四川省遂宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1．（4分）在下列各数中，最小的数是（）A ．0 B．﹣1 C．D．﹣2考点：有理数大小比较．分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．解答：解：﹣2＜﹣1＜0，故选：D．点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2．（4分）下列计算错误的是（）A．4÷（﹣2）=﹣2 B．4﹣5=﹣1 C．（﹣2）﹣2=4 D．20140=1考点：负整数指数幂；有理数的减法；有理数的除法；零指数幂．分析：根据有理数的除法、减法法则、以及0次幂和负指数次幂即可作出判断．解答：解：A、B、D都正确，不符合题意；B、（﹣2）﹣2==，错误，符合题意．故选B．点评：本题主要考查了零指数幂，负指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．球考点：由三视图判断几何体．专题：压轴题．分析：根据三视图确定该几何体是圆柱体解答：解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选B．点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．4．（4分）数据：2，5，4，5，3，4，4的众数与中位数分别是（）A．4，3 B．4，4 C．3，4 D．4，5考点：众数；中位数．分析：根据众数及中位数的定义，求解即可．解答：解：将数据从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5，∴众数是4，中位数是4．故选B．点评：本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．5．（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x=1考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故选C．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．6．（4分）点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．解答：解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），故选；D．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．7．（4分）若⊙O1的半径为6，⊙O2与⊙O1外切，圆心距O1O2=10，则⊙O2的半径为（）A．4B．16 C．8D．4或16考点：圆与圆的位置关系．分析：设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解答：解：因两圆外切，可知两圆的外径之和等于圆心距，即R+r=O1O2所以R=0102﹣r=10﹣6=4．故选A．点评：本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．8．（4分）不等式组的解集是（）A．x＞2 B．x≤3 C．2＜x≤3 D．无解考点：解一元一次不等式组．分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为2＜x≤3，故选C．点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找到不等式组的解集．9．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30°B．60°C．90°D．150°考点：旋转的性质．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．解答：解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选B．点评：本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是6．考点：多边形内角与外角．分析：根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷60°，计算即可求解．解答：解：这个正多边形的边数：360°÷60°=6．故答案为：6．点评：本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．12．（4分）四川省第十二届运动会将于2014年8月16日在我市举行，我市约3810000人民热烈欢迎来自全省的运动健儿．请把数据3810000用科学记数法表示为 3.81×106．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将3810000用科学记数法表示为：3.81×106．故答案为：3.81×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（4分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是20π（结果保留π）．考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：底面圆的半径为4，则底面周长=8π，侧面面积=×8π×5=20π．故答案为：20π．点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．（4分）我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：甲10 9 8 9 9乙10 8 9 8 10则应选择甲运动员参加省运动会比赛．考点：方差．分析：先分别计算出甲和乙的平均数，再利用方差公式求出甲和乙的方差，最后根据方差的大小进行判断即可．解答：解：甲的平均数是：（10+9+8+9+9）=9，乙的平均数是：（10+8+9+8+10）=9，甲的方差是：S2甲=[（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2]=0.4；乙的方差是：S2乙=[（9﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]=0.8；∵S2甲＜S2乙，∴甲的成绩稳定，∴应选择甲运动员参加省运动会比赛．故答案为：甲．点评：本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．（4分）已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△A n B n C n的周长为．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，△A2B2C2∽△ABC的相似比为，依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，解答：解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，∴△A2B2C2∽△A1B1C1且相似比为，∴△A2B2C2∽△ABC的相似比为依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，∵△ABC的周长为1，∴△A n B n C n的周长为．故答案为．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：三、计算题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）16．（7分）计算：（﹣2）2﹣+2sin45°+|﹣|考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：分别根据有理数乘方的法则、数的开方法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；解答：解：原式=4﹣2+2×+=4﹣2++=4．点评：本题考查的是实数的运算，熟知有理数乘方的法则、数的开放法则及绝对值的性质是解答此题的关键．17．（7分）解方程：x2+2x﹣3=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：观察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．