关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想,就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决,而需要选定一个标准,根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思想.对于分类讨论问题,初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求,但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见,华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在"等腰三角形〞一节中,主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题.下面举例简要论述这两类问题：一、当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论例1、〔1〕已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长.〔2〕等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长.分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必须明确所给的边的定义,在这里哪条边是"腰〞,哪条边是"底〞不明确,而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提,因此必须进行分类讨论.解〔1〕因为8+8>10,10+10>8,则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为8时,周长为8+8+10=26；当腰长为10时,周长为10+10+8=28；故这个三角形的周长为26cm或28cm.解〔2〕当腰长为3时,因为3+3<7,所以此时不能构成三角形；当腰长为7时,因为7+7>3,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm.注意：对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形.二、当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明"顶角是底角的4倍〞,还是"底角是顶角的4倍〞因此必须进行分类讨论.解：〔1〕当底角是顶角的4倍时,设顶角为x,则底角为4x,∴ 4x+4x+x=1800, ∴ x=200, ∴ 4x=800,于是三角形的各个内角的度数为：200,800,800.〔2〕当顶角是底角的4倍时,设底角为x,则顶角为4x,∴ x+x+4x=1800, ∴ x=300, ∴ 4x=1200,于是三角形的各个内角的度数为：300,300,1200.故三角形各个内角的度数为200,800,800或300,300,1200.例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500,求它的各个内角.分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500,有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500.因此需要分类讨论；解：〔1〕当顶角的外角等于1500时,则顶角=1800-1500=300,∴每个底角=〔1800-顶角〕÷2=750；〔2〕当底角的外角等于1500时,则每个底角=1800-1500=300；∴顶角=1800-底角⨯2=1800-300⨯2=1200；故三角形各个内角的度数为300,750,750或1200,300,300.三、当高的位置关系不确定时,必须分类讨论例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250,求这个三角形的各个内角的度数.分析：由于题目中的"另一边〞没有指明是"腰〞还是"底边〞,因此必须进行分类讨论,另外,还要结合图形,分高在三角形内还是在三角形外.解：设AB=AC,BD ⊥AC ；〔1〕高与底边的夹角为250时,高一定在△ABC 的内部,如图1,∵∠DBC=250,∴∠C=900-∠DBC=900-250=650,∴∠ABC=∠C=650,∠A=1800-2×650=500. 〔2〕当高与另一腰的夹角为250时, 图1①如图2,高在△ABC 内部时,当∠ABD=250时,∠A=900-∠ABD=650,∴∠C=∠ABC=〔1800-∠A 〕÷2=57.50；②如图3,高在△ABC 外部时,∠ABD=250A B C D∴∠BAD=900-∠ABD=900-250=650,∴∠BAC=1800-6500∴∠ABC=∠C=〔1800-1150〕÷2=32.50故三角形各内角为：650,650,500或650,650,57.50或1150,32.50,32.50.四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论例5、在三角形ABC 中,AB=AC,AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为400,求底角B 的度数.分析：题目中AB 边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形；图4解：〔1〕如图4,AB∠ADE=400,则∠A=900-∠ADE=500,∵AB=AC, ∴∠B=〔1800-500〕÷2=650.〔2〕如图5,AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向 延长线交于点D,∠ADE=400,则∠DAE=500, 图5∴∠BAC=1300,∵AB=AC,∴∠B=〔1800-1300〕÷2=250,故∠B 的大小为650或250.