《用向量法求两直线的夹角(第一课时)》

∴A(4,0,0) ,B(4,4,0) D(0,0,0)
B1
P
由已知可知P(0,4,z)
A =( 4, 4, z ) － , AP BD =(－4,－4, 0 ), x
D B
y
C
AP · BD =16－16 =0 AP ⊥ BD
AP ⊥ BD
②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。 解：P(0, 4,3) B1(4,4,5)
2、求直线和平面所成的角
g1
A
设直线BA与平面β的夹角为θ，
n
θ
β
B C
n 为平面β的法向量,
当 n 与向量 BA 的夹角为锐角g
1
θ= g1 2
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g
2
A
g2
n
θ
β B
θ= g 2 2
C
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
n1
a
l
g n 2
b
g
q
z
D1
C1
K
G
B1
y D E A B C
DA , DC , DD1 为单位正
交基底建立直角坐标系。
x
①∵A1(1,0,1) C(0,1,0)
D(0,0,0)
1 K 0,0, 2
A1
z
D1
C1
∴ DA1 =(1,0,1)
1 CK 0,1, 2
K
G
B1
cos DA1 , CK
z
D1 C1 B1 P y
AP =(－4, 4,3) AP =0 n·
PB1 =(4, 0,2)
A1
令平面APB1的法向量为 n =(x, y, z)

两直线的夹角公式推导在平面几何中，两条直线的夹角是指这两条直线在同一平面内的交角。

推导两直线的夹角公式可以通过向量的内积来实现。

下面我们将分步骤进行推导。

假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。

为了方便讨论，我们可以假设L1和L2都经过原点O。

步骤1：求取L1和L2的方向向量L1的方向向量可以表示为V1 = (1, k1)，而L2的方向向量可以表示为V2 = (1, k2)。

步骤2：计算V1和V2的内积V1·V2 = |V1||V2|cosθ，其中θ代表两直线的夹角。

由于V1和V2都经过原点O，可以得到：V1·V2 = (1, k1)·(1, k2) = 1·1 + k1·k2 = 1 + k1·k2步骤3：计算|V1|和|V2|为了计算|V1|和|V2|，我们需要对V1和V2分别进行求模运算。

|V1| = √(1^2 + k1^2) = √(1 + k1^2)|V2| = √(1^2 + k2^2) = √(1 + k2^2)步骤4：代入内积公式并解出夹角代入步骤2中的内积公式，并结合步骤3中的模运算结果，可以得到：1 + k1·k2 = |V1||V2|cosθ1 + k1·k2 = (√(1 + k1^2))(√(1 + k2^2))cosθ化简上述方程，可以得到两直线的夹角公式：cosθ = (1 + k1·k2) / (√(1 + k1^2))(√(1 + k2^2))最后，如果我们使用反余弦函数来计算夹角，可以得到：θ = arccos((1 + k1·k2) / (√(1 + k1^2))(√(1 + k2^2)))通过上述推导，我们得到了求解两直线夹角的公式，根据直线的斜率，我们可以计算出夹角的具体数值。

总结：本文通过向量的内积来推导了两直线的夹角公式。

通过该公式，我们可以依据直线的斜率计算出夹角的大小。

∴a＝± 1.
当堂检测
4．已知直线 l1：3x＋y－2＝0 与直线 l2：mx－y＋1＝0 的夹角 为 45° ，求实数 m 的值．
解 设直线 l1，l2 的法向量为 n1，n2， 则 n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．
由题意： |3m－1| |n1· n2| 2 cos 45° ＝|n |· ＝ 2＝ 2 . |n | 1 2 10· 1＋m
l
e 与向量 a垂直时，我们把 a
a
A
e
B
新知探究
三、两直线的夹角
1.定义：两条相交直线所成的
锐角或直角为两条相交直线 的夹角。
y



o

x
如果两条直线平行或重合,我们
2.范围： 平面上两条直线夹角的范围: 0, 2
规定它们的夹角为0
新知探究
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 思考：两条直线所成的角 与两直线的方向
距离等于向量 P1 P在向量 n方向上射影长 d,
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n
A2 B 2 当B 0时，可直接由图形证得 （略）

Ax0 By0 C

2
4
典例精讲
例 2.直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为________．
±1
解析
n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
∵l1⊥l2，
∴n1· n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3) ＝(a－1)(－a－1)＝0，

D
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A x
By
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC
上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
z P
A
D x
By E
C
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又因为Ca2，0，0， 所以C→M＝－34a， 43a，0， 所以cos〈A→C1，C→M〉＝|AA→→CC11|··|CC→→MM|＝ －3·342a32a2＝－12， ∴AC1与平面ABB1A1所成角为30°.
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例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
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NN C11
CC
D11
DD y
【典例剖析】 例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平
行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知ABC 450
AB=2，BC= 2 2 ，SA=SB= 3 .
(1)求证 SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z
S
C
O
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x
y 2
0
y 2
z
0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1,2,1)
cos
n1,
n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
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