下载文档原格式
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法时间序列是指观测值按照时间顺序排列的一组数据，其中具有季节性和非平稳性的时间序列数据具有特殊的分析需求。
本文将介绍非平稳和季节时间序列的分析方法。
一、非平稳时间序列分析方法非平稳时间序列是指其统计特征在时间上发生了变化，无法满足平稳性的要求。
非平稳时间序列具有趋势性、周期性、季节性和不规则性等特征。
对于非平稳时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.差分法：差分法是通过对时间序列取一阶或多阶差分来消除趋势性的影响。
通过差分后的时间序列进行分析，我们可以得到一个稳定的时间序列，并进行后续的建模和预测。
2.移动平均法：移动平均法是通过计算一定窗口范围内的观测值的平均值来消除短期波动的影响，从而得到一个平滑的时间序列。
通过移动平均后的时间序列进行分析，我们可以在一定程度上消除非平稳性的影响。
3.分解法：分解法是将非平稳时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分。
通过分解后的各个部分进行分析，我们可以了解趋势、季节和随机成分在时间序列中的作用，从而更好地进行建模和预测。
二、季节时间序列分析方法季节时间序列是指具有明显季节性的时间序列数据。
对于季节时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.季节性指数：季节性指数是用来描述季节性的强度和方向的指标。
通过计算每个季节的平均值与总平均值之比，可以得到季节性指数。
根据季节性指数的变化趋势，我们可以判断时间序列的季节性变化情况，并进行后续的建模和预测。
2.季节性趋势模型：季节性趋势模型是一种常用的季节时间序列建模方法。
该模型将时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分，并通过对这三个部分进行建模来分析季节性时间序列。
常用的季节性趋势模型包括季节性自回归移动平均模型（SARIMA）、季节性指数平滑模型等。
总结起来，非平稳和季节时间序列模型的分析方法主要包括差分法、移动平均法和分解法等对非平稳时间序列进行分析，以及季节性指数和季节性趋势模型等对季节性时间序列进行分析。
气候变化数据分析中的时间序列方法综述气候变化是当今全球面临的严峻挑战之一。
随着温室气体排放的增加和全球气温的升高，对气候变化的研究变得越来越重要。
时间序列方法在气候变化数据分析中发挥着重要的作用，可以帮助我们理解和预测气候变化的趋势和特征。
本文将对气候变化数据分析中常用的时间序列方法进行综述，包括趋势分析、周期性分析、季节性分析和突变检测等。
首先，趋势分析是气候变化研究中常用的一种方法。
趋势分析旨在识别和量化气候变化数据中的长期趋势。
常见的趋势分析方法有线性回归、多项式回归和移动平均法等。
线性回归分析可以用来拟合趋势线，通过计算斜率可以判断趋势的增长或减少趋势。
多项式回归可以更好地拟合复杂的非线性趋势。
移动平均法通过计算一段时间内的数据均值，来平滑数据并突出趋势。
趋势分析可以帮助我们了解气候变化的总体方向和速度。
其次，周期性分析是用来识别和分析气候变化数据中存在的周期性模式。
常见的周期性分析方法有傅里叶变换和小波分析等。
傅里叶变换可以将时间序列分解为不同频率的正弦和余弦波，帮助我们理解不同时间尺度上的周期性变化。
小波分析是一种多尺度分析方法，可以同时分析时间和频率的变化。
周期性分析可以帮助我们发现气候变化的季节性、年际变化和长期变化等周期性模式。
此外，季节性分析是用来识别和分析气候变化数据中的季节性模式。
常见的季节性分析方法有季节分解和移动平均法等。
季节分解方法可以将时间序列分解为长期趋势、季节性变化和随机成分。
移动平均法通过计算一段时间内的数据均值，来平滑数据并突出季节性。
季节性分析可以帮助我们理解气候变化的周期性特征和季节性变化规律。
最后，突变检测是用来识别和分析气候变化数据中存在的突变事件。
突变事件可能是由自然因素或人为活动引起的，对气候变化的影响较大。
常见的突变检测方法有秩和检验、序列分割和滑动t检验等。
