数学建模所需知识及方法

数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。

一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。

究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。

这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。

（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。

如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。

这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。

数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。

数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。

建立数学模型的过程称为数学建模。

(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。

计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。

数学建模方法详解--三种最常用算法一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题． (二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵1,0,ij ij ji n nijA a a a a表示，A 称为正互反矩阵． 一般地，如果一个正互反阵A 满足：,ij jk ik a a a ,,1,2,,i j k n L （1）则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量．如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素n C C ,,1 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记作 )的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足：Aw w （2）直观地看，因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ij a ，所以当ij a 离一致性的要求不远时,A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素i C 和j C 对于一个上层因素O 的影响时，采用Saaty 等人提出的91 尺度，即ij a 的取值范围是9,,2,1 及其互反数91,,21,1 ．3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根 的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ，则n 阶正互反阵A 的最大特征根n ，而当n 时A 是一致阵．所以 比n 大得越多，A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用n 数值的大小衡量A 的不一致程度．Saaty 将1nCI n(3)定义为一致性指标．0CI 时A 为一致阵；CI 越大A 的不一致程度越严重．注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ，所以CI 相当于除 外其余1n 个特征根的平均值．为了确定A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量A 的一致性指标CI 的标准，又引入所谓随机一致性指标RI ，计算RI 的过程是：对于固定的n ，随机地构造正互反阵A ，然后计算A 的一致性指标CI ．表1 随机一致性指标RI 的数值表中1,2n 时0RI ，是因为2,1阶的正互反阵总是一致阵．对于3n 的成对比较阵A ，将它的一致性指标CI 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ，当0.1CICR RI(4) 时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．对于A 利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的A 进行修正． 4． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有s 层，则第k 层对第一层（设只有1个因素）的组合权向量满足：1,3,4,kkk w W w k s L （5）其中 kW 是以第k 层对第1k 层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:132s s s w W W W w L （6）5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第p 层的一致性指标为p n p CI CI ,,1 (n 是第1 p 层因素的数目)，随机一致性指标为1,,p p nRI RI L ，定义11,,P p p p n CI CI CI w L 11,,p p p p n RI RI RI wL 则第p 层的组合一致性比率为:,3,4,,p p p CI CRp s RIL (7) 第p 层通过组合一致性检验的条件为 0.1pCR ．定义最下层(第s 层)对第一层的组合一致性比率为：2*sP p CR CR (8)对于重大项目，仅当*CR 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于9个）应进一步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和91 比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．(3)计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵．(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径． (五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题． 1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题． 定理1 对于正矩阵A （A 的所有元素为正数） 1）A 的最大特征根是正单根 ；2） 对应正特征向量w （ 的所有分量为正数）；3）w IA I I A k k k lim ，其中1,1,1 I ，w 是对应 的归一化特征向量．定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根n ；当n 时A 是一致阵．定理2和前面所述的一致阵的性质表明,n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根n ．2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法． (1) 幂法 步骤如下：a ．任取n 维归一化初始向量 0wb ．计算1,0,1,2,k k wAw k %L c ．1k w%归一化,即令ni k ik k ww1111~~d ．对于预先给定的精度 ,当 1||1,2,,k k i i i n L 时,1k w 即为所求的特征向量；否则返回be. 计算最大特征根 111k n ik i in %这是求最大特征根对应特征向量的迭代法, 0w 可任选或取下面方法得到的结果．(2) 和法 步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得1nij ij iji a a%b ．对ij %按行求和得1ni ij j %%c ．将i %归一化 *121,,,ni ini w%%L 即为近似特征向量．d. 计算 11n ii iAw n ，作为最大特征根的近似值．这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量．(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对ij %按行求积并开n 次方，即11nn iij j%%．根法是将和法中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵A 是一致阵时,ij a 与权向量n w ,,1 的关系满iij ja,那么当A 不是一致阵时，权向量w 的选择应使得ij a 与ij相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题： 21,,11min i nniij i n i j j aL (9) 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于i 的非线性方程组，计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：21,,11min ln ln i nni ij i n i j j aL (10)则化为求解关于ln i 的线性方程组．可以验证，如此解得的i 恰是前面根法计算的结果．特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出． 4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？一般地，由残缺阵 ij A a 构造修正阵 ijA a %%的方法是令,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i jm m i i j%为第行的个数, (11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵A 的充分必要条件是A 为不可约矩阵．