2018-2019中考数学专题训练：圆的证明与计算题

题库:圆的证明与计算题1.如图，AB是⊙O的直径，点D是»AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．第1题图(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，如解图，连接DO，第1题解图∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠EBD＝∠OBD，∴∠EBD＝∠ODB，∴OD∥BE，∴PDPE＝POPB，∵P A＝AO，∴P A＝AO＝OB，∴POPB＝23，∴PDPE＝23，∴PDPD＋DE＝23，∵DE＝2，∴PD＝4.2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，cos A＝25，求DF的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD，第2题解图∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∵OD是⊙O的半径，G∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25，∴OA ＝5，∴OG ＝OA 2－AG 2＝21，∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，∴四边形OGFD 为矩形，∴DF ＝OG ＝21.3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .(1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，∴∠BAD ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNM ，∴∠BAM ＝∠BCD ，∴∠BAM ＝∠BAD ，在△ANE 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE∠AEN ＝∠AED， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)，∴AN ＝AD ； (2)解：∵AB＝42，AE ⊥CD ,∴AE ＝12AB ＝22，又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，如解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，第3题解图 ∵△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1，∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－43(舍)，∴AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.第4题解图∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；(2)解：∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝25，∴AB＝2AE＝4 5.在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，∴BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3.5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE 的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求∠P及∠AEB的度数.第5题图（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵CB ⊥AE ，∴AD ⊥AE ，∴∠DAO ＝90°，又∵直线DP 和⊙O 相切于点C ，∴DC ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°，∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中，⎩⎨⎧DO ＝DO AO ＝CO， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)，∴DA ＝DC ；(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径，∴CF ＝FB ＝12BC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴CF ＝12AD ，又∵CF ∥DA ，∴△PCF ∽△PDA ，∴PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD .由(1)知DA ＝DC ，∴DA＝12PD ，∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°.∵DP ∥AB ，∴∠F AB ＝∠P ＝30°，又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝90°－30°＝60°.6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证：∠ABD ＝∠ADE ；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图∵DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°.∴∠ADE ＝∠ODB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ABD ＝∠ADE ;(2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝253，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD .∵O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵OD ⊥DE ，∴AC ⊥DE ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°， ∴△DEC ∽△ADC ，∴CEDC＝DCAC，即CE5＝5253，∴CE＝3.7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．第7题图(1)证明：如解图①，连接OD，第7题解图①则∠DOB＝2∠DCB，又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，即OD ⊥AB ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线．（2）解：如解图②，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，第7题解图②∵OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，∠BDO ＝90°， ∴∠B ＝30°， ∴∠DOB ＝60°， ∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2， ∴OD ＝2，∴BD ＝OD tan60°＝2 3.8.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)若cos ∠CAO ＝45，且OC ＝6，求PB 的长．第8题图1）证明：如解图，连接OB，（∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∴∠P AO＝∠PBO.∵PB为⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠P AO＝90°，∵OA 为⊙O 的半径， ∴P A 是⊙O 的切线； (2)解：∵cos ∠CAO ＝45，∴设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ∴sin ∠CAO ＝35，tan ∠COA ＝43， ∴CO OA ＝35，即6OA ＝35，解得OA ＝10， ∵tan ∠POA ＝tan ∠COA ＝AP AO ＝43， ∴AP10＝43，解得AP ＝403， ∵P A ＝PB ， ∴PB ＝P A ＝403.9.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，∠ACD ＝∠ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan ∠ABC ＝23，tan ∠AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DCB ＝90°， ∵∠ACD ＝∠ABC ， ∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°， 即BC ⊥CA ，又∵BC 是⊙O 的直径， ∴CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △AEC 中，tan ∠AEC ＝53， ∴AC EC ＝53，EC ＝35AC .在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝23， ∴AC BC ＝23，BC ＝32AC . ∵BC －EC ＝BE ＝6，∴32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ∴BC ＝32×203＝10， 即⊙O 的直径为10.10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．第10题图（1）证明：如解图,连接OD，AD，第10题解图∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴D为BC中点，又∵O为AB中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；(2)解：∵AB=10，∴OB=OD=5.由(1)知OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴ABBFOBBFAFOFAEOD++==，设BF=x,则有10585++=xx解得x=310，∴BF=310.11.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长；(3)求证：AF＋2DF＝AB.第11题图（1）证明：如解图，连接OC.第11题解图∵AC 平分∠BAD ,∴∠OAC =∠CAD ， 又∠OAC =∠OCA ,∴∠OCA =∠CAD ， ∴CO ∥AD . 又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥OC ，又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △ADE 中，∵AD =6，DE =8， 根据勾股定理得：AE =10， ∵CO ∥AD ， ∴△EOC ∽△EAD , ∴ADOCEA EO =. 设⊙O 的半径为r ，∴OE =10-r .∴61010rr -=， ∴r =415，∴BE =10-2r =25；（3）证明：如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G . ∵∠OAC =∠CAD ，AD ⊥CD ， ∴CG =CD ，在Rt △AGC 和Rt △ADC 中， ∵CG =CD ，AC =AC ，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD.又∵∠BAC=∠CAD，∴BC=CF，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵BC=FC，CG=CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF.∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD︵的长；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2＝AB·EF.第12题图（1）解：如解图，连接OD，第12题解图∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10， ∴OB ＝5， ∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 中点， ∴DE ＝12AC ＝EC ， 在△DOE 与△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE， ∴△DOE ≌△COE (SSS)． ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE ≌△COE ， ∴OE 是线段CD 的垂直平分线，∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ，∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ，∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .13.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第13题图（1）证明：如解图，连接OB ，第13题解图∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ，∴AD ＝BD ，∴点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，∴∠APO ＝∠BPO ，∵∠ADP ＝∠BDP ＝90°，∴△APD ≌△BPD ，∴AP ＝BP ，在△P AO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ∠APO ＝∠BPO OP ＝OP，∴△P AO ≌△PBO （SAS ），∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵OA 为⊙O 的半径，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴OA OP ＝OD OA ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∴tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12，∴DF ＝2x ，∴OA ＝OF ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理得(2x －3)2＝x 2＋32，解得x 1＝4或x 2＝0(不合题意，舍去)，∴OA ＝2x －3＝5，∵AC 为⊙O 的直径，∴AC ＝2OA ＝10.14.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连接BE .(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)求证：PC =PF ；(3)若tan ∠PCB ＝34，BE ＝52，求PF 的长．第14题图（1）证明：如解图，连接OC ，第14题解图 ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵PC 是⊙O 的切线，且AD ⊥CD ，∴∠OCP ＝∠D ＝90°，∴OC ∥AD ，∴∠CAD ＝∠OCA ＝∠OAC ，即AC 平分∠DAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，又∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；(3)解：如解图，连接AE，∵∠ACE＝∠BCE，∴AE︵＝BE︵，∴AE＝BE，又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2BE＝10，∴OB＝OC＝5，∵∠PCB＝∠P AC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△P AC，∴PBPC＝BCCA，∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝34，∴PBPC＝BCCA＝34，设PB＝3x，则PC＝4x，在Rt△POC中，根据勾股定理得，(3x ＋5)2＝(4x )2＋52，解得x 1＝0，x 2＝307. ∵x ＞0，∴x ＝307，∴PF ＝PC ＝1207.15.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，且点C 是劣弧»AG 的中点，过点C 的直线CD ⊥BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若ED ＝3DB ，求证：3OF ＝2DF ；(3)在(2)的条件下，连接AD ，若CD ＝3，求AD 的长．第15题图(1)证明：如解图①，连接OC 、AC 、CG ，∵AC ︵＝CG ︵，∴AC ＝CG ，∴∠ABC ＝∠CBG ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCB ＝∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；第15题解图○1(2)证明：∵O C ∥BD ，∠CFO ＝∠DFB ，∴∠OCB ＝∠CBD ，∠EOC ＝∠EBD ，∴△OCF ∽△DBF ，△EOC ∽△EBD ，∴OC BD ＝OF DF ，OC BD ＝OE BE ，∴OF DF ＝OE BE ，∵ED ＝3DB ，∠EDB ＝90°，∴∠E ＝30°，∴OC ＝12OE ，∵OA ＝OC ，∴AE ＝OA ＝OC ＝OB ，∴OF DF ＝OE BE ＝2OA 3OA ＝23，即3OF ＝2DF ； (3)解：如解图②，过A 作AH ⊥DE ，交DE于点H ，∵∠E ＝30°，∴∠EBD ＝60°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝12∠EBD ＝30°，∵CD ＝3，∴BD ＝CD tan30°＝33，∴BE ＝33sin30°＝63，DE ＝3BD ＝9，∵AE ＝13BE ，AH ∥BD ，∴AH ＝13BD ＝3，DH ＝23DE ＝6，∴AD ＝（3）2＋62＝39.第15题解图○216.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线.以O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，连接AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D.(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若tan D＝12，求AEAC的值；(3)设⊙O的半径为3，求AB的长．第16题图(1)证明：如解图，过O作OF⊥AB交AB于F，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，∴CO＝FO，∴FO为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；第16题解图(2)解：如解图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO＋∠OCD＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＋∠ECO ＝90°，∴∠ACE ＝∠OCD ，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∴∠ACE ＝∠ODC ，∵∠CAE ＝∠CAE ，∴△ACE ∽△ADC ，∴AE AC ＝CE DC ，∵tan D ＝CE CD ＝12，∴AE AC ＝12；(3)解：由(2)知AE AC ＝12，设AE ＝c ，则AC =2c ，在Rt △ACO 中，∴(2c )2＋32＝(c ＋3)2，解得c ＝2或c =0（舍去），∴AF ＝AC ＝2c ＝4，∵在△BFO 和△BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BFO ＝∠BCA ＝90°， ∴△BFO ∽△BCA ，∴BF BC ＝FO CA ＝BO AB ，设BF＝x，BO＝y，∴x3＋y＝34＝y4＋x，解得x＝727，y＝757，∴AB＝AF＋BF＝4＋727＝1007.17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．第17题图(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.如解图，连接OD.第17题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°.即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝5 2.∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDCA，即PB＝DC·BDCA＝52×528＝254.18.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB.(1)求证：CE⊥AB；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求tan P的值．第18题图（1）证明：如解图，连接OC，第18题解图∴∠COB ＝2∠CAB ， 又∵∠POE ＝2∠CAB ， ∴∠COD ＝∠EOD ， 又∵OC ＝OE ， ∴CE ⊥AB ;(2)证明：∵CE ⊥AB ，∠P ＝∠E ， ∴∠P ＋∠PCD ＝∠E ＋∠PCD ＝90°， 又∠OCD ＝∠E ，∴∠OCD ＋∠PCD ＝∠PCO ＝90°， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线；(3)解：设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，则BD ＝2x ，r ＝3x ， ∵CD ⊥OP ，OC ⊥PC ， ∴Rt △OCD ∽Rt △OPC ，∴OC 2＝OD ·OP ，即(3x )2＝x (3x ＋9)， 解得x ＝32或x =0（舍去）， ∴⊙O 的半径r 为92，同理可得PC 2＝PD ·PO ＝(PB ＋BD ) ·(PB ＋OB )＝162， ∴PC ＝92，在Rt △OCP 中，tan P ＝OC PC ＝24.19.如图，AC 是⊙O 的直径，弦BE ⊥AC 于H ，F 为⊙O 上的一点，过点F 的直线与AC 的延长线交于点D ，与BE 的延长线交于点M ，连接AF 交BM 于G ，且MF ＝MG .(1)求证：MD 为⊙O 的切线；(2)求证：当MD ∥AB 时，FG 2＝MF ·EG ；(3)在(2)的条件下，若cos M＝45，FD ＝6，求AG 的长．第19题图(1)证明：∵MF ＝MG ， ∴∠MFG ＝∠MGF ＝∠AGB ， 如解图，连接FO ， ∵OF ＝AO ， ∴∠OF A =∠OAF ， ∵BE ⊥AC ，∴∠AGH +∠OAF =∠MFG +∠OF A =90°， 即∠MFO ＝90°， ∵OF 为⊙O 的半径， ∴MD 为⊙O 的切线； (2) 证明：∵MD ∥AB ， ∴∠M ＝∠ABM ，如解图，连接EF，∵∠EFG＝∠ABM，∴∠M＝∠EFG，∵∠MGF＝∠FGE，∴△MGF∽△FGE，∴FGMG＝EGFG，又∵MG=MF，∴FG2＝MF·EG；第19题解图：∵∠M＝∠ABM，cos M＝45，∴设AH＝3k，AB＝5k，HB＝4k，如解图，连接OB，∵∠FOD＝∠M，FD＝6，∴FO＝8＝OB＝OA，∴OH＝8－3k，∴OH 2＋HB 2＝OB2，∴(4k)2＋(8－3k)2＝82，(3)解解得k ＝4825或k =0（舍去）， ∵MD ∥AB ， ∴∠MFG ＝∠BAF ， ∴∠BGA ＝∠BAG ， ∴AB ＝GB ＝5k ， ∴GH ＝k ， ∴AG ＝10k ， ∴AG ＝482510.20.如图①，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线; (2)若AB ＝10，AC ＝6，求BD 的长；(3)如图②，若F 是OA 的中点，FG ⊥OA 交直线DE 于点G ，若FG ＝194，tan ∠BAD ＝34，求⊙O 的半径．图① 图②第20题图（1）证明：如解图①，连接OD ，第20题解图①∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE＋∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12AC，∴∠ONB ＝90°，且ON ＝3，OB =5，则BN ＝4，ND ＝2， ∴BD ＝42＋22＝25；（3）解：如解图②，设FG 与AD 交于点H ，第20题解图②根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，则AF ＝54x ，FH ＝AF ·tan ∠BAD ＝54x ·34＝1516x ，AH ＝AFcos ∠BAD ＝54x 45＝2516x ，HD ＝AD －AH ＝4x －2516x ＝3916x ， 由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°， 在Rt △HF A 中，∠F AH ＋∠FHA ＝90°， ∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ， ∴∠DHG ＝∠HDG ，∴GH ＝GD ，过点G 作GM ⊥HD ，交HD 于点M ， ∴MH ＝MD ，∴HM ＝12HD ＝12×3916x ＝3932x ，∵∠F AH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°， ∴∠F AH ＝∠HGM ，H在Rt △HGM 中，HG ＝HMsin ∠HGM ＝3932x 35＝6532x ，∵FH ＋GH ＝194， ∴1516x ＋6532x ＝194， 解得x ＝85，∴此⊙O 的半径为52×85＝4.中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案。

