小学奥数-不定方程(教师版)

小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。

不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个方程。

当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。

第四讲 不定方程不定方程是方程中较难的内容，因此也是考试的难点。

一、基础知识回顾不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们一般求解两类问题：一是，未知数的组合；二是，限定只求整数解或正整数解。

定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x二、典型例题A ）不定方程（组）求解例1 已知：25415x y z ++=，7314x y z ++=，求42x y z ++的值。

解：待定系数法。

9。

例2（同步，P94）（1997，重庆市）若4x 3y-6z=0,x+2y-7z=0,-求2222225x 2y z 2x 3y 10z +---的值。

例3（同步，P90）（全国通讯赛）已知：2221998(x y)1999(y z)2000(z x)01998(x y)1999(y z)2000(z x)1999-+-+-=⎧⎨-+-+-=⎩求z y -的值 注：方程组求值例4（同步，P103）（2000，全国联赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。

已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。

某天该商店销售这三种水果搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，问C 水果的销售额为多少元？注：应用题；整体求值B ）设而不求例5 若求x+y+z 的值．分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 解 令则有x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+Z=0．说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．易错题回顾：已知x y zy z x z x y==+++，则xy z+的值为________；1/2或-1例6.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有由上述四式可知比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．说明此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．例7.我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．因k是三位数，所以2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．所以2≤10-a+c≤8．差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．说明本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．例8 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．解法2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含整理得 5x(n-m)=24(n-m)．因为m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．C）整数解例9求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：4341433343-+=-=-=yyyxyyx，则∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=32138235，，，，，取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0所以方程的整数解为⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-===1121yxyxyx，，评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。

小学奥数教程不定方程与不定方程组 教师版全国通用1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题确实是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式显现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，因此本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程那个工具，并能够在以后的学习中使用那个工具解题。

二、不定方程差不多定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯独。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判定何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）知识精讲 教学目标3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）模块一、利用整除性质解不定方程求方程 2x －3y ＝8的整数解【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，同时，现在x 与y 的值必定满足原方程，故如此的x 与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x k y k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明 由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：依照奇偶性明白2x 是偶数，8为偶数，因此若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。

