山东省济南市历城区2018届九年级上学期期末考试数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16， 故选A ．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③4a ﹣2b +c ＞0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑤b ＜c ．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与性质依次进行判断即可求解.【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0；∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ＞0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），∴x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，所以③错误；∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，所以⑤正确．故选B．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像性质特点.3．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=40°，则∠BAD的大小为（）A．60º B．30º C．45º D．50º【答案】D【分析】把∠DAB归到三角形中，所以连结BD，利用同弧所对的圆周角相等，求出∠A的度数，AB为直径，由直径所对圆周角为直角，可知∠DAB与∠B互余即可．【详解】连结BD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠B=∠C=40º，∵AB为直径，∴∠ADB=90º，∴∠DAB+∠B=90º，∴∠DAB=90º-40º=50º．故选择：Ｄ．【点睛】本题考查圆周角问题，关键利用同弧所对圆周角转化为三角形的内角，掌握直径所对圆周角为直角，会利用余角定义求角．4．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃【答案】C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是12＝0.5，故本选项错误；B、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数频率约为：36＝12＝0.5，故本选项错误；C、从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率是39＝13≈0.33，故本选项正确；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是1352＝0.25，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条【答案】D【详解】解：∵在矩形ABCD 中，AC=16，∴AO=BO=CO=DO=12×16=1． ∵AO=BO ，∠AOB=60°，∴AB=AO=1，∴CD=AB=1，∴共有6条线段为1．故选D ．6．将一元二次方程2473x x +=化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A ．4，3B ．4，7C ．4，-3D ．24 3x x 【答案】C【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：2473x x +=化成一元二次方程一般形式是4x 2-1x+7=0，则它的二次项系数是4，一次项系数是-1．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式． 7．下列四个交通标志图案中，中心对称图形共有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解.【详解】∵中心对称图形，是把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，∴第一个和第二个都不符合；第三个和第四个图形是中心对称图形，∴中心对称图形共有2个.故选：B.【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念和特点，是解题的关键.8．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<【答案】A 【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较.【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2,当x=1时，y 2= -4+3= -1,∴213y y <<.故选：A.【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.9．如图，DE ∥BC ，BD ，CE 相交于O ，13EO OC =，3AE =，则EB =（ ）．A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】A 【解析】试题分析：因为DE ∥BC ，所以，，因为AE=3，所以AB=9，所以EB=9-3=1．故选A ．考点：平行线分线段成比例定理． 10．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°，则∠A 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【答案】B 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得∠BOC ＝2∠A ，进而可得答案．【详解】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°，∴∠A ＝12∠BOC ＝50°． 故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 11．如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为612＝12． 故选：A ．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12．对于二次函数22(1)2y x =-+的图象，下列说法正确的是A ．开口向下；B ．对称轴是直线x ＝－1；C ．顶点坐标是（－1，2）；D ．与x 轴没有交点． 【答案】D【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断A 、B 、C ，令y ＝0利用判别式可判断D ，则可求得答案．【详解】∵y ＝2（x−1）2＋2，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，2），故A 、B 、C 均不正确，令y ＝0可得2（x−1）2＋2＝0，可知该方程无实数根，故抛物线与x 轴没有交点，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x−h ）2＋k 中，对称轴为x ＝h ，顶点坐标为（h ，k ）．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是___．【答案】12π．【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．【详解】设扇形的半径为r ． 则120180r π＝4π， 解得r ＝6，∴扇形的面积＝21206360π⨯＝12π， 故答案为12π．【点睛】本题考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l ＝180n r l π=，扇形的面积公式S ＝2360n r π，解题的关键是熟记这两个公式．14．已知a 、b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则a+b ＝_____．【答案】-1【分析】直接根据两根之和的公式可得答案．【详解】∵a 、b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴a+b ＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的公式，熟记公式并熟练解题是关键.15．如图，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =，如果26AEF S cm ∆=，则CDF S ∆=___________．【答案】254cm【分析】由平行四边形的性质可知△AEF∽△CDF，再利用条件可求得相似比，利用面积比等于相似比的平方可求得△CDF的面积．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAF＝∠DCF，且∠AFE＝∠CFD，∴△AEF∽△CDF，∵AE：EB＝1：2∴13AE AEAB CD==，∴21139AEFCDFSS∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭，∵26AEFS cm∆=，∴S△CDF＝254cm．故答案为：254cm．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是_____cm1．【答案】60π【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．∴BC222268OB OC+=+＝10（cm），∴圆锥的侧面积是：12610602r l rlππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm1）．故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键．17．在直角坐标平面内，抛物线()213y x=--在对称轴的左侧部分是______的.【答案】下降【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【详解】解：∵在y=(x-1)2-3中，a=1＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分y 随x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．18．已知：如图，在平面上将ABC ∆绕B 点旋转到A B C '''∆的位置时，//,65AA BC ABC ︒'∠=，则'CBC ∠为__________度．【答案】1【分析】结合旋转前后的两个图形全等的性质以及平行线的性质，进行计算．【详解】解：∵AA′∥BC ，∴∠A′AB=∠ABC=65°．∵BA′=AB ，∴∠BA′A=∠BAA′=65°，∴∠ABA′=1°，又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'，∴∠CBC′=∠ABA′=1°．故答案为：1．【点睛】本题考查旋转的性质以及平行线的性质．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m 处跳起投篮，球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足解析式2y ax x c =++，当球运行的水平距离为1．5m 时，球离地面高度为2．2m ，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为2．35m ．（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1．8m ，这次跳投时，球在他头顶上方3．25m 处出手，问球出手时，他跳离地面多高？【答案】（1）当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）球出手时，他跳离地面3.2m ．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）令0x =时，则 2.25y =，进而即可求出答案．【详解】（1）依题意得：抛物线2y ax x c =++经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)， ∴221.5 1.5 3.344 3.05a c a c ⎧⨯++=⎨⨯++=⎩，解得：0.22.25a c =-⎧⎨=⎩， ∴220.2 2.250.2( 2.5) 3.5y x x x =-++=--+，∴当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）∵0x =时， 2.25y =，∴2.250.25 1.80.2--=m ，即球出手时，他跳离地面3.2m ．