下载文档原格式
角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。
即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。
2.角平分线与角的两边相交于一个点。
即角平分线与角的两边交于角的顶点。
3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。
即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。
4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。
即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。
即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。
三、应用：1.判断角平分线。
当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。
2.利用角平分线的性质解决问题。
当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。
例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。
3.构造角平分线。
当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。
常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。
四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。
证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。
再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。
2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。
证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。
第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt Rt△△ABC 中，AC=BC AC=BC，，∠C=90°，AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，，DE DE⊥⊥AB 于点E ，AB=15cm AB=15cm，，（1）求证：）求证：BD+DE=AC BD+DE=AC BD+DE=AC．．（2）求△）求△DBE DBE 的周长．的周长．例2. 如图，∠如图，∠B=B=B=∠C=90°，∠C=90°，∠C=90°，M M 是BC 中点，中点，DM DM 平分∠平分∠ADC ADC ADC，求证：，求证：，求证：AM AM 平分∠平分∠DAB DAB DAB．．例3. 如图，已知△如图，已知△ABC ABC 的周长是2222，，OB OB、、OC 分别平分∠分别平分∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB ACB，，OD OD⊥⊥BC 于D ，且OD=3OD=3，△，△，△ABC ABC 的面积是多少？的面积是多少？角平分线的性质定理和判定第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，如图，已知∠1=∠2，P P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△如图，△ABC ABC 中，中，P P 是角平分线AD AD，，BE 的交点．的交点． 求证：点P 在∠在∠C C 的平分线上．21NPF CBA【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例3.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．的面积．第四部分：思维误区第五部分：方法规律第七部分：巩固练习DAD M A B C N P E D B C A E F ADP7．如图，如图，已知在△已知在△ABC 中，90C Ð=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ^ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC Ð．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．上．第八部分：中考体验ＢＤＡＥＣA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A ． 11 B ． 5.5 C ． 7D ． 3.5 3．（2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △=7，A ． 4B ．3 C ．6 D ．5 间的距离为间的距离为 _________ ．2．（2011•恩施州）如图，AD △ABC DF AB F DE=DG △ADG △AED。
角平分线的性质知识点总结1、角的平分线的性质：角平分线上的 到角两边的 相等。
符号语言： OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴B P A P =.2、角的平分线的判定：到一个角的两边的 的点，在这个角的平分线上。
符号语言： AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，B P A P =，∴点P 在∠AOB 的平分线上.3、三角形的角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离 。
4、尺规作角的平分线已知：∠AOB ． 求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N 。
（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ．射线OC 即为所求O AB P例题试炼例I．已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PE=PD 证明：∵OC平分∠ AOB （已知）∴∠1= ∠2（角平分线的定义）∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）∴∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO= ∠PEO（已证）∠1= ∠2 （已证）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）例2、已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, PE=PD 求证: 点P在∠AOB的平分线证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，∠PDO= ∠PEO=90°在Rt △PDO 与Rt △PEO中OP=OP（公共边）PD=PE（已知）∴Rt△PDO≌ Rt △PEO（HL)∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上举一反三：在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F。
求证：点D在∠A的平分线上。
例3：如图，已知∠1＝∠2，AE⊥OB与点E，BD⊥OA与点D，交AE于点C，求证：AC＝BC.例4：如图，已知AB＝CD，△PAB的面积与△PCD的面积相等，求证：OP平分∠AOD.例5：如图，已知BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC 的平分线上.例6：△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
八上-角平分线的性质和判定(教案)第一章：角平分线的定义教学目标：1. 理解角平分线的定义。
2. 能够正确地画出角的平分线。
教学内容：1. 引入角平分线的概念，引导学生思考如何将一个角平分成两个相等的角。
2. 讲解角平分线的定义，即从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
3. 演示如何画出角的平分线，并引导学生尝试自己画出角的平分线。
教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角的概念，引导学生思考如何将一个角平分成两个相等的角。
