五年级奥数第62讲不定方程-

小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。

第四讲 不定方程不定方程是方程中较难的内容，因此也是考试的难点。

一、基础知识回顾不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们一般求解两类问题：一是，未知数的组合；二是，限定只求整数解或正整数解。

定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x二、典型例题A ）不定方程（组）求解例1 已知：25415x y z ++=，7314x y z ++=，求42x y z ++的值。

解：待定系数法。

9。

例2（同步，P94）（1997，重庆市）若4x 3y-6z=0,x+2y-7z=0,-求2222225x 2y z 2x 3y 10z +---的值。

例3（同步，P90）（全国通讯赛）已知：2221998(x y)1999(y z)2000(z x)01998(x y)1999(y z)2000(z x)1999-+-+-=⎧⎨-+-+-=⎩求z y -的值 注：方程组求值例4（同步，P103）（2000，全国联赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。

已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。

某天该商店销售这三种水果搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，问C 水果的销售额为多少元？注：应用题；整体求值B ）设而不求例5 若求x+y+z 的值．分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 解 令则有x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+Z=0．说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．易错题回顾：已知x y zy z x z x y==+++，则xy z+的值为________；1/2或-1例6.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有由上述四式可知比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．说明此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．例7.我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．因k是三位数，所以2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．所以2≤10-a+c≤8．差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．说明本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．例8 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．解法2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含整理得 5x(n-m)=24(n-m)．因为m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．C）整数解例9求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：4341433343-+=-=-=yyyxyyx，则∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=32138235，，，，，取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0所以方程的整数解为⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-===1121yxyxyx，，评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。

不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。

解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。

本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。

1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。

首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。

然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。

这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。

2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。

对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。

这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。

3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。

将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。

这个方法适用于求解模运算的不定方程。

4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。

对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。

此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。

这个方法适用于求解一元不定方程的情况。

5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。

对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。

不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个 方程。

当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种 情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。

特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。