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．20．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．(1)若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？(2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．【答案】（1）13；（2）13. 【解析】试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：13(2)、画树状图得：结果：（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，A ）、（B ，C ）、（C ，A ）、（C ，B ）∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是26=13. 考点：概率的计算.21．解下列方程：（1）2450x x -=+；（2）2(3)2(3)x x -=- 【答案】（1）1251x x =-=，（2）1231x x ==，.【分析】（1）利用因式分解法解方程得出答案；（2）利用因式分解法解方程得出答案；【详解】（1）2450x x -=+()()510x x +-=解得：125,1x x =-=（2）2(3)2(3)x x -=- ()()3320x x ---=解得：123,1x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握计算法则是解题关键.22．如图，在某建筑物AC 上，挂着一宣传条幅BC ，站在点F 处，测得条幅顶端B 的仰角为30°，往条幅方向前行20米到达点E 处，测得条幅顶端B 的仰角为60°，求宣传条幅BC 的长.3 1.732≈，结果精确到0.1米）【答案】宣传条幅BC 的长为17.3米.【解析】试题分析：先由∠F=30°，∠BEC=60°解得∠EBF=30°=∠F ，从而可得BE=FE=20米，再在Rt △BEC 中由sin ∠BEC=3BC BE =即可解得BC 的值.试题解析：∵∠BEC=∠F+∠EBF ，∠F=30°，∠BEC=60°，∴∠EBF=60°-30°=30°=∠F ，∴BE=FE=20（米）.∵在Rt △BEC 中，sin ∠BEC=32BC BE =， ∴BC=BE×32≈10×1.732=17.32≈17.3（米）. 23．如图1，ABC ∆中，,BD CE 是ABC ∆的高.（1）求证：~ABD ACE ∆∆.（2）ADE ∆与ABC ∆相似吗？为什么？（3）如图2，设5cos 12,ABD DE DE ∠==的中点为,F BC 的中点为M ，连接FM ，求FM 的长. 【答案】（1）见解析；（2）~ADE ABC ∆∆，理由见解析；（3）35FM =【解析】（1）由题意，BD 、CE 是高，则∠ADB ＝∠AEC ＝90°，A ∠是公共角，即可得出△ABD ∽△ACE ； （2）由△ABD ∽△ACE 可推出AD AE AB AC=，又A A ∠=∠ ，根据相似三角形的判定定理即可证得；（3）连接DM 、EM ,根据等腰三角形的性质可得EM DM =，MF DE ⊥，根据三角函数可得23AD DE AB BC ==，进而可求得9EM DM ==，由勾股定理即可求出FM 的长. 【详解】（1）BD 、CE 是ABC ∆的高。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m 使1211+x x ＝0成立？则正确的结论是( ) A ．m ＝0 时成立 B ．m ＝2 时成立C ．m ＝0 或2时成立D ．不存在【答案】A【解析】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋b －2＝0的两个实数根 ∴Δ=（b-2）2+4>0 x 1+x 2=b ，x 1×x 2=b-2 ∴12121211·2x x b x x x x b ++==- 使11x ＋21x ＝0，则=02bb - 故满足条件的b 的值为0 故选A.2．把抛物线()2312y x =+-向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A ．23y x = B ．234y x =-C ．()232y x =+D ．()2324y x =+-【答案】A【分析】根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，即可得解. 【详解】由已知，得经过平移的抛物线是()22311223y x x =+--+= 故答案为A. 【点睛】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.3．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a★b＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据规定得出函数y ＝2★x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣2x，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．4．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°【答案】B【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【详解】A．任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B．经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C．太阳从东方升起是必然事件；D．任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件．故选B．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．某旅游景点8月份共接待游客16万人次，10月份共接待游客36万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．16（1+x2）＝36 B．16x+16x（x+1）＝36C．16（1+x）+16（1+x）2＝36 D．16x（x+1）＝36【答案】A【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据该旅游景点8月份及10月份接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设游客每月的平均增长率为x，依题意，得：16（1+x）2＝1．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为8，连接矩形ABCD各边中点E、F、G、H得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．【详解】解：∵H、G是AD与CD的中点，∴HG是△ACD的中位线，∴HG=12AC=4cm，同理EF=4cm，根据矩形的对角线相等，连接BD，得到：EH=FG=4cm，∴四边形EFGH的周长为16cm．故选：B．【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．7．下图中几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据左视图是从左面看到的图形，即可．【详解】从左面看从左往右的正方形个数分别为1，2，故选D．【点睛】本题主要考查几何体的三视图，理解左视图是从左面看到的图形，是解题的关键．8．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（）A ．32π+B ．3π+ C．32π-D ．232π+【答案】A【详解】解：设AD 与圆的切点为G ，连接BG ， ∴BG ⊥AD ，∵∠A=60°，BG ⊥AD ，∴∠ABG=30°，在直角△ABG 中，BG=3AB=3×2=3，AG=1， ∴圆B 的半径为3， ∴S △ABG =1132⨯⨯=3， 在菱形ABCD 中，∵∠A=60°，则∠ABC=120°， ∴∠EBF=120°，∴S 阴影=2（S △ABG ﹣S 扇形ABG ）+S 扇形FBE =23303120(3)2()2360360ππ⨯⨯-+=32π+． 故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．菱形的性质；3．切线的性质；4．综合题． 9．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：11.11.21.31.4-1-0.490.040.591.16那么方程2350x x +-=的一个近似根是( ) A ．1 B ．1.1C ．1.2D ．1.3【答案】C【详解】解：观察表格得：方程x 2+3x ﹣5=0的一个近似根为1.2， 故选C考点：图象法求一元二次方程的近似根．10．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ） A ．4个 B ．5个C ．不足4个D ．6个或6个以上【答案】D【解析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大， ∴红球的个数比白球个数多， ∴红球个数满足6个或6个以上， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可． 11．Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若4AB =，4cos 5A =，则AC 的长为（ ） A ．125B ．165C ．203D ．5【答案】B【分析】根据题意，可得cos AC A AB ==45，又由AB=4，代入即可得AC 的值. 【详解】解：∵Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4cos 5A =，∴cos AC A AB ==45. ∴AC=45AB=454⨯=165.故选B. 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答． 12．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）A ．平移、旋转和轴对称B ．轴对称和平移C ．平移和旋转D ．旋转和轴对称【答案】D【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案． 【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称． 里外各一个顺时针旋转8次，得旋转． 故选：D ． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 二、填空题（本题包括8个小题）13．观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，…，则：81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是 . 【答案】1．【解析】试题分析：易得底数为8的幂的个位数字依次为8，2，1，6，以2个为周期，个位数字相加为0，呈周期性循环．那么让1012除以2看余数是几，得到相和的个位数字即可： ∵1012÷2=503…1，∴循环了503次，还有两个个位数字为8，2．∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是503×0+8+2=11的个位数字. ∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是1． 考点：探索规律题（数字的变化类——循环问题）.14．若关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有实数根，则m 的取值范围是_________． 【答案】 1m ≤，但0m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程2210mx x -+=有实数根， ∴2(2)40m ∆=--≥， 解得： 1m ≤；∵2210mx x -+=是一元二次方程， ∴0m ≠，∴m 的取值范围是 1m ≤，但0m ≠． 