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不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
第四讲 不定方程不定方程是方程中较难的内容，因此也是考试的难点。
一、基础知识回顾不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们一般求解两类问题：一是，未知数的组合；二是，限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x二、典型例题A ）不定方程（组）求解例1 已知：25415x y z ++=，7314x y z ++=，求42x y z ++的值。
解：待定系数法。
9。
例2（同步，P94）（1997，重庆市）若4x 3y-6z=0,x+2y-7z=0,-求2222225x 2y z 2x 3y 10z +---的值。
例3（同步，P90）（全国通讯赛）已知：2221998(x y)1999(y z)2000(z x)01998(x y)1999(y z)2000(z x)1999-+-+-=⎧⎨-+-+-=⎩求z y -的值 注：方程组求值例4（同步，P103）（2000，全国联赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。
某天该商店销售这三种水果搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，问C 水果的销售额为多少元？注：应用题；整体求值B ）设而不求例5 若求x+y+z 的值．分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 解 令则有x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+Z=0．说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．易错题回顾：已知x y zy z x z x y==+++，则xy z+的值为________；1/2或-1例6.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有由上述四式可知比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．说明此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．例7.我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．因k是三位数，所以2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．所以2≤10-a+c≤8．差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．说明本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．例8 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．解法2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含整理得 5x(n-m)=24(n-m)．因为m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．C）整数解例9求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：4341433343-+=-=-=yyyxyyx，则∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=32138235，，，，，取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0所以方程的整数解为⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-===1121yxyxyx，，评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
【导语】⼀次不定⽅程（linearindeterminateequation）亦称线性不定⽅程，是⼀类重要的不定⽅程，指未知数多于⼀个的⼀次⽅程。
设a₁，a₂，……，a 是⾮零整数，b是整数，称关于未知数x₁，x₂，……，x （n≥2）的⽅程a₁x₁+a₂x₂+……+a x =b是n 元⼀次不定⽅程。
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1.⼩学⽣奥数不定⽅程知识点 ⼀次不定⽅程： 含有两个未知数的⼀个⽅程，叫做⼆元⼀次⽅程，由于它的解不，所以也叫做⼆元⼀次不定⽅程； 常规⽅法： 观察法、试验法、枚举法； 多元不定⽅程： 含有三个未知数的⽅程叫三元⼀次⽅程，它的解也不； 多元不定⽅程解法： 根据已知条件确定⼀个未知数的值，或者消去⼀个未知数，这样就把三元⼀次⽅程变成⼆元⼀次不定⽅程，按照⼆元⼀次不定⽅程解即可； 涉及知识点： 列⽅程、数的整除、⼤⼩⽐较； 解不定⽅程的步骤： 1、列⽅程 2、消元 3、写出表达式 4、确定范围 5、确定特征 6、确定答案 技巧总结： A、写出表达式的技巧：⽤特征不明显的未知数表⽰特征明显的未知数，同时考虑⽤范围⼩的未知数表⽰范围⼤的未知数。
B、消元技巧：消掉范围⼤的未知数。
2.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、已知△和☆表⽰两个⾃然数，并且△/5＋☆/11=37/55，△＋☆等于多少？ 2、已知1999×△＋4×□=9991，其中△，□是⾃然数，那么□等于多少？ 3、箱⼦⾥有乒乓球若⼲个，其中25%是⼀级品，五分之⼏是⼆级品，其余91个是三级品，箱⼦⾥有乒乓球多少个？ 4、某班同学分成若⼲⼩组去植树，若每组植树n棵，且n为质数，则剩下树苗20棵，若每组植树9棵，则还缺少2棵树苗，这个班的同学共分成⼏组？ 5、数学测试卷有20道题，做对⼀道得7分，做错⼀道扣4分，不答得0分，张红得100分，她有⼏道题没答？3.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、x是⾃然数，x÷810=0a25字母a表⽰⼀个数字，x是多少？ 2、某青年1997年的年龄等于出⽣年份各数字的和，那么，他的出⽣年份是多少？ 3、王⽼师家电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063，将三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529，王⽼师家电话号码是多少？ 