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机器人运动学机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科。
它是机器人技术的重要组成部分，对于机器人的设计、控制和应用具有重要意义。
机器人运动学主要研究机器人在空间中的运动规律，包括位置、速度和加速度等。
通过研究机器人的运动学特性，可以实现对机器人的精确控制和规划。
机器人运动学主要包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是指根据机器人关节的位置和长度，求解机器人末端执行器的位置。
它通过解析几何、向量运算和矩阵变换等数学方法，将机器人关节的位置参数转化为末端执行器的位置参数，从而实现对机器人的位置控制。
逆运动学是指根据机器人末端执行器的位置，求解机器人关节的位置和长度。
逆运动学是机器人运动学的核心内容，也是机器人控制的关键问题之一。
通过逆运动学，可以实现对机器人末端执行器的精确控制，从而实现机器人在空间中的精确定位和定向。
机器人运动学的研究还包括机器人的姿态和轨迹规划。
姿态是指机器人在空间中的朝向和姿势，轨迹是指机器人在运动过程中的路径和速度。
通过研究机器人的姿态和轨迹规划，可以实现机器人在复杂环境中的灵活运动和避障控制。
机器人运动学的应用非常广泛。
在工业领域，机器人运动学被应用于自动化生产线的控制和优化，实现了生产效率的提高和生产成本的降低。
在医疗领域，机器人运动学被应用于手术机器人的控制和操作，实现了微创手术和精确手术的目标。
在军事领域，机器人运动学被应用于无人飞机和无人车辆的控制和导航，实现了作战效能的提高和战场风险的降低。
机器人运动学的发展离不开先进的传感器和控制技术的支持。
传感器可以实时感知机器人的位置和环境信息，控制技术可以根据机器人的位置和运动规律，实现对机器人的精确控制和运动规划。
总结起来，机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科，主要包括正运动学、逆运动学、姿态和轨迹规划等内容。
机器人运动学的研究和应用对于机器人技术的发展和应用具有重要意义，将为我们创造更多的便利和机会。
第2章 机器人位置运动学2.1 引言本章将研究机器人正逆运动学。
当已知所有的关节变量时，可用正运动学来确定机器人末端手的位姿。
如果要使机器人末端手放在特定的点上并且具有特定的姿态，可用逆运动学来计算出每一关节变量的值。
首先利用矩阵建立物体、位置、姿态以及运动的表示方法，然后研究直角坐标型、圆柱坐标型以及球坐标型等不同构型机器人的正逆运动学，最后利用Denavit-Hartenberg(D-H)表示法来推导机器人所有可能构型的正逆运动学方程。
实际上，机器手型的机器人没有末端执行器，多数情况下，机器人上附有一个抓持器。
根据实际应用，用户可为机器人附加不同的末端执行器。
显然，末端执行器的大小和长度决定了机器人的末端位置，即如果末端执行器的长短不同，那么机器人的末端位置也不同。
在这一章中，假设机器人的末端是一个平板面，如有必要可在其上附加末端执行器，以后便称该平板面为机器人的“手”或“端面”。
如有必要，还可以将末端执行器的长度加到机器人的末端来确定末端执行器的位姿。
2.2 机器人机构机器手型的机器人具有多个自由度（DOF ），并有三维开环链式机构。
在具有单自由度的系统中，当变量设定为特定值时，机器人机构就完全确定了，所有其他变量也就随之而定。
如图2.1所示的四杆机构，当曲柄转角设定为120°时，则连杆与摇杆的角度也就确定了。
然而在一个多自由度机构中，必须独立设定所有的输入变量才能知道其余的参数。
机器人就是这样的多自由度机构，必须知道每一关节变量才能知道机器人的手处在什么位置。
图2.1 具有单自由度闭环的四杆机构如果机器人要在空间运动，那么机器人就需要具有三维的结构。
虽然也可能有二维多自由度的机器人，但它们并不常见。
机器人是开环机构，它与闭环机构不同（例如四杆机构），即使设定所有的关节变量，也不能确保机器人的手准确地处于给定的位置。
这是因为如果关节或连杆有丝毫的偏差，该关节之后的所有关节的位置都会改变且没有反馈。