秩和检验可以用来比较两个时间段的数据，根据秩和的大小来判断是否存在突变。
序列分割方法可以根据数据的变化点将时间序列分割为多段，以识别突变事件。
季节性时间序列分析方法在经济领域中得到的观测数据一般都具有较强的随时间变化的趋势，如果是季度或月度数据又有明显的季节变化规律。
因此研究经济时间序列必须考虑其趋势性和季节性的特点，既要考虑趋势变动，又要考虑季节变动，建立季节模型。
第一节 简单的时间序列模型一、 季节时间序列序列是季度数据或月度数据（周，日）表现为周期的波动。
二、随机季节模型例1 假定t x 是一个时间序列，通过一次季节差分后得到的平稳序列，且遵从一阶自回归季节模型,即有 t s s t t t x B x x w )1(-=-=-1tt s t w w 或 1(1)s t t B w 将t w =t s x )B (-1代入则有1(1)(1)s s t t B B x SARIMA(1,1,0)更一般的情况，随机序列模型的表达式为11(1)(1)(1)s s S t t B B x B SARIMA(1,1,1)第二节 乘积模型值得注意的是t a 不一定是白噪声序列。
因为我们仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，相同周期而不同周期点之间的也有一定的相关性。
所以，在此情况下，模型有一定的拟合不足，如果假设t 是),(q p ARMA 模型，则1(1)(1)s s t t B B x 式可以改为1()(1)(1)()s s t t B B B x B如果序列}{t x 遵从的模型为()()()()s d D s s t t B U B x B V B （3.26） 其中ks k s s s B BB B U ΓΓΓ----= 2211)(ms m s s s B B B B V H H H ----= 2211)(p p B B B φφΦ---= 11)(q q B B B θθΘ---= 11)(d d B )1(-=∇D s D s B )1(-=∇则称（3.26）为乘积季节模型，记为),,(),,(q d p m D k ARIMA ⨯。
时间序列分析中的季节性调整方法研究引言时间序列分析是一种用于研究时间序列数据的统计方法。
时间序列表示相对于时间的变化，并且在各行业和领域中都具有广泛的应用，例如经济学、金融学和市场研究等。
在时间序列中，季节性是指某一事件、现象或数据在特定季节或时间间隔内呈现出重复的模式。
因此，为了更好地分析数据和准确预测未来发展趋势，季节性调整成为时间序列分析中重要的一环。
本文将对时间序列分析中常用的季节性调整方法进行研究和探讨。
第一章季节性调整的概念与应用1.1 季节性调整的概念季节性调整是指将时间序列中的季节性因素剔除后，使数据更接近于总体趋势的方法。
通过季节性调整，可以消除季节性波动带来的误差，凸显出总体趋势和周期性变化。
季节性调整的目的在于更准确地分析数据并预测未来趋势。
1.2 季节性调整的应用季节性调整在经济学、金融学和市场研究等领域中具有广泛的应用。
例如，在宏观经济研究中，季节性调整可以消除季节性变化对经济指标的影响，更准确地评估经济发展趋势。
在金融市场中，季节性调整可以帮助投资者更准确地预测股市、商品市场和外汇市场等的未来趋势。
在市场研究中，季节性调整可以帮助企业更好地了解销售模式，制定合理的市场推广策略。
第二章常用的季节性调整方法2.1 经典分解法经典分解法是季节性调整中最常用的方法之一。
该方法将时间序列数据分解为长期趋势、季节性、循环变化和随机波动部分。
通过对这几个部分进行拆分，可以更准确地分析数据，并预测未来的发展趋势。
2.2 滑动平均法滑动平均法是一种季节性调整方法，它通过计算数据序列的滑动平均值来消除季节性波动。
滑动平均法通过将观测值与周围观测值的平均值进行比较，凸显出总体趋势。
然后，使用季节性指数来调整每个季节的值，使其与整体趋势保持一致。
2.3 ARIMA模型ARIMA模型是一种常用的时间序列分析方法，可以对非平稳的时间序列数据进行建模和预测。
在季节性调整中，ARIMA模型可以将季节性因素纳入考虑，并通过建立合适的模型来预测未来的季节性变化。
季节性时间序列分析方法1. 引言季节性时间序列是指一系列数据在一年中呈现出周期性的模式变化，例如销售量、气温、人口等。
