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1.3 工程电磁场分析的数理基础3

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工程电磁场理论与应用讲义-3

工程电磁场理论与应用讲义-3

第3章 电磁场分析的数学模型3.1 电磁场控制方程的表述电磁场数值分析的具体任务，就是要求解一个与特定问题相联系的偏微分方程定解问题。

根据数学物理方程的理论，所谓定解问题指的是在某一确定区域内成立的微分方程加上定解条件。

对于静态电磁场问题，或者可化为复数计算的正弦稳态电磁场问题，定解条件就是微分方程中的未知函数在该区域边界上所满足的条件，亦即边界条件；对于时变电磁场问题，则定解条件除了边界条件以外，还包括整个区域未知函数在初始时刻的值，亦即初始条件。

针对这一定解问题的求解，发展了如上节所述的各种解算方法。

因此，为了得到正确的解答，第一步工作就是要写出定解问题的表达式，也就是建立特定电磁场问题的恰当的数学模型。

定解问题中的偏微分方程通常称为控制方程。

选择哪种物理量作为控制方程中的未知函数，建立什么形式的微分方程，将影响问题求解的难易程度。

本节将从麦克斯韦方程组出发，介绍各种情况下电磁场控制方程的表述方式。

3.1.1 麦克斯韦方程组[54] 100多年前，麦克斯韦对前人在实验中得出的电磁场的基本定律进行了数学上的总结和提升，引入了位移电流的概念，创立了后来以其命名的方程组，完善了电磁场理论。

其著作《Treatise on Electricity and Magnetism 》成书于1873年。

从理论框架上看，麦克斯韦方程组加上洛仑兹力的计算公式，合起来构成了静止及运动媒质中电动力学的基础，概括了发电机、电动机和其它电磁装置的工作原理，也概括了电磁波的发射、传播和接收的原理。

科学技术发展的实践证明，描述电磁场宏观性质的麦克斯韦方程组正确反映了电磁场中各物理量之间的相互关系，是电磁场的基本方程。

在大学普通物理和电类专业的电工原理课程中，都对麦克斯韦方程组作了基本的介绍。

本节主要从电磁场数值计算的需要出发来加以说明。

麦克斯韦方程组的微分形式可以表述为：t∂∂+=⨯∇D J H (3-1) t∂∂-=⨯∇B E (3-2) 0=⋅∇B (3-3)ρ=⋅∇D (3-4)式中，H 、B 、D 、E 、J 、ρ 分别为磁场强度（A/m ）、磁感应强度（或称磁通密度，T ）、电位移（或称电通密度，C/m 2）、电场强度（V/m ）、电流密度（A/ m 2）和电荷密度（C/ m 3）。

工程电磁场 第1章 电磁场的数学基础

工程电磁场 第1章 电磁场的数学基础
《工程电磁场》
《工程电磁场》
第1章 电磁场的数学基础
1
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数
1.4 场的可视化描述
1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
《工程电磁场》
1.1 场的概念及其分类
《工程电磁场》
《工程电磁场》
标量及其乘积运算
两个标量a与b相乘，标量参数之间可用
“

”号、“ • ” 号或什么符号也不加，
都代表二者之间的倍数关系，即

，
a b a b ab
《工程电磁场》
矢量及其表示方法
《工程电磁场》
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
=
，
= + + =



ex
ey
ez

A B Ax Ay Az
Bx B y Bz



9. A ( B C ) B (C A) C ( A B )


10. ( A B )C A( B C )




11. A ( B C ) ( A B ) C
Ԧ )
——不随空间变化的时变场 φ(t) , (t
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数1.4 源自的可视化描述1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论

工程电磁场基础[整理版]

工程电磁场基础[整理版]