故答案为： 1m ≤，但0m ≠． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．15．已知：在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，点P 是BC 上的一点，若∠APD=90°，则AP=_____． 【答案】25或45【解析】设BP 的长为x ，则CP 的长为(10-x)，分别在Rt △ABP 和Rt △DCP 中利用勾股定理用x 表示出AP 2和DP 2，然后在Rt △ADP 中利用勾股定理得出关于x 的一元二次方程，解出x 的值，即可得出AP 的长．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，DC=AB=4， 设BP 的长为x ，则CP 的长为(10-x)， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得： AP 2=AB 2+BP 2=42+x 2，在Rt △DCP 中，由勾股定理得： DP 2=DC 2+CP 2=42+(10-x)2， 又∵∠APD=90°，在Rt △APD 中，AD 2=AP 2+DP 2， ∴42+x 2+42+(10-x)2=102， 整理得：x 2-10x+16=0， 解得：x 1=2，x 2=8，当BP=2时，2242+25 当BP=8时，2248+45 故答案为：55【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理及一元二次方程，学会利用方程的思想求线段的长是关键．16．如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90°，扇形的半径为6cm，则圆锥底面圆的半径是______cm．【答案】3 2【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝，解得：r＝cm，故答案为．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m．【答案】12【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.【详解】设旗杆的高度为x m,∵0.80.69x=∴12x=故答案为12 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.18．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是__________．【答案】1 2【解析】试题分析：骰子共有六个面，每个面朝上的机会是相等的，而奇数有1，3，5；根据概率公式即可计算．试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P（向上一面为奇数）=3162.考点：概率公式．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图所示是某路灯灯架示意图，其中点A表示电灯，AB和BC为灯架，l表示地面，已知AB＝2m，BC＝5.7m，∠ABC＝110°，BC⊥l于点C，求电灯A与地面l的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】电灯A距离地面l的高度为6.4米．【分析】过A作AD⊥l，过B作BE⊥AD于E，则DE＝BC＝5.7m，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过A作AD⊥l，过B作BE⊥AD于E，则DE＝BC＝5.7m，∵∠ABC＝110°，∴∠ABE＝20°，∴∠A＝70°，∴sin20°＝AEAB ＝AE2＝0.34，解得：AE＝0.68，∴AD＝AE+DE≈6.4；答：电灯A距离地面l的高度为6.4米．【点睛】考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，解直角三角形是关键. 20．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1）94k >-（2）135x +=，235x -=【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞1． 即 49k >-，解得，94k >-． （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=． 解得，1352x +=，2352x -=． （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+= ，解得，11x =，22x =．）21．已知如图AB ∥EF ∥ CD ，34AE DE =（1）△CFG ∽△CBA 吗？为什么？ （2）求GFAB的值． 【答案】（1）△CFG ∽△CBA ，见解析；（2）47GF AB = 【分析】（1）由题意利用相似三角形的判定定理-平行模型进行分析证明即可； （2）根据题意平行线分线段成比例定理进行分析求值.【详解】解：（1）△CFG ∽△CBA ，理由如下，∵AB ∥EF ，∴FG ∥AB ，∴△CFG ∽△CBA ．（2）∵AB ∥EF ∥CD ， ∴34BF AE CF DE ==, ∴47CF BC =, ∵△CFG ∽△CBA ， ∴47GF CF AB BC ==. 【点睛】本题考查相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质以及判定．22．如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB 为直径，BAC ∠的平分线交O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ，连接BD ．（1）求证：AF EF ⊥；（2）若6AC =，2CF =，求O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）连结OD ，由圆内的等腰三角形和角平分线可证得//AF OD ，再由切线的性质即可证得结论； （2）记OD 与BC 交于点G ，由中位线和矩形的性质可得OG 和DG 的长后相加即可求得O 的半径． 【详解】（1）证明：如图1，连接OD ，∵EF 是O 的切线，且点D 在O 上，∴OD EF ⊥，∵OA OD =，∴∠=∠DAB ADO ，∵AD 平分BAC ∠，∴∠=∠DAB DAC ，∴∠=∠ADO DAC ，∴//AF OD ，∴AF EF ⊥；（2）解：记OD 与BC 交于点G ，由（1）知，//AF OD ，∵OA OB =，即O 为AB 中点， ∴132==OG AC ， ∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，则∠FCB=90°，由（1）知OD EF ⊥，AF EF ⊥，∴四边形AFDG 为矩形，∴2==DG CF∴325=+=+=OD OG DG ，即O 的半径为1．【点睛】本题主要考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，同时也要注意角平分线、中位线和矩形等知识的运用．23．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BE 平分∠ABC ，连接CE ，已知DE ＝6，CE ＝8，AE ＝1．（1）求AB 的长；（2）求平行四边形ABCD 的面积；（3）求cos ∠AEB ．【答案】（1）1；（2）128；（325．【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB＝AE，进而再利用题中数据即可求解结论；（2）易证CED为直角三角形，则CE⊥AD，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可；（3）易证∠BCE＝90°，求cos∠AEB的值可转化为求cos∠EBC的值，利用勾股定理求出BE的长即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝1，（2）∵四边形ABCD是平行四边形．∴CD＝AB＝1，在CED中，CD＝1，DE＝6，CE＝8，∴ED2+CE2＝CD2，∴∠CED＝90°．∴CE⊥AD，∴平行四边形ABCD的面积＝AD•CE＝(1+6)×8＝128；（3）∵四边形ABCD是平行四边形．∴BC∥AD，BC＝AD，∴∠BCE＝∠CED＝90°，AD＝16，∴Rt BCE中，BE＝∴cos∠AEB＝cos∠EBC＝BC．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用、解直角三角形的有关知识及角平分线的性质等问题，应熟练掌握．24．已知ab【答案】1．【分析】先对已知a、b进行分母有理化，进而求得ab、a-b即可求出式子的值．【详解】解：∵a ＝52-，b ＝52+， ∴a ＝5+2，b ＝5﹣2，∴ab ＝1，a ﹣b ＝4， ∴228a b ab +-+＝2()8a b ab -++ ＝2418++＝1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的方法．25．如图，在矩形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于点F ，延长BC 到点E ，使得四边形ACED 是一个平行四边形，平行四边形对角线AE 交BD 、CD 分别为点G 和点H .（1）证明：2DG FG BG =⋅；（2）若5AB =，6BC =，则线段GH 的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）136. 【分析】（1）首先利用矩形和平行四边形平行的性质得出ADGEBG ∆∆和AGF DGE ∆∆，然后利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）利用平行四边形对角线的性质以及勾股定理和相似三角形的性质进行等量转换，即可得解.【详解】（1）证明：∵ABCD 是矩形，且//AD BC ，∴ADGEBG ∆∆． ∴DG AG BG GE=． 又∵ACED 是平行四边形，且AC ∥DE∴AGF DGE ∆∆，∴AG FG GE DG=． ∴DG FG BG DG =． ∴2DG FG BG =⋅．（2）∵四边形ACED 为平行四边形，AE ，CD 相交点H ， ∴115222DH DC AB === ∴在直角三角形ADH 中，222AH AD DH =+ ∴132AH =又∵ADGBGE ∆∆， ∴12AG AD GE BE ==． ∴11113132333AG GE AE ==⨯=⨯= ∴131313236GH AH AG =-=-=． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.26．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？（1）设提价了x 元，则这种衬衫的售价为___________元，销售量为____________件.（2）列方程完成本题的解答.【答案】（1）(60x)+，(80020)x -；（2）（60＋x−50）（800−1x ）＝1100，2，见解析【分析】（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．【详解】（1）设这种衬衫应提价x 元，则这种衬衫的销售价为（60＋x ）元，销售量为（800−1005x ）＝（800−1x ）件． 故答案为（60＋x ）;（800−1x ）．（2）根据（1）得：（60＋x−50）（800−1x ）＝1100整理，得x 2−30x ＋10＝0解得：x 1＝10，x 2＝1．为使顾客获得更多的优惠，所以x ＝10，60＋x ＝2．答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为2元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．27．如图，已知直线y ＝kx+6与抛物线y ＝ax 2+bx+c 相交于A ，B 两点，且点A （1，4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）存在，113113P --⎝⎭；（3）①170,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②Q 点坐标为（0，72）或（0， 32-）或（0，1）或（0，3）． 