(六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价该人体重为55kg维生素A 7500国际单位 (IU)维生素B 1.6338mg热量 R 8548.5kJ考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵max 2 ，10CI ，100.1CR ，主特征向量0.75,0.25W 故第二层元素排序总权重为 10.75,0.25W表4 比较判断矩阵111max 1113,0,0,0.58CI CR RI ，主特征向量0.4,0.4,0.2W故相对权重 210.4,0.4,0.2,0P③ 第三层组合一致性检验问题因为 2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ,212200.1CR CR CI RI故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为：221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化则最终的第四层各元素的综合权重向量为：3320.2376,0.2293,0.5331W P W ，结果表明，按这个人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适．引入参数变量，令10.2376x k ，20.2293x k ，30.5331x k ，代入 1LP123min 0.02750.0060.007f x x x131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x则得k f 0116.0min13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k容易求得1418.1k ，故得最优解 *336.9350,325.1650,755.9767x；最优值 *16.4497f ，即肉336.94g ，面325.17g ，蔬菜755.98g ，每日的食品费用为16.45元．总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；第二，研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；第三，研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3．数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量12,,,m b b b b L ,其中， 01j b ，m为可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当11max 1,1njj j nj bb 时，最大隶属原则最有效；而在 1max 01,jj nbc c 1n j j b nc 时，最大隶属原则完全失效，且1max jj nb 越大（相对于1njj b 而言），最大隶属原则也越有效．由此可认为，最大隶属原则的有效性与1max jj nb 在1njj b 中的比重有关，于是令：11max njjj nj b b (12)显然，当11max 1,1njj j nj bb 时，则1 为 的最大值，当 1max 01jj nb c c ,1njj bnc时，有1n 为 的最小值，即得到 的取值范围为:11n ．由于在最大隶属原则完全失效时，1n 而不为0，所以不宜直接用 值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：11111n n n n(13)则 可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与j nj b 1sec （jnj b 1sec 的含义是向量b 各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：11sec njjj nj b b(14)可见： 当 1,1,0,0,,0b L 时， 取得最大值12．当 0,1,0,0,,0b L 时， 取得最小值0．即 的取值范围为012 ，设 02120．一般地， 值越大最大隶属原则有效程度越高；而 值越大，最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：112121n n n n(15) 使用 指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．2. 指标的使用从 指标的计算公式看出 与 成反比，与 成正比．由 与 的取值范围，可以讨论 的取值范围： 当 取最大值， 取最小值时， 将取得最小值0；当 取最小值， 取最大值时， 将取得最大值：因为 0lim ，所以可定义0 时， ．即：0 ．由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当1 时，可认为施行最大隶属原则非常有效；当0.51 时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为 值；当00.5 时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当0 时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级． 讨论a ． 在很多情况下，可根据 值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算 值．根据 与 之间的关系，当0.7 ，且4n 时，一定存在1 ．通常评价等级数取4和9之间，所以4n 这一条件往往可以忽略，只要0.7 就可免算 值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．b ． 如果对 12,,,m b b b b L 进行归一化处理而得到b ，则可直接根据b 进行最大隶属原则的有效度测量． (四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用． 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设 ,,,D V A c 是一个带出发点s v 和收点t v 的容量-费用网络，对于任意,ijv v A ，ijc表示弧 ,i j v v 上的容量，ij 表示弧 ,i j v v 上通过单位流量的费用，0v 是给定的非负数，问怎样制定运输方案使得从s v 到t v 恰好运输流值为0v 的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从s v 到t v 运送的流的值恰好为0v ；(2)总运输费用最小;(3)在容量ij c 大的弧 ,i j v v 上适当多运输．如果仅考虑条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：,0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v Av v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c把条件(3)中的“容量大” 看作A 上的一个模糊子集A %，定义其隶属函数 ： 0,1A 为： 00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c c%其中 1,i j ij v v c A cg （平均容量）21,21,0,1lg 1i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c cg g建立ij 是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量ij c 大的弧 ,i j v v ，人为地降低运价ij ，形成“虚拟运价”ij ，其中ij 满足：ij c 越大，相应的ij 的调整幅度也越大．选取ij 为 1kij ij ij ， ,i j v v A ．其中k 是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，k 取值越小；当k 取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的k 值最好通过使用一定数量的实际数据进行模拟、检验和判断来决定．最后，用ij 代替原模型M 中的ij ，得到一个新的模型M ．用现有的方法求解这个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价 此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一)灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1．原始数据初值化变换处理分别用时间序列 k 的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ik i ki k k i k k i k ikx x x x x x x x3． 取分辨系数 01 4． 求关联度11ni ki k k r n(二) 灰色预测1．灰色预测方法的特点(1)灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2)灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为： （1）1-ADO ：对原始数据序列0k x 1,2,,k n L 进行一次累加生成序列 101kk i i x x1,2,,k n L（2）对0x 数列进行光滑性检验：00,k ，当0k k 时：0011101k k k k ii x x x x文献[11]进一步指出只要0101k k ii x x 为k 的递减函数即可．（3）对1x 作紧邻生成： 1111*1*,2,3,,k k k Z x x k n L一般取0.5b ax dtdx 11 （16）为灰色微分方程 01k k x aZ b 的白化方程． （4）按最小二乘法计算参数,a b（5）解（16）式并进行离散化得模拟序列1x 和0x 的计算公式： 1101exp k x x b a ak b a ，其中0,1,2,,k n L01111011exp *exp k k k x x x a x b a ak ，其中1,2,k L并假定 111101x x x文献[12,13]指出：假定 111101x x x 的理由是不充分的，文献[14]认为应当以最后一个 1n x 为已知条件来确定微分方程中常数项m c 的值，理由是最后一个数据是最新的，最能反映实际情况．同时文献[15]又进一步提出常数m c 的确定，由于数据序列中。