工程电磁场基础目录引言一、电磁学发展简史二、电磁场理论课程的特点第一章自由空间中的电磁场定律1.1基本定义1.1.1电荷密度一、体电荷密度ρ二、面电荷密度η三、线电荷密度λ四、点电荷q1.1.2电流密度一、体电流密度J二、面电流密度K三、线电流I1.1.3基本场量一、洛仑兹力公式二、电场强度E三、磁场强度H1.2自由空间中的电磁场定律1.2.1场定律中符号的意义1.2.2各电磁场定律的数学物理意义一、法拉第电磁感应定律的意义二、修正的安培环路定律的意义三、电场高斯定律的意义四、磁场高斯定律的意义五、电荷守恒定律的意义1.2.3电磁场定律整体的物理意义1.3积分形式场定律的应用习题第二章矢量分析2.1标量场的梯度2.1.1标量场的等值面2.1.2标量场的梯度一、位移的方向余弦和单位矢量二、方向导数三、标量场的梯度2.1.3梯度的性质2.1.4标量场梯度的物理意义2.1.5例题2.2矢量场的散度和高斯定理2.2.1矢量场的场流图2.2.2矢量场的散度一、散度的定义二、散度的数学计算式2.2.3矢量场散度的性质2.2.4矢量场散度的物理意义2.2.5高斯定理一、高斯定理二、高斯定理的证明2.2.6自由空间中微分形式场定律的散度关系式2.2.7拉普拉斯运算符2.2.8例题2.3矢量场的旋度和斯托克斯定理2.3.1保守场和非保守场2.3.2矢量场的旋度一、旋度的定义二、旋度的数学计算式2.3.3矢量场的旋度的性质2.3.4矢量场旋度的物理意义2.3.5斯托克斯定理一、斯托克斯定理二、定理证明三、保守场的判据2.3.6自由空间微分场定律中的旋度关系式2.3.7例题习题第三章自由空间的微分场定律3.1微分场定律3.1.1微分场定律的数学物理意义一、法拉第电磁感应定律的意义二、修正的安培定律的意义三、电场高斯定律的意义四、磁场高斯定律的意义五、电荷守恒定律的意义3.1.2微分场定律整体的意义3.1.3例题3.2边界条件3.2.1电磁场中的不连续界面3.2.2边界条件一、边界法线方向上的关系式（法向边界条件）二、边界切线方向上的关系式（切向边界条件）3.2.3边界条件的物理意义一、电场强度切向边界条件的意义二、磁场强度切向边界条件的意义三、电场法向边界条件的意义四、磁场法向边界条件的意义五、电场和磁场边界条件的物理解释六、电流边界条件的意义七、边界条件所含的方向关系3.2.4微分场定律与边界条件的形式对应关系3.3微分场定律（含边界条件）的应用3.3.1已知场分布求源分布3.3.2已知源分布求场分布习题第四章静电场的标量位4.1静电场的标量位4.1.1静电场标量位的引入一、在原点的点电荷电场的标量位二、在空间某点的点电荷电场的标量位三、点电荷系电场的标量位四、分布在有限区域的带电系统的标量位4.1.2标量位（电位）的物理意义4.1.3电偶极子的电场和电位一、直接计算电场二、使用标量位计算电场4.1.4标量位的微分方程和边界条件一、微分方程二、一般边界条件三、边界为偶极层时的条件四、导体表面的边界条件4.1.5泊松方程的解4.2标量位的性质4.2.1极值定理4.2.2平均值定理一、格林定理二、平均值定理的证明三、平均值定理的应用4.2.3唯一性定理一、定理内容二、唯一性定理的证明4.3唯一性定理的应用4.3.1静电镜象法一、在无限大接地导体平板上方放置一个点电荷的系统二、接地导体角域内放置点电荷的系统三、接地导体球外放置一个点电荷的系统四、不接地不带电的导体球外放置一个点电荷的系统五、不接地、带电量为Q的导体球外放置一个点电荷的系统六、在一个接地的无限大导电平面上方放置一个偶极子的系统4.3.2电轴法一、两根相互平行且带等量异号电荷的无限长直导线的场二、两个等截面导体圆柱系统三、两个截面不相等的导体圆柱系统4.4复变函数在静电场问题中的应用4.4.1复电位（复位函数）4.4.2保角变换（保角映射）4.4.3许瓦兹－克瑞斯托弗尔变换4.5静电场示意场图的画法4.5.1静电场示意场图的作用4.5.2绘制静电场示意场图的基本法则4.5.3静电场示意场图实例一、在球形接地导体空腔内有一个点电荷二、两个不等量的异号电荷三、接地导体上的矩形空气槽四、矩形空气域五、两个同轴圆柱面间的空气域习题第五章静电场的分离变量法求解5.1拉普拉斯方程的变量可分离解5.1.1在直角坐标系中一、平凡解（明显解）二、一般解5.1.2在柱坐标系中一、平凡解二、与z变量无关的二维一般解三、柱坐标中拉普拉斯方程解的物理意义5.1.3在球坐标系中一、平凡解二、一般解三、球坐标中拉普拉斯方程解的物理意义5.2静电场问题求解实例5.2.1边界电位值已知的静电系统例1（上下为导体板，左右为源的矩形二维空气域）例2（扇形域）例3（锥面间域）例4（导体块上的空气槽）例5（有导体角的矩形域，迭加原理）例6（立方域）5.2.2带有自然边界条件的静电系统例1（导体上的半无界缝）例2（已知电位分布的圆柱面）例3（已知电位分布的球面）5.2.3带有电位导数边界条件的静电系统例1（平板电容器）例2（长方体形电阻器）例3（矩形导体片）例4（内有面电荷的二维矩形空腔）例5（带面电荷的圆柱面）例6（带面电荷的球面）例7（两种导体构成的半圆形电阻）5.2.4带有趋势性边界条件的静电系统例1（中心放置电偶极子的导体球壳）例2（中心放置点电荷的导体球壳）例3（上下异号的线电荷）例4（均匀电流场中的导体球）例5（均匀电场中的导体圆柱）5.3柱坐标系中三维拉普拉斯方程的分离变量解习题第六章静磁场与位函数的远区多极子展开式6.1静磁场的矢量位6.1.1毕奥－沙瓦定律一、电流元产生的磁场二、闭合电流线产生的磁场三、分布电流产生的磁场6.1.2磁场的矢量位一、静磁场方程二、磁场的矢量位三、磁矢位的方程四、磁矢位方程的解五、磁矢位的物理意义六、边界条件6.1.3例题6.2静磁场的标量位6.2.1磁标位一、磁标位的定义二、一个电流环的磁标位三、磁标位的方程和方程解族四、边界条件6.2.2例题6.3位函数在远区的多极子展开式6.3.1静电标量位Φ（r）的多极子展开式一、1/RQP的级数展开式二、Φ（r）的展开式三、电位Φ（r）多极子展开式的物理意义四、多极子展