人教A版高中数学必修五：1.1.2《余弦定理》(20200806120017)

及时巩固
。
1、在△ABC中，若三边a,b,c满足，则A= 。
2、△ABC中，已知 这个三角形是
三角形
总结
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2
Ca
B
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
c 2 a 2 b 2 2 acb C os
新情课境探引究入
你还有别的方法吗？
A
b
c
Ca
c2a2b2 勾股定理
你能用向量证明勾股定理吗？
即证
2
2
2
ABACCB
B ABACCB
新情课境探引究入 向量法 A 那么一般三角形呢
当角C为锐角时
A
证明：过A作AD CB交CB于D
b
c
在Rt ADC中
A A D sC C i,C n A D cC C o C s a D
B
在 RtABD中
A2BA2 D B2 D
(AsCiC n)2(C BC)D 2
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
A ( b cC , o b sC s i ) B ( n , a , 0 ) C ( , 0 , 0 )
A2 B (bcoCsa)2(bsiC n0)2 b2co2C s2acboCsa2b2si2n C a2b22acboCs c 2 a 2 b 2 2 acb C os

接
∴sin(A－B)＝0.
又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，
所以 A＝B，又由 a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝21.
栏
又 0°＜C＜180°，所以 C＝60°，
目 链
接
∴△ABC 为等边三角形．
a＋c＝2b c＝b－4.
栏
目
∴a＞b＞c，∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°，
链 接
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×－12，
即 b2－10b＝0.
解得 b＝0(舍去)或 b＝10，此时 a＝14，c＝6.
题型3 判断三角形的形状
例 2 在△ABC 中，已知 c＝acos B，b＝asin C，判断三角形形状．
由余弦定理，有
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝6k22·＋（6k·3＋（1）3＋2k21－）4kk2＝ 22，
∴A＝45°.
栏
目
cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4k2＋2×（2k（3＋13）＋21k）2－k6k2＝21，
链 接
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
(2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且 b2＋c2＞a2且 c2＋a2＞b2.
(3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或 b2＋c2＜a2或 c2＋a2＜b2. π
(4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝ 2 .
4．在△ABC 中，已知 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C， 请确定△ABC 的形状．
解析：方法一 利用边的关系来判断：

栏
∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2.∴b＝c，∴a＝b＝c，
目 链
接
∴△ABC 为等边三角形．
方法二 利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，
∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
栏 目
链
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
(2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且 b2＋c2＞a2且 c2＋a2＞b2.
(3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或 b2＋c2＜a2或 c2＋a2＜b2. π
(4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝ 2 .
4．在△ABC 中，已知 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C， 请确定△ABC 的形状．
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关 键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用栏目
链
正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三接 角．
3．在△ABC 中，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，
求三边的长．
解析：由a－b＝4，得a＝b＋4.
解析：因为 A＝120°，b＝3，c＝5，
栏
所以根据余弦定理，得
目 链A＝9＋25－2×3×5×cos 120°＝49，所以 a
＝7.
答案：7
2．在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求 AC.
解析：由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 30°，
接
∴sin(A－B)＝0.
又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，

高效测评 知能提升
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学 必修5
答案： A
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．在△ABC中，若b＝1，c＝
3
，C＝
2π 3
，则a＝
________.
解析： ∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴( 3)2＝a2＋12－2a×1×cos 23π，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.
答案： 1
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b， c，若b＝3，c＝3 3，B＝30°，求边长a.
解析： 方法一：根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以32＝a2＋(3 3)2－2a·3 3·cos 30°， 即a2－9a＋18＝0， 解得a＝3或a＝6.
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.1.2 余弦定理
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破

