十个不等式取值练习题一、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 42. 解不等式：5 2(x 1) ≤ 3x + 13. 解不等式：4 3(x + 2) > 7 2x4. 解不等式：2(3x 1) 5(x + 2) < 3二、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 02. 解不等式：2x^2 3x 2 < 03. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 04. 解不等式：x^2 + 5x 6 ≥ 0三、绝对值不等式1. 解不等式：|2x 3| > 52. 解不等式：|3x + 4| < 23. 解不等式：|x 1| ≥ 44. 解不等式：|2x + 5| ≤ 3四、分式不等式1. 解不等式：\(\frac{1}{x2} > \frac{2}{x+1}\)2. 解不等式：\(\frac{3}{x+3} < \frac{1}{x1}\)3. 解不等式：\(\frac{2x1}{x+2} ≥ \frac{3}{x4}\)4. 解不等式：\(\frac{x3}{x+5} ≤ \frac{4}{x2}\)五、混合不等式1. 解不等式组：\(\begin{cases} 2x 3 > 5 \\ x^2 4x + 3 < 0 \end{cases}\)2. 解不等式组：\(\begin{cases} |x 2| ≥ 3 \\\frac{1}{x+1} < 2 \end{cases}\)3. 解不等式组：\(\begin{cases} 3x + 4 > 2x 1 \\\frac{2x1}{x+3} ≤ 1 \end{cases}\)4. 解不等式组：\(\begin{cases} x^2 5x + 6 ≤ 0 \\ |2x + 3| > 5 \end{cases}\)六、含参不等式1. 当 a > 0 时，解不等式：ax 2 > 3 x2. 当 a < 0 时，解不等式：2x a^2 < ax + 13. 当a ≠ 0 时，解不等式：|x a| ≥ a4. 当a ≠ 1 时，解不等式：\(\frac{x1}{a} < x\)七、复合不等式1. 解不等式：(2x 1)(x + 3) > 02. 解不等式：(x 4)(3x + 2) < 03. 解不等式：(x + 5)(x 5) ≥ 04. 解不等式：(3x 2)(2x + 1) ≤ 0八、指数不等式1. 解不等式：2^x > 42. 解不等式：3^(x1) < 93. 解不等式：4^(2x3) ≥ 164. 解不等式：5^(x+2) ≤ 25九、对数不等式1. 解不等式：log_2(x 1) > 12. 解不等式：log_3(x + 2) < 03. 解不等式：log_5(2x 3) ≥ 24. 解不等式：log_10(3x + 4) ≤ 1十、综合应用题1. 已知函数 f(x) = 2x^2 4x + 3，求不等式 f(x) > 0 的解集。
绝对值不等式求取值范围的问题1、已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |. (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式的解集为[0,2]．(2)∵当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ， 故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4的最大值为6－4＝2，4－x 的最小值为4－2＝2， ∴2a ＝2，∴a ＝1， 即a 的取值范围为{1}． 2、已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 2－a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由题意得，关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋1|≥a 2－a 在R 上恒成立． ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，∴a 2－a ≤2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是[－1,2]． 3、若对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：设()12-+-=x a x x f ，则“对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”．当21<a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f 此时()min11=22f x f a⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得23-≤a ．当21=a 时，3221≥-x 不可能恒成立．当21>a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得25≥a ．综上可知，实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2523, ．4、已知()(),3f x x a g x x x =+=+-． （1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立，∴a 的取值范围22a -<<. 5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12 . (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103 .6、已知函数()()()222412,241f x x a x a g x x x x =+-+-=--+-.（1）若()22141f a a ->-，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数,x y ，使()()0f x g y +≤，求实数a 的取值范围 解：（1）∵()22141f a a ->-，∴2222141a a a a -+->-， ∴()12140a a a -++->， ∴214a a ++>且1a ≠， ①若1a ≤-，则214a a --->，∴53a <-；②若10a -<<，则214a a -++≥，∴3a <-，此时a 无解； ③若0a ≥且1a ≠，则214a a ++>，∴1a >；综上所述，a 的取值范围是53a <-或1a >，即()5,1,3a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）∵()()()()222244155111g x x x x =-+-≥-=---，显然可取等号，∴()min 1g x =-， 于是，若存在实数,x y ，使()()0f x g y +≤，只需使()min 1f x ≤， 又()()()()22212121f x x a x a x a x aa =+-+-≥+---=-，∴()211a -≤，∴111a -≤-≤，∴02a ≤≤，即[]0,2a ∈． 7．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|.(1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围． 解：(1)不等式的解集为{}x |x <－1或x >5.(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9. ∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故所求a 的取值范围是[]－8，10. 8．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1) f (x )<3的解集为{}x |－1<x <1.(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2 ＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2 ≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2 ＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a2 ， 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2 ≤0且x －a2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪1＋a 2 ＝1，解得a ＝－4或0. 9、若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．解：当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意； 当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ， x ≤a ，x －1－2a ， a <x ≤－1，3x ＋1－2a ， x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ， x ≤－1，－x ＋1＋2a ， －1<x ≤a ，3x ＋1－2a ， x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4. 综上所述，实数a 的值为－6或4. 10．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{}x |－1≤x ≤5，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a .∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5，∴a ＝2，m ＝3. (2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)． ∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t2＋1； 当t ＝2时原不等式的解集为[2，＋∞)． 11、已知函数() 1.f x x x =++（Ⅰ）若x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，求实数λ的取值范围；（Ⅱ）若m R ∃∈，使得()220m m f t ++=成立，求实数t 的取值范围. 解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，需满足min )(x f ≤λ 所以实数λ的取值范围为]1,(-∞（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立 即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f 又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t 实数的取值范围为]0,1[-12、已知x R ∃∈，不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1,m n t T >>∀∈，不等式33log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 解析：（1）令()12f x x x =---，则()1,123,121,2x f x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于x R ∃∈，不等式12x x t ---≥成立，因此{}|1T t t =≤．（2）当1,1,m n t T >>∀∈时，不等式33log log m n t ≥恒成立等价于33log log 1m n ≥恒成立， 由题意知33log 0,log 0m n >>， 得333log log log 2m n m n +≥≥， 所以3log 2mn ≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，得6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号， 所以m n +的最小值为6．。
不等式中的取值范围求法不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。
1、 不等式的性质法利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。
例1：已知f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。
解：由(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴=-=⋅--≤≤∴-≤⋅≤-≤≤-∴≤-⋅≤∴-+≤⋅-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()39832531125838324034115353120383538325314032031320ΘΘ，，，即评：解此类题常见的错误是：依题意得-≤-≤--≤-≤4111452a c a c （）（）用（1）（2）进行加减消元，得03173≤≤≤≤a c ，（）由f a c f ()()397327=--≤≤得其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。
2、 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法通常化为一次函数。
例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22 解得231x 271+<<+- 所以x的取值范围为 3、化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
