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2012届高三数学二轮精品专题卷1集合与常用逻辑用语

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绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题一 集合与常用逻辑用语考试范围：集合与常用逻辑用语一、选择题(本大题共15小题；每小题5分，共75分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．将集合{{}512),(=+=-y x y x y x 用列举法表示，正确的是 （ ） A ．}{3,2 B ．()}{3,2 C ．}{3,2==y x D ．()3,22.设集合=U R ，{|2011}M x x =>，集合}10|{<<=x x N ，则下列关系中正确的是（ ）A ．()R N C M U =YB ．{}10＜＜x x N M =IC ．()M C N U ⊆D ．φ≠N M I3．已知集合{}9|7|＜-=x x M ，{|N x y =，且N M 、都是全集U 的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合 A ．{}23-≤-＜x x B ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x 4．定义集合}{n x x x A ,...,,21=，{}()+∈=N m n y y y B m ,,,...,21，若m n y y y x x x +++=+++......2121则称集合A 、B 为等和集合。

已知以正整数为元素的集合M ，N 是等和集合，其中集合}{3,2,1=M ，则集合N 的个数有 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5．命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是（ ） A ．所有不能被5整除的数都是偶数 B ．所有能被5整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被5整除的数都是偶数D ．存在一个能被5整除的数不是偶数6．若集合22310.5|25|1{|3},{|log (44)0},{|2}252x x x A x B x x x C x x -+-=<=-+>=<-，则“B A x I ∈”是“C x ∈” （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件1． （理）非负整数a ,b 满足1=+-ab b a ，记集合(){}b a M ,=，则M 的元素的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （文）下列特称命题中，假命题是 （ ）A ．∃x ∈R ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除[来源: ]C ．存在两个相交平面垂直于同一直线D ．∃x ∈{x |x 是无理数}，使x 2是有理数[来源:金太阳新课标资源网]8．（理）下列命题中的真命题是 （ ）A ．3是有理数B ．22是实数C ．2e 是有理数D ．{}R x x =是小数|（文）若三角方程cos 0x =与cos20x =的解集分别为E,F ，则 （ ）A ．E ⊃≠FB ．E ⊂≠FC ．E=FD ．φ=FE I9．已知平面向a ρ，b ρ满足1=a ρ，2=b ρ，a ρ与b ρ的夹角为ο60，则1=m 是()a b m a ρρρ⊥-的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条10．在下列结论中，正确的结论为 （ ）①“q p 且”为真是“q p 或”为真的充分不必要条件;②“q p 且”为假是“q p 或”为真的充分不必要条件;③“q p 或”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件;④“p ⌝”为真是“q p 且”为假的必要不充分条件.A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11．设有两个命题，命题p ：对a ρ，b ρ均为单位向量，其夹角为θ，＞b a ρρ+1是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈32,0πθ的充要条件，命题q ：若函数28y kx kx =--的值恒小于0，则320k -<<，那么 （ ）A ．“p 且q ”为真命题B ．“p 或q ”为真命题C ．“﹁p ”为真命题D ．“﹁q ”为假命题 12．已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，试求[1,1]x ∀∈-，ax x f ≥|)(|成立的充要条件（ ）A ．(][)+∞--∞∈,01,Y aB ．[]0,1-∈aC ．[]1,0∈aD ．[)0,1-∈a 13．对于数列{}n a ，“)3,2,1(,,21⋯=++n a a a n n n 成等比数列”是“221++=n n n a a a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 14．在四棱锥V-ABCD 中，B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 上的点，则命题P ：“若B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体AB 1CD 1的体积与四棱锥V-ABCD 的体积之比为1：4”和它的逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4[来源:金太阳新课标资源网 ]15．（理）设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数t 和向量M a ∈ρ,都有M a t ∈ρ,则称M 为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①2{(,)|}x y x y ≥； ②0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭； ③22{(,)|20}x y x y x +-≥； ④22{(,)|3260}x y x y +-<；上述为“点射域”的集合的个数是（ ）[来源: ]A ．1B ．2C ．3D ．4（文）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]={5n+k n ∈Z }，k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②-3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“b a -∈[0]”.其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共15小题；每小题5分，共75分。