五、由腰上的中线引起的分类讨论例6、等腰三角形底边为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,求腰长.分析：如图6,由于题目中的"一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm 〞,没有指明是"〔AB+AD 〕-〔BC+CD 还是"〔BC+CD 〕-〔AB+AD 〕〞的"差为3cm 〞,因此必须 分两种情况讨论. 解：如图6, ∵BD 为AC 边上的中线,∴AD=CD,〔1〕当〔AB+AD 〕-〔BC+CD 〕=3时,则AB-BC=3, ∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；〔2〕当〔BC+CD 〕-〔AB+AD 〕=3时,则BC-AB=3,∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；但是当AB=2时,三边长为2,2,5；而2+2<5,不合题意,舍去；故腰长为8.六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题例7、已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上,且∠ACB=500,0的度数.分析：由于点C 、D 可以在线段AB线段AB 的两侧,因此要分两种情况进行讨论.解：〔1〕如图7,当C 、D 两点在线段AB 的同侧时,∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上,∴CA=CB,△CAB 是等腰三角形,又CE ⊥AB, 图7∴CE 是∠ACB 的角平分线,∴∠ACE=∠BCE,而∠ACB=500,∴∠ACE=250,同理可得∠ADE=400,∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=400-250=150.〔2〕如图8,当C 、D 两点在线段AB 的两侧时,同〔1〕∠ADE=400,于是∠CAD=1800-〔∠ADE+∠ACE 〕 =1800-〔400+250〕=1800-650=1150故∠CAD 的度数为150或1150.例8、如图9,已知△ABC 中,BC>AB>AC,∠ACB=400,如果D 、E 是直线AB 上的两点,且AD=AC,BE=BC, 求∠DCE 的度数. 图9分析：因为在不等边△ABC 中,D 、E 是直线AB 上的两点,所以点D 、E 可以在点A 的同侧,也可以在点A 的两侧,因此需要分类讨论.解：〔1〕当点D 、E 在点A 的同侧,且都在BA 的延长线上时,如图10,图 2-∠BAC ÷2=〔180-∠ABC-∠BAC 〕÷2=∠ACB ÷2=400÷2=200.〔2〕当点D 、E 在点A 的同侧,且点D 在D ’的位置,E 在E ’的为时,如图11,与〔1〕类似地也可以求得E C D ''∠＝∠ACB ÷2=200. 〔3〕当点D 、E 在点A 的两侧,且E 点在E ’的位置时,如图12,图12 图13∵BE ’=BC,∴()221800÷∠=÷'∠-='∠ABC E CB C E B ,∵AD=AC, ∴∠ADC=〔1800-∠DAC 〕÷2=∠BAC ÷2,又∵()ADC C E B E DC ∠+'∠-='∠0180,∴()21800÷∠+∠-='∠BAC ABC E DC =1800-〔1800-∠ACB 〕÷2 =900+∠ACB ÷2=900+400÷2=1100.〔4〕当点D 、E 在点A 的两侧,且点D 在D ’的位置时,如图13, ∵AD ’=AC,∴()()，2180218000÷∠-=÷'∠-='∠BAC AC D C D A ∵BE=BC,∴∠BEC=〔1800-∠ABC 〕÷2,∴()()C D A BEC C D E EC D CE D '∠+∠-='∠+'∠-='∠00180180,=1800-〔〔1800-∠ABC 〕÷2+〔1800-∠BAC 〕÷2〕=〔∠BAC+∠ABC 〕÷2=〔1800-∠ACB 〕÷2=〔1800-400〕÷2=700,故∠DCE 的度数为200或1100或700.。
小专项(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题 类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答等腰三角形边长旳问题时，当题目中旳条件没有指明旳这条边是腰长依旧底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类、假设涉及边旳长度，应运用三角形旳三边关系进行辨别取舍、1、(武汉中考)平面直角坐标系中，A(2，2)、B(4，0)、假设在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，那么满足条件旳点C 旳个数是(A )A 、5B 、6C 、7D 、82、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，那么符合条件旳点P 共有(B )A 、7个B 、6个C 、5个D 、4个3、假设实数x ，y 满足|x －5|＋y －10＝0，那么以x ，y 旳值为边长旳等腰三角形旳周长为25、 类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：关于等腰三角形，只要它旳一个内角旳度数，就能算出其他两个内角旳度数，假如题中没有确定那个内角是顶角依旧底角，就要分两种情况来讨论、在分类时要注意：三角形旳内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等、4、等腰三角形有一个角为52°，它旳一条腰上旳高与底边旳夹角为多少度？