2018-2019年湖南省各市中考复习数学真题汇编解答题综合练：《圆》1．（2019•永州）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧上取一点D，使＝，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE＝CD，劣弧的弧长为π，求⊙O的半径．2．（2019•邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O 于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．3．（2019•张家界）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．4．（2019•邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD ＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．5．（2019•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）延长CO交⊙O于点E．若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）6．（2019•常德）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．7．（2019•益阳）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；（2）求证：ND＝NE；（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．8．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．9．（2019•衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．10．（2019•怀化）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．11．（2018•怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；（2）求证：CD是⊙O的切线．12．（2018•郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．13．（2018•湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM＝60°时，求DM的长；②当AM＝12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．14．（2018•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．15．（2018•永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．16．（2018•衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝4，CE＝2，求的长度．（结果保留π）17．（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2＝CE•DE；（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．18．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．参考答案1．解：（1）∵＝，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，则△ACE中，根据三角形内角和为180°，∴2α+2β+2γ＝180°，∴α+β+γ＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点A作AM⊥BC，延长AD交CE于点N，则DN⊥CE，∴四边形AMCN为矩形，设：AB＝CD＝x，则CE＝x，则CN＝CE＝x＝AM，而AB＝x，则sin∠ABM＝，∴∠ABM＝60°，∴△OAB为等边三角形，即∠AOB＝60°，＝＝×2πr＝π，解得：r＝3，故圆的半径为3．2．解：（1）证明：如图1，∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠PAO＝∠CDA＝90°∵CD⊥PB∴∠CEP＝90°∴∠CEP＝∠CDA∴PB∥AD∴∠POA＝∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD＝AO，OD＝AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°∵PB∥AD∴∠POA＝∠OAD＝60°∵∠PAO＝90°∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠PAO＝90°∴∠BOC＝∠POA＝60°∵OB＝OC∴∠ACB＝60°∴∠BQC＝∠BAC＝30°∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC∵BC＝OB＝OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ＝AB∵∠OBA＝∠OPA＝30°∴AB＝AP∴BQ＝AP∵PA⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB＝AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ＝AB∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝3．解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵OA＝OB，BE＝DE，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴．∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2×＝12，∴阴影部分面积为S四边形OBEC ﹣S扇形BOC＝12﹣＝12﹣4π．4．解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝AD＝6，∴BC＝2BD＝12，∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC ﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝2，这个圆锥的高h＝＝4．5．（1）证明：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD∥OC，∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，∴∠COB＝∠COD，在△COD和△COB中，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CEB＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠COB＝∠COD，∴∠BOD＝120°，∴的长：＝π．6．（1）证明：连接OD，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．7．（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：∵M是Rt△ABC中AB的中点，∴CM＝AM，∵CM为⊙O的直径，∴∠CNM＝90°，∴MD⊥AC，∴AN＝CN，∵ND＝MN，∴四边形AMCD是菱形．（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，∴∠CEN+∠CMN＝180°，∵∠CEN+∠DEN＝180°，∴∠CMN＝∠DEN，∵四边形AMCD是菱形，∴CD＝CM，∴∠CDM＝∠CMN，∴∠DEN＝∠CDM，∴ND＝NE．（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，∴△MDC∽△EDN，∴，设DN＝x，则MD＝2x，由此得，解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），∴，∵MN为△ABC的中位线，∴BC＝2MN，∴BC＝2．8．证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD ∴∠DAC＝∠ACH∴AD∥CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°∵AD∥CH∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°∴∠CDB＝∠DCH＝45°∴CH＝DH，且∠CHD＝90°∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴，且PB＝PD，∴，AD＝CH，∴∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB∴∴AB＝CD∵AB+CD＝2（+1）∴CD+CD＝2（+1）∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH＝9．（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OAC＝30°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．10．解：（1）∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝72°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°（2）连接AE∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°∴∠AME＝72°∴∠AME＝∠CAE∴AE＝ME（3）连接AB∵∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB∴△AEN∽△BEA∴∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME∴ME2＝BE•NE∵∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°∴∠BAD＝∠BNA＝72°∴BA＝BN，且AE＝ME∴BN＝ME∴BM＝NE∴ME2＝BE•NE＝BM•BE11．解：（1）∵AB＝4，∴OB＝2∵∠COB＝60°，＝＝∴S扇形OBC（2）∵AC平分∠FAB，∴∠FAC＝∠CAO，∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线12．解：（1）如图，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，连接OA，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，在Rt△AOM中，AM＝OA•sin∠AOM＝4×sin60°＝2，∴AE＝2AM＝4．13．解：（1）①当∠AOM＝60°时，∵OM＝OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A＝∠MOA＝60°，∴∠MOD＝30°，∠D＝30°，∴DM＝OM＝10②过点M作MF⊥OA于点F，设AF＝x，∴OF＝10﹣x，∵AM＝12，OA＝OM＝10，由勾股定理可知：122﹣x2＝102﹣（10﹣x）2∴x＝，∴AF＝，∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴，∴，∴AD＝∴MD＝AD﹣AM＝（2）当点M位于之间时，连接BC，∵C是的中点，∴∠B＝45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD＝∠B＝45°，当点M位于之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD＝∠B＝45°综上所述，∠CMD＝45°14．证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．15．证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，∵CD⊥AB，∴＝，∵＝，∴＝，∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF；（2）连接OC交BE于H，如图，∵＝，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，∴BH＝×6＝，∴OH＝＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，而∠HOB＝∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．16．解：（1）如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD，则AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝2+2＝4，∠DOG＝90°，∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD2＝48，在Rt△ABD中，BD＝＝4，在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，则的长度为＝．17．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD；（2）∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴＝，即DE•CE＝AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，则DE•CE＝AE•BE＝（OA﹣OE）（OB+OE）＝r2﹣OE2，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴CE2＝OE2+OC2＝OE2+r2，BC2＝BO2+CO2＝2r2，则BC2﹣CE2＝2r2﹣（OE2+r2）＝r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2＝DE•CE；（3）∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4，∴BC＝＝4，又∵E是半径OA的中点，∴AE＝OE＝2，则CE＝＝＝2，∵BC2﹣CE2＝DE•CE，∴（4）2﹣（2）2＝DE•2，解得：DE＝．18．证明：（1）连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．。