将答案填在题中的横线上。

）16．“若M x ∉则M y ∉”的逆否命题是 ．17．（理）当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫-=1,21,1A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,12a ax x B ，若A 与B 构成“全食”，或构成“偏食”，则a 的取值集合为 ．（文）21,:x x P 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两实数根；a b x x q -=+21:,则p 是q 的 条件．18．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．19．对任意A 中任取两个元素y x ,，定义运算x y ax by cxy *=++，其中c b a ,,是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123,234*=*=，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m=x ，则称m 是集合A 的“钉子”.集合}{|04A x x =≤≤的“钉子”为 ．20．下列命题中的假命题是 ．（把所有假命题的序号都填上） ①∀R x ∈,032＞-x ；②∀Z x ∈,()022＞-x ； ③∃R x ∈,110＜x ； ④∃R x ∈,x x 2log cos =21．设集合2{|}{}A x x ax b x a =++==，{},B a b =，令集合{}(,)|,C x y x B y B =∈∈，则C = ．22．设函数)12ln()(-++=x a x x f 是奇函数的充要条件是a= ． 23．设l 1、l 2表示两条直线，α表示平面，若有①l 1⊥l 2；②l 1⊥α；③l 2⊂α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中正确命题的个数为 ．24．已知集合}034{2<+-=x x x A ，集合2{10}B x x ax a =-+-<，p ：A x ∈，q ：B x ∈，若⌝q 是⌝p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．25．记函数12()(),()(()),,()(()))n n f f x f x f x f f x f x f f f x ===L L 1442443个，这些函数定义域的交集为D ，若对x D ∀∈，满足()n f x x =所有n 的取值构成集合P 称为函数的“本源集”则函数1()f x x =的“本源集”P = ．26．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足I B A ⊆⊆，有以下几个式子：I B A C I =⋃）①（I B C A C I I =⋃）（）②（φ=⋂）（③B C A IB C B C A C I I I =⋂）（）④（则上述各式中正确的有 ．27．对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M *N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }， N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }，则M *N ＝ ．①“R x ∈∃，使32＞x ”的否定是“R x ∈∀，使32≤x ”；③命题“函数)(x f 在0x x =处有极值，则()0'x f =0”的否命题是真命题；④已知函数()x f '是函数)(x f 在R 上的导函数,若)(x f 是偶函数,则()x f '是奇函数；（文）已知321,,a a a 是三个相互平行的平面,平面21,a a 之间的距离为1d ,平面32,a a 之间的距离为2d ．直线l 与321,,a a a 分别交于321,,P P P .那么"3221P P P P ="是"1d =2d "的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”中选一个填上）29．（理）下列四个命题：[来源:金太阳新课标资源网 ]（Ⅰ）∈∀n ，n n ≥2； （Ⅱ）∈∃n ，n n ＜2；（Ⅲ）∈∀n ，∈∃m ，n m ≤2； （Ⅳ）∈∃n ，∈∀m ，m n m =⋅．请在①自然数集N ；②整数集Z ；③有理数集Q ；④实数集R ；⑤区间(]1,0，中任选一个填在上面四个空中，使其中至少有三个命题为真命题的是 (把所有符合题意的序号都填上)．（文）已知关x 的一元二次函数1)(2+-=bx ax x f ，设集合{}3,2,1=P ,{}4,3,2,1,1-=Q ，分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对()b a ,，则能使函数)(x f y =有零点的()b a ,构成的集合M 为 ．30．