下载文档原格式
学科数学804数学教育概论是哪个学校的自命题珠海考试科目：（812）专业综合（1）《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出版社（2）《高等代数学》第三版，姚慕生，吴泉水，谢启鸿。
（3）《空间解析几何》（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出版社（4）《解析几何》尤承业，北京大学出版社（5）《解析几何》（第三版），丘维声，北京大学出版社二、首都师范大学考试科目：（873）数学基础（1）《数学分析》高等教育出版社，第二、三版华东师范大学数学系；（2）《高等代数》高等教育出版社，第二、三版北京大学。
三、中央民族大学考试科目：（850）数学（微积分、线性代数）（不招收同等学力考生、双少生）四、天津师范大学考试科目：（904）数学教育理论（1）吴立宝，李春兰主编．《数学学科知识与教学能力（高中）》.北京师范大学出版社.2018；（2）张筱玮，潘超主编．《数学学科知识与教学能力（初中）》.北京师范大学出版社.2018五、河北北方学院考试科目：（904）数学分析与线性代数（1）《数学分析》华东师范大学数学系，高等教育出版社；（2）《线性代数》同济大学数学系，高等教育出版社。
六、太原师范学院考试科目：（824）数学教学论（不招收同等学力考生报名，要求本科阶段具有相同或相近专业背景）考试范围：数学教学论、现代数学教育观、数学教学反思、数学的基本特征、数学的文化价值、数学课程论的研究内容、数学课程的发展、义务教育数学课程标准（2011年版）和普通高中数学课程标准（2017年版）的基本理念及基本结构、数学有意义学习、数学建构主义学习、探究性学习理论、数学教学原则、数学教学方法、数学概念的教学、数学解题的教学、数学思想方法的教学、数学课堂教学的情境创设、数学课堂教学的提问、数学课堂教学语言、数学课的备课与说课、数学教育科研与写作。
七、山西师范大学考试科目：(829)教学技能与方法(只接收具有相同学科专业背景的考生)（1）教学技能（2015年）北京师范大学出版社陈旭远（2）教学技能（2013年）北京师范大学出版社张海珠八、内蒙古科技大学考试科目：（879）数学教学论九、内蒙古师范大学考试科目：(909)中学数学教学论（1）《数学教学论》曹一鸣张生春北京师范大学出版社2010（2）《中学数学教学论》代钦斯钦孟克陕西师范大学出版社2009。
莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用姓名：苏丽英学号：410401307莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月25 日摘要：本文先从n 维线性空间上的线线变换的核与值域出发，引出它们的一些性质。
通过几种类型的例题来加深对这些性质的理解。
由解题的过程，可以总结出解决n 维线新空间的线新变幻的核与值域的一般方法与思想。
关键词：n 维线新空间 线新变换 值域 核一．相关定义及性质。
文[1][2]给出了具体的关于n 维线性空间的线性变换的相关定义及性质。
下面是性质的一个补充。
我们知道：若σ的n 维线性空间V 的线性变换，则σ（V ）和1(0)σ-是σ的不变子空间。
若τ也是V 的一个线性变换，且τ与σ可交换，那么τ的值域和核是不是也是σ的不变子空间？命题一：若线性变换,στ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子[3]空间。
证明：ξ∀∈1(0)σ-，则有τ（σ（ξ）） =τσ（ξ）=σ（0）=0 ∴σ（ξ）∈1(0)σ-∀τ（η）()V τ∈，σ（τ（η））=τ（σ（η））()V τ∈ ()V τ∴也是A-子空间。
二．有关核与值域的维数问题。
例一：设F 为数域，V=n F ，证明：1）T(12,,,n x x x )=(1210,,,,n x x x - )是线性空间V 的一个线性变换，且n T =02）求T 的核与值域TV 的维数。
证明：设α=（12n ααα+++ ）,V β∈=（12n βββ+++ ）V ∈。
T(αβ+)=(0,112211,,,n n αβαβαβ--+++ )=(1210,,,,n ααα- )+(1210,,,,n βββ- )=T α+T β k F ∀∈,则T （k α）=（1210,,,,n k k k ααα- ）=k （1210,,,,n ααα- ）=kT α，∴T 为线性空间V 的线性变换。
《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。
通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。
三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。