解：①假设旳那个角为顶角，那么底角旳度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上旳高与底边旳夹角为26°；②假设旳那个角为底角，那么一腰上旳高与底边旳夹角为38°.故所求旳一腰上旳高与底边旳夹角为26°或38°.5、假如等腰三角形中旳一个角是另一个角度数旳一半，求该等腰三角形各内角旳度数、解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形旳三个内角，且∠A ＝12∠B. 设∠A ＝x °，那么∠B ＝2x °.①假设∠B 是顶角，那么∠A ，∠C 是底角，因此有∠C ＝∠A ＝x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180.解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°；②假设∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ，∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180.解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°.综上所述，等腰三角形旳各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：依照等腰三角形顶角旳大小能够将其分为锐角、直角或钝角三角形、不同旳三角形其高、中线、垂直平分线旳交点位置均不同，比如锐角三角形腰上旳高旳交点在那个三角形旳内部；直角三角形腰上旳高旳交点为两直角边旳交点；钝角三角形腰上旳高旳交点在那个三角形旳外部，因此在解答时需要分类讨论、6、△ABC 中，AB ＝AC ，AB 旳垂直平分线与AC 所在旳直线相交成50°旳角，求底角旳度数、解：由题意可推断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图1，垂直平分线DE 与腰AC 相交，且∠AED ＝50°，那么∠A ＝40°，因此∠B ＝∠C ＝70°； ②如图2，垂直平分线DE 与腰AC 旳反向延长线相交，且∠AED ＝50°，那么∠EAD ＝40°，∠BAC ＝140°，因此∠B ＝∠C ＝20°.综上可知，等腰三角形旳底角为70°或20°.7、一个等腰三角形一边上旳高等于另一边旳一半，那么等腰三角形底角旳度数是多少？解：设∠A 为顶角，那么∠ABC 、∠ACB 为底角、(1)假设∠A 为锐角，如图1，作BD ⊥AC 于点D ，依照题意有BD ＝12AB ，∠BDA ＝90°， ∴∠A ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝75°；(2)假设∠A 为直角，依照题意“等腰三角形一边上旳高等于另一边旳一半”，这种情况无解；(3)假设∠A 为钝角，有三种情况：①如图2，作AD ⊥BC 于点D ，依照题意有AD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；②如图3，作BD ⊥CA 旳延长线于点D ，依照题意有BD ＝12BC ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；③如图4，作BD ⊥CA 旳延长线于点D ，依照题意有BD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝15°.综上所述，等腰三角形底角旳度数是75°、30°或15°.8、AC 为等腰△ABD 旳腰BD 上旳高，且∠CAB ＝60°.求那个三角形各内角旳度数、解：①如图1，高AC 在△ABD 旳内部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，因此∠B ＝30°.因为BA ＝BD ，因此∠BAD ＝∠D ＝75°；②如图2，高AC 在△ABD 旳外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，因此∠ABC ＝30°.因此∠ABD ＝150°.因为BA ＝BD ，因此∠BAD ＝∠D ＝15°；③如图3，高AC 在△ABD 旳外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，因此∠B ＝30°.因为DA ＝DB ，因此∠BAD ＝∠B ＝30°.因此∠ADB ＝120°.综上所述，那个三角形各内角旳度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.。
再谈分类讨论在等腰三角形问题中的应用我们在解决等腰三角形相关的问题时，往往容易产生漏解或增解现象，主要原因是审题不清，考虑不全面.下面再次通过实例来说明分类讨论思想在等腰三角形中的应用，帮助大家更好地掌握分类讨论思想方法.一、与边长有关的分类讨论解题中经常遇到两种问题:一是已知等腰三角形的两边长，要求等腰三角形的周长;二是已知等腰三角形的周长和一条边长，求其它两边的长，或已知等腰三角形的周长和两边的数量关系，求腰长或底边长.这两种问题往往未指明哪条边是腰，哪条边是底边，因此就需要针对具体问题进行分类讨论.在这类问题中有两个关键点需要注意:①哪是底边哪是腰;②是否符合三角形的三边关系定理.这两个关键点在解题中缺一不可.此类题型记忆口诀:底边不可大，腰不可小，要符合三边关系定理.1.知两边，求周长例1 已知等腰三角形的两边长分别为5cm 和9 cm ，求三角形的周长.分析 当腰长为5 cm ，底边长为9 cm 时，周长=5+5 +9=19(cm);当腰长为9 cm ，底边长为5 cm 时，周长=9+9+5=23(cm).例2 已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和9 cm ，求三角形的周长.分析 当腰长为9 cm ，底边长为4 cm 时，周长=9+9 +4=22(cm);当腰长为4 cm 时，底边长为9 cm 时，因为4+4<9不符合三角形三边关系，故三角形的周长为22 cm.2.