命题P ：任意∈n R ，使方程()11222=-+mx y n 表示的曲线为椭圆或圆，命题q ：存在∈n R ，函数()1323+-+=x x mx x f 不是减函数，若命题“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，“q ⌝”为真，则m 的取值范围是 ．2012届专题卷数学专题一答案与解析1．【命题立意】本题主要考查集合的表示法.【思路点拨】求出两直线的交点，注意集合中的元素是点的坐标.【答案】B 【解析】方程组{512=+=-y x y x 的根为{23==x y 故将集合列举法表示为()}{3,2.2．【命题立意】本题考查集合的交并补运算，属简单题.【思路点拨】先观察出集合M,N 关系，再找答案.【答案】C 【解析】{}2011≤=x x M C U ，所以）（M C N U ⊆. 3．【命题立意】本题考查集合的运算、集合的韦恩图表示、绝对值不等式和函数值域.【思路点拨】先求出集合M,N ，看出韦恩图中所表示的是什么集合，再求解.【答案】B 【解析】{}162＜＜x x M -=，{}3392≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x x y x N所以.(){}23-≤≤-=x x M C N U I4．【命题立意】本题考查集合新定义，分类讨论的数学思想.【思路点拨】求出集合M 元素之和，再把和分类分解为若干个正整数的和，看一下总共有多少种情况.【答案】B 【解析】两个集合中所有元素之和相等（元素个数没有限制）被称为等和集.根据等和集合的定义，按照集合中的元素个数多少可知集合{}6=N ，{}5,1=N ，{}4,2=N ，{}3,2,1=N 共有4个，所以选B.27.【命题立意】本题主要考查含有一个量词的命题的否定形式.【思路点拨】否定原题结论的同时要把量词做对应改变.【答案】D 【解析】含有一个量词的命题写出其否定形式不仅要否定其结论，还要把量词作对应改变.28.【命题立意】本题主要考查指对数不等式、绝对值不等式的求解、集合运算以及充分必要条件，是一个综合题，中档难度．【思路点拨】先求出集合A ，B ，C ，B A I ，再判断B A I 与C 的包含关系即可.【答案】C 【解析】{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=2505235252＜＜＜x x x x x x x A 220.5{|log (44)0}{|0441}{|1223}B x x x x x x x x x =-+>=<-+<=<<<<或， 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧=25221＜＜或＜＜x x x B A I {}21222121-131322＜＜＜＜x x x x C x x x x =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+-+-，故()C B A ⊇I ，所以“B A x I ∈”是“C x ∈”的必要不充分条件.7．（理）【命题立意】本题考查代数式的变形，集合的表示，分类讨论思想及推理运算能力.【思路点拨】利用a ,b 是非负整数讨论求出a ,b 的值，找到集合M 中的元素个数.【答案】C 【解析】法一：由非负整数b a ,满足1=+-ab b a ，得⎩⎨⎧=-=01b a ab ，或⎩⎨⎧=-=10b a ab ，即{11==a b ，{01==a b ，或{10==a b ， 即()()(){}1,0,0,1,1,1=M ．()()0,1011,==⇔=+-⇔b a b a b a 此时＞;()()1,0,1011,==⇔=+-⇔≤a b a b b a 此时．法二：由非负整数b a ,满足1=+-ab b a ，得⎩⎨⎧=-=01b a ab ，或⎩⎨⎧=-=10b a ab ，即{11==a b ，{01==a b ，或{10==a b ，即()()(){}1,0,0,1,1,1=M ．（文）【命题立意】本题考查含有量词的命题真值判定，属于基础题.【思路点拨】注意存在量词和全称量词的内涵，选择采用特值判定和一般求解．【答案】C 【解析】对于A ：当x ＝1-时，0322=--x x ，故A 为真命题；对于B ：当x ＝6时，符合题目要求，为真命题；对于C 假命题；对于D ：x ＝3时，x 2＝3，故D 为真命题.综上可知：应选C.8．（理）【命题立意】本题考查简单命题真值判定即数的性质、元素与集合、集合与集合关系．【思路点拨】实数性质的正确运用是解题关键.【答案】B 【解析】22属于无理数指数幂，结果是个实数；3和e 都是无理数；{}R x x ≠是小数． （文）【命题立意】本题主要考查简单三角方程求解和集合之间的关系.【思路点拨】画出函数y =sin x 和函数y =sin2x 的图像观察他们和x 轴的交点可知两个集合的关系或者直接解三角方程．【答案】A 【解析】0cos =x 得，()Z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4222ππππ，0cos2=x 得，()Z k k x ∈+=42ππ所以选A.9．【命题立意】本题把向量的运算同充分必要条件结合，是一个中档题.