1.1有理数(分类精讲)·数学中考分类精粹

专题01 有理数【思维导图】【知识要点】知识点一有理数基础概念⏹有理数（概念理解）正数：大于0的数叫做正数。

负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。

有理数的分类（两种）（见思维导图）⏹数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

✓数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

✓数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 【注意】1.数轴是一条直线，可向两段无限延伸。

2.在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。

⏹相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）⏹绝对值绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。

绝对值的意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。

）⏹比较大小1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3）两个负数比较，绝对值大的反而小。

4）两个正数比较，绝对值大的反而大。

常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。

1．（2018·海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是( )A．|+2|与|-2| B．-|+2|与+(-2) C．-(-2)与+(+2) D．|-(-3) |与-|-3|【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．故选：D．2．（2019·四川中考真题）a -一定是 A ．正数 B ．负数C ．0D ．以上选项都不正确【详解】∵a 可正、可负、也可能是0 ∴选D.3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（ ）A ．点A 和点CB ．点B 和点CC ．点A 和点BD ．点B 和点D【详解】A 、B 、C 、D 所表示的数分别是2，1，-2，-3，因为2和-2互为相反数，故选A ．4．（2013·江苏中考真题）如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．﹣a ＜bD ．a+b ＜0【详解】根据数轴，a ＜0，b ＞0，且|a|＜|b|， A 、应为a ＜b ，故本选项错误； B 、应为|a|＜|b|，故本选项错误；C 、∵a ＜0，b ＞0，且|a|＜|b|，∴a+b ＞0，∴﹣a ＜b 正确，故本选项正确；D 、应该是a+b ＞0，故本选项错误． 故选C ．5．（2019·甘肃中考真题）已知1=a ，b 是2的相反数，则+a b 的值为( ) A ．-3 B ．-1C ．-1或-3D ．1或-3【详解】∵1=a ，b 是2的相反数， ∴1a =或1a =﹣，2b =﹣， 当1a =时，121a b +==﹣﹣； 当1a =﹣时，123a b +==﹣﹣﹣；综上，+a b 的值为-1或-3， 故选：C ．考察题型一 绝对值非负性应用1．（2016·山东中考真题）当1<a<2时，代数式|a －2|＋|1－a|的值是（ ） A ．－1 B ．1C ．3D ．－3【详解】解：当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1． 故选B ．2．（2019·山东中考模拟）表示实数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，化简a b -( )A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a +b【详解】根据数轴可以判断出0a b >>，则a b a b -=-a =，所以a b a b a b -=--=- 所以选C.3．（2017·广西中考模拟）若|x|=7|y|=5x+y>0，，且，那么x-y 的值是 （ ） A ．2或12 B ．2或-12C ．-2或12D ．-2或-12【详解】由x 7=可得x=±7，由y 5=可得y=±5， 由x+y>0可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5， 则x y 75122-=±=或， 故选：A4．（2018·浙江中考模拟）如果|a|≥0，那么（ ） A ．a ＞0 B ．a ＜0C ．a≠0D ．a 为任意数【详解】中考数学复习资料a ，解：∵0∴a为任意数，故选：D．5．（2017·湖北中考模拟）若|x﹣2|+|y+2|=0，求x﹣y的相反数．【详解】∵|x﹣2|+|y+2|=0，∴x﹣2=0，y+2=0，解得x=2，y=﹣2，∴x﹣y=2﹣（﹣2）=4，∴x﹣y的相反数是﹣4．6.（2017·广东中考模拟）已知|a+3|+|b﹣5|=0，求：（1）a+b的值；（2）|a|+|b|的值．【详解】（1）由题意得，a+3=0，b﹣5=0，解得a=﹣3，b=5，所以，a+b=﹣3+5=2；（2）|a|+|b|=|﹣3|+|5|=3+5=8．考查题型二有理数比较大小1．（2018·山东中考模拟）如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．c为正数，b为负数C．c为正数，a为负数D．c为负数，a为负数【解析】由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，如果假设两负一正情况合理，要使a+b+c=0成立，则必是b＜0、c＜0、a＞0，否则a+b+c≠0，但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，若a ，b 为正数，c 为负数时， 则：|a|+|b|＞|c|， ∴a+b+c≠0， ∴A 被否定，若a ，c 为正数，b 为负数时， 则：|a|+|c|＞|b|， ∴a+b+c≠0， ∴B 被否定， 只有C 符合题意． 故选：C ．2．（2019·北京中考模拟）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b ＝0，那么下列结论正确的是（ ）A ．|a|＞|c|B ．a+c ＜0C ．abc ＜0D ．0ab【详解】 ∵a+b=0，∴原点在a ，b 的中间， 如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c ＞0，abc ＜0，ab=-1， 故选C.12．（2019·山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是( )①b ＜0＜a ； ②|b|＜|a|； ③ab ＞0； ④a ﹣b ＞a+b ．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【解析】由图知，b <0<a ，故①正确，因为b 点到原点的距离远，所以|b |>|a |,故②错误，因为b <0<a ，所以ab <0，故③错误，由①知a-b>a+b，所以④正确.故选：B.4．（2018·湖北中考真题）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（）A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2【详解】根据有理数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．故选B．5．（2018·山东中考真题）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0【详解】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；C、b＜d，故选项正确；D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．故选：B.知识点二有理数四则运算有理数的加法（重点）有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）4.一个数同0相加，仍得这个数。

