2003年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 已知函数1)(+=x x f ，则=-)3(1f .2. 直线1=y 与直线33+=x y 的夹角为 .3. 已知点P ()ααcos ,tg 在第三象限，则角α的终边在第 象限.4. 直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是 .5. 已知集合{}{}a x x B x x x A ≥=∈≤=,R 2||，，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 .6. 已知z 为复数，则z z +＞2的一个充要条件是z 满足 .7. 若过两点)20()01(，、，B A -的直线l 与圆1)()1(22=-+-a y x 相切，则=a .8. 不等式()()()π,0120lg cos 2∈>x x的解为 .9. 8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有 场比赛.10. 若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）11. 若函数3)2(2+++=x a x y ，],[b a x ∈的图象关于直线1=x 对称，则=b .12. 设221)(+=xx f 利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 关于直线a 、b 、l 以及平面N M 、，下列命题中正确的是 ( ) (A) 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b . (B) 若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M .(C) 若M a ⊂，M b ⊂，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥M . (D) 若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N .14. 复数i im z 212+-=（i R m ,∈为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 ( )(A) 第一象限. (B) 第二象限. (C) 第三象限. (D) 第四象限.15. 把曲线012cos =-+y x y 先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的切线方程是( )(A)032sin )1(=-+-y x y . (B)032sin )1(=-+-y x y . (C)012sin )1(=+++y x y .(D)012sin )1=+++-y x y （. 16. 关于函数21)32(sin )(||2+-=x x x f ，有下面四个结论： （1）)(x f 是奇函数. （2）当2003>x 时，21)(>x f 恒成立.（3）)(x f 的最大值是23. （4）)(x f 的最小值是21-.其中正确结论的个数为 ( ) （A ）1个. （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)解不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x .18. (本题满分12分)已知函数)sin()(ϕω+=x A x f R),0,0(∈>>x A ω在一个周期内的图象如图所示. 求直线3=y 与函数)(x f 图象的所有交点的坐标.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知三棱柱111C B A ABC -，在某个空间直角坐标系中，{,0}2m AB =，}0,0,{m =，},0,0{1n AA =，其中0>n m 、.（1）证明：三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱；（2）若n m 2=，求直线1CA 与平面11ABB A 所成角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知函数5)(,5)(31313131--+=-=x x x g x x x f .（1）证明)(x f 是奇函数；并求)(x f 的单调区间.（2）分别计算)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值，由此概括出涉及函数)(x f 和)(x g 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设21F F 、分别为椭圆1:2222=+b y a x C )0>>b a （的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点)23,1(A 到21F F 、两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段K F 1的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若N M 、是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM 、的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值. 试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.在一次人才招聘会上，有B A 、两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%. 设某人年初被B A 、两家公司同时录取，试问：（1） 若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？（2） 该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3） 在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.2003年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. 4.2.3π. 3. 二. 4.（3，2）. 5. 2-≤a . 6.1Re >z . 7. 54±. 8. ）（2,0π.9.16. 10. 83arctg . 11. 6 . 12. 23.二．.三．17.[解] 由,0862>+-x x 得0)4)(2(>--x x ，∴ 2<x 或4>x . …4分由213>-+x x ，得 015>-+-x x ， 51<<∴x ， …8分 ∴原不等式组的解是 )5,4()2,1( ∈x . …12分18. [解]根据图象得21,4)2(27,2==--==ωπππT A ,∴ )2sin(2ϕ+=xy . …4分 又由图象可得相位移为2π-. 221πϕ-=-∴，4πϕ=.即 )421sin(2π+=x y . …8分 根据条件)421sin(23π+=x ，23)421sin(=+∴πx .Z 23a r c s i n )1(42∈-+=+k k x kππ，Z 232)1(2∈--+=k k x k πππ， ∴ 所有交点坐标为）（，Z 3232)1(2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k πππ. …12分 19. [解] （1） }0,23,2{mm =-=，∴ m BC =|| ，又}0,23,2{mm -=，}0,0,{m =，∴ m =||， m =||，△ABC 为正三角形. …4分又⋅1=0，即AB AA⊥1， 同理AC AA ⊥1，∴⊥1AA 平面ABC ，从而三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱. …8分 （2）取AB 中点O ，连结CO 、O A 1.AB CO ⊥，平面⊥ABC 平面11A ABB ， ∴ ⊥CO 平面11A ABB ，即O CA 1∠为直线1CA 与平面11ABB A 所成角.…10分在∆Rt O CA 1中，m CO 23=，221n m CA +=，∴ 221123sin nm mCA CO O CA +==∠=22， 即︒=∠451O CA . …14分 20. [解]（1） 函数)(x f 的定义域)0,(-∞ ),0(∞+关于原点对称，又())(55)()(31313131x f x x x x x f -=--=---=---，∴ )(x f 是奇函数. …3分 设），（、，∞+∈<02121x x x x ， 55)()(31231231131121-----=-x x x x x f x f )11)((51312311312311x x x x +-=，0312311<-x x ，011312311>+x x ，∴0)()(21<-x f x f ，)(x f 在),0(∞+上单调递增.