对于这样的时间序列数据，我们需要利用适当的方法进行分析，以便更好地了解和预测未来的趋势和模式。
本文将介绍几种常见的季节性时间序列分析方法，包括季节性平均法、季节指数法、季节性趋势法以及季节分解法。
2. 季节性平均法季节性平均法是一种简单直观的方法，它将每个季节中的数据取平均值，然后用这些季节性平均值来表示整个时间序列的趋势。
具体步骤如下：1.收集时间序列数据，将数据按照季节分组。
2.对每个季节的数据进行平均计算，得到季节性平均值。
3.用季节性平均值来表示整个时间序列的趋势。
季节性平均法的优点是简单易操作，缺点是无法考虑趋势的变化和异常值的影响。
3. 季节指数法季节指数法是一种常用的季节性时间序列分析方法，它通过计算每个季节的指数来表示季节性的影响。
具体步骤如下：1.收集时间序列数据，将数据按照季节分组。
2.对每个季节的数据计算平均值。
3.计算每个季节的指数，即该季节的平均值除以整个时间序列的平均值，并乘以一个常数，通常取100。
4.用季节指数来表示整个时间序列的趋势，可以通过季节指数与相应季节的实际数据相乘得到预测值。
季节指数法的优点是能够较好地考虑季节性的影响，缺点是对于季节性的变化不敏感。
4. 季节性趋势法季节性趋势法是一种综合考虑趋势和季节性的时间序列分析方法，它通过拟合趋势曲线和季节指数来预测未来的趋势。
具体步骤如下：1.收集时间序列数据，将数据按照季节分组。
2.对每个季节的数据计算平均值。
3.计算季节指数，同季节指数法中的步骤。
4.拟合趋势曲线，可以使用线性回归、移动平均等方法。
5.将趋势曲线与季节指数相乘，得到预测值。
季节性趋势法的优点是能够较好地处理季节性和趋势的影响，缺点是计算比较复杂，对于异常值的影响较大。
5. 季节分解法季节分解法是一种常用的季节性时间序列分析方法，它将整个时间序列分解为趋势、季节性和随机成分三个部分，对每个部分进行分析和预测。
机器学习技术如何处理时间序列数据中的季节性和周期性时间序列数据中的季节性和周期性是机器学习技术中的常见挑战之一。
随着大数据和人工智能的快速发展，处理这些特殊模式的能力变得越来越重要。
在本文中，我们将探讨机器学习技术如何处理时间序列数据中的季节性和周期性，并介绍一些常用的方法和技术。
时间序列数据是按照时间顺序排列的数据集合，它们通常具有一定的内在模式，包括季节性和周期性。
季节性是指数据在特定的时间段内呈现出重复的模式，例如每年相同的季节都会出现相似的模式。
周期性是指数据在一定的时间间隔内发生重复的模式，例如每个月或每个周都会出现相似的模式。
处理时间序列数据中的季节性和周期性的首要任务是识别和理解这些模式。
一种常用的方法是使用时间序列分析技术，例如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性分解方法（Seasonal Decompositionof Time Series）。
这些方法可以通过拟合数据的特定模型来捕捉季节性和周期性的特征，并将其从原始数据中分离出来。
除了传统的时间序列分析方法，机器学习技术也提供了一些有效的处理时间序列数据中季节性和周期性的方法。
其中一个流行的方法是使用循环神经网络（Recurrent Neural Networks，RNNs）。
RNNs 是一类特殊的神经网络，能够处理具有时间依赖性的数据。
通过将过去的输入和当前的输入结合起来，RNNs 可以学习到时间序列数据中的长期依赖关系，并预测未来的值。
针对季节性和周期性，一种常见的 RNNs 模型是长短期记忆网络（Long Short-Term Memory，LSTM）。
LSTM 模型能够对时间序列数据中的长期依赖关系进行建模，并且还能处理输入和输出之间的时间延迟。
另外，随机森林（Random Forest）也是一种常用的机器学习方法，可用于处理时间序列数据中的季节性和周期性。
随机森林是一种基于决策树的集成学习算法，它能够处理高维度的数据，并且对异常值具有较好的鲁棒性。
时间序列季节性分析spss表1 为某公司连续144个⽉的⽉度销售量记录，变量为sales。
试⽤专家模型、ARIMA模型和季节性分解模型分析此数据。
选定样本期间为1978年9⽉⾄1990年5⽉。