解答：解：x2+2x﹣3=0∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．点评：解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．18．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=•=，当x=﹣1时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）19．（9分）我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售．打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2间甲商品和3件乙商品需用220元．而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：设甲商品单价为x，乙商品单价为y，根据购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2间甲商品和3件乙商品需用220元，列出方程组，继而可计算购买10件甲商品和10件乙商品需要的花费，也可得出比不打折前少花多少钱．解答：解：设甲商品单价为x，乙商品单价为y，由题意得：，解得：，则购买10件甲商品和10件乙商品需要900元，∵打折后实际花费735，∴这比不打折前少花165元．答：这比不打折前少花165元．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．20．（9分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DOE=∠CFE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得O D=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答：证明：（1）∵CF∥BD，∴∠DOE=∠CFE，∵E是CD中点，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形ODFC是菱形．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．21．（9分）同时抛掷两枚材质均匀的正方体骰子，（1）通过画树状图或列表，列举出所有向上点数之和的等可能结果；（2）求向上点数之和为8的概率P1；（3）求向上点数之和不超过5的概率P2．考点：列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得向上点数之和为8的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由（1）可求得向上点数之和不超过5的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）列表得：6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6则共有36种等可能的结果；（2）∵向上点数之和为8的有5种情况，∴P1=；（3）∵向上点数之和不超过5的有10种情况，∴P2==．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）22．（10分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=1；sin2A2+sin2B2=1；sin2A3+sin2B3=1．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．考点：勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．分析：（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=，进行求解．解答：解：（1）1．（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．∵sinA=，sinB=，∴sin2A+sin2B=，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴sinB==．点评：本题考查了在直角三角形中互为余角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．23．（10分）已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，求出△ACO和△BOC的面积相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．解答：解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，得k=1×4，1+b═4，解得k=4，b=3，反比例函数的解析式是y=，一次函数解析式是y=x+3；（2）如图，当x=﹣4时，y=﹣1，B（﹣4，﹣1），当y=0时，x+3=0，x=﹣3，C（﹣3，0）S△AOB=S△AOC+S△BOC==；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．六、（本大题共2个小题，第24题10分，第25题12分，共22分）24．（10分）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：PD2=PB•PA．（3）若PD=4，tan∠CDB=，求直径AB的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OD、OC，证△PDO≌≌△PCO，求出∠PDO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；（3）根据相似得出比例式，代入即可求出答案．解答：（1）证明：+连接OD，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵AB⊥CD，AB是直径，∴弧BD=弧BC，∴∠DOP=∠COP，在△DOP和△COP中，，∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠ODP=∠PCO=90°，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠PDO=90°，∴∠ADO=∠PDB=90°﹣∠BDO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠A=∠∠PDB，∵∠P=∠P，∴△PDB∽△PAD，∴，∴PD2=PA•PB；（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB=∠DMB=90°，∴∠A+∠DBM=90°，∠BDC+∠DBM=90°，∴∠A=∠BDC，∵tan∠BDC=，∴tanA==，∵△PDB∽△PAD，∴===∵PD=4，∴PB=2，PA=8，∴AB=8﹣2=6．点评：本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．25．（12分）已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，就可以得出﹣=0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式；（2）由（1）设出P的坐标，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出结论；（3）①由（2）的结论就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的内角和定理记平行线的性质就可以求出∠MON=90°而得出结论；②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论．解答：解：（1）由题意，得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=（2）如图①，设P（a，a2﹣1），就有OE=a，PE=a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ=2，∴QP=a2+1．在Rt△POE中，由勾股定理，得PO==，∴PO=PQ；（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°∴2∠BON+2∠AOM=180°，∴∠BON+∠AOM=90°，∴∠MON=90°，∴ON⊥OM；②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D∴EG=F′H，∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，∴FO+FD＜F′O+DF′，∴F是所求作的点．∵D（1，1），∴F的横坐标为1，∴F（1，）．点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。