又 )(x f 是奇函数，)(x f ∴在)0,(-∞上也单调递增. …7分 （2）计算得0)2()2(5)4(=-g f f ，0)3()3(5)9(=-g f f ，由此概括出对所有不等于零的实数x 有：0)()(5)(2=-x g x f x f . …10分5555)()(5)(3131313132322---+⋅-⋅--=-x x x x x x x g x f x f0)51)5132323232=---=--x x x x （（. …14分21. [解]（1）椭圆C 的焦点在x 轴上.由椭圆上的点A 到21F F 、两点的距离之和是4，得24=a ，即2=a ，又点)23,1(A 在椭圆上，因此12321222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b得32=b ，于是1222=-=b a c ， 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ，焦点)0,1(),0,1(21F F -. …4分 （2）设椭圆C 上的动点为),(11y x K ，线段K F 1的中点),(y x Q 满足：2,2111yy x x =+-=， ∴ y y x x 2,1211=+=， …7分因此()()13241222=++y x ，即1342122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 为所求的轨迹方程. …10分（3）类似的性质为：若N M 、是双曲线：12222=-by a x 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM 、的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值. …13分设点M 的坐标为),(n m ，则点N 的坐标为),(n m --，其中12222=-bn a m .又设点P 的坐标为),(y x . 由m x n y k PM --=，mx ny k PN ++=，得⋅PM k =PN k ⋅--m x n y m x n y ++=2222m x n y --， 将22222b x ab y -=，22222b m a b n -=代入得 ⋅PM k =PN k 22a b . …16分22. [解](1) 此人在B A 、公司第n 年的月工资数分别为：)N ()1(2301500∈-⨯+=n n a n ，)N (%)51(20001∈+=-n b n n . …4分（2）若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为304200)(121021=+++a a a （元），若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为301869)(121021≈+++b b b （元）， …8分 因为在A 公司收入的总量高些，因此该人应该选择A 公司. …10分（3）问题等价于求105.120002301270-⨯-+=-=n n n n n b a c )N ∈n （的最大值.当2≥n 时，=--1n n c c 205.1100230-⨯-n .当01>--n n c c ，即005.11002302>⨯--n 时，,3.205.12<-n 得 1.19<n .因此，当192≤≤n 时，n n c c <-1；于是，当20≥n 时，1-≤n n c c .19c ∴是数列{}n c 的最大项， …16分 827191919≈-=b a c (元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元. …18分。
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷 （共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .4．已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= .7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = . 12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ）A ．y=tg|x |.B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|x ctg y =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A ．α、β都垂直于平面r . B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β. D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.15．在P （1，1）、Q （1，2）、M （2，3）和N )41,21(四点中，函数x a y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点 （ ）A ．P ．B ．Q.C ．M.D ．N.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是 （ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =1， 0<b<2,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a =－2,b=0,则函数g(x )的图象关于y 轴对称D ．若 a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.19．（本题满分14分） 已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+- （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.（3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)21,21(-. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos 8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．190119 10．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．[解]12|||1sin cos (cos sin )|z z i θθθθ⋅=++-===故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38.19．[解]x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f x x x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则121222221122122122122111111122()()log log )[log (1)log (1)],111111220,log (1)log (1)0,11x x f x f x x x x x x x x x x x x x ++-=--+=-+-------->--->--（由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5）， 椭圆方程为12222=+by a x . 将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道拱宽约为33.3米. （2）由椭圆方程12222=+b y a x ，得.15.4112222=+ba2222222211 4.5211 4.59999,2,,.42211 4.51,,231.1, 6.422ab ab l a h b S lh a b ab S a b l a h b a b πππ⨯⨯+≥≥====≥======≈=≈因为即且所以当取最小值时有得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+b y a x ，得.15.4112222=+ba 于是,121481222-⋅=a a b222222228112181(121242)242)81121,4121412199,,121,1121a b a a ab S a a b a =-++≥=⨯-≥-===-即当取最小值时有得21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}.