2. 教师讲解角平分线的定义，并演示如何画出角的平分线。
3. 学生跟随教师的演示，尝试自己画出角的平分线。
第二章：角平分线的性质教学目标：1. 掌握角平分线的性质。
2. 能够运用角平分线的性质解决相关问题。
教学内容：1. 引入角平分线的性质，引导学生思考角平分线与角的关系。
2. 讲解角平分线的性质，即角平分线将角分成两个相等的角，且角平分线与角的两边成等角。
3. 演示如何运用角平分线的性质解决相关问题，并引导学生尝试自己运用角平分线的性质解决问题。
教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角平分线的定义，引导学生思考角平分线与角的关系。
2. 教师讲解角平分线的性质，并演示如何运用角平分线的性质解决相关问题。
3. 学生跟随教师的演示，尝试自己运用角平分线的性质解决问题。
第三章：角平分线的判定教学目标：1. 掌握角平分线的判定方法。
2. 能够运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。
教学内容：1. 引入角平分线的判定，引导学生思考如何证明一条线段是角平分线。
2. 讲解角平分线的判定方法，即如果一条线段平分一个角的两边，则这条线段是该角的平分线。
3. 演示如何运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线，并引导学生尝试自己运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。
教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角平分线的性质，引导学生思考如何证明一条线段是角平分线。
2. 教师讲解角平分线的判定方法，并演示如何运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。
角平分线的性质和判定重难点易错点解析题一(1)如图，△ABC中，PB、PC分别平分∠ABC、∠ACB，求证：点P在∠A的角平分线上．APB C(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．角平分线的性质与判定金题精讲题一如图，已知△ABC的周长是21，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是多少？D OB C A角分线性质的应用题二如图：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF +∠EAF =180°．求证：DE =DF ．B E F角分线性质的应用题三 四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠ADC +∠B =180°， 求证：2AE =AB +AD ．CE B D A角分线性质的应用思维拓展题一在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．请证明：AB ：AC =BD ：CD ．B面积法的应用，角分线性质的应用讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：做辅助线，用性质和判定证明．金题精讲题一答案：42．题二答案：作垂直，证全等AAS．题三答案：作垂直，证全等AAS．思维拓展答案：做距离，用面积法来解．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k ＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2(x＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0，即－4k－11>0，∴k<－114，令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－114，∴k＝－3, ∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方式梳理】角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在那个角的平分线上。
角平分线的作法（尺规作图）①以点0为圆心，任意长为半径画弧,交OA、0B于C、D两点;②别离以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P：③过点P作射线0P,射线0P即为所求.角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推导已知：0C平分ZMON, P是0C上任意一点，PA丄OH, PB10N,垂足别离为点A、点B. 求证：PA=PB.证明：TPA丄OM, PB丄ON ・・・ZPA0=ZPB0=90° TOC 平分ZMON・・・Z1 = Z2在APAO 和Z\PBO 中，AAPAO^APBO・・・PA=PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）TOP 平分ZMON (Z1 = Z2) , PA丄OM, PB丄ON, •••PA=PB・ 2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上・推导：已知：点P是ZM0N内一点，PA丄0M于A, PB丄ON于B,且PA=PB. 求证：点P在ZH0N的平分线上.证明：连结0P>A=PB<在R tAPAO 和R tAPBO 中, °卩=°»ARtAPAO^RtAPBO (HL)・・・Z1 = Z2・・・0P平分ZMON即点P在ZHON的平分线上.几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）TFA丄OH, PB丄ON, PA=PB AZ1 = Z2 (OP 平分ZMON)【经典例题】例1・已知：如图，ZXABC中，ZC=90° , AD是AABC的角平分线，DE丄AB于E, F在AC上BD二DF,求证:CF二EBC D B例2•已知：如图，AD、BE是AABC的两条角平分线，AD、BE相交于0点求证：0在ZC的平分线上例3•如图AB/7CD, ZB=90° , E是BC的中点。
第02讲_线段的垂直平分线与角平分线知识图谱线段的垂直平分线知识精讲垂直平分线（中垂线）定义1：经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴性质（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等l为中垂线AC=BC，AD=BD判定在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上A BlOA BlOCD尺规作图作法：如图（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；（2）作直线CD ，CD 为所求直线三点剖析重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 易错点：①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。
垂直平分线的概念和性质例题1、 如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．【答案】 13【解析】 △DE 是AB 的垂直平分线， △EA=EB ，则△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例题2、 如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为___．【答案】 6【解析】 ∵DE 是BC 边上的垂直平分线， ∴BE=CE ．∵△EDC 的周长为24， ∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，∴（AB+AC+BC ）﹣（AE+ED+DC+AC ）=（AB+AC+BC ）﹣（AE+DC+AC ）﹣DE=12， ∴BE+BD ﹣DE=12，② ∵BE=CE ，BD=DC ， ∴①﹣②得，DE=6例题3、 已知△ABC ，∠BAC=110°，DE ，FG 分别是AB ，AC 的垂直平分线且DE 交BC 于M 点，FG 交BC 于N 点，求∠MAN 的度数。
八年级角平分线角平分线，这是一个几何术语，也是数学中的一个基本概念。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法。
下面，我将从定义、性质、判定方法三个方面，对八年级角平分线进行解析。
角平分线是指从一个角顶点引出一条射线，将这个角分成两个相等的角。