四川省遂宁市2020年中考数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2020七上·邛崃期末) 下列说法正确是（）A . 互为相反数B . 5的相反数是C . 数轴上表示的点一定在原点的左边D . 任何负数都小于它的相反数2. （2分）下列等式正确的是（）A . （﹣x2）3=﹣x5B . x3+x3=2x6C . a3•a3=2a3D . 26+26=273. （2分）(2016·广东) 据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（）A . 0.277×107B . 0.277×108C . 2.77×107D . 2.77×1084. （2分）(2019·河池) 某同学在体育备考训练期间，参加了七次测试，成绩依次为（单位：分）51，53，56，53，56，58，56，这组数据的众数、中位数分别是（）A . 53，53B . 53，56C . 56，53D . 56，565. （2分）如图所示圆柱的左视图是A .B .C .D .6. （2分） (2019八下·锦江期中) 将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标是（）A . （0，1）B . （2，－1）C . （4，1）D . （2，3）7. （2分） (2018八下·深圳月考) 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（）A . ∠ADB=∠ACB+∠CADB . ∠ADE=∠AEDC . ∠B=∠CD . ∠BAD=∠BDA8. （2分） (2017八下·府谷期末) 不等式组的解集在数轴上表示为（）A .B .C .D .9. （2分）方程的解是A . x=2B . x=1C .D . x=﹣210. （2分）(2020·朝阳模拟) 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③11. （2分） (2017八下·常熟期中) 已知点（﹣1，y1），（2，y2），（π，y3）在双曲线y= 图象上，则（）A . y1＞y2＞y3B . y2＞y3＞y1C . y2＞y1＞y3D . y3＞y1＞y212. （2分）(2012·葫芦岛) 正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F 顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合…按这样的方式将正方形依次绕点H、M、E旋转后，正方形中与EF重合的是（）A . ABB . BCC . CDD . DA13. （2分）如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（）A . 6B . 8C . 9D . 1014. （2分） (2020八下·张家港期末) 如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m，2)和CD边上的点E(n， )，连接OA，OE，AE，则△OAE的面积为（）A . 2B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2019七下·大冶期末) 比较3与的大小：3________ （填“<”或“>”）16. （1分） (2019八上·怀集期末) 八边形的外角和等于________°．17. （1分） (2020·襄州模拟) 有4张相同的卡片分别写着数字﹣1、2、﹣3、4，将卡片的背面朝上，并洗匀.从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的 b.则这个一次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率是________.18. （1分） (2017八下·西城期中) 如图，在平行四边形中，，，于，则 ________．三、解答题 (共6题；共53分)19. （5分） (2017七下·丰台期中) ．20. （5分）河里水位第一天上升8cm，第二天下降7cm，第三天又下降了9cm，第四天又上升了3cm，经测量此时的水位为62.6cm，试求河里初始水位值．21. （12分）(2018·吉林模拟) 甲、乙两名射击运动员在某次训练中各射击10发子弹，成绩如表：甲89798678108乙679791087710且S乙2=1.8，根据上述信息完成下列问题：（1）将甲运动员的折线统计图补充完整；（2）乙运动员射击训练成绩的众数是________，中位数是________．（3）求甲运动员射击成绩的平均数和方差，并判断甲、乙两人本次射击成绩的稳定性．22. （6分）(2020·昆明) （材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加.因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差.（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m.（1）数据6400000用科学记数法表示为________；（2）请你计算该山的海拔高度.（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23. （15分） (2017八下·辉县期末) 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF．（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）24. （10分）(2019·宁洱模拟) 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD.（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标.参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共6题；共53分)19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、第11 页共11 页。
2020年~2021年最新四川省遂宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（4分）（2019•遂宁）|2|--的值为( ) A ．2B ．2-C ．2±D ．22．（4分）（2019•遂宁）下列等式成立的是( ) A ．2222+=B ．23246()a b a b =C ．2(2)2a a a a +÷=D ．22523x y x y -=3．（4分）（2019•遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为2-的面与其对面上的数字 之积是( )A ．12-B ．0C ．8-D ．10-4．（4分）（2019•遂宁）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是( ) A ．100B ．被抽取的100名学生家长C ．被抽取的100名学生家长的意见D ．全校学生家长的意见5．（4分）（2019•遂宁）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为( ) A ．0B ．1±C ．1D ．1-6．（4分）（2019•遂宁）如图，ABC ∆内接于O ，若45A ∠=︒，O 的半径4r =，则阴影部分的面积为( )A ．48π-B ．2πC ．