![第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]](https://img.taocdn.com/s1/m/c5aed3c4a1c7aa00b52acbd8.png)
第二章机器人基础知识2.3工业机器人运动学(一)【内容提要】本课主要学习工业机器人技术的运动学基础知识，涉及机器人正逆运动学的概念、平面二连杆机器人的运动学、以及机器人一般运动学的数学基础（位姿描述、齐次变换及运算）。
知识要点：✓机器人正逆运动学概念✓平面二连杆机器人的正逆运动学✓机器人的位姿描述✓齐次变换及运算重点：✓掌握机器人正逆运动学概念✓掌握平面二连杆机器人的正逆运动学✓理解机器人的位姿描述和齐次变换✓掌握齐次变换及运算难点：✓机器人的位姿描述、齐次变换及运算关键字：✓机器人正逆运动学、平面二连杆机器人、位姿描述、齐次变换及运算【本课内容相关资料】2.3机器人运动学从机构学的角度看，机器人可以看成开式运动链结构，由一系列连杆通转动或移动关节串联而成。
机器人运动学研究的是机器人各关节运动的几何关系，具体而言是各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系。
本节仅研究位移关系，重点是研究手部相对于机座的位姿与各连杆之间的相互关系。
“位姿”是“位置和姿态”的简称。
工业机器人手部相对于机座的位姿与工业机器人各连杆之间的相互关系直接相关。
为了便于数学上的分析，一般将连杆和关节按空间顺序进行编号。
同时，选定一个与机座固联的坐标系，称为固定坐标系，并为每一个连杆（包括手部）选定一个与之固联的坐标系，称为连杆坐标系。
一般把机座也视为一个连杆，即零号连杆。
这样，连杆之间的相互关系可以用连杆坐标系之间的相互关系来描述。
工业机器人手部相对机座的位姿就是固联在手部的坐标系相对固定坐标系的位姿。
这样，就可以将“手部相对于机座的位姿”这样一个物理问题转化为一个数学问题，即，得到了工业机器人的运动学数学模型，便于用计算机进行分析计算。
工业机器人运动学主要包括正向运动学和反向运动学两类问题。
正向运动学是在已知各个关节变量的前提下，解决如何建立工业机器人运动学方程，以及如何求解手部相对固定坐标系位姿的问题。
反向运动学则是在已知手部要到达目标位姿的前提下，解决如何求出关节变量的问题。
第二章 机器人运动学机器人，尤其是其中最为常用的关节型机器人，由若干个关节所联系起来的一种开链，其一端固结在机座上，另一端安装有末端执行器。
已知所有关节变量确定机器人末端执行器的位姿或者由末端手的位姿计算出每一个关节变量值是机器人运动学研究的主要内容。
本章主要介绍机器人运动学，首先介绍了 1.1齐次坐标与齐次变换在描述刚体（如零件、工具或机械手）间关系时，要用到点、向量、坐标系、平移、旋转以及变换等概念，这些概念可用齐次矩阵来表示。
1.1.1空间点的表示在指定的直角坐标系{}A 中，空间任一点P （图2-1）的位置可用13⨯的列矢量P A表示：[]z y xAp p p P = （2.1）其中x p ，y p ，z p 为点P 的三个坐标分量，P A 的上标A 代表参考坐标系{}A ，称P A 为位置矢量。
图2-1位置表示1.1.2空间向量的表示将一个n 维空间的点用1+n 维坐标表示，则该1+n 维坐标即为n 维坐标的齐次坐标，即：[]Tz y xAp p p P 1= （2.2）在上式中加入一个比例因子w ，点P 表示为：[]Tzyx Aw c b a P = （2.3）其中，w p a x x =，w p b y y =，w p c z z =。
式2.2和2.3表示同一个点P 。
起始于原点，终止于P 点的空间向量也可以采用齐次矩阵形式表示：[]Tzy xw c b a P = （2.4）若比例因子w 变化，向量的大小也会发生变化，w 大于1，向量所有的分量都变大，如果w 小于1，向量所有的分量都变小，w 等于1，各分量的大小保持不变。
w 等于0表示该向量的方向，称为方向向量。
如图2-2中，i 、j 、k 分别表示直角坐标系中X 、Y 、Z 坐标轴的单位矢量，用齐次坐标表示为：[]TX 0001= []TY 0010=[]TZ 0100= （2.5）图2-2中所示的矢量u 的方向表示为：[]Tu 0cos cos cos γβα= （2.6）其中α、β、γ分别为矢量u 与坐标轴的夹角。