按时间顺序分别设为1⾄141。
⼀、画出趋势图，粗略判断⼀下数据的变动特点。
具体操作为：依次单击菜单“Analyz e→Forecasting→Sequence Chart”，打开“Sequence Chart”对话框，在打开的对话框中将sales选⼊“Variables”列表框，时间变量date选⼊“Time Axis Labels”，单击“OK”按钮，则⽣成如图2 所⽰的sales序列。
图1 “Sequence Chart”对话框从趋势图可以明显看出，时间序列的特点为：呈线性趋势、有季节性变动，但季节波动随着趋势增加⽽加⼤。
⼆、模型的估计（⼀）、季节性分解模型根据时间序列特点，我们选择带线性趋势的季节性乘法模型作为预测模型。
1、定义⽇期具体操作为：依次单击菜单“Data→Define Date”，打开“Define Date”对话框，在“Cases Are”列表框选择“Years，months”的⽇期格式，在对话框的右侧定义数据的起始年份、⽉份。
定义完毕后，单击“OK”按钮，在数据集中⽣成⽇期变量。
图3 “Define Date”对话框2、季节分解具体操作为：“Analyze→Forecasting→Seasonal Decomposition”打开“Seasonal Decomposition”对话框，将待分析的序列变量名选⼊“Variable”列表框。
在“Model Type”选择组中选择“Multiplicative”模型；在“Moving Average Weight”选择组中选择“Endpoints weighted by 0.5”。
单击“OK”按钮，执⾏季节分解操作。
图4 “Seasonal Decomposition”对话框3、画出序列图①原始序列和校正了季节因⼦作⽤的序列图图5为sales 序列和校正了季节因⼦作⽤的序列图。
季节指数法的原理及应用1. 什么是季节指数法？季节指数法是一种时间序列分析方法，主要用于确定季节性因素对于时间序列数据的影响程度，以及进行季节性趋势的预测和调整。
它基于一种假设，即历史上的季节性变化趋势会在未来重复出现，因此可以利用历史数据来分析和预测未来的季节性变化。
2. 季节指数法的原理季节指数法的原理基于以下步骤： 1. 数据收集和整理：收集时间序列数据，以季度为单位进行整理，例如每个季度的销售额或生产数量。
2. 季节性因素的计算：计算每个季度的平均值，即该季度的数据在历史上的平均水平。
将每个季度的平均值除以整个时间序列的平均值，得到季节指数。
季节指数反映了该季度相对于整体平均的季节性因素。
3. 趋势性分析：对除去季节性因素后的数据进行趋势性分析，例如利用移动平均线或指数平滑法进行趋势性预测。
4. 季节性调整：将趋势性分析得出的预测结果乘以对应季度的季节指数，得到最终的季节性调整结果。
3. 季节指数法的应用季节指数法在实际应用中具有广泛的应用价值，以下是一些常见的应用场景：3.1 销售预测•对于某些产品或行业，销售额可能呈现明显的季节性变化。
通过季节指数法，可以分析每个季度的销售水平相对于整体销售水平的影响程度，从而预测未来季度的销售趋势，并作出相应的调整和决策。
3.2 生产计划•季节指数法可以帮助生产企业优化生产计划，根据季节性因素调整生产数量和时间，以适应季节性需求的变化。
例如，对于农产品，不同季节的需求量可能会有显著差异，通过季节指数法可以预测出不同季节的需求量，从而合理安排生产计划。
3.3 股票市场分析•季节指数法可以用于股票市场的分析，特别是对于某些行业或股票具有明显季节性特征的情况下。
通过分析季节指数，可以了解该股票或行业在不同季度的涨跌情况，从而制定更具针对性的投资策略。
3.4 旅游业规划•季节指数法在旅游业规划中也具有应用价值。
通过分析每个季度的季节指数，可以了解不同季度的旅游需求量以及旅游价格的波动情况，从而制定合理的旅游行程和价格策略，更好地满足游客的需求。
时序预测是一种广泛应用于各种领域的数据分析技术，通过分析历史数据来预测未来的趋势和变化。
然而，在实际应用中，很多时候我们会遇到季节性的数据变化，如节假日销量增加、季节性商品需求等。
这时候，就需要对时序数据进行季节性调整，以保证预测结果的准确性和可靠性。
下面将介绍一些常用的季节性调整技巧。