4πD ．88π-7．（4分）（2019•遂宁）如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为( )A ．28B ．24C ．21D ．148．（4分）（2019•遂宁）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是( )A ．4k >-B ．4k <C ．4k >-且4k ≠D ．4k <且4k ≠-9．（4分）（2019•遂宁）二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是( )A ．4a =B ．当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C ．当1x =-时，5b >-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大10．（4分）（2019•遂宁）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC ∆是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ∠=︒；②BDP HDB ∆∆∽；③:1:2DQ BQ =；④31BDP S ∆-=． 其中正确的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（2019•遂宁）2018年10月24日，我国又一项世界级工程--港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为 ．12．（4分）（2019•遂宁）若关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ．13．（4分）（2019•遂宁）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 分．14．（4分）（2019•遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-；2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-； 2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=； 22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+ 根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-= ．15．（4分）（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将OCG ∆沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数12y x=经过点B ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)C 、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）16．（7分）（2019•遂宁）计算：201920(1)(2)(3.14)4cos30|212|π--+-+--︒+- 17．（7分）（2019•遂宁）解不等式组：3561162x x x x <+⎧⎪+-⎨⎪⎩，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．18．（7分）（2019•遂宁）先化简，再求值：2222222a ab b a ab a b a a b-+-÷--+，其中a ，b 满足2(2)10a b -++=．19．（9分）（2019•遂宁）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，延长BC 到E ，使CE BC =，连接AE 交CD 于点F ，点F 是CD 的中点．求证： （1）ADF ECF ∆≅∆．（2）四边形ABCD 是平行四边形．20．（9分）（2019•遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ，斜坡AB 的坡度1:1i =；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度5i =阶梯，结果保留根号）21．（9分）（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润=售价-进价）22．（10分）（2019•遂宁）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：代号活动类型A经典诵读与写作B数学兴趣与培优C英语阅读与写作D艺体类E其他为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．（1）此次共调查了名学生．（2）将条形统计图补充完整．（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为．（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．23．（10分）（2019•遂宁）如图，一次函数3y x =-的图象与反比例函数(0)ky k x==≠的图象交于点A 与点(,4)B a -． （1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若POC ∆的面积为3，求出点P 的坐标．24．（10分）（2019•遂宁）如图，ABC ∆内接于O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使2DF OD =，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足//AG BC ，连接OC ，若1cos 3BAC ∠=，6BC =．（1）求证：COD BAC ∠=∠； （2）求O 的半径OC ； （3）求证：CF 是O 的切线．25．（12分）（2019•遂宁）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当12OP MN=时，请判断NOB∆的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：BNM ONM∠=∠．2019年四川省遂宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（4分）|-的值为( )A B ．C ．D ．2【考点】22：算术平方根；28：实数的性质；21：平方根 【分析】根据实数的绝对值的意义解答即可．【解答】解：|-=． 故选：B ．2．（4分）下列等式成立的是( )A ．2=B ．23246()a b a b =C ．2(2)2a a a a +÷=D ．22523x y x y -=【考点】35：合并同类项；78：二次根式的加减法；4H ：整式的除法；47：幂的乘方与积的乘方【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A 、2+B 、23246()a b a b =，正确；C 、2(2)21a a a a +÷=+，故此选项错误；D 、故222523x y x y x y -=，此选项错误；故选：B ．3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为2-的面与其对面上的数字 之积是( )A ．12-B ．0C ．8-D ．10-【考点】8I ：专题：正方体相对两个面上的文字【分析】根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形，所以数字为2-的面的对面上的数字是6，其积为12-．【解答】解：数字为2-的面的对面上的数字是6，其积为2612-⨯=-． 故选：A ．4．（4分）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是( ) A ．100B ．被抽取的100名学生家长C ．被抽取的100名学生家长的意见D ．全校学生家长的意见【考点】3V ：总体、个体、样本、样本容量【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见． 故选：C ．5．