第十三讲不定方程当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程．本讲只讨论有二个未知数的一次不定方程．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解．我国对不定方程的研究已经有几千年的历史，“物不知其数”，“秦王暗点兵”，“百鸡问题”，“五家共井”等趣题一直流传至今．对不定方程的研究是令人感兴趣的课题之一．例题例1：解方程2x－3y＝8解：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：3 x4k2 y k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．一般地，二元一次不定方程总有无穷多组解，其解法也和例1类似，即先将其中的一个未知数看作常数，把另一个未知数解出，最后把看作常数的未知数取为任意数即可．对二元一次不定方程，我们通常研究它的整数解．例2：求方程2x＋6y＝9的整数解解：因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．说明例2告诉我们，并非所有的二元一次方程都有整数解，二元一次方程什么时候有整数解，什么时候没有整数解呢？我们有下面的定理：定理1 整系数方程ax＋by＝c有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d 能整除c．定理1告诉我们，若d | c，则原方程有整数解，否则，若d c，则原方程没有整数解．例3：求方程4x＋10y＝34的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而2|34，由定理1，原方程有整数解．两边约去2后，得2x＋5y＝17故y＝172x5-因此，要使y取得整数，17－2x必须是5的倍数，如x＝1时，17－2x＝15，y＝3，即我们找到了方程的一组解x0＝1，y＝3．设原方程的所有解的表达式为：x1m y3n=+⎧⎨=+⎩，代入原方程，得2(1＋m)＋5(3＋n)＝17，即 2m ＋5n ＝0，亦即2m ＝－5n ，从而5|2m.．因为2与5互质，所以5| m ．令m ＝5k ，k 为整数，则有n ＝－2k ．由此得到原方程的所有解为x 15k y 32k=+⎧⎨=-⎩，其中k 为任意整数．说明 由定理1，我们知道，若ax ＋by ＝c 有解，则a 与b 的最大公约数d | c ．此时，我们可以在原方程的两边同时约去d ，得a b c x y d d d +=，令1a a d =，1b b d =，1c c d =．显然，此时1a 与b 1的最大公约数为1．因此，只要讨论d ＝1的情况即可．我们有如下定理：定理2 若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），x 0、y 0为二元一次整系数不定方程ax ＋by ＝c 的一组整数解（也称为特解），则ax ＋by ＝c 的所有解（也称通解）为00x x bk y y ak=+⎧⎨=-⎩，其中k 为任意整数． 因此，当d ＝1时，显然ax ＋by ＝c 有解，并且解这个二元一次方程的关键在于找它的特解x 0、y 0．例4：求方程2x ＋3y ＝5的整数解解：我们容易发现，x ＝1，y ＝1是方程的一组解，又因为（2，3）＝1，由定理2，方程的所有整数解为x 13k y 12k=+⎧⎨=-⎩，（k 为任意整数）说明 本例通过观察，容易发现一组解．但有时，不定方程的特解是不容易获得的，如不定方程1999x ＋105y ＝1就很难直接找到一组整数解．下面通过几个例子来介绍求不定方程的特解的常用方法．例5：求方程3x ＋5y ＝12的整数解解： 由3x ＋5y ＝12得 x ＝4－5y 3，所以当且仅当3| y 时，x 为整数，取y ＝3，得x ＝4－53×3＝－1， 即x ＝－1，y ＝3是原方程的一组解．因此，原方程的所有整数解为x 15k y 33k=-+⎧⎨=-⎩，（k 为任意整数）例6：求方程3x ＋5y ＝31的整数解解：由原方程，得 x ＝315y 3-，即x＝10－2y＋1y3+，要使方程有整数解，1y3+必须为整数．取y＝2，得x＝10－2y＋1y3+＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2是原方程的一组解．因此，原方程的所有整数解为x75ky23k=+⎧⎨=-⎩，（k为任意整数）以上我们讨论了二元一次方程的整数解的情况下，下面我们介绍二元一次不定方程有正整数的情况．例7：求方程3x＋5y＝31的正整数解．解：由例6，我们知道3x＋5y＝31的所有整数解为x75ky23k=+⎧⎨=-⎩，（k为任意整数）故要求原方程的正整数解，只要使x＞0，y＞0即可，即有不等式组75k023k0+>⎧⎨->⎩，这个不等式组的解为72k53-<<．注意到k为整数，所以在此范围内的整数k只能取0或－1，分别令k＝0和k＝－1，得到原方程的所有正整数解，分别为x7x2,y2y5==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩说明求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解，然后令x＞0，y＞0，得不等式组，由不等式组可解得k的范围，在此范围内取k的整数解，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．例8：求方程5x－3y＝－7的正整数解解：原方程可化为x＝3y75-，即x＝－2＋3(y1)5+．y＝4时，x＝1．即x1y4=⎧⎨=⎩为原方程的一组整数解．因此，原方程的所有整数解为x13ky45k=-⎧⎨=-⎩（k为任意整数）再令x＞0，y＞0，即有不等式组13k045k0->⎧⎨->⎩，解得k<13，所以，当k取0，－1，－2，…时原方程可得到无穷多组正整数解x13ky45k=-⎧⎨=-⎩（k＝0，－1，－2，…）例9：求方程11x＋5y＝12的正整数解解：如果方程有正整数解，则x≥1，y≥1，因此11x＋5y≥11＋5＝16．而方程的右端为12，所以这个方程无正整数解．说明一般地，若方程ax＋by＝c中，a＞0，b＞0，a＋b＞c，则这个方程无正整数解．例10：如果三个既约真分数23，a4，b6的分子都加上b，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积．解：由题意，我们有2b a b b6346+++++＝6，整理得3a＋11b＝64．问题转化为求3a＋11b＝64的正整数解．由3a＋11b＝64得a＝6411b3-，从而a＝21－4b＋1b3+．令b＝2得a＝14．即这个不定方程有一组整数解a14 b2=⎧⎨=⎩，从而它的所有整数解为a1411kb23k=+⎧⎨=-⎩（k为任意整数）令a＞0，b＞0，得不等式组1411k023k0+>⎧⎨->⎩，解得142k113-<<．从而k＝0或－1．因此，这个方程有两组正整数解a14b2=⎧⎨=⎩和a3b5=⎧⎨=⎩．注意a4与b6为既约真分数，所以a＝3，b＝5是它的惟一解．因此所求的积为23×34×56＝512．例11求5x＋8y＋19z＝50 ①的整数解．分析方程ax＋by＋cz＝d可解的条件是a、b、c的最大公约数能整除d（a、b、c）＝1时，方程必有整数解．解法一508192102455y z y z x y z--+ ==--+令25y zu+=（u为整数），则z＝5u－2yx＝10－2y－4（5u－2y）＋u ＝10－2y－20u＋8y＋u＝10＋6y－19u∴原方程的通解为1061952x y u y y z u y =+-⎧⎪=⎨⎪=-⎩解法二 原方程分为两方程即：5x 8y u u 19z 50+=⎧⎨+=⎩②③ （u 为整数）观察得5×(5u)＋8×(－3u)＝u于是方程①的解为115835x u t y u t =-⎧⎨=-+⎩ （1t 为整数） 观察②得 1×（－7）＋19×3＝50于是方程②的解为22u 719t z 3t =--⎧⎨=+⎩（2t 为整数） ∴原方程的通解为12122x 358t 95t y 215t 57t z 3t =---⎧⎪=++⎨⎪=+⎩（12,t t 为整数）评注：不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特殊解不同，解题方法不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，若将解中的参数做适当的代换，就可化为同一形式．（学生课后练习机动，1——2题即可）。