开式的应用6.3.2磁矢位A（r）的远区多极子展开式习题第七章有物质存在时的宏观场定律7.1物质极化的宏观模型7.1.1极化的概念7.1.2极化强度P7.1.3极化电荷与电场高斯定律一、极化电荷二、宏观极化模型下的电场高斯定律7.1.4极化电流与修正的安培定律一、极化电流二、宏观极化模型下的修正安培定律7.2极化问题举例7.2.1永久极化物体一、永久极化板二、永久极化球7.2.2非永久极化物体一、均匀电场中的电介质球二、填充均匀∈材料的平行板电容器三、填充非均匀∈材料的电容器四、空心介质球心放置一个电偶极子7.3物质磁化的安培电流模型7.3.1物质磁化的机理7.3.2磁化强度M7.3.3磁化电流密度7.3.4安培电流模型下的场定律7.3.5永久磁化圆柱的磁场7.4物质磁化的磁荷模型7.4.1物质磁化的机理7.4.2磁荷模型下的磁化强度7.4.3物质中的磁场高斯定律7.4.4物质中的法拉第电磁感应定律7.4.5永久磁化圆柱的磁场7.4.6有均匀磁介质的磁场系统一、均匀磁场中的磁介质球二、空心磁介质球心放置一个磁偶极子7.5物质中的场量组成关系和场定律7.5.1物质中的场量组成关系一、单值关系二、多值关系三、各向同性和各向异性7.5.2物质中的电磁场定律一、B－D形式的场定律二、E－H形式的场定律三、对称形式的场定律习题第八章电磁场的能量和功率8.1静电场和静磁场的能量8.1.1静电场的能量8.1.2静电场能计算举例8.1.3静磁场能量8.1.4静磁场能计算举例8.2坡印廷定理8.2.1电磁场供给运动电磁荷的功率一、电磁场对运动电磁荷的电磁力二、电磁场供给运动电磁荷的功率8.2.2坡印廷定理一、微分形式的坡印廷定理二、积分形式的坡印廷定理8.2.3坡印廷定理的量纲单位分析8.2.4坡印廷定理的物理解释一、对微分形式坡印廷定理的物理解释二、对积分形式坡印廷定理的物理解释三、在解释坡印廷定理上的假说性8.2.5对S和w的补充规定8.2.6坡印廷定理在物质中的应用8.3静态功率流与损耗8.4物质中的极化能和磁化能8.4.1极化能和电能8.4.2磁化能和磁能8.4.3磁能计算举例8.4.4物质宏观模型与坡印廷定理的关系8.5小结习题第九章时变场的低频特性9.1平行板系统中的交变电磁场9.1.1交变电磁场的严格解9.1.2平行板系统的低频响应9.2时变场的幂级数解法9.3低频系统中的场9.3.1平行板系统一、参考点的选取二、零阶场三、一阶场四、高阶场五、场分布和等效电路9.3.2单匝电感器一、系统的参考点二、零级近似场三、一级近似场四、二级近似场五、高阶场9.3.3多匝线圈一、不考虑线圈存在时的一阶电场二、放入线圈后的一阶电场三、计算a、b两点间的端电压9.4电路理论与电磁场理论的关系习题第十章平面电磁波10.1自由空间中均匀平面波的时域解10.1.1均匀平面波的电场和磁场时域解10.1.2均匀平面波的传播特性10.2正弦律时变场10.2.1复矢量10.2.2复数形式的场定律10.2.3复矢量乘积的物理意义10.3正弦律均匀平面波10.3.1均匀平面波的频域解10.3.2复数形式的坡印廷定理10.3.3复数坡印廷定理与微波网络的关系10.4平面波在有耗媒质中的传播10.4.1有耗媒质中的均匀平面波解10.4.2半导电媒质中均匀平面波的传播10.4.3良导体的趋肤效应10.4.4相速、群速和色散10.5电磁波的极化状态10.5.1电场极化状态的概念10.5.2极化方向的工程判断法一、瞬时场极化方向的判断二、复数场极化方向的判断10.5.3波的分解与合成一、线极化波的分解二、椭圆极化波的分解三、圆极化波的分解10.6沿任意方向传播的均匀平面波10.6.1波的数学表达式一、一般形式二、在直角坐标系中的表达式三、在柱坐标系和球坐标系中的表达式10.6.2波的特性10.7无耗媒质中的非均匀平面波10.8频率极高时媒质中的波10.8.1电介质中的波10.8.2金属中的波10.8.3电离层和等离子体中的波习题第十一章平面波的反射与折射11.1在自由空间与理想导体分界面处的反射现象11.1.1正入射11.1.2斜入射一、垂直极化二、平行极化11.2在两种介质分界面处的反射和折射现象11.2.1垂直极化一、入射角θi＝0二、入射角θi＞011.2.2平行极化11.3导电媒质表面的反射和折射11.3.1导电媒质中的实数折射角一、媒质Ⅱ是良导体二、媒质Ⅱ是不良导体11.3.2良导体中的透射功率11.3.3导电表面的反射一、媒质Ⅱ是良导体二、媒质Ⅱ是不良导体11.4透波和吸波现象11.4.1透波现象一、电磁波正入射二、电磁波斜入射三、多层介质板的透波现象11.4.2吸波现象一、干涉型吸收材料二、宽带吸收材料习题第十二章电磁波的辐射12.1时变场的位函数12.1.1标量位和矢量位12.1.2赫兹电矢量Ⅱ12.2时变场位函数方程的解12.2.1克希荷夫积分12.2.2达朗贝尔公式12.3交变电偶极子的辐射12.3.1交变电偶极子的电磁场量一、矢量位二、磁场强度三、电场强度12.3.2交变电偶极子场的分析一、近区场二、远区场三、辐射场的方向性四、辐射功率五、辐射电阻12.4交变磁偶极子的辐射12.4.1通过复数矢量位求电磁场12.4.2使用电磁对偶原理求电磁场12.5缝隙元的辐射12.6半波天线12.7天线阵12.8线天线电磁场的精确计算12.9天线的输入功率和输入阻抗习题第十三章电磁场的基本定理13.1格林定理13.1.1标量格林定理13.1.2广义格林定理13.1.3矢量格林定理13.2亥姆霍尔兹定理13.3静态场的几个定理13.3.1标量位Φ的唯一性定理13.3.2平均值定理13.3.3无极值定理13.3.4汤姆生定理13.3.5恩绍定理13.3.6矢量位A的唯一性定理13.4坡印廷定理13.5电磁力的定理――麦克斯韦定理13.6时变场的唯一性定理13.7相似原理13.8二重性原理和电磁对偶原理13.9等效原理13.10感应定理13.11互易定理13.12天线远场定理13.13克希荷夫－惠更斯原理13.14费马原理附录A 矢量的代数运算附录B 坐标系的有关概念附录C 立体角的有关概念。