（4分）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为( ) A ．0B ．1±C ．1D ．1-【考点】3A ：一元二次方程的解【分析】直接把0x =代入进而方程，再结合10a -≠，进而得出答案．【解答】解：关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =， 210a ∴-=，10a -≠，则a 的值为：1a =-． 故选：D ．6．（4分）如图，ABC ∆内接于O ，若45A ∠=︒，O 的半径4r =，则阴影部分的面积为( )A ．48π-B ．2πC ．4πD ．88π-【考点】MO ：扇形面积的计算；MA ：三角形的外接圆与外心【分析】根据圆周角定理得到290BOC A ∠=∠=︒，根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：45A ∠=︒， 290BOC A ∴∠=∠=︒，∴阴影部分的面积2904144483602BOCBOC S S ππ∆⋅⨯=-=-⨯⨯=-扇形，故选：A ．7．（4分）如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为( )A ．28B ．24C ．21D ．14【考点】5L ：平行四边形的性质；KG ：线段垂直平分线的性质【分析】先判断出EO 是BD 的中垂线，得出BE ED =，从而可得出ABE ∆的周长AB AD =+，再由平行四边形的周长为24，即可得出答案． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，OB OD ∴=，AB CD =，AD BC =，平行四边形的周长为28，14AB AD ∴+=OE BD ⊥，OE ∴是线段BD 的中垂线，BE ED ∴=，ABE ∴∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=，故选：D ．8．（4分）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．4k >-B ．4k <C ．4k >-且4k ≠D ．4k <且4k ≠-【考点】2B ：分式方程的解；6C ：解一元一次不等式【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式的方程的解得到x 的值，根据分式方程解是正数，即可确定出k 的范围．【解答】解：分式方程去分母得：(24)2k x x --=， 解得：44k x +=， 根据题意得：404k +>，且424k +≠， 解得：4k >-，且4k ≠． 故选：C ．9．（4分）二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是( )A ．4a =B ．当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C ．当1x =-时，5b >-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大【考点】3H ：二次函数的性质；2H ：二次函数的图象【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可． 【解答】解：二次函数2y x ax b =-+∴对称轴为直线22ax == 4a ∴=，故A 选项正确；当4b =-时，2244(2)8y x x x =--=--∴顶点的坐标为(2,8)-，故B 选项正确；当1x =-时，由图象知此时0y < 即140b ++<5b ∴<-，故C 选项不正确；对称轴为直线2x =且图象开口向上∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确；故选：C ．10．（4分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC ∆是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论： ①135BPD ∠=︒；②BDP HDB ∆∆∽；③:1:2DQ BQ =；④31BDP S ∆-=． 其中正确的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④【考点】KK ：等边三角形的性质；LE ：正方形的性质；9S ：相似三角形的判定与性质 【分析】由等边三角形及正方形的性质求出75CPD CDP ∠=∠=︒、60PCB CPB ∠=∠=︒，从而判断①；证135DBP DPB ∠=∠=︒可判断②；作QE CD ⊥，设QE DE x ==，则2QD x =，22CQ QE x ==，3CE x =，由CE DE CD +=求出x ，从而求得DQ 、BQ 的长，据此可判断③，证62DP DQ -==，根据1sin 2BDP S BD PD BDP ∆=∠求解可判断④． 【解答】解：PBC ∆是等边三角形，四边形ABCD 是正方形， 60PCB CPB ∴∠=∠=︒，30PCD ∠=︒，BC PC CD ==， 75CPD CDP ∴∠=∠=︒，则135BPD BPC CPD ∠=∠+∠=︒，故①正确； 45CBD CDB ∠=∠=︒， 135DBP DPB ∴∠=∠=︒，又PDB BDH ∠=∠，BDP HDB ∴∆∆∽，故②正确；如图，过点Q 作QE CD ⊥于E ，设QE DE x ==，则2QD x =，22CQ QE x ==， 3CE x ∴=，由CE DE CD +=知31x x +=， 解得31x -=， 622QD x -∴=， 2BD =623262BQ BD DQ --∴=-=， 则62326:1:2DQ BQ --=≠，故③错误； 75CDP ∠=︒，45CDQ ∠=︒，30PDQ ∴∠=︒，又75CPD ∠=︒， 75DPQ DQP ∴∠=∠=︒，DP DQ ∴==111sin 222BDP S BD PD BDP ∆∴=∠=，故④正确； 故选：D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）2018年10月24日，我国又一项世界级工程--港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为 45.510⨯ ． 【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于55000有5位，所以可以确定514n =-=． 【解答】解：455000 5.510=⨯， 故答案为45.510⨯．12．（4分）若关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 1k < ．【考点】AA ：根的判别式【分析】利用根的判别式进行计算，令△0>即可得到关于k 的不等式，解答即可． 【解答】解：关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴△0>，即440k ->， 1k <．故答案为：1k <．13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 88.8 分． 【考点】2W ：加权平均数【分析】根据加权平均数的计算方法求值即可． 【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为： 9240%8540%9020%⨯+⨯+⨯ 36.83418=++ 88.8=故答案为：88.814．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-；2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-； 2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=； 22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+ 根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-= 7i - ． 【考点】2C ：实数的运算【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案． 【解答】解：222(12)(2)(2)24244i i i i i i i i +-+-=-+-++- 26i i =-- 61i =-+7i =-．故答案为：7i -．