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两直线的夹角1

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夹角公式和到角公式的应用
教学过程
教学内容
备ห้องสมุดไป่ตู้札记
一、复习引入
1、平面几何中两直线夹角的定义
2、在平面直角坐标系中，我们怎样来阐述两条直线所成的角呢？
二、新课讲解
1、l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，为了区分这些角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转过的角，叫做l1到l2的角。如图：
l1到l2的角是 ，l2到l1的角
且 l2
问题：已知l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2
怎样确定l1到l2的角 ？l1
（师生共同讨论）
教学过程
教学内容
备课札记
2、l1与l2的夹角
（1）当l1与l2相交但不垂直时，若l1到l2的角为 ，则l2到l1的角为 ，其中锐角那一个为l1与l2的夹角 ，则
三、例题
1、已知直线l1与l2的斜率是方程 的两根，求这两直线的夹角。
2三角形三边所在直线方程是AB：x-y+3=0,BC:y=1,CA: x+(2- )y-3=0,求三角形ABC的三个锐角。
3、直角坐标系中，过点P（-3，4）的直线l与直线OP的夹角为45°，求直线l的方程。
小结：
翔宇教育集团数学专用作业纸
（2）当l1⊥l2时，夹角为
练习：已知直线l1：y=-2x+3 l2：y=x-
求：（1）l1到l2的角（2）l2到l1的角（3）l1与l2的夹角
3、已知直线l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0
（ ），直线l1到l2的角是 ，求证：
思考：若直线l1与l2中，有斜率不存在时，怎样确定它们的夹角？
班级
高一（）
姓名
学号
课题
两直线的夹角1
1、两直线 与 的夹角为
2、直线l与直线2x+y-7=0的夹角为 ，则l的斜率是（）
A． B．- C． 或-3 D．- 或3
3、直线l1与l2的斜率是方程 的两根，则这两直线的夹角是（）
A．30°B．45°C．60°D．15°
4、直线l1到l2的角为 1，直线l2到l1的角为 2，则 的值为（）
翔宇教育集团课时设计活页纸
主备人：胡定芳
总课题
两直线的位置关系
总课时
7
第3课时
课题
两条直线的夹角（1）
课型
新授
教学目标
1、理解两条直线l1与l2的夹角，l1到l2的角的概念
2、掌握两条直线的夹角公式和到角公式，理解两公式之间的关系
3、能正确使用夹角公式和到角公式
教学重点
两直线夹角公式和到角公式
教学难点
8、已知直线l1的倾斜角的余弦为- ，直线l2到l1的角为45°，且l2过原点，则l2的方程为
9、设三角形ABC的顶点A（-3，-1）、B（-2，2）、C（5，3），求角的大小及角A的平分线的斜率。
10（思考题）一条直线被两条平行线x+2y-1=0与x+2y-3=0所截线段中点在直线x-y-1=0上，并且这条直线与两条平行线的夹角为45°，求这条直线方程.
A． B．1 C．0 D．不能确定
5、过点A（3，2）且与直线x-2y-3=0相交成45°的直线方程是（）
A．x+3y-9=0 B．3x-y-7=0 C．x+3y-9=0或3x-y-7=0 D．x+3y-9=0或3x-y-7=0
6、直线x-3y-1=0与直线6x+2y+3=0的夹角为
7、直线l与直线的夹角为45°，且在y轴上的截距为-2，则l的方程为

合集下载

2.5.1 直线间的夹角、平面间的夹角 课件(北师大选修2-1)

2.5.1 直线间的夹角、平面间的夹角 课件(北师大选修2-1)

解：法一：以A点为坐标原点，建立直角坐标 系如右图所示，设B(1,0,0)，则C(1,1,0)， A1(0,0,1)，∴ AC ＝(1,1,0)， BA1 ＝(－1,0,1)， BA AC · 1 ∴cos〈 AC ， BA1 〉＝ | AC |· 1 | | BA 1，1，0· －1，0，1 1 ＝ ＝－ . 2 2× 2
2 3 1 ∴P0，0， ，E0， a， a 3 2
3 a . 2 1 3 2 3 (1)证明： BE ＝－a， a， a， PD ＝0，2a，－ a， 2 2 3 ∴ BE · ＝0＋a2－a2＝0. PD ∴ BE ⊥ PD ，∴BE⊥PD. 1 3 (2) AE ＝0， a， a， CD ＝(－a，a,0)． 2 2 1 2 a 2 2 AE · CD ＝ 则cos〈 AE ， CD 〉＝ ＝ ， 2a· 4 a | AE || CD | 2 即AE与CD的夹角的余弦值为 4
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ BA · ＝0， BB1 · ＝0， BB1 · ＝0， AB BC BC ∴ BA1 · ＝－a2. AC
又∵ BA1 · ＝| BA1 |·AC |· | cos〈 BA1 ， AC 〉， AC －a2 1 ∴cos〈 BA1 ， AC 〉＝ ＝－ . 2 2a· 2a ∴〈 BA1 ， AC 〉＝120° .
(4分)
x，y，z· 0，0，1＝0， ∴ x，y，z· 2，1，0＝0. y＝－ ∴ z＝0.
2x，
(6 分) ，0)，
空间直线及其方程(1)