工程电磁场复习提纲及考点

工程电磁场复习提纲及考点

第一部分：电磁场的数学工具和物理模型场的概来源：工程电磁场原理教师手册念；场的数学概念；矢量分析；数学工具：在不同坐标系下的数学描述方法；巩固标量场梯度的概念和数学描述方法；掌握散度在直角坐标系下的表达形式；掌握旋度在直角坐标系下的表达形式；强调几个矢量分析的恒等式: 「: ~V =0（任何标量函数梯度的旋度恒等于零）；'、、弋、 A）=O （任意矢量函数旋度的散度恒等于零）；—：.:、、A=\、\、4_\、2A；\、（A）=、A- A人：；:-7 ~ V -2V。

亥姆霍兹定理推导出：无旋场（场中旋度处处为零），但散度不为零；无散场（无源场）：场中散度处处为零，但其旋度不为零；一般矢量场：场中散度和旋度均不为零。

无限空间中的电磁场作为矢量场F（C按定理所述，其特性取决于它的散度和旋度特性，而用公式可以表1 ∖' F （r'）示为：F『）=-⅛瞪（r）∙ I A（r）,其中标量函数（r）dV',矢量函数4兀V ∖r ~r∖A（r）=丄V'，由此可见，无限空间中的电磁场F（r）唯一地取决于其散度和4兀V『一厂旋度的分布。

散度定理高斯定理；旋度定理-------- StokeS定理第二部分：静态电磁场一一静电场掌握电场基本方程，并理解其物理意义。

电场强度E与电位「的定义以及物理含义；理解静电场的无旋性，及电场强度的线积分与路径无关的性质，以及电场强度与电位之间的联关系。

掌握叠加原理，对自由空间中的静电场，会应用矢量分析公式计算简单电荷分布产生的电场强度与电位；对于呈对称性分布的特征的场，能熟练地运用高斯定理求解器电场强度与电位分布。