第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单）知识点1．有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．按意义分：正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数01 思维导图02 知识速记（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例表示数的性质 0是自然数、是有理数表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点4．绝对值（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．知识点5.有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．00C π−−a【题型一 正负数的意义】例题：若零下2摄氏度记为2C −°，则零上2摄氏度记为（ ） A ．2C −° B ．0C °C ．2C +°D ．4C +°巩固训练1．在2−，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ） A ．2−B ．0C ．0.5D ．32．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作100+元，则55−元表示( ) A ．支出45元 B ．收入45元C ．支出55元D ．收入55元【题型二 相反意义的量】例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作10+，那么出货5件应记作___________． 巩固训练1．若将“收入100元”记为“100+”元，则“支出400元”可记为“_______”元． 2．如果体重减少2千克记作“2−千克”，那么“增重2千克”表示___________千克【题型三 正负数的实际应用】例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 巩固训练1．一袋食品的包装袋上标有300g 5g ±的字样，它的含义是______．2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，这袋大米最轻的重量是___________kg ．【题型四 有理数的概念】03 题型归纳【题型五0的意义】例题：下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0巩固训练【题型六有理数的分类】【题型七带“非”字的有理数】巩固训练【题型八数轴的三要素及其画法】例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．巩固训练．．．．．．．．【题型九用数轴上的点表示有理数】巩固训练【题型十利用数轴比较有理数的大小】例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）巩固训练【题型十一数轴上两点之间的距离】−与3.5两点的距离是______．例题：数轴上表示有理数 4.5巩固训练−的两点间的距离是______，与5−相距9个单位的点是______．1．数轴上数5−和14BC=，则AC等于______．2．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为4−、1，若2【题型十二相反数的定义】【题型十三化简多重符号】−−的结果为（）1.化简()3A．3−B．0C．3D．4【题型十四判断是否互为相反数】【题型十五 相反数的应用】例题：已知23x +与5−互为相反数，则x 等于______． 巩固训练1.已知4a 与2互为相反数，那么=a ___________．2.若a 、b 互为相反数，则a +b +2的值为______．【题型十六 绝对值的意义】例题：如图，数轴上点,,,A B C D 分别对应实数a b c d ,,,，下列各式的值最小的是（ ）位置应该在（ ）A ．点A 与点B 之间 B ．点B 与点C 之间C ．点A 的左边D ．点C 的右边【题型十七 求一个数的绝对值】【题型十八 绝对值非负性的应用】例题：如果|2|||0a b −+=，那么a ，b 的值为（ ）A ．11a b ==，B ．13a b =-=，C ．20a b ==，D ．02a b ==，巩固训练A ．5−B ．3−C ．5D ．3【题型十九 利用绝对值比较负有理数的大小】例题：比较大小：4−_____1−（在横线上填“＜”、“＞”或“＝”）． 巩固训练第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单）知识点1．有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．按意义分：正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数01 思维导图02 知识速记（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例表示数的性质 0是自然数、是有理数表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点4．绝对值（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．知识点5.有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．00C π−−a【题型一 正负数的意义】例题：若零下2摄氏度记为2C −°，则零上2摄氏度记为（ ） A ．2C −° B ．0C °C ．2C +°D ．4C +°【答案】C【分析】根据正负数的实际意义可进行求解． 【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为2C +°； 故选C ．【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 巩固训练1．在2−，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ） A ．2− B ．0C ．0.5D ．3【答案】A【分析】根据负数的定义即可求解．【详解】解：由题意得，在2−，0，0.5，3四个数中，是负数的是2−， 故选A ．【点睛】此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数的定义．2．