【分析】（1）用待定系数法求解析式；（2）作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，设P （m ，m ），则m ＝﹣m 2+2m+3，可求m;（3）分类讨论：①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，证△DAQ 1∽△DOB ，得1DQ AD OD DB =221221(64)36+-=+；②当∠Q 2BA ＝90°时，∠DBO+∠OBQ 2＝∠OBQ 2+∠O Q 2B ＝90°，证△BOQ 2∽△DOB ，得2OQ OB OD OB =，20363Q =；③当∠AQ 3B ＝90°时，∠AEQ 3＝∠BOQ 3＝90°，证△BOQ 3∽△Q 3EA ，33OQ OB Q E AE =，即3303401Q Q =-； 【详解】解：（1）把A （1，4）代入y ＝kx+6，∴k ＝﹣2，∴y ＝﹣2x+6，由y ＝﹣2x+6＝0，得x ＝3∴B （3，0）．∵A 为顶点∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2+4，∴a ＝﹣1，∴y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3（2）存在．当x ＝0时y ＝﹣x 2+2x+3＝3，∴C （0，3）∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，∴∠POM ＝∠PON ＝45°．∴PM ＝PN∴设P （m ，m ），则m ＝﹣m 2+2m+3，∴m ＝12， ∵点P 在第三象限，∴P （． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，∴E （0，4）∵∠DA Q 1＝∠DOB ＝90°，∠AD Q 1＝∠BDO∴△DAQ 1∽△DOB ，∴1DQ ADOD DB ==， ∴DQ 1＝52， ∴OQ 1＝72， ∴Q 1（0，72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，∠DBO+∠OBQ 2＝∠OBQ 2+∠O Q 2B ＝90°∴∠DBO ＝∠O Q 2B∵∠DOB ＝∠B O Q 2＝90°∴△BOQ 2∽△DOB ， ∴2OQ OB OD OB=， ∴20363Q =，∴OQ 2＝32， ∴Q 2（0，32-）； ③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，∠AEQ 3＝∠BOQ 3＝90°，∴∠AQ 3E+∠E AQ 3＝∠AQ 3E+∠B Q 3O ＝90°∴∠E AQ 3＝∠B Q 3O∴△BOQ 3∽△Q 3EA ，∴33OQ OB Q E AE =，即3303401Q Q =-， ∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，∴Q 3（0，1）或（0，3）．综上，Q 点坐标为（0，72）或（0，32-）或（0，1）或（0，3）．【点睛】考核知识点：二次函数，相似三角形.构造相似三角形，数形结合分类讨论是关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边．2．国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今小王取出一年到期的本金和利息时，交纳利息税4.5元，则小王一年前存入银行的钱为（）.A．1000元B．977.5元C．200元D．250元【答案】A【分析】利息问题是一个难点，要把握好利息、本金、利息税的概念，由利息税可求得利息为4.5÷20%=22.5元，根据年利率又可求得本金．【详解】解：据题意得：利息为4.5÷20%=22.5元本金为22.5÷2.25%=1000元．本题考查利息问题，此题关系明确，关键是分清利息、本金、利息税的概念．3．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ）A ．14B ．13C ．512D ．12【答案】B【分析】利用概率公式直接计算即可.【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率41123=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.4．若一个扇形的圆心角是45°，面积为2π，则这个扇形的半径是( )A ．4B ．C ．4πD ． 【答案】A【分析】根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设扇形的半径为为R ，由题意得 2452360R ππ=, 解得R=4.故选A.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R 是扇形半径，n 是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L 是扇形对应的弧长.那么扇形的面积为：2360n R S π=. 5．-2019的相反数是（ ）A ．2019B ．-2019C ．12019D ．12019- 【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：-1的相反数是1．本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.6．如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=kx的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜kx的解集为（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1【答案】D【解析】分析：根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．详解：观察函数图象，发现：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式ax+b＜kx的解集是-2＜x＜0或x＞1．故选D．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=（）A．50B．80C．100D．130【答案】C【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可.【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，2∠A=∠BOD=100°，故选C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③ADAC＝AEAB；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )A．1个B．2 C．3个D．4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③ADAC＝AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化为AD DEAC BC=，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．9．用求根公式计算方程2320x x-+=的根，公式中b的值为( )A．3 B．-3 C．2 D．3 2 -【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a 、一次项系数是b 、常数项是c ．【详解】解：由方程2320x x -+=根据一元二次方程的定义，知一次项系数b=-3，故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的定义，关键是往往把一次项系数-3误认为3，所以，在解答时要注意这一点． 10．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）A ．1806x +=1206x -B ．1806x -=1206x + C ．1806x +=120x D ．180x =1206x - 【答案】A 【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206x -． 故选A ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键． 11．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C 【分析】因为OCP 和ODQ 为直角三角形，根据勾股定理可得OP 、DQ 、PQ 的长度，又因为CP //DQ ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE ∽DQE ，可得CP DQ =PE EQ，设PE=x ，则EQ=14-x ，解得x 的取值，OE= OP-PE ，则OE 的长度可得．【详解】解：∵在⊙O 中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP ⊥AB ，QD ⊥AB ，∴OCP 和ODQ 为直角三角形，根据勾股定理：2222OP=OC PC =106--，2222DQ=OD OQ =106--，且OQ=6，∴PQ=OP+OQ=14，又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，∴CPE∽DQE，故CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，∴68=x14-x，解得x=6，∴OE=OP-PE=8-6=2，故选：C．【点睛】本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．12．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（）A．1.25米B．5米C．6米D．4米【答案】B【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．【详解】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知AB AMOC OA AM=+，即1.6820AMAM=+，解得AM=5m．则小明的影子AM的长为5米．故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，ABC ∆的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______．【答案】10 10 【分析】如下图，先构造出直角三角形，然后根据sinA 的定义求解即可． 【详解】如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点D设网格中每一小格的长度为1则CD=1，AD=3∴在Rt △ACD 中，AC=2210AD CD += ∴sinA=101010CD AC == 故答案为：1010． 【点睛】本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是构造出直角三角形ACD ．14．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】16【分析】由正方形的性质易证△ABC ∽△FEC ，可设BC=x ，只需求出BC 即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC ＝x ，则CE ＝1﹣x ，∵AB∥EF，∴△ABC∽△FEC∴ABEF＝BCCE，∴12＝x1x解得x＝13，∴阴影部分面积为：S△ABC＝12×13×1＝16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.15．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染．设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为______．【答案】x(x+1)+x+1=1．【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，列出方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x(x+1)+x+1人感染，由题意得：x(x+1)+x+1=1．故答案为：x(x+1)+x+1=1．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键.16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．