第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法
例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。
解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，
所以自然数解有3组，正整数解有1组。
例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.
解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，
所以方程的解是
1
2 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
。
例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.
解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7
所以方程的解是
7
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
。
例4．已知5x−14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。
解：方程5x−14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，
所以方程的解是
5
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
19
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，……，
514
15
x k
y k
=+
⎧
⎨
=+
⎩
（k为自然数）。
所以x+y的最小值是6.
模块二、复杂不定方程的解法
例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。
解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，
所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，
即方程的解是
13
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
。所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。
例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100−x−y只鸡雏，
则5x+3y+100
3
x y
--
=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，
方程的解为
4
18
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得z=100−x−y=78，或
8
11
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，z=81，或
12
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，z=84.
例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）
解：由于4−3=1，3×3−4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；
如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，
从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。
1 2 3
456
789
10 11 12
13 14 15
……
其中第三列中都能被3整除的都可以称出来；
对第一列中4可以称出来，4往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；
对第二列中4的倍数8可以称出来，8往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；
所以不能称出的最大克重数是5克。
例8．现有一架天平和很多17克和19克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）
解：解方程17x −19y =1，解得98x y =⎧⎨=⎩，解方程19m −17n =1，解得910m n =⎧⎨=⎩
， 所以17×9−19×8=1， 19×16−17=287，
287+b =17×(9b −1)+19×(16−8b )，(b ≥1)，
或287+b =17×18−19+(19×9b −17×10b)=19×(9b −1)+17×(18−10b )，
即大于287的整数都可以写成17与19的线性组合，
因此当b =0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。
1、 2、 3、 4、……16、17
18、19、20、21、……33、34
35、36、37、38、……50、51
……
其中第17列中都能被若干个17克的砝码称出来；
对第2列中19可以称出来，19往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；
对第4列中38可以用2个19可以称出来，38往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；
……
由此可以看出，在前16列中，分别可以找到19、38、57、……、19×(17−1)克数，它们都可以称出来，它们往下排列的各数，也都可以称出来，于是无法称出的最大整数是19×(17−1)−17.
所以不能称出的最大克重数是19×(17−1)−17=19×17−19−17=287克。
一般情况：现有一架天平和很多m 克和n 克的砝码（m ，n 互质），用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）
答案：mn −m −n ；
设不能称出的最大克质量为M 克，即对于不定方程mx +ny =M 没有自然数解，
即求得的整数解为1x a y =⎧⎨=-⎩，或11
x a n y m =-=-⎧⎨=-⎩，所以a =n −1，
把x =n −1，y =−1，代入得到M =m ×(n −1)−n ，即方程mx +ny =mn −m −n 无自然数解。 研究不定方程mx +ny =mn −m −n 有无正整数解，01mn m n n n m m --=--(1)n y m
+，m −1是整数，m ，n 互质， 所以为使x 为整数，只有1+y =m 、m 2、……，当1+y =m 时，x =n −1−n =−1，不符合要求，
当1+y =m 2时，x =n −n −mn <0，……，所以该不定方程没有正整数解，
