山东历年高考试题 --------数列
20.（本小题满分12分）2013
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2S 2，a 2n =2 a n +1. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n +n
n a 2
1
+=λ(λ为常数)，令c n =b 2n n ∈N ﹡，求数列{c n }的前n 项和R n 。
2014年
19.(本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)
1(1
1
+--n n n a a n
求数列}{n b 的前n 项和n T 。
2015年 18．（12分）（2015•山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．
（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且
1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1).(2)n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .
5(2014课标2理)17.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.
6(2014四川文)19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）.
（Ⅰ）证明：数列{}n b 为等比数列；
（Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2
-，求数列
2{}n n a b 的前n 项和n S .
8(2014四川理)19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*
n N ∈）.
（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2
-，求数列
{}n n
a
b 的前n 项和n T .
（2014·湖南高考理科·Ｔ20）（本小题满分13分）
已知数列{n a }满足*
111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈
（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若1
2
p =
，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 【解题提示】（1）由{n a }是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用12,3,23a a a 成等差数列，得到关于p 的方程即可；
（2） {21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。
【解析】（1）因为{n a }是递增数列，所以n n n p a a =-+1， 又11=a ，1,12
32++=+=p p a p a ，
因为12,3,23a a a 成等差数列，所以p p p p p a a a =+++=++=2
23123,333144,34，
解得0,3
1==
p p ，当0=p ，01=-+n n a a ，与{n a }是递增数列矛盾，所以31=p 。
（2）因为{21n a -}是递增数列，所以01212>--+n n a a ， 于是()+-+n n a a 212()0122>--n n a a ① 由于
1
2221
21-<
n n ，所以122212-+-<-n n n n a a a a ② 由①②得()0122>--n n a a ，所以()1
221
21222121----=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-n n n n n a a ③ 因为{2n a }是递减数列，所以同理可得0212<-+n n a a ，()n
n n
n n a a 21
222122121++-=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-④由③④得()n
n n
n a a 2111++-=-，
所以()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ
()()()1
23122121211--+
+-+-+=n n
Λ()1
1
2131342
11211211---+=+⎪⎭⎫
⎝
⎛--⋅+=n n
n ，
所以数列{n a }的通项公式为()12
13134--+=n n
n a ．
答案及分析
2013年 20、（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由4224,2 1.==+n n S S a a 得
1111
4684,(21)22(1) 1.+=+⎧⎨+-=+-+⎩a d a d a n d a n d
解得 11, 2.==a d 因此 21,*=-∈n a n n N .
（Ⅱ）由题意知：1
2λ-=-
n n n
T ， 所以2≥n 时，112112222
------=-=+=n n n n n n n n n b T T 故1
221
221(1)(),*24---==
=-∈n n n n n c b n n N ， 所以 01231
111110()1()2()3()(1)()44444
…-=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯n n R n ，
则
1231111111
0()1()2()(2)()(1)()444444
…-=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯n n n R n n ， 两式相减得
1231311111
()()()()(1)()444444
11()
1
44(1)()1414
1131()334…-=++++--⨯-=--⨯-+=-n n n n n
n R n n n 整理得1131
(4)94
-+=-n n n R
所以 数列{}n c 的前n 项和1131
(4)94
-+=-n n n R
2014年19题