4、如果在分数28/43的分⼦分母上加上⾃然数a、b所得结果是7/12，那么，a＋b的最⼩值等于多少？ 5、有三个分⼦相同的量减假分数，化成带分数后为a（2/3），b（5/6），c（7/8），已知a、b、c⼩于10，a是多少？4.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、在两位数中，能被其各位数字之和整除，⽽且除得的商恰好是4的数有多少个？ 3、甲级铅笔7分钱⼀⽀，⼄级铅笔3分钱⼀⽀．张明⽤5⾓钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少⽀？ 4、有纸币60张，其中1分、1⾓、1元和10元各有若⼲张．问这些纸币的总⾯值是否能够恰好是100元？ 5、将⼀根长为374厘⽶的合⾦铝管截成若⼲根36厘⽶和24厘⽶两种型号的短管，加⼯损耗忽略不计。
可编辑修改精选全文完整版知识要点屋1．方程：含有未知数的等式叫方程。
比如：7x ＋5＝122．未知数：通常设x 为未知数。
3．方程的解：指使等式成立的未知数的值。
一般表示为“x ＝数字”。
【课前】 请判断下面算式是否为方程。
⑴5＋5x ＝10x⑵x ＋y ＝13⑶2x ＋50＝25×(2＋x )解下列方程⑴7x ＋6＝12x －4 ⑵12(x －2)＝5x ＋4【铺垫】(★★)请用相关字母填空：①三年级⑵班有学生46人，其中男生有x 人，那么班里女生有_______人。
②停车场里有三轮车和四轮车，轮子总共有120个，其中三轮车有x 辆，那么四轮车的车轮总数是_____个。
一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿。
如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，请问鸡有___只，兔子有____只。
解下列方程⑴20－4x ＝6x ＋10⑵72－6x ＝84－7x⑶168－6x ＝4(30－x ) ⑷56－2(24－x )＝3x认识方程(★★★) (★★★) (★★★) (★★)小明的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。
请问：5角硬币有____枚。
张老师给幼儿园两个班的孩子分水果。
大班每人分得2个苹果和5个桔子，小班每人分得2个苹果和3个桔子，张老师一共分出了80个苹果和158个桔子。
请问：小班有____个孩子。
【超常大挑战】三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。
第三堆糖果有____颗。
【知识大总结】认识方程1．方程：含有未知数的等式叫方程。
2．方程的解：x ＝数字3．三步法解方程：①有括号先去括号；②移项要变号；③合并同类项。
4．列方程解应用题设，列，解，答 (验算）【今日讲题】例2，例3，例4【讲题心得】_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。
当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。
不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。
在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。
因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。
不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。
但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。
题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。
然而，这种情况下的解不止一种。
不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。
解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。
因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。
因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。
因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。
代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。
问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。
设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。
y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。
又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。
不定方程的解法(一)尾数法绝大多数题目描述的量是整数，可以通过这些数的尾数的特点选出正确选项。
基准1 .超市将99个苹果放进两种包装盒，小包装盒每个装12个苹果，大包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好出厂。
问两种包装盒差距多少个?a.3b.4c.7d.13【解析】挑选d。
建有x个小包装盒，y个大包装盒，则12x+5y=99，其中5y的尾数应属5或0，但是12x为偶数，99为奇数，所以5y必为奇数，这样就确认了5y的尾数一定为5，那么12x就是尾数为4的数，所以x可能将为2或7，对应的y等同于15或3，根据“共用了十多个盒子刚好出厂”，确定x=7，y=3。
即x=2，y=15，15—2=13。
总结：可用尾数法的不定方程问题的题型特点：当未知数的系数中出现了5的倍数，比如20x、35y、z时，可能会用到尾数法。
因为如果是10的倍数，其尾数必然是0，如果是5的倍数，其尾数必然是5或0，这样尾数就容易确定，范围比较小。
(二)奇偶性和质合性奇偶性和质合性的运用也是在题干中描述的量是整数的前提下。
基准2.某儿童艺术培训中心存有5名钢琴老师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均值地让给各个老师率领，刚好能分完，且每位老师所带的学员数量都就是质数，后来由于学生人数增加，培训中心只留存了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量维持不变，那么目前培训中心还剩学员多少人?a.36b.37c.39d.41【解析】挑选d。