1.1.3刚体位姿的表示为了研究机器人的运动，往往不仅要表示空间某个点的位置，而且需要表示刚体的姿态。
指定一个坐标系与此刚体固接，再将此坐标系在空间表示出来，该坐标系称为动坐标系。
如图2-3所示，O '为刚体上任一点，Z Y X O ''''为固接在刚体上的一个动坐标系，动坐标系的原点与固定坐标系原点之间做一个向量P 来表示动坐标系的位置，即为式2.2。
动坐标系的姿态可由其坐标轴方向来表示，令n 、o 、a 分别为X '、Y '、Z '坐标轴的单位向量，每个向量都由其所在固定坐标系中的三个分量表示：[][][]⎪⎩⎪⎨⎧===Tz y x Tz y x Tz y xa a aa o o o o n n n n 000（2.7）动坐标系的位姿可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示，式中前三个向量是0=w 的方向向量，表示该坐标系的三个单位向量n 、o 和a 的方向，而第四个1=w 的向量表示动坐标系的原点相对于固定坐标系的位置。
与单位向量不同，向量P 的长度十分重要，因而比例因子为1。
[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==10z z z z y y y yx x x xp a o n p a o n p a o n p ao n F （2.8） 由于动坐标系一直固接在该刚体上，只要动坐标系在空间表示出来，刚体相对于固定坐标系的位姿也可以采用式2-8进行描述。
空间中的刚体具有沿着X 、Y 和Z 三轴的移动和绕三轴的旋转，因此需要6条独立的信息描述刚体的位姿。
而式2-8中给出了12条信息，其中9条为姿态信息，3条为位置信息。
三个单位向量n 、o 和a 两两正交，因而它的9个元素满足6个约束条件：0=⋅=⋅=⋅o a a n o n （2.9）1===a o n （2.10）1.2齐次变换变换为空间的一个运动，由旋转和平移组成。
当空间的一个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。
变换本身就是坐标系位姿的变换，分为以下几种形式：1.2.1平移的齐次变换一个坐标系（或刚体）在空间中以不变的姿态运动，该变换为平移变换。
坐标系的单位向量保持同一方向不变，所有改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化，如图2-2所示。
相对于固定参考系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。
变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000100010001z y x d d d T （2.9） 其中x d ，y d 和z d 是纯平移向量d 相对于参考坐标系x ，y 和z 轴的三个向量，矩阵T 的前三列等同于单位矩阵，表示没有旋转运动，最后一列表示平移运动。
若坐标系平移前的位姿矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000z y x oldP az oz nz P ay oy ny P ax ox nx F （2.9）则，坐标系平移后的位姿矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000100010001z z y y x x old z y x newd P az oz nz d P ay oy ny d P ax ox nx F d d d F （2.9）也可表示为：old z y x new F d d d Trans F ⨯=),,( （2.9）对比式子2.9和2.9，坐标系平移变换前后的位姿矩阵维数相同，方向向量保持不变，仅是位置向量发生变换，即为d 和P 相加的结果。