了解媒介（电介质）的线性、均匀和各向同性的含义；了解电偶极子、电偶极矩的概念及其电场分布的特点。

了解极化电荷、极化强度P的定义及其物理意义。

连接通过极化电荷求极化电场分布的积分形式。

理解电位移矢量D的定义，以及D、E和P三者之间的关系。

工程电磁场知识点总结

工程电磁场知识点总结

工程电磁场知识点总结第一章矢量分析与场论1 源点是指。

2 场点是指。

3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。

4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。

5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示梯度的方向表示。

6 方向导数与梯度的关系为7 梯度在直角坐标系中的表示为?u?。

8 矢量A在曲面S上的通量表示为?? 9 散度的物理含义是 10 散度在直角坐标系中的表示为??A?。

11 高斯散度定理。

12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。

13 旋度的物理含义是 14 旋度在直角坐标系中的表示为??A?。

15 矢量场A在一点沿el方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系为。

16 斯托克斯定理17 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,ez的线元分别为，18 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,e?的线元分别为，19 ?1111???'??2eR?2e'R RRRR???20 ??????'??'???????4??(R)?R??R??11?0(R?0)( R?0)第二章静电场1 点电荷q在空间产生的电场强度计算公式为。

2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为。

3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E。

4 已知空间电场强度分布E，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P处的电位?P。

5 一球面半径为R，球心在坐标原点处，电量Q均匀分布在球面上，?则点?,,??处的电位等于。

222??RRR6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的。

11 无限长直导线，电荷线密度为?，则空间电场E。

12 无限大导电平面，电荷面密度为?，则空间电场E。

13 静电场中电场强度线与等位面14 两等量异号电荷q，相距一小距离d，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩p= 。

电磁场的数学物理基础

电磁场的数学物理基础

• 宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故 可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。 • 类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引入关 于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的 方式来给定带电体的电荷量。 • 理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式： （1）点电荷 q(r,t)： 单位：C。 （2）电荷体密度 (r,t)： 单位：C/m3 （3）电荷面密度 (r,t)： 单位：C/m2 （4）电荷线密度 (r,t)： 单位：C/m
由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为
D x x x D x , y , z D x , y , z y z x y z x 0 00 0 00 x x 2 2
方向导数值与所选取的方向 dl 有关。记该 dl 方向的 单位矢量为el，可知

e e cos e cos e cos l x y z
grad e e e x y z x y z
定义
为标量场的梯度，记作 其中，
3．场量
电场强度：E、单位：N/C,V/m。
F (r ) E(r ) lim qt 0 q t
磁感应强度（磁通密度）：B、单位：T。
d F d qv ( B )
( dF ) max B dqv
d F I( d l B )
§1.1.2 电磁场中的媒质及其电磁性能参数
1. 电磁性能参数
1．2 矢量分析
1.2.1矢量运算 标量积（点积）：
A B AB cos AB
A B A B A B A B x x y y z z

电磁场的数学基础


I J ds
J
ds
S
S
ds
points out from the surface
？
一个内外半径分别为a和b，长度L（L》b）的同轴电缆， U0 ， 已知，在加有电压U0时，其泄漏电流密度为 J e c b ln 问该电缆的漏电阻有多大？P.120
[2] 电位移矢量 D （magnetic field induction） 磁场强度 H （ magnetic intensity）
电位移矢量 D E B 磁场强度 H C/m2

A/m
1.1.3 媒质的电磁性能参数
反映媒质在电场作用下的极化性能——介电常数 (F/m) 反映媒质在电场作用下的导电性能——电导率 (1/m=S/m) 反映媒质在磁场作用下的磁化性能——磁导率 (H/m)
方向：正电荷运动的方向 i di A/m 2 大小： J lim S n 0 S dS n n
？
如果体电流密度f(x,y) A/m2穿过一个圆形截 面，问穿过该面的总电流有多大？
i
s
f ( x, y ) ds
K 面电流密度 surface current density
量 长度 质量 时间 电流 单位 米 千克 秒 安培 缩写 m kg s A
第一章 电磁场的数学物理基础
1.2 电磁场的数学基础—矢量分析
物理量的分类
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量 温度 T 能量 W 距离 L 时间 t
2. 矢量：有大小又有方向的物理量
F
v
B
E
3. 张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量