设立每名钢琴老师和每名拉丁舞教师分别拎x、y名学生。
则5x+6y=76，其中x、y均就是质数，而76为偶数，6y也就是偶数，故5x就是偶数，故x=2，Champsaury=11，所以4×2+3×11=41,挑选d。
总结：如果题干中涉及“质数”这个词，说明本题考察质合数的知识点，而质合数一般会和奇偶数结合在一起，而涉及这两个知识点就要想到2，因为2是唯一的一个偶质数。
列不定方程解应用题教学目标1、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 2】用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯模块二、不定方程与应用题【例 3】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 4】在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几发？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 5】某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 6】张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 7】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 8】有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了天．【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 9】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306大巴车的载客人数．【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【巩固】每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 10】一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛【例 11】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组．若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯，二试【例 12】将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33．则这一群人的平均年龄为.【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】我爱数学夏令营【例 13】14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43．问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 14】公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 15】开学前，宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支3元．宁宁买完两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，预赛【例 16】蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有29是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有316是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 17】甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【巩固】有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【例 18】甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各卷4册，6人各捐7册，其余各捐9册。
第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。
解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，所以自然数解有3组，正整数解有1组。
例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，所以方程的解是12 xy=⎧⎨=⎩。
例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7所以方程的解是72xy=⎧⎨=⎩或25xy=⎧⎨=⎩。
例4．已知5x−14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。
解：方程5x−14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，所以方程的解是51xy=⎧⎨=⎩，196xy=⎧⎨=⎩，……，51415x ky k=+⎧⎨=+⎩（k为自然数）。
所以x+y的最小值是6.模块二、复杂不定方程的解法例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。
解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，即方程的解是131xy=⎧⎨=⎩或24xy=⎧⎨=⎩。
所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。
例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。
解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100−x−y只鸡雏，则5x+3y+1003x y--=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，方程的解为418xy=⎧⎨=⎩，解得z=100−x−y=78，或811xy=⎧⎨=⎩，z=81，或124xy=⎧⎨=⎩，z=84.例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：由于4−3=1，3×3−4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。
