数学建模常用方法ppt课件

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数学建模入门PPT课件

y
•
a
o
•
•
b
x
CHENLI
19
4 模型求解
证明：将椅子转动，对角线互换，由
2
g(0)0,f(0)0,可得
f()0,g()0,
2
2
令 h ( ) f ( ) g ( )则 , h ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) 0 ,
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类：初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
CHENLI
13
5）按建模目的分类：描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分类：
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。
优决策控制等。
6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
CHENLI
11
模型的分类
1）按变量的性质分类：
离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。
4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理
以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方
法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计
算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数
近似、有效数字等）。
CHENLI
10
5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最

数学建模课堂PPT(部分例题分析)

和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数理统计可以帮助我们描述和预测随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数理统计可以帮助我们描述和预测随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大，可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大，可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性，不能完全准确地预测股票价格的走势。

数学建模之方法(五步法)ppt课件

133 132 131 130 5 10 15 20
数模方法之五步法
※2018/11/25※
11/25
⑸回答问题：回答第一步提问“何时售猪可以达到最大净收益. 由第四步我们得到的答案是在8天之后，可以获得净收益133.20美元。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我们将在下一节进行讨论。本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归纳成如下图表, 以便以后参考.
图1-4 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率 r 的曲线
14 12 10 8 6 40.008 2 0.008
14 12 10 8 6
0.009
0.011
01 0.012 r(美元/天)
我们可以看到售猪的最优时间 x 对参数 r 是很敏感的. ⑶x对价格下降速率r灵敏性的系统分析将r作为未知的参数,仍按前面的步骤求解(见下页):
变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式等构成完整的问题。
数模方法之五步法 ※2018/11/25※
5/25
①例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)，从现在到出售猪期间经历的时间t(天), t天饲养猪的花费C(美元), 猪的市场价格 p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元), 我们最终获得的净收益P(美元)。其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。 ②写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有
5 磅 ( w 磅 ) ( 200 磅 ) ( )( t 天 ). 天

数学建模～最优化模型(课件)

投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制，通常以等式或不等式形式给出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件下，求一组线性函数的最大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件等，通常以等式或不等式形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线性函数，通常表示为决策变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法

数学建模简单13个例子 ppt课件

数学建模简单13个例子
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
数学建模简单13个例子
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 |BP|2a2|AP|2 即：
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，DFra bibliotek即T 至少应当达到（L数+学建D模）简单/13v个。例子
数学建模简单13个例子
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同—地点，为什么?
解法一：将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。

《数学建模》PPT课件

( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法该法用于目标函数比较复杂的情况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种：（1）消去法该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。

数学建模介绍PPT课件

•对任意的，有f()、 g()
•至少有一个为0，
16
本问题归为证明如下数学命题：数学命题:（本问题的数学模型）
已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任意的，有f() g()=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则有存在0，使f(0)= g(0)=0
模型求解证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由 f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0
的解答
解
释
数学模型的解答
12
实践
理论
实践
表述求解解释验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答
将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答
13
4、建模实例：
例1、椅子能在不平的地面上放稳吗？
• 模型假设 • 1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面
• 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模有关的概念：
3
• 原型（Prototype）
• 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、实际问题等。
• 模型（Model)
• 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型替代物称为模型。模型有直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、数学模型等。
• 一个原型可以有多个不同的模型。
4
数学模型：
由数字、字母、或其他数学符号组成、描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法称为数学模型
数学建模：
建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）
5

数学建模ppt课件-文档资料

数学建模
• 数学建模简介 • 大学生数学建模竞赛 • 数学建模的步骤 • 初等数学模型
• 数学建模简介 1、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
• 大学生数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的， 1989年我国大学生开始参加美国的竞赛。经过两三年的参与，大家认为竞赛是推动数学建模教学在高校迅速发展的好形式，1992年由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛。 • 教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一次。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。
室内 T1
Ta T b d l d
室外 T2
Q1
墙 T 建模热传导定律 Q k d 双层玻璃模型 T T T T T T 1 a a b b 2 Q k k k 1 1 2 1 d l d
• 从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从 1994年196个学校的867支参赛队，到2000年 517个学校的3210支参赛队，再到2019年795个学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍， 2019年竞赛的选手达到25000多名。 2019年竞赛的选手达到25000多名。 • 2019年全国967所高校一万余支队伍、三万多名大学生参加2019年度的数学建模竞赛，山东省有 59所高校，近七百支队参加竞赛。

数学建模简单13个例子[优质ppt]

出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。
一般思维：
3 6 1 8 1 0 4 2 1 1 9 8 5 2 1 1 36 2 2222
逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
返回
7、气象预报问题
在气象台A的正西方向300 km处有一台风中心，它以 40 km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距其中心250 km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象台所在地区将遭受台风的影响?持续时间多长?
i1
于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型
求解：用反证法容易证明本问题的解不存在。
返回
3、相遇问题
某人平时下班总是按预定时间到达某处，然
然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早
了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他
的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时
因为圆的方程为：
直线BC的方程为：
当台风中心处于圆内时，有：
其中参数t 为时间(单位为h)。
解得
所以，大约在2h以后气象台A所在地区将会遭受台风的影响，持续时间大约为6．6h。
8、黄灯应当亮多久
交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态— —亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。

建模方法示例--华东理工大学数学建模课件.ppt

p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
定义 Qi
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方分配席位
2019/4/24
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
该席给Q值最大的一方数学建模
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
2019/4/24 数学建模
2.2 录像机计数器的用途
问题
经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考
要求
2019/4/24
计数器读数是均匀增长的吗？
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平程度已大大降低! 数学建模
2019/4/24
“公平”分配方法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义