这条射线叫做角的平分线。
在书写时，我们通常用符号“”来表示角平分线，例如，如果有一个角AOB，那么它的角平分线可以表示为。
角平分线有许多重要的性质。
这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是角平分线的一些主要性质：角平分线将对应的边分为两段，两段长度相等。
也就是说，如果一个角AOB被分为两个相等的角，那么从角的顶点到角平分线的任意一点的距离等于另一段距离。
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
这意味着，如果你在角平分线上画一个点，那么这个点到角的两边的距离是相等的。
角的两边中点之间的连线是角平分线。
这是一个重要的性质，可以帮助我们在不知道角平分线的情况下找到角平分线的位置。
在八年级的数学课程中，我们学习了如何判断一个线段是否是角平分线。
以下是两种主要的判定方法：如果一个线段将一个角的两边等分，那么这个线段是这个角的平分线。
如果一个线段通过一个角的顶点，且将这个角分成两个相等的角，那么这个线段是这个角的平分线。
在几何学中，角平分线是一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们解决一些简单的问题，还可以帮助我们理解更复杂的几何问题。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法，这为我们进一步学习几何学打下了坚实的基础。
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一。
在三角形中，中线和角平分线是两种非常重要的线段，它们在几何学中有着重要的性质和应用。
三角形的中线是指连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。
三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，且每条中线都与三角形的三条边相交。
三角形中线的性质包括：1）任意两边中线的长度相等；2）中线将三角形的面积分成相等的两部分；3）当一个顶点与中线的交点之间的连线作为辅助线时，可以构成直角三角形。
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ）， ∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论. 【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ． 在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DPF ≌△EPF ， ∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键. 类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
角平分线的性质一、本节学习指点角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。
其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形标题有效的途径。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：OC平分∠AOB∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【重点】如第一个图：∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP 即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如下图：∵C是AB的中点∴AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】∵AB⊥CD∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°或∵∠AOC=90°∴AB⊥CD留意：要判断两条直线垂直，只需知道这两条相交直线所构成的四个角中的一个角是直角就可以了。
反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A'B'C'∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'三、经验之谈：本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到标题中出现角平分线，我们要会利用它的性质。
告诉大家一个秘密：在几何题型中，99%的标题给出的条件都是要用到的，除非此题属于难题范围，故意给些误导性条件。
人教版八年级上册数学角的平分线的性质
知识点
1.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
2.判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
3.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：
①、确定已知条件(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系)，
②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)
小练习
精品小编为大家提供的八年级数学角的平分线的性质知识点大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
八年级数学角的平分线的性质同步练习
新人教版初二数学角的平分线的性质知识点（上册）。
第7讲角平分线的判定与性质
【知识点与方法梳理】
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
角平分线的性质及判定
1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
推导
已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∵OC平分∠MON
∴∠1＝∠2
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO
∴PA＝PB
几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB．
2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
推导：
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在R t△PAO和R t△PBO中，
∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
N M
G
O E D B
【经典例题】
例1．已知：如图，△ABC 中， ∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ，
求证：CF=EB
例2.已知：如图，AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线，AD 、BE 相交于O 点 求证：O 在∠C 的平分线上
例3.如图A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。
DE 平分∠ADC ，
求证：AE 平分∠DAB 。
例4.已知：如图，在ΔABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是AB 、AC 上一点，并且有 ∠EDF ＋∠EAF ＝180°．试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由．
A
C D E
B
F
D
【经典练习】
1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO
2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC 上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。
3.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（写出作法）。
4.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA ⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.
