人教A版高中数学必修三第3章 3.3.2 均匀随机数的产生 同步训练(1)B卷

3.3.2 均匀随机数的产生1.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x=对应变换成的均匀随机数是( )A.0B.2C.4D.5解析:当x=时,y=2×+3=4.答案:C2.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( )A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积D.最适合估计古典概型的概率解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.答案:C3.把[0,1]内的均匀随机数x分别转化为[0,4]和[-4,1]内的均匀随机数y1,y2,需实施的变换分别为( )A.y1=-4x,y2=5x-4B.y1=4x-4,y2=4x+3C.y1=4x,y2=5x-4D.y1=4x,y2=4x+3解析:∵x∈[0,1],∴4x∈[0,4],5x-4∈[-4,1].故选C.答案:C4.一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖既不会落在靶心,也不会落在阴影部分与空白的交线上,现随机向靶掷飞镖30次,则飞镖落在阴影部分的次数约为( )A.5B.10C.15D.20解析:阴影部分对应的圆心角度数和为60°,所以飞镖落在阴影内的概率为,飞镖落在阴影内的次数约为30×=5.答案:A5.在区间[-2,2]上随机任取两个数x,y,则满足x2+y2<1的概率等于( )A. B. C. D.解析:∵表示的区域是以原点为中心,边长为4的正方形,x2+y2<1是以原点为圆心,以1为半径的圆面,∴所求概率为P=.答案:D6.将一段长4m的细绳剪为2段,其中一段大于1m,另一段大于2m的概率为.解析:如图,AC=CD=DE=EB=1m,当在CD或DE段上剪断时,两段绳长满足条件,所以所求概率为.答案:7.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=2(b1+x),则b是区间[2,4]上的均匀随机数,则x=.解析:∵0≤b1≤1,∴2x≤2(b1+x)≤2x+2.∵b是[2,4]上的随机数,∴2x=2,2x+2=4,即x=1.答案:18.已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率为.解析:如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).所以所求的概率P1=.答案:9.用随机模拟方法求函数y=与x轴和直线x=1围成的图形的面积.解:如图所示,阴影部分是函数y=的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.随机模拟的步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x,y)的个数);(3)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值;(4)直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为=S.则S=,即阴影部分面积的近似值为.10.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根当且仅当a≥b.(1)基本事件为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共12个, 其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.因为事件A中包含9个基本事件,所以事件A发生的概率为P(A)=.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},故所求概率为.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

3.3.2 均匀随机数的产生课时目标 1.了解均匀随机数的产生方法与意义.2.会用模拟实验求几何概型的概率.3.能利用模拟实验估计不规则图形的面积．1．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是______________函数． (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”． 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)____________的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．(2)____________的方法：用Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤． 3．[a ，b ]上均匀随机数的产生．利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝x 1*(b-a)+a 就可以得到［a,b ］内的均匀随机数，试验的结果是［a,b ］上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.一、选择题1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( )2．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 3．与均匀随机数特点不符的是( ) A ．它是[0,1]内的任何一个实数 B ．它是一个随机数C ．出现的每一个实数都是等可能的D ．是随机数的平均数4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23 D ．无法计算5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.3681B.1236C.1281D.146．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定7．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为______．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．9．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 三、解答题10．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．11．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．能力提升12．如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．13．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率(用两种方法)．1．[0,1]或[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．