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。

但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。

他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。

而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。

特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。

可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。

你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。

其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。

也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型。

数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。

通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。

数学模型的另一个特征是经济性。

用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。

数学建模c题思路摘要：一、数学建模c 题概述二、解题思路及步骤1.题目分析2.建立数学模型3.求解数学模型4.结果分析与验证三、总结与展望正文：一、数学建模c 题概述数学建模c 题是指在全国大学生数学建模竞赛中，c 类题目所涉及的数学建模问题。

这类题目通常具有一定的难度和挑战性，需要参赛选手具备较高的数学素养、逻辑思维能力和创新意识。

本文将以一道典型的数学建模c 题为例，介绍该类题目的解题思路和步骤。

二、解题思路及步骤1.题目分析首先，我们需要对题目进行仔细阅读和分析，明确题目所给出的背景、条件和要求。

在这个过程中，要特别注意挖掘题目中的关键信息，以便于后续的建模和求解。

2.建立数学模型在建立数学模型的过程中，我们需要根据题目所给出的条件和要求，抽象出关键问题，并将其转化为数学问题。

这通常包括以下几个步骤：(1) 确定变量：根据题目中的实际问题，选择合适的变量来表示问题的各个方面。

(2) 建立关系式：根据题目中的条件，建立变量之间的数学关系式。

(3) 确定模型类型：根据题目要求，确定所建立的数学模型属于确定性模型还是随机性模型。

3.求解数学模型在求解数学模型的过程中，我们需要根据所建立的数学模型，运用相应的数学方法求解问题。

这可能包括微分方程、概率论、矩阵论等数学知识。

对于复杂的数学模型，可能需要采用数值计算、模拟仿真等方法进行求解。

4.结果分析与验证在得到数学模型的解后，我们需要对结果进行分析和验证，以判断解的合理性和有效性。

这通常包括以下几个步骤：(1) 结果解释：根据数学模型的解，解释问题的结果，并分析结果的实际意义。

(2) 结果验证：将数学模型的解与实际问题进行对比，验证解的正确性和有效性。

(3) 结果优化：根据结果分析，对数学模型进行优化和改进，以提高模型的精度和效率。

三、总结与展望数学建模c 题作为大学生数学建模竞赛中的一种挑战性题目，对参赛选手的数学素养、逻辑思维能力和创新意识提出了较高的要求。

数学建模的思路数学建模是一种将数学方法应用于实际问题的过程。

在数学建模过程中，需要遵循一定的思路，以保证建模的准确性和可行性。

具体的数学建模思路可以归纳为以下几步：1. 确定问题数学建模的第一步是确定问题。

在确定问题时，需要明确目标，澄清问题的定义和限制条件，分析问题的性质和所需的数据信息。

在这一步中，要尽可能多地收集数据，特别是关于问题的背景和相关历史数据。

这些数据将对最终建模结果产生很大的影响。

2. 建立模型在确定问题后，需基于所搜集的数据，建立一个与实际相符的模型，这个模型要简化实际问题的复杂性、精确、可验证和易于求解。

建模时应该遵从模型的假定、基本概念和运算规则，以及与原始问题的合理关系。