空间直线及其方程(1)

§7.6 空间直线及其方程
空间直线的各种方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
2009.2.6
北京工商大学
7-6-1
空间直线及其方程
一、空间直线的各种方程形式
1. 空间直线的一般形式 定义 空间直线可看成两平面的交线 z. A1 x B1 y C1 z D1 0 1 L (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 2
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例 直线 L1 :
直线 L2 :
s1 (1,4, 0), s2 (0,0,1),
s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
2009.2.6
北京工商大学
7-6-19
s
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.
解 向量 M1 M 2 与直线平行 取 s M1 M 2 (1,4,2)
所求直线方程为
x 1 y 2 z 3 4 1 2
· M
· M
1
2
2009.2.6
北京工商大学
7-6-8
空间直线及其方程
例 一直线过点A(2,3,4), 且和 y轴垂直相交,
所求直线的方程

x3 y2 z5 . 4 3 1
2009.2.6 北京工商大学 7-6-23
空间直线及其方程
三、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为该直线与平面的夹角. 0 2 x x0 y y0 z z0 L: , s ( m , n, p ), m n p : Ax By Cz D 0, n ( A, B , C ), ^ ^ ( s , n) ( s , n) 2
人教版【高中数学】选修2-1第三章直线与平面的夹角讲义

人教版【高中数学】选修2-1第三章直线与平面的夹角讲义


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人教版【高中数学】选修 2-1 第三章直线与平面的夹角讲义
答案 如下图 , 作 AO⊥a,O 为垂足 , 连结 OB,OC,OD,则∠ ABO,∠ACO∠, ADO 分别为
AB,AC,AD与 a 所成的角 , 则
∠ABO=3°0 , ∠ACO=4°5 .
设
AO=h,则 AC= 2 h,AB=2h.
面的夹角为 , 当一条直线与个平面平行或在平面内时 , 这条直线与平面的夹角为 0. (4) 直线和平面所成角的求法 : ①几何法 : 用几何法求直线和平面所成角的步骤 :i) 找 ( 或作 )
出直线和平面所成的角； ii) 计算 , 即解三角形； iii) 结论 , 即点明直线和平面所成角的大
小. ②向量法 : 若直线 AB与平面 a 所成的角为 , 平面 a 的法向量为 n, 直线与向量 n 所成的
2
∴ AH=A1A AO 1 2
3.
A1O
63
2
AH
∴sin ∠ＡA1H=
A1 A
3
3
. ∠AA1H=arc sin.33 Nhomakorabea3
∴ A1A 平面 A1BD所成角的大小为 arc sin
.
3
解法二 : ∵AA1=AD=AB,
∴点 A 在平面 A1BD上的射影 H 为△Ａ1BD中心 , 连结 A1H, 则 A1H 为正△Ａ1BD外接圆半径 ,
成的角为 2,OA 与 OM所成的角为 , 则有 cos =
cos 1· cos 2, 我们简称此公式为三余弦公式 , 它反映了三个角的余弦值之间的关系 .
在上述公式中 , 因为 0≤cos 2≤ 1，所以 cos <cos 1, 因为 1 和 都是锐角 , 所以
2-5-1~2夹角的计算课件(北师大版选修2-1)

2-5-1~2夹角的计算课件(北师大版选修2-1)


按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量 的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角 的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指 向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如 图所示．
题型一 利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， 1 1 C1D1 上，且 E1B1＝4A1B1，D1F1＝4D1C1，求 BE1 与 DF1 所成的 夹角的余弦值． [思路探索] 几何法，平移直线构造在同一个三角形中，通过解 三角形求解；向量法，可以用基底，也可以建立坐标系，利用 方向向量的夹角求解．
→ |n· | 1 BM ∵cos θ ＝|cos φ |＝ ＝ ， → 2 |n||BM| π 解得 θ＝ ， 3 π ∴二面角 B1­A1C­C1 的大小为 3 .
题型三 综合问题 【例 3】 (12 分)如下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
题型二
利用空间向量求二面角
【例 2】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中平面 AB1D1 与平面 A1BD 所成的夹角为 θ，求 cos θ 的值．
求点坐标及相 [思路探索] 建立坐标系 → → 关向量的坐标 A1BD 及平面 AB1D1 的法向量 n1， 2→ n
求平面
求|cos 1， 2〉 cos θ 〈n n |→
→ ∵向量AA1＝(0，0，2)与平面 CDE 垂直， 设二面角 CDEC1 的平面角大小为 θ. 由图知所求二面角为锐二面角，(6 分) → n· 1 AA → ∴cos θ ＝cos〈n，AA1〉＝ → |n|· 1| |AA －1×0－1×0＋2×2 6 ＝ ＝3， 1＋1＋4× 0＋0＋4 2 ∴tan θ ＝ .(8 分) 2