1.1-工程电磁场分析的数理基础1解析


P e0e E
e 11
各向异性媒质
e
e 33
磁通（量）密度==磁感应强度
B m0 H M m0(1 m) H m0mr H mH
式中
M为磁化强度矢量 ,代表在外场H作用下磁化电荷产生的 场矢量.
M m H
m11
各向异性媒质
m
m33
电流密度
J sE
s 11
各向异性电导率材料
– 微分方程模型、 – 积分方程模型、 – 变分方程模型。
1.2 电磁场正问题数值分析
• 电磁场的正问题：
– 给定
• 场的计算区域、 • 各区域材料（媒质）组成和特性， • 以及激励源的特性，
–求
• 其场域中场量随时间、空间分布的规律（场分 布）
• 正问题的电磁场数值分析
– 基于MAXWELL方程组建立逼近实际工程电磁场正 问题的连续型的数学模型；
• 同样，电荷守恒定律表示成
• 可见对于磁准静态场，就导电媒质面言，应 满足良导体条件，即该媒质的电导率g>>e。
– 磁准静态场的激励源频率可扩展至X射线的频率段。
–电工技术中的涡流问题就是这磁准静场的典型应 用实例，它广泛地伴随在电机、变压器、感应加 热装置、磁悬浮系统、磁记录头、螺线管传动机 构等工程问题之中。
第1章 电磁场的特性及其数学 模型
概要：
基于宏观电磁理论描述表征电磁场特 性的数学方程和关系式，形成建立工 程电磁场数学模型和实施数值计算方 法的数学物理基础。
1.1 数学模型
• 宏观电磁理论的数学模型
– MAXWELL方程组。
• 结合定解条件（边界条件与初始条件），电 磁场问题数学模型可以归结为三大类:

电磁场理论的数学基础

磁共振成像技术
利用磁场和射频场对生物组织 进行无损检测和成像，应用于 医学诊断领域。
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有限元法
有限元法是一种基于变分原理的数值方法，通过将连续的场变量离散化为有限个单元的组合，将偏微 分方程转化为线性方程组进行求解。在电磁场理论中，有限元法常用于求解复杂结构的电磁场问题。
有限元法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个小的几何单元，并假设场变量在每个单元中心的 值是该单元的代表值。通过选择合适的基函数来表示场变量，可以将偏微分方程转化为线性方程组， 进而求解出每个单元的代表值，得到整个空间的场分布。
电磁场理论的数学基础
目
CONTENCT
录
• 引言 • 矢量分析 • 电磁场的基本概念 • 电磁场的数学模型 • 电磁场的解法 • 电磁场的应用
01
引言
主题简介
电磁场理论是研究电磁波传播、散射、辐射等物理现象的学科， 其数学基础是电磁场理论的重要组成部分。
电磁场理论在物理学、工程学、天文学等领域有着广泛的应用， 如无线通信、雷达、卫星导航等。
矢量微分
矢量的微分表示矢量在空间中的 变化率，包括方向和大小的变化 率。
矢量积分
矢量的积分可以用来计算矢量场 中某个区域的通量或流量。
微分方程
微分方程的建立
根据物理定律和数学关系，可以建立各种微分方程来描述电磁场 中的各种现象。
微分方程的求解
求解微分方程是电磁场理论中的重要问题，可以通过解析法或数 值法进行求解。
标量乘法
标量与矢量相乘，结果仍为矢 量，其方向与原矢量相同（标 量正时）或相反（标量负时） 。
矢量点乘
矢量点乘的结果是一个标量， 其大小等于两个矢量的大小和 它们夹角的余弦的乘积。

工程电磁场数值分析(基本理论)


∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场的标量位 在无电流区域 引进磁标量位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇× H = 0
H = −∇ϕm
∇ ϕm = 0
2
如果存在电流，可以将 H 分解为：H = H s + H m 其中
∇ × Hs = J
∇ × Hm = 0
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅D = 0
∇⋅B = 0
∇ × H = J = σ E + Js
∂A ∇ × ∇ × A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
∂Β ∇× E = − ∂t
Js是外加电流密度。
∂A ∇ ⋅ ( + ∇ϕ ) = 0 ∂t
∂A ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
E = −∇ϕ
∇× E = 0
ρ ∇ ϕ=− ε
2
除一些特殊的情况（如气体放电等领域）外，静电场中的 电荷通常并不以ρ的形式存在于空间中，而是以面电荷的方式 存在于不同媒质的交界面上，而且通常是难以测量的，因此 并不以显式出现在方程中。所以通常求解的是拉普拉斯方程。 作为产生电场的源的“电荷”隐含在边界条件中。
∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场、矢量磁位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅B = 0
B = ∇× A
∇× H = J
∇⋅ A = 0
∇2 A = −µ J
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当媒质之一是完纯导体时，完纯导体内部不存在时变电磁场，此时：
ห้องสมุดไป่ตู้ E1 0 n B1 0
完纯导体表面没有电场切向分量，即电场与导体表面垂直 完纯导体表面没有磁场法向分量，即磁场与导体表面相切
1.8 电介质极化场的分析
• 静态电场中媒质按其导电特征分为：导电体（即导体）和绝缘 体（电介质）两大类。 • 典型电介质的电导率较良导体的电导率要小1020倍，因此认为电 介质是不导电的。 • 按电介质的极化机理分析，可归结为两种情况：
• 对于各向异性介质，根据式（1-72），介电常数e将 一般化表示为一个二阶张量，有九个分量，
– 但若限于讨论均匀各向同性的电介质，则e简化为一个标量。
• 有损介质：在时变电场中，通常按电导率g与we之间 数量大小关系来区分良导体、理想介质和有损介质。
• 由于外电场随着时间改变方向，介质中不论是位移极 化还是取向极的电偶极子也要随之改变方向，这样分 子之间就发生摩擦，把电场给予的能量转变成热能， 导致介质温度升高。
– 式中，e=e0(1+ce)称为介质的介电常数，而er=1+ce称为相对介 电常数。
• 式（1-77）定义得出的介电常数e是置于电场中介质极 化本质的数学描述，由此在分析电介质的电场时，
– 可以将介质理想化为具有相应几何特性的、宏观特征参数为e 的空间， – 而对于场的描述则归结为场E、D或j与空间坐标乃至时间的 函数关系。
• 对应于由拉普拉斯方程构成的第一、第二和 第三类边值问题，常分别称为狄利克雷、诺 伊曼和洛平问题。
• 注意：
– 在静态边值问题中，通常采用上述标量形 式的边界条件[（1-63）~（1-65）]。 – 但在准静态和某些静态边值问题中，也可 采用向量形式的边界条件，
• 即给定的既可以是边界上场向量E、H、A的切 向分量（Et、Ht、At），也可以是边界上场向 量B、D的法向分量（Bn、Dn）。
• 磁感应强度：根据安培环路定律在含有磁化媒质的磁 场中的应用，并由式（1-78），可得场中的磁感应强 度为
– 式中，m=m0(1+cm)为磁化媒质的磁导率；mr=1+cm称为相对 磁导率。
• 这样，在分析媒质中的磁场时，可将该磁化媒质理想 化为具有相应几何特性的、宏观特征参数为m的空间， 从而对于场的描述即归结为场函数B、H、A或jm与 空间坐标乃至时间的函数关系。
• 实际上，电磁学中还根据实际问题推导出了 很多种第三类边界条件。如
– 将海洋、地表等有耗介质视为阻抗边界； – 根据散射场特性导出的局域吸收边界条件； – 根据波导传输模式导出的吸收边界条件。
对于准静态问题： • 如果场域扩展至无界空间，则作为定解条件还必须给 出无限远处的边界条件。 • 对于场源分布在有限区域的无界场问题，在无限远处 （r→∞）应有 。这表明ru在无限远处是 有界的，即场函数u在无限远处取值为零：
M 0 ，即m(r’)=0，此时将 – 对于均匀磁化媒质， 仅在均匀磁化媒质表面存在面磁荷密度sm。
– 应该指出，至今，预言中的磁单极子尚未发现， 但由于磁荷产生的磁化场为无旋场，所以可引入 标量磁化jm，从而对于许多工程磁场问题的分析 计算，得以构成简便而有效的数值分析方法。
• 若引用环形微电流所对应的磁偶极子概念，
简单说明
1.7.1 初始条件和边界条件
• 可以看出，各状态下场向量H、B、E、J和位 函数的微分方程，均属于一元二次线性偏微分 方程。
• 这类偏微分方程定解问题的定解条件应包含给 定待求场函数u(r, t)的初始条件和边界条件。
（１）初始条件
•
１）与时间坐标t相联系，给出初始瞬 间待求场函数u在场域各处的值
– 式中，en为介质界面上的外法向单位向量。
• 极化电场：类比于自由电荷产生的电场，对 介质外场点，极化电荷所产生的极化电场为
– 式中，r和r’分别表示场点和源点的位矢，因此向 量差r-r’就表示由源点到场点的距离向量R。