【思路点拨】分清条件和结论，计算出()a mb a ⊥-时m 的取值范围，再判定充分和必要.【答案】C 【解析】()01=-=⋅-m a mb a ，1=m ，选C ．10．【命题立意】本题主要考查复合命题真值判定、充分必要条件的判断.【思路点拨】复合命题之间的真值关系是解题的关键，同时本题是一个双选题，解题时对每一个命题真值都要审慎思考.【答案】B 【解析】①和③为真，②和④为假，故选B.11．【命题立意】本题考查解不等式，不等式的等价变形、简单命题真值与复合命题真值之间的关系等知识，属难题.【思路点拨】能两边平方转化不等式|b |1a +>，数形结合转化函数82--=kx kx y 的值恒小于0求k 的范围时，不要忘记对二次方向系数是否为0进行讨论.【答案】C 【解析】由21a b +>r r 可得22121,12cos 0,cos 2a b ab θθ++>∴+>∴>-r r r r ， 03πθ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，，所以命题p 为假命题；若函数82--=kx kx y 的值恒小于0，可得032≤-k ＜，所以命题q 也是假命题，故选C.12．【命题立意】本题考查全称量词、分段函数、恒成立不等式的转化以及数形结合、分类讨论思想，是一个难题.【思路点拨】画出函数()x f 的图像，分析()x f 图像与直线ax y =的位置关系；或者分两段转化不等式()ax x f ≥，利用最值法求解参数取值范围.【答案】B 【解析】方法一：当[)0,1-∈x 时，原不等式可变为()()a x x f a x x f -≥-≤即，所以a xx -≥+-2可得1-≥a ；当0=x 时不等式恒 成立；当(]1,0∈x 时原不等式可变为()()a x x f a x x f ≥≥即可得0≤a ，综合以上可知参数a 的取值范围是[]0,1-，选B.方法二：数形结合法：如图可知当直线ax y =过点()1,1-时1-=a ，所以参数a 的取值范围是[]0,1-，选B.13．【命题立意】本题考查等比数列和充要条件等知识.【思路点拨】充要条件的验证，其实，就是做2件事情，“由前推后，由后推前.”【答案】A 【解析】显然，前面可以推出后面，后面推不出前面.其反例数列为1，0，0，0，……，应选A.14．【命题立意】本题主要考查了几何体求体积及四种命题的真值，转化化归的数学思想．【思路点拨】先判定原命题的真值，在判定其逆命题或否命题的真值，然后利用互为逆否关系的两个命题真值相同，来判断剩下两个命题的真假.【答案】B 【解析】如图：当B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 的中点时，四面体ABC B 1、ACD D 1各占四棱锥V —ABCD 的体积的41，四面体1111D CVB D AVB 、各占四棱锥V —ABCD 的体积的81，所以四面体AB 1CD 1的体积与四棱锥V —ABCD 的体积之比为1:4，当四面体AB 1CD 1的体积与四棱锥V —ABCD 的体积之比为1：4，假设AC ，BD 交与O 点，只要11D OB ∆的面积是VBD ∆面积的41即可，这时B 1，D 1未必是为侧棱VB ，VD 的中点，所以原命题为真，逆命题为假，原命题的逆否命题为真，否命题为假，故答案为B.15．（理）【命题立意】本题考查点集所对应平面区域的形状特点是一个创新题，难度较大．【思路点拨】理解“点射域”的概念，画出各个点集对应的平面区域，然后判断． 【答案】A 【解析】由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量M a ∈ρ，对任意正实数t 所得的向量a t ρ不能再通过平移移到原区域内，所以排除①③④，给出图像，易知②正确．（文）【命题立意】本题是一个创新型问题，考查反应能力和转化化归的数学思想，属于难题．【思路点拨】先搞清“类”的定义，然后把“类”用集合表示出来即可.【答案】C 【解析】由定义可知[]{}{}⋯--⋯=∈+=，，11,6,1,4,9151Z n n ，所以()[]1154022011∉+⨯=，故①正确；[]{}{}⋯--⋯=∈+=，，13,8,3,2,7353Z n n ，所以()[]30513∉+⨯-=-，故②错；因为任何整数被5除所得余数为k 只可能是0，1，2,3,4中的一个，所以③正确；假设b a ,都属于[k]，则,5k m a +⨯=,5k n b +⨯=(其中Z n Z m ∈∈,)，可得()[]05∈⨯-=-n m b a ，故④正确.16．【命题立意】本题考查逆否命题的写法，是简单题.【思路点拨】把原命题的条件和结论交换位置，再分别否定.【答案】若M x M y ∈∉则【解析】对原命题的条件和结论分别否定，再交换位置.17．（理）【命题立意】本题考查利用集合关系逆向确定参数值，属于中档题.【思路点拨】利用集合A ，B 关系，先确定集合B 中的元素个数，在确定集合B 中的参数a 的值.【答案】{}4,1,0【解析】集合{}0,12≥==a ax x B 中最多有两个元素，所以要构成“全食”只有B 为空集或{}1,1-，所以10==a a 或．