一、移动平均法移动平均法是一种常见的季节性调整方法，其基本思想是利用一定长度的时间窗口来计算平均值，以反映季节性的变化趋势。
移动平均法可以分为简单移动平均和加权移动平均两种。
简单移动平均是将一定长度的时间段内的数据值取平均，而加权移动平均则是对不同时间点的数据赋予不同的权重，以反映不同时间点的重要性。
通过移动平均法进行季节性调整，可以有效地消除季节性因素对预测结果的影响，提高预测的准确性。
二、季节性指数法季节性指数法是另一种常用的季节性调整方法，其基本思想是通过计算每个季节性因素在总体中的相对重要性，然后对原始数据进行调整。
季节性指数法可以分为加法模型和乘法模型两种。
加法模型适用于季节性因素对趋势的影响比较稳定的情况，而乘法模型适用于季节性因素随着趋势的变化而变化的情况。
通过季节性指数法进行季节性调整，可以更准确地揭示季节性因素对数据的影响，并提高预测结果的准确性。
三、回归分析法回归分析法是一种通过建立数学模型来描述变量之间关系的方法，可以用于分析季节性数据并进行季节性调整。
在回归分析法中，可以将时间作为自变量，将季节性因素作为因变量，通过拟合回归模型来估计季节性因素对数据的影响。
通过回归分析法进行季节性调整，可以更准确地理解季节性因素的影响机制，并提高预测结果的可靠性。
四、时间序列分解法时间序列分解法是一种将时序数据分解为趋势、季节性和随机成分的方法，可以用于分析季节性数据并进行季节性调整。
在时间序列分解法中，首先对原始数据进行分解，然后分别对趋势、季节性和随机成分进行建模和预测。
通过时间序列分解法进行季节性调整，可以更准确地把握季节性因素对数据的影响，提高预测结果的准确性和可靠性。
81❝§8.1 季节性时间序列的重要特征82❝§8.2 季节性时间序列模型❝§8.3 季节性检验❝§8.4 季节性时间序列模型的建立所谓是指具有某种周期性变化季节性时间序列，是指具有某种周期性变化规律的随机序列，并且这种周期性的变化规律往往是由于季节变化引起由于季节变化引起。
如果一个随机序列经过个时间间隔后观测数据呈现相似性比如同处于波峰或波谷则我们称该序S 呈现相似性，比如同处于波峰或波谷，则我们称该序列具有以为周期的周期特征，并称其为季节性时S 间序列，为季节长度。
S季节性时间序列存在着规则的周期如果我们把季节性时间序列存在着规则的周期，如果我们把原序列按周期重新排列，即可得到一个所谓的二维表。
对于季节性时间序列按周期进行重新排列是极其有益的不仅有助于考察同周期点的变化情况加有益的，不仅有助于考察同一周期点的变化情况、加深对序列周期性的理解，而且对于形成建模思想和理解季节模型的结构也都是很有帮助的。
影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外❝影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，往往还存在趋势变动和随机变动等。
t t t tX S T I =++❝研究季节性时间序列的目的，就是分解影响经济指标变动的季节因素、趋势因素和随机因素，从而了解它们对经济的影响。
❝1. 简单季节模型❝2. 乘积季节模型季节性时间序列表现出也就是说时间 同期相关性，也就是说时间相隔为的两个时间点上的随机变量有较强的相关性。
比如对于月度数据S 12比如，对于月度数据则与相关性较强。
我们可以利用这种同期相关性在与之12,S =t X 12t X -t X 12t X -间进行拟合。
简单季节模型通过简单的趋势差分季节差分之通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常表示如下：()(1)(),(*)S S D St tB B X B aΦ-=ΘSAR算子其中为白噪声序列,{}ta2()1,S S S pSB B B BΦ=-Φ-Φ--Φ12212()1.pS S S qSqB B B BΘ=-Θ-Θ--ΘSMA算子称（*）为简单季节模型，或季节性自回归求和移动SARIMA p D q平均模型，简记为模型。
第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=∇=)1(。
二、 随机季节模型1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。