专题三 圆的证明与计算类型一 切线的判定判定某直线是圆的切线.首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点.有半径则证垂直；没有半径.则连接圆心与切点.构造半径证垂直．(2016·黄石)如图.⊙O 的直径为AB.点C 在圆周上(异于A.B).AD⊥CD . (1)若BC ＝3.AB ＝5.求AC 的值；(2)若AC 是∠DAB 的平分线.求证：直线CD 是⊙O 的切线．【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角.利用勾股定理求AC 的长；(2)连接OC.利用AC 是∠DAB 的平分线.证得∠OAC＝∠CAD .再结合半径相等.可得OC∥AD .进而结论得证．1．(2016·六盘水)如图.在⊙O 中.AB 为直径.D.E 为圆上两点.C 为圆外一点.且∠E＋∠C＝90°. (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)若sin A ＝35.BC ＝6.求⊙O 的半径．2．(2017·济宁)如图.已知⊙O 的直径AB ＝12.弦AC ＝10.D 是BC ︵的中点.过点D 作DE⊥AC .交AC 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．类型二 切线的性质已知某条直线是圆的切线.当圆心与切点有线段连接时.直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时.则作辅助线连接圆心与切点.再利用切线的性质解题．(2016·资阳)如图.在⊙O 中.点C 是直径AB 延长线上一点.过点C 作⊙O 的切线.切点为D.连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM 平分∠ACD .且分别交AD.BD 于点M.N.当DM ＝1时.求MN 的长．【分析】 (1)连接OD.由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°.由AB 是直径.可得∠ADB＝90°.进而可得∠A ＋∠ABD＝90°.进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM .即∠DMN＝∠DNM .再根据勾股定理求得MN 的长．3．(2016·南平)如图.PA.PB 是⊙O 切线.A.B 为切点.点C 在PB 上.OC∥AP .CD⊥AP 于点D. (1)求证：OC ＝AD ；(2)若∠P＝50°.⊙O 的半径为 4.求四边形AOCD 的周长(精确到0.1.参考数据sin 50°≈0.77.cos 50°≈0.64.t an 50°≈1.19)．4．(2017·长沙)如图.AB 与⊙O 相切于点C.OA.OB 分别交⊙O 于点D.E.CD ︵＝CE ︵. (1)求证：OA ＝OB ；(2)已知AB ＝4 3.OA ＝4.求阴影部分的面积．类型三 圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合.一般结合切线的判定及性质综合考查.求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等.进而构造相似三角形.利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．(2016·荆门)如图.AB 是⊙O 的直径.AD 是⊙O 的弦.点F 是DA 延长线的一点.AC 平分∠FAB 交⊙O 于点C.过点C 作CE⊥DF .垂足为点E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AE＝1.CE＝2.求⊙O的半径．【分析】 (1)连接CO.证得∠OCA＝∠CAE.由平行线的判定得到OC∥FD.再证得OC⊥CE即可；(2)连接BC.由圆周角定理得到∠BCA＝90°.再证得△ABC∽△ACE.根据相似三角形的性质即可求得半径．5．(2017·德州)如图.已知Rt△ABC.∠C＝90°.D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2.BC＝6.求AE的长．6．(2017·黄冈)如图.已知MN为⊙O的直径.ME是⊙O的弦.MD垂直于过点E的直线DE.垂足为点D.且ME 平分∠DMN.求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)ME2＝MD·MN.7．(2016·丹东)如图.AB是⊙O的直径.点C在AB的延长线上.CD与⊙O相切于点D.CE⊥AD.交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4.DE＝2.求AD的长．参考答案【例1】 (1)∵AB 是⊙O 的直径.点C 在⊙O 上. ∴∠ACB＝90°. ∴AC＝AB 2－BC 2＝4. (2)如图.连接OC.∵AC 平分∠DAB . ∴∠OAC＝∠CAD.∵OA＝OC.∴∠OAC＝∠OCA . ∴∠OCA＝∠CAD . ∴OC∥AD.∵AD⊥CD .∴OC⊥CD.∵OC 是⊙O 的半径.∴直线CD 是⊙O 的切线． 【变式训练】1．(1)证明：∵∠A 与∠E 所对的弧都是BD ︵. ∴∠A＝∠E.∵∠E＋∠C＝90°.∴∠A＋∠C＝90°.∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.即AB⊥BC. ∵AB 是直径.∴BC 为⊙O 的切线． (2)解：∵sin A ＝BC AC ＝35.BC ＝6.∴AC＝10.在Rt △ABC 中.AB ＝AC 2－BC 2＝8.∴AO＝12AB ＝4.即⊙O 的半径是4.2．(1)证明：如图.连接OD.∵D 是BC ︵的中点.∴BD ︵＝DC ︵. ∴∠BOD＝∠BAE .∴OD∥AE.∵DE⊥AC .∴∠AED＝90°.∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE .∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：如图.过点O 作OF⊥AC 于点F.∵AC＝10.∴AF＝CF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°.∴四边形OFED 是矩形. ∴FE＝OD ＝12AB ＝6.∴AE＝AF ＋FE ＝5＋6＝11. 【例2】 (1)如图.连接OD.∵CD 是⊙O 的切线. ∴∠ODC＝90°.∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径. ∴∠ADB＝90°.∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD.∴∠OBD＝∠ODB .∴∠A＋∠ODB＝90°.∴∠A＝∠BDC. (2)∵CM 平分∠ACD .∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC .∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM. 即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°.DM ＝1.∴DN＝DM ＝1.∴MN＝DM 2＋DN 2＝ 2. 【变式训练】3．(1)证明：∵PA 是⊙O 的切线.A 为切点. ∴OA⊥PA .即∠OAD＝90°. ∵OC∥AP .∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°. ∵CD⊥PA .∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°. ∴四边形AOCD 是矩形.∴OC＝AD.(2)解：∵PB 切⊙O 于点B.∴∠OBP＝90°. ∵OC∥AP .∴∠BCO＝∠P＝50°. 在Rt △OBC 中.sin ∠BCO＝OBOC .OB ＝4.∴OC＝4sin 50°≈5.22.∴矩形OADC 的周长为2(OA ＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4. 4．(1)证明：如图.连接OC.∵AB 与⊙O 相切于点C. ∴∠ACO ＝90°. ∵CD ︵＝CE ︵.∴∠AOC＝∠BOC . ∴∠A＝∠B . ∴OA＝OB.(2)解：由(1)可知△OAB 是等腰三角形. ∴BC＝12AB ＝2 3.∴sin ∠COB＝BC OB ＝32.∴∠COB＝60°.∴∠B＝30°.∴OC＝12OB ＝2.∴S 扇形OCE ＝60π×4360＝2π3.S △OCB ＝12×23×2＝2 3.∴S 阴影＝S △OCB －S 扇形OCE ＝23－2π3. 【例3】 (1)如图.连接CO. ∵OA＝OC.∴∠OCA＝∠OAC.∵AC 平分∠FAB .∴∠OAC＝∠FAC . ∴∠OCA＝∠FAC .∴OC∥FD.∵CE⊥FD .∴CE⊥OC.∵OC 是⊙O 的半径.∴CE 是⊙O 的切线． (2)如图.连接BC.在Rt △ACE 中.AC ＝AE 2＋EC 2＝ 5. ∵AB 是⊙O 的直径.∴∠BCA＝90°. ∴∠BCA＝∠CEA.∵∠CAE＝∠BAC .∴△ACE∽△ABC . ∴CA AB ＝AE AC .即5AB ＝15.∴AB＝5. ∴AO＝12AB ＝2.5即⊙O 的半径是2.5.【变式训练】5．(1)证明：如图.连接OE.CE.∵AC 是⊙O 的直径.∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∴ED＝12BC ＝DC.∴∠1＝∠2.∵OE＝OC.∴∠3＝∠4.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.即∠OED＝∠ACD. ∵∠ACD＝90°.∴∠OED＝90°.即OE⊥DE. 又∵E 是⊙O 上一点. ∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：由(1)知∠BEC＝90°.在Rt △BEC 与Rt △BCA 中.∠B 为公共角. ∴△BEC∽△BCA . ∴BE BC ＝BC BA. 即BC 2＝BE·BA.∵AE∶EB＝1∶2.设AE ＝x.则BE ＝2x.BA ＝3x. 又∵BC＝6.∴62＝2x·3x.∴x＝ 6.即AE ＝ 6. 6．证明：(1)∵ME 平分∠DMN .∴∠OME＝∠DME. ∵OM＝OE.∴∠OME＝∠OEM . ∴∠DME＝∠OEM .∴OE∥DM. ∵DM⊥DE .∴OE⊥DE.∵OE 是⊙O 的半径.∴DE 是⊙O 的切线． (2)如图.连接EN.∵DM⊥DE .MN 为⊙O 的直径. ∴∠MDE＝∠MEN＝90°. ∵∠NME＝∠DME . ∴△MDE∽△MEN . ∴ME MD ＝MN ME. ∴ME 2＝MD·MN.7．(1)证明：如图.连接OD.∴∠ODC＝90°.即∠ODB＋∠BDC＝90°.∵AB为⊙O的直径.∴∠ADB＝90°.即∠ODB＋∠ADO＝90°.∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD.∴∠ADO＝∠A.∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE.∴∠E＝90°.∴DB∥EC.∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A.∴∠A＝∠DCE.又∵∠E＝∠E.∴△AEC∽△CED.∴CEDE＝AECE.∴CE2＝DE·AE.即16＝2(2＋AD)．∴AD＝6.。

圆证明1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)当DF：DE＝2：1时，∠BAC的度数为多少？说明理由；2如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（Ⅰ）求证：直线BF是⊙O的切线；（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．3.四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与求则图中阴影部分面积（结果保留π和根号）4.如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D。

（1）求证：AC=CD；（2）若AC=2，AO=，求OD的长度。

CD（1）求证：AD=CD ；（2）若AB=10，cos ∠ABC=53，求tan ∠DBC 的值.． 6如图，OC 平分∠MON ，点A 在射线OC 上，以点A 为圆心，半径为2的⊙A 与OM相切与点B ，连接BA 并延长交⊙A 于点D ，交ON 于点E ．（1）求证：ON 是⊙A 的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．8如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D,点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE 依次交AC于G，交⊙O于H。

（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长。

2018-2019学年中考数学专题复习：圆一、选择题。

1. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25∘，则∠BOD的度数是( )A.25∘B.30∘C.40∘D.50∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70∘，则∠D的度数是( )A.110∘B.90∘C.70∘D.50∘3. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20∘，则∠C的大小等于()A.20∘B.25∘C.40∘D.50∘4. 如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，∠DCB=30∘，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若AB=4，则DE的长为( )A.2B.4C.4√3D.2√35. 如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是劣弧AB上的一点，则∠CPD的度数是( )A.35∘B.40∘C.45∘D.60∘6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40∘，延长AC到点D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=( )A.105∘B.110∘C.130∘D.145∘7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=2√3，则阴影部分的面积为（）A.2πB.πC.π3D.2π38. 已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是（）A.3√3B.9√3C.18√3D.36√3二、填空题。

