高考数学(文)二轮专题复习习题：第1部分 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理 1

1.2 不等式【课时作业】1．集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，假设M ∩N ＝{x |6<x <n }，那么m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析： M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，应选C.答案： C2．假设a <b <0，那么以下不等式错误的选项是( ) A.1a >1bB ．1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析： 因为a <b <0，所以1a >1b，故A 对．因为a <b <0，所以0<－b ，a <a －b <0， 所以1a >1a －b，故B 错．因为a <b <0，所以－a >－b >0，即|－a |>|－b |， 所以|a |>|b |，故C 对． 因为a <b <0，所以－a >－b >0，所以(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对． 答案： B 3．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，那么a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析： ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案： D4．(2021·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，那么( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A解析： 假设点(2,1)∈A ，那么不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >32，a ≥0，解得a >32.即点(2,1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A 成立．应选D. 答案： D5．(2021·广东清远清城一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，那么关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．应选C.答案： C6．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，假设z ＝2x －y ，那么z 的取值范围是( )A ．[－5,6)B ．[－5,6]C ．(2,9)D ．[－5,9]解析： 作出可行域如图中阴影局部所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，并平移，可知当该直线经过点A (－2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5，当该直线经过点B (2，－2)时，z ＝2×2＋2＝6，由于点B 不在可行域内，应选A.答案： A7．在平面直角坐标系中，假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，那么a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析： 如图，阴影局部即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的区域，而ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，那么可行域不是一个封闭区域，当a ＝1时，面积是1；a ＝2时，面积是32；当a ＝3时，面积恰好为2，应选D.答案： D8．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析： 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，那么另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，那么y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．答案： C9．(2021·江西九江二模)实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x ＋y －2≥0，2x －y ＋2≥0，假设z ＝y －1x ＋3的最大值为1，那么z 的最小值为( ) A ．－13B ．－37C.13D ．－15解析： 作出可行域如图中阴影局部所示，目标函数z ＝y －1x ＋3的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点A (－3,1)两点连线的斜率，当取点B (a,2a ＋2)时，z 取得最大值1，故2a ＋2－1a ＋3＝1，解得a ＝2，那么C (2,0)．当取点C (2,0)时，z 取得最小值，即z min ＝0－12＋3＝－15.应选D.答案： D10．(2021·湖北省五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (单位：吨) 3 2 12 B (单位：吨)128A.15万元 B ．16万元 C ．17万元D ．18万元解析： 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，那么有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影局部所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点M (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18，应选D.答案： D11．假设两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12<0有解，那么实数n的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)C.()1，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析： 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n 12<0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <n 2＋13n 12，因为x >0，y >0，且13x ＋3y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512>0，解得n <－2512或n >1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)，应选B.答案： B12．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，假设y ≥kx －3恒成立，那么实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析： 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝0，解得B (3，－3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋5＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3，52≥－52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0.答案： A13．不等式12x －3>0的解集为________．解析： 由题意知2x－3>0，所以x >log 23，即不等式12x－3>0的解集为(log 23，＋∞)． 答案： (log 23，＋∞)14．(2021·南昌市摸底调研)函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，那么正数m 的值为________．解析： ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当x＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，即2m ＋2＝6，解得m ＝4.答案： 415．(2021·北京卷)假设x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，那么2y －x 的最小值是________．解析： 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图阴影局部所示． 设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案： 316．定义min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <y ，y ，x ≥y ，那么不等式min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x，4≥8 min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x 的解集是________．解析： 因为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x ，4＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x >0，x ＋4x，x <0，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－1，1x ，－1<x <0，x ，0<x ≤1，1x ，x >1，所以当x >1时，由4≥8x得x ≥2；当0<x ≤1时，由4≥8x ，得0<x ≤12；当x ≤－1时，由x ＋4x≥8x ，得x ≤－1；当－1<x <0时，由x ＋4x ≥8x得－1<x <0.综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案： (－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)。