第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
高等代数教学大纲一、课程简介本课程主要介绍高等代数的基本概念、定义和定理，包括线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。
通过本课程的学习，学生应该能够掌握高等代数的基本理论和方法，进一步培养其分析问题的能力和解决问题的能力。
二、教学目标1.掌握高等代数的基本概念、定义和定理。
2.熟练掌握线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。
3.培养学生分析问题、解决问题的能力。
4.培养学生数学建模的能力。
三、教学内容和教学方法1. 教学内容1.线性空间的定义与基本性质。
2.线性变换的定义与基本性质。
3.矩阵的基本运算和性质。
4.行列式的概念和性质。
5.特征值、特征向量和对角化。
6.线性方程组和矩阵消元算法。
7.正定矩阵、二次型和极值问题。
8.线性代数应用：最小二乘法、主成分分析、特征值应用等。
2. 教学方法1.讲授理论，强调概念的起源和本质。
2.给出典型例题，讲解例题的解法和思路，以帮助学生理解和掌握知识。
3.组织学生进行课上小组讨论和课后思考题目，促使学生主动思考问题、独立思考问题。
4.给学生提供大量题目，帮助学生掌握基本概念和技能。
5.激发学生兴趣，带领学生开展独立或团队研究性学习，鼓励学生探索和创新。
四、教学进度和考核方式1. 教学进度本课程可设置为2个学期，共36周，每周2-3次课程。
章节教学内容学时数第1章线性空间4周第2章线性变换4周第3章矩阵与行列式5周第4章特征值与特征向量3周第5章线性方程组与消元法4周章节教学内容学时数第6章正定矩阵与二次型3周第7章应用3周综合总复习2周2. 考核方式1.平时表现：包括出勤、作业、小测、小论文等，占总成绩的30%。
2.期中考试：占总成绩的30%。
3.期末考试：占总成绩的40%。
五、参考资料1.《线性代数及其应用》（美）Gilbert Strang 著，机械工业出版社。
2.《线性代数基础教程》（美）Bernard Kolman 著，高等教育出版社。
苏州大学 高等数学一（上）期末试卷 共 页 考试形式：闭卷 院系 年级专业学号姓名成绩特别提醒：请将答案填写在答题纸上，若填写在试卷纸上无效. 一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 求下列极限，能直接使用洛必达法则的是( )BA. sin limx x x →∞ B. 0sin lim x x x → C. π2tan5lim sin3x xx →D. 201sinlimsin x x x x →2. 设函数()sin cos ,f x x x x =+下列命题正确的是 ( )D A. (0)f 是极大值，π()2f 也是极大值B. (0)f 是极小值，π()2f 也是极小值C. (0)f 是极大值，π()2f 是极小值D. (0)f 是极小值，π()2f 是极大值3. 下列等式正确的是( )D A.() d ()f x x f x '=⎰B.d() d ()d f x x f x C x=+⎰ C. d () d ()d b a f x x f x x =⎰ D. d () d 0d ba f x x x=⎰序号4. 函数133()2f x x x =-在下列区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是( )BA.[0,1] B. [1,1]- C. 27[0,8D. [1,0]- 5. 设ππ43422ππ222sin cos d ,(sin cos )d ,1x M x x N x x x x --==++⎰⎰π2342π2(sin cos )d ,P x x x x -=-⎰则有( )AA. P M N <<B. N P M <<C. M P N <<D. N M P <<二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 函数2()ln(4)f x x =-在区间 上是连续的. (2,2)-2. 已知()f x 具有任意阶导数，且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时， ()()n f x = . 1![()]n n f x +3．设函数()y y x =由方程e 1yy x -=所确定，则22d d x y x==______________.22e4. 设()d arcsin ,xf x x x C =+⎰则1d ()x f x =⎰. C +5. 设1lim(e d ,a axt x x t t x-∞→∞+=⎰则常数a = .2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限 （1）2011lim(tan x x x x→-. 