如图，AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的弦，直径DE⊥BC于点M.若点E在优弧CAB 上,AC=8,BC=6,则EM=________.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70∘，AB=AC则∠ABC________．如图，在⊙O中，CD⊥AB于点E，若∠BAD＝30∘，且BE＝2，则CD＝________．如图Rt△ABC中，∠C=90∘，以BC为直径的⊙O交AB于点E，OD⊥BC交⊙O于点D，DE交BC于点F，点P为CB延长线上的一点，延长PE交AC于点G，PE=PF．下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG // BE；∠A=∠P．其中正确的结论是________.(填写所有正确结论的序号)如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB d的长为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形FAB（阴影部分）的面积为________．如图，在圆心角为90∘的扇形OAB中，半径OA=4，C为AB^的中点，D，E分别为OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题。

2019届初三数学中考复习 圆的相关证明及计算 专题训练题1. 若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( ) A ．3 B ．9 C ．2 3 D ．3 22. 如图，在矩形ABCD 中，CD ＝1，∠DBC ＝30°.若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在DC 延长线上的点E 处，点D 经过的路径DE ︵，则图中阴影部分的面积是( )A.π3－ 3B.π3－32C.π2－ 3D.π2－323. 如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是( )A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π4. 如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )A ．288°B ．144°C ．216°D ．120°5. 如图，用一张半径为24 cm 的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果圆锥形帽子的底面半径为10 cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．240πcm 2B ．480πcm 2C ．1200πcm 2D ．2400πcm 26. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD ︵交OB 于点D.若OA ＝2，则阴影部分的面积为__________．7. 如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于______．8. 如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD ，弧DE 、弧EF 的圆心依次是A ，B ，C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是_________．9. 在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是10. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为11. 如图，用一个半径为30 cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为 cm.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别于与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.(1) 求证：DF是⊙O的切线；(2) 若⊙O的半径为2，BC＝22，求DF的长．13. 如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积14. 如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.(1) 求证：BC是⊙O的切线；(2) 若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．15. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.(1) 求证：DE 是⊙O 的切线； (2) 若OF ＝2，求AC 的长度．16. 如图，AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E (1) 求证：BD ＝BE ；(2) 若DE ＝2，BD ＝5，求CE 的长．17. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1) 求证：PO平分∠APC；(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥A C.18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若AB＝10，AE＝8，求BF的长．19. 现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm ，小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数．参考答案： 1---5 DBBAA 6. π12＋327. 5π 8. 4π 9. 2π 10. 3 3 11. 1012.(1) 证明：连接OD ，如解图，∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB，∵AB ＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB， ∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ， ∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：连接AD ，如解图，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又∵AB＝AC ，∴BD ＝DC ＝2， ∴AD ＝AB 2－BD 2＝42－（2）2＝14， ∵DF ⊥AC ，∴△ADC∽△DFC， ∴AD DF ＝AC DC ，∴14DF ＝42，∴DF ＝72. 13. 解：在△AOC 和△BOD 中，∵OC ＝OD ，AC ＝BD ，OA ＝OB ，∴△AOC ≌△BOD ，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COD ＝14π(OA 2－OC 2)＝14π×(652－152)＝1000π(cm 2)14. (1) 证明：连接OB ，如解图所示，∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE ⊥BD ，BF ︵＝DF ︵＝12BD ︵，∴∠BOE ＝∠BAD，∠OBE ＋∠BOE＝90°，∵∠DBC ＝∠BAD，∴∠BOE ＝∠DBC， ∴∠OBE ＋∠DBC＝90°，∴∠OBC ＝90°， 即BC⊥OB，∴BC 是⊙O 的切线；(2) 解：∵OB＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，∴OC ＝OB 2＋BC 2＝10， ∵S △OBC ＝12OC·BE＝12OB·BC，∴BE ＝OB·BC OC ＝6×810＝4.8，∴BD ＝2BE ＝9.6，即弦BD 的长为9.6. 15.图①(1)证明：如解图①，连接OD 、AD ， ∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DA C ， ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA， ∴∠DAC ＝∠ODA，∴OD ∥AE ， ∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°， ∴∠AED ＝∠ODE＝90°， ∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；图②(2) 解：如解图②，连接BC ，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，∵∠DFO＝∠ACB＝90°，∴△DFO∽△BCA，∴OFAC＝ODAB＝12，即2AC＝12，∴AC＝4.16. (1) 证明：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－2α，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE；(2) 解：设AD交⊙O于点F，CE＝x，则AC＝2x，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，∴FE ＝FD ＝1，∵BD ＝5，∴BF ＝2，∵∠BAD ＋∠D＝90°，∠D ＋∠FBD＝90°，∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tan α＝FD BF ＝12， ∴AB ＝BF sin α＝255＝25， 在Rt △ABC 中，由勾股定理可知(2x)2＋(x ＋5)2＝(25)2，∴解得x ＝－5(舍去)或x ＝355，∴CE ＝355. 17. 证明：(1) 如解图，连接OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC；(2) ∵OA⊥AP，OB ⊥BP ，∴∠CAP ＝∠OBP＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－30°＝60°，∵PO 平分∠APC，∴∠OPC ＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP ＝∠C，∴DB ∥AC.18. 解：(1) 如解图，连接OD 、AD ，∵DE 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DE ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点，又∵O 是AB 中点，∴OD ∥AC ，∴DE ⊥AC ；(2) ∵AB＝10，∴OB ＝OD ＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODE ∽△AEF ，∴OD AE ＝OF AF ＝BF ＋OB BF ＋AB ，设BF ＝x ，AE ＝8，∴58＝x ＋5x ＋10，解得：x ＝103，经检验x ＝103是原分式方程的根，且符合题意，∴BF ＝10319. 解：∵圆锥的母线长为40，底面半径为10，∴圆锥展开图的圆心角＝2040×180°＝90°，∴剪去扇形纸片的圆心角度数＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°。

圆的证明与计算题类型一与全等三角形有关1.如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE 于点F.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BC＝10，AB＝16，求OF的长．第1题图(1)证明：∵OC⊥AB，AB∥CD，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BO.设OB＝x，∵AB＝16，OC⊥AB，∴HA＝BH＝8，∵BC＝10，∴CH＝6，∴OH＝x－6.在Rt△BHO中，∵OH 2＋BH 2＝OB 2，∴(x -6)2＋82＝x 2，解得x ＝253， ∵CB ∥AE ，∴∠CBH ＝∠F AH ， 在△CHB 和△FHA 中，∴△CHB ≌△FHA ，∴CH ＝HF ， ∴CF ＝2CH ＝12，∴OF ＝CF －OC ＝12－253＝113.第1题解图2.已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，DE ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于点D ，B 点在⊙O 上，连接OB . (1)求证：DE ＝OE ；(2)若CD ∥AB ，求证：四边形ABCD 是菱形．第2题图证明：(1)如解图，连接OD ，第2题解图∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ， ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD ＝90°， 又∵DE ＝EC ，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠COD ，∴DE ＝OE ； (2)∵OD ＝OE ，∴OD ＝DE ＝OE ， ∴∠3＝∠COD ＝∠DEO ＝60°， ∴∠2＝∠1＝30°，∵OA ＝OB ＝OE ，OE ＝DE ＝EC ， ∴OA ＝OB ＝DE ＝EC ， ∵CD ∥AB ，∴∠4＝∠1， ∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA ＝30°， ∴△ABO ≌△CDE (AAS)， ∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵∠DAE ＝12∠DOE ＝30°， ∴∠1＝∠DAE ，∴CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F . (1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长； (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第3题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π.第3题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，在△DOE 与△COE 中，∵∴△DOE ≌△COE (SSS) ，∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线； (3)证明：∵△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，DE ＝CE ， ∴点F 是线段CD 的中点，∵点E 是线段AC 的中点，则EF ＝12AD ， 在△ACD 与△ABC 中，＝＝ ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝ADAC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ， 即4CE 2＝AB ·2EF ， ∴2CE 2＝AB ·EF .类型二 与相似三角形有关4.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E . (1)求证：∠BDC ＝∠A ；(2)若CE＝23，DE＝2，求AD的长．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A;第4题解图(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴CEDE ＝AECE，∴EC2＝DE·AE，∴(23)2＝2(2＋AD)，∴AD＝4.5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD 是⊙O的切线，AD与BC相交于点E.第5题图(1)求证：BD＝BE；(2)若DE＝2，BD＝5，求CE的长．(1)证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＋∠D＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠CEA＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAE＝∠DAB，∴∠CEA＝∠D.∵∠CEA＝∠DEB，∴∠D＝∠DEB，∴BD ＝BE ；(2)解：如解图，设AD 与⊙O 交于点F ，连接BF ，第5题解图∵BD ＝BE ，BF ⊥AD ， ∴DF ＝EF ＝1，BE ＝BD ＝5， 在Rt △BDF 中，由勾股定理得BF ＝2. ∵∠DFB ＝90°， ∴∠D ＋∠DBF ＝90°， ∵∠D ＋∠DAB ＝90°， ∴∠DBF ＝∠DAB ， ∵∠D ＝∠D ， ∴△DBF ∽△DAB ， ∴DB DF ＝DA DB ， ∴DB 2＝DF ·DA ，即(5)2＝1·DA ，解得DA ＝5， ∴AE ＝DA －DE ＝3.∵∠C ＝∠BFE ，∠AEC ＝∠BEF ， ∴△AEC ∽△BEF ，∴AE BE ＝CE FE ，即35＝CE 1，解得CE ＝355.6.如图，P A 与以AC 为直径的圆相切于点A ，PBC 为割线，∠APC 的平分线交AB 于点D ，交AC 于点E . 求证:(1)AD ＝AE ； (2) AB ·AE ＝AC ·DB .第6题图证明：(1)∵P A 为圆的切线，AC 为直径， ∴∠P AE =∠ABC=90°，∴∠P AD+∠BAC=∠C+∠BAC=90°， ∴∠P AD =∠C ， ∵PE 平分∠APC ， ∴∠APD ＝∠CPE ，∵∠ADE ＝∠APD ＋∠P AD ，∠AED ＝∠CPE ＋∠C ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ; (2)∵∠APB ＝∠CP A ，∠P AB ＝∠C ， ∴△APB ∽△CP A ，得AB CA ＝PB P A .∵∠APE ＝∠BPD ， ∠AED ＝∠ADE ＝∠PDB ， ∴△PBD ∽△P AE ， 得PB P A ＝DB EA . ∴AB AC ＝DB AE . ∴AB ·AE ＝AC ·DB .7.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ;(3)在(2)的条件下，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠EBA ＝90°， ∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠EBA ＋∠CBE ＝90°，∴CB ⊥AB ， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)证明：∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝∠DEA ， ∴∠DEA ＝∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ， ∴DE DB ＝DF DE ， ∴DE 2＝DF ·DB ；(3)解：如解图，连接DO ，第7题解图∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵∠EBD ＝∠OBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ，∴PD PE ＝PO PB ，∵P A ＝AO ，∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝23，∴PD PE ＝23， ∴PD PD ＋DE＝23， ∵DE ＝2，∴PD ＝4.类型三 与锐角三角函数有关8.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD 、DE . (1)若AD AB ＝13，求sin C ; (2)求证：DE 是⊙O 的切线．第8题图(1) 解：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°， 又∵∠ABC ＝90°，∠A 为公共角， ∴△ABD ∽△ACB ， ∴AB AC ＝AD AB ＝13，在Rt △ABC 中，sin C ＝AB AC ＝13;(2)证明:如解图，连接OD ，由(1)知，∠ADB ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴△BCD 是直角三角形．∵E是△BCD斜边BC的中点，∴DE是斜边BC上的中线，∴BE＝DE＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＋∠DBE＝∠ODB＋∠BDE，即∠OBC＝∠ODE.∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD为圆O的半径，∴DE是圆O的切线．第8题解图9.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC 于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.第9题图(1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE 2＝EH ·EA ；(3)若⊙O 的半径为52，sin A ＝35，求BH 的长． (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ， ∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°， ∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°，∴BD ⊥OB ， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：如解图①，连接AC ，第9题解图①∵OF ⊥BC ，∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠CAE ＝∠ECB ， ∵∠CEA ＝∠HEC ，∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE AE ＝EH EC ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：如解图②，连接BE ，第9题解图②∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为52，sin ∠BAE ＝35， ∴AB ＝5，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝5×35＝3， ∴在Rt △ABE 中，EA ＝AB 2－BE 2＝4，∵BE ︵＝CE ︵，∴BE ＝CE ＝3， ∵CE 2＝EH ·EA ，∴EH ＝94，∴在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝32＋（94）2＝154.10.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC ，过BD ︵上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE . (1)求证：△ECF ∽△GCE ； (2)求证：EG 是⊙O 的切线；(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝34，AH ＝33，求EM 的值．第10题图(1) 证明：∵AC ∥EG ， ∴∠G ＝∠ACG ， ∵AB ⊥CD ，∴AD ︵＝AC ︵， ∴∠CEF ＝∠ACD ， ∴∠G ＝∠CEF ， ∵∠ECF ＝∠ECG ， ∴△ECF ∽△GCE ； (2)证明：如解图，连接OE ， ∵FG ＝EG ，∴∠GFE ＝∠GEF ＝∠AFH ， ∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵∠AFH ＋∠F AH ＝90°， ∴∠GEF ＋∠AEO ＝90°， ∴∠GEO ＝90°，即GE ⊥OE ， 又∵OE 是⊙O 的半径， ∴EG 是⊙O 的切线；第10题解图(3)解：如解图，连接OC ，设⊙O 的半径为r .在Rt △AHC 中，AH ＝33，tan ∠ACH ＝tan ∠G ＝AH HC ＝34， ∴HC ＝43，在Rt △HOC 中，OC ＝r ， OH ＝r －33，∴(r －33)2＋(43)2＝r 2， 解得r ＝2536，∵EG ∥AC ，∴∠CAH ＝∠M ， ∵∠OEM ＝∠AHC ， ∴△AHC ∽△MEO ， ∴AH EM ＝HC OE ，∴33EM ＝432536，253∴EM＝8.。