计算器不能直接产生[a，b]区间上的随机数，但可利用伸缩和平移变换得到：如果Z是[0,1]区间上的均匀随机数，则a＋(b－a)Z就是[a，b]区间上的均匀随机数．2．随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数．如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．答案：3．3.2均匀随机数的产生知识梳理1．(1)RAND 2.(1)试验模拟(2)计算机模拟作业设计1．C [根据伸缩、平移变换a ＝a 1*［4-(-3)］+(-3)=a 1*7-3.］2．B [因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.] 3．D [A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．]4．B [∵S 阴影S 正方形＝23，∴S 阴影＝23S 正方形＝83.]5．D [由题意知，6<AM<9，而AB ＝12，则所求概率为9－612＝14.]6．B [指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．] 7.13解析 作∠AOE ＝∠BOD ＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC 可能落在扇面AOB 内任意一条射线上，而要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 落在扇面DOE 内， ∴P(A)＝13. 8.23解析 由|x|≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.9.3π6解析 以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形， 当P 落在其内时符合要求．∴P ＝312×π3×1234×22＝3π6.10．解 设事件A ：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND . (2)经过伸缩变换x ＝x 1*3,y=y1*3，得到两组［0,3］上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N 和满足条件y<log3x 的点（x,y ）的个数N 1（4）计算频率f n (A)=1AN N ，即为概率P(A)的近似值． 设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝S 9，所以N 1N ≈S9. 所以S ≈9N 1N 即为阴影部分面积的近似值．11．解 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到校”． ①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N 及其中满足b<c 的次数N 1，满足b<c<a 的次数N 2； ③计算频率f n (A)＝N 1N ，f n (B)＝N 2N ，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．12．解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据，即可求区域A 面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A 内的豆子数为700，则区域A 的面积S ≈7001 000＝0.7. 方法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x ，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y ≥x 2，就表示这个点落在区域A 内．第二步，统计出落在区域A 内的随机点的个数M 与落在正方形内的随机点的个数N ，可求得区域A 的面积S ≈M N .13. 解 方法一 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示． 由几何概型的概率公式得：P(A)＝A S S＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以两人能会面的概率是716. 方法二 设事件A ＝{两人能会面}．(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ； (2)经过伸缩变换，x ＝x 1*60,y=y 1*60，得到两组［0,60］上的均匀随机数； （3）统计出试验总次数N 和满足条件|x-y|≤15的点（x,y ）的个数N 1； （4）计算频率f n (A)=1N N，即为概率P （A ）的近似值.。

3.3.2 均匀随机数的产生（选学）双基达标限时20分钟1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为 ( )．A ．a ＝a 1*7 B.a ＝a 1*7+3 C. a =a 1*7-3 D.a ＝a 1*4 解析 根据伸缩、平移变换a ＝a 1] 答案 C2．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是 ( )． A.12 B.13 C.14D ．1 解析 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.答案 B3．与均匀随机数特点不符的是 ( )． A ．它是[0,1]内的任何一个实数 B ．它是一个随机数C ．出现的每一个实数都是等可能的D ．是随机数的平均数解析 A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”． 答案 D4.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为________．解析 作∠AOE ＝∠BOD ＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC 可能落在扇面AOB 内任意一条射线上，而要使∠AOC 和∠BOC 都不 小于30°，则OC 落在扇面DOE 内，∴P (A )＝13.答案 135．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 解析 由|x |≤1，得－1≤x ≤1. 由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.答案 236．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．解 设事件A ：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND. (2)经过伸缩变换x ＝x 1]N 1,N )，即为概率P (A )的近似值．设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为9，由几何概率公式得P (A )＝S 9，所以N 1N ≈S9.所以S ≈9N 1N即为阴影部分面积的近似值．综合提高 限时25分钟7．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )．A.43B.83C.23 D ．