F
E
D
C
B
A
O
P
O
D
C
B
A
F
E D
A
B
C 5.如图△ABC 中，A
D 是它的角平分线，且BD=CD ，D
E 、D
F 分别垂直AB 、AC ，垂足为E 、F ， 求证：EB=FC
6. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，求DE 的长．
7、已知：如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）求证：AM 平分∠DAB ；
（2）猜想AM 与DM 的位置关系如何？并证明你的结论．
【巩固练习】 基础训练题
1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线， 交AC 于点D ，若CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是（ ）
A.m+n
B. 2
1
mn C.mn 2 D. mn
A
E D
F
B
F
E
P
A B
C
D A
E
B C
条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（ ）
A 、BB′⊥AC
B 、BC=B′
C C 、∠ACB=∠ACB′
D 、∠ABC=∠AB′C
3、如图，FD ⊥AO 于D ，FE ⊥BO 于E ，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；④∠OFD=∠OFE 。
其中能够证明△DOF ≌△EOF 的条件的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图，在ΔABC 中，,F E 、分别是AB 、AC 上的点， EF =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线， 且P D ⊥BC 于D ，P E ⊥AB 于E, P F ⊥AC 于F,已知PD=4cm 则ΔPEF 的周长是___________ cm.
5.如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M ，N 是AB 的中点且BN=BC 。
求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。
6.如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。
求证：点D 在∠A 的平分线上。
7.如图8、AB ＝CD ，△PCD 的面积等于△PAB 的面积，求证：OP 平分∠BOD 。
N
M
（图7）
C
B
A
B
8.如图9、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。
能力提高题
1.已知：如图，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC+CD 。
2.已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。
3、如图，已知∠CAD=∠CDA ，AC=BD ，E 在BC 上，DE=EC ，求证：AD 平分∠BAE
A
B D E C
(提示:延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等)
4.如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，求
AB与CD之间的距离
A B
E
O
C D
5.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC.
课后作业
1.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则Δ
ABD 的面积是（）
A
B
C
D E A ．mn 3
1
B ．mn
2
1
C ．mn
D ．2mn
2.如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的关系是（ ） A. PC ＞PD B. PC ＝PD C. PC ＜PD D. 不能确定
3. 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，已知PE ＝3，则点P 到AB 的距离是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.如图，MP ⊥NP ，MQ 平分∠NMP ，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列不正确的是（ ） A ．TQ ＝PQ ． B.∠MQT ＝∠MQP ． C.∠QTN ＝90°．D.∠NQT ＝∠MQT ．
第2题 第3题 第4题 第5题
5.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是( )
A.DE ＝DF ．
B.ME ＝MF ．
C.AE ＝AF ．
D.BD ＝DC ．
6.已知：如图3，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，沿着过点B 的一条直线BE 折叠ΔABC 使C 点恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于_____．
7.如图所示AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ， 求证：AB=AD+AC 。
8．已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 、BE 交于O ，∠1＝∠2． 求证：OB ＝OC . T
Q
P
N
M M
F
E
D
C
B
A
9.已知：如图9－5，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．
10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是线段AD的垂直平分线，
求证：∠CAF＝∠ABD
11.已知：如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且
△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．
A
B
C
D
E
F。