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将OCG ∆沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数12y x=经过点B ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)C 、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为 2111324y x x =-+ ．（填一般式）【考点】3H ：二次函数的性质；LB ：矩形的性质；5H ：二次函数图象上点的坐标特征；8H ：待定系数法求二次函数解析式；9H ：二次函数的三种形式；6G ：反比例函数图象上点的坐标特征；PB ：翻折变换（折叠问题） 【分析】点(0,3)C ，反比例函数12y x=经过点B ，则点(4,3)B ，由勾股定理得：22(4)4x x -=+，故点3(2G ，0)，将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可求解．【解答】解：点(0,3)C ，反比例函数12y x=经过点B ，则点(4,3)B ， 则3OC =，4OA =， 5AC ∴=，设OG PG x ==，则4GA x =-，532PA AC CP AC OC =-=-=-=， 由勾股定理得：22(4)4x x -=+， 解得：32x =，故点3(2G ，0)， 将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：3930421440c a b c a b c =⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得：121143a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故答案为：2111324y x x =-+． 三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）16．（7分）计算：201920(1)(2)(3.14)4cos30|2π--+-+--︒+【考点】5T ：特殊角的三角函数值；6E ：零指数幂；2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式111424=-++-+11124=-++- 74=-．17．（7分）解不等式组：3561162x x x x <+⎧⎪+-⎨⎪⎩，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．【考点】CB ：解一元一次不等式组；CC ：一元一次不等式组的整数解；4C ：在数轴上表示不等式的解集【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【解答】解：3561162x xx x<+⎧⎪⎨+-⎪⎩①②解不等式①，3x>-，解不等式②，2x，32x∴-<，解集在数轴上表示如下：x∴的整数解为2-，1-，0，1，2．18．（7分）先化简，再求值：2222222a ab b a aba b a a b-+-÷--+，其中a，b满足2(2)10a b-+=．【考点】23：非负数的性质：算术平方根；1F：非负数的性质：偶次方；6D：分式的化简求值【分析】先化简分式，然后将a、b的值代入计算即可．【解答】解：原式2()2()()()a b aa b a b a a b a b-=-+--+12a b a b=-++1a b=-+，a，b满足2(2)10a b-++=，20a∴-=，10b+=，2a=，1b=-，原式1121=-=--．19．（9分）如图，在四边形ABCD中，//AD BC，延长BC到E，使CE BC=，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）ADF ECF∆≅∆．（2）四边形ABCD是平行四边形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；7L：平行四边形的判定与性质【分析】（1）根据平行线的性质得到DAF E∠=∠，根据线段中点的定义得到DF CF=，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AD EC=，等量代换得到AD BC=，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）//AD BC，DAF E∴∠=∠，点F是CD的中点，DF CF∴=，在ADF∆与ECF∆中，DAF EAFD EFCDF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF ECF AAS∴∆≅∆；（2）ADF ECF∆≅∆，AD EC∴=，CE BC=，AD BC∴=，//AD BC，∴四边形ABCD是平行四边形．20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度1:1i=；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度5i=留根号）【考点】9T ：解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】过A 作AH BC ⊥于H ，过E 作EH BC ⊥于G ，于是得到四边形EGHA 是矩形，求得EG AH =，2GH AE ==，得到92AH BH ==，求得924BG BH HG -=-=，得到910FG =，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE 的面积乘以大坝的长度即可得到结论． 【解答】解：过A 作AH BC ⊥于H ，过E 作EH BC ⊥于G ， 则四边形EGHA 是矩形， EG AH ∴=，2GH AE ==， 30309009AB cm =⨯==米，斜坡AB 的坡度1:1i =， 922AH BH ∴==， 924BG BH HG -∴=-=， 斜坡EF 的坡度1:5i =， 910FG ∴=， 910924BF FG BG -∴=-=-， 9109249281581362122ABFES ⎛⎫--+∴=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭梯形， ∴共需土石为8158136220050(81581362)-+⨯=-+立方米．21．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润=售价-进价）【考点】9C：一元一次不等式的应用；7B：分式方程的应用【分析】（1）设第一批仙桃每件进价是x元，则第二批每件进价是(5)x+元，再根据等量关系：第二批仙桃所购件数是第一批的32倍，列方程解答；（2）设剩余的仙桃每件售价y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于440元，可列不等式求解．【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则24003370025x x⨯=+，解得180x=．经检验，180x=是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．则：3700370022580%225(180%)0.13700440 18051805y⨯⨯+⨯⨯-⨯-++，解得169 y．答：剩余的仙桃每件售价至少打7折．22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．（1）此次共调查了200名学生．（2）将条形统计图补充完整．（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为．（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．