固定收益证券计算题
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计算题
题型一:计算普通债券的久期和凸性
久期的概念公式:t N
t W t D ∑=⨯=1
其中,W t 是现金流时间的权重,是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的,还要把它除以每年付息的次数,转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式:y
y c y c T y y y D T +-+-++-+=
]1)1[()
()1(1 其中,c 表示每期票面利率,y 表示每期到期收益率,T 表示距到期日的期数。
凸性的计算公式:t N
t W t t
y C ⨯++=
∑=1
2
2
)()1(1
其中,y 表示每期到期收益率;W t 是现金流时间的权重,是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的,需除以每年付息次数的平方,转换成以年为单位的凸性。
例一:面值为100元、票面利率为8%的3年期债券,半年付息一次,下一次付息在半年后,如果到期收益率(折现率)为10%,计算它的久期和凸性。 每期现金流:42%8100=⨯=
C 实际折现率:%52
%
10=
息票债券久期、凸性的计算
即,D=2=
利用简化公式:4349.5%
5]1%)51[(%4%)
5%4(6%)51(%5%516=+-+⨯-⨯++-+=
D (半年)
即,(年)
()2= ;
以年为单位的凸性:C=(2)2=
利用凸性和久期的概念,计算当收益率变动1个基点(%)时,该债券价格的波动
利用修正久期的意义:y D P P ∆⨯-=∆*/
5881.2%
517175
.2*=+=
D (年)
当收益率上升一个基点,从10%提高到%时,
%0259.0%01.05881.2/-=⨯-≈∆P P ;
当收益率下降一个基点,从10%下降到%时,
%0259.0%)01.0(5881.2/=-⨯-≈∆P P 。
凸性与价格波动的关系:()2
*21/y C y D P P ∆••+∆•-=∆
当收益率上升一个基点,从10%提高到%时,
%0259.0%)01.0(3377.82
1
%01.05881.2/2-=⨯⨯+⨯-≈∆P P ;
当收益率下降一个基点,从10%下降到%时,
%0676.0%)01.0(3377.82
1
%)01.0(5881.2/2=⨯⨯+-⨯-≈∆P P
又因为,债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感,所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。
题型二:计算提前卖出的债券的总收益率
首先,利息+利息的利息=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⨯111)1(r r C n ;r 1为每期再投资利率;
然后,有 债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格; 其中,
投资期末的债券价格:[]
N
N N N
t t r F
r r C r F r C P )1()1(1)1()
1(222212+++-=+++=-=∑; N 为投资期末距到期日的期数;r 2为预期的投资期末的每期收益率。
例二:投资者用元购买一种面值为1000元的8年期债券,票面利率是12%,半年付息一次,下一次付息在半年后,再投资利率为8%。如果债券持有到第6年(6年后卖出),且卖出后2年的到期收益率为10%,求该债券的总收益率。
解: 602%121000=⨯=
C %42%81==r %52
%
102==r 6年内的利息+6年内利息的利息=55.901%41%)41(6012=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+⨯元
第6年末的债券价格=[]
46.1035%)
51(1000%5%)51(1604
4=+++-⨯-元
所以,
6年后的期末价值=+=元
总收益=元
半年期总收益率=%54.6153
.90501
.193712
=-
总收益率=(1+%)2-1=%
题型三:或有免疫策略(求安全边际)
例三:银行有100万存款,5年到期,最低回报率为8%;现有购买一个票面利率为8%,按年付息,3年到期的债券,且到期收益率为10%;求1年后的安全边际。
解:
银行可接受的终值最小值:100×(1+8%)5=万元; 如果目前收益率稳定在10%:
触碰线:
36.100%)101(93
.1464
=+万元
1年后债券的价值=100×8%+
2
%)101(108
%1018+++=万元;
安全边际:万元;
A
B 触碰线
所以,采取免疫策略为卖掉债券,将所得的万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。
债券年收益率=%
88.81100
%)
101(53.10454
=-+⨯
题型四:求逆浮动利率债券的价格
例四(付息日卖出):已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%,两种债券面值都为1万,3年到期。1年后卖掉逆浮动利率债券,此时市场折现率(适当收益率)为8%,求逆浮动利率债券的价格。
解:
在确定逆浮动利率债券价格时,实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合,分别投资1万元在这两种债券上,则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。又因为在每个利息支付日,浮动利率债券价格都等于其面值,所以逆浮动利率债券价格易求。
1年后,算票面利率为6%,面值为1万的债券价格
347.9643%)81(10600
%)81(6002
=+++=
P 元
P 逆=2P-P 浮=2×=元
题型五:关于美国公司债券的各种计算(债券面值1000美元、半年付息一次)(YTM 实为一种折现率)
例五:现有一美国公司债券,息票利率为8%,30年到期,适当收益率为6%,求债券现在的价值
解:
因为该债券面值为1000美元,每半年付息一次,所以: