三角函数图象及应用

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cos α cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h-------------------------------------------------------------------------------------------- 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。

－φ－φ1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R振幅A周期2πT＝ω频率1ωf＝T＝2π相位ωx＋φ初相φ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2ωπ－φω3π2ω2π－φωωx＋φy＝A sin(ωx＋φ)π2Aπ3π2－A2π0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】(2)y ＝sin ⎝x －4⎭的图象是由 y ＝sin ⎝x ＋4⎭的图象向右平移个单位得到的．(√ )1．y ＝2sin ⎝2x －4⎭的振幅、频率和初相分别为2．已知函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋6⎭.若 y ＝f (x －φ) (0<φ< )是偶函数，则 φ＝解析 因为 y ＝f (x －φ)＝sin ⎣2(x －φ)＋6⎦＝sin ⎝2x －2φ＋6⎭是偶函数，所以－2φ＋ ＝ ＋k π， k ∈Z ，得 φ＝－ － ，k ∈Z .又 0<φ< ，所以 φ＝ .3．(2015· 湖南改编)将函数 f (x )＝sin 2x 的图象向右平移 φ⎝0＜φ＜2⎭个单位后得到函数 g (x )的]判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) 利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )⎛ π⎫ ⎛ π⎫ π 2(3)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数 y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )⎛ π⎫1 π答案 2，π，－4．⎛ π⎫ π 2.答案π3⎡ π⎤ ⎛ π⎫ π π 6 2π k π π π6 2 2 3⎛ π⎫π图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2 的 x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝3，则 φ＝.答案π6解析 因为 g (x )＝sin [2 x －φ ＝sin(2x －2φ)，所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以 sin 2x 1 和 sin(2x 2－2φ)的值中，一个为 1，另一个为－1，不妨取 sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)π π＝－1，则 2x 1＝2k 1π＋2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1⎪⎪因为0<φ<，所以0<－φ<，则φ＝.答案y＝10sin⎝8x＋4⎭＋20，x∈[6,14]所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，所以ω＝.又×10＋φ＝2π，4所以y＝10sin⎝8x＋4⎭＋20，x∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，答案3π－k2)∈Z，π得|x1－x2|＝⎪(k1－k2)π＋2－φ⎪.πππ222ππ故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝2－φ＝3，π64．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为．⎛π3π⎫解析从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，121212π又2×ω＝14－6，π8π83π解得φ＝，⎛π3π⎫π4则φ的最小正值是．8解析∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝－－(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值.例1已知函数y＝2sin⎝2x＋3⎭.(3)说明y＝2sin⎝2x＋3⎭的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．解(1)y＝2sin⎝2x＋3⎭的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin⎝2x＋3⎭＝2sin X.6y＝2sin⎝2x＋3⎭πππ444－2φ)，ππ42kππ283π8题型一函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换⎛π⎫(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；⎛π⎫⎛π⎫2ππ23π⎛π⎫3列表如下：xXy＝sinX⎛π⎫π－π12π212π3π7π123π2－1－25π62π描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把 y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到 y ＝sin ⎝x ＋3⎭的图象； 再把 y ＝ sin ⎝x ＋3⎭ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的sin ⎝2x ＋3⎭的图象；最后把 y ＝sin ⎝2x ＋3⎭上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变 )，即可得到 y ＝2sin ⎝2x ＋3⎭的图象．方法二 将 y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得到 y ＝sin 2x再将 y ＝sin 2x 的图象向左平移 个单位长度，得到 y ＝sin ⎣2⎝x ＋6⎭⎦＝sin ⎝2x ＋3⎭的图象；再将 y ＝sin ⎝2x ＋3⎭的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y ＝2sin ⎝2x ＋3⎭的图象．设 z ＝ωx ＋φ，由 z 取 0， ，π， π，2π 来求出相应的 x ，通过列表，计算得出五点坐标，描(1)把函数 y ＝sin(x ＋ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移 个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(填正确的序号)．①x ＝－ ；②x ＝－ ；③x ＝ ；④x ＝ .(2)设函数 f (x )＝cos ωx ( ω>0)，将 y ＝f (x )的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图π ⎛ π⎫ 3⎛ π⎫ 1 2倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到 y ＝⎛ π⎫⎛ π⎫⎛ π⎫12的图象；π ⎡ ⎛ π⎫⎤ ⎛ π⎫ 6⎛ π⎫⎛ π⎫思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作 y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，π 3 2 2点后得出图象．(2)图象变换：由函数 y ＝sin x 的图象通过变换得到 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．π 162π3π π π π2 4 8 4π3象重合，则 ω 的最小值等于．答案 (1)① (2)6解析(1)将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x 2(2)由题意可知，nT＝(n∈N*)，例2(1)已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，答案(1)y＝2sin⎝8x＋4⎭(2)f(x)＝2sin(2x＋)⎫解析(1)由题意得A＝2，＝6－2，所以T＝16，ω＝＝.又sin⎝8×2＋φ⎭＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为|φ|<，所以φ＝.41234π162πππππ63362π＝－是其图象的一条对称轴方程．π32ππ∴n·ω＝3(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式π2由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为．(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为．⎛ππ⎫π3T2ππ⎛ππ4T84πππ224(2)由题图可知A＝2，T7πππ＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又⎝12π，－ 2⎭为最小值点， ∴2× π＋φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝ .故 f (x )＝ 2sin(2x ＋ )．则 A ＝ ，b ＝ .(2)求 ω，确定函数的最小正周期 T ，则可得 ω＝ . “最大值点”(即图象的“峰点”)时 ωx ＋φ＝ ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时 ωx ＋φ＝ .函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象如图所示，则 φ＝3解析 ∵ ＝ π－ π，⎛ 7 ⎫7 3π12 2π3又|φ|＜π，π3π3思维升华 确定 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求 A ，b ，确定函数的最大值 M 和最小值 m ，M －m M ＋m2 22πT(3)求 φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A ，ω，b 已知)或代入图象与直线 y ＝b 的交点求 解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定 φ 值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：π23π 2π答案 －T 1152 12 12∴T ＝π.2π又 T ＝ ω (ω＞0)，2π∴ ω ＝π，⎛ ππ⎫.由五点作图法可知当x＝π时，2即2×π＋φ＝，∴φ＝－.y)．若初始位置为P0⎝2，⎭，当秒针从P(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐答案y＝sin⎝－30t＋6⎭位是.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝⎪ω⎪＝60，所以|ω|＝π⎪2π⎪ππ63030所以y＝sin⎝－30t＋6⎭.例4已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在⎝2，π⎭上有两个不同的实数根，则m ∴ω＝2.512πωx＋φ＝，5π122π3题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，⎛31⎫2标y与时间t的函数关系式为．⎛ππ⎫解析设点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝sin(ωt＋φ)．由题意可得，函数的初相，即ω＝－，⎛ππ⎫命题点2方程根(函数零点问题)⎛π⎫的取值范围是．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin⎝2x＋6⎭，x∈⎝2，π⎭.设2x＋＝t，则t∈⎝6π，6π⎭，6＝sin t，t∈⎝6π，6π⎭，有两个不同的实数根．∴y＝和y＝sin t，t∈⎝6π，6π⎭的图象有两个不同交点，如图：2由图象观察知，的范围为(－1，－)，解析由例4知，的范围是⎣－1，2⎭，∴－2≤m<1，图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f⎝8⎭的值；(2)求函数y＝f(x)＋f⎝x＋4⎭的最大值及对应的x的值．＝2⎣2＝2sin⎝ωx＋φ－6⎭.⎛π⎫⎛π⎫π⎛713⎫∴题目条件可转化为m⎛713⎫2m⎛713⎫m122故m的取值范围是(－2，－1)．引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是．答案[－2,1)m⎡1⎫2∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3图象性质综合应用例5已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)π2⎛π⎫⎛π⎫解(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)⎡31⎤sin(ωx＋φ)－2cos(ωx＋φ)⎦⎛π⎫因为f(x)是偶函数，则 φ－ ＝ ＋k π(k ∈Z )，所以 φ＝ ＋k π(k ∈Z )，又因为 0＜φ＜π，所以 φ＝ ，ωx ＋＝2cos ωx .所以 f (x )＝2sin 2⎭⎝因此 f ＝2cos ＝ 2.⎝8⎭x ＋(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎣ ⎝ 4⎭⎦2x ＋＝2cos 2x ＋2cos 2⎭⎝－2x ＝2 2sin ⎝4 ⎭2x －＝－2 2sin4⎭⎝令 2x － ＝2k π－ (k ∈Z )，y 有最大值 2 2，所以当 x ＝k π－ (k ∈Z )时，y 有最大值 2 2.设函数 f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－ <φ< )的图象关于直线 x ＝ 对称，它的周期①f (x )的图象过点(0， )；π π6 22π32π3⎛ π⎫ 2π π由题意得 ω ＝2· 2，所以 ω＝2.故 f (x )＝2cos 2x .⎛π⎫ π4⎡ ⎛ π⎫⎤⎛ π⎫＝2cos 2x －2sin 2x⎛π ⎫⎛ π⎫ π π4 2π8思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程 根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究 y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将 ωx ＋φ 视 为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．π π 2π2 2 3是 π，则下列说法正确的是．(填序号)32②f (x )在[ ， ]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是( ，0)；∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ( )＝3sin( ＋φ)，则 sin( ＋φ)＝1 或－1.又 φ∈(－ ， )， ＋φ∈( ， π)，∴ ＋φ＝ ⇒φ＝ ，∴f (x )＝3sin(2x ＋ )．①：令 x ＝0⇒f (x )＝ ，正确．②：令 2k π＋ <2x ＋ <2k π＋ ，k ∈Z⇒k π＋ <x <k π＋ ，k ∈Z .令 k ＝0⇒ <x < ，即 f (x )在( ， )上单调递减，而在( ， )上单调递增，错误．③：令 x ＝ ⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移 个单位长度，错误．典例 (14 分)已知函数 f (x )＝2 3sin( ＋ )·cos( ＋ )－sin(x ＋π)．π 2π12 35π12④将 f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数 y ＝3sin ωx 的图象．答案 ①③2π解析 ∵周期为 π，∴ ω ＝π⇒ω＝2，2π 4π3 34π3π π 4π 5π 112 23 6 64π 3π π3 2 6π 632π π 3π2 6 2π 2π6 3π 2π63π 2π π π6 3 12 65π12π124．三角函数图象与性质的综合问题x π x π2 4 2 4(1)求 f (x )的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．解(1)f(x)＝23sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝3cos x＋sin x[4分]＝2sin(x＋)，[6分]于是T＝＝2π.[7分](2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[9分]∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，∴sin(x＋)∈[－，1]，[12分]∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[13分]a sinα＋b cosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝)，或a sinα＋b cosα＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tanφ＝)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(sin x·aπ6的最大值和最小值．思维点拨(1)先将f(x)化成y＝A sin(ωx＋φ)的形式再求周期；π6规范解答xπxπ2424π32π1ππ66ππ7π666π162π6故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f(x)化为a sin x＋b cos x的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝a2＋b2·b＋cos x·)；a2＋b2a2＋b2第三步：(求性质)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式baab(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．±1．函数y＝cos⎝2x－3⎭的部分图象可能是⎫[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．3．对称问题函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[失误与防范]1．由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y＝A sin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t的值域．A组专项基础训练(时间：40分钟)⎛π．2x －，∴当2x － ＝0，解析∵y ＝cos 3⎭⎝即 x ＝ 时，函数取得最大值 1，结合图象看，可使函数在 x ＝ 时取得最大值的只有④. 解析 取 K ，L 中点 N ，则 MN ＝ ，因此 A ＝ .由 T ＝2 得 ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝ ，∴f (x )＝ cos πx ，3.已知函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|< )的部分图象如图所示，则函数 解析 由函数的图象可得 T ＝ π－ π，又图象过点( π，2)，∴2sin(2× π＋φ)＝2， ∴φ＝－ ＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|< ，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则 f ( )的值为．答案3 ∴f ( )＝ cos ＝ .答案 [k π－ ，k π＋ ]，k ∈Z答案 ④⎛ π⎫ π 3π π6 62．设偶函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，1641212π 2121 1 π 3 62 6 4π2f (x )的单调递增区间是．π 5π12 121 2 54 3 12∴T ＝π，则 ω＝2.5 512 12π3π2∴取 k ＝0，则 φ＝－ ，即得 f (x )＝2sin(2x － )，∴f (x )的单调增区间为 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋ ，k ∈Z ，即单调递增区间为[k π－ ，k π＋ ]，k ∈Z .4．已知曲线 f (x )＝sin ωx ＋ 3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为 ，且曲线关于点 (x 0,0)中心对称，若 x 0∈⎣0，2⎦，则 x 0＝＝2⎝ sin ωx ＋ ＝2sin ⎝ωx ＋3⎭.∵曲线 f (x )＝2sin ⎝ωx＋3⎭相邻的两条对称轴之间的距离为 ，∴f (x )＝2sin ⎝2x ＋3⎭. 又 x 0∈⎣0，2⎦，∴x 0＝ . 5．函数 f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝|φ|＜2⎭的图象向左平移 个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数 f (x )在⎣0，2⎦上的最小值为 答案 － 3解析 由函数 f (x )的图象向左平移 个单位得 g (x )＝sin ⎝2x ＋φ＋3⎭的图象，π π3 3π π π2 3 2π 5π12 12π2⎡ π⎤.答案π3解析 f (x )＝sin ωx ＋ 3cos ωx⎛1 2 3 ⎫ 2 cosωx ⎭⎛ π⎫⎛ π⎫ π 22π∴最小正周期 T ＝π＝ ω ，∴ω＝2，⎛ π⎫∵曲线关于点(x 0,0)中心对称；π∴2x 0＋3＝k π(k ∈Z )，k π π∴x 0＝ 2 －6(k ∈Z )，⎡ π⎤ π 3⎛ π⎫ π 6⎡ π⎤．2π ⎛ π⎫ 6因为是奇函数，所以 φ＋ ＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜ ，所以 φ＝－ ，2x －.所以 f (x )＝sin 3⎭⎝0，，所以 2x － ∈ － ，，又 x ∈⎣ 2⎦ ⎣ 33 ⎦ ∴ω＝ ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．，10 ，∵图象过点⎝300⎭∴sin( ＋φ)＝1， ＋φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，又∵0<φ< ，∴φ＝ .100πt ＋，∴I ＝10sin6⎭⎝所以当 x ＝0 时，f (x )取得最小值为－ 3.ω>0,0<φ< ) 的图象如右图所示，则当 t ＝秒时，电流强度是解析由图象知 A ＝10， ＝ － ＝ ， ∴10sin(100π× ＋φ)＝10，当 t ＝ 秒时，I ＝－5 安．7．若函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0 且|φ|< )在区间⎣6， 3 ⎦上是单调递减函数，且函数从 1 减小2到－1，则 f ⎝4⎭＝ .答案3π3π π2 3⎛ π⎫⎡ π⎤ π ⎡ π 2π⎤ 326. 电流强度 I ( 安 ) 随时间 t ( 秒 ) 变化的函数I ＝ A sin(ωt ＋ φ)(A >0 ，π 12 100安．答案 －5T4 1 12 300 300 1002πT⎛ 1 ⎫ 1300π π π3 3 2π6π π2 6⎛ π⎫1100π ⎡π 2π⎤⎛π⎫2解析由题意可得，函数的周期为2×⎝3－6⎭＝π，⎛⎫∴f(x)＝sin⎝2x＋6⎭，∴f⎝4⎭＝sin⎝2＋6⎭＝cos＝.8．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示．若方程可得φ＝答案或π解析由图象可知y＝m和y＝f(x)图象的两个交点关于直线x＝或x＝π对称，9．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2⎝x－6⎭，x∈R.(2)求f(x)在区间⎣－3，4⎦上的最大值和最小值．1－cos⎝2x－3⎭解(1)由已知，有f(x)＝－⎛sin2x－所以f(x)的最小正周期T＝＝π.⎛2ππ⎫2π即ω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．πππ由sin⎝2×6＋φ⎭＝1，|φ|<26，⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫π362π2f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数x1，x2，则x1＋x2的值为．π433π263π4∴x1＋x2＝3或3π.⎛π⎫(1)求f(x)的最小正周期；⎡ππ⎤⎛π⎫1－cos2x221⎛13＝2⎝2cos2x＋2⎫1sin2x⎭－2cos2x＝311π⎫44cos2x＝2sin⎝2x－6⎭.2π2⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎛π⎫1 (2)因为f(x)在区间⎣－3，－6⎦上是减函数，在区间⎣－6，4⎦上是增函数，且f⎝－3⎭＝－4，4 所以 f (x )在区间⎣－3，4⎦上的最大值为 最小值为－ .10．