中考数学习题精选：圆的有关计算与证明解答题1.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm，求AF、BD、CE的长？2.如图，在4×4 的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形OAB 的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）．3.如图,直线y=与x轴、y 轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P 与y轴相切于点O.若将圆P沿x 轴向左移动,当圆P与该直线相交时,求横坐标为整数的点P的个数.4.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF 的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= BF．5.如图，△在ABC中，BE 是它的角平分线，∠C=90°，点D 在AB边上，以DB为直径的半圆O 经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积6.如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．（1）求证：．（2）已知，若△是外接圆的直径，，求的长．7.已知：如图，△在ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，△求DPE的面积．8.如图，AB是半圆O的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O 的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD 的长．9.如图1，在正方形ABCD 中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD 于点E，连接OA、OE．（1）求证：AO⊥EO；（2）如图2，连接DF 并延长交BC于点M，求的值．10.如图，AD 是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD 于点D．连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．11.如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP 交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；12.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC 于E，连接AD．（1）求证△：CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE//BC 交⊙O 于点E，连接BE 交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x 轴相切于点B.图①图②（1）当x＞0，y=5时，求x的值；（2）当x =6 时，求⊙P的半径；（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.15.如图△，OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA 的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．16.如图，△在ABC中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC于点E，过点E 作BE的垂线交AB 于点F，⊙O△是BEF 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF 及AF长．17.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB 的长；（2）求⊙O的半径．18.如图，△在ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA 为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE 的长．19.如图，AB 为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.（1）求∠A的度数；（2）若点F在⊙O 上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积.20.如图，在 △R t ABC 中，∠C=90°，点 D ，E ，F 分别在 AC ，BC ，AB 边上，以 AF 为直径的⊙O 恰好经过 D ， E ，且 DE=EF ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若∠B=40°，求∠CDE 的度数；（3）若 CD=2，CE=4，求⊙O 的半径及线段 BE 的长．21.如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、 ，一次函数的图像经过点 ，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点.（1）求（2）求的值及点长及的坐标；的大小；（3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离.参考答案解答题1.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC ，CA ，AB 分别相切于点 D 、E 、F ， ∴AF=AE ，BF=BD ，CD=CE ．设 AF=AE=x ，则 BF=BD=11﹣x ，EC=DC=15﹣x ．根据题意得 11﹣x+15﹣x=16．解得；x=5cm ．∴AF=5cm ．BD=11﹣x=11﹣5=6cm ，EC=15﹣x=10cm ．∴AF=5cm ，BD=6cm ，EC=10cm ．2.解：由图形可知，∠AOB=90°，∴OA=OB==2，∴= =，扇形 OAB 的面积= =2π．弧 AB 的长是：= π∴周长=弧 AB 的长+2OA=π+4综上所述，扇形 OAB 的弧长是．π，周长是π+4，面积是 2π．3.解:∵直线 y=与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,∴A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐标为(0,),∴AB=2.如图,将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切于 C 时,连结 P C ,则 P C =1,易 △知AP C ∽△ABO,∴=,∴AP =2,∴P 的坐标为(-1,0),同理可得 P 的坐标为(-5,0).-5 与-1 之间的整数(不含-5 和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点 P 的个数是 31 1 1 1 1 1 1 1 1 24.证明：连接OA，交BF 于点E，∵A是弧BF 的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD△与OBE中，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF5. （1）证明：连结OE，[MISSING IMAGE:,]∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠AOE，又∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A+∠AOE=90°，∵∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O 的切线.，（2）解：连结 OF ， ∵sinA= ,∴∠A=30°，由（1）知 OE ⊥AC ，∴∠AOE=∠ABC=60°， ∵⊙O 半径为 3，∴OD=OE=OF=OB=BF=3，∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°, ∴S= 扇形在 △R t AOE 中，，∴AO=6，AE=3在 △R tACB 中，，∴AB=9，BC= ， AC=∴CE=AC-AE=-3，， CF=BC-BF= -3= ，∴S= ==梯形，∴S =S-S=阴梯形扇形6.（1）解：∵四边形 ∴∵-.内接于圆，，，∴∵△是，的外角平分线，∴∴又∵∴，，，，（2）解：由（ ）得，OEFOFCEOFCE OEF又∵，∴△∴∽△，，∴，∴又∵∴∵，，，是直径，，∴，∴BD=又∵∠D=∠D，∴△DBF∽△DAC，，∴∴，CD=24，解得：CD=.7.（1）解：∵AB 是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O 中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD 所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在 △R tABD 中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴ ，∴∠BEP=∠EDB ，∴△BPE ∽△BED ，∴ ∴BP=，，∴DP=BD-BP=，∴ ： =DP ：BP=13：32，∵ △S BCD= × ×3 =15， ：=BE ：BC=4：5，∴ △S BDE=12，∴ △S DPE=．8.（1）证明：∵AB 是半圆 O 的直径∴∠D=90°∴∠A+∠DBA=90°∵∠DBC=∠A∴∠DBC+∠DBA=90°∴BC ⊥AB∴BC 是半圆 O 的切线（2）解：∠BEC=∠D=90∘，∵BD ⊥AD ，BD=6，∴BE=DE=3， △S DPE △S BPE△S BDE △S BCD∵∠DBC=∠A，∴△BCE∽△BAD，∴，即∴AD=4.59.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，∴AB和CD 为⊙O的切线，∵AE切半圆于点F，∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，而AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC=180°，∴∠OAE+∠OEA=90°，∴∠AOE=90°，∴OA⊥OE（2）解：作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，则AF=AB=4a，OB=OC=2a，∵∠AOE=90°，∴∠AOB+∠COE=90°，∵∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠EOC，∴△R tABO∽△R t OCE，∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，∴EF=EC=a，∴EA=5a，ED=3a，∵FH∥AD，∴△EFH∽△EAD，∴==，即==，∴FH=a，EH=a，∴DH=3a﹣∴CH=4a﹣∵FH∥CM，a=a，a=a，∴==．10.（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在△R tAMC 中，AM==6，设⊙O 的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在△R t OCM中，2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，OM2+CM2=OC∴CE=2r=，OM=6﹣=，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴△R t PCM∽△R t CEB，∴=，即=，∴PC=．11.（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O 上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC===3，∴在△R t OCB中，OB=∴∠COB=60°，==6，tan∠COB==，∴△SOPB=×OP×BC=×=18，S扇DOB==6π，∴S阴影△=SOPB﹣S扇DOB=18﹣6π；②若点E 是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE=．3﹣3或3 +312.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O 的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在△R t AOC 中，AC=2∴OC=，=3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即=．∴CE=∴AE=AC﹣CE=2﹣==，．13.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE//BC，∴OE⊥AC，∴=，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC（2）解：∵BD 是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=90°，BH=BD=2，∴∠CBD=∠2，∴∠1=∠2=∠CBD，∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，∵∠ABD=90°，∴AB=2，OB=，∵OD2=OB2+BD．∴OD=2，14.（1）解: 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB，∵圆P与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=5，由AP=PB，由勾股定理得，x=2+=2+4=6，∴x=6（2）解: 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB，∵圆P 与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=5，则圆P的半径为5（3）解:同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2 ，整理得：=，即图象为抛物线，画出函数图象，如图②所示；15.（1）证明：连OC，如图，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，∴OA=2OC=2r，∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=∴∠AOB=120°，AB=2r ，r ，∴S 阴影部分 △=S OAB﹣S 扇形 ODE •OC •AB ﹣=﹣ ， ∴•r •2 r ﹣ r 2=﹣ ， ∴r=1，即⊙O 的半径 r 为 116. （1）证明：如图，连接OE ． ∵BE ⊥EF ，∴∠BEF=90°，∴BF 是圆 O 的直径．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ，∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；（2）证明：如图，连结 DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于 C ，EH ⊥AB 于 H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ． =在△CDE△与HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在△R t HFE 中，EF=∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，=，∴=，即=，∴BF=10，∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4，∴△R tOHE中，cos∠EOA=∴△R t EOA 中，cos∠EOA=，=，∴∴OA=∴AF==，，﹣5=17.（1）解：∵∴，在中∴∴∵,∴∵是∴∴（2）解：∵∴∵,∴∵的直径，是,.，的半径，,∴又∵∴∴即的半径是18.（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在△R tBDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=∴∠C=∠CDE，BC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD 为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB 的中点，∴OE△是ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE（3）解：∵cos∠BAD=∴sin∠BAC==，，又∵BE=∴AC=，E是BC的中点，即BC=．，又∵AC=2OE，∴OE=AC=19.（1）解：连接OC，∵CD切⊙O于点C∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°；（2）解：∵CF ⊥直径 AB ，CF=4∴CE=2∴在 △R t OCE 中，tan ∠COE=，OE=∴OC=2OE=4=2，∴S =扇形， △S EOC ×2×2 =2 ∴S =S 阴影 扇形 BOC △-S EOC-2 ．20.（1）证明：连接 OD 、OE 、DF ，如图，∵AF 为直径，∴∠ADF=90°，而∠C=90°，∴DF ∥BC ，∵DE=EF ，∴=∴OE ⊥DF ，∴OE ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°，BOC = =∴∠OFE=（180°﹣50°）=65°，∴∠CDE=∠AFE=65°（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O 的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在△R tOHD中，（r﹣2）2，解得r=5，2+42=r∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，∵HF∥BE，∴△OHF∽△OEB，∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，∴BE=21.（1）解：如图1中，连接AC、AB．∵⊙A 与x轴、y轴相切于点B、C，∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m），∵点A在y=上，∴m2=3，∵m＞0，∴点A坐标（，），∴OC=，∴点C坐标（0，），∵一次函数y=x+b的图象经过点C，∴b=，∴一次函数的解析式为y=，令y=0得x=-3，∴D（-3，0），b=（2）解：如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在△R t DOC 中，∵tan∠CDO=，∴∠CDO=30°，∵AC∥BD，∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，∵AM⊥CE，∴∠CAM=∠EAM=60°，∴∠CAE=120°，在△R tAMC 中，CM=AC•cos30°=（3）解：如图3中，，∴CE=2CM=3，∴∠CBE=∠CAE=60°①当⊙A″与直线y=∵AB∥OC，相切于点E，AB与直线CD交于点K，∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在△R tA″EK中，A″E= AK=CA•tan30°=1，∴AA″=A″K+AK=1+2=3，∴⊙A 向上平移3的单位⊙A与y轴及直线y=，A″K=A″E÷cos30°=2，在△R tCKA中，均相切．②同理可得⊙A 向下平移1个单位⊙A与y轴及直线y=均相切。