【答案】2【分析】根据中位线定理得到MN 的最大时，AC 最大，当AC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：点M ，N 分别是AB ，BC 的中点， 12MN AC ∴=， ∴当AC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当AC 时直径时，最大，如图，45ACB D ∠=∠=︒，4AB =，42AD ∴=，1222MN AD ∴==， 故答案为：22．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN 的值最大问题转化为AC 的最大值问题，难度不大．17．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图，点O 为位似中心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（0，2），则点E 的坐标是 ____.【答案】（3，3）【分析】根据位似图形的比求出OD 的长即可解题.【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图，位似比为 2：3 ，∴OA:OD=2:3,∵点A 的坐标为（0，2），即OA =2,∴OD=3,DE=EF=3,故点E 的坐标是（3，3）.【点睛】。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】C【解析】试题分析：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选C．考点：命题与定理．2．己知O的半径为5cm，点A是线段OP的中点，当8cmOP=时，点A与O的位置关系是（）A．点A在O外B．点A在O上C．点A在O内D．不能确定【答案】C【分析】首先根据题意求出OA，然后和半径比较大小即可.【详解】由已知，得OA=12OP=4cm，∵O的半径为5cm∴OA＜5∴点A在O内故答案为C.【点睛】此题主要考查点和圆的位置关系，解题关键是找出点到圆心的距离.3．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．12B．23C．13D．25【答案】B【解析】试题解析：∵盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，∴摸到黄球的概率是4263=故选B．考点：概率公式．4．下列各点在抛物线244y x x =-+上的是（ ）A ．()0,4B ．()3,1-C ．()2,3--D ．17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】A【分析】确定点是否在抛物线上，分别把x=0 , 3，-2，12-代入244y x x =-+中计算出对应的函数值，再进行判断即可.【详解】解：当0x =时，204044y =-⨯+=,当3x =时,234341y =-⨯+= ,当2x =-时，()()2242416y =--⨯-+=, 当12x =-时，2112344224y x ⎛⎫⎛⎫=--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以点()0, 4在抛物线244y x x =-+上． 故选:A ．5．为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ）A ．0.12B ．0.42C ．0.5D ．0.58【答案】D【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率，根据大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案．【详解】∵凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，∴凸面向下的频率为580÷（420+580）=0.58，∵大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58，故选：D ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键．6． “黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解析】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，故选B.7．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4【答案】C【解析】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a．∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线bx12a=-=-．故选C．8．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程2x px q0++=有实数根的概率是( )A．14B．13C．12D．23【答案】A【详解】解：列表如下：-2 1 4-2 --- （1，-2）（4，-2）1 （-2，1）--- （4，1）4 （-2，4）（1，4）---所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根，即满足p2-4q≥0的情况有4种，则P（满足方程的根）=42 = 63故选：A．9．sin45︒的值等于()A 3B3C．12D．22【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数即得．︒【详解】sin45=2故选：D．【点睛】本题考查特殊角的三角函数，解题关键是熟悉30，45︒及60︒的正弦、余弦和正切值．10．下列命题是真命题的是（）A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．平行四边形对角线相等C．两直线平行，同旁内角互补D．如果a＞b，那么a2＞b2【答案】C【解析】根据绝对值的定义，平行线的性质，平行四边形的性质，不等式的性质判断即可．【详解】A、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故错误；B、平行四边形对角线不一定相等，故错误；C、两直线平行，同旁内角互补，故正确；D、如果a＝1＞b＝﹣2，那么a2＜b2，故错误；故选C．【点睛】本题考查了绝对值，不等式的性质，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．11．下列事件中，属于不确定事件的有（）①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】C【解析】因为不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生,也可能不发生的事件,确定事件包括必然事件和不可能事件,所以①太阳从西边升起,是不可能发生的事件,是确定事件, ②任意摸一张体育彩票会中奖,是不确定事件, ③掷一枚硬币,有国徽的一面朝下,是不确定事件, ④小明长大后成为一名宇航员,是不确定事件,故选C.点睛:本题考查确定事件和不确定事件的定义,解决本题的关键是要熟练掌握确定事件和不确定事件的定义.12．如图，立体图形的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】找到从上面看所得到的图形即可．【详解】A 、是该几何体的主视图；B 、不是该几何体的三视图；C 、是该几何体的俯视图；D 、是该几何体的左视图．故选C ．【点睛】考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．二、填空题（本题包括8个小题）13．计算：(0324cos 60-︒=________． 【答案】-1【分析】根据零指数幂及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】解：原式=1-4×12=-1， 故答案为：-1.【点睛】本题考查了实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练每部分的运算法则．14．如果抛物线y ＝（k ﹣2）x 2+k 的开口向上，那么k 的取值范围是_____．【答案】k ＞2【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数k ﹣2＞1．【详解】因为抛物线y ＝（k ﹣2）x 2＋k 的开口向上，所以k ﹣2＞1，即k ＞2，故答案为k ＞2.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．15．如图，P 是α∠的边OA 上一点，且点P 的横坐标为3，4sin 5α，则tan α=______．【答案】43【分析】由已知条件可得出点P 的纵坐标为4，则tan α就等于点P 的纵坐标与其横坐标的比值．【详解】解：由题意可得，∵4sin 5α， ∴点P 的纵坐标为4，∴tan α就等于点P 的纵坐标与其横坐标的比值，∴4tan 3α=． 故答案为：43． 【点睛】本题考查的知识点是正弦与正切的定义，熟记定义内容是解此题的关键．16．如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ．若PC=23，则BC 的长为______．【答案】2【分析】连接OC ，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB 是等边三角形，从而得结论．【详解】连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCP=90°，∵PC=23，OC=2， ∴OP=22OC PC +=222(23)+=4，∴∠OPC=30°，∴∠COP=60°，∵OC=OB=2，∴△OCB 是等边三角形，∴BC=OB=2，故答案为2【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．若35a b =，则a b b +＝____． 【答案】85 【解析】根据比例的性质进行求解即可.【详解】∵a 3b 5=， ∴设a=3k ，b=5k ，∴a b 3k 5k b 5k ++=＝85， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握是解题的关键.18．如图1，点M ，N ，P ，Q 分别在矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上，我们称四边形MNPQ 是矩形ABCD 的内接四边形．已知矩形ABCD ，AB ＝2BC ＝6，若它的内接四边形MNPQ 也是矩形，且相邻两边的比为3：1，则AM ＝_____．【答案】3 8【分析】证明△AMQ∽△DQP，△PCN∽△NBM，设MA＝x，则DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC＝9x﹣3，NB＝27x﹣9，表示出NC，由BC长为3，可得方程，解方程即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形MNPQ为矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∠DQP＝∠QMA，∴△AMQ∽△DQP，同理△PCM∽△NBM，设MA＝x，∵PQ：QM＝3：1，∴DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC＝6﹣（9﹣9x）＝9x﹣3，NB＝3PC＝27x﹣9，BM＝6﹣x，∴NC＝1(6) 3x-，∴1(6)2793x x-+-＝3，解得x＝38．即AM＝38．故答案为：38．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法．三、解答题（本题包括8个小题）19．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品.()1根据信息填表：产品种类每天工人数(人) 每天产量(件) 每件产品可获利润(元)甲__________ _____________ 15 乙 x x_____________ ()2若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润.【答案】 (1)65-x ，130-2x ，130-2x ；(2)每件乙产品可获得的利润是110元.【分析】（1）根据题意即可列出代数式；（2）根据题意列出方程即可求解.【详解】解:()1由己知，每天安排x 人生产乙产品时，生产甲产品的有()65x -人，共生产甲产品 ()2651302x x =--件.在乙每件120元获利的基础上，增加x 人，利润减少2x 元每件，则乙产品的每件利润为()120251302x x --=-.