刚体动力学

刚体任意两点距离不变，故内力不做功 .
d Rn e d Rn =× R n ⇒ ∑n F n ⋅ =∑n F ne ⋅× R n =∑n ⋅ R n × F ne dt dt d RC d RC =× R C ⇒− mt a A⋅ =−⋅ R C × mt a A dt dt
【定义】坐标基矢 e*=[e1*, e2*, e3*]T 使得所代表的坐标系称为
∗ ∗ , J , J 主轴坐标系 , 相应的惯量系数 J ∗ 11 22 33 称为主转动惯量
思考题：怎样寻找主轴坐标系和主转动惯量？（特征向量和特征值）
【推论】任意两个主转动惯量之和大于剩余的第三个
证明：直接在主轴坐标系内用惯量系数的定义即可得证 . 略
d d' J A⋅ 是矢量， J A⋅ = J A⋅× J A⋅ dt dt
⇒⋯⇒ J A⋅ = J XZ X J YZ Y J ZZ Z = ˙ Z ˙
d e ⋅M A ⇒ Z⋅ J A⋅= J ZZ = ≡M Z ¨ Z dt
˙ 利用动能定理 由于 A 点不动，加速度为 0, 且 ⋅M A = M Z
d 1 e ⋅J A⋅ =⋅ M A − R C × mt a A dt 2
e




可导出上述推论 . （证毕） 注：对于定轴转动刚体，由于 Jzz=JZZ 是常数，故动能定理 也可表示为
d 1 2 J zz ˙ =M z ˙ dt 2
z (Z)
ω A x φ X
Y y
【推论】定轴转动刚体的运动微分方程为 J ZZ = ¨ MZ
证明：由于 A 点不动，加速度为 0 ，利用角动量定理
d e J A⋅ = M A dt d d' ˙ 注意 φ 是标量， = 微商可不加区别地记为 dt dt
参考系 Axyz 中的微商 固连坐标系 AXYZ 中的微商


附：关于 Jzz=JZZ 的证明 . 证明：坐标变换关系为 z=Z, x=Xcosφ+Ysinφ, y=-Xsinφ+Ycosφ 可以证明 dxdydz=dXdYdZ, x2+y2=X2+Y2 ,ρ(x,y,z)=ρ'(X,Y,Z), 故有
J zz =∭ dxdydz x 2 y 2 x , y , z =∭ dXdYdZ X 2Y 2 ' X ,Y , Z = J ZZ
⇒ L'A =∫ R2 I − R R ⋅ R dV =[∫ R2 I − R R R dV ]⋅
= J A⋅
（证毕）
1 1 ' 【定理】刚体相对动能为 T r = ⋅L A= ⋅J A⋅ 2 2
证明： T r=
1 1 2 v r R dV = ∫ v r⋅v r R dV ∫ 2 2 1 1 × R ⋅ v R dV = R × v r ⋅ R dV ∫ ∫ r 2 2
证明：注意到质心系中 RC=0 即可 . （证毕）
【动能定理】
d 1 e ⋅J A⋅ =⋅ M A − R C × mt a A dt 2