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作100+元，则55−元表示( ) A ．支出45元 B ．收入45元C ．支出55元D ．收入55元【答案】C【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解．【详解】解：收入100元记作100+元，则55−元表示支出55元， 故选：C ．【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键．【题型二 相反意义的量】例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作10+，那么出货5件应记作___________．03 题型归纳【答案】5−【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵“正”和“负”相对，∴进货10件记作10+，那么出货5件应记作5−． 故答案为：5−．【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键． 巩固训练1．若将“收入100元”记为“100+”元，则“支出400元”可记为“_______”元． 【答案】400−【分析】根据“正”和“负”是表示互为相反意义的量解答即可． 【详解】解：∵“收入100元”记为“100+”元， 则“支出400元”可记为“400−”元， 故答案为：400−．【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量． 2．如果体重减少2千克记作“2−千克”，那么“增重2千克”表示___________千克 【答案】2+【分析】根据正负数的意义进行解答即可．【详解】解：如果体重减少2千克记作“2−千克”，那么“增重2千克”表示2+千克． 故答案为：2+．【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，掌握具有相反意义的量．【题型三 正负数的实际应用】例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 【答案】10907−【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907−米，故答案为：10907−．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键． 巩固训练1．一袋食品的包装袋上标有300g 5g ±的字样，它的含义是______．【答案】这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g 【分析】利用生活中的数学知识，利用±表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可． 【详解】解：5±表示比300g 超重不超过5g ，不足也不超过5g ．故答案为：这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g ．【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键． 2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，这袋大米最轻的重量是___________kg ． 【答案】9.9【分析】根据正负数的意义计算即可． 【详解】∵包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±， ∴这袋大米最轻的重量是10kg 0.1k ()()9.9g)g (k −=． 故答案为: 9.9．【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键．【题型四 有理数的概念】 例题：在 3.5−，227，0.3070809，0，π中，有理数有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数． 【详解】解：在 3.5−，227，0.3070809，0，π中，有理数有 3.5−，227，0.3070809，0，共4个 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键． 巩固训练1．在数π，0，17−，0.13，3.1415926，25中，有理数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据有理数的概念进行解答． 【详解】解：π不是有理数； 0，25，是整数，属于有理数； 17−是分数，属于有理数； 0.13，3.1415926，是有限小数，属于有理数；故有理数有0，17−，0.13，3.1415926，25，共5个．故选：D ．【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数． 2．下列各数中，负有理数有（ ）个1−，2.5，43+，0，π−，120， 1.732−，27− A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：负有理数有1−、 1.732−、27−，共3个，故选C ．【题型五 0的意义】例题：下面关于0的说法，正确的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数 B ．0既不是整数也不是分数 C ．0不是有理数 D ．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可． 【详解】A ．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意； B ．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意； C ．0是有理数，故此选项错误，不符合题意； D ．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．巩固训练1．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数【答案】D【分析】根据0这个实数的相关知识，进行判断即可．【详解】解：0既不是正数，也不是负数；0是整数，也是有理数；0是最小的自然数；0还是正数和负数的分界线；故选：D．【点睛】本题考查了有理数0的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键．2．下列说法正确的是（）A．整数就是自然数B．0不是自然数C．正数和负数统称有理数D．0是整数而不是负数【答案】D【分析】根据有理数的分类即可作出判断．