故答案为:65;1302;1302x x x --- ()2由题意()()152651302550x x x ⨯-=-+2807000x x ∴-+=解得1210,70x x ==(不合题意，舍去)1302110x ∴-=(元)答:每件乙产品可获得的利润是110元【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在边AB 上，点D 在边BC 上，且AE 是O 的直径，CAB ∠的平分线与O 相交于点D .（1）证明：直线BC 是O 的切线； （2）连接ED ，若4ED =，30B ∠=︒，求边AB 的长.【答案】（1）见解析；（2）12【分析】（1）连接OD ，AD 是∠CAB 的平分线，以及OA=DO ，推出∠CAD=∠ODA,进而得出OD ∥AC,最后根据∠C=90°可得出结论；（2）因为∠B=30°，所以∠CAB=60°，结合（1）可得AC ∥OD ，证明△ODE 是等边三角形，进而求出OA 的长．再在Rt △BOD 中，利用含30°直角三角形的性质求出BO 的长，从而得出结论．【详解】解：（1）证明：连接ODAD 平分∠CAB ，CAD BAD ∴∠=∠．在O 中，OA OD =，OAD ADO ∴∠=∠．CAD ADO ∴∠=∠．∴AC ∥OD ．Rt ABC △中，90C ∠=︒，OD BC ∴⊥，直线BC 为圆O 的切线；（2）解：如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒,∴60CAB ∠=︒．由（1）可得：AC ∥OD ，60DOB ∠=︒∴，DOE ∴△为等边三角形，4OD OE DE ===，4OA OD ∴==．由（1）可得90ODB ∠=︒，又30B ∠=︒，∴在Rt ODB △中，28OB OD ==．12AB OA OB ∴=+=．【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，等边三角形的判定，含30°的直角三角形的性质等知识，在解答此类题目时要注意添加辅助线，构造直角三角形．21．某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？ （2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）50元；（2）该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.【分析】（1）设该商品的售价是每个x 元，根据利润=每个的利润×销售量，即可列出关于x 的方程，解方程即可求出结果；（2）设该商品的售价为每个x 元，利润为y 元，根据利润=每个的利润×销售量即可得出y 关于x 的函数关系式，然后利用二次函数的性质解答即可.【详解】解：（1）设该商品的售价是每个x 元，根据题意，得：()()30600104010000x x ---=⎡⎤⎣⎦，解之得：150x =，280x =（不合题意，舍去）.答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；（2）设该商品的售价为每个x 元，利润为y 元，则()()2y x 3060010x 4010x 1300x 30000=---=-+-⎡⎤⎣⎦()2106512250x =--+， ∴当65x =时，利润y 最大，最大利润是12250元.答：该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.【点睛】本题是一元二次方程和二次函数的应用题，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题关键.22．某便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能够售出240件．经过调查发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售20件;如果每件降价1元，那么每天能够多售出40件． （1）如果降价，那么每件要降价多少元才能使销售盈利达到1960元?（2）如果涨价，那么每件要涨价多少元オ能使销售盈利达到1980元?【答案】（1）每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元；（2）每件要涨价1元或3元オ能使销售盈利达到1980元．【分析】（1）设每件要降价x 元，根据盈利=每件的利润×销售量即可列出关于x 的方程，解方程即可求出结果；（2）设每件要涨价y 元，根据盈利=每件的利润×销售量即可列出关于y 的方程，解方程即可求出结果．【详解】解：（1）设每件要降价x 元，根据题意，得()()2012240401960x x --+=，解得：121x x ==，答：每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元．（2）每件要涨价y 元，根据题意，得()()2012240201980y y +--=，解得：121,3y y ==，答：每件要涨价1元或3元オ能使销售盈利达到1980元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 23．把函数C 1：y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a≠0）的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新函数C 2的图象，我们称C 2是C 1关于点P 的相关函数．C 2的图象的对称轴与x 轴交点坐标为（t ，0）．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示）（2）若a ＝﹣1，当12≤x≤t 时，函数C 1的最大值为y 1，最小值为y 2，且y 1﹣y 2＝1，求C 2的解析式； （3）当m ＝0时，C 2的图象与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD 原点O 逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C 2的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）2m ﹣1；（2）C 2：y ＝x 2﹣4x ；（3）0＜a 13或a≥1或a≤﹣13． 【分析】（1）C 1：y ＝ax 2−2ax−3a ＝a （x−1）2−4a ，顶点（1，−4a ）围绕点P （m ，0）旋转180°的对称点为（2m−1，4a ），即可求解；（2）分12≤t ＜1、1≤t ≤32、t ＞32三种情况，分别求解,（3）分a ＞0、a ＜0两种情况，分别求解．【详解】解：（1）C 1：y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣1）2﹣4a ，顶点（1，﹣4a ）围绕点P （m ，0）旋转180°的对称点为（2m ﹣1，4a ），C 2：y ＝﹣a （x ﹣2m+1）2+4a ，函数的对称轴为：x ＝2m ﹣1，t ＝2m ﹣1，故答案为：2m ﹣1；（2）a ＝﹣1时，C 1：y ＝﹣（x ﹣1）2+4， ①当12≤t ＜1时， x ＝12时，有最小值y 2＝154， x ＝t 时，有最大值y 1＝﹣（t ﹣1）2+4，则y 1﹣y 2＝﹣（t ﹣1）2+4﹣154＝1，无解；②1≤t ≤32时， x ＝1时，有最大值y 1＝4，x ＝12时，有最小值y 2＝﹣（t ﹣1）2+4， y 1﹣y 2＝14≠1（舍去）； ③当t ＞32时， x ＝1时，有最大值y 1＝4，x ＝t 时，有最小值y 2＝﹣（t ﹣1）2+4， y 1﹣y 2＝（t ﹣1）2＝1，解得：t ＝0或2（舍去0），故C 2：y ＝（x ﹣2）2﹣4＝x 2﹣4x ；（3）m ＝0，C 2：y ＝﹣a （x+1）2+4a ，点A 、B 、D 、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a ）、（0，1）、（﹣3a ，0），当a ＞0时，a 越大，则OD 越大，则点D′越靠左，当C 2过点A′时，y ＝﹣a （0+1）2+4a ＝1，解得：a ＝13， 当C 2过点D′时，同理可得：a ＝1，故：0＜a≤13或a≥1； 当a ＜0时， 当C 2过点D′时，﹣3a ＝1，解得：a ＝﹣13， 故：a≤﹣13； 综上，故：0＜a≤13或a≥1或a≤﹣13． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转等，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．24．如图，抛物线2y x bx c =-++与直线3y x =-+恰好交于坐标轴上A 、B 两点，C 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点C 作CD ⊥AB 于D ．（1）求抛物线的解析式；（2）线段CD 的长度是否存在最大值？若存在，请求出线段CD 长度的最大值，并写出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2+2x+3；（2）存在，CD 92C （315,24） 【分析】（1）已知一次函数的解析式，分别令x 、y 等于0，可以求出点A 、B 的坐标，分别代入二次函数解析式，求出b 、c ，即可求出二次函数的解析式；（2）过点C 作y 轴的平行线交AB 于点E ，由△AOB 是等腰直角三角形可推出△CDE 也为等腰直角三角形，设出点C 和点E 的坐标，用含x 的坐标表式线段CE 的长度，再根据CD=22，可以用x 表示CD 的长度，构造二次函数，当x=-2b a时，求二次函数的最大值即可． 【详解】解：（1）在y=-x+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，可得A(3，0)，B(0，3)将A(3，0)，B(0，3)代入y=-x 2+bx+c ，得9303b c c -++=⎧⎨=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3（2）∵在Rt △AOB 中， OA=OB=3，∴∠OAB=∠ABO=45°．过点C 作y 轴的平行线交AB 于点E ．∴∠CED=∠ABO=45°，∴在Rt△CDE中，CD=2sin452CE CE ⋅︒=设点C(x，-x2+2x+3)，E(x，-x+3) ，0<x<3，则CE=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x=23924 x⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴当32x=时，CE有最大值94，此时CD的最大值=229922248CE=⋅=∵当32x=时，223x x-++154=，∴C（315,24）【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求法以及用点的坐标表示线段长度，能够合理的构造二次函数是解决本题的关键．25．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AC＝6，CE＝8，求⊙O的半径．【答案】（1）CD与⊙O相切，证明见解析；（221．【分析】（1）连接OC，由于FD是CE的垂直平分线，所以∠E＝∠DCE，又因为∠A＝∠OCA，∠A+∠E＝90°，所以∠OCA+∠DCE＝90°，所以CD与⊙O相切．（2）连接BC，易知∠ACB＝90°，所以△ACB∽ABE，所以AC ABAB AE=由于AC•AE＝84，所以OA＝12AB21【详解】（1）连接OC，如图1所示．∵FD是CE的垂直平分线，∴DC＝DE，∴∠E＝∠DCE，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵Rt△ABE中，∠B＝90°，∴∠A+∠E＝90°，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴OC⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BC，如图2所示．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴△ACB∽ABE，∴AC AB AB AE,∵AC＝6，CE＝8，∴AE=14，∵AC•AE＝84，∴AB2＝84，∴AB＝221，∴OA＝21．【点睛】此题考查圆的切线的判定定理，三角形相似的判定及性质定理，题中根据问题连接相应的辅助线是解题的关键.26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD BD，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】分析: （1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．