小学奥数知识点：不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;常规方法：观察法、试验法、枚举法;多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;小学奥数经典题1．两辆汽车从A，B两地同时出发相向而行，客车行完全程要8小时，货车行完全程要10小时，两车相遇后又各自往前驶去，已知出发5小时后两车相距50千米，问A，B两地相距多少千米？2．有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？3．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的多28米，第二天挖了全长的少20米，这时剩下22米没挖完．这条水渠全长多少米？4．如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A 点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？5．运来一批水果．第一天卖出总数的15%，第二天卖出160千克，剩下的与卖出的重量的比是1：3．这批水果共有多少千克？。

第二十二讲 不定方程告诉你本讲的重点、难点不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程，我们小学生初步接触不定方程，可以了解一些分析问题的思路．看老师画龙点晴，教给像解题诀窍【例l 】求10045=+y x 的整数解．（不包括负数）分析与解 根据10045=+y x 得,51004x y -=可见，x 的取值范围是O 到20，但是否一定有 21组解呢，那还不一定，因为只有当x 5100-的值是4的倍数时，才能找到相对应的y 的值．当0=x 时，;254)05100(=÷⨯-=y当4=x 时，;204)45100(=÷⨯-=y当8=x 时，;154)85100(=÷⨯-=y当12=x 时，;104)125100(=÷⨯-=y当16=x 时，;54)5100(6=÷⨯-=i y当20=x 时，.04)205100.(=÷⨯-=y所以10045=+y x 的整数解有：⎩⎨⎧==250y x ⎩⎨⎧==204y x ⎩⎨⎧==158y x ⎩⎨⎧==1012y x ⎩⎨⎧==516y x ⎩⎨⎧==020y x 【例2】 有甲、乙两种卡车，甲车的载重量为6吨，乙车的载重量为8吨，现有煤144吨，要求一次运完，每种车都不少于4辆，而且每1辆卡车都要满载，问：甲、乙两种卡车各需多少辆？分析与解 根据题意，我们可以把甲、乙两种车的数量分别设为x 和y ，列出方程=+y x 86,144 由于卡车数量一定是整数且每种车都不少于4辆，因此我们就可以在限制的范围内求解.设甲种卡车有x 辆，乙种卡车有y 辆．14486=+y x这个方程可以运用等式的性质简化成：.3)472(,47237243÷-=-==+y x y x y x ，则于是得⎩⎨⎧==154y x ⎩⎨⎧==128y x ⎩⎨⎧==912y x ⎩⎨⎧==616y x答：甲种卡车4辆，乙种卡车15辆；或甲种卡车8辆，乙种卡车12辆；或甲种卡车12辆，乙种卡车9辆；或甲种卡车16辆，乙种卡车6辆．【例3】小宇说：“我养的兔比鸡多，鸡、兔共20只脚，你猜猜我养了几只兔和鸡？”分析与解 设鸡有x 只，兔有y 只，2042=+y xy x y x 210,102-==+则运用列表枚举的方法找出所有的解：其中只有一组解符合要求：⎩⎨⎧==42y x 答：小宇养了2只鸡，4只兔．【例4】甲班有42名学生，乙班有48名学生．已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总分数相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高多少分？分析与解 设甲班的平均成绩为x 分，乙班的平均成绩为y 分．依题意列方程：⋅==y x y x 87,4842则 根据甲、乙两班的平均成绩都是整数，平均成绩都高于80分，并且是百分制，可分别取y=84，91，98尝试可得y=84，x= 96.因此，甲班的平均成绩比乙班高96-84=12(分)．做题也有小窍门噢！在解不定方程的过程中，要善于根据条件缩小解的范围.快来试一试你的身手吧!1．求304=+y x 的所有整数解．（不包括负数）2．大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位．那么需大、小客车各几辆？3．小明在邮局买了若干枚5角和1元3角的邮票，正好用去10元钱．他买了几枚5角的邮票？4．右图中两个矩形的面积之和为43厘米2，两个矩形的边长都是整厘米数，求两个矩形的面积之差，通往初中名校的班车1．某市供电公司规定，如果每月用电不超过24 kW ．h （千瓦时），就按每千瓦时9分钱收费，如果超过24千瓦时部分按每千瓦时2角钱收费．在某月中，甲家比乙家多交了9角6分（用电按千瓦时整数部分计算），那么甲、乙两家各交电费多少元？2．一个两位数，2个数字之和的6倍比这个两位数大3，求这个两位数．3．某次数学竞赛准备了22枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝，后来又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝．问：获一、二、三等奖的学生各有几人？4．甲、乙两数是自然数，如果甲数的65恰好是乙数的,41那么甲、乙两数之和的最小值是多少？ 答 案。