AR （1）：t t S t S t t e W B e W W =-⇔+=-)1(11ϕϕ，可以还原为：t t S Se X B =∇-)1(1ϕ。
MA （1）：t S t S t t t e B W e e W )1(11θθ-=⇔-=-，可以还原为：t St S e B X )1(1θ-=∇。
2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA 表达形式为t S t S e B V W B U )()(= （1）这里，⎪⎩⎪⎨⎧----=----=∇=qSq S S S pSP S S S t d S t B V B V B V B V B U B U B U B U X W ΛΛ2212211)(1)()(平稳。
注：（1）残差t e 的内容；（2）残差t e 的性质。
§2 乘积季节模型一、 乘积季节模型的一般形式由于t e 不独立，不妨设),,(~m d n ARIMA e t ，则有t t d a B e B )()(Θ=∇φ （2）式中，t a 为白噪声；n n B B B B ϕϕϕφ----=Λ22111)(；mm B B B B θθθ----=ΘΛ22111)(。
在（1）式两端同乘dB ∇)(φ，可得：t S t d S t DS d S t d S a B B V e B B V X B U B W B U B )()()()()()()()(Θ=∇=∇∇=∇φφφ （3）注：（1）这里t D S S X B U ∇)(表示不同周期的同一周期点上的相关关系；t dX B ∇)(φ则表示同一周期内不同周期点上的相关关系。
二者的结合就能同时刻划两个因素的作用，仿佛是显像管中的电子扫描。
（2）从结构上看，它是季节模型与ARIMA 模型的结合形式，称之为乘积季节模型，阶数用S q D p m d n ),,(),,(⨯来表示。
（3）将乘积季节模型展开便会得到一般的ARIMA 模型。
例如：t S t a B V B X B )1)(1()1(11--=-θ，可以展开为t S S t a B V B V B X B )1()1(11111++--=-θθ，此时也有)1,1,0(~+S ARIMA X t ，并且其中有许多系数为0。
但其参数并不独立。
所以尽管模型的阶数可能很高，然而真正独立的参数不多，我们称这类模型为疏系数模型（带有一定约束条件的疏系数模型）。
二、 常用的两个模型1．t t a B B X B B )1)(1()1)(1(1212112θθ--=-- 类型为：S )1,1,0()1,1,0(⨯ （4） 2．t t a B B X B )1)(1()1(1212112θθ--=- 类型为：S )1,1,0()1,0,0(⨯ （5）三、 乘积季节模型与ARIMA 模型的关系我们可以将乘积季节模型t S t d S t DS d S t d S a B B V e B B V X B U B W B U B )()()()()()()()(Θ=∇=∇∇=∇φφφ （3）展成ARIMA 模型形式。
例如，t St a B V B y B )1)(1()1(11--=-θ是)1,0,0()1,1,0(⨯季节模型，将式子的右边展成：t S j jj t S S t a B a BV B V B y B )1()1()1(11*11111∑+=+-=+--=-θθθ （6）这是一个)1,1,0(+S 阶ARIMA 模型，但是其参数不是独立的，有下面的约束关系11*11**1*21*1,,0,V V S S S θθθθθθθ-======+-Λ （7）尽管模型的阶数很高，然而真正独立的参数并不多，有许多参数取值为零§3 季节性时间序列模型的建立季节性时间序列模型的建立也包含这样几个过程：模型的识别、模型的定阶、参数估计、诊断检验等。
基本上采用的是BOX-JENKINS 方法，也就是立足于考察数据序列的样本自相关、偏自相关函数。
如果样本自相关、偏自相关函数既不截也不拖尾，而且也不呈线性衰减趋势，相反地，在相应于周期S 的整数倍点上，自相关（或偏自相关）函数出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，我们就可以判明原数据序列适合于乘积季节模型。