详解:（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，∵AD=BD，∴∠BAD=∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠ADC，∵∠DCE=∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴CECD=CDCA，即3CD=9CD，∴3点睛: 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．27．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．（1）我们知道：把平面内线段OP 绕着端点O 旋转1周，端点P 运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义 ；（2）已知OB ＝2 cm ，SB ＝3 cm ，①计算容器盖铁皮的面积； ②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ．A ．6 cm×4 cmB ．6 cm×4.5 cmC ．7 cm×4 cmD ．7 cm×4.5 cm【答案】（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①6π；②B.【分析】（1）根据平面内图形的旋转，给圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径．【详解】解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积∴==23=6S rl πππ⨯⨯母侧即容器盖铁皮的面积为6πcm²；②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n 度，则2π×2=3180n π⨯ 解得：n=240°，如图：∠AOB=120°，则∠AOC=60°，∵OB=3，∴OC=1.5，∴矩形的长为6cm ，宽为4.5cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．1 B．3C．2 D．23【答案】D【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=12 BC，∠DOC=12∠BOC=12×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．【详解】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，过点O作OD⊥BC于点D，∵OD过圆心，∴CD=12BC，∠DOC=12∠BOC=12×120°=60°，∴CD=OC×sin60°33∴3故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（）A．120°，60°B．95°，105°C．30°，60°D．90°，90°【答案】D【分析】根据两个直角互补的定义即可判断．【详解】解：∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°， 故选：D.考点：本题考查的是两角互补的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补． 3．下列等式中从左到右的变形正确的是（ ）．A ．235a a a ⋅=B ．2(3)3-=-C ．a ac b bc =D ．23a a a ÷= 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘除法和二次根式性质进行分析即可．【详解】A.235a a a ⋅=,正确；B.2(3)33-=-=，错误；C.a ac b bc=，c 必须不等于0才成立，错误； D.231a a a ，错误 故选：A ．【点睛】考核知识点：同底数幂除法，二次根式的化简，掌握运算法则是关键．4．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）A ．1B 3C ．2D 5【答案】B 【分析】因为PA 为切线，所以△OPA 是直角三角形．又OA 为半径为定值，所以当OP 最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=1时PA 最小．运用勾股定理求解．【详解】解：作OP ⊥a 于P 点，则OP=1．根据题意，在Rt △OPA 中，22OP OA -2221=3-故选：B ．【点睛】此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA 最小时点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．5．如图，已知ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（ ）A ．3B ．33C ．5D ．25 【答案】D【分析】过B 点作BD ⊥AC 于D ，求得AB 、AC 的长，利用面积法求得BD 的长，利用勾股定理求得AD 的长，利用锐角三角函数即可求得结果．【详解】过B 点作BD ⊥AC 于D ，如图，由勾股定理得，221310AB +，223332AC =+=∵11322ABC S AC BD BC ==⨯，即232BD == 在ABD 中，AD 90B ∠=︒，10AB =2BD =，()()222210222AD AB BD =-=-=， ∴2225cos 510AD A AB ===． 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．6．用配方法解一元二次方程x 2﹣2x ＝5的过程中，配方正确的是（ ）A ．（x+1）2＝6B ．（x ﹣1）2＝6C ．（x+2）2＝9D ．（x ﹣2）2＝9【答案】B【分析】在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2﹣2x+1＝5+1，即（x ﹣1）2＝6， 故选：B ．【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120ABC ∠=︒，E 是AD 的中点，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转至点B 与点D 重合，此时点E 旋转至F 处，则点B 在旋转过程中形成的BD 、线段DF 、点E 在旋转过程中形成的EF 与线段EB 所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．32πC ．2πD ．3π【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AD=AB=4，∠DAB=180°－60ABC ∠=︒，AE=122AD =，然后根据旋转的性质可得：S △ABE =S △ADF ，∠FAE=∠DAB=60°，最后根据S 阴影=S 扇形DAB ＋S △ADF ―S △ABE ―S 扇形FAE 即可求出阴影部分的面积.【详解】解：∵在菱形ABCD 中，4AB =，120ABC ∠=︒，E 是AD 的中点，∴AD=AB=4，∠DAB=180°－60ABC ∠=︒，AE=122AD =，∵ABE ∆绕点A 逆时针旋转至点B 与点D 重合，此时点E 旋转至F 处，∴S △ABE =S △ADF ，∠FAE=∠DAB=60°∴S 阴影=S 扇形DAB ＋S △ADF ―S △ABE ―S 扇形FAE= S 扇形DAB ―S 扇形FAE =22604602360360ππ⨯⨯- =2π 故选：C.【点睛】此题考查的是菱形的性质、旋转的性质和扇形的面积公式，掌握菱形的性质定理、旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.8．已知x ＝5是分式方程1a x -＝52x 的解，则a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．4 【答案】C【分析】现将x=5代入分式方程,再根据解分式方程的步骤解出a 即可．【详解】∵x ＝5是分式方程1a x -＝52x的解， ∴51a -＝525⨯， ∴4a ＝12， 解得a ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程,关键在于代入x 的值,熟记分式方程的解法．9．如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为（ ）A ．2aB ．52aC ．3aD ．72a 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理得到ACDBCA ∆∆，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵CAD B ∠=∠，ACD BCA ∠=∠，∴ACD BCA ∆∆，∴2ACDBCASACS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即14BCAaS∆=，解得，BCA∆的面积为4a，∴ABD∆的面积为：43a a a-=，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质. 10．如图，ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则ADE的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE∥BC，从而得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为12，可得S ADE=1．【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，1=2ADAB，∴△ADE∽△ABC，∴S ADE：S△ABC=1：4∵△ABC的面积为12∴S ADE=1.故选D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为()A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】D 【分析】已知ab ＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.【详解】a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：， 11ab 8422=⨯=每一个直角三角形的面积为：， 214ab a b 252（），∴⨯+-= 2a b 25169∴-=-=（），a b 3∴-=， 故选D.【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．12．如图所示，已知△ABC 中，BC=12，BC 边上的高h=6，D 为BC 上一点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ．则△DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似比可知：6126EF x -=，即EF=2（6-x ）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A ．22(2)3y x =++；B ．22(2)3y x =-+；C ．22(2)3y x =--；D ．22(2)3y x =+-. 【答案】B【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.2．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】A 【解析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可. 【详解】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率21.126故选A ．【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.3．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ） x （分） … 13.5 14.7 16.0 …y（米）…156.25 159.85 158.33 …A．32分B．30分C．15分D．13分【答案】B【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．故选：B．