设函数 f (x )＝ 3－ 3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且 y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近 的对称轴的距离为 .(2)求 f (x )在区间⎣π， 2 ⎦上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝ 3－ 3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝ － 3× － sin 2ωx ＝ 3 cos 2ωx － sin 2ωx＝－sin ⎝2ωx －3⎭.依题意知 ＝4× ，ω>0，所以 ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝－sin ⎝2x －3⎭.当 π≤x ≤ 时， ≤2x － ≤ .⎛2 故 f (x )在区间⎣π， 2 ⎦上的最大值和最小值分别为 ，－1.11．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|< ，ω>0)的图象的一部分如图所⎛ π⎫1⎛π⎫3f ⎝－6⎭＝－2，f ⎝4⎭＝，⎡ π π⎤34 ，1 22π 4(1)求 ω 的值； ⎡ 3π⎤231－cos 2ωx 1 2 2 2 12 2⎛π⎫2π π 2ω 4⎛ π⎫3π 5π π 8π 2 3 3 3 所以－ 3 π⎫2 ≤sin ⎝2x －3⎭≤1.所以－1≤f (x )≤ 3.⎡ 3π⎤3 2B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)π 2示，则该函数的解析式为 ．答案 f (x )＝2sin ⎝2x ＋6⎭∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即 sin φ＝ .∵|φ|< ，∴φ＝ .又∵ π 是函数的一个零点，且是图象递增穿过 x 轴形成的零点，∴ ω＋ ＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝2x ＋6⎭. 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f (x )的最小正周期为．解析 f (x )＝ 3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋ )(ω>0)．由 2sin(ωx ＋ )＝1 得 sin(ωx ＋ )＝ ，∴ωx ＋ ＝2k π＋ 或 ωx ＋ ＝2k π＋ π(k ∈Z )．故 f (x )的最小正周期 T ＝ ＝π.13．已知函数 f (x )＝cos ⎝3x ＋3⎭，其中 x ∈⎣6，m ⎦，若 f (x )的值域是⎣－1，－ 答案 ⎣ 9 ，18⎦⎛ π⎫解析 观察图象可知：A ＝2 且点(0,1)在图象上，1 π π2 2 611 11π π12 12 6⎛ π⎫12．(2014· 天津改编)已知函数 f (x )＝ 3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线 y ＝f (x )与直线 y ＝1π3答案 ππ6π π 16 6 2π π π 56 6 6 6π π π 5令 k ＝0，得 ωx 1＋6＝6，ωx 2＋6＝6π，2π∴x 1＝0，x 2＝3ω.π 2π π由|x 1－x 2|＝3，得3ω＝3，∴ω＝2.2π2值范围是．⎡2π 5π⎤解析 画出函数的图象．⎛ π⎫ ⎡π ⎤ ⎡ 3⎤ 2 ⎦ ，则 m 的取由 x ∈⎣6，m ⎦，可知 ≤3x ＋ ≤3m ＋ ，且 f ⎝ 9 ⎭＝cos π＝－1，＝－ 要使 f (x )的值域是⎣－1，－2 ⎦ 所以 π≤3m ＋ ≤ π，则 ≤m ≤ ，即 m ∈⎣ 9 ，18⎦.14．已知 f (x )＝sin ⎝ωx ＋3⎭ (ω>0)，f ⎝6⎭＝f ⎝3⎭，且 f (x )在区间⎝6，3⎭上有最小值，无最大值， 答案 146 3 π解析 依题意，x ＝ ＝ 时，y 有最小值，∴sin ⎝4ω＋3⎭＝－1，∴ ω＋ ＝2k π＋ (k ∈Z )，∴ω＝8k ＋ (k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝6，3⎭上有最小值，无最大值， 15．已知函数 f (x )＝ 3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx － (ω>0)，其最小正周期为 . (2)将函数 f (x )的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y ＝g (x )的图象，若关于 x 的方程 g (x )＋k ＝0 在区间[0， ]上有且只有一解 (1)f (x )＝ 3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －⎡π ⎤ 5π π π 6 3 3⎛π⎫ 5π 3 因为 f ⎝6⎭＝cos 6 2⎛2π⎫，⎡ 3⎤ ，π 7 2π 5π3 6 9 18⎡2π 5π⎤⎛ π⎫ ⎛π⎫ ⎛π⎫ ⎛π π⎫则 ω＝.3π π ＋ 2 4⎛π π⎫π π 3π4 3 2143⎛π π⎫π π π 14 ∴3－4<ω，即 ω<12，令 k ＝0，得 ω＝ 3 .1 π2 2(1)求 f (x )的表达式；π8π2个实数解，求实数 k 的取值范围．12＝sin2ωx＋－＝sin(2ωx＋)，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)．(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x－)的图象，所以g(x)＝sin(2x－)，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，cos2ωx＋11所以g(x)∈[－3又g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间[0，]上≤－k<或－k＝1，解得－3<k≤或k＝－1，，]∪{－1}.3π2226π2πππ由题意知f(x)的最小正周期T＝2，T＝2ω＝ω＝2，π6ππ83ππ33πππ2π23332，1]．ππ22有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32233 22所以实数k的取值范围是(－33 22。