圆的相关证明与计算类型一角平分线模型★1.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是BC ︵的中点，过点D 作EF ⊥AC 的延长线于E ，交AB 的延长线于F .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若sin ∠F ＝13，AE ＝4，求⊙O 的半径和AC 的长.第1题图(1)证明：如解图，连接OD ，OC . ∵D 是BC ︵的中点， ∴∠BOD ＝12∠BOC ，∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA ∵∠A ＝12∠BOC ，∴∠BOD ＝∠A ，第1题解图 ∴OD ∥AC ， ∵EF ⊥AC ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：在△AEF 中，∵∠E ＝90°， sinF ＝13，AE ＝4， ∴AF ＝AEsinF ＝12.设⊙O 的半径为R ，则OD ＝OA ＝OB ＝R ，AB ＝2R . 在△ODF 中，∵∠ODF ＝90°，sinF ＝OD OF ＝13， ∴OF ＝3OD ＝3R ， ∵OF ＋OA ＝AF ， ∴3R ＋R ＝12，解得R ＝3. 连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠E ＝90°， ∴BC ∥EF ， ∴AC AE ＝AB AF ， ∴AC 4＝2R 4R ， ∴AC ＝2.★2.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）当BD ＝6，AB ＝10时，求⊙O 的半径. 解：(1) AC 与⊙O 相切． 理由如下：连接OE .如解图，第2题图 ∵BE 平分∠ABD . ∴∠OBE ＝∠DBE ， ∵OE ＝OB ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ，∴OE ∥BD ，∵AB ＝BC ，D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ，∴OE ⊥AC ， ∴AC 与⊙O 相切；第2题解图 (2)设⊙O 半径为r .则AO ＝10－r ， 由(1)知，OE ∥BD ， ∴△AOE ∽△ABD ， ∴AO AB ＝OEBD ，即10－r 10＝r 6， ∴r ＝154， 即⊙O 半径是154.★3.如图，AB 为⊙O 的直径，D 、T 是圆上的两点，且AT 平分∠BAD ，过点T 作AD 延长线的垂线PQ ，垂足为C .（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE＝3，求弦AD的长.第3题图(1)证明：连接OT，如解图①所示，∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA，∵AT平分∠BAD，∴∠OAT＝∠CAT，第3题解图①∴∠OTA＝∠CAT，∴OT∥AC，∵PQ⊥AC，∴PQ⊥OT，又∵OT是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线；(2)解：如解图②所示，第3题解图②∵OE⊥AD，∴AE＝DE，∠AEO＝90°，∴AE＝OA2－OE2＝22－（3）2＝1，∴AD＝2AE＝2.★4.如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E.第4题图（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE＝4 cm，AE＝2 cm，求⊙O的半径.(1)证明：如解图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，又∵DE⊥EF，∴OD∥EF，第4题解图∴∠ODA＝∠DAE，∴∠DAE＝∠OAD，即AD平分∠CAE；(2)解：如解图，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED＝∠ADC＝90°，由(1)知：∠DAE＝∠OAD，∴△ADC∽△AED，∴ADAE＝ACAD，在Rt△ADE中，DE＝4 cm，AE＝2 cm，∴AD＝DE2＋AE2＝2 5 cm，∴252＝AC25，∴AC＝10 cm，∴⊙O的半径是5 cm.★5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．第5题图(1)证明：如解图，连接OD，∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥P D. 第5题解图又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC ＝DB ＝5 2. ∵△PBD ∽△DCA ， ∴PB DC ＝BD CA ，∴PB ＝DC·BD CA ＝52·528＝254. 类型二双切线模型★1.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，点E 在BC 边上，且满足EB ＝ED .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)连接AE ，若∠C ＝45°，AB ＝102，求sin ∠CAE 的值．第1题图(1)证明：如解图①，连接OD ，OE .在△ODE 和△OBE 中， OD =OBDE =BE OE =OE，∴△ODE ≌△OBE (SSS)， 又∵∠OBE ＝90°，第1题解图① ∴∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥DE ，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图②，过点E作EF⊥AC于点F，连接BD. 在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴∠CAB＝45°，∵AB＝102，∴BC＝10 2.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.又∵在△CBD中，∠C＝45°，第1题解图②∴∠DBC＝90°－45°＝45°，∴∠DBC＝∠C，∴DC＝DB，∵EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴∠DEB＝90°，∴DE⊥BC，∴EB＝EC＝12BC＝5 2.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋EB2＝（102）2＋（52）2＝510，∴EF＝22EC＝5，∴在Rt △AFE 中，sin ∠CAE ＝EF AE ＝5510＝1010.★2.如图，∠OP A ＝12∠APB ，⊙O 与P A 相切于点C .（1）求证：直线PB 与⊙O 相切；（2）PO 的延长线与⊙O 相交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC ＝4，求CE 的长.第2题图(1)证明：如解图，连接OC ，作OD ⊥PB 于D 点． ∵⊙O 与P A 相切于点C ， ∴OC ⊥P A .∵点O 在∠APB 的平分线上， OC ⊥P A ，OD ⊥PB ，∴OD ＝OC ，即OD 为⊙O 的半径， ∴直线PB 与⊙O 相切；(2)解：如解图，设PO 交⊙O 于点F ，连接CF .∵OC ＝3，PC ＝4， ∴PO ＝5，PE ＝8. ∵⊙O 与P A 相切于点C ，∴∠PCF ＋∠FCO ＝∠FCO ＋∠OCE ， 又∵∠E ＝∠OCE ，第2题解图∴∠PCF ＝∠E . 又∵∠CPF ＝∠EPC ， ∴△PCF ∽△PEC ，∴CF ∶EC ＝PC ∶PE ＝4∶8＝1∶2. ∵EF 是直径， ∴∠ECF ＝90°.设CF ＝x ，则EC ＝2x ， 则x 2＋(2x )2＝62，解得x ＝655，则CE ＝2x ＝125 5.★3.如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠APB ＝60°，连接PO 并延长，与⊙O 交于点C ，连接AC ，BC .（1）求证：四边形ACBP 是菱形； （2）若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积.第3题图解：(1)如解图，连接OA ，OB .∵P A 、PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，AP ＝BP ， ∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB 第3题解图＝12×60°＝30°， 又∵∠P AO ＝90°，∴∠AOP ＝90°－∠APO ＝90°－30°＝60°，又∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ＝12∠AOP ＝12×60°＝30°， ∴∠ACO ＝∠APO ，AC ＝AP ， 同理，BC ＝BP ， 又∵AP ＝BP ，∴AC ＝AP ＝BP ＝BC ，∴四边形ACBP 是菱形； (2)过点A 作AE ⊥BP ，垂足为E ， 在Rt △P AO 中，∠APO ＝30°， ∴OP ＝2AO ＝2×1＝2， ∴BP ＝AP ＝PO 2－AO 2＝22－12＝3，在Rt △APE 中，∠APE ＝60°，sin ∠APE ＝AE AP ， ∴AE ＝AP ·sin ∠APE ＝32， ∴S 菱形ACBP ＝BP ·AE ＝3×32＝332.★4.如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连接OD .（1）求证：△ADO ∽△ACB ；（2）若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC .第4题图(1)证明：∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，在Rt△ACB与Rt△ADO中，∵∠ACB＝∠ADO＝90°，∠BAC＝∠OAD，∴△ADO∽△ACB；(2)证明：∵△ADO∽△ACB，∴ADAC＝ODBC，∵OD＝1，∴ADAC＝1BC，即AC＝AD·BC.★5.如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，连接OP 交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB.（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC＝9，AB＝63，求图中阴影部分的面积.第5题图(1)证明：连接OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP 垂直平分AB ， ∴AP ＝BP ，又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ， ∴△APO ≌△BPO (SSS ), ∵P A 切⊙O 于点A ， ∴AP ⊥OA ，第5题解图 ∴∠P AO ＝90°， ∴∠PBO ＝∠P AO ＝90°， ∴OB ⊥BP , 又∵点B 在⊙O 上， ∴PB 与⊙O 相切于点B ；(2)解：∵OP ⊥AB ，OP 经过圆心O ， ∴BC ＝12AB ＝33， ∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC ＋∠OBC ＝∠OBC ＋∠BOC ＝90°， ∴∠PBC ＝∠BOC ， ∵∠PCB ＝∠BCO ＝90°， ∴△PBC ∽△BOC ， ∴BC OC ＝PC BC ，∴OC ＝BC·BC PC ＝33×339＝3，∴在Rt △OCB 中，OB ＝OC2＋BC2＝6，tan ∠COB ＝BCOC ＝3，∴∠COB ＝60°，PB ＝OP ·sin 60°＝6 3∴S △OPB ＝12PB ·BO ＝183，S 扇形DOB ＝60π·62360＝6π， ∴S 阴影＝S △OPB －S 扇形DOB ＝183－6π. 类型三弦切角模型★1.