解：原式=2232000tan tan sec 1lim lim lim tan 3x x x x x x x x x x x x →→→---== …………..3分220tan 1lim .33x x x →== …………..2分 （2）25ln(1)d limtan x x x t tx→+⎰.解：原式=2254ln(1)d ln(1)d limlimx x x x x t tt t x x →→++=⎰⎰ ………….3分2302ln(1)1lim .42x x x x →+== …………..2分2. 求摆线1cos ,sin x t y t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长.解：d 2sin d ,2ts t t == …………..5分2π02sin d 8.2ts t ==⎰ …………..5分3. 设函数π0()()cos d ,f x x f x x x =-⎰求().f x解：令π()cos d ,()cos cos cos ,A f x x x f x x x x A x ==-⎰ …………..4分ππcos d cos d 2,() 2.A x x x A x x f x x =-=-∴=+⎰⎰ …………..6分4. 求函数()ln e xf x x =-+的单调区间、最值及零点的个数.解：()ln e x f x x =-+ 则 11e ()e e xf x x x -'=-=令 ⇒='0)(x f 驻点 e x = …… 4分在(0,e)内，0)(>'x f ，)(x f 单调增加.在(e,)+∞内0)(<'x f ，)(x f 单调减少(e)0f =>为函数的最大值，没有最小值, …… 4分又0lim ()lim(ln )ex x xf x x ++→→=-=-∞ -∞=-=+∞→+∞→)(ln lim )(lim exx x f x x )(x f ∴在(0,e)内有且仅有一个零点，在(e,)+∞内有且仅有一个零点,所以函数恰有两个零点. ……2分四．解下列各题：（共30分）1. （12分）已知曲线e ,sin ,0,1x y y x x x ====围成平面图形， （1）求该平面图形的面积S;（2）求该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体的体积,.x y V V 解：1(e sin )d e cos12,x S x x =-=+-⎰ ……..4分1222120011111π(e sin )d π[e sin 2]π[(e sin 2)1].22422x x x V x x x x =-=-+=+-⎰ ……..4分102π(e sin )d 2π[1sin1cos1].x y V x x x =-=-+⎰ ……..4分2. （12分）设()f x 在[,](0)a a a ->上连续， （1）证明：0()d [()()]d ;aaaf x x f x f x x -=+-⎰⎰（2）利用上述结论计算定积分π24π4cos d .1exxx --+⎰证明：（1）0()d ()d ()d aa aaf x x f x x f x x --=+⎰⎰⎰00()d ()d ()d aaaf x x f t t f x x -=--=⎰⎰⎰ ……..4分（2）ππππ22224444π0004cos cos cos d d d cos d 1e 1e 1ex x x x x x x x x x x ---=+=+++⎰⎰⎰⎰……..4分 π401cos 2π1d .284x x +==+⎰……..4分 3. （6分）已知()f x 在[0,1]上具有连续导数，试证明：1101()d ()d max{()}.x f x x f x x f x ≤≤'+≥⎰⎰证明：由连续函数的最大值定理，存在0001[0,1],..()max{()},x x s t f x f x ≤≤∈= (2)分由积分中值定理，存在10[0,1],..()d (),s t f x x f ξξ∈=⎰……..2分111()d ()d ()()d f x x f x x f f x x ξ''+=+⎰⎰⎰0001()()d =()()()()max{()}.x x f f x x f f x f f x f x ξξξξ≤≤'≥++-≥=⎰ ..2分。
范德蒙行列式的推广及其应用
顾燕;张俊伟
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2015(031)006
【摘要】范德蒙行列式构造独特,是高等代数中一个典型的行列式.它在数值计算,数值逼近等领域有着广泛的应用.通过对已有的几类广义范德蒙行列式的分析,推广得到了更一般的范德蒙行列式的计算公式.