• 对于均匀极化介质： P 0 ，即p(r’)=0，此时将仅 在介质表面存在面极化电荷密度sp。 • 电位移矢量：基于高斯通量定理，通过极化电荷的引 入，可以定义电位移矢量为
• 对于理想化的工程电磁场问题，有一类所谓均匀场中 电磁现象或过程的分析计算问题。理想化的无限远处 的边界条件应由均匀场的条件给出，可记为
1.7.3 不同媒质分界面上的边界条件
• 在不同媒质分界面上场量E、H、D、B不连续，此时 分界面上场点的MAXWELL方程组的微分形式已失 去意义。 • 为此，必须按媒质的物理性质，分域定解处置。给出 不同媒质分界面上的边界条件（亦称为衔接条件或内 边界条件）。 • 推导不同媒质分界面上场量所必须遵循的物理条件， 以无限趋近于界面的极限情况为分析的最终依据，由 制约有限空间内场量间关系的MAXWELL方程组的 积分形式着手，导出不同媒质分界面上的边界条件。
就位于分界面上的场点而言，麦克斯韦方程组的微分形式已失去意义，为此，必须按媒 质的物理性质，分域定解处理。这样，作为定解条件的又一方面，必须给出不同媒质分界面 上的边界条件。
n ( D1 D2 ) s
在的面电荷密度 s
D 的法向分量一般是不连续的，其不连续值相当于在界面上可能存
– – 在该导体内部将不存在时变电磁场， 而同时具有以下特征：
• • １）导体表面电场为一与面电荷密度s = Dn相关联的法向电 场； ２）导体表面磁场为一与面电流密度K=Ht相关联的切向磁场；
•
对于准静态电磁场，由电荷守恒定律（1-15）还可 导出另一相应于不同媒质分界面上的边界条件为
不同媒质分界面上的边界条件
– 所以，为分析媒质与时变电场的相互作用，还需引入复数形 式的所谓等效介电常数e’e=e-jg/w，用以表征媒质极化和相伴 随的热损耗的物理性质。
1.9 媒质磁化场的分析
• 置于磁场中的媒质，按其磁化特性可分为：顺磁性、 反磁性、铁磁性、铁淦氧磁性、反铁磁性五大类磁性 物质。
• 有关磁场中磁化媒质特性的描述，可以归结为两种概 念的分析处理方法：
• 在各向同性的线性媒质中，表征电介质极化 程度的极化强度向量P与介质中的合成电场强 度E成正比，即
– 式中，ce称为电介质的极化率，为一无量纲的纯数。
• 对于各同异性介质，极化率将是一个三维二 阶张量
– 共有九个分量，当材料不均匀时，每个分量都是 各质点坐标的函数。
• 极化电荷：根据电磁场理论关于极化电荷与 极化强度之间关系的分析，可以导出极化电 荷的体密度p与面密度sp分别为
•
–
以en和et分别表示界面处法向和切向的单位向量，其 结论是：
（１）E的切向分量总是连续的，即
–
（２）H的切向分量一般是不连续的，其不连续值相当于 界面上可能流过的面自由电流密度值K，即
式中，K亦称电流线密度（A/m），它的方向沿界面切向且 与H1t和H2t正交，并规定按H1t绕行的右螺旋法则定义其正 向。
• 对应于均匀各向同性的线性磁化媒质，m为一常量， 例如，铜、铝、锌等常用导电媒质在磁场中的特性， 均可由其磁导率m≈m0来表征； • 对于铁磁物质来说，存在磁饱和的物理现象，其实质 即在于铁磁材料磁化场的非线性。此时表征铁磁材料 特性的磁导率m将是一个取决于场强变化的特征参数， 即m=m(H)（若计及铁磁材料的磁滞特性，则将呈现非 单值的B—H的非线性关系）。对含有铁磁物质的磁 场问题的研究，必须归结为相应的非线性偏微分方程 的定解问题。
• 按磁荷概念，磁化场分析完全可以类比 于电介质极化场的分析。
– 在各向同性的线性媒质中，表征媒质磁化 程度的磁化强度M与磁场强度H成正比，即
• 式中，cm称为磁化率，为一无量纲的纯数。
– 由磁荷与磁化强度之间关系的分析，可导 出等效磁荷的体密度m和面密度sm分别为
– 同前理，对于磁化媒质以外的场点，磁荷在真空 中产生的磁化场可由标量磁位jm和磁场强度H表 示为
n ( B1 B2 ) 0 n ( E1 E2 ) 0 n ( H1 H 2 ) J s
B 的法向分量总是连续的 E 的切向分量总是连续的 H 的切向分量一般是不连续的， 其不连续值相当于在界面上可能流
过的面自由电流密度值 J s
– 当f2(rb, t)取值为零时，称为第二类齐次边界条件。
•
３）给定的边界S上的场函数与其法向导数的线性 组合
称为第三类边界条件。
• 仅含初始条件的定解问题称为初值问题（柯 西问题）；
• 没有初始条件而只有边界条件的定解问题称 为边值问题； • 既有初始条件又有边界条件的定解问题，则 称为混合问题（亦称初边值问题）。
– 一是分子中的束缚电荷受力发生相对位移，形成感生电偶极子的位 移极化现象； – 另一是极性分子中因正、负电荷作用中心不相重合而形成的电偶极 子，在外电极作用下，该电偶极子发生转向，形成永久偶极子的取 向极化现象。
• 极化现象均导致电介质内部或表面呈现极化电荷，这种极化电 荷在真空中产生的极化电场与真空中的外电场相叠加，形成有 电介质存在时的合成电场。
1.7.2 无限远处的边界条件
对于辐射问题： • 如果求解区域是开放的，则需给出电磁场在无穷远 处的性质，或者说，需知道电磁场在无穷远处满足 的边界条件。
– 为此，可假设：空间中任一点的电磁场的能量都是有限的， 任何源所产生的电磁能量也是有限的。
• 索末菲（Sommerfeld）辐射条件：如果限定电磁场 源和物体均处于自由空间并位于距坐标原点有限距 离内，则电磁场满足下面条件：
– 则在由磁偶极子连续分布所表征的磁化媒质中， 体磁化电流密度Jm和面磁化电流密度Km与磁化 强度之间的关系，分别为
• 式中，en为磁化媒质表面处的外法向单位向量。
– 同样，类比于自由电流产生的磁场，对磁化媒质 外的场点，等效磁化电流在真空中产生的磁化场， 可由向量磁位A和磁感应强度B分别表示为