无法计算 解析 ∵S 阴影S 正方形＝23，∴S 阴影＝23S 正方形＝83.8．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是 ( )．A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定解析 指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大． 答案 B9．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．解析 以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当P 落在其内时符合要求．∴P ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π3×1234×22＝3π6.答案3π610.一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为________． 答案 511．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．解 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到① 利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N 及其中满足b ＜c 的次数N 1，满足b ＜c ＜a 的次数N 2； ③计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．12．(创新拓展)如图所示，曲线y ＝x 2与y 轴、直线y ＝1围成一个区域A (图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)解 法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据落在区域A 内的豆子数落在正方形内的豆子数≈区域A 的面积正方形的面积，即可求区域A 面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A 内的豆子数为700，则区域A 的面积S ≈7001 000＝0.7.法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x ，y )的坐标．如果一个点的坐标满足y ≥x 2，就表示这个点落在区域A 内．第二步，统计出落在区域A 内的随机点的个数M 与落在正方形内的随机点的个数N ，可求得区域A 的面积S ≈M N.。

第三章 3.3.2均匀随机数的产生一、选择题1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( ) A ．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B ．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C ．不但能估计几何概型的概率 ，还能估计图形的面积 D ．最适合估计古典概型的概率 答案 C2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43 B.83C.23D ．无法计算解析 设阴影部分的面积为S ，由几何概型公式知，S 4＝23，∴S ＝83.答案 B3．将[0,1]内的均匀随机数a 1转化为[－2,6]内的均匀随机数a ，需实施的变换为( )解析 验证：当a 1＝0时，a ＝－2，当a 1＝1时，a ＝6，知C 正确． 答案 C4．在一半径为1的圆内有10个点，向圆内随机投点，则这些点不落在这10个点上的概率为( ) A ．0B ．1C.12D ．无法确定解析 由几何概型公式知，所求概率 P ＝π·r 2－0π·r 2＝ππ＝1.答案 B5．下列说法不正确的是( )A ．根据古典概型概率计算公式P (A )＝h Ah ，求出的值是事件A 发生的概率的精确值B ．根据几何概型概率计算公式P (A )＝μAμΩ，求出的值是事件A 发生的概率的精确值C ．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数，统计试验次数N 和事件A 发生的次数N 1，得到的值N 1N是P (A )的近似值D ．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数，统计试验次数N 和事件A 发生的次数N 1，得到的值N 1N 是P (A )的精确值答案 D6．如图，矩形长为6，宽为4，椭圆内接于矩形，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．21.32解析 由已知可得S 椭圆S 矩形＝S 椭圆6×4≈1－96300＝204300，S 椭圆≈204300×24＝16.32.答案 C二、填空题7．在区间[20,80]上随机取一实数a ，则这个实数a 落在[50,75]上的概率是________． 解析 由几何概型概率计算公式，得P ＝75－5080－20＝2560＝512.答案5128．设b 1是[0,1]上的均匀随机数，b ＝(b 1－0.5)*6，则b 是区间________上的均匀随机数．解析 设b 为区间[m ，n ]内的随机数，则b ＝b 1(n －m )＋m ，而b ＝(b 1－0.5)*6.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝6，m ＝－3. ∴n ＝3，m ＝－3. 答案 [－3,3]9．如图所示，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向阴影所示区域时，甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率是________．答案 3810．在一个边长为500米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆炸物，则爆炸点距离监测站200米内都可以被监测到．那么随机投放一个爆炸物被监测到的概率为________．解析 依题意知，所求的概率为P ＝π×20025002＝4π25.答案4π25三、解答题11．如图，设A 为半径为1的圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B ，求弦长|AB |超过2的概率．解 要使弦长|AB |>2，只要∠AOB 大于90°.记“弦长|AB |超过2”为事件C ，则C 表示的范围是∠AOB ∈(90°，270°)，由几何概型公式得P (C )＝270°－90°360°＝12.12．在集合{(x ，y )|0≤x ≤5，且0≤y ≤4}内任取1个元素，能使代数式y 3＋x 4－1912≥0的概率是多少？ 解 如图，集合{(x ，y )|0≤x ≤5，且0≤y ≤4}为矩形(包括边界)内的点的集合，{(x ，y )|y 3＋x 4－1912≥0}表示坐标平面内直线y 3＋x 4－1912＝0上方(包括直线)所有阴影内的点的集合．令y ＝4，则43＋x 4－1912＝0，x ＝1，∴A (1,4)．令x ＝5，则y 3＋54－1912＝0，y ＝1，∴B (5,1)．∴S 阴＝12×3×4＝6，故所求的概率为P ＝65×4＝310.。