【总页数】5页(P72-76)
【作者】顾燕;张俊伟
【作者单位】苏州大学数学科学学院,江苏苏州215006;苏州大学数学科学学院,江苏苏州215006
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.两个范德蒙行列式问题及其推广 [J], 黎海燕;陈娟华;吴康
2.范德蒙行列式的推广 [J], 和斌涛
3.推广的范德蒙行列式的某些结果 [J], 蔡南莲
4.范德蒙行列式的推广 [J], 和斌涛
5.范德蒙行列式的矩阵形式推广及其应用 [J], 周颂奇;白颖
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《高等代数》课程教学大纲课程编号：090085、090022总学时：162学分：8适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学课程类型：专业必修课开课单位：一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。
《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。
讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。
本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论（行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵）及线性代数的几何理论（线性空间、线性变换、欧氏空间）。
二次型、-二、课程教学内容和基础要求（1）理解多项式的定义，掌握最大公因式，互素，不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。
（2）理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质；理解向量组的线性相关性，掌握线性方程组的通解求法；理解矩阵的概念和运算，掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用；理解二次型的定义，掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。
（3）理解线性空间的定义，掌握交空间、和空间及直和的判定及性质；理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问题；会求矩阵的若当标准形；理解欧氏空间及对称变换的定义,掌握对称变换与实对称矩阵之间的关系的有关性质。
数理学院教师简介陈中华，男，1958年3月出生，副教授，应用物理学专业负责人，物理学科主任。
从事“大学物理”“大学物理实验”“力学”“光学”等课程的教学及太阳能光伏发电基础应用的科学研究等工作，期间发表十多篇科研及教学论文，主编出版教材《大学物理解析与指导》（中国电力出版社）、《大学物理学（第三版）学习指导与能力训练》（同济大学出版社），主持“大学物理课程建设”（上海市重点课程建设项目2001～2003），并获2001～2003年度上海电力学院优秀教学成果三等奖。
主持“大学物理精品课程建设”（校级2004年度）。
参加或主持完成多项国家、省部级、校级科研项目。
期间还获得上海电力学院首届青年教师教学竞赛一等奖，2002年校级骨干教师，2004～2005年度校级优秀主讲教师，2006年度校级优秀教师，上海电力学院第七届、第八届、第十届“我心目中的好老师”，08年上海电力学院师德标兵等。
教学理念：真诚真心、全心全意。
邓化宇，男，1980年9月生，2005年3月毕业于上海交通大学计算数学专业。
擅长《数值分析》、《科学计算》、《常微分方程》、《偏微分方程》以及《微分方程数值解》、主要研究偏微分方程数值解——无界区域问题的快速有理谱方法，已在应用数学与计算数学学报发表《二维半无界区域和无界区域问题的快速Legendre有理拟谱方法》。
冯莉，女，1978年6月出生，副教授，中共党员，2003年4月毕业于华北电力大学计算机应用技术专业，获工学硕士学位。
主要讲授数据结构、数据库原理与应用、C++程序设计等专业基础课程以及程序设计训练和数据库应用训练等实践课程，并指导学生毕业设计。
参与多项校重点教改项目，于2011年参与编写清华大学出版社的《数据库原理及应用》教材，并发表多篇教学论文。
曾先后于2005年、2012年、2013年三次获得校“我心目中的好老师”光荣称号，并获得优秀主讲教师、校讲课比赛一等奖、优秀青年教师、优秀共产党员、三八红旗手、中天科技奖、优秀工会干部、上海市教育系统优秀工会积极分子等荣誉。