构成“偏食”，只有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,21B ，4=a ，综上可知若A 与B 构成“全食”，或构成“偏食”，则a 的取值集合为{}4,1,0.（文）【命题立意】本题考查一元二次方程的判别式、根与系数关系以及充分必要条件的判断.【思路点拨】注意二次方程没有根时，也可能有两个数满足两根之和为ab -，但二次方程有根时，两根和一定为a b -.【答案】充分不必要条件【解析】正面推导或反例法，例如，方程022=++x x ，取01=x ，12-=x 可验证；或方程0232=++x x 中1,421=-=x x .18．【命题立意】本题考查量词、命题真值即恒成立不等式转化.【思路点拨】在假命题前提下不容易求解，把命题转化为全称真命题，再求解参数a 的取值范围【答案】[]22,22-【解析】题目中的命题为假命题，则它的否命题“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即可解得－22≤a ≤2 2.19．【命题立意】本题是一个集合新定义问题，难度较大．【思路点拨】先利用题干中定义待定参数a ，b ，c ，然后再利用恒等式求参数m 的值．【答案】4【解析】根据定义，x cxm bm ax m x =++=*对任意实数x 恒成立，且0≠m ，令x =0，所以bm =0，b =0，所以cxy ax xy +=，由⎩⎨⎧=⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯42223211c a c a ，⎩⎨⎧-==∴15c a ，所以5x －mx =x 对任意R x ∈恒成立，所以m =4，A m ∈，所以集合{}40≤≤=x x A 的“钉子”为4. 20．【命题立意】本题主要考查对特称量词和全称量词的理解，命题真假的判断.【思路点拨】本题是找出假命题的序号，审题时要注意.【答案】②【解析】②考查了完全平方数非负的性质.当Z x ∈时，()012≥-x ，故错误.21．【命题立意】本题考查二次方程根与系数关系、集合的表示以及转化化归的数学思想.【思路点拨】先待定参数b a ,的值，在求出集合C .【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,91,91,31,91,91,31,31C 【解析】由{}a A =得x b ax x ==+2的两个根a x x ==21，即()012=+-+b x a x 的两个根a x x ==21，∴12112,3x x a a a +=-==得，1219x x b ==，所以集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,91,91,31,91,91,31,31C . 22．【命题立意】本题考查了函数的奇偶性定义和对数的运算等知识，函数的基本性质的考查一直是基础题，主要是奇偶性和单调性.【思路点拨】利用奇函数定义直接转化.【答案】1【解析】，[+=-+x x f x f )()(][+-+-+x x a )12ln(])12ln(--+x a =)12ln(-+x a +)12ln(--+x a =0, 即)12ln(-+x a ⋅)12(--+x a =0)144ln(22=--+x a a ，解得1=a . 23．【命题立意】本题考查空间线面垂直，命题真值判定.【思路点拔】先组合好命题，共有3个，再逐一判定真值.【答案】1【解析】只有②③⇒①正确．故应填1.24．【命题立意】本题考查解不等式、命题的否定形式以及充分必要条件的判断.【思路点拨】先求出A ，再把命题之间的充分必要关系转化为集合A ，B 之间的关系，本题可求.【答案】{}42≤≤a a 【解析】0342＜+-x x 得：31＜＜x ，即{}31＜＜x x A =，由012＜-+-a ax x 得：()[]()011＜---x a x ，由⌝q 是⌝p 的必要不充分条件可知p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q ，但q 能推出p ，∴B ⊂≠A.[来源:金太阳新课标资源网]若φ=B ，则2=a ，若φ=B ，则311≤-a ＜，即42≤a ＜，综上可知，a 的取值范围是{}42≤≤a a ．[来源: ]25．【命题立意】本题是一个新定义问题，考查抽象运算及归纳能力.【思路点拨】利用函数的复合运算归纳求出满足()x x f n =的所有n 值和满足()x x f n =的所有n 值即可.【答案】{}+∈-==N k k x x P ,12，{}+∈==N k k x x Q ,2【解析】()()x x f x f 11==，()()()()()()()x f x x f f x f x x f f x f =====1,2312 ()()()x x f f x f ==34，L 所以当n 为正奇数时()()x f x f n =，当n 为正偶数时()x x f n =．故集合{}+∈-==N k k x x P ,12.26．【命题立意】本题主要考查Venn 图以及集合的关系与运算.【思路点拨】从Venn 图看出集合之间的包含关系是解题关键【答案】①③④【解析】由Venn 图知，A C B C A C I I I =）（）（Y27．