1.3 平面向量【课时作业】1．向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，假设(m ＋n )⊥(m －n )，那么t ＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．－1解析： 法一：由(m ＋n )⊥(m －n )可得(m ＋n )·(m －n )＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.答案： B2．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .假设AB →＝a ，AC →＝b ，那么PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析： PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，应选A.答案： A3．向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)那么向量a ，b 的夹角的余弦值为( ) A.31010 B ．－31010 C.22D ．－22解析： 因为向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，所以b ＝(2,0)，那么向量a ，b 的夹角的余弦值为1×2＋1×02×2＝22.答案： C4．在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，那么点C 的坐标为( )A ．(11,8)B ．(3,2)C ．(－11，－6)D ．(－3,0)解析： 设C (x ，y )，∵在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(－11，－7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－11，y －1＝－7，解得x ＝－11，y ＝－6，故C (－11，－6)．应选C.答案： C5．(2021·广东广雅中学等四校2月联考)两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，那么|a －k b |的最小值为( )A.34 B ．32C ．1D ．32解析： ∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°，∴|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34.∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，应选B. 答案： B6．在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析： 设OP 3→＝(x ，y )，那么由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，应选D.答案： D7．(2021·河北衡水中学2月调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，假设AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，那么52μ－λ＝( )A ．－12B ．1 C.32D ．－3解析： AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E 、M 、F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12，应选A.答案： A8．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为线段BC 上的点，那么AE →·DE →的最小值为( ) A ．2 B ．154C.174D ．4解析： 如图，以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，BA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,2)，D (1,2)．设E (x,0)(0≤x ≤1)，那么AE →＝(x ，－2)，DE →＝(x －1，－2)．∴AE →·DE →＝(x ，－2)·(x －1，－2)＝x 2－x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋154.∵0≤x ≤1，∴当x ＝12，即E 为BC 的中点时，AE →·DE→取得最小值，最小值为154.应选B.答案： B9．a ，b 为平面向量，假设a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，那么|a ||b |＝( )A.33 B ．63C.53D ．2解析： 在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC＝π4.在△ABC 中，由正弦定理，得|a ||b |＝sin ∠ACB sin ∠BAC ＝sin ∠DACsin ∠BAC ＝sinπ4sinπ3＝2232＝63.应选B. 答案： B10．向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，假设m ＋n ＝1，那么|OC →|的最小值为( )A.52B ．102C. 5 D ．10解析： 由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC →＝(1＋2m,4m －3)，那么|OC →|＝1＋2m2＋4m －32＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案： C11．(2021·惠州市第二次调研)等边三角形ABC 的边长为2，其重心为G ，那么BG →·CG →＝( )A ．2B ．－14C ．－23D ．3解析： 法一：如图，建立平面直角坐标系，那么A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，得重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，那么BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，CG →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，33，所以BG →·CG →＝－1×1＋33×33＝－23，应选C. 法二：因为AC →·AB →＝|AC →|·|AB →|cos 60°＝2×2×12＝2，BG →＝13AC →－23AB →，CG →＝13AB →－23AC →，所以BG →·CG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－23AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－23AC →＝19AC →·AB →－29AC →2－29AB →2＋49AC →·AB →＝59AC →·AB →－29×4－29×4＝59×2－169＝－69＝－23，应选C. 答案： C12．向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，那么|b |的取值范围为( ) A ．[1,2]B ．[2,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析： 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案： D13．(2021·全国卷Ⅲ)向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．假设c ∥(2a ＋b )，那么λ＝________.解析： 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.答案： 1214．等边△ABC 的边长为2，假设BC →＝3BE →，AD →＝DC →，那么BD →·AE →＝________.解析： 如下图，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC→－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝ 16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. 答案： －215．(2021·益阳市，湘潭市调研试卷)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，那么tan θ＝________.解析： 法一：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 法二：∵a ＋b ＝(1，3)，∴|a ＋b |＝1＋3＝2，记OA →＝a ，AB →＝b ，那么OB →＝a ＋b ，由题意知|AB →|＝|OB →|＝2，|OA →|＝1，θ＝π－∠OAB ，∴在等腰三角形OBA 中，tan ∠OAB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝15，∴tan θ＝－tan ∠OAB ＝－15. 答案： －1516．(2021·福州市质量检测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC .假设BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，那么x －y 的值为________．解析： 如图，延长DC ，AB 交于点E ，因为∠DCA ＝2∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CEA . 又∠ABC ＝90°，所以BA →＝－BE →.因为BD →＝xBA →＋yBC →，所以BD →＝－xBE →＋yBC →.因为C ，D ，E 三点共线，所以－x ＋y ＝1，即x －y ＝－1.答案： －1。

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。

1.1 集合与常用逻辑用语【课时作业】1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析： ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{}x |－1≤x ≤2. 故选B. 答案： B2．(2018·某某卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析： ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． 答案： C3．(2018·某某皖南八校3月联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B的真子集个数为22－1＝3.故选B.答案： B4．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 解析： 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0.答案： C5．(2018·卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B. 答案： B6．(2018·某某市第一统考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,1]B ．(－2,2]C ．(0,1)D ．[－2,2]解析： 不等式log 2x ≤1即log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A ＝(0,2]．由x 2＋x －2≥0，得(x ＋2)(x －1)≥0，得B ＝{x |x ≤－2或x ≥1}，所以∁U B ＝(－2,1)，从而A ∩∁U B ＝(0,1)．故选C.答案： C7．设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2>9，x ∈N }，B ＝{0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x >2，x ∈N }B ．{x |x ≤2，x ∈N }C ．{0,2}D ．{1,2}解析： 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤9，x ∈N }＝{x |－3≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，因为B ＝{0,2,4}，所以B ∩(∁U A )＝{0,2}．答案： C8．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．命题“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析： C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.答案： C9．(2018·某某省质量检测(一))已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析： 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题，故选D.答案： D10．(2018·某某省五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析： 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.答案： D11．(2018·某某某某3月联考)下列命题正确的是( )A ．命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析： 对于选项A ，命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1<0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题，q 为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a·b >0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确．因此选D.答案： D12．(2018·某某某某一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x－a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析： 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.∀x >0,2x－a >0等价于a <2x在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值X 围是(1,2)，故选C.答案： C13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：____________________.解析： 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案： ∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 017＋b 2 017的值为________．解析： 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a2 017＋b2 017＝－1.答案： －115．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析： 集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案： {(2,3)}16．a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．解析： 显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A 可知，当b 不是最大时，则a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b 的年龄是最大”为真，即b >a >c .同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．答案： c ，a ，b。