（2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y = 由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1. （2003•上海•理）函数sin cos()cos sin()44y x x x x ππ=+++的最小正周期T =______.2. （2003•上海•理）若3x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0α∈，2)π，则α=_______.3. （2003•上海•理）在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则45a a ++…10a +=__________. 4. （2003•上海•理）在极坐标系中，定点(1A ，)2π，点B 在直线cos sin 0ρθρθ+=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是__________.5. （2003•上海•理）在正四棱锥P ABCD -中，若侧面与底面所成二面角的大小为60︒，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于________（结果用反三角函数值表示）.6. （2003•上海•理）设集合{|4}A x x =<，2{|430}B x x x =-+>，则集合{|x x A ∈且}x A B ∉=__________.7. （2003•上海•理）在ABC ∆中，若sin A ：sin B ：sin C =2：3：4，则ABC ∠=____（结果用反三角函数表示）.8. （2003•上海•理）若首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项1a ，公比q 的一组取值可以是1(a ，)q =_________.9. （2003•上海•理）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为_________．（结果用分数表示）10. （2003•上海•理）方程3lg 18x x +=的根x ≈_______．（结果精确到0.1）11. （2003•上海•理）已知点(0A ，2)n，(0B ，2)n -，2(4C n +，0)，其中n 为正整数.设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则lim n n S →∞=________. 12. （2003•上海•理）给出问题：1F 、2F 是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由12||||8PF PF -=，即29||8PF -=，得2||PF =1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.________________________________________________________________________二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003•上海•理）下列函数中，既为偶函数又在(0，)π上单调递增的是A.tan ||y x =B.cos()y x =-C.sin()2y x π=- D.|cot |2x y = 14. （2003•上海•理）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是A.α、β都垂直于平面γB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD.l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β15. （2003•上海•理）设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16. （2003•上海•理）()f x 是定义在区间[c -，]c 上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的叙述正确的是A.若0a <，则函数()g x 的图象关于原点对称B.若1a =-，20b -<<，则方程()0g x =有大于2的实根C.若0a ≠，2b =，则方程()0g x =有两个实根D.若1a ≥，2b <，则方程()0g x =有三个实根三、解答题（共7小题，满分12+12+14+14+16+18=86分）17. （2003•上海•理）已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，求12||z z 的最大值和最小值.18. （2003•上海•理）已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，1A A ⊥平面ABCD ，4AB =，2AD =.若1B D BC ⊥，直线1B D 与平面ABCD 所成的角等于30︒，求平行六面体1111ABCD A BC D -的体积.19. （2003•上海•理）已知数列{}(n a n 为正整数）是首项为1a ，公比为q 的等比数列.⑴求和：012122232a C a C a C -+，012313233343a C a C a C a C -++； ⑵由⑴的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.20. （2003•上海•理）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.⑴若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？⑵若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为4S lh π=，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）21. （2003•上海•理）在以O 为原点的直角坐标系中，点(4A ，3)-为OAB ∆的直角顶点．已知||2||AB OA =，且点B 的纵坐标大于零.⑴求向量AB 的坐标；⑵求圆22620x x y y -++=关于直线OB 对称的圆的方程；⑶是否存在实数a ，使抛物线21y ax =-上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22. （2003•上海•理）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x R ∈，有()()f x T Tf x +=成立.⑴函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；⑵设函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象与y x =的图象有公共点，证明：()f x =x a M ∈；⑶若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的取值范围.2003年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2003•上海）函数的最小正周期T= π．【分析】先通过正弦函数的两角和公式对函数进行化简，再正弦函数的性质求出答案．【解答】解：y=sinxcos（x+）+cosxsin（x+）=sin（x+x+）=sin（2x+）对于y=sin（2x+），最小正周期T==π故答案为：π【点评】本题主要考查三角函数的周期性的求法．关键是把函数化简成y=Asin（ωx+φ）的形式．2．（4分）（2003•上海）若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α= ．【分析】把x=代入方程2cos（x+α）=1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α．【解答】解：∵x=是方程2cos（x+α）=1的解，∴2cos（+α）=1，即cos（+α）=．又α∈（0，2π），∴+α∈（，）．∴+α=．∴α=．