【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，此选项错误；B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关键．【题型六有理数的分类】例题：请把下列各数填入相应的集合中：12，5.2，0，227，22−，2005，0.3030030003−…，53−．正数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}．【答案】12，5.2，227，2005；12，5.2，227，53−；0，22−，2005；12，5.2，0，227，22−，2005，53−．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【详解】解：12，5.2，0，227，22−，2005，0.3030030003−…，53−． 正数集合：1{2，5.2，227，2005，}…；分数集合：1{2，5.2，227，53−，}…；整数集合：{0，22−，2005，}…；有理数集合：1{2，5.2，0，227，22−，2005，53−，}…．故答案为：12，5.2，227，2005；12，5.2，227，53−；0，22−，2005；12，5.2，0，227，22−，2005，53−． 巩固训练1．把下列将数填入相应的集合中：23−，0.5，23−，28，0，4，135， 5.2−．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 2．把下列各数分别填入相应的集合内：2， 3.14−，5−，3π，227，0.1212212221−…， (1)正数集合：{ …}； (2)负数集合：{ …}； (3)整数集合：{ …}； (4)分数集合：{ …}； 【答案】(1)2，3π，227(2) 3.14−，5−，0.1212212221−… (3)2，5− (4) 3.14−，227【分析】根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】（1）解：正数有：2，3π，227， 故答案为：2，3π，227； （2）解：负数有： 3.14−，5−，0.1212212221−…； 故答案为： 3.14−，5−，0.1212212221−…； （3）解：整数有：2，5−； 故答案为：2，5−； （4）解：分数有： 3.14−，227； 故答案为： 3.14−，227． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【题型七 带“非”字的有理数】例题：把下列各数 1.5−，12，0，0.101−，3，5−填在相应集合里． 非正数集合：{ }…； 分数集合：{ }…； 整数集合：{ }…．【答案】 1.5−，0，0.101−，5−； 1.5−，12，0.101−；0，3，5−． 【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解． 【详解】非正数集合：{1.5−，0，0.101−，5}−…； 分数集合：{1.5−，12，0.101}−…； 整数集合：{0，3，5}−…．故答案为： 1.5−，0，0.101−，5−； 1.5−，12，0.101−；0，3，5−． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 巩固训练1．把下列各数填入相应集合的括号内．6.5+，123−，0.5，0， 3.2−，13，9−，152，1−， 3.6−，3π(1)正分数集合：{____________…}； (2)整数集合：{____________…}； (3)非负数集合：{____________…）．【答案】(1) 6.5+，0.5，152；(2)0，13，9−，1−；(3) 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案； （3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有： 6.5+，0.5，152，故答案为： 6.5+，0.5，152；（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，9−，1−，故答案为：0，13，9−，1−；（3）解：根据非负数的定义，非负数有： 6.5+，0.5，0，13，152，3π，故答案为： 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别． 2．请把下列各数填在相应的集合内：12，5−，0.34，122−，20，1−，0．正数集合{ ……}； 负整数集合{ ……}； 整数集合{ ……}； 分数集合{ ……}； 非正数集合{ ……}； 非负整数集合{ ……}．【答案】12，0.34，20；5−，1−；5−，0，20，1−；12，0.34，122−；5−，122−，0，1−；0，20．【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解． 【详解】正数集合12，0.34，20，}…；负整数集合{5−，1−，}…； 整数集合{5−，0，20，1−，}…分数集合12，0.34，122−，}…；非正数集合{5−，122−，0，1−，}…；非负整数集合{0，20，}…．故答案为：12，0.34，20；5−，1−；5−，0，20，1−；12，0.34，122−；5−，122−，0，1−；0，20．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【题型八 数轴的三要素及其画法】例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可．【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键．巩固训练1．在下列选项中数轴画法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．【详解】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意；C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键．2．下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．【题型九 用数轴上的点表示有理数】例题：在数轴上表示数：2−， 1.5−，112，4，并按从小到大的顺序用“< ”连接起来．【答案】数轴表示见解析，12 1.5142−<−<<【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数把各数用小于号连接起来即可． 