【命题立意】本题考查了二次函数、正弦函数的值域以及集合运算.【思路点拨】先求出集合M ，N ，再根据定义运算．【答案】B 【解析】依题意有M ＝[0，＋∞)，N ＝[－3,3]，所以M －N ＝(3，＋∞)，N －M ＝28．（理）【命题立意】本题考查了含有量词的命题的否定、三角化简、函数极值、函数性质和定积分等知识，是不定项选择题，这是数学试卷中经常出现的形式．【思路点拨】逐一判定，每一个命题都要谨慎，这种问题往往“一着不慎满盘皆输”.【答案】①④⑤【解析】②中函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=324sin 2132cos 32sin πππx x x y ，此函数的最小正周期是2π；③中原命题的逆命题为“若()0'0=x f ，则()x f 在0x x =处有极值”是一个假命题，比如函数()3x x f =在0=x 处导函数值()00'=f ，但0=x 不是函数极值点，由于原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否关系，所以原命题的否命题为假命题；①④⑤都是正确的.（文）【命题立意】本题考查充分必要条件的判断和空间线面关系．【答案】充要【解析】平面321,,a a a 平行，由图可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221p p p p =；如果3221p p p p =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =.2． （理）【命题立意】本题考查量词、数集关系和数字特征以及分类讨论思想，考查抽象思维及创新判断能力.【思路点拨】用每一种集合填在横线上，在判断真命题是否至少有三个.【答案】①⑤【解析】分类，当填①自然数集N 时（Ⅰ）（Ⅲ）（Ⅳ）为真命题，（Ⅱ）为假命题；当填②整数集Z 时（Ⅰ）（Ⅳ）为真命题，（Ⅱ）（Ⅲ）为假命题；当填③有理数集Q 时（Ⅱ）（Ⅳ）为真命题，（Ⅰ）（Ⅲ）为假命题；当填④实数集R 时（Ⅱ）（Ⅳ）为真命题，（Ⅰ）（Ⅲ）为假命题；当填⑤区间(]1,0时（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）为真命题，（Ⅰ）为假命题；故答案为①⑤. （文）【命题立意】本题考查二次函数函数图像与性质、零点和分类计数.【思路点拨】二次函数()12+-==bx ax x f y 有零点（注：隐含了0＞a ），说明该函数的图像与x 轴有交点，即()0142≥⨯⨯--=∆a b a b 42≥⇒，而{}3,2,1∈a ，{}4,3,2,1,1-∈b ，取定一个，再列另一个，如取1=a ，有42≥b ，得4,3,2=b ，取2=a ，有8≥b ，得4,3=b ，取3=a ，有122≥b ，得4=b ；由于()()0＞a x f y =图像的开口方向向上，()x f y =在区间[)+∞,1上是增函数,说明其对称轴ab a b x 22=--=在1的左边,即12≤a b ,有b a ≥2,再用上面的方法列举得满足增函数的种数,而取1=a ,有4,3,2,1,1-=b ,取2=a ,有4,3,2,1,1-=b ,取3=a ,有4,3,2,1,1-=b ,共15种，于是得所求的集合.【答案】()()()()()(){}4,34,2,3,2,4,1,3,1,2,1=M【解析】()b a ,共有()()()()()()()()()()()()()()()15,4,3,3,3,2,3,1,3,1,3,4,2,3,22,21,2,1,2,4,1,3,1,2,11,1,1,1---种情况.函数()x f y =有零点，042≥-=∆a b ，有()()()()()()4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1共6种情况满足条件 ，所以函数()x f y =有零点的点()b a ,构成的集合()()()()()(){}4,34,2,3,2,4,1,3,1,2,1=M .30．【命题立意】本题考查圆锥曲线方程、利用导数确定三次函数函数单调性以及简单命题和复合命题的真值关系，考查数字运算处理能力及转化化归、数形结合的数学思想.【思路点拨】先利用“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，“q ⌝”为真，判定出p ，q 的真值，再利用出p ，q 的真值转化求解参数m 的取值范围.【答案】(]3--∞，【解析】因为命题“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，“q ⌝”为真，所以命题p 真q 假．p 真时m 的范围是()0,-∞，命题q 假时m 的范围等价于q ⌝为真时m 的范围，q ⌝：任意R x ∈，函数()1323+-+=x x mx x f 是减函数，q ⌝为真等价于当R x ∈时()0163'2≤-+=x mx x f 恒成立，易知⎩⎨⎧≤+=∆001236＜m m 即(]3--∞∈，m ，所以命题p 真q 假时m 的范围是(]3--∞，.。