故答案为：【点评】本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．3．（4分）（2003•上海）在等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，则a4+a5+…+a10= ﹣49 ．【分析】先根据a5=3，a6=﹣2，进而根据等差数列的求和公式根据a4+a5+…+a10=S10﹣S3求得答案．【解答】解：由题意知，解得a1=23，d=﹣5∴a4+a5+…+a10=S10﹣S3=﹣=﹣49故答案为﹣49【点评】本题主要考查了等差数列的性质．要熟练记忆等差数列的通项公式和求和公式．4．（4分）（2003•上海）在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是．【分析】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=0，化为x+y=0，线段AB最短，就是过A与x+y=0垂直的直线，和它的交点．再换成极坐标．【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ=0，化为x+y=0，与x+y=0垂直过A的直线方程为：y﹣1=x，这两条直线的交点是．所以B的极坐标是．故答案为：．【点评】本题是极坐标和直角坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，容易出错．5．（4分）（2003•上海）在正四棱锥P﹣ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于arctan2 ．（结果用反三角函数值表示）【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，取AD的中点E，作PO⊥面ABCD则∠PEO=60°，设AB=2，则EO=1，PE=2，AE=1将BC平移到AD，∠PAD为异面直线PA与BC所成角tan∠PAD=2，∴∠PAD=arctan2，故答案为arctan2【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．6．（4分）（2003•上海）设集合A={x||x|＜4}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则集合{x|x ∈A且x∉A∩B}= {x|1≤x≤3} ．【分析】分别解出集合A集合B，然后求集合{x|x∈A且x∉A∩B}．【解答】解：集合A={x|﹣4＜x＜4}，集合B={x|x＞3或x＜1}，A∩B={x|﹣4＜x ＜1或3＜x＜4}，则集合{x|x∈A且x∉A∩B}={x|1≤x≤3}故答案为：{x|1≤x≤3}．【点评】本题考查元素与集合的关系，是基础题．7．（4分）（2003•上海）△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cos2C= ．【分析】先根据正弦定理将正弦值的比值转化为边的比值，再由余弦定理可求出角C的余弦值，从而根据余弦的二倍角公式可得答案．【解答】解：sinA：sinB：sinC=2：3：4由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，不妨设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）根据余弦定理可得：cosC==∴cos2C=2cos2C﹣1=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解题过程中，经常通过所给正弦值的关系通过正弦定理转化为边的关系，再由余弦定理解题．8．（4分）（2003•上海）若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=的一组数）．【分析】根据等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，可推断|q|＜1，进而根据＜，求得a1的范围【解答】解：由题意知＜且|q|＜1对n∈N都成立，∴a1＞0，0＜q＜1故答案是为（1，）答案不唯一（a1＞0，0＜q＜1的一组数）【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（4分）（2003•上海）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）【分析】本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有C202种结果，而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家，两人属于同一个国家共有C112+C42+C52．根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有C202种结果，而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家，∵此两人属于同一个国家共有C112+C42+C52，由对立事件的概率公式得到P=1﹣=1﹣=，故答案为：【点评】本题出自2003年全国高考卷，主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．10．（4分）（2003•上海）方程x3+lgx=18的根x≈ 2.6 ．（结果精确到0.1）【分析】先确定根的大致区间，再由二分法求出根的近似值．【解答】解：先确定根的隔离区间：lgx=18﹣x3．令y=lgx，y=x3作图根x0落在区间（2，3）内．用二分法求根x0f（x）=x3+lgx﹣18；f（2）=﹣9.70；f（3）=9.48f（2.5）=﹣1.98＜0； f（2.75）=3.24＞0f（2.625）=0.51＞0；f（2.5625）=﹣0.76结果保留到0.1，则x0≈2.6．故答案为2.6．【点评】本题主要考查函数零点的所在区间的求法和根据二分法求方程的根．属中档题．11．（4分）（2003•上海）已知点，其中n的为正整数．设Sn表示△ABC外接圆的面积，则= 4π．【分析】由三角形的对称性，先找出其外接圆圆心在X轴上，再求出半径，进而求出面积及其极限值．【解答】解：由题意可知外接圆圆心在X轴上，可设为O（a，0），则OA=OC，即OA2=OC2 ∴，解得∴O为∴圆O的半径为OA==∴其外接圆的面积Sn=═∴=4π．故答案是4π．【点评】本题的解答过程中，注意到先根据三角形的对称性找出外接圆圆心坐标，再进一步求解．12．（4分）（2003•上海）给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|﹣|PF2||=8，即|9﹣|PF2||=8，得|PF2|=1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内|PF2|=17 ．【分析】看当|PF2|=1时△PF1F2两边之差大于第三边，与三角形两边之差小于第三边的性质矛盾．进而可判断学生的解答不正确．【解答】解：双曲线的实轴长为8，由||PF1|﹣|PF2||=8，即|9﹣|PF2||=8，得|PF2|=1或17．依题意知|F1F2|=12，若|PF2|=1，由题设|PF1|=9知△PF1F2两边之差大于第三边，与三角形两边之差小于第三边的性质矛盾．故学生解答不正确．故答案为|PF2|=17．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解决此类问题，需要在复习过程中注意对思维的严谨性和推理的逻辑性进行训练，也要注意对课本、参考书和教师同学的解法进行反思和加工，从而形成良好的批判思维能力二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2003•上海）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tan|x| B．y=cos（﹣x） C．D．y=|cot|【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．【解答】解：y=sin（x﹣）=﹣sin（﹣x）=﹣cosx故选C．【点评】本题考查了三角函数的性质与图象，属于基本知识的考查，是常见题型．要熟练掌握各种三角函数的图象及性质．14．（4分）（2003•上海）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【分析】通过举反例推断A、B、C是错误的，即可得到结果．【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．故选D．【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．