证明：应用任意平动参考系的动能定理
注：刚体的动能定理 与角动量定理不独立
d T r=∑n F ne ⋅d R n ∑n F ni ⋅d R n − m t a A⋅d R C
2
Z z A O x y R
dV
注：在 AXYZ 坐标基矢 e=[e1, e2, e3] 下，
T
Y X
R = R1 e 1 R2 e 2 R3 e 3 ⇒
R R = R1 e 1 R 2 e 2 R3 e 3 R1 e 1 R 2 e 2 R3 e 3 = R e1 e1 R1 R2 e1 e 2 R1 R3 e1 e3 R2 R 1 e 2 e 1 R 2 e 2 e 2 R2 R3 e 2 e 3 R3 R1 e 3 e 1 R3 R 2 e 3 e 2 R3 e 3 e3
[
][ ]
矢量 如果 Tkl=Tlk 则称 T 为对称张量
【定义】单位张量（或球形张量） I ：满足 I ⋅v = v , ∀ v
注：在坐标基矢 e=[e1, e2, e3]T 下，可表示为 I =kl e k e l
【定义】刚体惯量张量：
J A =∫ [ R I − R R ] R dV
2 2 2 1
Oxyz ：本征参考系 AXYZ: 基点 A 为原 点的坐标系
【推论】刚体惯量张量 JA 是对称张量 .
证明：在 AXYZ 坐标基矢 e=[e1, e2, e3]T 下，
J lk =∫ [ R 2 lk − Rl R k ] R dV ⇒ J kl =∫ [ R kl − Rk Rl ] R dV
[
J 31 J 32
J 33 3
][ ]
故对于任意角速度矢量，均有 Tr>0. 说明 [Jlk]3×3 是正定的 . （证毕）
【定理】存在一组特殊的坐标基矢 e*=[e1*, e2*, e3*]T 使得
J A = J 11 e 1 e1 J 22 e 2 e 2 J 33 e 3 e 3 ,
z
z A
R y y
O
【定理】刚体相对 A 角动量为 L'A= J A⋅
证明： L'A=∫ R× v r R dV =∫ R×× R R dV
Oxyz ：本征参考系 Axyz: 平动参考系
R ×× R = R⋅R − R R⋅ = R2 − R R⋅ = R2 I − R R ⋅
[
0
0
J
∗ 33
]
[
0
0
J∗ 33
]
只需令 e*=[K] e 并注意到 [K]T= [K]-1 即有
J A = J 11 e 1 e1 J 22 e 2 e 2 J 33 e 3 e 3 J 110, J 22 0, J 330
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
由于 [J] 是正定的，那么经正交变换后的矩阵也正定，故 （证毕）
= 1 e1 2 e2 3 e 3
∗ ∗ ∗
则在主轴坐标系下角动量和动能分别表示为
L = J 1 e J 2 e J 3 e 1 ∗ 2 2 ∗ 2 T r = J 11 1 J ∗ J 22 2 33 3 2
证明：直接将主坐标系中的角速度和惯量张量表达式代人 1 ' 角动量 L A= J A⋅ 和动能表达式 T r = ⋅J A⋅ 即可 . （证毕） 2
（证毕）
注：对于定轴转动，可以证明 Jzz 也是常数（ =JZZ ）， 故运动微分方程也可表示为 J zz = ¨ Mz
d 1 2 【推论】定轴转动的刚体满足动能定理 J ZZ ˙ =M Z ˙ dt 2 2 ⇒ J A⋅= J XZ X J YZ Y J ZZ Z ˙ 证明： = ˙ Z ˙ ⇒ ⋅J A⋅= J ZZ
第六章
刚体动力学
§6.1 动力学基本方程
●
刚体的惯量张量
【定义】张量：坐标旋转下的不变量，它与任意矢量的 点积结果是矢量
在给定坐标系下，设坐标系的基矢为 e=[e1, e2, e3]T, 矢量 u 可 表示为 u =u i ei, 张量 T 可表示为 T = T kl e k e l , 它们的点积
' A ∗ 11 ∗ 1 ∗ 22 ∗ 2 ∗ 33 ∗ 3
●
动力学基本定理
dV
【动量定理】
mt [ a A × ˙ RC ×× RC ]=F
证明：质心加速度为
e
z
z A
R y y
a C = a A × ˙ RC ×× RC
利用质心运动定理得证 . （证毕） 注：也可应用 Axyz 参考系中的动量定理 e p ˙ r =F − mt a A 证明 x
得证！
d 1 e ⋅J C⋅ =⋅M C 【推论】在质心系中，动能定理为 dt 2


证明：注意到质心系中 RC=0 即可 . （证毕）
§6.2 定轴转动
●
运动微分方程
在轴上取基点 A ，建立静止参考系 Axyz 以及与刚体固连的坐标系 AXYZ. 使得 z(Z) 恰好为转动轴 . 自由度： DOF=1, 用转角 φ 表示 , 只需要 1 个运动微分方程 注意：参考系和坐标系关系！在一个参考系中 可建立很多个不同的坐标系 . 可取最方便 的一个坐标系来解决问题 . 例如在与刚体固连的坐标系 AXYZ 中讨论问题 . 在这个坐标系中惯量系数是常数 .
2
J lk = J kl
（证毕）
因为：
lk =kl , Rl R k = Rk Rl
注：一般把 Jlk 称为惯量系数，由于对称性，只有 6 个是独立的 注：如果 AXYZ 不是固连在刚体上的坐标系，则 R 相对 AXYZ 有 转动，那么在 AXYZ 上看到的质量分布一般会随时间改变， 故在这个坐标系中惯量系数依赖于时间 . 注：如果 AXYZ 不是固连在刚体上的坐标系，在少数有良好对称性 的情况下 AXYZ 上看到的质量分布可能不随时间改变，此时在 这个坐标系中惯量系数是常数 .
●
刚体基本动力学量
现在取 Axyz 坐标系为一个平动参考系 , 则刚体上的 R 点相对速度为 v r R =× R
dV
【定理】刚体相对动量为 p r =× mt R C
证明：pr =∫ v r R dV =∫ × R R dV
=×∫ R R dV =×m t RC（证毕）
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
且上述三个惯量系数均大于 0.
证明：根据线性代数的知识，我们知道对于任意对称矩阵，总存在 一个正交矩阵将其对角化 . 由于 [J] 是对称矩阵，所以存在正交 矩阵 [K] 使得 ∗ ∗ J 11 0 0 J 11 0 0 −1 ∗ [ J ]=[ K ] [ K ][ J ][ K ]−1= 0 J ∗ 0 J 0 [K ] 或 0 22 22