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．4或5 B．4或7 C．4或5或7 D．4或7或9【答案】D【解析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵D为BC中点，∴BD=2cm，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，∵D为BC中点，∴E为AB中点，此时AE=4cm，可得t=4；当∠DEB=90°时，∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BE BDBC AB=，即8248t-=，解得t=7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；综上可知t的值为4或7或9，故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．5．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA【答案】A【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝ab，tanB＝ba，cosB＝ac，sin B＝bc；因而b＝c•sinB＝a•tanB，a＝b•tanA，错误的是b＝c•cosB．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的定义,熟记定义是解题的关键.6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知AC=3，CD=2，则cosA的值为（）A ．34B ．43C ．3D ．4【答案】A【分析】利用直角三角形的斜边中线与斜边的关系，先求出AB ，再利用直角三角形的边角关系计算cosA ．【详解】解：∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴AB=2CD=4,∴cosA=AC AB =34. 故选A.【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线与斜边的关系、锐角三角函数．掌握直角三角形斜边的中线与斜边的关系是解决本题的关键．在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．7．将二次函数22y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( )A ．()2241y x =--B ．()2241y x =+-C ．()2241y x =-+D ．()2241y x =++ 【答案】B【分析】根据题意直接利用二次函数平移规律进而判断得出选项．【详解】解：22y x =的图象向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：()2241y x =+-．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8．方程2210x x --=的两根之和是（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ．12- 【答案】C【分析】利用两个根和的关系式解答即可.【详解】两个根的和=1122b a ， 故选：C.此题考查一元二次方程根与系数的关系式， 1212,b c x x x x a a+=-=. 9．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=α，则∠OBC 等于（ ）A ．180°﹣2αB ．2αC ．90°+αD ．90°﹣α【答案】D 【解析】连接OC ，则有∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴2∠OBC+2α=180°，∴∠OBC=90°-α，故选D.10．一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B 【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．【详解】解：综合主视图与左视图分析可知，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个，第一行第3列最多有2个；第二行第1列最多有1个，第二行第2列最多有1个，第二行第3列最多有1个；第三行第1列最多有2个，第三行第2列最多有1个，第三行第3列最多有2个；所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13（个），故选B ．本题考查了几何体三视图，重点是考查学生的空间想象能力．掌握以下知识点：主视图反映长和高，左视图反映宽和高，俯视图反映长和宽.11．如图，在ABC 中，6AB AC ==，D 为AC 上一点，连接BD ，且4BD BC ==，则DC 长为（ ）A ．2B ．52C ．83D ．5【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC ，可判定△ABC ∽△BCD ，利用相似三角形对应边成比例即可求出DC 的长.【详解】∵AB=AC=6∴∠ABC=∠C∵BD=BC=4∴∠C=∠BDC∴∠ABC=∠BCD ，∠ACB=∠BDC∴△ABC ∽△BCD ∴AB BC =BC CD∴22BC 48CD===AB 63故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到两组对应角相等判定相似三角形.12．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法判断 【答案】B【解析】比较OP 与半径的大小即可判断.【详解】r 5=，d OP 6==，d r ∴>，∴点P 在O 外，【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<.二、填空题（本题包括8个小题）13．因式分解：334-=a b ab ____.【答案】()()2121ab ab ab +-【分析】先提取公因式ab ，再利用平方差公式分解即可得答案.【详解】4a 3b 3-ab=ab(a 2b 2-1)=ab(ab+1)(ab-1)故答案为：ab(ab+1)(ab-1)【点睛】本题考查了因式分解，因式分解的方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，根据题目的特点，灵活运用适当的方法是解题关键.14．一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程_________．【答案】()2108172x -=【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列出方程．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可得：()2108172x -=，故答案为：()2108172x -=．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．15．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.【答案】13＋1【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×12＝1（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×32＝3km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝1km，∴OB＝OD＋BD＝3＋1（km），故答案为：3＋1．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．16．计算：sin45︒=________．2【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．【详解】sin45︒=2 2故答案为：22．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．17．如图：M为反比例函数kyx=图象上一点，MA y⊥轴于A，MAOS4=时，k=______．【答案】﹣1．【分析】根据反比例函数系数的几何意义，由S △AOM =4，可可求出|k |=1，再由函数图像过二、四象限可知k<0，，从而可求出k 的值.【详解】∵MA ⊥y 轴，∴S △AOM =12|k |=4， ∵k ＜0，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】 本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数k y x=（k 为常数，k≠0）图像上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数k ，以点P 及点P 的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于12k . 18．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式______．【答案】答案不唯一（如22y x x =-）【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线1x =的抛物线表达式，再化为一般式，再由经过原点即为常数项c 为0，即可得到答案.【详解】解：∵对称轴是直线1x =的抛物线可为：22(1)21y x x x =-=-+又∵抛物线经过原点，即C=0，∴对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式可以为：22y x x =-，故本题答案为：22y x x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=，AB AC =，点,D E 均在边BC 上，且45DAE ∠=．（1）将ABD ∆绕A 点逆时针旋转90，可使AB 与AC 重合，画出旋转后的图形ACG ∆，在原图中补出旋转后的图形．（2）求DAG ∠和ECG ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）=90DAG ∠︒，=90ECG ∠︒.【分析】（1）以C 为圆心BD 为半径作弧，与以A 为圆心AD 为半径作弧的交点即为G 点，然后连线即可得解；（2）根据旋转的性质可得∠CAG=∠BAD ，∠ACG=∠ABD ，然后根据题意即可得各角的大小.【详解】（1）△ACG 如图：（2）∵90BAC ∠=，45DAE ∠=，∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAE=45°，又∵ACG ∆为ABD ∆绕A 点逆时针旋转90所得，∴∠CAG=∠BAD ，∠ACG=∠ABD ，∴=90DAG DAE EAC GAC ∠=++︒∠∠∠，==90ECG ECA ACG ∠+︒∠∠.【点睛】本题主要考查画旋转图形，旋转的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.20．如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，ABC ∆的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图，每个小题只需作出一个符合条件的图形．（1）在图1网格中找格点D ，作直线AD ，使直线AD 平分ABC ∆的面积；（2）在图2网格中找格点E ，作直线AE ，使直线AE 把ABC ∆的面积分成1:2两部分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；（2）根据同高且底边长度比为1:2的两个三角形的面积比为1:2寻找点，同时利用相似三角形对应边的比相等可找出格点．【详解】解：（1）如图①，由网格易知BD=CD ，所以S △ABD =S △ADC ，作直线AD 即为所求； （2）如图②，取格点E ，由AC ∥BE 可得，21CN AC BN BE ==（或2142CM AC BM BE ===）, ∴S △ACN =2S △ABN （或S △ABM =2S △ACM,），∴作直线AE 即为所求．（选取其中一条即可）【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，相似的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．不透明的袋中有四个小球，分别标有数字1、2、3、4，它们除了数字外都相同。