如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB 垂直于CD ，垂足为H ，∠EAD ＝∠HAD .(1)求证：AE 为⊙O 的切线；(2)延长AE 与CD 的延长线交于点P ，过D 作DE ⊥AP ，垂足为E ，已知P A ＝2，PD ＝1，求⊙O 的半径和DE 的长．第1题图(1)证明：如解图，连接OA ， ∵AB ⊥CD ， ∴∠AHD ＝90°， ∴∠HAD ＋∠ODA ＝90°.∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ODA .又∵∠EAD ＝∠HAD ，第1题解图∴∠EAD ＋∠OAD ＝∠HAD ＋∠ODA ＝90°，∴OA ⊥AE .又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AE 为⊙O 的切线； (2)解：设⊙O 的半径为x ， 在Rt △AOP 中， OA 2＋AP 2＝OP 2， 即x 2＋22＝(x ＋1)2， 解得：x ＝32， ∴⊙O 的半径为32. ∵DE ⊥AP ，OA ⊥AP ， ∴OA ∥DE ， ∴△PED ∽△P AO ， ∴DP OP ＝DE OA ，即DP OD ＋DP＝DE OA ，152＝DE 32. 解得DE ＝35.★2.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 在⊙O 上，且AE ︵＝BE ︵，连接BD ，∠CBD ＝∠CA B.(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠AED ＝12，AE ＝32，求BC 的长及图中阴影部分的面积．第2题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠ABD ＝90°， 又∵∠CBD ＝∠CAB ， ∴∠CBD ＋∠ABD ＝90°， 即∠ABC ＝90°， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OE ，OD ，∵AE ︵＝BE ︵，且AB 为⊙O 的直径， ∴∠AOE ＝90°， ∵AE ＝32，第2题解图∴OA ＝OE ＝32×sin45°＝32×22＝3，∴AB ＝6， 又∵sin ∠AED ＝12， ∴∠AED ＝30°∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠BOD ＝2∠BAC ＝120°， ∴BC ＝AB ·tan60°＝6×3＝63， AD ＝AB ·sin30°＝6×12＝3， BD ＝AB ·cos30°＝6×32＝33， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×6×63＝183， S △ABD ＝12AD ·BD ＝12×3×33＝932， 如解图，过点O 作OF ⊥BD 交BD 于点F ， 则OF ＝OB ·sin30°＝3×12＝32， S 弓形BD ＝S 扇形BOD －S △OBD ＝120π×32360－12×33×32 ＝3π－934，∴S 阴影＝S △ABC －S △ABD －S 弓形BD ＝183－932－(3π－934) ＝6334－3π. 类型四创新题推荐★1.如图，⊙O 的直径AB ＝4，∠BAC ＝30°，AC 交⊙O 于点D ，D 是AC 的中点．(1)过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线；︵与线段DE，BE围成的阴影部分的面积．(2)求BD第1题图(1)证明：如解图，连接OD，∵D是AC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥BC，则∠EDO＝∠CED，又∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠EDO＝∠CED＝90°，∴OD⊥DE，第1题解图∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝30°，AB＝4，∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠ODB＝∠BOD＝60°，OB ＝OD ＝BD ＝2， ∵∠EDO ＝90°， ∴∠BDE ＝30°，∴在Rt △BDE 中，BE ＝1，DE ＝3，∴S 阴影＝S 四边形ODEB －S 扇形OBD ＝（1＋2）×32－60π×22360＝332－2π3. ★2.如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是直径，BC ＝BA ，在∠ACB 的内部作∠ACF ＝30°，且CF ＝CA ，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，连接BF .(1)若CF 交⊙O 于点G ，⊙O 的半径是4，求AG ︵的长； (2)请判断直线BF 与⊙O 的位置关系，并说明理由．第2题图解：(1)如解图，连接OG ， ∵∠ACF ＝30°，∴∠AOG ＝2∠ACF ＝60°， ∵⊙O 的半径是4， ∴l AG ︵＝n πr 180＝60π×4180＝43π；第2题解图(2)直线BF 与⊙O 相切，理由如下： 如解图，连接OB ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，∵BC＝BA，OC＝OA，∴BO＝12AC，BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵FH⊥AC，∴∠FHC＝∠BOC＝90°，∴BO∥FH，∵在Rt△FHC中，∠ACF＝30°，∴FH＝12CF，∵BO＝12AC，CF＝CA，∴BO＝FH，∵BO∥FH，∴四边形BOHF是平行四边形．∵∠FHC＝90°，∴平行四边形BOHF是矩形，∴∠FBO＝90°，∴OB⊥BF，∵OB是⊙O的半径，∴直线BF与⊙O相切．★3.如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证：DB ＝DE;(2)若AB ＝12，BD ＝5，求⊙O 的半径．(1)证明：∵CD ⊥OA ，∴∠1＋∠3＝90°.∵BD 为⊙O 的切线，∴OB ⊥BD ，∴∠2＋∠5＝90°.∵OA ＝OB , ∴∠1＝∠2，第3题图∴∠5＝∠3，又∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∴DB ＝DE ；(2)解：如解图，过点D 作DF ⊥BE 于点F ，延长AC 交⊙O 于点G ，连接BG . ∵AB ＝12，E 为AB 中点，∴AE ＝BE ＝12AB ＝6.∵在△BDE 中，DE ＝BD , DF ⊥BE ，∴BF ＝EF ＝12BE ＝3.∵在Rt △DEF 中，EF ＝3，DE ＝BD ＝5，第3题解图∴DF ＝DE 2－EF 2＝4，∴cos ∠EDF ＝45.∵在Rt △AEC 与Rt △DEF 中，∠3＝∠4,∴△AEC ∽△DEF ，∴∠1＝∠EDF ，∴cos ∠1＝cos ∠EDF ＝45.∵在△ABG 中，AG 为直径，∴∠ABG ＝90°，∴在Rt △ABG 中，AB ＝12，cos ∠1＝45＝AB AG ，∴AG ＝15，∴OA ＝12AG ＝152，∴⊙O 的半径为152.★4.如图，已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E .（1）求证：∠DAC ＝∠DCE ；（2）若AB ＝2，sinD ＝13，求AE 的长.(1)证明：AD 是⊙O 的切线，∴∠DAB ＝90°，即∠DAC ＋∠CAB ＝90°，第4题图∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝90°，∴∠DAC ＝∠B ，∵OC ＝OB ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠DAC ，又∵∠DCE ＝∠OCB ，∴∠DAC ＝∠DCE ；(2)解：在Rt △AOD 中，OA ＝12AB ＝1，sin ∠D ＝13，∴OD ＝OA sin ∠D＝3， ∴CD ＝OD －OC ＝2.∴AD ＝OD2－OA2＝32－12＝22，又∵∠DCE ＝∠DAC ，∠CDE ＝∠ADC ，∴△CED ∽△ACD ，∴AD CD ＝CD DE ，∴DE ＝CD2AD ＝2222＝2， ∴AE ＝AD －ED ＝22－2＝ 2.★5.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC ＝PC ，连接CO ，∠COB ＝2∠PCB .（1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC ＝12AB ；（3）点M 是AB ︵的中点，CM 交AB 于点N ，若AB ＝8，求MN ·MC 的值.(1)证明：∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠COB ＝2∠A ，∵∠COB ＝2∠PCB ，第5题图∴∠A ＝∠ACO ＝∠PCB ，又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∴∠PCB ＋∠OCB ＝90°，即∠PCO ＝90°，∴OC ⊥CP ，又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)证明：∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠PCB ＝∠P ，又∵∠COB ＝∠A ＋∠ACO ，∠CBO ＝∠P ＋∠PCB ，∴∠COB ＝∠CBO ，∴BC ＝OC ＝OB ＝OA ，∴BC ＝12AB ；(3)解：如解图，连接MA ，MB ，∵点M 是AB ︵的中点，∴AM ︵＝BM ︵，∴∠ACM ＝∠BCM ，第5题解图∵∠ACM ＝∠ABM ，∴∠BCM ＝∠ABM ，∵∠BMN ＝∠BMC ，∴△MBN∽△MCB，∴BMMC＝MNBM，∴BM2＝MN·MC，又∵AB是⊙O的直径，AM︵＝BM︵，∴∠AMB＝90°，AM＝BM.∴△AMB是等腰直角三角形，∵AB＝8，∴BM＝42，∴MN·MC＝BM2＝32.★6.如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD 于点F.第6题图(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若ED＝3DB，求证：3OF＝2DF；(3)在(2)的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．(1)证明：如解图①，连接OC、AC、CG，∵AC︵＝CG︵，∴AC ＝CG ，∴∠ABC ＝∠CBG ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCB ＝∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，第6题解图①∴OC ⊥CD ，又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；(2)证明：∵O C ∥BD ，∴∠OCB ＝∠CBD ，∠EOC ＝∠EBD ，且∠CFO ＝∠DFB ， ∴△OCF ∽△DBF ，△EOC ∽△EBD ， ∴OC BD ＝OF DF ，OC BD ＝OE BE ， ∴OF DF ＝OE BE ，∵ED ＝3DB ，∠EDB ＝90°，∴∠E ＝30°，∴OC ＝12OE ，∵OA ＝OC ，∴AE ＝OA ＝OC ＝OB ，∴OF DF ＝OE BE ＝2OA 3OA ＝23，即3OF ＝2DF ；(3)解：如解图②，过A 作AH ⊥DE ，交DE 于点H ， ∵∠E ＝30°，∴∠EBD ＝60°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝12∠EBD ＝30°，第6题解图②∵CD ＝3，∴BD ＝CD tan30°＝33，∴BE ＝33sin 30°＝63，DE ＝3BD ＝9，∵AE ＝13BE ，AH ∥BD ，∴AH ＝13BD ＝3，DH ＝23DE ＝6， ∴AD ＝（3）2＋62＝39.。