3. 进行分析在建立模型之后，需要进行模型的分析。

模型分析的目的是确定模型的优点和缺点，并对纠正可能存在的错误或提出有必要的改进方案。

分析时应该采用合理的数学方法，如微积分、概率统计等。

4. 进行计算计算是数学建模过程中非常重要的一个步骤。

根据所设计的模型和分析的结果，可以进行数值计算和迭代计算等方式进行解题。

在进行计算时，需要注意算法和计算条件等方面的问题。

5. 验证在完成数值计算和迭代计算之后，需要进行验证，以确保这些计算得到的结果符合原问题的实际情况。

验证可以通过比较计算得到的结果与实际数据之间的差异、验证公式的正确性以及对误差的分析等方式。

6. 确定解法最后，根据模型的分析、数值计算和验证，可以确定建模的解法。

解法可以是对原问题的解释，可以是数学公式、算法等数学方法，也可以是实际操作中的经验总结。

总的来说，数学建模需要遵循一个系统化、规范化的过程，在整个过程中，需要注意正确的思维方式和方法，以获得更好的建模结果。

飞机模型数学标题：精美飞行器模型数学建模指南导言：数学在飞机模型制作中扮演着重要的角色。

本文将介绍一些基本的数学概念和技巧，帮助您制作出精美的飞行器模型。

请注意，本文所涉及的数学概念和方法均为一般性原则，并不具体参考现实飞机模型的名称和引用。

一、比例尺和尺寸计算1. 比例尺选择：采用适当的比例尺来制定飞机模型的尺寸是至关重要的。

比例尺代表了飞行器模型的缩小比例，通常以分数形式表示。

常见的比例尺包括1:72、1:48、1:32等，您可以根据自己的需要选择适合的比例尺。

2. 长宽高计算：在确定比例尺后，计算模型的实际尺寸十分重要。

将飞机模型的长度、宽度和高度乘以比例尺的分子部分，即可得到实际的尺寸。

二、几何形状与设计1. 平面几何：通过运用平面几何概念，可以精确计算飞机模型的各个部分之间的夹角，以及边长和斜边的关系。

在构建机翼时，可以使用三角函数来计算机翼的角度和长度。

2. 曲面几何：飞机模型的曲面造型往往需要数学中的曲线和曲面知识。

通过使用贝塞尔曲线、样条曲线等数学概念，可以实现对模型的流线型和外观的优化。

三、力学与飞行原理1. 力学模型：飞机模型需要考虑到其运动学和动力学特性。

通过使用牛顿力学和其他相关的机械原理，可以计算和优化模型的重心、稳定性、推力和气动特性等。

2. 气动力学：当飞机模型涉及到飞行时，需要考虑到气动力学的影响。

通过运用流体力学的原理，可以分析模型在空气中的飞行特性，如升力、阻力和侧向力等。

结论：数学在飞机模型制作中起着重要的辅助作用。

通过了解和应用数学原理，可以更好地进行模型设计、尺寸计算和力学分析。

希望本文所介绍的数学概念和技巧能帮助您制作出令人惊叹的飞行器模型。

数学建模五步法1第一步：提出问题列出问题中涉及到的变量，包括恰当的单位？注意不要混淆变量和常量（参数）？列出对变量所做的全部假设，写出变量间的关系式（不等式、等式）？检查变量/常量的单位关系，以保证所做假设的意义？用准确的数学语言（表达式）写出问题的目标？案例涉及的变量：●w =猪的重量（磅）；●t=从现在到出售期间经历的时间（天）；●C=t天内饲养猪的费用（美元）；●p=猪的市场价格（美元/磅）；●R=售出猪获得的收益（美元）；●P=最终获得净收益（美元）。

案例所作的假设：01.0 65.05200≥-=⋅=-=+=tC RPw pR tp tw案例目标：Pmax第二步：选择建模方法选择解决问题的一般求解方法？这需要jian mo zhe的经验、技巧和对相关文献的了解和熟悉。

建模常用的方法有：1（新西兰）Mark M. Meershaert著，刘来福等译. 《数学建模方法与分析》，机械工业出版社（2005）——优化模型的求解方法：微积分方法、数学规划方法等；——动态模型方法：微分方程、差分方程、模拟方法等；——概率模型：概率定律、计量经济方法等。

注意：大量的模型均可用计算机软件工具实现，模型求解方法的选择，现实中，就变为软件工具的选择。

案例涉及的数学方法：● 微积分之优化理论——可微函数的一阶条件：()0'=x f第三步：推导模型的公式将第一步得到的问题重新表达，以适应第二步所选定的建模方法所需要的形式，这可能需要对变量进行调整？记下任何补充假设，这些假设是为了是在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。