1 2 345678910 11 1213 14 15……其中第三列中都能被3整除的都可以称出来；对第一列中4可以称出来，4往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；对第二列中4的倍数8可以称出来，8往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；所以不能称出的最大克重数是5克。
例8．现有一架天平和很多17克和19克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：解方程17x −19y =1，解得98x y =⎧⎨=⎩，解方程19m −17n =1，解得910m n =⎧⎨=⎩， 所以17×9−19×8=1， 19×16−17=287，287+b =17×(9b −1)+19×(16−8b )，(b ≥1)，或287+b =17×18−19+(19×9b −17×10b)=19×(9b −1)+17×(18−10b )，即大于287的整数都可以写成17与19的线性组合，因此当b =0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。
1、 2、 3、 4、……16、1718、19、20、21、……33、3435、36、37、38、……50、51……其中第17列中都能被若干个17克的砝码称出来；对第2列中19可以称出来，19往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；对第4列中38可以用2个19可以称出来，38往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；……由此可以看出，在前16列中，分别可以找到19、38、57、……、19×(17−1)克数，它们都可以称出来，它们往下排列的各数，也都可以称出来，于是无法称出的最大整数是19×(17−1)−17.所以不能称出的最大克重数是19×(17−1)−17=19×17−19−17=287克。
一般情况：现有一架天平和很多m 克和n 克的砝码（m ，n 互质），用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）答案：mn −m −n ；设不能称出的最大克质量为M 克，即对于不定方程mx +ny =M 没有自然数解，即求得的整数解为1x a y =⎧⎨=-⎩，或11x a n y m =-=-⎧⎨=-⎩，所以a =n −1，把x =n −1，y =−1，代入得到M =m ×(n −1)−n ，即方程mx +ny =mn −m −n 无自然数解。
研究不定方程mx +ny =mn −m −n 有无正整数解，0<x <1mn m n n n m m --=--<n −1， 又mx =mn −m −n −ny ，所以x =n −1−(1)n y m+，m −1是整数，m ，n 互质， 所以为使x 为整数，只有1+y =m 、m 2、……，当1+y =m 时，x =n −1−n =−1，不符合要求，当1+y =m 2时，x =n −n −mn <0，……，所以该不定方程没有正整数解，再研究不定方程mx+ny=mn−m−n+1的正整数解，有无m，n互质，存在大于1的p、q都小于m、n，使得pm−qn=1，则mx+ny=mn−m−n+pm−qn，ny=mn−m−n+pm−qn−mx，y=m−1−q+(1)m p xn--，为使y为整数，则x+1−p=n，y=m−1−p+m，这样x、y都是正整数，符合条件。
因为4×13−3×17=1（克），13×17=221（克），所以用这些砝码，不能称出的最大整数克不超过221克；然后根据191+b=13×(4b−1)+17×(12−3b)，可得191+b（b≥1）都可以写成17和13的线性组合，因此当b=0时，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是：17×(12−0)−13=191（克），据此解答即可．解答：根据分析，不能称出的最大整数克重量是：17×(12−0)−13=17×12−13=204-13=191（克）答：用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是191克．随堂测试1．不定方程2x+3y=9有组正整数解。
解：方程2x+3y=9，两边取模2运算得y≡1(mod 2)，解得x=3，所以方程的解是31xy=⎧⎨=⎩或3xy=⎧⎨=⎩（舍去），所以原方程只有1组正整数解。
2．求不定方程的正整数解：30x+11y=350，x=，y=。
解：方程30x+11y=350，两边取11的模，8x≡9 (mod 11)，x=8，解得y=10，所以方程的解是810 xy=⎧⎨=⎩。
3．求不定方程的正整数解：19x+9y=100，x=，y=。
解：方程19x+9y=100，两边取模9运算，得x≡1，y=9，所以方程的解是19 xy=⎧⎨=⎩。
4．已知12x−13y=25，x、y都是正整数，则x+y的最小值是。
解：方程12x−13y=25，两边取模12的运算，得−y≡1，所以y=11，x=14，所以方程的解为1411xy=⎧⎨=⎩或2723xy=⎧⎨=⎩……，所以x+y的最小值是25.5．小丽计划用31元买2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支，那么她最多能买支。
解：小丽可以买1支3元，1支4元的圆珠笔，剩余的24元都买2元一支的，这样一共可以买14支圆珠笔。
6．有堆成一堆的100个小砝码，总重量为500克，已知只有1克、10克和50克三种砝码，在这堆砝码中，每一种砝码各有个、个、个。
解：设50克的砝码有x个，10克的砝码有y个，1克的砝码有100−x−y个。
则50x+10y+100−x−y=500，即49x+9y=400，取模9的运算，得4x≡4，解得x=1，y=39，z=60.所以有1克砝码60个，10克砝码39个，50克砝码1个。
7．现有一架天平和很多个5克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：5x−8y=1，解得x=5，y=3，所以5×5−3×8=1，8×4−5=27，27+b=5×(5b−1)+8×(4−3b)，b>0，这说明对于任意的b>0，27+b一定可以写成5和8的线性组合。
8．现有一架天平和很多个6克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：答案是无穷大的奇数克重；。
