关问题。

对角化的过程需要计算矩阵的特征值和特征向量，而可对角化的条件是矩阵具有n个线性无关的特征向量。

对于不可对角化的矩阵，我们可以采用其他方法进行简化。