15．（4分）（2003•上海）a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】此题主要考查对相关概念的理解和把握．【解答】解：∵a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，且不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为集合M和N，∴知这两个不等式的系数比相等与不等式解集没有必然联系，∴可知两者是既非充分又非必要条件的关系，故选D．【点评】本题其实不难，注意是弄清逻辑关系，不能被试题给迷惑了．16．（4分）（2003•上海）f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B．若a=﹣1，﹣2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根C．若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根D．若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根【分析】奇函数的图象关于原点对称；当a≠0时af（x）与f（x）有相同的奇偶性；f（x）+b的图象可由f（x）上下平移得到．充分利用以上知识点逐项分析即可解答．【解答】解：①若a=﹣1，b=1，则函数g（x）不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A错误；②当a=﹣1时，﹣f（x）仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与f（x）相反，若再加b，﹣2＜b＜0，则图象又向下平移﹣b个单位长度，所以g（x）=﹣f（x）+b=0有大于2的实根，所以选项B正确；③若a=，b=2，则g（x）=f（x）+2，其图象由f（x）的图象向上平移2个单位长度，那么g（x）只有1个零点，所以g（x）=0只有1个实根，所以选项C错误；④若a=1，b=﹣3，则g（x）的图象由f（x）的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即g（x）=0只有一个实根，所以选项D错误．故选B．【点评】本题考查奇函数的图象特征及函数af（x）与f（x）的奇偶性关系，同时考查由f（x）到f（x）+b的图象变化．三、解答题（共7小题，满分86分）17．（12分）（2003•上海）已知复数z1=cosθ﹣i，z2=sinθ+i，求|z1•z2|的最大值和最小值．【分析】直接化简z1•z2，然后再求它的模，可求其最值．【解答】解：|z1•z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ﹣sinθ）i|===故|z1•z2|的最大值为，最小值为．【点评】本题考查复数模的求法，复数的化简，三角函数的最值的求解，是中档题．18．（12分）（2003•上海）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2．若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．【分析】根据题目所给条件，可判断出几何体的高是A1A，只要求出底面面积即可，根据题意，说明BC⊥BD．容易求得底面面积．【解答】解：连接BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD．在△BCD中，BC=2，CD=AB=4．所以BD=．又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2．故平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为SABCD•BB1=．【点评】本题考查棱柱的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．19．（14分）（2003•上海）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．（1）求和：a1C20﹣a2C21+a3C22，a1C30﹣a2C31+a3C32﹣a4C33；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出数列的前4项，据组合数公式求出各个组合数，代入两个代数式求出值．（2）归纳猜测出一般结论，利用等比数列的通项公式将各项用首项和公比表示，提出公因式公比，逆用二项式定理的展开式，化简代数式得证．【解答】解：（1）a1C20﹣a2C21+a3C22=a1﹣2a1q+a1q2=a1（1﹣q）2a1C30﹣a2C31+a3C32﹣a4C33=a1﹣3a1q+3a1q2﹣a1q3=a1（1﹣q）3；（2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1Cn0﹣a2Cn1+a3Cn2﹣a4Cn3+…+（﹣1）nan+1Cnn=a1（1﹣q）n，n为正整数．证明：a1Cn0﹣a2Cn1+a3Cn2﹣a4Cn3+…+（﹣1）nan+1Cnn=a1Cn0﹣a1qCn1+a1q2Cn2﹣a1q3Cn3+…+（﹣1）na1qnCnn=a1[Cn0﹣qCn1+q2Cn2﹣q3Cn3+…+（﹣1）nqnCnn]=a1（1﹣q）n．【点评】本题考查等比数列的通项公式、组合数公式、二项式定理展开式的形式，要熟练掌握公式并能逆用公式．20．（14分）（2003•上海）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）【分析】（1）根据题意，建立坐标系，可得P的坐标并设出椭圆的方程，将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得l=2a，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将（11，4.5）代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当ab≥99且l=2a，h=b时，，进而分析可得答案．【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得，此时此时因此隧道的拱宽约为33.3米；（2）由椭圆方程，根据题意，将（11，4.5）代入方程可得．因为即ab≥99且l=2a，h=b，所以当S取最小值时，有，得，此时，h=b≈6.4故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．【点评】本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．21．（16分）（2003•上海）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，﹣3）为△OAB 的直角顶点．已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零．（1）求向量的坐标；（2）求圆x2﹣6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax2﹣1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围．【分析】（1）设出要求的向量的坐标，根据所给的模长的关系和直角三角形两条直角边垂直的关系，写出关于向量坐标的关系式，解方程，舍去不合题意的结果，得到向量的坐标．（2）要求圆关于直线的对称圆，只要求出圆心关于直线的对称点即可，本题需要先根据向量的坐标求出点B的坐标，从而求出直线的方程，通过计算得到结果．（3）设出抛物线上关于直线的对称的两个点，两个点的中点在直线上且两点连线与已知直线垂直，写出所设的点的关系，构造一元二次方程，根据方程有解用判别式得到结果．【解答】解：（1）设，则由||=2||，=0即得，或．∵，∴v﹣3＞0，得v=8，∴={6，8}；（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：．由条件可知圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y+1）2=10，得圆心（3，﹣1），半径为．设圆心（3，﹣1）关于直线OB的对称点为（x，y）则，得，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=10；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称两点，则，得即x1，x2为方程的两个相异实根，于是由，得．