1.2.2旋转的齐次变换空间某点P ，坐标为),,(z y x P P P ，当它绕x 轴旋转角后至P '点，坐标为),,(z y x P P P '''，P 点和P '点的坐标关系为：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=='θθθθcos sin sin cos z y zz y y xx P P P P P P P P （2.9） 写成矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''z y x z y x P P P P P P θθθθcos sin 0sin cos 001（2.9）也可表示为：P x Rot P ⨯='),(θ （2.9）),(θx Rot 表示齐次坐标变换时绕x 轴的旋转变换矩阵，第一列表示相对于x 轴的位置，其值为1，0，0，它表示沿着x 轴的坐标没有改变。
习惯上采用符号θC 表示θcos ，θS 表示θsin ，因此旋转矩阵表示为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=θθθθθC S S C x Rot 00001),( （2.9） 将上式矩阵写成44⨯的齐次变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000000001),(θθθθθC S S C x Rot （2.9） 同理，绕y 轴和z 轴的旋转矩阵分别为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000001000),(θθθθθC S S C y Rot ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10001000000),(θθθθθC S S C z Rot （2.9） 1.2.3复合变换复合变换是由固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移和绕轴旋转变换所组成的。
任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换，将两种变换组合在一个齐次变换中，称为复合变换。
在计算变换矩阵时，要考虑算子左、右乘规则：如果相对于固定坐标系进行变换，则算子左乘；如果相对于动坐标系进行变换，则算子右乘。
动坐标系()a o n ,,相对于参考坐标系()z y x ,,依次进行下面三种变换：（1）绕x 轴旋转α度；（2）接着沿x 轴平移1l ，沿z 轴平移3l ；（3）最后，绕y 轴旋转β度。
点P 固连在动坐标系上，动坐标系与固定坐标系重合，随着动坐标系()a o n ,,相对于固定坐标系旋转或平移时，坐标系中的P 点相对于固定坐标系也跟着改变，第一步变换后，P 点相对于固定坐标系的坐标为：P x Rot P xyz ⨯=),(,1α； （2.9）第二步变换后，P 点相对于固定坐标系的坐标为：P x Rot l l Trans P l l Trans P xyz xyz ⨯⨯=⨯=),(),0,(),0,(31,131,2α； （2.9）第三步变换后，P 点相对于固定坐标系的坐标为：P x Rot l l Trans y Rot P y Rot P xyz xyz ⨯⨯⨯=⨯=),(),0,(),(),(31,2,3αββ； （2.9）每一步变换都是用变换矩阵左乘P 点的坐标得到该点相对于固定坐标系的坐标，矩阵的书写顺序和进行变换的顺序正好相反，变换的顺序很重要，如果颠倒了变换的顺序，结果将完全不同。
1.2.4相对于动坐标系的变换上述介绍的变换是相对于固定坐标系进行的，所有的平移距离和旋转角度都是相对于参考坐标系轴来测量的。
在实际应用中，也有可能相对于动坐标系或当前坐标系的轴变换。
点P 固连在动坐标系()a o n ,,上，依次进行下面三种变换：（1）绕a 轴旋转α度；（2）接着沿n 轴平移1l ，沿a 轴平移3l ；（3）最后，绕o 轴旋转β度。
为了计算当前坐标系中点的坐标相对于参考坐标系的变化，这时需要右乘变换矩阵而不是左乘。
第一步变换后，P 点相对于固定坐标系的坐标为：P a Rot P xyz ⨯=),(,1α； （2.9）第二步变换后，P 点相对于固定坐标系的坐标为：P l l Trans a Rot P xyz ⨯⨯=),0,(),(31,2α； （2.9）第三步变换后，P 点相对于固定坐标系的坐标为：P Rot l l Trans a Rot P xyz ⨯⨯⨯=),(),0,(),(31,3βοα； （2.9）1.3机器人位姿分析 1.3.1杆件坐标系的建立。