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N0 初始时刻人口总数
4
建立模型:
由假设3， N(t t) N(t) B(t, t, N) D(t, t, N)
由假设4， N(t t) N(t) b(t, t, N) d(t, t, N)N(t)
记 R(t, t, N ) b(t, t, N ) d (t, t, N )
2. 群体的规模很大，以至于人口随时间的增减变化过程
可认为是连续的、光滑的。 3. 所考虑的群体是封闭的。 4. 人口繁殖和死亡均考虑大范围内的平均效应。 5. 各时期的增长规律相同。 6. 任何个体的增殖不考虑总体的总数。
3
符号设定:
t 时刻
N(t) t时刻所考虑区域内的人口总数
B(t, t, N) t时刻t时段出生数 D(t, t, N) t时刻t时段死亡数 b(t, t, N) t时刻t时段出生率 d(t, t, N) t时刻t时段出生率 r(t, N) t时刻的瞬时净增长率
收获源于收获前的耕耘，收获量源于收获前耕耘的方式和程度，
物种数量的增加源于该物种繁存量大于死亡量等都是平衡。
这些平衡关系是数学建模中常用的依据。
1
二、建模实例
例1: 建立模型，描述人口的增长规律。若2000年，西安市人口总数为6052000人，新生
人口数7058人，死亡数3257人，问2020年西安总人
第四章数学建模的常用方法(上)
§4.1 平衡原理建模
一、平衡原理
我们称研究对象的同一个量在两个不同方面的表
现之间的关系为平衡原理。利用这些平衡关系导出研究
对象的数学关系的过程称为用平衡原理建模。
自然界和社会领域到处充满平衡关系。 “事出有因” 便是对平衡关系的高度概括。能量守恒、动量守恒是平衡关系，
从数据资料中挖掘事物的内部特征
利用数据资料寻找事物内部各因素间的相互联系
3. 数据资料建模必要准备
收集有用的数据资料
从数据资料中剥离有用数据
对非数据性指标作量化处理
学习相适应的数据处理方法掌握相应的计算软件使用方法
11
二、建立因果关系模型的几种方法
1. 单因素因果模型
设在对某问题进行分析后发现，某因素x是影响另一因素y的主要因素
模型评价:
从社会人口发展的历史规律及建立模型时所作的假设看，如果r选择了某特定时段有代表性的值，该模型具有较好的表现力。其原因在于假定了r为常数，事实上，物种数量的发展在环境制约下，有一定的自然协调作用。
模型改进:
若将r设定成种群总量N的递减函数, 模型在t 时可
能会有更好的表现力。

x1i x2i x3i xmi yi

x1n x2n x3n xmn yn
现假设因果关系的函数形式为：
y 0 1x1 2x2 p xp
将问题中的数据代入模型即有误差
i yi (0 1x1i 2 x2i p xpi )
模型检验:
若r 0，我们有lim N(t) 若r 0，我们有lim N(t) 0
t
t
这说明模型的使用有一定的局限性。若要求模型能广泛的使用，
必须改进模型。改进的途径应该首先从假设4着手。若r能适应某
特定时段，模型还可用。
6
模型应用:
由题给数据计算r,然后计算N (20) 605200 e20r
● 当需要对研究对象进行类别划分时，知道区分这些对象的类别归属的描述指标，但面对一个给定的对象，怎样确定它应该属于哪一类？其科学标准和方法是什么？
● 哪些因素之间有因果关系，哪种因果关系是该问题中因果关系的更准确的表达？
● 哪些指标能更有力地区分研究对象的类属？
10
2. 数据资料建模方法的含义
7
例2 :带年龄结构的人口模型
问题分析:
我们的目标是期望得到在任何时刻t, 各年龄段的人口数别为多少
8
思考题
1. 用平衡原理方法建立某物种数量发展的数学模型. 2. 用动态平衡的方法建立某可再生物种的动态平衡模型.
9
§4.2 数据资料建模
一、数据资料建模方法的含义 1、数据资料建模方法的适用范围在科学研究中，人们经常遇到的有些问题具有以下特征： ● 能确定其中某些因素之间有因果关系，但不知道这种因果关系的解析表达。
但我们不知道又希望知道它们间的相依规律，即得到模型。
假设我们已经取得了x和y的n组数据,
记其为xi
,
yi
n 1
将这n组xi , yi 视为平面上的n个点，
y

x
12
2、多个原因的线性因果关系
问题的表现形式为：
x11 x21 x31 xm1 y1
x12 x22 x32 xm2 y2 x13 x23 x33 xm3 y3
N N (t t) N (t) 考虑R(t, t, N)关于t的Taylor展开式
R(t, t, N) R(t,0, N) R(t,0, N)t o(t) r(t, N )
即有 N r(t, N )N 由假设2有 dN r(t, N )N
t
dt
考虑N (0)

N
应为已知，
0
于是有模型:
dN r(t, N )N dt
N t0 N0
5
模型求解:
所建模型的一个变量可分离的常微分方程。由假设4，我们视r(t, n)为常数r.
分离变量再两端积分得 N (t) Cert
由N (0) N0得 C N0
代入即得模型的解为 N (t) N0ert
口数约多少？分析 : 我们把问题的目标理解为人口数量的增长。
影响人口数量变化的因素很多。如 : 人口基数、年龄结构、
性别比例、生育观念、社会环境、人口政策、自然环境等等。
为了简化问题，我们把所有影响因素概括成一个影响因素 —时间t。
于是，我们建模的目标是寻找N(t)
2
模型假设：
1. 忽略人群中的个体差异。
n
所有
自然应满足
j

2 i

min
i 1
上式便是模型中的系数应该满足的条件。
应用求多元函数极值的方法不难求得全