【考点】5X：列表法与树W：加权平均数；VC：条形统计图；6V：用样本估计总体；2状图法；VB：扇形统计图【分析】（1）由A类型人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此可补全图形；（3）用360︒乘以B类型人数所占比例；（4）总人数乘以前三项人数之和所占比例即可得；（5）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）此次调查的总人数为4020%200÷=（人)，故答案为：200；（2）D类型人数为20025%50⨯=（人)，-+++=（人)，B类型人数为200(40305020)60补全图形如下：（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为60360108200︒⨯=︒， 故答案为：108︒；（4）估计该校喜欢A 、B 、C 三类活动的学生共有40603020001300200++⨯=（人)；（5）画树状图如下：，由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有12种结果，∴刚好一男一女参加决赛的概率123205=． 23．（10分）如图，一次函数3y x =-的图象与反比例函数(0)ky k x==≠的图象交于点A 与点(,4)B a -．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若POC ∆的面积为3，求出点P 的坐标．【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）先求出点B 的坐标，然后利用待定系数法将B 代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；（2）设点P 的坐标为(m ，4)(0)m m>，用m 表示出POC ∆的面积，从而列出关于m 的方程，解方程即可．【解答】解：（1）将(,4)B a -代入一次函数3y x =-中得：1a =- (1,4)B ∴--将(1,4)B --代入反比例函数(0)ky k x==≠中得：4k =∴反比例函数的表达式为4y x=； （2）如图：设点P 的坐标为(m ，4)(0)m m>，则(,3)C m m - 4|(3)|PC m m∴=--，点O 到直线PC 的距离为m POC ∴∆的面积14|(3)|32m m m=⨯--=解得：5m =或2-或1或2 点P 不与点A 重合，且(4,1)A 4m ∴≠又0m > 5m ∴=或1或2∴点P 的坐标为4(5,)5或(1,4)或(2,2)．24．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使2DF OD =，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足//AG BC ，连接 OC ，若1cos 3BAC ∠=，6BC =．（1）求证：COD BAC ∠=∠；（2）求O 的半径OC ； （3）求证：CF 是O 的切线．【考点】5M ：圆周角定理；ME ：切线的判定与性质；7T ：解直角三角形【分析】（1）根据切线的性质得到90GAF ∠=︒，根据平行线的性质得到AE BC ⊥，根据圆周角定理即可得到结论；（2）设OE x =，3OC x =，得到3CE =，根据勾股定理即可得到结论； （3）由2DF OD =，得到33OF OD OC ==，求得13OE OC OC OF ==，推出COE FOE ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到90OCF DEC ∠=∠=︒，于是得到CF 是O 的切线． 【解答】解：（1）AG 是O 的切线，AD 是O 的直径，90GAF ∴∠=︒， //AG BC ， AE BC ∴⊥， CE BE ∴=， 2BAC EAC ∴∠=∠， 2COE CAE ∠=∠， COD BAC ∴∠=∠；（2）COD BAC ∠=∠， 1cos cos 3OE BAC COE OC ∴∠=∠==， ∴设OE x =，3OC x =，6BC =， 3CE ∴=， CE AD ⊥，222OE CE OC ∴+=， 22239x x ∴+=，98x ∴=（负值舍去）， 2738OC x ∴==， O ∴的半径OC 为278； （3）2DF OD =，33OF OD OC ∴==，∴13OE OC OC OF ==， COE FOC ∠=∠， COE FOE ∴∆∆∽， 90OCF DEC ∴∠=∠=︒， CF ∴是O 的切线．25．（12分）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．【考点】HF ：二次函数综合题【分析】（1）由于已知二次函数顶点坐标，故可设顶点式，再把点A 代入求a 即求得二次函数关系式．（2）设点B 横坐标为b ，用b 表示直线OB 的k 值即得到直线OB 解析式，把3x =代入即用b 表示点M 坐标．根据M 、N 关于点P 对称，求得12MP NP MN ==，且能用b 表示点N 坐标．①由12OP MN =，可列得关于b 的方程，求解即得到点B 、N 坐标．求2OB 、2ON 、2BN 的值得到222OB ON BN +=，判断NOB ∆是等腰直角三角形．②有点B 、N 坐标求直线BN 解析式（含)b ，令0y =求得直线BN 与x 轴交点D 的坐标，发现C 为OD 中点即直线NC 垂直平分OD ，根据垂直平分线性质得ND NO =，由等腰三角形三线合一得BNM ONM ∠=∠，得证．【解答】解：（1）二次函数顶点为(3,3)P∴设顶点式2(3)3y a x =-+二次函数图象过点(6,0)A 2(63)30a ∴-+=，解得：13a =-∴二次函数的关系式为2211(3)3233y x x x =--+=-+（2）设(B b ，212)(3)3b b b -+>∴直线OB 解析式为：1(2)3y b x =-+OB 交对称轴l 于点M∴当3M x =时，1(2)363M y b b =-+⨯=-+(3,6)M b ∴-+点M 、N 关于点P 对称 3(6)3NP MP b b ∴==--+=-， 33N y b b ∴=+-=，即(3,)N b①12OP MN =OP MP ∴=∴3b =-解得：3b =+22112(32(3333b b ∴-+=-⨯++⨯+=-(3B ∴+，3)-，(3,3N +222(332)(3)36182OB ∴=++-=+，2223(332)36182ON =++=+，222(3323)(3332)72362BN =+-+---=+OB ON ∴=，222OB ON BN +=NOB ∴∆是等腰直角三角形，此时点B 坐标为(332+，3)-．②证明：如图，设直线BN 与x 轴交于点D 21(,2)3B b b b -+、(3,)N b设直线BN 解析式为y kx d =+∴21233kb d b b k d b⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩ 解得：132k b d b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线1:23BN y bx b =-+当0y =时，1203bx b -+=，解得：6x =(6,0)D ∴(3,0)C ，NC x ⊥轴 NC ∴垂直平分OD ND NO ∴= BNM ONM ∴∠=∠。
2020年四川遂宁中考数学试题及答案一．选择题（共10小题）1．﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C．D．答案：A．2．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106D．8.23×107答案：B．3．下列计算正确的是（）A．7ab﹣5a＝2b B．（a+）2＝a2+C．（﹣3a2b）2＝6a4b2D．3a2b÷b＝3a2答案：D．4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正五边形答案：C．5．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 答案：D．6．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3答案：D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A．B．C．D．答案：C．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（）A．b2＞4acB．abc＞0C．a﹣c＜0D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）答案：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．2﹣C．2﹣πD．1﹣答案：B．