圆的证明与计算1.如图，已知八ABC内接于AO, P是圆外一点，PA为40的切线, = PB,连接0P ,线段AB与线段0P相交于点D.(1)求证：PB为40的切线；- 4⑵ 若PA=4P0, z\0的半径为10,求线段PD的长.5(1)证明：△△△△△0Az\0Bz\ZSPA/SPBA0AA0BA0PA0PA△ 3APz\8BP(SSS) △A210APA210BPA/SPAA210AAAAA210APA90 △A210BPA90 △A0BA210AAAA/SPBA210AAAA_ _ 4_ _ ............(2)解：APA/VP0A210AAAA 10A PA第1题图第1题解图△ △ Rt AOP A Z1OA A A J P O22\21|P O^ A10A人人八人50人A/POA V A3AO OD△ cos AOP/^O P A A O AAODA6A人_ _____ 32APD APOAODA-y.32.AAAAABCA/iAB^CA/lDABCAAAAADADCA/lAAB/SDAAAzOA AEA21OAAAAADE.A 1AAAACA/1OAAAAA2AA C OSA32^C A 24 A A A AE A A.第2题图(1)证明：AABAACAAD ADC △Az^CAz^BAz^DACA^CA△RAC△2△AAZEA21BA△RAC△任△Z^EA/IOAAAAA21ADEA90 △△任△21EAD"0° △A/DACA21EADA90 △△任AC490° △AOAA21OAAAAAACAODAAAA(2)解：AAAAADA DF 丛C△任△第2题解图DAADCCA…1… 人△CF A2ACA12ACF 3ARtzCDFAAA G(C/\C D A5A△DC A 20 △AAD A 20 △ARtzCDFAAAAAAA DF ,CD2-CF216 △A21ADEA21DFCA90 AEA21CAA21ADEA21DFCA噬噜△AE 20A— A20 AA Z^EA25A20 16A21OAA/AEA 25.3.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径作AO,交BC于点D,交AC 于点E,过点E作AO的切线EF,交BC于点F.(1)求证：EFABC;(2)若 CD=2, tan C=2,求 AO 的半径.第3题图(1)证明：如解图，连接BE, OE.第3题解图AAB为AO的直径，△MEB=90 .AAB=BC,△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，AOEABC,△EF是AO的切线，△EF4E.△EFABC;(2)解：如解图，连接AD,八AB为AO的直径，△ AADB=90 ,△CD=2, tan C=AD 2CDAAD=4.设 AB=x,贝U BD=x-2.在 RtAABD 中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,即 x2=42+ (x— 2) 2, 解得x=5,即AB=5,△ 8的半径为5 .24.AAAAZOWZ1ABAAAAABCAAADA21BCAAAAAE.A 1AAA/SDACA21DCEA..................1人人人人A2A ABA 2A siD △不△ AAE4/X.第4题图(1)证明：Z^DA/IOAAAA△PAB A90 .Z^BA/IOAAAAA21ACBA90 .A/DACA21CABA90 2ICABA/^ABCA 90 △A/DACA/^BC.AOCAOBAA.BCBCOCOCBAAAZDCEAz^OCBAA21DACA21DCEA(2)解：AABA2 △AAOA1.△sinD A ODAODA3ZDC A2 △ARtzDAOAA△△△△△AD △ OD2AOA2A2 2 △A21DACA21DCEA21DA/1DAA21DECA21DCAA A DC A DE A DA A DC 人2人DEA2 ,2 A2△RE △ ,2 △AAEAAD ADE △ 2.5.AAABA21OAAZDAA/DAAAAAADACDAOAA21ABA21EAA/OA1AAACEACBAA2AAAFABFAA/ABFAAAA人人-人人人 DE人5人人…人人人A3A/CDA 15ABE4 1OZ A E A13AAZ O AA A-(:第5题图(1)证明：△△△△△OB4A第5题解图BBCAOJAAAAAOBABCA AzOBCA 90 △A21OBAA21CBEA90 △AOAAOBAA21OABA21OBAAA21OAB+ACBEA 90 △A21CDAOAAA21OABA21DEAA90 △AA/CEBA21DEAAA21CBEA21CEBAACEACBA(2)解：△△△△△/△ADA ADO ACD AOAA AAF AOF △Az^OAAOFAA21AOFAAAAAAA/AOF=60O△」_1 _____ ____ _A21ABFA2^AOFA30 △(3)解：△△△△△C\CG》B△工△△CD AOAAA21ADEA21CGEA900△AA/AEDA21CEGAA21ADEA21CGEA人DE人EG人5人A AE A CE A13AACEABCAACEA13A人 (26)△DE -旌.-------- 24△ △•■△△△△△△" ..AE DE△石△486.AAAA/lABCDAAAzO^BA/lOAAAADADCAAAABAACDAAA EA/®FAECA21ECAAAAA/W\AZBD.△ 1 △△△ ABFC△2DAAA2AAE/^OAA cosADEAA3AAA 2AAAA/BCA6AzBFAA.第6题图(1)证明：Z^BA/IOAAAAA21BDAA90 .ABF /SECAA21BFCA90 △AAAABCDA/1OAAAAAAAA21BCFA21BADAA21BFCA21BDAA(2)解：△△△△△OD3C4A21BFCA21BDAABF BC△BD'^A B'AODA/lOAAAzADACDA AODAAAACAZ^BA/IOAAAA△ AACB=90 △AODABCA △任OD△心X OE ODA BE A BC AZ^E^OA21OEA2OB/SBEA3OBAOD OE 2△■占M—— -ABC BE 3ABC Z^ODA3瑞瑞舄△:△△ 21ADB A 90 △A21ADEA21BDFA90 △A21BDFA21DBFA90 △A21ADEA21DBFAR第6题解图/SRt/SBDFAA cosDBF 混率△ cos ADE2^A4(3)解：ABCz^ODABCA6AAODA4A /^EA4ZBEA12 △ △任OD△心CA 人DE人OD人A CE A BC A…人3 人ACEA2DEA △ △/EDA△八EBC△任△小£△A21AEDA21CEBA 人AE人DE人A C E A BE AADE CEAAE BEAADE 3D E A4X 12 △ /SDEA4V2( AAAA )△ACDA2V2A/^DA2V2AA21BFCA21BDAA 人CF 人AD 人A CF A2_J A△BC△母△造△ 8 △… 3 2ACF A^AARtzBCFAAAAAAAAAABFA . BC2A CF2Z^3~214.7.AAABAA OAAA/ICD^BAAAzHAAAAC△△知作EG3C交CD的延长线于点 G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证：z\ECF△&CE;(2)求证：EG是AO的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tan工=3 ,AH=3,4求EM的值.第7题图(1)证明：3cAEG,△8=3CG,「AB是AO的直径，ABACD,△A D = A C ,△3EF=AACD,△8=MEF,△任CF=4ECG,△任CF△&CE;(2)证明：如解图，连接OE,第7题解图△GF=GE,△&FE=^GEF=AAFH,△OA=OE,△3AE=4OEA,△AAFH+^FAH=90 ,△&EF+AAEO=90 ,△&EO=90 ,AGEAOE,VOEMAO的半径，△EG是AO的切线；(3)解：如解图，连接OC,设AO的半径为r.在 Rt「AHC 中，一一AH 3tan zACH=tan 应=空=± , HC 4AAH=3,AHC=4.在 Rt^HOC 中，△OC=r, OH=r—3, HC=4, △ (r —3) 2+42=r2,解得r= 25 ,6△GM AAC,△ 3AH=2\M,△ 3EM=AAHC=90 △ AAHC/XNEO,AH HCEM OE ，即高8.如图，AB 为AO 的直径，C 、G 是AO 上两点，过点 C 的直线CD^BG 交BG 的延长线于点D,交BA 的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F, 且BC 平分4ABD.(1)求证：CD 是AO 的切线；⑵若OF 2,求4E 的度数； FD 3⑶连接AD,在(2)的条件下，若CD=2V3,求AD 的长.H第8题图(1)证明：如解图，连接OC,△ EM 25 8△OC=OB, BC 平分 AABD, △3CB=z\OBC, AOBC=ADBC,AzX)BC=AOCB,AOC ABD,Az^BDC=AECO,△CD ABD,△ z!BDC=90 ,△任CO=90 ,△OC 是AO 的半径，△CD 是AO 的切线；(2)解：由(1)知，OC^BD, △8CF=4DBF, △COFMBDF,A21OCFA21DBF, △.史FD△器AOC ABD, △任OC △任BD,△如 FD3,设 OE=2a,则 EB=3a,△OB=a,△OC=a,△3CE=90 , OC=1OE, 2△任=30 ;(3)解：△任=30 , ABDE=90 ,△任BD=60 ,VBC 平分 ADBE,/. AOBC=ADBC=1 EBD=30 , 2△CD=2 .3 ,ABC=4 3, BD=6,△空2 , DB 3△OC=4,如解图，过点D作DM3B于点M ,△RMB=90 ,ABD=6, ADBM=60 ,ABM=3, DM=3 3 ,△OC=4,△AB=8,AAM=AB—BM=5,△ RMA=90 , DM=3J3,AAD= VDM 2 AM 2 2V13 .9.如图，在3BC中，八ACB=90°,。