0807化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.一， 求三阶矩阵1261725027-⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎝⎭的Jordan 标准型. 二， 设,nR αβ∈且长度为2,矩阵T T n A E ααββ=++求A 的特征多项式.三， 设A 是n 阶反对称矩阵,n E 为单位矩阵.证明：a E A +可逆设,()()1Q=E+A b E A --设 求证Q 是正交阵.四， 设A 是3阶对称矩阵,且A 的各行元素之和都是3,向量()()0,1,1,1,2,1TTαβ=-=--是0AX =的解,求矩阵A 的特征值,特征向量,求正交阵Q 和矩阵B 使得TQ BQ A =五， 设P是一个数域,()P x 是[]P x 中次数大于0的多项式,证明：如果对于任意的()f x ,()g x ,若有()()()|P x f x g x ()()()()||p x f x p x g x ⇒或者,那么()P x 是不可约多项式. 六， 设欧氏空间中有12,0.n βαααβ≠ ，，，，()112,,,,n W L ααα= ()212,,,,n W L βααα= 证明：如果,0i βα=,那么21dim dim W W ≠设σ是n 维欧氏空间中的一个对称变换,则()ker V V σσ=⊕.苏州大学2007年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答1. 解 所给二次型的矩阵为011101110A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭其特征多项式为2()||(1)(2)f E A λλλλ=-=-+.故特征值为121,2λλ==-.11λ=,解对应的特征方程()0E A X -=得1(110)T X =,2(101)T X =.22λ=-,解对应的特征方程(2)0E A X --=得3(111)T X =-.以123,,X X X 作为列向量作成矩阵C .则C 可逆,且TC AC 为对角阵. 这时做非退化线性替换1122133123y x x y x x y x x x=+⎧⎪=+⎨⎪=-++⎩得222123123(,,)2f y y y y y y =+-.■ 2. 解 1261725027E A λλλλ+--⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪+⎝⎭,将其对角化为210001000(1)(1)λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭.故A 的若当标准形为100110001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.■ 3. 解 A 的特征多项式为()||n f E A λλ=- (1)T Tn E λααββ=--- (1)()TT n E αλαββ⎛⎫=--⎪⎝⎭22(1)(1)()T n T E αλλαββ-⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭22(1)(1)T T n TTE αααβλλβαββ-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭21(1)1T T n T Tλαααβλβαλββ----=--- 222(1)(1025())n T λλλαβ-=--++.■ 4. 证 ⑴ A 是反对称实矩阵,故其特征值为零或纯虚数.其实,假定λ是A 的特征值,ξ是相应的特征向量.则()()()T T T T TT T T A A A A A ξλξξξξ=⇒==⇒=-=-=-,又TTA ξξλξξ=,故λλ=-,这说明λ是零或纯虚数.由此得||0E A +≠,因而E A +可逆.⑵ 由⑴知E A -可逆,这说明Q 有意义.而1()()T Q E A E A -=+-,因此11()()()()T Q Q E A E A E A E A --=+-+- 11()()()()E A E A E A E A --=++--E =.故Q 是正交矩阵. ■5. 解 依题意有011003121003111003A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因而1003011111003121111003111111A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其特征多项式为2()||(3)f E A λλλλ=-=-.故特征值为120,3λλ==.⑴10λ=,解特征方程0AX -=得()11,0,1TX =-,()21,1,0TX =-.特征向量为1122l X l X +. ⑵23λ=,解特征方程(3)0E A X -=得()31,1,1T X =.特征向量为33l X .以上123,,l l l R ∈.把向量12,X X正交并单位化得1(η=,2η⎛= ⎝.把向量3X 单位化得3η=.以123,,ηηη作为列向量作成矩阵P ,则P 为正交矩阵且000000003T P AP B ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.0T Q P ⎛⎫ ⎪ == ⎪⎪⎝⎭,则Q 满足T Q BQ A =.■ 6. 证 假设()p x 可约,不妨设12()()()p x p x p x =,其中120((),())(())p x p x p x <∂<∂.这时显然有12()|()()p x p x p x ,但不可能有1()|()p x p x 或者2()|()p x p x .这与题设矛盾,故假设错误.因而()p x 不可约. ■7. 证 依题显然有12W W ⊂,假设21dim dim W W =,则12W W =.于是1W β∈ ,这说明β可被12,,,n ααα 线性表出.记1122n n l l l βααα=+++给上式两边同时计算,ββ得,0ββ=,于是0β=,与题设矛盾,故假设错误, 原命题21dim dim W W ≠成立. ■8. 证 对于任意的ker ασ∈及任意的V σβσ∈,有,,0ασββ==，于是有ker V σσ⊥,因而ker {0}V σσ= .又dim ker dim V n σσ+=,于是dim(ker )V n σσ+=,故ker V V σσ=⊕.■06一，用正交线性替换将实三元二次型222123112132233(,,)44282f x x x x x x x x x x x x =-+-+-变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。
