二、基本方法1.V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,证明V =V 1△V 2只要证明以下两点:(1)V 1∩V 2={0};(2)dim V =dim V 1+dim V 22.求线性空间V 的基与维数,可先找到V 的一个生成元组n ααα,,,21 ,然后证明n ααα,,,21 线性无关.3.证明多个子空间的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.4.几种常见的线性空间:(1)数域P 上的线性空间Pn ,dim Pn=n ,是Pn 的一组基,其中 =(0,…,1,…,0),i =1,2,…,n .(2)数域P 上的线性空间Pm ×n ,dim Pm ×n =mn , Eij ,i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n 是Pm ×n 的一组基,其中Eij 是第i 行第j 列的元素为1,其余元素为0的m ×n 矩阵.(3)数域P 上的线性空间P [x ]n ,dim P [x ]n =n.1,x ,x 2,…,xn -1是P [x ]n 的一组基.5.求线性变换σ的特征值与特征向量的方法:(1)取定V 的一组基n εεε,,,21 ,写出 σ 在这组基下的矩阵A .(2)求出| λE-A |在数域P 中的全部根,它们就是σ的全部特征值.(3)对每个特征值 i λ,解齐次线性方程组(i λE-A )X =0,求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 n εεε,,,21 下的坐标.注意:在解方程|λE-A |=0时,最好能分离出关于 λ 的因式,否则可用求整系数的有理根的方法求它的根.(一般地,A 的元素是整数).三、例题考点1：线性空间的定义、维数与基,坐标变换考点点拨:主要对线性空间的定义、线性空间的维数和基的求出,以及线性空间中不同基之间的坐标变换的考查.例6.1.1 (西安交通大学,2004年)设A ∈Rn ×n (R 表示实数域)记S (A )={Z |AZ =ZA ,Z ∈Rn ×n }(1)证明: S (A )为Rn ×n 的子空间.(2)若取A 为对角阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n 001 ,求S (A )的基与维数. 解: (1)显然只要验证对加法和数乘封闭即可.对任意Z 1,Z 2∈S (A ),任意k ∈R ,有A (Z 1+Z 2)=AZ 1+AZ 2=Z 1A +Z 2A =(Z 1+Z 2)A .知Z 1+Z 2∈S (A ). (kZ 1)A =kAZ 1=A (kZ ).知kZ 1∈S (A ).即知S (A )为一个子空间.(2)对任何矩阵C ,若:C n n C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001 那么比较等式两边易得C (i ,j )=0(i ≠j ),于是S (A )的维数为n 维,它的一组基可取为E 11,E 22,…,Enn . □例6.1.2 (北京航空航天大学,2005年)设向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 是两组n 维向量,证明:若这两个向量组都线性无关,则 ),,,(),,,(2121t s L L βββααα ⋂ 的维数等于齐次方程组022112211=+++++++t t s s y y y x x x βββααα 的解空间的维数证明:设 >=<s W ααα,,,211 , ><t W βββ,,,212 ,那么由题知dim(W 1)=s ,dim(W 2)=t . 记矩阵),,,,,,,,(2121t s A βββααα = X =(x 1,x 2,…,xs ,y 1,y 2,…,yt )T .那么方程组AX =0的解空间的维数为:s +t -r (A ),注意到W 1+W 2= ><t s βββααα,,,,,,,2121 ,那么显然有dim(W 1+W 2)=r (A ).于是有:s +t -r (A )=dim W 1+dim W 2-dim(W 1+W 2)=dim(W 1∩W 2).即解空间的维数等于><⋂><t s βββααα,,,,,,2121 的维数例6.1.3 (北京理工大学,2004年)设A ,B 分别是数域K 上的p ×n 、 n ×m 矩阵,令V ={x |x ∈Km ,ABx =0},W ={y |y=Bx ,x ∈V }.证明: W 是向量空间的子空间,且dim W =r (B )-r (AB ).证明: 要证明W 是一个子空间,只要说明它对加法和数乘封闭即可.若y 1,y 2∈W ,k ∈K ,那么存在x 1,x 2∈V ,使得y 1=Bx 1,y2=Bx 2,显然V 是方程组ABx =0的解空间,它是一个子空间,那么有x 1+x 2∈V , kx 1∈V ,这时y 1+y 2=Bx 1+Bx 2=B (x 1+x 2).于是有y 1+y 2∈W ,而ky 1=kBx 1=B(kx 1),知ky 1∈W ,知W 必是向量空间的一个子空间.把B 看成是向量空间Km 到向量空间Kn 的线性映射,那么有:W =B (V ),于是有: dim ImB |V +dim kerB |V =dim V (I)注意到ImB |V=W ,那么有dim ImB |V=dim W .而dim V =m -r (AB ),kerB |V =kerB ∩V .若Bx =0,显然有ABx =0,所以有kerB ⊆V ,那么有B=B ∩V .注意到dim kerB 即为Bx =0的解空间的维数,它等于m -r (B ),于是有dim kerB|V =dim kerB ∩V =dim kerB =m-r (B ),代入等式(I)有: dim W+(m-r (B ))=m -r (AB ). 移项即得: dim W =r (B )-r (AB ). □例6.1.4 (中南大学,2003年)设P 是一个数域,A 是Pn ×n 中一个矩阵,令F (A )={f (A )|f (x )∈P [x ]}.证明:(1)F (A )是Pn ×n 的一个线性子空间.(2)可以找到非负整数m ,使I ,A ,A 2,…,Am 是F (A )的一组基.(3)F (A )的维数等于A 的最小多项式的次数.解: (1) 任取f (A ),g (A )∈F (A ),k ∈P , 有f (A )+g (A )=(f+g )(A ).显然由f (x ), g (x )∈P [x ]可得(f+g )(x )=f (x )+g (x )∈P [x ],于是有f (A )+g (A )∈F (A ).而kf (A )=(kf )(A ),那么由kf (x )∈P [x ] 可知kf (A )∈F (A ),即知F(A )是Pn ×n 的一个线性子空间.(2) 不妨设A 的最小多项式为)(λm ,并记 ))((λm ∂ =m +1,那么由m (A )=0 且)(λm 的首项系数为1可知Am +1可被I ,A ,A 2,…,Am 线性表出.显然有任意f (A )∈F (A ),都可使得f (A )被I ,A ,A 2,…,Am 线性表出.下证I ,A ,A 2,…,Am 线性无关,利用反证法.若I ,A ,A 2,…,Am 线性相关,那么存在一组不全为零的数k 0,k 1,…,km ∈P ,使得:k 0I +k 1A +k 2A 2+…+kmAm =0.令h (x )=k 0+k 1x +k 2x 2+…+kmxm ,显然有h (A )=0且))(())((x m m x h ∂≤≤∂ ,这将与 是A 的最小多项式矛盾.于是I ,A ,A 2,…,Am 线性无关,那么I ,A ,A 2,…,Am 构成F (A )的一组基.(3)显然由第(2)问知I ,A ,A 2,…,Am 构成F (A )的一组基,那么有dim(F (A ))=m +1=)).((x m ∂例6.1.5 (北京大学,2002年)用Mn (K )表示数域K 上所有n 阶矩阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法它成为K 上的线性空间.数域K 上n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n称为循环矩阵.用U 表示K 上所有n 阶循环矩阵组成的集合.证明:U 是Mn (K )的一个子空间,并求U 的一个基和维数.证明: 令矩阵:。