已知周长，求两边例3 已知等腰三角形的周长为14 cm,一边长为4 cm ，求其它两边的长度. 分析 若腰长为4 cm ，则底边长为14 cm －2×4 cm=6(cm);若底边长为4 cm ，则腰长为(14－4)÷2=5(cm).所以其它两边长分别为4 cm,6 cm,或5cm,5 cm.例4 已知等腰三角形的周长为24 cm,两边之差为6 cm ，求其腰长.分析 设腰长为x cm ，底边长为y cm.若x y >，由题意，可得2246x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得104x y =⎧⎨=⎩. 所以腰长为10 cm.若x y <，可得2246x y y x +=⎧⎨-=⎩,解得612x y =⎧⎨=⎩. 因为6 +6=12不符合三边关系定理，舍去.二、与角有关的分类讨论对于等腰三角形，在遇到与角有关的问题时，若条件中未指明已知角是顶角还是底角，就要注意利用分类讨论的思想，先假设已知角是顶角或底角，然后运用等边对等角，以及三角形内角和定理进行求解运算.1.知一角，求两角此类问题涉及到三种情况:①已知内角为锐角，则它可能为底角还可能为顶角;②已知内角为直角，则它只能为顶角;③已知内角为钝角，则它只能为顶角.若题目给出的已知角为外角，只需将与外角匹配的内角求出，再对照以上三种情况进行求解.例5 已知等腰三角形的一个内角的度数为50°，求其它两个角的度数.(分析略.答案:50°,80°,或65°,65°)例6 已知等腰三角形的一个外角为100°，求其它的两个角的度数.(分析略.答案:80°,20°，或50°,50°)2.知两角比值，求各角此类问题需要就两角中的其中一角为顶角或底角两种情况进行讨论.例7 在等腰ABC ∆中，:5:2A B ∠∠=，求A ∠的度数.分析 若A ∠为顶角，则5180100522A ∠=⨯︒=︒++; 若A ∠为底角，则 518075552A ∠=⨯︒=︒++. 3.知高与腰的夹角，求各角三角形高的位置由三角形的类型确定，所以要对三角形是钝角三角形、直角三角形、还是锐角三角形这三种情况进行分类讨论，同时在分类讨论的基础上，防止在解题的过程中出现漏解.例8 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求顶角的度数.分析 根据已知条件，分别就该等腰三角形为钝角三角形或锐角三角形两种情形分类讨论.先利用数形结合思想作图如下(如图1、图2).根据图形不难得出顶角度数为60°或120°.例9 已知BD 是等腰ABC ∆一腰上的高，且50ABD ∠=︒，求ABC ∆顶角的度数. 分析 本题只知ABC ∆中，B ∠是底角，而未知A ∠是顶角还是底角，且未知ABC ∆是钝角三角形还是锐角三角形，因此要分类讨论:①若点A 为顶角顶点，ABC ∆是钝角三角形时，则顶角140BAC ∠=︒;②若点A 为顶角顶点，ABC ∆是锐角三角形时，则顶角40A ∠=︒;③若点A 为底角顶点时，则ABC ∆只能为钝角三角形，则顶角100ACB ∠=︒.综上所述，ABC ∆顶角的度数为140°或40°或100°(如图3、4、5).三、中线划分周长问题等腰三角形中边上的中线一共三条，底边中线将等腰三角形分成左右全等的两个直角三角形，而腰上的中线则可能将等腰三角形分成上下两个边长不相等的三角形.当题目要求回答等腰三角形边长时，需要就给出的两段周长进行分类讨论，即讨论两种对应情况.同时，在涉及三角形边长的计算时，一定要注意验证结果是否满足三角形两边之和大于第三边这一定理.例10 已知一等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长.分析 设腰长为2x ，底边长为y ，由题意可得2912x x x y +=⎧⎨+=⎩，解得39x y =⎧⎨=⎩. 则腰长为6, 底边长为9;或2129x x x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩. 则腰长为8，底边长为5.四、坐标系中的顶点问题在等腰三角形出现在坐标系中，同样需要对已知顶点的位置、构成的等腰三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形进行分类讨论，只有把可能出现的三角形类型讨论清楚，这种类型的问题才不会漏解.例11 已知点(2,0),(0,2)A B ，试在x 轴上确定点M ，使得MAB ∆为等腰三角形，试写出所有满足条件的点M 的坐标.分析 此题只给出了等腰三角形的一条边，所以讨论该边是底边的情况，然后讨论该边是腰的情况.若该边为底边，则x 轴上有且仅有一点为等腰三角形顶点;若该边为腰，则可先假设A 点为圆心，以AB 为半径画圆，与x 轴相交的点即为解.然后假设B 点为圆心，以AB 为半径画圆，与x 轴相交的点即为解，如图6所示.根据坐标系及边长对应相等关系得出M 点坐标，即存在四个M 点，分别为: 12(222,0),(2,0)M M +-，34(222,0),(0,0)M M -.五、形状分割问题等腰三角形的分割问题是等腰三角形例题中的难点，关键在于如何确定分类标准.从顶角分类入手，这类问题就能迎刃而解.例12 如果经过等腰三角形的一顶点的直线，能把它分成两个等腰三角形，求等腰三角形顶角的度数.分析 讨论顶角分别是直角、钝角和锐角三种情况.当顶角为直角时，如图7，根据“等腰三角形三线合一”可得当点D 为BC 中点时，AD BD CD ==，因此90BAC ∠=︒满足题意;当顶角为钝角时，如图8.若需满足,,AB BD AD DC AB AC ===，则顶角108BAC ∠=︒;当顶角为锐角时，则可能存在两种分割情况:①如图9, ,AD BD BC AB AC ===，则顶角36A ∠=︒;②如图10, ,,AD BD BC CD AB AC === ,则顶角180()7A ︒∠=. 总之，分类讨论要遵循不重不漏的原则，还要确定分类的标准，然后进行分析、推理、归纳综合，才能得到正确的答案.。