二、设212254115A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
A 是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C ，使得1C AC -为对角阵，且写出此对角阵。
三、设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是一个整系数多项式，证明：如果0n a a + 是一个奇数，则()f x 不能被x-1整除，也不能被x+1整除。
四、设A 是一个n n ⨯矩阵，证明：如果A 的秩等于2A 的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组2A X=0同解。
五、设V 是有理数域Q 上的线性空间，id 是V 的恒等变换。
又设δ是V 的一个线性变换，证明：如果325id δδδ=++，则δ没有特征值。
六、设 A 是n n ⨯实对称矩阵，b 是A 的最大的特征值。
证明：对任意n 维非零的实列向量α，都有(,)(,)A b αααα≤。
七、设V=5[]F x 是F 上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。
()f x V ∀∈，定义映射(())()f x r x δ=，其中2()(1)()()f x x q x r x =-+，()r x =0或deg(())2r x <a) 证明映射δ是V 的一个线性变换。
b)求δ在基{1，x,2x ,3x ,4x }下的矩阵。
8．设A,B 都是n n ⨯矩阵，并且AB=BA 。
证明：如果A,B 都相似于对角矩阵，则A+B 也相似于对角矩阵。
051、（20分）设A,B 均为n 阶方阵,A 中的所有元素均为1,B 中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B 是否等价?是否合同?是否相似?为什么?2、（20分）设A=。
v 是的A 最大的特征值。
求A 的属于v 的特征子空间的基。
3、（20分）设f （x ）是一个整系数多项式。
证明：如果存在一个偶数m 和一个奇数n 使得f （m ）和f （n ）都是奇数，则f （x ）没有整数根。
4、（20分）设A 是一个2n ×2n 的矩阵。
证明：如果对于任意的2n ×2矩阵B ，矩阵方程AX =B 都有解，则A 是可逆的。
5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B 有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B 与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。
6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。
证明下列结论等价：（1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。
证明：（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。
（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。
8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r.证明: A和B至少有r个相同的特征值。
注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。
111115'10112101021350101021252353120110111102122210210110112101521010213501031010102X X X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭一(）求满足下列条件的解；1101021102411511222-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭15∂∂1212i 12二（‘）设P 是一个数域，p （x)是P[x]中次数大于0的多项式，证明：如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式。