,
B=45°，求b和A。
3.在△ABC中，已知
,
A=45°，求边长c，B，C。
, ,
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解： a b c C为最小角
cos C a2 b2 c2 2ab
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
3 2
C 300
六、作业
1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。
2.在△ABC中，已知
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有
什么利弊呢？
余弦定理 正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
=31+18 =49
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
Cbaຫໍສະໝຸດ AcB四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
：若△ABC为钝角三角形，且A>90°，则a，b，c三 边满足什么关系？ 提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A>90°，
b2＋c2－a2 ∴cos A<0，即 <0，∴b2＋c2<a2. 2bc
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
余弦定理及其推论的应用 3． 应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题： 三个角 (1)已知三角形的三边，求其_______． 两边 夹角 (2)已知_____和_____，求第三边和其他两个角．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式1】在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c. 解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0. 3 3 ∴x1＝ ，x2＝－2(舍去)．∴cos C＝ . 5 5
根据余弦定理， 3 c ＝a ＋b －2abcos C＝5 ＋3 －2×5×3× ＝16. 5
(1)已知三角形三边求角时，可先利用余 弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理 求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产 生增解或漏解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的 性质引入k，从而转化为已知三边求解．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式2】 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC边上的中线长． 解 由余弦定理和条件知： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AC AB· 2×9×8 3
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一

A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B

情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？

当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形. 所以 a=3.
(2)在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,解此三角形.
解:(2)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 2=3+c2-2 3 · 2 c,即 c2- 6 c+1=0, 2
当 c=
6
2 时,由余弦定理,得 cos A= b2 c2 a2 = 2
2
2
因为 B∈(0°,180°),所以 B=60°,
所以由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
又因为 a+c=2b,所以 a2+c2-（ a c ）2=ac, 2
所以 4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以 3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0, 所以 a=c,所以△ABC 为等边三角形.
所以 BC= 52 =2 13 .故选 B.
2.在△ABC 中,a=7,b=4 3 ,c= 13 ,则△ABC 的最小角为(
(A) π 3
(B) π 6
(C) π 4
(D) π 12
解析:由 c= 13 最小知角 C 最小,
cos C= a2 b2 c2 = 49 48 13 = 3 ,
2ab
(5)以cos A= b2 c2 a2 为例:
2bc
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立; 若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2<a2,反之亦成立; 若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立. 由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. 由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都 是锐角才行.

复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变： 解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若 又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运

-8-
1.1.2 余弦定理
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
解法一 cos 15°= cos(45°- 30°) = sin 15°=sin(45°-30°)= =4+8-2×2×2 2 ×
-6-
1.1.2 余弦定理
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
2.利用正弦定理、余弦定理求角的区别 剖析如表所示.
余弦定理 相同点 条件 依据 不 同 求角 点 检验
正弦定理
先求某种三角函数值,再求角 已知三边 已知两边及一边的对角 cos A =
b 2 +c 2 -a 2 2bc
等
sin A =
a ������������������ B b
等
解方程 cos A=m,A ∈(0,π) y=cos x 在 (0,π)内 为减函数 ,解方程 所得的解唯一
解方程 sin A=m,A∈(0,π) y=sin x 在 (0,π)内先增后减 ,解方 程所得的解不一定唯一,有时需 分类讨论
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
1.确定三角形中内角的范围
剖析由余弦定理可得,在△ABC 中,cos A =
������ +������2 -������2 . 2������������
2
若A为锐角,则cos A>0,有b2+c2-a2>0,即b2+c2>a2;若A为直角,则 cos A=0,有b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2;若A为钝角,则cos A<0,有b2+c2a2<0,即b2+c2<a2. 由此可得:A为锐角⇔a2<b2+c2; A为直角⇔a2=b2+c2; A为钝角⇔a2>b2+c2. 知识拓展a2=b2+c2⇒△ABC为直角三角形; a2>b2+c2⇒△ABC为钝角三角形; a2<b2+c2 △ABC为锐角三角形. 说明:a2<b2+c2只能得到cos A>0,即只能得到角A为锐角,但是不 能保证角B,C也为锐角,所以不能得到△ABC为锐角三角形.

c
b 2 c2 2 b cco sA
A
D
B 同理有：b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个
等式成立的，课后请同学们自己证明。
余弦定理
a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A
Ac B
△ABC是钝角三角形 b2c2a20
△ABC是锐角三角形 b2c2a20 △ABC是直角三角形 b 2c2a 20
练习：一钝角三角形的边长为连续自然数， 则这三边长为（B ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项
中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A、C显然不满足
余弦定理
[复习回顾]
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等。 sin aAsin bBsincC
用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。
思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及 这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形， 为什么？
不能，在正弦定理 sin aAsin bBsin cC中，已
即 a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A 同理，从 A C B C B A 出发， 证得b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B
从 A B C B C A出发，证得 c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
[解析法]
y
证明：以CB所在的直
(bcosC,bsinC)
线为x轴，过C点垂直
于CB的直线为y轴，