不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个 方程。

当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种 情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。

特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。

第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y ＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。

因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝23－3x4。

可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

3、求5x－3y＝16的最小自然数解。

【例题2】求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。

x＝2，y＝2时，z也无正整数解。

x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。

不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数： 学员姓名: 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点、难点 重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 考点及考试要求 不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名： 签字日期：。

第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6………y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。

因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

例1．求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝23－3x4。

可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5Y=5 y=2练习一1、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

3、求5x－3y＝16的最小自然数解。

例2求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x ＝2时，y ＝2 当x ＝3时，y ＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x ＝1，y ＝3时，z 无正整数解。

x ＝2，y ＝2时，z 也无正整数解。

x ＝3时，y ＝1时，z ＝1. 所以，原方程组的正整数解为 x ＝1 y ＝1 z ＝1 练习2求下面方程组的自然数解。

小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。

当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。

不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。

在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。

因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。

不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。

但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。

题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。

然而，这种情况下的解不止一种。

不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。

解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。

因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。

因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。

因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。

代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。

问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。

设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。

y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。

又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。

在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。

因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

1． 不定方程的试值技巧 2． 不定方程的经典题例【例1】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。

问：庙里至少有多少个和尚?【分析】设有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃()4111x y +个馒头。

由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：7294111x y x y +=+，化简为917x y =。

当9x =，17y =时和尚最少，有792917556⨯+⨯=（个）。

基本题型不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。

数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

设x ，y ，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x ，y ，z ，这是一个三元不定方程组问题。

经典精讲教学目标不定方程第八讲【例2】 把2001拆成两个数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），求这两个数。

【分析】这是一道整数分拆的常规题。

可列式11132001x y +=，要让y 取最大值，可把式子变形为2001111315312132122153131313x x x xy x -⨯+-++===-+，当7x =时，146y =。

第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y ＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。

因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝23－3x4。

可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

3、求5x－3y＝16的最小自然数解。

【例题2】求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。

x＝2，y＝2时，z也无正整数解。

x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。

教学过程一、复习预习当方程中未知数的个数比方程的个数多时，我们就称这样的方程为不定方程。

比如：3x-4y=6，方程只一个，但未知数却有两个，这就是不定方程。

古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。

很明显，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有无数个，不定方程的解往往有无数个。

我们这里介绍的不定方程，一般都会有条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。

所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。

同时，我们这里介绍的不定方程，最主要是介绍不定方程在解答应用题方面的作用。

二、知识讲解考点1 系数上的考虑如7x+11y=276，我们有两种解法，一是变形为：x=（276-11y）÷7；二是变形为：y=（276-7 x）÷11。

我们对照下这两种解法中的取值情况。

第一种：Y有0---25种取值可能；而第二种X有39种取值可能，很明显，第一种解法比第二种解法相对来说速度会更快些。

但我们换个角度，由于X、Y都是自然数，由上述两种变形可知，X应是7的倍数，Y 应是11的倍数，而1---276中7的倍数有39个，11的倍数有25个，那么，很明显，从倍数上考虑，第二种解法比第一种解法相对来说速度更快些。

所以，在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。

考点2 尾数上的考虑例如解不定方程5X+4Y=59的自然数解。

和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数；4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6、11、14。

这样解的过程就容易多了，速度也上来了。

考点3 奇偶性上的考虑上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。

59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，5X 就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如1、3、5、、、、等等，也能起到简便解题过程的作用。

第6讲 不定方程【知识要点】一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A 、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B 、消元技巧：消掉范围大的未知数；【例题】例1、已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= . 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.例2、不定方程172112=+y x 的整数解是 .没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.例3如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 . 24。

依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )，即12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24。

例4、甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.32。