证明：假设p(x)是可约多项式，则存在p (x),p (x)使得p(x)=p (x)p (x),且（p (x))<(p(x)),i=1,2取f(x)=p (x),g(x)=p (x),因此f(x)g(x)=p(x)则p(x)|f(x)g(x)但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾！所以p(x)是不可约多项式21112112510{|}200()()000{|}P n V V V V σσσσασαασστσστσττσασασασασασασαασασσασααβσ-----==-∈=⊕∀∈-==-∈⇒⊇-∈∈三（’）设是数域上的维向量空间的一个线性变换，，证明：（）（）（）（）（）(V)(3)如果是V 的线性变换，（），(V)都是的不变子空间，则有=证明：（1）V,则(（）)=()-()-则（）（）（）（）又取1211111120()0,{|}0{|}0{|}2,0000V V V V V σβββσββασαασασαασασαααασασαασασασσσσβσσσβαβσαβσασασσασ-------==-⇒∈-∈⇒⊆-∈=-∈∀∈-∈-∈++∈⋂∀∈==（）,（）（）（）（）所以（）（）（）则（）（）=（）+（）（）(V)即V=（）(V)任取（）(V)，则()=0，使得()从而()=()=（()）=(1111100000V βσσσσσστασβσγγαβταστβσσταστβτβστγστγσταβστατβστβτβσασββτσγ-----⋂=⊕∀∈∈∈∈∈==)=0所以（）(V)={0}因此（）(V)（3）因为（），(V)是的不变子空间（），(V)，V ，且=+（）（），（）(V)，（（））=0，（（））=（）（）（（））=（（+））=（（）+（））=（（））=（）()=0，()=（）τσγτσαβτσασβτβστγτσγσττσ⇒=（（））=（（+））=（（）+()）=（）从而（）=（）11212120,s ss i i σασλααασλααααασλαασααλααααα==+=i+1i i+1i i+1i i+112s i 四（20）设是数域P 上的向量空间V 的一个线性变换，是属于特征值的特征向量，向量组，，……满足关系（-E ）=，i=1，2 … s-1,其中E 是恒等变换证明：，，证明：因为（-E ）=所以（），i=1，2 … s-1设k + k +… + k 即 k 1121111111111111111120()0()()0,00,0,ss s i i s s i i i i s s si i i i i i s i i s So σααασασαλααλαλααααααα-+=--+==-===-===+=⇒++=⇒+==⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑12s 1i+11i+1i+1i i+1i i+123s-1k + k +… + k k k i=1，2 … s-1k k k k k 由于 k k k + k + … + k 1212111211120()0000000s s s s σααααααααααααααα-=======⇒====23s-134s-2s s 12s-1s-1s-112s k + k +… + k 重复上述过程可得k + k + … + k 继续重复上述过程，我们有k ，因为显然不为，所以k 从而我们有k + k + … + k 再继续上面步骤，可得k k 由归纳法得k k… + k 因此，，…… 线性无关21,231,212(20),122224242||0122224(2)(7)02422,72(0,1,1),(2,0,1)E A λλλλλλξξ-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭-=---=-+=-==-===222123123121323五用正交线性替换三元二次型f(x ,x ,x )=x -2x -2x -4x x +4x x +8x x 为标准型并给出所用的正交线性替换.解:设A 为二次型矩阵,A=令即对应于的特征向量为对31122211132221237(1,2,2)(0,1,1)()11(2,,)(,)22(1,2,2)02111221122200020007)()''227C C AC X CYCY A CY Y C ACY y y y λξααξαξαααα=-=-=-=-=-=-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪'= ⎪⎪-⎝⎭=''==+-3123应于的特征向量为正交化令从而令从而令则f(x ,x ,x )=X AX=(****(15),,()()1,1()()1,()()1,0,0A B n r A r B n n r A r B n so r r because AA A E BB B E A B ==->==-======⇒******六设为两个阶方阵其中齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,证明:A 的非零列与B 的非零列的非零列成比例,其中A ,B 分别是A,B 的伴随矩阵.证明:since A B 的列向量是AX=0的解,的列向量是BX=0的解For,AX=0与BX αβαβ⇒**=0同解设是A 的非零列,是B 的非零列=k,,((),)(,()),:(,())((),)(0,)0()()...............................................(1),(),(V V V and V σταβσαβατβστασσαατβσαββατστβτβ⊥⊥⊥∈=∀∈⇒===⇒∈⇒⊆∀∈⇒七(15)设,是n 维欧式空间V 的线性变换,对任意都有证明的核等于的值域的正交补证明:ker , so,()=0ker ,())0((),)(,())0()0()....................................................................