一、 季节性MA 模型的自相关函数 {}t X 是一个季节性时间序列，如果S t MA X )1(~，则t S S t e B X )1(θ-= （6）t e 不平稳，设)1(~MA e t ，则t t a B e )1(1θ-= （7）我们就能得到一个乘积季节模型t S S t a B X )1)(1(1θθ--= （8）1111----+--=S t S S t S t t t a a a a X θθθθ （9）当S=12时，有)13(~131********MA a a a a X t t t t t ---+--=θθθθ （10）可以计算出： 因此有：注：（1）1ρ为t t a B e )1(1θ-=的一阶自相关系数，12ρ为t SS t e B X )1(θ-=的一阶自相关系数；（2）1θ与12θ比较容易求解； （3）可以推广到更一般的形式。
二、 季节性AR 模型的偏自相关函数 {}t X 是一个季节性时间序列，如果S t AR X )1(~，则t t S S e X B =-)1(ϕ （11）t e 不平稳，设)1(~AR e t ，则t t a e B =-)1(1ϕ （12）我们就能得到一个乘积季节模型t t S S a X B B =--)1)(1(1ϕϕ （13） t t S S S S a X B B B =+--+)1(111ϕϕϕϕ （14）当S=12时，有)13(~131********AR a X X X X t t t t t =+-----ϕϕϕϕ （15）可以根据YULE-WORK 方程求出偏自相关函数。
注：（1）根据它在周期点上的偏自相关函数的截尾性和拖尾性识别模型的类型和定阶； （2）可以推广到更一般的形式。
三、 季节性时间序列模型的建模方法利用B-J 建模方法：判别周期性，即S 的取值；根据SACF 和SPACF 提供的信息识别模型类型和阶数，最后进行估计和诊断检验。
具体做法：第一步：对时间序列{}t X 进行普通差分∆和季节差分S ∆，以得到平稳的序列{}t W ，t D S d t X W ∆∆=； 第二步：计算差分后序列的SACF 和SPACF ，选择一个暂定的模型；第三步：由SACF 和SPACF 函数的值，利用矩估计法得到的值作为初始值，对模型参数作最小二乘估计； 第四步：模型的诊断与检验。
注：（1）关于差分阶数d 和季节差分阶数D 的选取可采用试探的方法1；也可使用差分后序列均方差的大小挑选；（2）季节差分算子的阶数不宜过高。
四、 应用实例【例6-1】试用1987年到1996年甲地某商品各月销售量资料为例建立季节性时间序列模型2。
建模型过程： 1．时间序列图明显存在着季节性变化，并且以12为周期。
2．SACF 和SPACF 函数图1详见备课笔记。
2 资料来源王振龙：《时间序列分析》，中国统计出版社，P189。
再次证明，时间序列存在着以S=12为周期的季节性变动。
3．进行差分变换需要进行一阶普通差和以12为周期的季节差分，得到t t X B Y )1(-= （17） t t t t W X B B Y B X =--=-=)1)(1()1(1212 （16）计算其自相关系数。
一阶普通差分图一阶普通差分和一阶季节差分序列图 4．模型的识别与定阶 5．参数估计 6．诊断检验7．模型应用预测结果【例6-2】表显示了我国1990年1月至1997年12月工业总产值的月度资料（1990年不变价格），记作IP t，共有96个观测值，对序列IP t建立ARMA模型3，在建模过程中将1997年12个月的观测值留出作为评价预测精度的参照对象。
1990年1月至1997年12月我国工业总产值单位：亿元1．时间序列图表明数据或者序列是非平稳的。
2．进行相应的差分变换为消除趋势同时减小序列的波动，对原序列做一阶自然对数并逐期差分，即是差分运算与对数运算的结合。
由时间序列图可以看到，序列的趋势已经基本消除，但可能存在着季节性变化，这一点可以从序列的自相关图看出。
由图形可以看出，在12的整数倍上，样本的偏自相关系数显着不为零，因此需要做季节差分处理。
此时差分后序列的自相关图为可以对序列进行零均值的检验，详见易丹辉：《数据分析与EVIEWS应用》，P128。