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高考数学(理)二轮专题练习：集合与常用逻辑用语(含答案)

高考数学(理)二轮专题练习：集合与常用逻辑用语(含答案)

集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1] 集合A ＝{a ，b ，c }中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 答案 A2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．[问题2] 集合A ＝{x |x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝________.答案 ∅3．遇到A ∩B ＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A ＝∅或B ＝∅；同样在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况．[问题3] 设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，集合B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数m 组成的集合是________．答案 {0，12，13} 4．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n －1,2n －1,2n －2.[问题4] 满足{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有________个．答案 75．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题5] 已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 C6．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．[问题6] 已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是________________．答案 否命题：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b7．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[问题7] 设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________条件．答案 充分不必要8．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[问题8] 若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析 不等式即(x 2＋x )a －2x －2>0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1,3]，恒有f (a )≤0”．则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (3)≤0， 解得x ∈⎣⎡⎦⎤－1，23. 则实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞.易错点1 忽视空集致误例1 已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A .求实数m 的取值范围．错解 ∵x 2－3x －10≤0，∴－2≤x ≤5，∴A ＝{x |－2≤x ≤5}．由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋12m －1≤5，即－3≤m ≤3， ∴m 的取值范围是－3≤m ≤3.找准失分点 B ⊆A ，B 可以为非空集合，B 也可以是空集．漏掉对B ＝∅的讨论，是本题的一个易失分点．正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}．①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，故m <2时，A ∪B ＝A ；②若B ≠∅，如图所示，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5. 解得－3≤m ≤3.又∵m ≥2，∴2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A .易错点2 对命题的否定不当致误例2 已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5M ，则a 的取值范围是________． 错解 (－∞，－2)∪(5，＋∞)找准失分点 5M ，把x ＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a ＋105a －25>0；②5a －25＝0，答案中漏掉了第②种情况． 正解 方法一 ∵5M ，∴5a ＋105a －25>0或5a －25＝0， ∴a <－2或a >5或a ＝5，故填a ≥5或a <－2.方法二 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0， ∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5，∴5M 时，a <－2或a ≥5.答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)易错点3 充要条件判断不准例3 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C ，使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件．错解 若A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，又B ⊆∁U C ，∴A ∩B ＝∅，故填“充要”．找准失分点 没有理解充分条件的概念，p ⇒q 只能得到p 是q 的充分条件，必要性还要检验q ⇒p 是否成立．正解 若A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C 时，可得A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，不能推出B ⊆∁U C ，故填“充分不必要”答案 充分不必要1．(2014·北京)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}答案 C解析 ∵A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{0，2}．2．(2014·北京)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 {a n }为递增数列，则a 1>0时，q >1；a 1<0时，0<q <1.q >1时，若a 1<0，则{a n }为递减数列．故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.3．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0 答案 C解析 特称命题的否定为全称命题．4．已知p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12 C.12<a ≤23D.12<a <1 答案 C解析 p ⇔a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，23，q ⇔a ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∴a ∈⎝⎛⎦⎤12，23.5．如果全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则图中的阴影部分表示的集合是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0]∪(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，0)∪(1,2]答案 D解析 由题意得A ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，B ＝(1，＋∞)，图中的阴影部分表示的集合是[A ∩(∁U B )]∪[(∁U A )∩B ]，而A ∩(∁U B )＝(－∞，0)，(∁U A )∩B ＝(1,2]，故阴影部分表示的集合是(－∞，0)∪(1,2]．6．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥2D ．a >2答案 C解析 ∵B ＝{x |1<x <2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}，又∵A ＝{x |x <a }，且A ∪(∁R B )＝R ，利用数轴易知应有a ≥2，故选C.7．已知集合U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2＋y 24＝1，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝____________. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 A ＝{x |－1≤x ≤1}＝[－1,1]，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }＝[0,2]，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．8．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中的元素有________个．答案 89．设U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是________．答案 m >－1，n <510．已知条件p ：x 2＋2x －3>0，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__________．答案[1，＋∞)解析由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.。