10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE＝AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个答案：B．二．填空题（共5小题）11．下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有3个．答案：3．12．一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是4．答案：4．13．已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为36度．答案：36．14．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是1＜m≤4．答案：1＜m≤4．15．如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为4039．答案：4039．三．解答题（共10小题）16．计算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．解：原式＝2﹣2×﹣（﹣1）+4﹣1＝2﹣1﹣+1+4﹣1＝+3．17．先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．解：原式＝[﹣（x+2）]•＝（﹣）•＝•＝﹣•＝﹣（x﹣3）＝﹣x+3，∵x≠±2，∴可取x＝1，则原式＝﹣1+3＝2．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．19．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt△AEM中，∵tan∠AEM＝，∴EM＝＝≈16.9，在Rt△AFN中，∵tan∠AFN＝，∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，答：2号楼的高度约为45.8米．20．新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B 种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），∵1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最小值为290，当x＝0时，w的最小值为240，故本次购买至少准备240元，最多准备290元．21．阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴，解得：，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．22．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：（1）本次参加抽样调查的居民有600人．（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为72度．根据题中信息补全条形统计图．（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有2400人．（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．解：（1）240÷40%＝600（人），所以本次参加抽样调查的居民有60人；（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×＝72°；补全条形统计图为：（3）6000×40%＝2400，所以估计爱吃D种粽子的有2400人；答案600；72；2400；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率＝＝．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．（2）求△DEC的面积．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），∴OA＝2，OB＝1，作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠OAB+∠DAM＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO，在△AOB和△DMA中，∴△AOB≌△DMA（AAS），∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，∴D（2，3），∵双曲线y═（k≠0）经过D点，∴k＝2×3＝6，∴双曲线为y＝，设直线DE的解析式为y＝mx+n，把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；（2）连接AC，交BD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，AC＝BD，解得或，∴E（﹣1，﹣6），∵B（1，0），D（2，3），∴DE＝＝3，DB＝＝，∴CN＝BD＝，∴S△DEC＝DE•CN＝×＝．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）求证：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．（1）证明：连接OE，OP，∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP，∴PB＝BE，∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO（SSS），∴∠BEO＝∠BPO，∵BP为⊙O的切线，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∴＝．（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，∴EP⊥AB，∵CG⊥AB，∴CG∥EP，∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），∴CE＝QE，∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，∴∠CEH＝∠AHG，∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH＝CE，∴CH＝EQ，∴四边形CHQE是平行四边形，∵CH＝CE，∴四边形CHQE是菱形，∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，∵AC＝15，∴AG＝9，∴CG＝＝12，∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15，∴QG＝6，∵HQ2＝HG2+QG2，∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，解得：HQ＝，∴CH＝HQ＝，∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴顶点M的坐标为（2，﹣2），∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N（2，2），设直线AN解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，联立方程组得：，解得：，，∴点D（4，6），∴S△ABD＝×2×6＝6，设点E（m，2m﹣2），∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，∴m＝2或3，∴点E（2，2）或（3，4）；（3）若AD为平行四边形的边，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD＝PQ，∴x D﹣x A＝x P﹣x Q或x D﹣x A＝x Q﹣x P，∴x P＝4﹣1+2＝5或x P＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；若AD为平行四边形的对角线，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD与PQ互相平分，∴，∴x P＝3，∴点P坐标为（3，0），综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．。