试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,

角形
5.学生练习
人教版A版高中数学必修5
玉林高中 饶蔼
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
数学来源于生活 学习热情 合作能力
一.教材分析
重点
发现与证明 及基本应用
难点
几何法证明 应用思路
二.学情分析
知识起点
正弦定理 知两角与任一边 知两边与对应角
经验起点
几何问题 建立直角坐标系
向量知识
问题1 问题2 问题3 问题4
问题5
对“冷艳”的数学进行“火热”的思考
突出重点
亮点： 基于教材 高于教材 培养思维能力 拓展思维空间
突破难点
例题讲解，解决问题
例1：在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解三 角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
三角形的形状具有什么特点？ 强化能力
探究题：小组课后学习P8的《探究与发现》，小组探究“知两 边与对应角”题型的解的情况问题。
拓展思维
板书设计
1.余弦定理
2.证明方法: (1)几何法; (2)向量法； (3)坐标法；
1.1.2余弦定理
3.例题讲解
4.小结
(1)已知三边求任意角;
(2)已知两边、一角解三
三.教学方法
问题 导学
小组 探究
总结 反思
构建
学生 主体
四.教学过程
一 • 创设情境，引入课题 6分钟 二 • 合作探究，证明定理 20分钟 三 • 例题讲解，解决问题 6分钟 四 • 牛刀小试，学以致用 4分钟 五 • 课堂小结，回顾反思 3分钟 六 • 布置作业，巩固升华 1分钟

又 A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选 A.
* 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 a
＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC，则△ABC 的面
积为( )
3 A. 4
B．3 3
33 C. 4
3 D.4
[答案] C
[解析] ∵tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC， ∴tanB＋tanC＝－ 3(1－tanB·tanC) ⇒1t－antBa＋nBt·atannCC＝－ 3⇒tan(B＋C)＝－ 3， ∴B＋C＝120°，∴A＝60°， 由 a＝4，b＋c＝5 及余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA， ∴16＝25－2bc－2bc·12，∴bc＝3. ∴S△ABC＝12bcsinA＝343，故选 C.
A．150° B．135° C．120° D．60°
[答案] A
[解析] ∵a2＋b2＝c2－ 3ab， ∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝－ 23，∴C＝150°. [点评] 表达式中如有三边的平方，应考虑通过变形产生 其中一角的余弦．
探索延拓创新
命题方向 方程的思想 [例 4] 在△ABC 中，A、B、C 满足 A＋C＝2B，且最大 角的对边与最小角的对边之比为( 3＋1):2，求 A、B、C 的度 数．
名师辩误做答
[例 6] 在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．

（1）初中知识 ：几何法 （2）必修2内容：坐标法 （3）必修4内容：向量法
余弦定理
定理：三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
余弦定理的推论
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
2bc cosC a2 b2 c2
2ab
3.已知三角形的三边长，能求出其面积吗？ （海伦-秦九韶公式）
河南省偃师高级中学
2017.04
高二数学人教A版必修5
余弦定理（一）
教学目标 1.探索并推导余弦定理及其推论； 2.会用余弦定理推出海伦—秦九韶公式.
问题引入
你知道海伦—秦九韶公式吗？你能证明 该公式吗？
提出问题
在任意三角形ABC中，已知角C， BC=a,CA=b,求AB边c.
法一：几何法
当角C为锐角时
A

证明：过A作AD CB交CB于D
b
( ACsin C)2 (CB CD)2 D
Ca
Bபைடு நூலகம்
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC
法二：坐标法
证明：以CB所在的直线为X轴， 过C点垂直于CB的直线为Y轴，建 立如图所示的坐标系，则A、B、 C三点的坐标分别为：
b
c
在RtADC 中
C
AD ACsin C,CD ACcosC