(2)(1)(2)()V According and WeCanSeeV τβσβββτβσββστστσ⊥⊥=⇒==⇒=⇒∈⇒⊆=ker ,ker ker12112211111112(15)(1),(),()[]((),())1(),(),,,0,0,0.:(1),0()0()()()()0(2),(M P n n f x g x P x f x g x A f M B g M W W W ABX AX BX c W W A f M AB f M g M g M f M W W W W W Wbecause αααααααα>∈======∀∈∈=⇒=⇒===⇒∈⇒⊆⊆⇒+⊆12八设是数域上的阶方阵且分别是方程组的解空间,证明:证明同样W W (),())1,,(),()[]()()()()1()()()(),0,0,()0,()0(()()()())0{0}(3)sin ,,dim()dim(),{0}dim(f x g x so u x v x P x u x f x v x g x u M f M v M g M E A B f M g M u M f M v M g M E ce W so W Also αααααααα=∃∈+=⇒+=∀∈⋂==⇒==⇒+=⇒=⇒⋂=+⊆+≤⋂=⇒12121212121W W W W W W W W W W W )dim()dim()dim()dim()dim()....................................................(1),()()()dim()dim()dim()dim()dim()dim().........................W Still r A r B n r AB n n n n W W +=+⇒+≤+≤+⇒-+-≤+-⇒+≥212121212W W W W W W W W W ...........................(2),(1)(2),dim()dim()dim(){0}{0}From and W +=⋂=⇒⋂=121212W W also,W W W W1(10),..........(,(1,2..........)(())()(n V n i n στστστσσστσστλσαλατασταστατσα-⇒===2i i i i i i i i 九设是数域P 上的n 维线性空间,,是V 的线性变换,有n 个互异的特征值,证明:与可交换的充分必要条件是:是E,,的线性组合,其中E 是恒等变换.证明:因为=,设是的个互异的特征值,是属于的特征向量则也是的特征向量事实上对于每个有222(((((),)1,(1,2..........),(),(1,2..........),.........),..........),.....i i i n n V V i n u V u u i n λλτσατλαλταταλατταλλσααααααλτααα∈==∃∈==⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭i i i i i i i i i i i 1211n 1)=))=)=)从而由于互异,所以dim(故也是的特征向量)从而使于是有(((2111),.........)1121212 (1)..............................................n n n n n u u u n n n x x x u x x x u x x x u αααλλλλλλλ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭++=++=++= 121n (考虑方程组111222n n n由于系数行列式（）{11211121121121()0(1.........,(1,2..........)..................n n i j i i j n n n n n i in i n i i a a u i n a a u a a λλλλλλλλλλλλααεσασατα--≤<≤---=-≠'++==++=++∏ 112n n 12n i i i i i i 互异）则方程组有唯一解，设为（a ,a ......a )则a 即（a ）得（a （）（））=（）由于12121,.................,..........n n i n i n V a a ααατεσασατσσσ--++12是的一组基，因此=a （）（）所以是E,,的线性组合03７．设P 是一个数域，V 是P 上n 维的线性空间，A 是V的一个线性变换，记{|}W a a V =A ∈．证明：5236A =A -A ，则V是A 的核与W 的直和．８．设12(),(),,()n f x f x f x 是[0,1]上的连续函数．称12(),(),,()n f x f x f x 在[0,1]上线性相关，若存在不全为零的常数12,,nc c c ，使得1()0,[0,1]njj j cf x x =≡∈∑．证明：12(),(),,()n f x f x f x 在[0,1]上线性相关的充要条件是1d e t ((()()))0i j n nf x f x d x ⨯=⎰其中det()A 是A 的行列式．021．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12310122100132000120001n n n n n n B -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭都是n n ⨯矩阵。