∴当时，抛物线y=ax2﹣1上总有关于直线OB对称的两点．【点评】本题是近几年高考常考的问题，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的22．（18分）（2003•上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f （x）=ax∈M；（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．【分析】（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M．（2）由题意存在x∈R使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知f（x）=ax∈M．（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[﹣1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．【解答】解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x∉M；（2）因为函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x，显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．于是对于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aT•ax=T•ax=Tf（x）故f（x）=ax∈M；（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx．因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z．当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，则﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣（2m﹣1）π，m∈Z．综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．【点评】考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．参与本试卷答题和审题的老师有：zhwsd；qiss；minqi5；涨停；wsj1012；rxl；杨南；zhiyuan；wzj123；wdnah；danbo7801；xintrl（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（理工农医类）本试卷共22道题，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= . 4．在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 .5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= . 7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点),0,n24(C ),n 2,0(B ),n 1,0(A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ） A ．y=tg|x |. B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|xctgy =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.15．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下 列关于函数g （x ）的叙述正确的是 （ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱 宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设 计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；（3）若函数f(x)=sin kx∈M ,求实数k的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)43,22(π. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．19011910．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.题 号 13 14 15 16 代 号CDDB17．[解].2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2.18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. 19．[解]（1）.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021q a q a q a q a a C a C a C a C a q a q a q a a C a C a C a -=-+-=-+--=+-=+-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nnn n n n n n n n nnn nnnn n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(133********122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5）， 椭圆方程为12222=+by a x .将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）[解一]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab b a 此时得有取最小值时当所以且即因为πππ故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a 于是,121481222-⋅=a ab ,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222-=-≥⨯=+≥+-+-=a a S ab a a b a 有取最小值时当即得.229,211==b a 以下同解一.21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB v u 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故={6，8}.（2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y = 由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a aa x a x x x a a x x a x x x x y y y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点. 22．[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a aT x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.当k≠0时，因为f(x)=sin kx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+k T)=Tsin kx .因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+k T∈R，于是sin kx∈[－1，1]，sin(kx+k T) ∈[－1，1]，故要使sin(kx+k T)=Tsin kx .成立，，当T=1时，sin(kx+k)=sin kx成立，则k=2mπ, m∈Z .只有T=1当T=－1时，sin(kx－k)=－sin kx成立，即sin(kx－k+π)= sin kx成立，则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1)π, m∈Z .综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}。