案例推导()(){}{}()()t t t P t t t tt t tw p CR P t t 45.0520001.065.0max 0:45.0520001.065.045.00-+-=>-+-=-⋅=-=>：：问题可表达为如下模型，的取值范围补充假设：求解变量第四步：求解模型将第二步所选方法应用于第三步得到的数学表达式？注意：要保证数学推导过程的正确。

浅谈数学建模的步骤数学建模由以下六个步骤完成：1）建模准备：要考虑实际问题的背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料，分析问题所涉及的量的关系，弄清其对象的本质特征。

2）模型假设：根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言进行假设，选择有关键作用的变量和主要因素。

3）建立模型：根据模型假设，着手建立数学模型，将利用适当的数学工具，建立各个量之间的定量或定性关系，初步形成数学模型，要尽量采用简单的数学工具。

4）模型求解：建立数学模型是为了解决实际问题，对建立的数学模型进行数学上的求解，包括解方程、图解、定理证明、逻辑推理等。

5）模型分析：对模型求解得到的结果进行数学上的分析，有时是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态，有时则根据所得的结果给出数学上的预测，有时则是给出数学上的最优决策或控制。

6）模型检验：模型分析的结果返回到实际问题中去检验，用实际问题的数据和现象等来检验模型的真实性，合理性和适用性。

模型只有在被检验，评价，确认基本符合要求后，才能被接受，否则需要修改模型。

数学建模的分析方法主要有以下三种：①图像分析法：通过作图，根据图像中的数量关系来建立问题的数学模型。

②关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系来建立的数学模型。

③列表分析法：通过列表的方式来探索规律，从而建立问题的数学模型。

四、把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来。

在诸多的思维活动中，创新思维是最高层次的思维活动，是开拓性、创造性人才所必须具备的能力。

由此，我认为培养学生创造性思维的过程有三点基本要求。

第一，对周围的事物要有积极的态度；第二，要敢于提出问题；第三，善于联想，善于理论联系实际。

因此在数学教学中构建学生的建模意识实质上是培养学生的创造性思维能力，因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动。

它既具有一定的理论性又具有较大的实践性；既要求思维的数量，还要求思维的深刻性和灵活性，而且在建模活动过程中，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。

数学建模的七个步骤
1. 确定问题和问题的约束：首先需要确定问题的具体意义、情境和约束条件，
明确要解决什么问题，以及该问题所涉及的限制条件和假设。

2. 收集相关数据和信息：收集和整理有关问题的数学和非数学相关数据和信息，包括现有的已知条件、相关文献、研究报告等。

3. 建立数学模型：根据问题的具体情况和要求，选择适合的数学方法和模型，
建立数学表达式和方程，完成数学模型的构建。

4. 模型分析和求解：对建立的数学模型进行分析和求解，深入了解问题背后的
规律、关系和性质。

其中可能涉及到计算机程序和数值解法，进行模拟计算和实验验证。

5. 模型评价和优化：评价模型的准确性、稳定性和实用性，优化模型的性能和
效果。

6. 模型实现和应用：将已建立、分析、求解、评价和优化过的数学模型应用到
实践中，解决实际问题。

7. 结果通报和总结：将模型解决的结果、意义和应用体现反馈到问题的相关部门、领域和社会大众中，总结和推广研究成果。

一、数学模型分类首先，既然是数模，你所知道的数学模型具体有哪些呢？按建立模型的数学方法，数学模型主要分为以下几种：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型 等。

其次，想要完成一篇优秀的数模论文，我们需要对建模方法有基本的了解，在审题时就可以快速找出最适合的方法。

二、建模方法分类目前，在数学建模中常用的方法有:通用型：类比法、二分法、量纲分析法、图论法；进阶型：差分法、变分法、数据拟合法、回归分析法、数学规划法(线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划)、 机理分析、排队方法、决策方法；高能型：层次分析法、主成分分析法、因子分析法、聚类分析法、TOPSIS法、模糊评判方法、时间序列方法；灰色理论方法、蒙特卡罗法、现代优化算法（模拟退火算法、遗传算法、神经网络法)等。

三、通用型1、类比法类比法建模一般在 具体分析该实际问题的各个因素 的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系。

在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用 已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。

2、二分法二分法 常用于数据的排序与查找，当数据量很大时宜采用该方法 。

3、量纲分析法量纲分析法常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化。

无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度，将有量纲量化为无量纲量，从而达到 减少参数、 简化模型 的效果。