【详解】解：数轴表示如下所示：由数轴可得12 1.5142−<−<<．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． 巩固训练1．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接． 3−，12，1−，0，2.5【答案】数轴见解析，1310 2.52−<−<<< 【分析】在数轴上表示出这些数，再根据数轴上左边的数总小于右边的数即可得出答案． 【详解】解：如图所示：由数轴可得：1310 2.52−<−<<<． 【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 2．先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：3.5，1−，2，122−______<______<______<______.【答案】数轴见解析；122−；1−；2；3.5【分析】先把四个数表示在数轴上，然后根据数轴上点的特点，再比较大小即可．【详解】解：把3.5，1−，2，122−表示在数轴上，如图所示：按从小到大的顺序排列为：1212 3.52−<−<<．故答案为：122−；1−；2；3.5．【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小比较，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上点的特点．【题型十利用数轴比较有理数的大小】例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）【答案】<【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．【详解】解：m在n的左边，m n∴<，故答案为：<．【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．巩固训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____________b−．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【分析】在数轴上找到表示b −的点，再利用数轴的性质比较大小即可． 【详解】如图所示，由数轴可知a b >−， 故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，做题关键要掌握数轴上的点表示的数的特点． 2．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ______b ．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【分析】根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，a b >， 故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键．【题型十一 数轴上两点之间的距离】例题：数轴上表示有理数 4.5−与3.5______． 【答案】8【分析】根据数轴上两点距离公式进行求解即可．【详解】解：由题意得，数轴上表示有理数 4.5−与3.5两点的距离是()3.5 4.58−−=， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了数轴上的两点距离公式，解题的关键在于熟知对于数轴上的两个数a 、b ，这两个数的距离为a b − ． 巩固训练1．数轴上数5−和14−的两点间的距离是______，与5−相距9个单位的点是______． 【答案】 9 4和14− 【分析】直接根据数轴作答即可．【详解】数轴上数5−和14−的两点间的距离是()5149−−−=，与5−相距9个单位的点是594−+=和5914−−=−，故答案为：9；4和14−．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值．2．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为4−、1，若2BC=，则AC等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出AB，分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算．【详解】∵点A、B表示的数分别为4−、1，∴5AB=，第一种情况：点C在AB外，如图，527AC=+=；第二种情况：点C在AB内，如图，523AC=−=；故答案为：3或7．【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键．【题型十二相反数的定义】例题：实数2023的相反数是（）A．12023−B．12023C．2023−D．2023【答案】C【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．【详解】实数2023的相反数是2023−．故选：C．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．巩固训练1.3−的相反数是（）A ．3B ．-3C ．13D ．13−【答案】A【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行作答即可. 【详解】解：3−的相反数是3； 故选：A .【点睛】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键. 2.2023−的相反数是（ ） A ．2023 B ．12023−C ．12023D ．2023−【答案】A【分析】利用相反数的定义判断． 【详解】解：2023−的相反数是2023． 故选：A ．【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．【题型十三 化简多重符号】 例题：化简()20−−的结果是（ ） A ．120−B ．20C ．120D ．20−【答案】B【分析】()20−−表示20−的相反数，据此解答即可． 【详解】解：()2020−−=， 故选：B【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 巩固训练1.化简()3−−的结果为（ ） A ．3− B ．0C ．3D ．4【答案】C【分析】根据正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零即可解答。