精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数

精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。

2012年高考数学 二轮专题复习 专题11第1讲 集合与常用逻辑用语课件

2012年高考数学 二轮专题复习 专题11第1讲 集合与常用逻辑用语课件

∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或 x≥2}， 又∵A＝{x|x<a}，且 A∪(∁RB)＝R， 利用数轴易知应有 a≥2.
5．已知集合 P＝{(x，y)|y＝k(x－1)＋1，x∈R，y∈R}，Q＝ {(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x∈R，y∈R}，那么集合 P∩Q 中 元素的个数是____2____． 解析 Q 是圆 x2＋(y－1)2＝1 上所有点的集合，P 是直线 y ＝k(x－1)＋1 上所有点的集合．直线与圆有公共点(1,1)，且 直线不垂直于 x 轴，故直线系与圆恒有两个不同的公共点， 即集合 P∩Q 中只有两个元素．
3．对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空 子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n－1,2n－1,2n－2，如满 足{1,2} M⊆{1,2,3,4,5}的集合 M 有___7___个．
4．集合的运算性质：(1)A∪B＝A⇔B⊆A；(2)A∩B＝B ⇔B⊆A；(3)A⊆B⇔∁UA⊇∁UB；(4)A∩(∁UB)＝∅⇔A⊆B； (5)(∁UA)∪B＝U⇔A⊆B；(6)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； (7)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 如设全集 U＝{1,2,3,4,5}，若 A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}， (∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，则 A＝_{_2_，__3_}__，B＝{_2_，__4_}_.
解析 由题意得 A＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，B＝(1，＋∞)， 图 中 的 阴 影 部 分 表 示的 集 合 是 [A∩( ∁UB)]∪[( ∁ UA)∩B] ， 而 A∩(∁UB)＝(－∞，0)，(∁UA)∩B＝(1,2]，故阴影部分表示的 集合是{x|x<0 或 1<x≤2}．
2012年高考数学二轮精品复习资料 专题01 集合与常用逻辑用语(学生版)-推荐下载

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A

B
为实数，且
的元素个数为（
C. {4,6,7}
D．1
(D) 1, 2,3, 4,5
x2 y2 1
(D)[2,3]
4．(2011 年高考广东卷文科 2)已知集合
B x, y| x、
A．4
y
为实数，且
B．3
x

y

A x, y| x、 y
1
，则
C．2
5． （2011 年高考江西卷文科 2)若全集U {1, 2,3, 4,5, 6}, M {2,3}, N {1, 4} ,则集合
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。