4、图论法图论方法是数学建模中一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程，也是数学建模的一个必备工具。

图论是研究由线连成的点集的理论，一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。

数学建模竞赛的内容及组织形式数学建模竞赛是一种专为培养学生们利用数学知识来解决实际问题以及策划解决方案能力而设计的竞赛，是综合能力及数学思维能力的考量和有效开发的重要载体。

一、建模竞赛的内容1. 题目：不同的建模竞赛所涉及的题目也是迥异的，可以从数学领域的几何，代数，统计分布，概率，微积分，线性代数，复变函数，以及物理，化学，生物，生态，医学，园林景观，工程，地理，综合素质，社会活动，管理等多个学科中的实际问题中汲取初始材料；2. 解题方法：无论涉及什么题型，建模竞赛的解题方法都是“建模-解模-验证-分析-设计-传递”，全过程要求学生有分析、把握、构建及运筹的能力；3. 文件撰写：参赛者在建模竞赛中要完成模型提出、数学技巧分析、结果解析、论文写作等一系列作业，最终要求参赛者撰写一份完整的文档，展示自己解决问题的设想、分析过程和设计方案；4. 检验方法：在验证结果的过程中，需要利用计算机辅助建模工具，运用数学原理或者运算软件，将问题抽象化和模型化，进行仿真和模拟，以此来验证模型结果的正确性，并且记录历史模型数据，以便于追溯模型创建。

二、组织形式1. 竞赛对象：建模竞赛通常面向小学或中学等学校的学生，接受参赛者的参与范围也是因地区而异；2. 竞赛级别：根据参赛者的参与范围，建模竞赛的级别也不同，可以分为校级，县级，市级，省级，全国级等；3. 竞赛组别：一般分为个人组、家庭组、团队组等；4. 评奖办法：根据参赛者所提交的文档进行评分，一般分为金、银、铜等奖项。

另外，根据比赛经验，可以多随第奖，以赞扬同学们所提交的良好成果。

本次数学建模竞赛旨在让参赛者把知识学习付诸实践，增强创造性思维能力，并锻炼综合运用数学思维分析解决实际问题的能力，鼓励参赛者自主挑战，在学习中学习，做到学以致用。

数学建模所需要的数学基础数学建模是将实际问题转化为数学模型并通过数学方法进行求解的过程。

它在现代科学研究和工程实践中具有重要的应用价值。

要进行数学建模，需要一定的数学基础。

本文将介绍数学建模所需要的数学基础，并提供一些指导意义的建议。

第一，数学分析是数学建模的基础。

数学分析是对实数、复数、函数等数学概念和性质的研究。

它主要包括极限、连续性、微积分等内容。

在数学建模中，往往需要通过分析来建立模型的数学表达式，计算模型的数值结果等。

因此，熟练掌握数学分析的理论和方法对于数学建模非常重要。

第二，概率论与数理统计是数学建模的重要工具。

概率论用于描述和研究随机现象的规律性，数理统计则是通过概率论的方法进行随机数据的分析和推断。

在数学建模中，不可避免地会涉及到一些随机性的问题，例如随机变量、概率分布、抽样调查等。

因此，对概率论和数理统计的基本概念和方法需要有一定的了解和掌握。

第三，线性代数是数学建模的基础工具。

线性代数主要研究线性方程组、线性映射、向量空间等内容。

在数学建模中，线性代数常常用于描述和计算模型中的向量、矩阵等数学对象。

例如，矩阵可以表示线性变换、线性方程组可以用于描述模型的关系等。

因此，对线性代数的理论和方法需要有一定的了解和熟练掌握。

第四，离散数学是数学建模的基础理论之一。

离散数学主要研究离散结构和离散对象的性质和关系。

在数学建模中，离散数学常常用于描述和计算离散的模型对象，例如图论、组合数学等。

熟练掌握离散数学的基本概念和方法有助于解决实际问题中的离散性特征。

综上所述，数学建模所需要的数学基础主要包括数学分析、概率论与数理统计、线性代数和离散数学等。

建议在学习数学建模时，首先要打好数学基础，通过系统地学习和练习以上所述的数学知识和方法。

其次，结合实际问题进行数学建模实践，不断提升数学建模的能力和经验。

此外，还需要培养数学思维和创新能力，灵活运用已学知识解决实际问题。

通过不断地学习和实践，相信每个人都能够掌握数学建模所需要的数学基础，并在实践中取得优秀的成绩。